Introducción a la Matemática para Ingeniería de Ejecución

Introducción

En el curso de muchos años de experiencia en la formación de Ingenieros en la Universidad hemos podido formarnos una meridiana idea de las bondades y las carencias de los postulantes que por ello su rendimiento no es todo lo esperado, al punto que en el último tiempo se ha visto incrementando motivo por el cual nos hemos propuesto una instancia remedial mediante un proceso de homologación que conlleve una revisión o consolidación de conocimientos básicos para una mejor inserción en el programa regular del primer nivel de matemática. Junto a ello hemos pretendido dar una visión más fundamentada de los conceptos, amén de insistir en las habilidades operacionales más requeridas. No obstante ello se verá un tratamiento a veces algo superficial para profundizar en el curso normal de los estudios. Todo ello perdería su propósito si no contamos con la voluntad, la dedicación y el esfuerzo para iniciar un efectivo proceso de auto-estudio y auto-evaluación por parte del estudiante.

Marco teórico

TEMA Nº 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS.

La matemática se sirve, para su difusión, de un lenguaje o vocabulario y de una serie de símbolos o nomenclaturas a fin de universalizar sus proposiciones además de dar mayor coherencia y claridad a sus elaboraciones. Este aporte le corresponde a la Lógica y la Teoría de conjuntos,

Para que podamos hablar este lenguaje común, en lo que nos corresponde, incorporamos aquí los elementos más básicos requeridos y su uso.

Conjuntos y sus operaciones:

El conjunto entendido como un concepto primitivo denotado por letras mayúsculas: y que está compuesto por elementos señalados por letras minúsculas: La pertenencia de éstos a un conjunto y la inclusión de un conjunto en otro se denotan por:

Se lee " a pertenece al conjunto A"

Se lee "a no pertenece al conjunto A"

Se lee "A es un subconjunto de B o está contenido en el conjunto B"

Se lee "A es un subconjunto o igual al conjunto B"

Se lee "El conjunto A no es parte del conjunto B".

Un conjunto se puede expresar por extensión, es decir enumerando todos sus elementos o bien por comprensión, señalando las características comunes de todos sus elementos mediante un clasificador:

Las sentencias o proposiciones en matemática son enunciados que admiten un valor de verdad, es decir pueden ser verdaderas o falsas: Ejemplo:

P = "Dos naturales consecutivos no pueden ser ambos par"

Q = "Todo número divisible por 3 y por 4 lo es por 12"

Para expresar o conectar sentencias o proposiciones necesitamos además de ciertos símbolos o conectores que nos entrega la lógica simbólica.

Además se tienen los llamados cuantificadores:

"para todo"

"existe al menos uno"

" existe un único"

Las siguientes "sentencias" o "proposiciones" las vemos en símbolos:

1.- "Para todos los alumnos del curso , existen menores o igual a 20 años"

Ejercicios:

Defina el conjunto y escriba en símbolos

• 1 "Si un natural es divisible por 2 y por 6 entonces lo es por 12".

• 2 "Todo número divisible por 3 y por 4 lo es por 12"

• 3 " Si la suma de dos números es par entonces uno es el 2" .

Lea la sentencia:

Para cerrar este tema debemos advertir que en el programa formal de la asignatura Matemáticas Generales y de Cálculo Aplicado se tendrá una mayor información al respecto, razón por la que aquí se da una visión simplificada a fin de ponernos todos en un mismo nivel de informaciones.

TEMA Nº 2.-

Caracterización de los números reales (R)

El conjunto de los números reales, protagonista principal y casi único de nuestro quehacer matemático requiere ser identificado con cierta claridad y precisión en aras del rigor que debe acompañar todo nuestro quehacer, del mismo modo son necesarias las caracterizaciones de los otros sistemas numéricos que forman parte de los reales.

Los Reales conforman lo que se llama una Estructura Algebraica, es decir un conjunto de Axiomas y operaciones que le dan el carácter de un Cuerpo-Ordenado y Completo. Se verá que en el enunciado de estos axiomas faltan muchas propiedades de los reales que son conocidas y con las que hemos convivido desde nuestros primeros años de estudio, y es que todas ellas se derivan de estos enunciados y eso es lo grandioso de esta caracterización.

R es un Cuerpo: Es decir que admite dos operaciones llamadas suma y producto entre reales y que satisfacen los siguientes Axiomas

Como se decía, de estos axiomas surgen otras propiedades de los reales que son objeto de demostraciones, que denominamos Teoremas y que no son sino aquellas que hemos estado asumiendo en nuestro quehacer cotidiano.

Las demostraciones son tema para más adelante, por ahora baste saber que son consecuencias de los Axiomas.

R es Ordenado: Se admite axiomáticamente que existe un sub-conjunto de R denominado de números positivos señalado por que cumplen los Axiomas de

Orden:

Se definen los conceptos que le dan sentido al carácter de ordenado de R: Con los símbolos:

Con los axiomas y estas propiedades se pueden resolver ahora problemas de desigualdades y de inecuaciones que serán temas de nuestra preocupación posterior.

R es Completo: Esto es, que cumplen el denominado Axioma del Supremo:

Previo algunas precisiones: Se dice

Ejemplos:

• 1. Determinar cotas, Supremo e Ínfimo del conjunto:

• 2. Determinar Supremo e Ínfimo de:

Aquí terminamos una presentación medianamente formal de los conjuntos numéricos y sus propiedades, lo que se verá complementada en el desarrollo normal de los temas del primer curso de matemáticas superiores.

El objetivo de esta primera parte se verá cumplido cuando el estudiante use adecuadamente este lenguaje y nomenclaturas en su decir y hacer matemático y verá como esta disciplina puede ser llevada a todo su quehacer aún el más doméstico.

TEMA Nº 3.

Ideas básicas de trigonometría

•  RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

Definición:

En el triángulo rectángulo ABC; se definen:

También se definen:

Aún más, se pueden lograr relaciones de cada una de estas razones gracias a un simple expediente gráfico con ayuda del teorema de Pitágoras.

En cada gráfico buscamos la razón trigonométrica según la definición:

De este modo se puede construir en una tabla todas la relaciones o "identidades fundamentales" de las razones entre sí.

3) Del gráfico

Lo que podemos resumir en el siguiente cuadro

Identidades trigonométricas:

Son relaciones de igualdad válidas para todo valor del ángulo, cuya verificación se logra con las identidades fundamentales y algunos recursos algebraicos

Ejemplo:

Verificar las identidades elementales

•  ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son relaciones de igualdad validas para ciertos valores del ángulo, valores que buscamos encontrar, pero ello demanda una mayor profundización en el tema veremos algunos ejemplos muy elementales.

•  OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Otras identidades que son de uso frecuente son:

De aquí se puede obtener las siguientes nuevas identidades

como esto último es verdadero lo anterior lo es si argumentamos en reversa es decir a partir de esto último y ( lo normal seria partir de este punto y construir lo que sigue en el proceso pero ello es más laborioso). De igual modo se verifica las otras identidades.

Ejercicios

Estas identidades son de gran utilidad para estudios posteriores.

7.- Comprobar las identidades:

Algunos Problemas

• 1) Un poste colocado a 100 mts. de un punto de observación, el observador ve su cúspide bajo un ángulo de 30º. Hallar la altura del poste.

Solución.:

• 2) En la orilla de un canal hay dos personas a 50 mts. una de la otras; en la otra orilla y en un lugar intermedio un observador ve a uno en un ángulo de 30º y al otro en uno de 45º ¿Cuál es el ancho del canal?

Los otros resultados se logran del mismo modo (rotando los vértices)

• 3) Pruebe el llamado "teorema del seno"

Observación

Al término de esta visión muy elemental del tema solo nos corresponde esperar que el alumno a partir de ello pueda insertarse exitosamente en los contenidos del programa regular de la signatura

TEMA Nº 4.

Geometría analítica (Conceptos básicos)

En esta parte del programa, contamos con que el estudiante en, algunos casos, ya tiene algún manejo de ciertos conceptos básicos de la Geometría Analítica obtenidos en la enseñanza media. Sin embargo aquí daremos una breve información para homologar y ponernos a un nivel común. No se trata de contenido completo de un curso de este tema sino más bién una somera información.

•  4.1.- Plano Euclidiano

El plano Euclidiano ó plano geométrico está conformado por puntos P, los que son representados mediante un sistema Cartesiano de ejes por pares ordenados de reales (x,y) ,estableciéndose una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los pares ordenados .Así el punto señalado por P se asocia al par (x,y) donde "x" es la abscisa del punto e "y" la ordenada de él , como lo muestra la fig.

•  4.2.- Distancia entre dos puntos.

Propiedades:

4.3 .- División de un trazo en razón dada.

Ejemplo:

4.4 .-La Recta.

La entendemos como un Lugar Geométrico, o sea una colección de puntos sujetos a una ley determinada , expresada en sus componentes. Así:

Recta por dos puntos:P y Q

Decimos que tiene la forma estándar; siendo el punto en que corta al eje "y" ó coeficiente de posición y ello se ve cuando hacemos x=0.

lo que se consigue haciendo las sustituciones correspondientes en la primera ecuación y que corresponde a los segmentos que ella determina en los ejes coordenados como se ve en la fig:

Ejemplos:

•  Rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Entendamos que las rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, es decir hacen igual ángulo con el eje x; y serán perpendiculares si el producto de las pendientes es -1.Lo primero se aprecia claramente en la figura y la perpendicularidad se comprueba teniendo que:

Luego teniendo las rectas:

Finalmente el punto de concurrencia de las rectas no paralelas se determina resolviendo el sistema:

Ejemplo:

Determinar el punto de concurrencia de las rectas:

4.5 La circunferencia:

La entendemos como el Lugar Geométrico de los puntos P(x,y) del plano cuya distancia a otro fijo C(a,b),llamado centro ,es la constante R, llamada el radio de ella. La figura que acompaña ahorra más detalles.

Sin embargo no toda expresión de esa naturaleza puede representar una circunferencia, pues para que ello ocurra debe poder cumplir con lo demandado al completar los cuadrados de binomio:

Para identificar la circunferencia necesitamos conocer 3 incógnitas, veamos los Ejemplos:

• 1. Hallar la circunferencia centro en el origen y contiene al punto P(1,-4).

Solución:

• 2. Hallar la circunferencia centro en (3,0) y contiene al origen.

Solución.:

• 3. Encontrar la circunferencia tangente a los ejes y centro en (-3,3).

Solución.:

• 4. Determinar la circunferencia que pase por los 3 puntos (0,6);(4,-2);(9,3).

Solución.:

• 5. Encontrar radio y centro de la circunferencia :

• 6. Señalar radio y centro de :

Debemos reiterar que nuestro propósito no es hacer un desarrollo acabado de estos temas, sino mas bien definir un piso mínimo para que el inicio de los estudios tenga una base común.

MATEMATICA GENERAL

TEMA Nº 5.

Elementos de álgebra clásica

INTRODUCCION

Luego de conocer los fundamentos y consecuencias de los reales, nos disponemos a efectuar una revisión de ideas en torno a la operatoria con tales elementos; ello con el propósito de observar con una óptica diferente, fundamentada y lógica, aquella operatoria que nos debió parecer arbitraria o inexplicable; el beneficio de esta revisión es evidente.

Junto a esto está también la oportunidad de ejercitar un espíritu crítico que esperamos haber fomentado en los capítulos anteriores.

Este último tema tendrá una connotación y estructura diferentes, por lo que se ha dicho; estará constituido básicamente por listados de ejercicios operatorios de los temas de Algebra de los Reales más relevantes de la Enseñanza Media.

Tiene por lo tanto también un carácter evaluativo que el alumno podrá autoaplicarse una vez concluida la etapa de análisis de conceptos y revisión de técnicas operatorias. Sin embargo se incluyen, en algunos casos, el fundamento de algunas reglas operatorias para que el alumno observe con igual sentido todos los algoritmos operacionales del texto.

• Expresiones Algebraicas:

Definición:

Se llama Expresión Algebraica, a aquella constituida por las operaciones de suma y producto y otras entre factores numéricos y literales, estos últimos representativos de valores reales arbitrarios.

Ejemplos:

• Valor numérico de una expresión algebraica:

Se consigue sustituyendo en cada factor literal los valores numéricos asignados.

Ejemplo:

Determinar valor numérico de las siguientes expresiones.

Ejercicios:

Determine el valor numérico para:

• Reducción de Términos Semejantes

En una expresión algebraica, son términos semejantes aquellos que tienen los mismos factores literales y los mismos exponentes aunque el factor numérico sea diferente:

Ejemplo:

Reducir términos semejantes es agrupar en un solo los términos semejantes entre si efectuando las operaciones algebraicas que se señalen.

Ejemplos:

Reducir términos semejantes:

Observación:

Esta reducción recoge la propiedad asociativa de los reales

Ejercicios:

Reducir términos semejantes:

• Resolución de Paréntesis

Los paréntesis se usan para agrupar o asociar expresiones y cuya resolución se rige por las propiedades de distributividad en los reales o asociatividad de estos:

Ejemplos:

Resolver paréntesis en:

Observaciones:

Recuérdese las siguientes propiedades de los reales:

– (a + b) = – a – b

– (a – b) = – a + b

– (-a – b) = a + b

Ejercicios:

Resolver paréntesis y reducir términos semejantes:

• Suma de Expresiones Algebraicas

La suma de expresiones algebraicas se hace entre términos semejantes; empleando las propiedades asociativas, conmutativas y distributiva que caracteriza a los reales:

Ejemplo:

Ejercicios:

• 1. Sumar las expresiones:

Si:

A = 5a + 6b – 7

B = 3a – 4b + 2

C = -4a + 3b – 4

• 1) A + (B – C)

• 2) –A – (B – 2C)

• 3) 2A + 3B – (2C + 4A)

• 2. Calcule

• Producto de expresiones Algebraicas:

• a) Producto de Monomios

Para ello se emplean las propiedades del producto de reales y se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los coeficientes literales homólogos.

Ejemplo:

Multiplicar

Ejercicios:

Multiplicar los monomios

b) Producto entre polinomios:

Su ejecución contempla la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y las otras propiedades o axiomas del cuerpo (.

Ejemplo:

Ejercicios:

Multiplicar y reducir términos semejantes.

Observación:

Hay ciertos productos usuales, que es necesario conocer su desarrollo.

Ejercicios:

Resolver los productos notables siguientes:

5.7 Factorización de Expresiones Algebraicas

Se trata de restituir a un producto, una expresión algebraica desarrollada como una aplicación de la propiedad distributiva.

Ejemplo:

Factorizar las expresiones siguientes:

Observación:

Un problema de factorización frecuente es el caso de un trimonio cuadrático.

Ejercicios:

Factorizar los trinomios

5.8 Simplificación de Expresiones Racionales

Simplificar una expresión racional es cancelar factores comunes que parecen en el numerador y denominador de ella; esto es la aplicación de la propiedad del inverso multiplicativo.

Ejemplo:

Simplificar

Observación:

Este trabajo de simplificación, si no se hace concientemente es fuente de graves errores, de ahí el desarrollo detallado del ejemplo a) hago usted lo mismo con:

Ejercicios:

Simplificar o cancelar factores comunes en:

5.9 Cuociente de Expresiones Algebraicas

a) Cuociente entre Monomios: Se trata, como ya se sabe, de un producto del monomio dividendo por el inverso multiplicativo del monomio divisor.

Ejemplo:

Esta forma es una modalidad más frecuente pero la justificación para ello está en la primera modalidad.

Ejercicios:

Efectuar las operaciones

5.10 Cuociente de Polinomio con monomio

Está basado en la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

Ejemplo:

Ejercicios:

Efectuar las divisiones:

5.11 Cuociente entre multinomios

La división entre multinomio, aún cuando está determinada por la distributividad en los reales, tiene un algoritmo especial para conseguir el cuociente y el resto, si lo hay. Puesto que si A y B son dos expresiones se trata de encontrar las expresiones C y R tal que:

A = B C + R

C es el cuociente y R es resto

El algoritmo lo explicamos en el ejemplo

Observación:

Téngase presente que hay que:

Ordenar respecto a las potencias de una letra ambos multinomios.

• a) Se busca un elemento que multiplicado por el primer elemento del divisor resulte el primer elemento del dividendo.

• b) Se multiplica el elemento encontrado por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.

• c) La diferencia es un nuevo dividendo y se repite el proceso hasta llegar a un resto cero o un elemento que no permite continuar.

Ejemplos:

Ejercicios:

Efectuar el cuociente y comprobar:

Ejemplo:

Ejercicios:

Escriba el resultado directamente:

Además conjeture una fórmula general para dichos cuocientes.

5.12 Expresiones Algebraicas Racionales:

Son aquellas en forma de cuociente entre multinomios:

Ejemplo:

• A) Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más expresiones; es la expresión que se obtiene al multiplicar los factores primos numéricos o literales cada uno con su mayor exponente.

Ejemplo:

Observación

El m.c.m. es entonces la expresión más "pequeña" que contiene a cada una de las expresiones dadas.

Ejercicios:

Determinar m.c.m. entre:

B) Reducir dos o más Expresiones Racionales o Fracciones Algebraicas a Funciones de igual Denominador.

Se trata de obtener mediante un proceso de amplificación, que cada fracción tenga el mismo denominador. Amplificar una fracción algebraica es multiplicar numerador y denominador por un mismo factor; con ello no se altera el valor de esta por cuanto mediante un proceso de cancelación o simplificación se retorna a la expresión original. Amplificar y simplificar son procesos recíprocos.

Ejemplos:

Para determinar el denominador común; entre dos o más fracciones; (es conveniente que sea el mínimo posible) o más bien el mínimo común denominador; se busca el mínimo común múltiplo entre denominadores y se amplifica cada fracción por una expresión conveniente y lograr que el denominador sea ese m.c.m.

Ejemplos:

Reducir las fracciones dadas a expresión de igual denominador pero que sea el mínimo común denominador.

Solución:

Ejercicios:

Reducir al mínimo común denominador las fracciones:

5.13 Operaciones con Fracciones Algebraicas

• 1. Suma:

La suma de fracciones algebraicas se realiza transformándolas a fracciones de denominador común; luego el resultado es la suma de los numeradores manteniendo el denominador.

Ejemplo:

3) Sumar:

Ejercicios:

Sumar y expresar el resultado en la forma más simple:

5.14 Producto de Fracciones Algebraicas:

El producto de fracciones algebraicas se efectúa multiplicando numeradores y denominadores entre sí y el cuociente se encuentra multiplicando la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.

Ejemplo:

Ejercicios:

Resolver los productos, y simplificar si procede:

Para dividir dos expresiones fraccionarias se reducen a un producto como ya se señaló:

Ejemplo:

Ejercicios:

• Fracciones Algebraicas Compuestas

Se trata de fracciones cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones y su desarrollo consiste en darle una forma simplificada.

Ejemplo:

Ejercicios:

Resolver:

• Potencias

Siendo la notación an una expresión para el producto de n factores a; para n ( IN o sea.

Ejemplos:

Ejercicios:

• Raíces Aritméticas

"La Potenciación es la operación recíproca de la radicación"

Ejemplo:

Ejemplos:

Ejercicios:

• Propiedades Operacionales

Observación:

Ejemplo:

Ejercicios:

Desarrollar las expresiones y reducir

• Racionalización

Para una expresión Fraccionaria con raíces en el denominador, la racionalización es la operación de amplificación que tiende a eliminar dicha raíz.

Ejemplo:

Ejercicios:

Racionalizar:

Observación:

Ambas se logran por simple sustitución de acuerdo a la relación (*) y con ello se determina que la operación de exponenciación y la de logaritmación son recíprocas una de la otra.

Ejemplo:

Ejercicios:

5.21 Propiedades del Logaritmo

Demostración:

1) y 2) son consecuencia inmediata de la definición:

Ejemplo:

Luego haciendo uso de la calculadora se puede verificar el resultado en que:

y = 0,000322499

Observación

Cuando la base es 10 el logaritmo se denota log; y en el caso que la base sea el número e, el logaritmo llamado natural se denota Ln.

(e = 2,7182818)

6) Resolver la ecuación exponencial:

7) Dado log 2 = 0,30103; hallar:

Log25200

Solución:

Ejercicios:

TEMA Nº 6.

Problemas y ecuaciones

Prof .Heraldo González S

Ecuación

Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas ,denominados miembros de la ecuación, por ejemplo

es una ecuación.

En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades.

Historia de las ecuaciones polinómicas

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqabalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X .

Para resolver ecuaciones hasta segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2.

En efecto, la ecuación general de tercer grado:

requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dado en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.

Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes). Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la "Suma Aritmética". Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemática en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.

En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia: Una solución general para las cúbicas del tipo

Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo

le respondió con ejemplos del tipo

Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo

y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llegó el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterano, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado. El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.

Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto grado (con fórmulas más complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 años antes.