Limitaciones científicas

Este artículo pretende contestar lo más eficaz y sencillamente posible la siguiente pregunta, basada en los estudios profundos del Génesis: ¿Qué se puede decir acerca de las limitaciones de la ciencia humana?

Introducción.

Existen una serie de limitaciones de la ciencia humana que nos aparecen a simple vista, por decirlo así. Por ejemplo, el conocimiento de las leyes del universo que el ser humano puede obtener es presumiblemente limitado y su aplicación técnica sólo funciona dentro de la estructura y las limitaciones de dicho universo. Incluso las matemáticas, que parecen trascender al mundo físico del que son abstraídas, en realidad tiene sus fundamentos bien asentados en la sensopercepción que el hombre ha obtenido del entorno cuantitativo y por tanto es cuestionable que puedan ofrecer por sí mismas un vislumbre fidedigno de alguna clase de realidad que trascienda nuestro mundo.

Por otra parte, siendo la ciencia humana un constructo del propio hombre, es evidente que estará más o menos sometida a las mismas lacras que el ser humano tiene. Por lo tanto, la mentira, el fraude, la futilidad, el autoengaño, el oportunismo y así por el estilo, son cortapisas que afectan a la ciencia y que, aunque se reconozca que a la larga el método científico obra de forma depurativa de cara a los conocimientos adquiridos y aceptados, dicho método no deja de estar sustentado sobre la misma sociedad científica que lo utiliza y por lo tanto sujeto a la buena (o mala) voluntad del colectivo científico. En última instancia, la supervivencia de la ciencia humana depende evidentemente de la supervivencia de la mismísima sociedad humana.

Al parecer, en la década de 1970, cuando se vislumbraba la potencialidad que en el futuro podrían alcanzar los llamados "cerebros electrónicos o computadoras", hubo no pocos individuos que se imaginaron que algún día estas máquinas serían capaces de contestar cualquier pregunta o resolver cualquier problema. Dicha idea fue popularizada en la televisión y en las películas. Había personas que estaban convencidas de que, gracias a los esfuerzos del hombre, pronto aparecería una supercomputadora, una que revolucionaría los asuntos humanos. Algunos creían que una máquina de ese tipo era construible y en consecuencia resolvería todos los problemas de la humanidad en asuntos de moralidad, ética, gobierno, ciencia, suministro de alimentos y medicamentos. ¿Se apegaba a la realidad esa creencia? ¿Qué habilidades y limitaciones tiene la computadora? Un famoso "teorema de Gödel" parece que ha pulverizado trágicamente esas esperanzas.

Limitaciones de la ciencia humana.

La revista DESPERTAD del 22-6-1993, publicada en español y otros idiomas por la Sociedad Watchtower Bible And Tract, dice, en sus páginas 21 y 22:

«"Muchos científicos del siglo XIX […] solían pensar que algún día llegarían a la verdad absoluta, al conocimiento definitivo", dice el libro The Scientist, y añade: "Sus sucesores sólo hablan de conseguir un "conocimiento parcial", de acercarse continuamente a la verdad sin nunca alcanzarla del todo". Esta falta de conocimiento absoluto limita notablemente lo que la ciencia puede hacer.

Los hechos científicos no cambian con el paso de los años, pero las teorías científicas sí, y con frecuencia. En efecto, a veces las teorías científicas han basculado de un extremo a otro. Por ejemplo, la ciencia médica pensó en un tiempo que a una persona enferma de gravedad se le debía sacar sangre. Después se creyó que era una mejor solución transfundírsela. En la actualidad hay quienes comienzan a reconocer que es más sabio no hacer ni una cosa ni otra, sino buscar tratamientos alternativos menos arriesgados.

Es evidente que es muy poco lo que los científicos saben en comparación con lo que desconocen. En The World Book Encyclopedia se hace la siguiente observación: "Los botánicos aún no saben a ciencia cierta cómo funciona el proceso de la fotosíntesis. Los biólogos y los bioquímicos todavía no han encontrado la respuesta a cómo se originó la vida. Los astrónomos siguen sin hallar una explicación satisfactoria para el origen del universo. La ciencia médica y fisiológica aún desconoce cómo curar el cáncer y las enfermedades víricas. […] Los psicólogos no conocen todavía todas las causas de las enfermedades mentales".

Además, la ciencia está limitada porque no puede ser superior a quienes se dedican a ella. En otras palabras, la falta de conocimiento del científico se ve agravada por su propia imperfección. Los autores del libro "5000 Days to Save the Planet" descubrieron que "una y otra vez […] las organizaciones que defienden intereses creados han manipulado las investigaciones, han distorsionado los análisis de costo/beneficio realizados y han suprimido información con el único objeto de vender productos nocivos o de continuar con actividades perjudiciales para el medio ambiente".

Aunque la mayoría de los científicos sean honrados, no hay por qué atribuir a sus actividades un valor desmesurado. "Son personas como las demás —dijo el científico británico Edward Bowen—. Todos cometen errores. Los hay abnegados y los hay sin escrúpulos, los hay brillantes y los hay torpes. He conocido a algunos de los científicos prestigiosos de nuestro tiempo, hombres que han hecho mucho bien a la humanidad. Si bien es cierto que no he conocido a ningún científico que haya estado en la cárcel, sé de algunos que la merecerían".

Queda claro que las muchas limitaciones de la ciencia moderna la incapacitan para afrontar los retos del siglo XXI. Sobre todo, ha sido incapaz de proteger el medio ambiente, y en lugar de contribuir a eliminar la guerra de la Tierra, ha colaborado en la invención de armas de gran poder destructivo».

Si bien la intuición y la perspicacia nos dictan que existen limitaciones (grandes limitaciones) para la ciencia humana, el propio razonamiento matemático ha constatado que eso es cierto y ha venido a trastocar la fe que por largo tiempo los filósofos y los hombres de ciencia habían depositado en la supuesta omnipotencia explicativa (y quizás aplicativa) de la misma. El gran artífice de esta mayúscula decepción fue un hombre bastante introvertido, Kurt Gödel, una persona enfermiza que sufrió depresiones desde la infancia. Aparentemente sin pretenderlo y animado sólo por el ansia de explicaciones, removió los cimientos de las matemáticas que se habían construido desde los tiempos de Euclides hasta los comienzos del siglo XX y cristalizó sólidas ideas que repercutieron en diversos campos del conocimiento, o tal vez en todos, pero en especial en la matemática, la filosofía y las actuales ciencias de la computación.

Un iconoclasta involuntario.

Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, año 2003, edición electrónica, la palabra ICONOCLASTA proviene del griego "εíκονοκλáστης" (rompedor de imágenes) y se aplica por antonomasia a todo aquel individuo que niega el culto a las imágenes de santos, vírgenes y cristos tenidas por sagradas en la cristiandad, y además las destruye, e incomoda o persigue a quienes las veneraban. Figuradamente, también se llama "iconoclasta" a quien niega y rechaza la autoridad de maestros, normas y modelos establecidos tradicionalmente en la sociedad humana, sin que por ello el calificativo tenga necesariamente connotaciones peyorativas.

En sentido figurado, hubo un matemático de mediados del siglo XX que involuntariamente llegó a ser iconoclasta, al arrasar con sus razonamientos el modelo idolátrico de la "ciencia humana potencialmente todopoderosa" que se había implantado en la mente de la mayoría de los científicos, al ser llevados éstos por la embriagante eclosión exponencial de los descubrimientos en todas las áreas del saber. Aparentemente, buscando consolidar esta imagen colosal de la ciencia desde sus fundamentos, se topó con una realidad devastadora, primero para él y después para todo aquél que, huyendo del autoengaño, estuviera dispuesto a asumir la gran verdad: la ciencia humana es un ídolo quebradizo, incapaz de sustentarse a sí mismo y absolutamente adolescente. El nombre de este matemático es Kurt Gödel.

Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brünn (Moravia, actual República de Checoslovaquia). Hijo de Rudolph, propietario de una fábrica textil, y Marianne, una cultivada madre de familia. Gracias a la holgada economía familiar, debido al tesón comercial de su padre, Gödel y su hermano pudieron formarse en buenas escuelas privadas alemanas, en las que obtuvieran buenas notas.

Como otros grandes físicos y matemáticos, Gödel no reveló su genialidad durante la infancia. De manera anecdótica tenemos que decir que Gödel, en la asignatura de matemáticas, recibió una calificación de insuficiente. A pesar de todo, fue un niño con una enorme curiosidad, ganándose el apodo de "der Herr Warum" (El Señor Porqué).

En 1924 ingresó en la universidad de Viena con la intención de estudiar Física Teórica. Impresionado por los profesores Philipp Furtwängler y Hans Hahn, su interés se volcó en las matemáticas. Entró a formar parte del Círculo de Viena (aunque participó en contadas ocasiones en las discusiones), en el que se debatían los escritos de Ludwig Wittgenstein. Es a partir de entonces cuando comienza a elaborar sus teorías más importantes sobre la "completitud de sistemas formales". Mucho antes había conocido los escritos de Ernst Mach, gran defensor del racionalismo como medio de conocer las cosas a través de la lógica y el método empírico de la observación, alejándose del uso de entidades metafísicas.

Dos publicaciones le otorgan gran notoriedad, su tesis doctoral escrita en 1929 y el teorema "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Sobre proposiciones formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines) publicado en 1931. En 1933 viajó a Estados Unidos impartiendo una serie de conferencias, y es allí donde conoció por primera vez a Einstein. Es en esta época cuando Hitler llega al poder. Aunque al principio Gödel no mostraba excesivo interés por la política, tras el asesinato de uno de los miembros del Círculo de Viena por un antiguo alumno nazi, decide emigrar a Estados Unidos, donde en 1939 se casó con Adele Pokert, estableciéndose en Princeton, New Jersey.

Sobre la década de 1940 mantuvo contacto con Einstein y colaboró con él en algunos aspectos de la teoría de la Relatividad, trabajando en las ecuaciones del campo gravitatorio. Poco después, Gödel publicó algunos artículos sobre la Relatividad. En 1946 se hizo miembro del Instituto de

Estudios Avanzados de Princeton, en el que estuvo hasta su muerte. Recibió numerosos homenajes y premios a lo largo de su vida, de Yale, Harvard, la Academia de las Ciencias, Brown, American Philosophical Society, London Mathematical Society y la Royal Society of London. Sin embargo, rechazó el titulo honorífico de la Universidad de Viena por su relación con el tercer Reich. Su mujer Adele sufrió un ataque cardíaco que la dejó inválida y Gödel tuvo que ocuparse de ella. Una vez fallecida su esposa, Kurt Gödel dejó de comer convencido de que alguien intentaba envenenarlo. Murió por inanición el 14 de enero de 1978.

Antecedentes históricos.

Desde tiempos inmemoriales el hombre ha querido dar una explicación a todos los fenómenos que le rodean e incluso a los que observa en sí mismo, y también ha deseado saber el porqué de las cosas que detecta con sus sentidos corporales. Grandes pensadores han intentado siempre encontrar el método, el supuesto camino que conduce a la verdad absoluta, y lo han hecho a través de la filosofía y de la ciencia. Esta última, sobre todo en los tiempos modernos, ha ido poco a poco robando terreno a la filosofía. Pero la búsqueda de la verdad por el hombre continuamente se ha visto sometida a grandes cambios, con mayor o menor acierto. Cuando un método parecía funcionar en los casos conocidos, surgía un nuevo caso que no era explicable con dicho método. Ello obligaba a replantearse el porqué de esta disonancia, cómo resolverla o de qué manera controlarla.

Para entender el impacto que causó Gödel cuando publicó sus hallazgos es necesario tener una visión general de la situación de la época. Las matemáticas comenzaban una etapa de optimismo y la mayoría de los matemáticos consideraban que todo aspecto de las matemáticas podría ser codificado en sistemas axiomáticos que permitieran demostrar la falsedad o verdad de todas las proposiciones. ¿Cómo se llegó a esta convicción?

NOTA:

Un axioma es una verdad (o juicio tenido por verdadero) que no necesita demostración, pues su evidencia es considerada implícita. Los axiomas forman la base a partir de la cual comenzar a trabajar dentro de un sistema axiomático, y un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas y reglas de inferencia que nos permiten demostrar la veracidad o falsedad de una proposición (o juicio a comprobar, mediante razonamiento lógico).

La axiomatización de una teoría consiste en establecer una serie de axiomas o elementos de juicio básicos y fundamentales extraídos de dicha teoría, unas reglas de inferencia y unos razonamientos a partir de los cuales la susodicha teoría quede convertida en una colección de enunciados o proposiciones. De esta manera, la teoría pasa a ser un sistema axiomático. Apriorísticamente, se considera que toda teoría, por complicada que sea, es axiomatizable.

Desde la antigüedad hasta el siglo XIX, la matemática ha sido considerada como la ciencia encargada del conocimiento de las propiedades cuantitativas de los fenómenos naturales; es decir, la ciencia que hace abstracción de todo menos del aspecto cuantitativo de universo; por lo tanto, para la matemática no existe el tiempo ni los colores ni ninguna otra cosa salvo la cantidad. Basándose en una serie de axiomas, la matemática permite formalizar los diversos fenómenos naturales en su aspecto cuantitativo. Un ejemplo de esta formalización viene dado por la "geometría euclidiana" o de Euclides. Este sabio griego partía de los siguientes axiomas para formalizar la realidad cuantitativa espacial que percibía:

1. Por dos puntos cualesquiera del espacio (tridimensional) pasa una línea recta y sólo una.

2. Toda línea recta se puede prolongar indefinidamente, hacia un extremo y otro de la misma.

3. Para cada punto y para cada longitud, en un plano, existe un círculo con centro en dicho punto y con radio igual a esa longitud.

4. Todos los ángulos rectos (o ángulos de 90 grados) son iguales.

5. Si una recta A del espacio corta a otras dos B y C y no forma ángulo recto con ambas (es decir, un ángulo recto con B y otro ángulo recto con C), las dos rectas B y C se cortarán en algún punto del citado espacio. Este axioma es en realidad un postulado (algo pedido o necesitado por la teoría, para su axiomatización [o formalización] , pero cuya veracidad no es tan evidente como la de los axiomas 1 a 4).

Este sistema axiomático euclidiano constituye la denominada "geometría clásica", un constructo teórico tan sólido que se mantuvo en vigor hasta el siglo XIX. Sin embargo, en ese siglo se descubrió que variando el quinto axioma (llamado "postulado de las paralelas"), y sustituyéndolo por otro que no contradijera a los axiomas 1 a 4, se obtenía otra clase de geometría no euclidiana perfectamente válida y formalizable, correspondiente a otra concepción espacial diferente. En realidad, ese quinto postulado puede adoptar diversas formas, no contradictorias con los 4 axiomas precedentes, y cada una de ellas dará, pues, una geometría distinta.

NOTA:

Estrictamente hablando, no es lo mismo AXIOMATIZACIÓN que FORMALIZACIÓN. Pero, a efectos prácticos, ambos conceptos son equivalentes. La AXIOMATIZACIÓN de una teoría (es decir, del lenguaje o registro lingüístico que soporta toda la información que constituye dicha teoría) supone un estudio profundo de la misma para lograr unos axiomas que, combinados con una leyes de inferencia lógica, permitan una buena formalización (dar forma lógica o de automatización o cálculo lógico) de la teoría. La FORMALIZACIÓN de la teoría consiste en su axiomatización, en la definición de unas reglas de inferencia o relacionales anexas y en la colección de todas las proposiciones verdaderas derivadas de los axiomas (teoremas) que permiten expresar la teoría en lenguaje formal o lógico.

Llegado el siglo XIX, los lógicos ingleses George Boole y Augustus De Morgan codificaron los esquemas deductivos de razonamiento. Frege y Peano combinaron el razonamiento formal con el estudio de los conjuntos y los números. Hilbert, por su parte, creó formalizaciones de geometría más estrictas que las de Euclides. Cantor había diseñado una teoría de conjuntos que, pese a ser bastante atractiva, contaba con diversas paradojas, las cuales surgían del fenómeno denominado "autorreferencia"; por lo tanto, eliminando la autorreferencia quedaban eliminadas las paradojas. Russel y Whitehead se lanzaron a un ímprobo esfuerzo para eliminar las paradojas de la lógica, de la teoría de números y de la teoría de conjuntos, y publicaron finalmente sus trabajos en la obra "Principia Mathematica", mostrando su solución a la autorreferencia: la "Teoría de Tipos".

De todas formas, los matemáticos y lógicos comenzaron a albergar serias dudas acerca de los sistemas formales, pues parecía que las paradojas surgían rápidamente en dichos sistemas. El gran temor era que las paradojas de la lógica podían darse en la matemática, por lo que ésta no tendría unas bases tan firmes como se creía. Fue entonces cuando comenzó a surgir la llamada "metamatemática", o el estudio de la propia matemática y de sus fundamentos.

El razonamiento matemático siempre se había hecho en lenguaje natural, lo que daba lugar a muchas ambigüedades. Russel y Whitehead, en sus "Principia Mathematica", pretendieron derivar toda la matemática de la lógica, sin ningún tipo de contradicción. La obra fue aclamada por todos, si bien aún existía la duda de si toda la matemática podía ser englobada en ellos y si se alcanzarían resultados distintos usando los mismos métodos.

Entonces, David Hilbert propuso a la comunidad matemática su reto: demostrar, siguiendo los caminos trazados en los "Principia Mathematica", que el sistema definido en los mismos era coherente y además completo. En resumen, lo que Hilbert pretendía era que, a partir de una porción de las matemáticas, se demostrara la solidez del todo. Si esto llegaba a lograrse, podría considerarse toda demostración como un mero proceso mecánico (un automatismo o un algoritmo), de tal modo que toda proposición de un sistema sería demostrable. Y aún en el caso de que existieran fallos en el sistema, la inclusión de nuevos axiomas podría subsanarlos.

En el año 1931, Gödel publicó un artículo que echaba por tierra todo el "programa de Hilbert", pues demostraba no sólo que el sistema de Russel y Whitehead tenía fallos, sino que todo sistema axiomático los tendría. La publicación del que se conocería como el "Teorema de Gödel" supuso un duro golpe, pues en resumidas cuentas probaba que el hombre, por sus propios medios, jamás podría alcanzar el conocimiento y la verdad absolutos.

Paradojas.

La palabra PARADOJA proviene de la fusión de los vocablos griegos PARA (contra) y DOXA (opinión), y se refiere a toda idea o noción que resulta opuesta a la lógica común y a la sensatez humana. Los filósofos y pensadores griegos de la antigüedad detectaron muchas paradojas en el conocimiento y el saber de la época, lo cual mostraba que existía una serie de cortapisas y limitaciones internas en el propio conocimiento científico o filosófico. Algunos sufrieron una decepción, otros vieron las paradojas como una muestra de las limitaciones ineludibles del pensamiento humano y aún otros las usaron como incentivo para analizar los fundamentos del saber de la época y tratar de resolver el problema teórico que planteaban. Estos últimos tenían la convicción de que el sucesivo refinamiento de las definiciones y de los planteamientos teóricos harían desaparecer las paradojas, ya que éstas daban la impresión de ser evidencias de construcciones teóricas deficientes.

Un buen ejemplo de paradoja es la famosa frase de Sócrates "sólo sé que no sé nada". Obviamente, si sabe que no sabe nada, ya sabe algo, luego la proposición se contradice a sí misma. La contradicción de esta paradoja surge en el momento en que Sócrates hace referencia a si mismo (autorreferencia). No todas las paradojas se deben a la problemática de la "autorreferencia", pero el famoso "teorema de Gödel" tiene mucho que ver con proposiciones que hacen referencia a sí mismas (autorreferencia).

Numerosas son las paradojas que han aparecido en el campo de las matemáticas a través de los siglos, y algunas de ellas han sido resueltas con notables ganancias teóricas añadidas. Es decir, el esfuerzo de algunos matemáticos para resolver algunas paradojas ha propiciado la elaboración de fecundos cuerpos teóricos que han enriquecido no sólo a las matemáticas sino también a muchas otras disciplinas científicas dependientes de éstas (epistemología, física, química, biología, informática, sociología, geología, astronomía,etc.). Sin embargo, han aparecido sin cesar nuevas paradojas al amparo de novedosas teorías matemáticas que en principio fueron construidas para refinar los conocimientos y eliminar las paradojas existentes, por lo que se ha llegado a la convicción de que es imposible librarse de las paradojas. Si bien es verdad que es factible refinar el saber matemático (por la única vía de la formalización) y eliminar así las paradojas enquistadas en él, también es cierto que a la luz de dicho refinamiento surgen otras paradojas advenedizas que perturban la paz mental del investigador. Esto parece ser un indicativo eterno del porvenir que le espera a la matemática: luchar contra las paradojas, y generar otras en el mismo intento. Por lo tanto, cabe suponer que las matemáticas siempre estarán refinándose, en un proceso de autodepuración que no conocerá final (lo cual, dicho sea de paso, asegurará al matemático la continuidad de su profesión).

Dada la dependencia que el resto de la ciencia humana tiene con respecto a las matemáticas, como bien apuntó en su día el reputado Lord Kelvin (ver nota, abajo), es obvio que las limitaciones que afectan al saber matemático también serán limitaciones impuestas sobre el resto de las ciencias. En consecuencia, toda ciencia positiva (ciencia matematizable) afronta limitaciones propias (las ocasionadas por su propia idiosincrasia) y ajenas (las derivadas de la matemática utilizada).

NOTA:

En varios libros de texto de Física universitaria, se atribuye a Lord Kelvin la siguiente declaración: "Suelo repetir con frecuencia que sólo cuando es posible medir y expresar en forma numérica aquello de que se habla, se sabe algo acerca de ello: nuestro saber será deficiente e insatisfactorio mientras no seamos capaces de traducirlo en números. En otro caso, y sea cual fuere el tema de que se trate, quizás nos hallemos en el umbral de su conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán avanzado en el nivel de la ciencia".

William Thomson (1824-1907), primer barón Kelvin (Lord Kelvin), fue un físico y matemático británico que se destacó por sus importantes trabajos en el campo de la termodinámica y la electrónica gracias a sus profundos conocimientos de análisis matemático. Es uno de los científicos que más hicieron por llevar a la física a su forma moderna. Es especialmente famoso por haber desarrollado la "escala Kelvin" de temperatura. Recibió el título de "barón Kelvin" en honor a los logros alcanzados a lo largo de su carrera.

Aproximación al Teorema de Gödel.

En 1931, Gödel publicó un artículo titulado "Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados". La proposición VI de este artículo es lo que se conocería como "primer teorema de Gödel". Esta proposición dice así: "A toda clase c de fórmulas w-consistentes recursivas le corresponde una clase-signo r tal que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg (c), donde v es la variable libre de r".

Semejante proposición, dada en lenguaje metamatemático, suena bastante extraña para el profano, pero puede traducirse de una manera más comprensible así: "En todo sistema axiomático existen proposiciones para las cuales no es posible demostrar si son ciertas o son falsas". Por otra parte, Gödel asimismo afirmaba que si un sistema axiomático es consistente, entonces es incompleto; y si el sistema es completo, entonces es inconsistente.

Pero, ¿qué significa "consistente" o "incompleto", y qué es una "proposición", etc.? En primer lugar, un sistema axiomático es un conjunto de axiomas y reglas de inferencia (o métodos o normas para enjuiciar o razonar acerca de los axiomas y las proposiciones). Una proposición es una afirmación que puede ser cierta o falsa. Por ejemplo, en un sistema axiomático aritmético, una proposición podría ser "2+2=4"; la proposición es cierta. Otra proposición pudiera ser "3+1=7", la cual es falsa.

Un sistema axiomático se dice "completo" (completitud) cuando dentro de dicho sistema (es decir, usando sólo sus axiomas y sus reglas de inferencia) se permite demostrar si una proposición es cierta o falsa. En cambio, los sistemas axiomáticos "incompletos" (incompletitud) tienen proposiciones las cuales no son susceptibles de ser demostradas como ciertas o como falsas. Asimismo, un sistema axiomático es "coherente o consistente" (coherencia o consistencia) cuando no alberga contradicciones o paradojas de ningún tipo; y, obviamente, es "incoherente o inconsistente" ( incoherencia o inconsistencia) cuando presenta contradicciones o paradojas.

En la época en la que aparece el Teorema de Gödel se creía que podrían crearse sistemas axiomáticos que describieran los diversos campos de la matemática (la teoría de conjuntos, la teoría de números, la lógica, etcétera), de tal modo que dichos sistemas fueran completos y coherentes. Se aspiraba a abarcar todo el conocimiento y, en su optimismo, los matemáticos creían que todo podría ser demostrado. Pero un sistema que incluya proposiciones autorreferenciales genera paradojas, como hemos visto anteriormente. El Teorema de Gödel, pues, marcó un antes y un después en las matemáticas.

Teorema de Gödel.

Las demostraciones de Gödel sobre la consistencia interna y completitud de un sistema axiomático se basan en la posibilidad de "representar" las declaraciones metamatemáticas acerca de un sistema formal dentro del sistema mismo. Gödel tradujo proposiciones sobre el sistema, tales como "esta proposición no tiene demostración en este sistema" a proposiciones numéricas. No debemos perder de vista que el teorema de Gödel se centra en la aritmética y sistemas afines, por lo que las proposiciones deben traducirse a números naturales (los números naturales son los siguientes: 1, 2, 3, 4 , 5, …).

Hacer uso de la idea de la representación numérica fue la clave de la investigación de Gödel. Él probó que proposiciones metamatemáticas acerca de un sistema aritmético formalizado podían ser representadas por fórmulas aritméticas dentro del propio sistema. Una vez asegurado esto, el segundo paso consistió en idear un método de representación tal que le permitiera demostrar que ni la fórmula aritmética correspondiente a una determinada proposición metamatemática verdadera acerca de la fórmula, ni la fórmula aritmética correspondiente a la negación de la proposición, son demostrables dentro del sistema.

En resumidas cuentas, Gödel ideó un sistema tal que a proposiciones metamatemáticas sobre el sistema les correspondía una única fórmula aritmética dentro del propio sistema, para a continuación demostrar que dichas fórmulas no eran demostrables dentro del sistema. El método ideado por Gödel se conoce como "numeración Gödel". El proceso consta de varias fases, que van desde la simbolización numérica de Gödel hasta la demostración de la imposibilidad de probar la consistencia de la aritmética mediante un proceso finitista (un número finito de pasos u operaciones). En primer lugar, Gödel asoció a cada símbolo de cualquier fórmula del cálculo un número entero positivo (número natural) arbitrario. Gödel optó por la siguiente simbolización para el vocabulario fundamental del sistema axiomático:

Por ejemplo, el número de Gödel asignado a la fórmula:

sería el siguiente:

(observándose que la construcción del número de Gödel de la fórmula se hace tomando la sucesión de los números primos como base de factores, excluyendo el 1, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …, colocando como exponentes de los factores los números de Gödel de los distintos símbolos y finalmente multiplicando todos los factores exponenciados).

Existen signos que no aparecen en el vocabulario, así que no tienen asociado un valor. ¿Por qué? ¿Acaso no podría provocar esto que se queden fuera muchas proposiciones? La respuesta es "no", ya que Gödel demostró que los signos anteriores eran suficientes, por lo que para representar ciertas proposiciones con otros signos éstas pueden y deben transformarse a proposiciones equivalentes que empleen esos símbolos godelianos. Por ejemplo, la conjunción "p λ q" (p y q), escrita de manera no godeliana, equivale a la expresión godeliana "~(~p y ~q)".

En el caso de haber una sucesión de fórmulas, el número de Gödel total se puede obtener a partir de los números de Gödel de cada fórmula de la sucesión, por el mismo procedimiento que el número Gödel de cada una de las fórmulas. Es decir, si n1, n2, …, nk son los números de Gödel de las k fórmulas de una sucesión S, el número Gödel de S, nS, será:

donde "p" es el número primo del lugar "k"de la sucesión de primos.

En resumen, toda expresión contenida en el sistema axiomático considerado tiene asociado un número de Gödel. Este método establece una "biyección" (es decir, toda expresión del sistema corresponde a un único número de Gödel y todo número de Gödel está asociado a una única expresión del sistema).

Una que vez que Gödel establece los símbolos básicos, intenta construir la proposición "Esta proposición no es demostrable en el sistema". Es la llamada "fórmula G". Dicha fórmula puede escribirse de la siguiente manera:

G = [G no es demostrable]

Para demostrar el teorema, se hace necesario definir la proposición "la sucesión de fórmulas con número de Gödel x es una demostración o prueba de la fórmula con número de Gödel z ". Sea dicha proposición expresada por la fórmula o relación aritmética que escribiremos "Dem(x,z)". De forma análoga, la relación aritmética equivalente a proposición "la sucesión de fórmulas con número de Gödel x no es una demostración o prueba de la fórmula con número de Gödel z" es "~Dem (x, z)". Por lo tanto, la relación "Dem (x,z)" viene a decir que la proposición cuyo número Gödel es z es demostrable.

Por otra parte, también se hace necesario emplear la notación aritmética " Sust (m,k,m)" para designar matemáticamente "el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel m, sustituyendo en ella la variable (numérica o proposicional) de número de Gödel k por el numeral m".

Todo esto se hace con la intención de hallar la fórmula G, esto es, la representación aritmética de la proposición metamatemática "la fórmula G no es demostrable". Se parte de la fórmula:

(∀x)(~Dem(x,z))

la cual quiere decir que "para todo x, la sucesión de fórmulas con número de Gödel x no es una prueba de la fórmula con número de Gödel z", o, lo que es lo mismo, la fórmula de número de Gödel z no es demostrable. Un caso particular de ésta proposición sería:

(∀x)(~Dem(x,Sust(y,k,y)))

donde "Sust(y,k,y)" representa, evidentemente, un número de Gödel.

Esta fórmula, o sea, (∀x)(~Dem(x,Sust(y,k,y))), tiene a su vez asociado un número de Gödel n. Si la reescribimos del siguiente modo, sustituyendo y por n, obtendremos: (∀x)(~Dem(x,Sust(n,k,n)))

Ésta es la fórmula G. El número de Gödel asociado a G es el número simbolizado por Sust(n,k,n).

luego la fórmula G expresa la siguiente proposición:

"(∀x)(~Dem(x,Sust(n,k,n))) no es demostrable".

Es decir:

G = [G no es demostrable]

O sea:

"Esta proposición (G) no es demostrable".

Con ello, pues, se ha conseguido representar la proposición "Esta proposición no es demostrable" dentro del sistema. Si, por otra parte, se consiguiera demostrar G dentro del sistema entonces se llegaría a una contradicción, con lo cual el sistema sería incoherente o inconsistente. Así, por tanto, G debería ser no demostrable y de este modo cierta, por lo que el sistema quedaría entonces incompleto, al no poderse demostrar la proposición G expresable dentro del mismo. Pero en el caso de que la proposición G se incluyera dentro del conjunto de axiomas del sistema para solucionar la incompletitud del mismo, entonces, al seguir los mismos procesos, obtendríamos los mismos resultados.

Otro razonamiento adicional es el siguiente. Supongamos que G es demostrable. Entonces existiría una sucesión de fórmulas aritméticas que constituyesen una prueba de G. Sea I el número Gödel de tal sucesión de fórmulas. Por lo tanto tendremos "(Dem(I,Sust(n,k,n)))", que es una fórmula que debería ser aritméticamente verdadera. Sin embargo, puede probarse que esta relación aritmética es de un tipo tal que, si dicha relación se da entre un par definido de números, la fórmula que exprese este hecho es demostrable dentro del sistema, por lo tanto, "(Dem(I,Sust(n,k,n)))" es un teorema.

Ahora bien, empleando las reglas de transformación de la lógica elemental, se obtiene la fórmula "~(∀x)(~Dem(x,Sust(n,k,n)))", que es ~G. Por tanto, G y su negación ~G son ambas demostrables, lo que es una paradoja, puesto que estamos demostrando que la proposición "Esta proposición no es demostrable" es demostrable: el sistema, pues, es incoherente (inconsistente). Pero suponiendo que el sistema es consistente (sin contradicciones ni paradojas), entonces tanto G como su negación serían no demostrables, por lo que el sistema quedaría incompleto. Y, aún cuando se añadiera G al conjunto de axiomas del sistema, podría construirse una nueva fórmula verdadera pero indecidible (no demostrable dentro del sistema) siguiendo los pasos descritos anteriormente.

Por supuesto, surgen las siguientes preguntas: ¿Si la aritmética (es decir, la teoría aritmética formalizada) es consistente, es entonces incompleta? ¿Si la aritmética es completa, es entonces inconsistente?

Sea la fórmula aritmética A, que representa la proposición "Esta proposición no es demostrable"; es decir: A= "A no es demostrable". Si el sistema es coherente, entonces si A es cierto resulta que ~A es falso, con lo cual obtenemos:

A cierto -> ~A falso

Es decir, si la aritmética es coherente, entonces es incompleta.

Ahora bien, si hacemos completa la aritmética, por medio de hacer verdadera a ~A (que lee: no es cierto que la proposición A no sea demostrable; es decir: la proposición A es demostrable), entonces debería ser falso A (que lee: A no es demostrable). Ello haría demostrable A, esto es, haría demostrable que A no es demostrable, lo cual es una paradoja. Por consiguiente, si la aritmética es completa, entonces es incoherente.

En el interés de abreviar espacio y evitar engorrosidades, no hemos escrito las expresiones formales de Gödel de A y ~A, pero existen y son relativamente fáciles de construir. Éstas son proposiciones que entran dentro del lenguaje del sistema axiomático aritmético y pertenecen a los formalismos internos del mismo, pero no son demostrables en dicho interior y por eso constituyen limitaciones internas de dicho sistema axiomático (incluso son, en realidad, la punta de lanza que indica que existen limitaciones internas en todos los sistemas formalistas axiomáticos).

NOTA:

Tanto las nociones preliminares de "geometría euclidiana o clásica" como las de "lógica proposicional y lógica de predicados" se dan por supuestas aquí, puesto que corresponderían a materias impartidas en cursos de acceso a la universidad en la mayoría de los países (asignaturas preuniversitarias).

Repercusiones.

En la civilización occidental, desde la cultura griega clásica hasta el siglo XX, las matemáticas se han erigido como fortaleza del racionalismo. Sin embargo, hasta la más precisa de las ciencias que el hombre ha podido concebir (es decir, las matemáticas) no ha logrado escapar de una serie de limitaciones internas que la encorsetan sin remedio. En efecto, todo sistema matemático que pueda construirse por la mente humana estará condenado inexorablemente a la incompletitud. Gödel ha demostrado que existen en las matemáticas ciertos problemas sin solución, los cuales no pueden ser formalizados en un sistema axiomático completo.

Por consiguiente, los matemáticos saben ahora que su mayor objetivo, o sea, la consecución de la herramienta teórica que dote al hombre del poder intelectual de penetración que le permita llegar a lo más profundo de las cosas, es inalcanzable. Su objetivo, como tal, ni siquiera existe.

Gödel ha facilitado un vislumbre del desahucie final. Las matemáticas no poseen, pues, una realidad autosustentable independiente del hombre; y aunque existiera ésta, nuestra capacidad mental finita nos impediría formalizar su descripción en un sistema completo. Más aún, el conocimiento racional nunca podrá llegar a la verdad última acerca del universo.

NOTA: