Compendio histórico de los problemas matematicos sin solución (página 3)

Actualmente (abril de 2011), solo se conocen 47 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M43.112.609 = 243.112.609-1, un numero de casi trece millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Preguntas abiertas

Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que M257 y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge and Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".

Nueva conjetura de Mersenne

La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cada número natural impar p, si se cumplen dos de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaro que la NCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta.

Conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff

Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no solo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponente p menor que x se puede aproximar asintóticamente por

Relación con otras categorías de números

NÚMEROS PERFECTOS

Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un numero primo de Mersenne, entonces M· (M+1)/2 es un numero perfecto.

Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M· (M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.

Números dobles de Mersenne

Un número doble de Mersenne se define como: donde p es el exponente de un número primo de Mersenne.

Números repunit

Los números repunit (del inglés repeated unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en el sistema binario.

NUMERO DE FERMAT

Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número natural de la forma:

Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2011 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:

¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DE FERMAT

• Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:

NÚMERO DE SIERPINSKI

En matemática, un Número de Sierpinski es un numero natural impar k tal que enteros de la forma k2n + 1 son compuestos (no son números primos) para todos los números naturales n.

En otras palabras, cuando k es un número de Sierpinski, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:

Los números en este conjunto con k impar y k < 2n son llamados Números de Proth.

En 1960 Waclaw Sierpinski demostró que existen infinitos enteros impares que al ser usados como k producen números no primos.

El Problema de Sierpinski es: ".Cual es el menor número de Sierpinski?"

En 1962, John Selfridge propuso lo que se conoce como la Conjetura de Selfridge: que la respuesta al problema de Sierpinski era el número 78,557. Selfridge encontró que cuando 78,557 era usado como k, todos los sets resultantes pueden ser factorizados por miembros del conjunto {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. En otras palabras, Selfridge demostró que 78,557 era un número de Sierpinski.

Para mostrar que 78,557 es realmente el número de Sierpinski más pequeño, debe probarse que todos los números impares menores que 78,557 no son números de Sierpinski. A marzo de 2009 solo faltan por probar seis de estos números, y Seventeen or Bust, un proyecto de computación distribuida, está realizando esta tarea. Si el proyecto encuentra números primos para cada uno de estos seis números, se habrá completado la prueba a la conjetura de Selfridge.

PrimeGrid es un proyecto de computación distribuida que tiene un subproyecto para la búsqueda de números primos de Sierpinski. Esta basados en la infraestructura abierta de Berkeley para la computación en red(Boinc).

CONJETURA DE COLLAZT

La conjetura de Collatz, conocida también como conjetura 3n+1 o conjetura de Ulam (entre otros nombres), fue enunciada por el matemático Lothar Collatz en 1937, y a la fecha no se ha resuelto.

Enunciado

Tiempo de órbita (número de iteraciones) necesario para alcanzar la unidad para números comprendidos entre 1 y 13000.

Cota superior para valores entre 1 y 1300. La línea horizontal superior corresponde a la cota 9232. Esta cota es un valor 'preferido' para muchas secuencias, como las que comienzan con 27, 31, 41, 47, 54, 55, 62, 63, etc.

Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:

• Si el número es par, se divide entre 2.

• Si el número es impar, se multiplica por 3

Y se suma 1.

Estado actual del problema

Aunque no se ha demostrado la veracidad ni falsedad del resultado, existen ciertas evidencias en ambos sentidos [cita requerida].

Si existe algún contraejemplo a la conjetura (es decir, un número cuya secuencia no alcance nunca el 1), debe satisfacer alguna de estas condiciones:

• La órbita del número no está acotada; o bien

• La órbita también es periódica, pero con un período distinto de 4, 2, 1.

Resultados parciales del problema

1. Los números que son suma de potencias de 2 exponente par, como 5 = 1 + 4, 21 = 1 + 4 + 16, 53 = 1 + 4 + 16 +32, 85 = 1 + 4 + 16 + 64 generan el 1 en forma casi directa, como en el ejemplo:

21 · 3 + 1 = 64, que es una potencia de 2 y genera el 1 al dividir 6 veces entre 2.

2. Al agregar un 3 al final a estos números (a partir del 1, el 13, a partir del 5, el 53, a partir del 21, el 213, a partir del 85, el 853, etc.), se obtiene 5, a partir del cual se obtiene 1.

213 = 210 + 3

213 · + 1 = 210 · 3 + 3 · 3 + 1 = 630 + 10 = 640 = 5 · 128

128 es una potencia de 2, por lo que, dividiendo 7 veces entre 2, se llega a 5.

4. Los números que son de la forma 3 mod 6 pueden considerarse como generadores de números mayores. Por ejemplo, el 31 puede generarse partiendo del 27. De la misma forma, el 111 genera el 334 que pertenece a la sucesión de números que empieza en el 27 Se ha propuesto el estudio de patrones en sistema binario para el estudio de las propiedades de los números expresados como polinomios de potencias de 2, lo que simplifica el estudio de las propiedades de los mismos. Luego 11010111…1, etc.

Pueden ser demostrados los teoremas correspondientes. Por ejemplo, los números como 5, 21, 53, 85, etc., tienen una expresión del tipo 10101..01 en sistema binario. Esos números son, entonces, los coeficientes de un polinomio en potencias pares de 2.

CONJETURA DE ABC

En teoría de números, la conjetura ABC fue formulada por primera vez por Joseph Oesterle y David Masser en el año1985.

NÚMERO PERFECTO IMPARES

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

Aparte, y considerando la suma de los divisores propios existen otros tipos de números.

• Números defectivos: la suma de los divisores propios es menor que el número.

• Números abundantes: la suma es mayor que el número.

• Números amigos: a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y viceversa.

• Números sociables: como los amigos, pero con un ciclo mayor de números.

Historia

El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula:

n = 2: 21 × (22 – 1) = 6

n = 3: 22 × (23 – 1) = 28

n = 5: 24 × (25 – 1) = 496

n = 7: 26 × (27 – 1) = 8128

Al darse cuenta que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n-1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto.

Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:

1. El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

2. Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.

El quinto número perfecto (33550336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8589869056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)

Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces 2n-1(2n – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marín Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.

Posteriormente, Leonhard Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.

No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.

Cuestiones abiertas de este caso

• Determinar si existen infinitos números perfectos. (Hasta el año 2008 se conocían 46 números perfectos.)

• Demostrar la imposibilidad de un número perfecto impar o encontrar uno.

EL PROBLEMA INVERSO DE GALOIS

Este es un Problema no resueltos de la matemática: Todo polinomio con coeficientes racionales lleva asociado un grupo de Galois, pero ¿es cierto que todo grupo finito es grupo de Galois de algún polinomio?

En teoría de Galois, el problema de Galois inverso plantea si todo grupo finito puede ser el grupo de Galois de alguna extensión de los números racionales. Este problema, propuesto inicialmente por Hilbert en el siglo XIX, permanece sin resolver.

Más generalmente, sea un grupo finito dado, y sea un cuerpo. Entonces la pregunta es: ¿existe una extensión de cuerpos galoisiana tal que el grupo de Galois de la extensión sea isomorfo a? Se dice que es realizable sobre si dicho cuerpo existe.

Resultados parciales

Este criterio puede, por ejemplo,

Emplearse para demostrar que todos los grupos simétricos son realizables.

Autor:

José Felix Ruiz

Edgar Rodriguez

UNIVERSIDAD DE PANANA

EXTENSION SONA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

ESCUELA DE MATEMATICAS

PARA OPTAR POR EL TITULO DE LICENCIADO EN MATEMATICAS

2011

SANTIAGO DE VERAGUAS