Obviamente, el modelo cuantitativo de un centro comercial tendría una expresión diferente en un astillero, como el de una panadería lo tendría en relación a una caja de cambios y este ante una boutique. Habría también alteraciones en relación al local, el paradigma de una fábrica de colchones sería diferente entre un lugar y otro (basta citar a título de ejemplo, algunos factores diferentes en esos centros de actividades, tales como ambiente natural, condiciones étnicas, organización social, madurez política, tradición educativa, ética, mercado, carga tributarias e intereses. El modelo teórico seria el mismo, pero el cuantitativo se alteraría en nuestros ejemplos referidos.
Un modelo cuantitativo debe ser considerado dentro de probabilidades de acontecimientos que tipifican realidades, poseyendo por tanto, un aspecto relativo. Los problemas de incertidumbre, o sea la influencia del riesgo, que afligen al movimiento patrimonial, obliga el buen sentido, apelando a las probabilidades aplicables a los modelos cuantitativos (hecho relevante en la Teoría del Sistema de Invulnerabilidades del Neopatrimonialismo).
Criterios aplicables a los Modelos
Una hacienda requiere tener el patrimonio apropiado para respaldar las capacidades de: pagar, ganar, contrarrestar, sobrevivir, protegerse contra el riesgo, evitar el despilfarro, asumir el tamaño apropiado y concordar con los agentes transformadores.
En este punto, se hace exigible un análisis acerca del modo de interacción e integración de aquellos elementos promotores del fenómeno patrimonial, es decir, se requiere establecer las "correlaciones funcionales" de los componentes del rendimiento ante las demás funciones patrimoniales en cada emprendimiento,
La aplicación de los medios patrimoniales de cada sistema hacendal estructura funciones en las que intervienen dos componentes:
Las necesidades propias y específicas que erigen unas finalidades de satisfacción al emprendimiento.
Los medios patrimoniales o bienes que suplen las utilizaciones del funcionamiento.
A cada uno de los agregados referidos debe operar una comparación, como puede ser:
Así por ejemplo, en cuanto al caso antes considerado, en el que el Modelo se centra en la proposición:
Tendremos que la Ganancia Neta (Ik) como resultante del subsistema, es a las Ventas (Y), estas que son necesarias como recuperación de la inversión incrementadas por la ganancia, así como las Ventas (Y) como medios para hacer crecer la producción están para las inversiones en producción (It), estos como necesidades para obtener el resultado.
El modelo podría, también obtener otro tipo de relación, como criterio, por ejemplo, una resultante en razón (reciproca) de los medios (It / Y) y estos en relación con la necesidades (Y / Ik), siempre sobre la óptica holística o de las relaciones lógicas patrimoniales de naturaleza esencial, dimensional y ambiental. Depende de la lógica, la metodología (como ya fue referido) de lo que se pretende encontrar para la orientación del análisis, o sea, la percepción que se pretende tener. De cualquier forma, todavía lo sugerido obedece al rigor lógico de comparar lo que se consiga con lo que se precisaba conseguir.
Esta confrontación entre medios y necesidades genera unos resultados que por naturaleza deberían ser eficaces (Ea), es decir, los medios patrimoniales (m) deben ejercer funciones competentes para anular las necesidades (n) de cada subsistema hacendal.
Igualmente, las necesidades patrimoniales (Pn) se renuevan después de cada satisfacción tendiendo a derivar una nueva necesidad, estas tienden a infinito, o sea, teóricamente, en notación matemática:
Lo ideal es que se produzca una eficacia (Ea), esta que ocurre cuando las necesidades patrimoniales (Pn) son satisfechas (Pn =0) y que la continuidad de tal acontecimiento sea ilimitada, resultando, de esto una prosperidad (Ps). En notación, esto es:
La metodología de las proporciones
Un modelo científico del sistema de funciones patrimoniales convenientemente estructurado por razones y proporciones de relaciones funcionales sistemáticas de eficacia direccionada a la prosperidad, habría de estar considerando como eficaz (que anula la necesidad) pasando a ser instrumento de medición de una realidad a ser alcanzada con base a identidades de relaciones entre hechos patrimoniales seleccionados de liquidez, de producción, de ventas, de ganancias, etc…
Es importante tener en mente que una resultante del sistema de funciones patrimoniales muestra como ocurre una relación entre los elementos patrimoniales que fueren utilizados y como se comportarán para anular las necesidades, lo que puede resultar en algo satisfactorio (eficacia) o no satisfactorio (ineficacia).
En tratándose de la aplicación de las proporciones como una opción metodológica, al establecer relaciones directas entre una resultante y los medios, el objetivo será siempre el conocimiento del comportamiento de la resultante ante los componentes del sistema y, todavía, será preciso evaluar lo que se consigue con lo que se dispone de medios patrimoniales (funciones ejercidas) de cara a las necesidades existentes; esto es, la confrontación entre resultante de un sistema y sus componentes (necesidades y medios) y un recurso racional de medición de la "eficacia", del resultado, del esfuerzo desempeñado, para anular lo que se precisaba y colmar los fines pretendidos.
Obviamente, el paradigma referido estará tanto más próximo a la realidad, cuanto más fueren los campos de las relaciones dimensionales y ambientales considerados en la construcción del mismo. En la práctica, el incremento ocurrido en los elementos del sistema de liquidez que se halla en una correlación constante y obligatoria, sus combinaciones pueden dar lugar a ciertas discrepancias que quiebran el rigor matemático sugerido por el modelo.
La proporción que sugiere el Neopatrimonialismo Contable, no se refiere apenas a razones exclusivas en cuanto a magnitudes, sino que incluye otras consideraciones de orden lógica de índole correlativa. Las proporciones siguen la lógica de las identidades pero sobre un enfoque de naturaleza holística, es decir, estas no se limitan apenas al aspecto del tamaño en sí, sino con todo lo que sobre ella influye.
Así, por ejemplo, en el Sistema de Liquidez (Dos Santos, 2009), es preciso analizar:
Las deudas y desembolsos, como necesidades patrimoniales de pagos,
Recursos de caja, créditos por recibir, provisiones de bienes destinados a la venta,
que son recursos financieros o medios para cubrir los pagos y,
Lo que resulta de la confrontación entre tales componentes del sistema.
La eficacia del sistema de liquidez en un determinado tiempo implica la anulación de la exigibilidad pertinente al mimo tiempo. Esto implica que la eficacia de la liquidez ocurrirá siempre cuando las necesidades de pago pudieren ser cubiertas, tempestivamente, por los medios de pago, sin que ocurran variaciones anómalas entre los elementos en comparación (como por ejemplo, un desnivel entre una variación del cociente de liquidez y la variación de exigencias en el corto plazo.
Así, por ejemplo, una resultante del sistema de liquidez (RSL), es a las necesidades exigibles (Ex) en el corto plazo, así como los medios disponibles y realizables (D + R) están para las necesidades exigibles en el corto plazo.
La resultante (liquidez) medirá relativamente lo que se tiene que pagar (Exigibilidades), así como los medios patrimoniales (Disponibles y Realizables) lo hace con su comportamiento ante las necesidades pertinentes (Exigibles en el Corto Plazo)
Una mirada sobre los estados eficaces del patrimonio debe derivarse de aquella que considera los propósitos idealmente deseables en cuanto al comportamiento de la riqueza. Es natural que el aumento en medios patrimoniales productivos haga crecer el volumen de producción y reducir los costos unitarios con lo que se aumentara el margen de ganancia, asumiendo la misma capacidad del mercado para adquirir los aumentos de la producción.
En la Resultabilidad, por ejemplo, los medios representan la sumatoria del costo del producto y el margen de remuneración del capital aplicado, por una parte y, por la otra, la necesidad, es el ingreso que permite recuperar el costo y trae consigo el margen (De Souza, 2009). El costo conveniente define la inversión de capital que posee las condiciones para ofrecer productos competentes ante la concurrencia de otros compradores y, también, soporta una tasa de remuneración a la empresa que hace parte de la formación de precios convenientes de venta. La eficacia del subsistema de resultabilidades surge cuando se satisface la necesidad del ingreso de modo que entrega a la empresa los valores de recuperación de la inversión en costos y cubren además, un margen satisfactorio de remuneración del capital aplicado. Cada componente del patrimonio hacendal presta diversas utilidades o servicios, es decir, diversas funciones.
Aunque en el Sistema de Resultabilidad, un modelo para la gestión eficaz del lucro sea por esencia, una situación deseable de alcanzar, fundamentada en relaciones ideales y, siempre, de naturaleza teórica, su materialización o no, es algo que estará sujeto, en todos los casos, a un número significativo de variables.
En el caso de la previsión de la ganancia como instrumento de gestión, suelen utilizarse modelos contables construidos para tipificar el comportamiento pasado o presente de determinada gestión. La consideración del rendimiento referido a un plazo proyectado difiere de aquella situación teórica aplicada en la construcción de modelos de comportamientos necesarios para explicar los movimientos presentes. Dado que la vida de las empresas es el resultado de un sinnúmero de variables, las prospecciones a muy largo plazo pueden conducir a modelos inadecuados.
En consecuencia pues, cuando un análisis sigue un paradigma, la opinión más adecuada sobre la conducta de un patrimonio, se emite a partir de un régimen comportamental esperado, pero también comparativo e incluyente, debiendo expresar una plena capacidad de satisfacción de todas las necesidades patrimoniales de la empresa o de la institución, en carácter permanente.
Hipótesis de una eficiencia global
Las funciones patrimoniales operacionalizan los movimientos de la riqueza. Como los medios patrimoniales ejercen diversidad de utilidades, también despliegan "diversas funciones", jerárquicamente subordinadas como naturalezas de las necesidades (Nepomuceno, 2008), así:
Básicamente: las capacidades de Pagar (liquidez), obtener ganancias (resultabilidad), mantener el equilibrio (estabilidad), tener vitalidad (economicidad)
De forma auxiliar: Protegerse contra los riesgos (invulnerabilidad), ser eficientes o producir adecuadas utilidades (productividad)
Como meta suplementaria: dimensionarse de forma competente (elasticidad), contribuir como agente para el entorno (sociabilidad)
Tales capacidades de los medios para generar utilizaciones con las cuales satisfacer las necesidades son las que justifican la existencia de cada uno de los sistemas de funciones patrimoniales, susceptibles de asumir modelos de eficacia (paradigmas de satisfacción de las necesidades en cada uno)
Cada vez que se estudia una empresa, es necesario analizar la eficacia de cada uno de los ocho sistemas de funciones, esto es, medir su capacidad integral para funcionar eficazmente. Una empresa puede tener buena capacidad de pago, y no tener capacidad de lucro, puede tener capacidad de generar ganancias o lucro y no tener capacidad de pago, puede que no produzca desperdicios pero tampoco generar ganancias, o puede estar lucrándose muy bien sin tener buena productividad.
Un sistema de funciones eficaz, tiende a influir positivamente sobre otros sistemas y, estos sobre otros, en un régimen de reciprocidad y de integración. Así, por ejemplo, si una empresa aumenta sus ganancias, tiende a poseer más recursos para pagar al día, si paga al día comienza a tener mayores posibilidades de obtener mayores ganancias, mayores oportunidades de efectuar compras y mayores oportunidades de contratar a personal mejor calificado. A esa correlación de eficacias se le denomina interacción perfecta.
Un modelo de sistema de funciones patrimoniales (S), por tanto, debe considerar las razones existentes entre una resultante del mismo (Rs) y las necesidades conocidas (para medir una relación entre el efecto funcional y la capacidad ejercida antes de la necesidad), debe también considerar una correlación entre los medios (Pm) y las necesidades patrimoniales (Pn).
Una expresión, pues, podrá ser:
La cual, en palabras, dice: "La resultante (RsSx) de un sistema de funciones patrimoniales cualquiera es a las necesidades patrimoniales pertinentes (PnSx) así como los medios patrimoniales (PmSx) están para las necesidades patrimoniales del mismo sistema".
La eficacia de cada subsistema contribuye a la global, mediante su participación como sumando en la sumatoria de todos. Cuando en determinado instante los subsistemas de liquidez, resultabilidad, estabilidad, economicidad, productividad, invulnerabilidad, elasticidad y socialidad sean eficaces, así evidenciados por las resultantes de cada uno, entonces también existirá la eficacia global, representada por la sumatoria de todos los sistemas.
Como cada una de esas funciones es autónoma (puede haber liquidez y no haber resultabilidad, puede haber resultabilidad y no haber liquidez, etc.,) así la totalidad eficaz puede representar una cualidad plena. El comportamiento de sujeción de la resultante de cara a las necesidades en cada sistema, tiene el mismo comportamiento de sujeción de los medios en relación a las necesidades, como lo tiene también, la sumatoria de las resultantes de todos los sistemas para la satisfacción de todas las necesidades.
Con el fundamento en todos estos argumentos lógicos es posible estructurar una hipótesis de modelo global, como representativo de una síntesis, así:
Donde dice que: "la sumatoria de la Resultante (Rs) de todos los Sistemas (S) es a la sumatoria de las necesidades patrimoniales (Pn) pertinentes, así como la sumatoria de los Medios patrimoniales (Pm) en todos los sistemas (S) está para la sumatoria de las necesidades (Pn) lo que implica la anulación de todas las necesidades, implicando lógicamente, la Eficacia Total (EaT)"
O sea, habrá eficacia en cualquier centro de actividades (una filial por ejemplo), si en un tiempo "x" (un semestre, por ejemplo) la resultante del sistema así se comporta. O sea, un aumento del cociente de liquidez (implica la anulación del aumento del exigible ( (las deudas no crecerán proporcionalmente), por lo tanto, ocurre una eficacia especial (Eae):
Tal consideración equivale a la ocurrencia del fenómeno de plena liquidez temporal pero no es el fruto de apenas consideraciones cuantitativas, por incluir estas y aquellas relaciones espaciales y temporales (Lopes de Sa, 2008). Como puede verse, lo que establece el Neopatrimonialismo Contable como objetivo no puede ser una simple división entre magnitudes para encontrar relaciones, sino que más allá de esto, interesa conocer todos los elementos que influyen en las relaciones de los componentes patrimoniales de un sistema específico, con base a la proporcionalidad que implica una visión dinámica y holística.
Así, pues, la evaluación de cada una de las capacidades que sean ejercidas por los sistemas, dependerá siempre de la consideración sobre una utilización competente de los medios patrimoniales ante las necesidades. Es posible pues, concluir que el papel de un consultor contable ante el estudio de las funciones de una empresa o institución debe partir del análisis de cada sistema, pero con vistas a considerarla globalmente, así como las circunstancias de los agentes causales que modificaran los estados patrimoniales.
La opinión del consultor contable ante los cambios en las variables
El juzgamiento global sobre la situación de una empresa o institución a través de los elementos contables, depende del examen de eficacia de todos los subsistemas de funciones patrimoniales (Goncalvez da Silva, 2009). La eficacia global existirá cuando todas las necesidades del emprendimiento estén satisfechas o anuladas.
No basta que los medios superen las necesidades, es necesario que tal hecho ocurra tempestivamente y con armonía ante las variaciones entre los componentes del sistema y la resultante de este.
Las variaciones que experimentan los elementos de las formulas y axiomas pueden alterar la estructura y la dinámica que sugiere un modelo contable pertinente. No se trata de despejar las dudas, ni de validar las previsiones ni verdades de los modelos contables, sino más bien de conciliar de forma lógica las condiciones sobre las que los mismos se aplican y como se armonizan sus contenidos.
Definitivamente, la indagación sobre las razones que promueven la ineficacia estructural o funcional del estado patrimonial es una tarea de importancia crucial en la opinión de un analista. La inflexibilidad no es buena consejera cuando los fenómenos que se consideran son plenos de complejidad, sujetos a innumerables variables y a cada naturaleza de organismo en sus espacios y tiempos. La afirmación sobre un estado patrimonial, un sistema de funciones, lo mismo que un elemento aislado, requiere encontrar razones que lo fundamenten
Observar que algo discrepa de un modelo es apenas un indicio, para formar opinión a ser ofrecida por un consultor. La obtención de cocientes, índices, proporciones, estadísticas, etc., por si solos, no representan una conclusión global, siendo apenas instrumentos encaminados a satisfacer entendimientos que deben sustentar opiniones. Los parámetros poseen la rara importancia de producir imágenes de estados ideales pero apenas muestran un reflejo sobre la realidad derivada del curso de los elementos patrimoniales. Mas bien, ejerciendo más profundas verificaciones sobre las desviaciones de los modelos cualitativos nos acercaremos mas objetivamente a las causas. "Que el modelo cualitativo como idea, haya sido o no materializado, es un recurso que solo la ciencia puede ofrecer, exigiendo conocimiento de naturaleza doctrinaria y experimental."
Los constructos que fundamentan las proposiciones lógicas de proporcionalidad constante para la eficacia del rendimiento quedan condicionados en calidad y cantidad por las restricciones sobre los entornos ambientales del patrimonio y de los centros de operaciones, todo ello relacionado con lo que pueda ocurrir sobre las causas o efectos a través del tiempo. Esa es la razón para la complementariedad de la causa y efecto de los fenómenos contables por la dimensionalidad, otorgándole profundidad a la percepción y tornando más eficiente el juicio sobre lo acontecido.
En las empresas de ciclos de producción prolongados (como la silvicultura, la construcción, etc.) por ejemplo, la apariencia de la información contable puede denunciar deficiencia transitoria, pero esta tiende a revertirse cuando ocurre aquella venta que se encontraba en proceso de formación o de producción. Igual sucederá con una empresa en reorganización o en modificación de líneas de productos o desarrollo de nuevos locales comerciales.
Los errores indicados por las diferencias entre modelo y realidad, pueden tener tanta ocurrencia en la estructura o composición del patrimonio, cuanta en la dinámica o proceso de movimiento de este. Las inversiones excesivas o deficientes, los financiamientos excesivos o la falta de recursos financieros, son fallas comunes que llevan al patrimonio a desequilibrios de estructura. También, la lentitud en la rotación de los inventarios, las deficiencias en las cobranzas de los créditos a recibir, los procedimientos errados en los métodos de producción aplicados, pueden causar fallas de dinámica capaces de agravamiento de las situaciones.
La filosofía del Holismo es un enfoque sobre la continuidad de los emprendimientos que exige la observación global de un todo sobre la óptica de un movimiento armónico. "El método inspirado en el holismo, exige la observación global de la riqueza patrimonial a partir de la esencia (necesidad, finalidad, medios patrimoniales y funciones), en todas sus dimensiones (causa, efecto, tiempo, espacio, cualidad, cantidad) y ambientes (internos y externos) que poseen influencia como fuerzas agentes que mueven la riqueza".
La secuencia del trabajo técnico que debería desarrollar un consultor contable habría de ser:
1. Seleccionar modelos cualitativos teóricos
2. Cuantificar los modelos teóricos elegidos dentro de la realidad
3. Considerar las probabilidades en las cuantificaciones
4. Recopilar datos sobre las manifestaciones pertinentes
5. Comparar las cuantificaciones con las realidades efectivas o evidenciadas
6. Considerar los factores de mutaciones, especialmente los agentes que producen las transformaciones del patrimonio
7. Establecer las variaciones de las comparaciones y,
8. Buscar conocer las razones de las variaciones
El control de los sistemas contables dinámicos
Habitualmente los sistemas contables son modelados con mayor o menor eficiencia mediante el auxilio de las relaciones financieras. Sin embargo, es posible modelar procesos contables de infinitas maneras, como en el presente caso en el que pretendemos emular sistemas físicos cuyos comportamientos se proponen similares al de los procesos contables. Es decir, la escogencia de los sistemas físicos que hayan de ser emulados para el modelamiento de algún sistema de otra naturaleza, depende del problema a resolver, del criterio del analista y del intervalo de validez que se pretenda tener para el modelo resultante.
Figura N° 1: Modelo circulatorio de los procesos contables (Ejecutivos, Finanzas, 03/1977)
Definiciones y notación básica
La reproducción artificial de fenómenos o hechos físicos y su integración en una red de procesos realizados en serie o en paralelo con otros fenómenos es parte de los que se conoce como modelamiento, simulación y control de procesos. El Control de sistemas es la capacidad de ejercer restricciones o influencia directa sobre un determinado proceso o red de procesos simulados para hacerlos funcionar conforme a un plan. La siguiente figura representa las características de un modelo circulatorio de los procesos contables.
Un sistema dinámico es un conjunto de cantidades que dependen del tiempo, los cuales identifican los objetos de interés. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con bastante precisión.
Todo modelamiento debe contar con suficiente información como para poder tipificar las tendencias del desempeño de los procesos y entonces poder proyectar su dinámica. Por ejemplo, para el caso al que apuntamos sobre control de las ventas a través del nivel de cartera o viceversa, requerimos contar con el tipo de registro estadístico que se muestra en los Anexos N°1 y N° 2, de los que se puede optar por tomar los promedios como variables, o si es del caso, tomar los datos reales por considerar que estamos ante un régimen de funcionamiento en estado estable.
Para modelar el comportamiento de sistemas dinámicos que varían con el tiempo, existen diversas estrategias (Jiménez, 2003), entre ellas, las más difundidas son:
a) Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) o ecuaciones de diferencias (ED)
b) Funciones de transferencia (FT)
c) Diagramas de bloques (DB)
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Una ecuación diferencial de un sistema dinámico, es un modelo matemático que representa la relación entre las variables de entrada del sistema y las variables de salida, para una característica o estado del sistema en particular, como una función del tiempo.
Las variables son las dimensiones que muestran cómo evoluciona el estado del sistema, es decir, son el conjunto de menor tamaño posible de variables que contienen la información necesaria para predecir la evolución del comportamiento del sistema en forma única. Cualquiera que sea la interpretación que se adopte, debe tenerse presente que:
a. las variables pueden tener o no sentido físico
b. las variables pueden o no ser medibles
c. para un mismo sistema dinámico, las variables no son únicas, de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables.
La forma genérica de una EDO es una ecuación del tipo:
En la que y(t) es la variable de salida y u(t) es la variable de entrada. El número entero "n" es la máxima derivada de la salida y se denomina "orden" del modelo. Un caso particular de gran utilidad para tratar gran variedad de problemas se da cuando el sistema es lineal: En este caso la EDO toma la forma:
en la que ai y bi son constantes y por lo tanto describen un sistema lineal e invariante en el tiempo. Los sistemas físicos se estudian muy eficazmente con el auxilio de los sistemas de ecuaciones simultáneas. El modelo matemático equivale a una o a un conjunto de ecuaciones matemáticas que representan la dinámica del sistema con exactitud.
La representación grafica de los estados solamente es posible para sistemas lineales mediante un punto en el espacio de estados. El espacio de estados se refiere al espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas X1, X2, …Xn están formados por las variables de estado. Si consideramos solamente dos ejes de coordenadas formados por la variables X1 y X2 , cada punto representa la intercepción de los trayectos descritos por el sistema cuando se utilizan simultáneamente estas dos variables. Si consideramos tres variables (X1, X2, X3) aún es posible la representación en tres dimensiones sobre el papel de los trayectos del sistema, pero cuando el numero de variables es mayor, ya no es posible la representación directa de las emergencias de las variables por lo que muchas veces se acude a la estrategia de la reducción de la dimensión del sistema teniendo en cuenta la interrelación entre las variables.
Si se necesitan m variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas m variables se consideran los m componentes del vector de estado x, que en notación se representa del siguiente modo:
Por lo tanto, un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t > to una vez que haya sido conocido el estado en t = to y sea especificada la entrada u (t) para t > to.
Para representar el sistema dinámico como un espacio vectorial de las variables de estados, se definen las variables de estado expresadas en función de la función de salida:
por lo que el espacio de estados en su forma matricial se compone de las siguientes dos ecuaciones lineales (Ogata, 1993) o linealizadas de primer orden:
X"(t) = A.x(t) + B.u(t)
Y(t) = C.x(t) + D.u(t)
en las que, por ejemplo, las matrices A, B C y D cumplen:
Funciones de Transferencia
La modelación mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo conduce a modelos en el espacio de estados para la descripción interna o, a modelos de función de transferencia para la descripción de la dinámica del comportamiento externo. En lo externo, las relaciones (cocientes) entre salidas y entradas de cada componente del modelo se operacionalizan mediante las funciones de transferencias [G(s)].
Toda función de transferencia se puede representar en variables de estado X1, X2,…Xn en el domino del tiempo, siendo "n" el numero de estados igual al grado del polinomio denominador. , sin embargo, a mayor grado surge la necesidad de tener que eliminar las derivadas de la función de entrada mediante sucesivas integraciones estaría introduciendo errores y ruidos cada vez mayores e inconvenientes.
Una de las aplicaciones más importantes de la Transformada de Laplace es cambiar una variable de estado "X" como función de entrada a otra función "s" en el dominio de la frecuencia compleja. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante, La gran ventaja de las transformaciones de Laplace es que incorporan los valores iniciales de las ecuaciones en la solución, con lo que se obtiene una solución completa, es decir, la solución general y sus valores iniciales.
En general, la función de transferencia de un sistema lineal con coeficientes constantes invariantes en el tiempo está dada por el siguiente cociente de polinomios:
la cual se define como el cociente formado entre la transformada de Laplace del polinomio de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace del polinomio de la entrada (función de excitación), suponiendo nulas (cero) todas las condiciones iniciales.
El hecho de trabajar con funciones de transferencia, simplifica en gran medida el manejo matemático de los sistemas. El problema que surge entonces es que las variables de estado se deben definir de tal modo que en la ecuación de estado queden eliminadas las derivadas de u. Para ello contamos con los artificios mostrados en la figura. Esta figura muestra la simbología de los operadores de integración, en la que la primera de ellas, expresa la aplicación de un operador en un espacio de estado no lineal:
En los sistemas con derivadas de orden mayor, se deben asociar las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO"s) con operadores de integración (s-1) cuyas salidas son consideradas como las variables que definen el estado interno del sistema, es decir, cada operador funge de función de transferencia, permitiendo que las ecuaciones diferenciales se transformen en ecuaciones algebraicas lineales capaces de distribuirse sobre sumas o restas y las operaciones pertenecientes al dominio de la frecuencia compleja se convierten en multiplicaciones simples..
Figura N° 2: Operadores de integración
Así entonces, para un sistema lineal e invariante con el tiempo (De la cruz, 2005) del que se conozca la función de transferencia, podríamos tener:
Por lo tanto, después de simplificar la ecuación 2, del numerador podemos escribir:
e igualmente, el tratamiento del denominador de la ecuación 2 arroja:
en las que se cumple:
Diagramas de Bloques
Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada componente del modelo, se utilizan los diagramas de bloque. Cada bloque representa la función de transferencia que relaciona las corrientes de entrada y salida. Es decir, un bloque es un símbolo para representar la operación matemática que convierte la señal de entrada en salida y es por ello que la dirección siempre será única e indicará el flujo causal con su efecto y también el flujo de la información.
La figura muestra un diagrama de bloques del modelo de un proceso circulatorio contable. Debe señalarse que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único, sino que es posible dibujar varios diagramas de bloques de un sistema y, recíprocamente, muchos sistemas diferentes y no relacionados entre si, pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques. Todo dependiendo siempre, del criterio del analista (Ogata, 1995).
Figura N° 3: Diagrama de Bloques del Modelo circulatorio contable
Un diagrama de bloques tan complicado por tener tantos lazos de retroalimentación puede ser objeto de reordenamiento siguiendo las reglas del algebra de bloques. Sin embargo, para nuestro propósito solo mencionaremos algunas de estas reglas.
En esta figura, un punto suma está indicado mediante un círculo con una cruz. El signo de más o de menos en cada extremo de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Solo pueden sumarse o restarse cantidades que tengan las mismas dimensiones y unidades de medición. También, desde un punto ramificación parten las señales que se dirigen a otros bloques o puntos suma.
Cuando una salida se realimenta a un punto suma para integrarse con la entrada expresada en la misma dimensión y unidades, estamos frente a un sistema en lazo cerrado, como lo muestra la siguiente figura en la que se cumple X2(s) = G3(s).X3(s) e igualmente, X3(s) = X5(s) + X6(s):
Figura N° 4: Sistema en lazo cerrado
Ahora bien, un lazo es abierto cuando la salida no tiene efecto sobre la acción del control, es decir, cuando existe alguna modificación de la corriente entrante antes de encontrar la entrada del sistema. Generalmente, esta función la efectúa un sensor [H(s), K(s) etc.], configurando un nuevo elemento de realimentación, encargado de medir la corriente entrante.
Por ejemplo, al referirnos al modelo circulatorio del proceso contable de la Figura N°2, que expresa flujo de efectivo, debemos tener en cuenta que las corrientes X5 y X6 significan "Contribución de la corriente respectiva a las Utilidades" o sea, la porción de ganancias que a través de X4 se vierten al sistema, por lo cual, se hace necesario convertir el efecto utilidades que ellas conllevan, al efecto ingresos, utilizando para ello el concepto de "margen de utilidad (m)" de la siguiente manera:
Valor de la corriente de Ingresos (X4) = [Valor de las corrientes contributivas (X5 + X6)] /m
El modelo circulatorio del proceso contable, mostrado en la Figura N° 2, es un sistema en lazos sujeto a una perturbación [P(s)], en el que se cumplen las siguientes ecuaciones:
X1(s) = G2(s).X2(s)
X2(s) = G3(s).X3(s)
X3(s) = P(s) + X7(s)
X4(s) = X5(s) + X6(s)
X5(s) = K(s).X1(s)
X6(s) = H(s).X2(s)
X7(s) = G4(s).X4(s)
finalmente, las corrientes entrantes se integran como:
P(s) + X7(s) = P(s) + G4(s). X4(s) = P(s) + G4(s).[K(s).X1(s) + H(s).X2(s)]
X3(s) = P(s) + G4(s).[K(s).X1(s) + H(s).X2(s)]
de donde despejamos:
X2(s) = G3(s).[ P(s) + G4(s).[K(s).X1(s) + H(s).X2(s)]]
X2(s).[1 – G3(s).G4(s).H(s)] – G3(s).G4(s).K(s).X1(s) = G3(s).P(s)
Un sistema de lazo cerrado es aquel donde la señal de salida tiene efectos sobre la acción de control. Por ejemplo, para hallar la función de transferencia de la trayectoria directa de la perturbación P(s) en la siguiente expresión:
[X2(s)] / [P(s)] = [G3(s).G4(s)] / [ X3(s).[1-G3(s).G4(s).H(s)] – G4(s).K(s).X1(s)]
cuando K = 0, tendremos una FT de la trayectoria directa en lazo cerrado, esto es:
[X2(s)] / [P(s)] = [G3(s).G4(s)] / [ X3(s).[1-G3(s).G4(s).H(s)]]
En general, los diagramas de bloques y los métodos gráficos permiten deducir sistemas de ecuaciones de Entrada/Salida que resultan más apropiados para los sistemas complejos.
A veces, gráficamente, la operación del integrador pareciera más comprensible leyendo los diagramas de derecha a izquierda.
La metodología a seguir para pasar desde una EDO, o una FT, al DB se inicia partiendo desde de la salida y en forma retrospectiva se van colocando tantos integradores "s-1" como sea el orden del sistema. De este modo, la salida va antecedida por "n" derivadas entre las que además de los bloques integradores, se intercalan los bloques estáticos que fueren necesarios y eventualmente derivadores antes de llegar a la entrada del sistema. Por ejemplo, para la función de transferencia dada según la ecuación 2, los integradores utilizados, tal como se muestra en la Figura N° 5 son los siguientes::
X1 = s-1X2
X2 = s-1X3
X3 = s-1X4
Figura N° 5: Diagrama de bloques de la función de transferencia dada por la Ecuación 2
Metodología del modelado de mediciones físicas o de variables matemáticas
Figura N° 6: Metodología del Modelado
Con el objetivo de simular un proceso se requiere el disponer de un modelo representado por mediciones físicas o por variables matemáticas con el que se pueda reproducir un fenómeno natural en un medio controlado. La metodología del modelado comprende:
CONCEPTUALIZACION
Dada la naturaleza compleja del control de los sistemas, un sistema puede estar conformado por varios subsistemas más simples interconectados, con base a simplificaciones ya probadas en problemas similares, donde cada uno de ellos contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por diferentes disciplinas.
De acuerdo al criterio del autor, un sistema hidráulico permite introducir simplificaciones ventajosas para la simulación de la presión que ejercen los niveles de cartera imponiendo regulaciones sobre la fuerza de ventas para mantener el flujo del capital de trabajo necesario y, también para simular el efecto de los niveles de utilidades acumuladas y dividendos por pagar ejercen regulación sobre la corriente de nuevas reservas que crean los empresarios e inversionistas para mantener el flujo de requerido de actividades.
Por su parte, un sistema mecánico permite buenas simplificaciones para simular la ejecución del costo de producción, los gastos de operación y la distribución de dividendos por su marcada relación con el efectivo disponible.
En los siguientes párrafos estaremos refiriéndonos al diseño de un modelo de control del proceso contable de la empresa Calcáreos del Caribe S.A., cuyos datos operacionales aparecen en el Anexo I al final del presente capitulo, con el fin de disponer de un medio de control capaz de mantener el proceso bajo condiciones de operación deseables.
Se parte de la hipótesis de que el comportamiento del sistema contable (prototipo) de la empresa Calcáreos S.A. guarda similitud dinámica con el proceso circulatorio (modelo) representado en el diagrama de la figura N° 1. Igualmente, para su mejor explotación, se considera que este modelo circulatorio puede dividirse en dos subsistemas más simples interconectados, el primero, emulando un sistema hidráulico compuesto por dos tanques interconectados sin interacción sobre las respectivas alturas del liquido en sus estados de régimen estable y, el segundo, emulando un sistema mecánico masa-resorte-amortiguador.
La similitud dinámica significa igualdad de la relación entre las fuerzas dinámicas en puntos homólogos del prototipo y del modelo. Según la teoría de la similitud establecidas por Kline: "Si dos sistemas obedecen al mismo grupo de ecuaciones y condiciones gobernantes y, si los valores de todos los parámetros y las condiciones se hacen idénticas, los dos sistemas deben de exhibir comportamientos similares con tal de que exista una solución única para el grupo de ecuaciones y condiciones"
FORMALIZACION
Sistemas Hidráulicos
Objetivo: Representar, mediante la operación de flujo y almacenamiento de liquido en un primer tanque, los subsistemas de Cuentas por cobrar a clientes del modelo circulatorio contable mediante ecuaciones de estado.
Solución: El punto clave para la representación del subsistema mediante ecuaciones de estado es la selección adecuada de las variables de estado y se lleva a cabo como sigue: El flujo o velocidad de las masas liquidas pueden describir dos tipos de fenómenos, el flujo laminar y el flujo turbulento. Los sistemas de flujo laminar pueden expresarse mediante ecuaciones diferenciales lineales mientras que un flujo turbulento debe expresarse mediante ecuaciones diferenciales no lineales.
Las ventas periódicas ($/año) representan el flujo de los sistemas hidráulicos, en cuyo análisis es necesario considerar los tipos de flujo laminar y flujo turbulento.. Al considerar la salida a chorros del flujo a través de un tubo corto en la parte inferior de un tanque, si el flujo es turbulento la relación entre el flujo "V" (de las ventas anuales) en estado estable y el nivel de liquido "B" (de la cartera al final del periodo) que impulsa el liquido a salir, se obtiene mediante la expresión:
V2 = K.B ecuación 3
de donde al derivar y sustituir se obtiene una medida que en hidráulica se conoce como Resistencia (Rt) al flujo turbulento:
Rt = dB/dV = 2B/V
Analíticamente, esta medida se define como: "el cambio en la diferencia de nivel por unidad de tiempo (variación periódica de la cartera) y depende directamente del nivel actual del liquido (nivel de cartera) e inversamente al flujo medio del liquido (ventas periódicas)".
En los Anexos III y IV se hace la construcción de estas ecuaciones. El problema que estamos tratando de resolver es relacionar las siguientes dos derivadas:
(dB/dt) = Rt.(dV/dt)
En muchos casos prácticos, la Resistencia (Rt) se determina gráficamente considerando las condiciones de operación en la vecindad del punto P desde donde la prolongación de la línea tangente a la parábola (V2 = K.B) intercepta la ordenada en el punto R(-B,0), es decir cuando el valor de la pendiente de la tangente en el punto P sea igual a 2B/V.
Figura N° 7: Parábola abierta hacia arriba (commons.wikimedia.org)
Sin embargo, aquí mencionaremos la manera de obtenerla analíticamente. En el caso de ser la parábola abierta hacia arriba, "cuando la intersección de la recta tangente en el punto P(x1,y1) a la parábola con vértice en el puno V(h,k) y foco F(h, k+p), dada según la ecuación:
(x1 – h)(y – k) -2(y1 – k)(x – h) + (x1 – h)(y1- k) = 0
pase por el punto R[h, -(k + p)], podemos conocer la Resistencia".
O si la parábola es abierta hacia abajo, "cuando la intersección de la recta tangente en P(x1,y1) a la parábola con vértice en el punto V(h,k) y foco F[h, (p – k)], dada según la ecuación:
(x1 – h)(y – k) -(p – y1 + k -D)(x – h) + (x1 – h)(p – D) = 0
siendo:
pase por el punto R[h, (k + p)], podemos conocer la Resistencia".
En general, la solución de problemas no lineales es altamente complicada y se recurre a la linealización del modelo en torno a un punto de trabajo P(x1, y1) y resolver el problema del control con la técnicas de análisis y diseño lineal de que se dispone. Bajo ciertas suposiciones, casi siempre puede obtenerse un modelo lineal, sin embargo, también surge un compromiso entre la simplicidad del modelo matemático y la precisión de los resultados que se obtienen con él.
Es un hecho el que al aumentar la complejidad del problema aumenta la exactitud, pero también es cierto que un modelo adecuado que cumpla con el principio de que "siendo iguales otras cosas, los modelos simples son preferibles a los complicados".
Se considera lineal a todo aquel sistema que se le pueda aplicar el principio de superposición: "la respuesta producida por la aplicación simultanea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas individuales". Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados. Igualmente, si en una investigación experimental se encuentra que la causa y el efecto son proporcionales entre si, el sistema se considera lineal.
En la realidad, aunque muchas relaciones físicas se presentan por ecuaciones lineales, no son así. De hecho, los sistemas considerados lineales, lo son solamente en un rango reducido, por ello si lográsemos mantener pequeños los cambios en las variables dentro del rango lineal, el sistema se considera lineal o linealizado.
Por ejemplo, una altura de líquido que dependa del cuadrado de la velocidad, puede hacerse lineal para bajas velocidades y cuadrática a altas velocidades. En estas condiciones, un sistema hidráulico operando bajo condición lineal, cuya entrada es v(t) y cuya salida es b(t), podría escribirse como:
b = v. R ecuación 4
(análoga a la ley de Coulomb) en la que R es denominada Resistencia al flujo. Esta relación indica que "una pequeña variación (b) de la cartera alrededor de la condición de operación lineal es proporcional a una pequeña variación de las ventas (v)".
Geométricamente hablando, la resistencia "R" se calcula mediante el cociente:
También podemos establecer una comparación de la rapidez de variación entre la operación lineal versus la no lineal, alrededor de la condición de operación lineal, según la expresión:
en la que la constante C es denominada Capacitancia y se puede definir como "el número de unidades de diferencia entre los cambios de la velocidad turbulenta (Vt) y la velocidad laminar del liquido (v) por cada unidad de cambio en la cantidad de liquido almacenado (b) en la unidad de tiempo".
Refiriéndonos al primer término del numerador, encontramos aquí que su conformación como cociente de una serie de diferencias finitas es susceptible de expansión en la forma de series de Taylor alrededor del punto P(v1 , b1) en donde al dejar de considerar los términos de orden superior al cuadrático, permitirán escribir:
C1(db/dt) = Vt – [(b1- bi) /R1] y más propiamente:
en la cual, el producto "R.C" es denominado "constante de tiempo del sistema".
Figura N° 8: Subsistema hidráulico del modelo de control contable asumido (Ogata, 1995)
Tal como ha sido supuesto, al no existir interacción sobre las alturas de líquido debido a la interconexión de los dos tanques, la función de transferencia se calcula del mismo modo para cada uno de ellos. Esto es, si a la expresión:
R1C1(db/dt) + (b1- bi) = R1Vt
aplicamos la transformación de Laplace, a ambos lados de la ecuación, obtendremos:
[R1 C1(s) +1].b(s) = R1.V(s)
Ahora, considerando que "V" es la entrada y "b" la salida, la función de transferencia será:
si no obstante, se toma "v" como la entrada, siendo "b" la salida, entonces escribiremos:
donde simplemente se ha dicho que: b(s) = v(s). R
Sistemas Mecánicos
Objetivo: Representar el subsistema de Costos y Gastos mediante ecuaciones de estado.
Figura N° 9: Sistema mecánico masa-resorte-amortiguador (Ogata, 1995)
Solución: El punto clave para la representación del subsistema mediante ecuaciones de estado es la selección adecuada de las variables de estado y se lleva a cabo como sigue:
a- se determina la ecuación diferencial que representa al sistema dinámico y el grado de esta:
Aquí, se nos viene a la mente la ecuación diferencial de Ohlson para expresar el modelo llamado de la utilidad limpia, aunque esta vez, a cambio de la utilidad y del patrimonio, nos referiremos al efectivo disponible y a los costos y gastos operacionales. Bajo la óptica del administrador de un emprendimiento, no tiene discusión una relación existente entre la ejecución del costo de producción, erogación de gastos de operación y distribución de dividendos respecto del efectivo disponible. Sin embargo, lo extraño y por ello novedoso, es que entre ellas también debería distinguirse una presunta sumisión mecánica al vigor de la corriente de los dividendos pagados, veámoslo.
a- Se eligen variables de estado y el grado de relación entre ellas.
Intentaremos representar la relación costo de producción-gastos operacionales-distribución de dividendos, mediante el sistema mecánico masa-resorte-amortiguador tal como el que se muestra en la figura:
El efecto del desplazamiento (y) de la masa (m), con relación al piso, tiene lugar con la fuerza aplicada "m.(d2y/dt2)", la cual en el modelo representa al costo de producción al que arbitrariamente le ha sido asignada proporcionalidad con la segunda derivada de la corriente de los dividendos. El amortiguador es un dispositivo lleno de aceite con coeficiente de fricción (b) que opone al movimiento la fuerza viscosa "b.(dy/dt)" que aquí representa a los gastos operacionales al que le asignamos proporcionalidad con la primera derivada de la corriente de los dividendos . El resorte se estira o contrae en una oposición constante (k) a la deformación mediante la fuerza elástica "k.(y)"que representa a los dividendos pagados. La fuerza externa "u (efectivo disponible)" es la entrada para el sistema y la sumatoria de las fuerzas en equilibrio (función de "y") es la salida.
Los sistemas mecánicos se rigen por la segunda ley de Newton. Si calculamos la sumatoria de las fuerzas en equilibrio, obtenemos la ecuación del movimiento:
Fuerza aplicada + Fuerza de fricción + Fuerza elástica = Fuerza neta
Costo de producción + gastos operacionales + dividendos pagados = Efectivo disponible
m.(d2y/dt2) + b.(dy/dt) +k.y = u ecuación 6
Estos valores pueden estimarse mediante la técnica de la regresión múltiple aplicada sobre los datos del Anexo 7 para obtener la ecuación:
0,418y"" -0,136y" + 0,966y = u – 40.730
Al tratar este problema asociado a la confección del diagrama de bloques (Figura N° 3), luego de haber despejado la derivada más alta y de haber definido las variables de estado, se tiene:
y"" = – (b/m)y" – (k/m)y + (1/m)u
X1 = y ;
X2 = X"1 = y" ;
X3 = X"2 = y""
se continúa con la utilización de operadores integradores sobre esta ecuación para deshacer integrales y pasar al dominio del tiempo mediante el tratamiento con derivadas:
X1 = s-1X2
X2 = s-1X3
X3 = s-1X8
con lo que la ecuación se convierte en:
s-1X8 = – (b/m).s-1X3- (k/m).s-1X2 + (1/m).U
que interpreta fielmente el DB de la Figura N° 3 con los sensores:
H(s) = b/m,
K(s) = k/m).
y se ha de tener en cuenta que cualquier otra entrada "U" antes de su integración al sistema debe ser convertida a la misma clase de unidades de medida mediante la aplicación del factor (1/m). Debemos tener en cuenta que las Ventas están valorizadas al precio de venta mientras que los inventarios están valorizados al costo de producción, lo cual exige que se haga homogénea la información.
PARAMETRIZACION
Sistemas Hidráulicos
Objetivo: Representar, mediante la operación de flujo y almacenamiento de liquido en un segundo tanque, el subsistemas de Dividendos por pagar a accionistas del modelo circulatorio contable mediante ecuaciones de estado.
Solución: Haciendo consideraciones similares sobre el segundo tanque, al establecer una comparación de la rapidez de variación entre la operación lineal versus la no lineal, alrededor de la condición de operación lineal, tendremos:
la cual también puede escribirse como:
[(P1 – Pi) – pi)] + [(b1- bi) /R1] – (bi/ R2) y más propiamente:
(da1/dt)
Ahora, con base en un análisis estadístico de regresión de los datos registrados en el Anexo III, ha sido posible establecer la siguiente expresión matemática:
V2 – 1,834842V – 0,083391 = – 3,125B ecuación 8
Esta es la ecuación representativa del flujo de las ventas periódicas (V $/año) en estado estable y el nivel de liquido "B" (de la cartera al final del periodo) que impulsa el liquido a salir. Se trata de una parábola abierta hacia abajo, con vértice en el punto V(0,917; 0,243) y foco F[0,917; (-0,781+0,243)].
La condición de operación lineal la describe la línea tangente al pasar por los puntos P(0,206; 0,134) y R[0,917; (0,781+0,243)], determinando los siguientes parámetros:
Excepto (db/dt) que se obtiene mediante regresión simple, la linealización restante de este fenómeno, mostrada en el Anexo III, se obtiene a partir de la recta tangente que corresponde a la ecuación lineal:
b = 1,2508v + 0,1236 ecuación 9
Ahora considerando al segundo tanque, tendremos:
P2 – 0,005546P + 0,00000769 = 0,002277A ecuación 10
Esta es la ecuación representativa del flujo de la corriente de nuevas reservas (P $/año) que crean los empresarios e inversionistas para mantener el flujo de requerido de actividades y el nivel "A" de utilidades acumuladas y dividendos por pagar al final del periodo. Se trata de una parábola abierta hacia arriba, con vértice en el punto V(0,0028; 0,0301) y foco F[0,0028; (0,0301-0,0005)].
La línea tangente al pasar por los puntos P(0,0039; 0,0307) y R[0,0028; (-0,0005+0,0301)] determina también los siguientes parámetros:
Excepto (da/dt) que se obtiene mediante regresión simple, la linealización restante de este fenómeno, mostrada en el Anexo IV, se obtiene a partir de la recta tangente que corresponde a la ecuación lineal:
a = 0,9877p + 0,269 ecuación 11
Sistemas Mecánicos
Un sistema descrito por una ecuación diferencial de estado, se puede representar siempre en variables de estado en la siguiente forma:
x"(t) = A.x(t) + B.u(t)
y(t) = C.x(t) + D.u(t)
El modelo de un sistema de control en variables de estado es una representación matricial de las ecuaciones que rigen al sistema, o cual puede esquematizarse del siguiente modo:
Figura N° 10: Modelo de un sistema de control en variables de estado
Es claro que llegado a este punto, se entra al campo del algebra de matrices. Partiendo de:
x"(t) = A.x(t) + B.u(t)
aplicamos entonces la transformación de Laplace de la ecuación diferencial de estado para deshacer derivadores:
sX(t) = AX(s) + BU(s)
con lo que obtenemos los valores característicos de A que satisfacen (sI- A = 0)
(sI – A).X(s) = B.U(s)
y luego determinar la inversa de la matriz característica: (sI – A)-1, esto es,
X(s) = (sI – A)-1.B.U(s) o sea:
cuya sustitución en la segunda ecuación, arroja:
Y(s) = [C(sI-A)-1B + D].U(s)
y finalmente, para determinar la función de transferencia, tendremos:
G(s) = C(sI-A)-1B + D
Ahora nuevamente en números. Por ejemplo, siendo conocidos los elementos de las matrices A, B, C y D, tendremos:
Otra manera de resolver el mismo problema, supone que éste es un sistema lineal de condiciones iniciales iguales a cero, en el que y(0) = 0, dy/dt (0) = 0 y que u(0) = 0, al que aplicando la transformación de Laplace a ambos lados de la ecuación arroja:
s2Y(s) = (1/m).U(s) – (k/m).Y(s) – (b/m).sY(s)
reuniendo términos comunes:
[s2 + (b/m).s + k/m] .Y(s) = (1/m).U(s)
y finalmente, siendo "u" la entrada y "y" la salida, la función de transferencia sería:
RESOLUCION
Sistemas Hidráulicos
De acuerdo con las conceptualizaciones anteriores y con base en la figura N° 6 sobre el subsistema hidráulico del modelo, para cada uno de los tanques podremos escribir:
Si definimos las variables de estado del siguiente modo:
Para cada uno de los periodos bajo estudio de la empresa Calcáreos del Caribe S.A. habrá que plantear similares sistemas de ecuaciones. Obviamente, el paso final sería hallar la solución general de las dos ecuaciones diferenciales de primer orden para que con base en ella expresar las variables de estado. Sin embargo, esta vez dejaremos pendiente tal procedimiento.
Sistemas Mecánicos
Una vez construida la ecuación de estado, en este caso con derivadas de orden mayor, se deben definir las variables de estado, siguiendo la siguiente secuencia:
esto es:
Obsérvese que en este modelo no hay recirculación (bypass), por lo tanto D = 0.
Obviamente, para cada uno de los periodos bajo estudio de la empresa Calcáreos del Caribe S.A. habrá que plantear similares sistemas de ecuaciones.
a- Se halla la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes no homogénea que en este caso, se dice:
La solución general "y(x)" de una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término u(x) variable es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria "yc" y una solución particular "yp", así:
y(x) = yc(x) + yp(x)
la solución complementaria es de la forma y(x) = kerx, válida para u(x) = 0, mientras que la solución particular satisface la ecuación no homogénea [my"" + b.y" + k.y = u(x)],.
Como por regresión múltiple de los datos del Apéndice 6, en escala gráfica, podemos hallar la expresión:
u(e) = 0,002853 + 0,135862(E/106) – 0,041865[(E/106)2] ecuación 14
entonces asumimos que la solución particular "yp" es también de la forma Ax2 + Bx + C, con lo que la solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, así:
Sea: 0,418y"" – 0,136y" + 0,966y = u – 40.730 ecuación 6
de donde: y"" – 0,325y" + 2,311y = [(u-40.730)/0,418] =
[[0,002853 + 0,135862(E/106) – 0,041865[(E/106)2]].106 – 40.730] / 0,418 de ecuación 14
por lo tanto: y"" – 0,325y" + 2,311y = -90.614,833 + 325.028,708(E/106) – 10.000[(E/106)2]
si ahora decimos que:
yp = Ax2 + Bx + C
yp" = 2A + B
yp"" = 2A
entonces:
2A-0,325(2A+B)+2,311(Ax2+Bx +C) = -90.614,833+325.028,708(E/106)-10.000[(E/106)2]
y finalmente, ecuacionando términos semejantes, tendremos:
2,311Ax2 = -10.000[(E/106)2] esto es: x = (E/106) y también: A = – 4.327,131
[-0,325(2A)+2,311B] = 325.028,708 o sea: B = 139.425,776
2A – 0,325B + 2,311C = -90.614,833 de donde C = -15.836,371
Por lo que la solución particular ha de ser:
yp = -4.327 [(E/106)2] + 139.426 (E/106) -15.836
la cual nos permitirá calcular y", y"".
VALIDACION
Sistemas Hidráulicos
a) Conocidos los valores correspondientes de V (ventas), podemos pronosticar valores reales de B (cartera), o viceversa, mediante la ecuación:
V2 – 1,834842V – 0,083391 = – 3,125B ecuación 8
Para pasar de la escala real a la escala gráfica se procede del siguiente modo:
V: [(1.440.000 / 1.000.000) – 0,791048]2 = 0,421139
B: [(230.400 / 1000) – 122,943] / 1000 = 0,107457
b) La condición lineal de operación del primer tanque establece:
c) Conocidos los valores correspondientes de P (nuevos aportes de los empresarios) podemos pronosticar valores reales de A (nivel de reservas y dividendos por pagar) o viceversa, mediante la ecuación:
P2 – 0,005546P + 0,00000769 = 0,002277A ecuación 10
d) La condición lineal de operación del segundo tanque establece:
e) El anexo 6 muestra la solución al sistema de ecuaciones del espacio de estados descrito por los dos tanques. En este caso, los requerimientos de aportaciones de los empresarios es mínima. El decrecimiento estable (controlado) de la variación de cartera y de nuevos aportes del último trimestre representan la base de la proyección de cada siguiente periodo.
f) El anexo 7 entrega la solución general en cada periodo, de la ecuación diferencial del sistema mecánico que representa una estimación de los fondos aplicados al proceso para atender costos, gastos y dividendos periódicos. A partir del momento en que estos fondos superan la utilidad antes de impuestos se trata de un proceso controlado que otorga una buena base para la proyección de los siguientes periodos.
Referencias
BRONSON Richard. Matrix methods: An introduction. 2ª Ed. San Diego: Academic Press. 1994. p. 503
CALAFELL, A. (1981). Teoría lineal de la contabilidad. Revista española de financiación y contabilidad, X(35), 283-298.
CUELLAR, G. (1987). Aplicación de la teoría de grafos en la contabilidad. Recuperado el 9 de Octubre de 2012, de
http://www.geocities.ws/memodrx/Aplicaci%F3n%20de%20la%20Teor%EDa%20de%20Grafos%20en%20la%20Contabilidad.pdf
CHURRUCA, E. (1981). Los modelos matricial y de input-output y su aplicación al cálculo de costes. Revista española de financiación y contabilidad, X(35) 299-358.
DE SOUZA l. (2002). Contabilidade ao alcance de todos. Curitiba: Juruá
DE LA CRUZ J.M. (2005). Control digital. Mexico: ISA-UCM
DOS SANTOS. C. (2008/2009). Guia pratico para elaboração do demonstrativo dos fluxos de caixa (2ª reimpressão). Curitiba: Juruá.
GONZÁLEZ MARTIN Pilar, DIAZ DE PASCUAL Amelia, TORRES LEZAMA Enrique y GARCIA, M. (1975) El paradigma de la partida doble en la ciencia contable. Revista española de financiación y contabilidad, IV(12 y 13), 341-364.
HILLIER, F. Y HILLIER, M.. (2010). Métodos cuantitativos para administración. 3ª Ed. México: McGraw Hill.
JIMENEZ Q. (2003). Control I. Universidad Autónoma del Estado de Morelos.
LOPES DE SA. A. (2008) Consultoria e analise contábil. Curitiba: Juruá.
LOPES DE SA. A. (2008/2009) Fundamentos da contabilidades geral (1ª reimpressao). Curitiba: Juruá.
LOPES DE SA. A. (2009) Tecnologia contábil contemporânea. Curitiba: Juruá.
LOPES DE SA, A. (2010). Teoria da contabilidade. Sao paulo: Atlas
MATTESICH, R. (2004). The rise and significance of modern analytical methods in accounting. Energeia V. 2 N° 1-2, pp133-144.
MATTESICH R. (2005). A concise history of analytical accounting. De Computis N° 2, Junio de 2005, pp. 123-152.
MATTESICH R. (1972). Accounting and analytical methods. Houston: Scholar Book Co.
OGATA K. (1993). Ingeniería de control moderno. Segunda edición, Capitulo 2. México: Prentice Hall Hispanoamericana S.A.
PÉREZ GRAU Samuel. El neopatrimonialismo Contable. En. Económicas CUC. Vol. 30 n° 30. (Dic. 2009). p. 139. ISSN: 0120-3932 .
PÉREZ GRAU Samuel. Modelo científico del sistema de funciones patrimoniales. En: Económicas CUC. Vol. 31 n° 31. (Dic. 2010). p. 10. ISSN: 0120-3932 .
RENDER F., STAIR R., HANNA M.. (2010). Métodos cuantitativos para los negocios. 9ª Ed.. México: Pearson- Prentice Hall.
ROSILLO Jorge. Fundamentos de Finanzas para la Toma de Decisiones. Bogotá: UNAD. 2003. p. 429.
SHANK , J. (1972). Matrix methods in accounting. Boston: Addison Wesley
THIERAUF R. (1995) Toma de decisiones por medio de I.O.. México: Limusa.
WARREN Carl., REEVE James., DUCHAC Jonathan. Contabilidad Financiera, 11a Ed. México: Cengage Learning Inc. 2011. p. 816.
| Página siguiente |