Compendio histórico de los problemas matematicos sin solución

"La principal razón de existir del matemático es

Resolver problemas, y por lo tanto en lo que realmente

Consisten las matemáticas es en problemas y soluciones."

Paul R. Almos [14]

Introducción

La palabra problema proviene del griego lanzar adelante"

Un problema es un obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser superado, Una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que reclama ser aclarada.

Todos vivimos resolviendo problemas: desde el más básico de asegurar la Cotidiana subsistencia, común a todos los seres vivos, hasta los más complejos desafíos planteados por la ciencia y la tecnología. La importancia de la actividad de resolución de problemas es evidente; en definitiva, todo el progreso científico y tecnológico, el bienestar y hasta la supervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad. No es de extrañar por lo tanto que la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atención de psicólogos, ingenieros, matemáticos, especialistas en inteligencia artificial y científicos de todas las disciplinas.

"Resolver un problema es hacer un descubrimiento. Un gran problema significa un gran descubrimiento, pero hay una partícula de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El suyo puede ser modesto, pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, y si lo resuelve por medios propios, puede experimentar la tensión y el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo.

Evidentemente la resolución de problemas está estrechamente relacionada con la creatividad, que algunos definen precisamente como la habilidad para generar nuevas ideas y solucionar todo tipo de problemas y desafíos.

El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente. El primero consiste en la habilidad para pensar de manera original y elaborar nuevas ideas, mientras que el segundo se relaciona con la capacidad crítica y lógica para evaluar alternativas y seleccionar la más apropiada.

CAPITULO I

Conceptos básicos

• LOS PROBLEMAS EN LA MATEMÁTICA.

La matemática como ciencia surge a partir de la filosofía, ciencia que en aquella época incluía a las demás, es decir era la ciencia de todas las ciencias. En sus inicios los conocimientos matemáticos estaban relacionados únicamente con las necesidades inmediatas de la vida cotidiana como la de contar, numerar, distribuir, medir áreas de parcelas de tierra, volumen de vasijas, etc.; en esta etapa se comienza a implantar los fundamentos de la matemática como ciencia; por ejemplo en la Grecia antigua se llegaron a sistematizar los métodos de solución de problemas de la aritmética elemental apareciendo la disciplina Aritmética.

El desarrollo histórico de las matemáticas es estimulado por problemas de las ciencias naturales, así la aritmética y el álgebra surgieron como respuesta a necesidades humanas en materia de contabilidad y administración; la geometría y trigonometría se desarrollan a partir de problemas de medidas, agrimensura y astronomía, además se desarrollaron otras ramas que se originaron no sólo como consecuencias de problemas de las ciencias naturales, sino también de las sociales y de distintos campos del esfuerzo humano

La categoría problema ha estado presente a lo largo del desarrollo histórico de las matemáticas, tanto por la presencia de problemas de la vida social, como de las ciencias naturales y de la propia matemática que han propiciado su enriquecimiento teórico. El surgimiento de la Matemática está muy relacionado con el planteamiento y solución de problemas. Desde la antigüedad el hombre se ha enfrentado a esta actividad y tan importante ha sido el hecho de encontrarles respuestas como de formularlos correctamente para el desarrollo ulterior de la ciencia.

En relación con el concepto de problema matemático, son muchas las definiciones que se han ofrecido, las mismas en su esencia no resultan contradictorias, pero revelan los puntos de vista de sus autores al abordarlas.

• Algunas definiciones de problema:

• Un problema tiene ese carácter, ante todo, porque nos presenta puntos desconocidos en los que es necesario poner lo que falta", (Rubinstein, S.L.1966; p.24).

• Es una forma subjetiva de expresar la necesidad de desarrollar el conocimiento científico" (Majmutov, M. 1983; p.58).

• Un problema representará una verdadera situación nueva" (Dávidson, L. 1987; p.1).

• Un problema es toda tarea que requiere de un esfuerzo por parte del alumno para ser resuelto" (Antibi, A.1990; p. 23).

• Contradicción entre una situación actual del objeto y una situación deseable. Revela un segmento de la realidad donde el conocimiento es insuficiente o parcial, o en el cual prevalecen modos de actuación insatisfactorios, expresando al mismo tiempo, que la respuesta o solución no está contenida en la región de lo conocido. Ello conduce al despliegue de una actividad para resolver la contradicción y llegar a la situación deseable"(Centro de Estudios Educacionales. 1999; p.5).

• Estas definiciones anteriores expresan una concepción general del concepto problema. Proposición que se formula para, a partir de ciertos datos conocidos, hallar el valor numérico o resultado correspondiente a la cuestión o pregunta planteada" (De Galiano, T. 1991; p. 835).

• Se refiere a aquellas cosas que son verdaderamente problemitas para las personas que trabajan en ellas, se asume que estas personas no tienen a mano un procedimiento de rutina para la solución" (Schoenfield, A. 1993; p.121).

• Se denomina problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida y la persona debe querer hacer la transformación" (Campistrous, L y Rizo, C. 1996; p. IX y X).

• Un ejercicio es un problema si y sólo si la vía de solución es desconocida por la persona" (Llivina, M. 1999; p. 48).

En las definiciones anteriores puede apreciarse que en algunos casos se refieren a ejercicios o tareas en su sentido amplio, que deben cumplir determinadas exigencias y en otros casos, se conciben como la exposición en el lenguaje común de determinados hechos, fenómenos u objetos, también bajo determinadas exigencias. En general, se concibe la existencia de una contradicción entre lo que se desea hacer y lo conocido para ello.

• Pero considera válido añadir un elemento no explícito en ella y que refieren Campistrous, L. y Rizo, C. (1996), es decir:

La persona debe querer resolver el problema (motivación).Los problemas están caracterizados por tener una situación inicial conocida (datos) y una situación final desconocida (incógnita), siendo su vía de solución desconocida y la misma se obtiene a través de procedimientos heurísticos. 

Los elementos anteriores caracterizan la estructura externa de los problemas.  Cuando se habla de la estructura de un problema matemático con texto, se asumen las partes o los elementos estructurales que conforman el problema  En este caso, se considera la siguiente estructura externa:

Datos: Magnitudes, números, relaciones matemáticas explícitas entre los números, como: el duplo de; la mitad parte de; aumentado en; el cuadrado de; entre otras.

Condiciones: Relaciones matemáticas no explícitas entre lo dado y lo buscado, vinculadas con la estrategia de solución, como: las derivadas de los significados prácticos de las operaciones de cálculo, propiedades, teoremas, recursos matemáticos a utilizar, no declarados en el problema.

Pregunta: La incógnita, lo que hay que averiguar.

En un contexto general podemos decir que un problema es una determinada cuestión o asunto que requiere de una solución. A nivel social, se trata de algún asunto particular que, en el momento en que se solucione, aportará beneficios a la sociedad (por ejemplo, lograr disminuir la tasa de pobreza de un país).

La filosofía establece que un problema es algo que perturba la paz y la armonía de quien o quienes lo tienen. Para la religión, un problema puede ser una contradicción interna entre dos dogmas (¿cómo un Dios omnibenevolente y todopoderoso permite la existencia del sufrimiento?).

Para las ciencias matemáticas, un problema es una pregunta sobre objetos y estructuras que requiere una explicación y demostración. En otras palabras, un problema matemático consiste la búsqueda de una determinada entidad matemática que permita satisfacer las condiciones del problema. Los problemas matemáticos pueden ser de cálculo, geométricos, algebraicos y no algorítmicos.

Por otra parte, se denomina problema didáctico al ejercicio de raciocinio que puede resolverse con la utilización de las matemáticas y de la lógica. De esta forma, un problema de este tipo debe contar con tres elementos básicos: los datos necesarios para resolverlo (siempre explícitos), el método o relación entre los datos (que es lo que el estudiante debe averiguar) y el resultado buscado (al que se llega tras seguir ciertas reglas de razonamiento y supuestos que surgen de los datos).

Los problemas didácticos suelen ser matemáticos y se utilizan en todos los niveles educativos para enseñar a asociar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas y a pensar con lógica.

Para resolver cualquier tipo de problema didáctico-matemático, hay que seguir tres pasos básicos: comprender lo que se está preguntando, abstraer el problema (encontrar una expresión matemática que permita representar el problema y resolverlo) y entender que quiere decir el resultado al que se ha llegado.

Entre los campos que son un producto específico del siglo XX mencionaremos simplemente cuatro ejemplos que por Lo tanto no pretenden ser, ni mucho menos exhaustivos de los avances de la Matemática. En primer lugar la Topología, es decir el estudio de las formas de las variedades, introducido por Poincaré (foto) a comienzos de siglo y que ha experimentado un desarrollo espectacular a lo largo del siglo de la mano de nombres como Serre, Milnor, Smale o Thurston.

En segundo lugar, el manejo del azar, La probabilidad y el análisis estocástico son otra de las grandes creaciones del siglo pasado. Si bien es cierto que ya existían estudios sobre la probabilidad desde la época de Fermat, Pascal e incluso antes, pero es en el siglo XX cuando a partir de la axiomatización del modelo probabilístico por Kolmogorov, y más tarde de la herramienta fundamental del análisis estocástico: la integral estocástica, por Kiyositó cuando la disciplina toma vuelo hasta construirse en una de Las áreas más activas en la actualidad. Piénsese que prácticamente todos los fenómenos encierran una componente aleatoria, por lo que el análisis estocástico es imprescindible en ellos.

En tercer lugar el estudio de los sistemas dinámicos y en particular de tos fenómenos no lineales ha sido también una de las áreas de desarrollo espectacular en el siglo XX: en las ecuaciones que regulan la evolución un proceso concreto se observa que a menudo aparecen términos no lineales. Un ejemplo importantísimo son las ecuaciones de Navier-Stokes que regulan la dinámica de fluidos. La existencia de estos términos no lineales conduce a comportamientos caóticos que hoy sabemos que aparecen con muchísima frecuencia, por lo que el estudio de la estabilidad de las soluciones de un sistema dinámico es muy importante. Uno de los resultados más llamativos del siglo es el llamado teorema KAM (KoLmogorov, Arnold y Moser) de los años 60 relativo a la estabilidad de las órbitas del problema de Los n cuerpos (por ejemplo el sistema solar) y que nos aporta cierta tranquilidad acerca de que nuestro planeta continuará en una órbita parecida (pero nunca igual) a la que ha venido teniendo desde su origen.

Y por último no podemos olvidar los estudios sobre lógica, computabilidad y complejidad que impulsados por nombres como Turing, Gódel, Von Neumann, etc. han conducido a la creación de la computadora, el invento del siglo XX que está transformando radicalmente nuestra sociedad.

• LA FORMULACIÓN DE PROBLEMAS 

La formulación de problemas se ha visto como un complemento de la solución de problemas, la profundización en la misma, las orientaciones a seguir, así como las potencialidades que ésta tiene no han sido objeto de un estudio sistemático, por lo que la bibliografía o documentos de consulta para ella resultan insuficientes. Los trabajos relacionados con la formulación de problemas, Labarrere (1980; 1983), Campistrous y Rizo (1996), González, D (2000), e Inerarity (2003) están dirigidos a la enseñanza primaria, por ser en ésta donde debe formarse dicha habilidad.

Es un error pensar que las tareas que implican la utilización de algoritmos conocidos o para las que existen fórmulas constituyen verdaderos problemas. La clasificación, seriación y ordenación de objetos, la utilización de distintos tipos de medidas, el análisis de regularidades entre determinados hechos, etc., pueden constituir problemas con objetivos tan diversos como traducir las experiencias cotidianas a un lenguaje común.

"Es más importante descubrir problemas que resolverlos; una psiquis que problematiza su realidad se anticipa a las futuras experiencias, y por lo tanto puede dar mejores respuestas a los problemas de la vida cotidiana que se presentan".Estos procesos se complementan, pues contribuyen a:

* Conocer el concepto de problema

* Reconocer los componentes de un problema

* Plantear y buscar relaciones entre los componentes

* Desarrollar habilidades en la traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa

* Reconocer modelos matemáticos para solucionar tipos de problemas

* La determinación de problemas auxiliares, etc. No obstante, aunque la formulación y solución de problemas se complementan, son procesos que tienen sus respectivas características y complejidades que los constituyen etapas independientes de la actividad cognoscitiva. Una exigencia del programa de Matemática que actualmente se aplica en las secundarias básicas es que los alumnos aprendan a resolver y también a formular problemas, por lo que ésta última merece en lo adelante nuestra atención, por lo que se evidencia la necesidad de fortalecer la superación de los profesores para dirigir el proceso de formulación de problemas que les permita desarrollar las acciones intelectuales necesarias para sus alumnos.

• MATEMATICA DEL SIGLO XX

Aunque ya nos encontramos en el siglo XXI es bastante temerario hacer un balance de Hitos Matemáticos del siglo pasado. En primer lugar porque la perspectiva es aún escasa y, en segundo lugar y más importante, porque las propias características de la Matemática del siglo XX, marcadas por un desarrollo sin precedentes y una amplitud de temas extraordinaria, hace que sea muy difícil por no decir imposible la catalogación de Los hitos fundamentales de la ciencia matemática. Esto se debe a diversas causas.

