Introducción a la Matemática para Ingeniería de Ejecución (página 2)

En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un número real, el resultado se llama número complejo.

Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, la matemática salió de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de la matemática: Geometría analítica y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales.

El prominente algebrista del siglo XVII, Tschirnhausen (1651-1708) creyó haber encontrado un método general de solución. Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares.

Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida.

El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, (con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores.

Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución. Lagrange dice en sus memorias:

El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos.

Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin solución y constituía, en palabras del mismo Lagrange, "Un reto para la mente humana".

Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene solución.

Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas.

Pero eso no es todo aún. Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad.

Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente:

Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales, hay un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no? o en otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. (1811-1832).

A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de la matemática y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado "Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales", que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 años.

En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado. El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos, importantes no sólo para el álgebra sino también para la matemática en general. Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:

Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tenían que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).

En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son:

• En el problema de la existencia de raíces (soluciones).

• En el problema de saber algo acerca de las soluciones sólo trabajando con sus coeficientes.

• En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación.

Polinomios

En primer lugar pretendemos resolver ecuaciones que ya están en lenguaje algebraico para luego dedicarnos al planteamiento de la ecuación que le corresponde a problemas con enunciado.

Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

Es interesante resolver una ecuación de primer grado al interior de la estructura algebraica de cuerpo, sin embargo, después de este trabajo podemos permitirnos ciertas licencias en su resolución. El siguiente tecnicismo nos ayuda:

En el proceso de buscar el valor de x, es decir, en el proceso de despejar la incógnita x, las constantes que están sumando en el miembro que contiene a x "pasan" restando a la expresión del otro lado de la ecuación y, las que están multiplicando "pasan" dividiendo y, al revés.

Las ecuaciones de primer grado pueden aparecer, originalmente, en formas distintas a la original, y en realidad, sabemos de su condición lineal cuando aplicamos una serie de procedimientos que conducen a dicha forma.

Pronto veremos como plantear ecuaciones, por ahora nos limitaremos a resolver una ecuación planteado en lenguaje algebraico.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Resuelva la ecuación

Solución

Esta ecuación es una ecuación fraccionaria y la convertimos en una ecuación con productos amplificando por el mínimo común múltiplo que, numéricamente es igual al mínimo común denominador.

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Resuelva la ecuación

Solución

El método consiste en resolver las fracciones paso a paso, desde abajo hacia arriba:

Ecuación de segundo grado

El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En este cuerpo, es posible factorizar por a (con a ? 0), y las siguientes identidades son válidas:

Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio de íntegridad), lo que da las soluciones:

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Ejemplo 13

Relaciones entre coeficientes y raíces de la ecuación de segundo grado

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 14

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Ejemplo 17

Ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 18

Ejemplo 18

Ecuaciones con raíces

Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raíces cuadradas o de mayor índice, para solucionarlas hay que aislar las raíces una a una y elevar a potencia igual al índice de la raíz.

Al elevar a potencia y buscar la solución, aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar a potencia para eliminar las raíces), debemos seleccionar las soluciones que son solución de la ecuación original, debemos hacer la comprobación en la ecuación inicial.

Ejemplo 19

Ejemplo 20

Ejemplo 21

Determine el conjunto solución de la ecuación

Solución

Ejemplo 22

Esta es una ecuación un poco más complicada ya que es una ecuación donde no podemos, inicialmente, encontrar una sustitución fácil que baje el grado. Sin embargo, con algunas ayudas como: raíces racionales, regla de los signos y otros se podría solucionar.

Verifiquemos las posibles raíces

Por otro lado

Ejemplo 23

Problemas de Planteo

Existe una gran cantidad de problemas que se pueden resolver por medio de ecuaciones, escribiendo los datos con el uso del Algebra básica.

Para resolver un problema se recomienda:

• Leer atenta y comprensivamente el enunciado del problema.

• Identificar la incógnita y los datos que se utilizarán en la solución.

• Relacionar los datos con la incógnita planteando una ecuación.

• Resolver la ecuación con el apoyo de algunas técnicas elementales.

• Analizar la solución de la ecuación para decidir si corresponde a una posible

solución del problema.

• Declarar la respuesta en el contexto del problema.

Aprendamos, con la solución de algunos problemas que nos servirán como guía para otros equivalentes o mezclas de estos.

6.1. Problemas Resueltos

1) Escribir una expresión algebraica asociada al siguiente enunciado.

2) En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas y 3 patos más que pavos. Si en total hay 49 aves, ¿cuántas gallinas, pavos y patos hay?

Solución:

3) La suma de tres números enteros consecutivos es 63. Hallar los números.

Solución:

4) A las 8.00 horas Pedro (L) sale desde cierta ciudad y viaja al Sur a 60 Una hora más tarde Juan (V) sale detrás de él viajando a 80 ¿Cuándo alcanza Juan a Pedro?.

Solución:

5) La suma de tres números pares consecutivos es 102. Hallar los tres números.

Solución:

6) El perímetro de un rectángulo es de 100 m.

7) La edad de Pedro es el doble de la edad de María. Si en cinco años más la suma de sus edades será 43 años, ¿qué edad tienen actualmente? .

Solución:

8) Un estanque se llena con la llave A en 3 horas y con la llave B en 5 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse si se abren simultáneamente las dos llaves?.

Solución:

9) El arte de plantear ecuaciones.

El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:

Solución:

Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación.

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.

10) La vida de Diofanto

La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:

Solución:

Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84.

13) La manada de monos

Otro de los problemas indios puede ser presentado en verso tal y como fue traducido por Lébedev, autor del excelente libro ¿Quién inventó el álgebra?

Regocíjanse los monos divididos en dos bandos: el cuadrado de su octava parte en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están ¿Sabes cuantos monos hay en la manada, en total?

Solución:

El problema tiene dos soluciones positivas: en la manada puede haber 48 y 16 monos. Las dos soluciones satisfacen por las condiciones del problema.

11) Las aves de la orilla

En las obras de un matemático árabe del siglo XI hallamos el siguiente problema:

A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?

Solución

Mediante la figura adjunta y aplicando el teorema de Pitágoras, establecemos:

El pez apareció a 20 codos de la palmera que tenía 30 codos de altura

12) El enjambre de abejas

En la antigüedad estaba muy extendida en la India una diversión singular: la solución de rompecabezas en competiciones públicas. Los manuales de matemáticas de ese país contribuían a la celebración de tales campeonatos de cálculo mental. "Aplicando las reglas aquí expuestas -escribía el autor de uno de dichos libros -, un hombre inteligente puede idear miles de problemas semejantes. Así como el Sol hace palidecer las estrellas con sus destellos, un hombre discreto eclipsa la gloria de otro hombre en los concursos populares, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos". En el original, estas palabras presentan un aspecto más poético, por cuanto el libro está escrito en verso. Los problemas también aparecen versificados. Enunciemos en prosa uno de estos rompecabezas.

¿Cuántas abejas formaban el enjambre?

Solución:

6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS

A) Resuelva las siguientes ecuaciones

B) Resuelva los siguientes problemas con enunciado

1) La suma de 15 y dos veces un número es 33. Encuéntrese ese número.

Resp.: 9

2) Se sabe que el triple de un número que esta disminuido en dos es igual a 42. ¿Cuál es el número?.

Resp.: 19

3) Encuéntrese el número tal que sus doble sea menor en 12 que el triple del número.

Resp.: 12

4) El resultado de sumar 28 a 4 veces cierto número es el mismo que se obtiene la restar 5 de 7 veces el número. Encuéntrese el número.

Resp.: 11

5) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?.

Resp.: Padre: 28 años, Hijo: 8 años

6) Un alambre de 130 centímetros de largo está doblado en forma de un rectángulo que tiene 3 centímetros más de largo que de ancho. Determine el ancho del rectángulo.

Resp.: 31 centímetros

7) Un agricultor quiere guardar 2850 kilos de alimento para ganado en dos depósitos vacíos. Si quiere que en el depósito mayor hay 750 kilos más de alimento que en el depósito menor.¿Cuánto debe poner en cada depósito?.

Resp.: 1800 y 1050

8) La cifra de las decenas excede en 5 a la cifra de las unidades de un número de dos cifras. Si el número se divide por la suma de sus dígitos, da 8. Hallar el número.

Resp.: 72

9) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años, hallar la edad de cada una.

Resp.: Maria: 21 años, Ester: 7 años, Isabel:16 años

10) Guido tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?.

Resp.: Guido: 9 años, Andrés: 36 años, David: 3 años

11) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más

tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual de padre e hijo.

Resp.: Padre:38 años, Hijo:14 años

12) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima

parte de la edad del padre?.

Resp.: Hace 10 años

13)

Resp.:11

14) El profesor Wenceslao tiene 4 años más que su esposa Matilde. En su vigésimo quinto aniversario de matrimonio, Wenceslao observó que la suma de sus edades duplicaba la suma sus edades el día de su boda.¿Qué edad tendrá la señora Matilde en su quincuagésimo aniversario?.

Resp.: 73 años

15) La suma de las cifras de un número de dos dígitos es 12. So invertimos el orden de las cifras, el número se incrementa es 36. ¿Cuál es este número?.

Resp.: 48

16) La suma de dos números es 24 y su producto es 135. Encuentre los números.

Resp.: 9 y 15

17) Un padre tiene ahora cuatro veces la edad de su hijo, dentro de 20 años, si viven, el padre tendrá dos veces la edad de su hijo. ¿Cuáles son sus edades en este momento?.

Resp.: Padre: 40 años, Hijo: 10 años

18)

19) En ciertos días de la semana, una familia compuesta de padre. Madre y niños menores de edad, viajando en tren pueden acogerse al beneficio de familia numerosa. Este beneficio consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la madre y los niños, medio pasaje. Por otra parte la familia puede viajar en bus, en cuyo caso cada miembro de la familia paga el pasaje entero, pero a su vez cuestan las dos terceras partes del pasaje en ferrocarril. ¿Para que número de niños el total de lo que se paga en ferrocarril sería igual a lo que se pagase en bus?.

Resp.: Un niño

20)

21) Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?.

Resp.: 12 personas

22) El explorador (la nave de reconocimiento), que marchaba con el resto de la escuadra, recibió la tarea de explorar el mar en una zona de 70 millas en la dirección en que marchaba la escuadra. La velocidad de ésta era de 35 millas por hora; la del barco explorador, de 70 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará éste en incorporarse de nuevo a la escuadra?.

Resp.: 1 hora 20 minutos

Autor:

Prof. Jorge Inostroza . L.

Prof. Heraldo González .S.

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"?

www.edu.red/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"?