En primer lugar, porque la producción matemática del siglo XX ha superado (en cuanto a extensión y posiblemente en cuanto a calidad) a la producción en toda la historia anterior. Por citar algunos datos: en La década de Los 90 se han publicado una media de más de 50.000 trabajos anuales de investigación en Matemática en las revistas especializadas del todo el mundo.

Junto a la cantidad de producción, la segunda causa es, sin duda, la diversidad de campos que ella abarca: a lo largo del siglo XX han surgido y se han desarrollado áreas completamente nuevas, y los resultados matemáticos han impregnado prácticamente todas las parcelas de nuestra vida cotidiana. Como resultado, el desarrollo tecnológico y científico del siglo XX no ha tenido parangón en la historia de la humanidad. Conviene no perder de vista esta perspectiva: la Matemática es la base, los rieles sobre los que caminan las ciencias y la tecnología; sin un desarrollo matemático no puede haber un desarrollo científico parejo y la historia está llena de ejemplos que muestran como sólo cuando la maquinaria matemática ha desarrollado los conceptos y técnicas adecuadas se han podido dar nuevas teorías y grandes pasos científicos. Citemos tres ejemplos típicos del siglo XX: la Teoría de La Relatividad de Einstein, imposible sin el desarrollo de la Geometría diferencial moderna, los estudios sobre compatibilidad que de la mano de Von Neumann condujeron a la creación de las computadoras, y los trabajos de Shannon sobre la Teoría Matemática de la Comunicación de los años 1948 y 50 que sentaron las bases de la Teoría de Códigos y por consiguiente de la moderna transmisión de datos.

CAPITULO II

Generalidades

PROBLEMAS CON Y SIN SOLUCIÓN

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

2.1 PROBLEMAS CON ÚNICA SOLUCIÓN:

2.2 PROBLEMAS CON VARIAS SOLUCIONES O INFINITAS

2.3 PROBLEMAS SIN SOLUCION, ABIERTOS O NO RESUELTO

En ciencia y matemáticas, un problema no resuelto o problema abierto, es un problema que puede ser formulado con mucha precisión, y todavía no ha sido resuelto (ya que no hay solución conocida para él). Ejemplos notables de grandes problemas matemáticos que han sido resueltos y cerrados por los investigadores en

Existen importantes problemas no resueltos en muchos campos, tales como la ciencia computacional teórica, la física y las matemáticas. Uno de los problemas abiertos más importantes en bioquímica es cómo predecir la estructura de una proteína desde su secuencia, este es el llamado problema de la predicción de la estructura de las proteínas.

Es común en las escuelas de postgrado señalar los problemas no resueltos a los estudiantes. Los estudiantes de posgrado, así como los miembros de la facultad a menudo se involucran en la investigación para resolver dichos problemas.

La antigua Grecia fue la cuna de la geometría que se conoce en nuestros días. Célebres personajes enunciaron los teoremas que usamos en la actualidad como Tales de Mileto, que fue quien introdujo los conocimientos sobre geometría de los egipcios en Grecia y quien enunció la conocida teoría de los triángulos semejantes. Otras dos escuelas que tuvieron un papel central en la geometría griega fueron la de Pitágoras y la de Euclides.

El primero fue quien enunció el famoso teorema que lleva su nombre sobre la relación de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Euclides, por su parte fue quien con sus postulados sentó casi definitivamente las bases de toda la geometría griega, excepto por otros personajes posteriores a su muerte. Arquímedes y Apolonio son los dos más destacables de ese período con sus trabajos en cónicas y tangencias respectivamente.

Sin embargo, a pesar del enorme paso que se produjo en el mundo de la geometría en esa época, hubo tres famosos problemas que los matemáticos griegos de entonces no supieron resolver.

• PROBLEMAS CLASICOS DE LA ANTIGUEDAD

• LA CUADRATURA DEL CÍRCULO:

Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar -con sólo regla y compás- un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado, solo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas.

La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.

La posibilidad de cuadrar superficies limitadas por curvas (superficies curvilíneas) y, en especial, la cuadratura del círculo, no habría parecido tan plausible a los griegos de no haber sido por el hecho de que Hipócrates de Quíos demostró que ciertas figuras curvilíneas construidas a propósito por él, llamadas lúnulas, podían cuadrarse. La resolución de la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates creó una falsa expectativa entre los matemáticos de la antigüedad, llevándoles a pensar que podría cuadrarse el círculo.

En el siglo XX Chebotariov y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonhard Euler en el siglo XVIII. De esta forma quedó de manifiesto que la cuadratura de la lúnula no era otra cosa que una solución excepcional de un problema irresoluble, cosa que confundió a los matemáticos durante siglos creyendo que las lúnulas podrían acercarlos a la cuadratura del círculo.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que p es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema. Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.

• LA DUPLICACIÓN DEL CUBO

Se denomina duplicación del cubo al problema de hallar, mediante el uso de regla y compás, el lado de un cubo tal que su volumen sea el doble del volumen de otro cubo de lado dado. Actualmente los instrumentos del álgebra son capaces de resolver este problema de forma trivial, pero la restricción de regla y compás era muy fuerte

• HISTORIA DEL PROBLEMA DE DUPLICACION DEL CUBO

En el año 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas por esa época, muere víctima de la peste que atacaba muy severamente la ciudad. A raíz de este suceso algunos de los habitantes deciden ir a la ciudad de Delfos para hacer consultas al Oráculo de Apolo y saber cómo poder detener la epidemia. La respuesta a la consulta del Oráculo es que deben elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplique el del altar que ya existe. Lo intentaron, es muy seguro, pero también fue igualmente seguro que no lograron evitar el desastre por este medio. La pandemia se disipó con el tiempo, pero el problema matemático planteado permaneció.

De esta forma se inicia lo que se denominará uno de los problemas clásicos de las matemáticas: la duplicación del cubo.

Los primeros intentos por resolverlo:

El primero en abordar el problema sin éxito fue el griego Hipócrates de Quíos. Basándose en el mismo planteamiento lo intentaron otros matemáticos posteriores, tales como Arquites de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, pero todos ellos presentan soluciones aproximadas, en ninguna de las cuales puede resolverse el problema en forma exacta.

La solución: Desgraciadamente, lo único que se pudo comprobar al cabo del tiempo y ya en 1837 fue que el problema no tiene solución, hecho demostrado gracias a los trabajos del geómetra francés Pierre Wantzel. Pierre Laurent Wantzel este matemático francés nace en París, 5 de junio de 1814 – y fallece en París el 21 de mayo de 1848) este señor demostró que varios problemas geométricos antiguos son imposibles de resolver usando únicamente regla y compás. La solución a estos problemas había sido buscada durante miles de años, en particular por los antiguos griegos. Wantzel publicó en el año 1837 en una revista de matemáticas francesa la primera prueba completamente rigurosa de la imposibilidad de trisecar un ángulo con la sola ayuda de una regla y un compás. Wantzel demostró igualmente la imposibilidad de resolver la duplicación del cubo; y la construcción de un polígono regular cuyo número de lados no es producto de una potencia de dos o distinto a cualquier Número de Fermat.

• LA TRISECCION DEL ÁNGULO:

La trisección del ángulo es, junto a la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, uno de los problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia. Se ha demostrado que estos tres problemas, en general, son imposibles de resolver usando únicamente regla y compás, aunque son muy recurridas las aproximaciones.

La trisección del ángulo fue el tercero de los problemas clásicos de la antigüedad griega. Se pretendía trisecar un ángulo, o dicho de otra forma, dividirlo en tres partes perfectamente iguales usando sólo una regla (no graduada) y un compás. Esto, en general, no es posible. Un ejemplo sencillo en donde sí es posible es dividir el ángulo de 90° en 30°. La división de un ángulo cualquiera en su tercera parte, puede lograrse introduciendo curvas auxiliares que permiten su construcción.

El problema de la trisección del ángulo -aunque se ignora su origen- no sería aventurado suponer que se lo plantearon los geómetras cuando supieron bisecarlo por el método que hemos aprendido en el Bachillerato, durante cuyos estudios también nos han dicho que el problema de la trisección es posible en algunos casos particulares: posible -se entiende- con regla y compás.

Para la solución general los griegos utilizaron la curva construida por Hippias de Elea llamada después cudratriz porque también servía para cuadrar el círculo. La cuadratiz (fig. 19) es la curva que pasa por los puntos de intersección de las diversas posiciones del lado AB del cuadrado ABCD girando con movimiento uniforme alrededor de A hasta ocupar la posición AD y el lado BC trasladándose paralelamente a sí mismo y también con movimiento uniforme hasta llegar también a AD.

Hippias imaginó un aparato para describir mecánicamente la curva, de cuya generación se deduce que trazan una recta cualquiera AB, la razón de cuadrante BED al arco BE es la misma que la del segmento BA al GH, de modo que para trisecar el ángulo EAD basta determinar JI = 1/3GH y el ángulo JAD es la tercera parte del EAD.

Los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo, son problemas irracionales, es decir problemas cuyas soluciones son irracionales, y como dependen de  ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con  a regla y el compás  por exigir construcciones en el espacio. La cuadratura del círculo es de otra naturaleza, pues depende del número PI que no puede ser solución de ninguna ecuación de coeficientes enteros, según demostró Lindemann el año 1882, y, por tanto, dicha cuadratura también  es imposible con regla y compás.  A pesar de que desde el año 1775 la Academia de Ciencias de París tomó el acuerdo -adoptado después por otras- de rechazar las pretendidas soluciones de estos tres problemas, siguen lloviendo sobre las corporaciones, científicas multitud de comunicaciones acerca de los mismos, que, naturalmente, van a parar al cesto de papeles sin ser leídas, y esto -que ya está divulgado hasta la saciedad de libros y revistas- no ha bastado, ni basta, ni bastará para curar la enfermedad que padecen los duplicadores, trisectores y cuadradores, a los que hay que añadir los "demostradores» del Postulado de Euclides, empeñados en no emplear más armas que las de los griegos antiguos porque ignoran la existencia de las bombas atómicas de la Matemática actual que han demostrado la insuficiencia de los primitivos artefactos bélicos. Ni qué decir tiene que la ignorancia de los duplicadores, trisectores, cuadradores y postuladores, va unida a una insigne pedantería que les inspira un olímpico desdén por quienes les aconsejan honestamente que se enteren de los trabajos hechos por sus predecesores para soslayar el peligro de descubrir Mediterráneos, porque todos ellos excepción- se creen genios desconocidos, y desde 1uego superiores al medio matemático de su época, y los más enterados se consideran en el caso de un Ruffini, que no con siguió que el Instituto de Francia  examinara su demostración de la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto, o de un Grauss, que no quiso publicar sus investigaciones sobre las Geometrías no-euclídeas por temor al "clamoreo de los beocios".

• HISTORIA DE LAS ECUACIONES

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación   ax + b = c   han pasado más de 3.000 años.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b

x + ax + bx = 0

Donde a, b y c eran números conocidos y   x   la incógnita que ellos denominaban aha o montón.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".

En notación moderna, la ecuación sería:    x + 1 / 7 x = 24

La solución la obtenía por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.

Supongamos que fuera   7   la solución, al sustituir en la x nos daría:   7 + 1/7 · 7 = 8, y como nuestra solución es 24, es decir, 8·3, la solución es 21 = 3 · 7, ya que 3 · (7 + 1/7 – 7) = 24.

Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente. Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8. En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8, encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:

Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:

Esto es:

Es decir, a x = S.

Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.

Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya, y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.

Dada la ecuación   ax + b = cx + d   , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.El método de la doble falsa posición es el siguiente:Sea la ecuación   ax + b = 0   y supongamos dos valores para la x :      x = m       am + b = p       x = n        an + b = q restando,      a (m – n) = p – q Por otra parte, eliminando a en (1)       amn + bn = pn      amn + bm = qm que restando,       b (n – m) = pn – qm y dividiendo ambos resultados,       – a / b = (p – q) / (pn – qm) o también       – b / a = (pn – qm) / (p – q) siendo esto último el valor de   x &nbsp.

Veamos un ejemplo. Sea la ecuación   5x – 10 = 0   , si tomamos como valor de x : x = 3 y x = 4 , y sustituyendo,       5 · 4 – 10 = p       5 · 3 – 10 = q se tiene que       x = (10 · 3 – 5 · 4) / (10 – 5) = (30 – 20) / 5 = 10 / 5 = 2

Este principio fue posteriormente presentado en una forma ligeramente modificada por el método de las escalas. El nombre proviene de un diagrama que permitía escribir la solución rápidamente:

Las dos líneas de la izquierda representan p y q y las de la derecha m y n y la cruz del centro indica que hay que multiplicar.

El método puede ser sintetizado como sigue:

1. Consideran dos valores cualesquiera de la incógnita m, n . 2. Calculan los errores correspondientes a ellos p, q .3. Hallan el valor de la incógnita en función de los valores dados y sus errores.

En nuestro ejemplo,

A partir de aquí se dedican al estudio de ecuaciones de grado superior.

• HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos

Longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor   5   a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería: y + 4x = 28

y + x = 10

Restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de   n   ecuaciones con   n   incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.

Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

• ECUACIONES DE V GRADO

En matemática, se denomina ecuación quíntica o de quinto grado a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general: