Richard P. Feynman (página 2)

6. Gravedad

A partir de la ley de la gravedad y los fenómenos gravitatorios, Feynman explica lo que es una ley física. El mismo dice que elige esta ley como ejemplo no por algo en especial, simplemente esta fue una de las primeras leyes descubiertas y con una historia interesante. Se dice que la ley de gravedad es la mayor generalización lograda por la mente humana. Lo maravilloso de esta ley para Feynman, es que la naturaleza obedece a una ley tan simple como esta. Por eso dice que se concentra no en describir lo inteligente del hombre por descubrir esta ley, sino en lo "inteligente" de la naturaleza por obedecer a esta ley. La ley de la gravedad dice que dos cuerpos ejercen entre si una fuerza de atracción que varia inversamente al cuadrado de la distancia que separa a ambos cuerpos y directamente con el producto de sus masas: F = G.m.M / r2 Por otro lado sabemos por Newton que un cuerpo responde a la acción de una fuerza acelerándose, es decir cambiando su velocidad por unidad de tiempo en relación inversa a su masa: a = F/m Estas dos leyes son todo lo que hay que decir sobre la ley de gravedad. Todo lo demás afirma Feynman es una consecuencia matemática de estas dos cosas. A partir de esto Feynman se pregunta, ¿ que es lo que hace que un planeta? ¿acaso mira al sol, evalúa la distancia a la que se encuentra y calcula como moverse? A Newton también se le recriminaba que su teoría no dice nada, a lo que el respondía que si dice:"dice como algo se mueve, lo cual debería ser suficiente", es cierto que no explica el porque se mueve de la manera que lo hace. Desde los tiempos de Newton nadie ha dado una explicación del porque detrás de la ecuación matemática que define la ley de la gravedad. Actualmente no existe ningún modelo de la teoría de la gravedad aparte de su expresión matemática. Lo notable es que esto que se da con esta ley, se da prácticamente con todas las leyes físicas que se han ido descubriendo. Cada una de las leyes es una afirmación puramente matemática, algunas mas complejas que otras. La de la gravedad viene en una matemática simple. Pero a medida que se avanza en el descubrimiento de nuevas leyes, la matemática se hace mas compleja, ¿por que?, "Ni idea" dice Feynman.

¿Como se descubrió la ley de la gravedad? Lo primero que se observo era que los planetas y la tierra incluida se movían alrededor del sol. A partir de esta observación surgieron preguntas tale como si el sol esta en el centro de una circunferencia, que tipo de movimiento describen los planetas, a que velocidad se mueven, etc. Así surgieron debates acerca de si realmente el sol era el centro del universo o la tierra. Llegado este punto aparece Tycho Brahe a quien se le ocurre que seria bueno hacer observaciones muy precisas de la posición de los planetas en el cielo, para poder distinguir unas teorías de otras. Esta, dice Feynman, es la base de la ciencia moderna y el principio del verdadero conocimiento de la naturaleza: fijarse en una cosa, anotar los detalles y confiar en que esta información puede aportar claves para diferenciar entre las distintas teorías propuestas. Así Tycho comenzó a recopilar datos tomados en una isla cerca de Copenhague. Estos datos llegaron a manos de Kepler quien comenzó a utilizar el método de prueba y error para poder distinguir el movimiento que describían los planetas. Así descubrió que estos describían elipses alrededor del sol, con este en uno de los focos de la elipse. Kepler también descubrió a que velocidad giraban los planetas, haciendo el procedimiento siguiente:

1. Tomamos la posición de un planeta en dos momentos distintos separados por un intervalo x de tiempo por ejemplo de una semana, en la zona que este se encuentra mas cerca del sol.
2. Trazamos los radio vectores que van desde el sol a cada una de las posiciones antes definidas. Nos quedara así definido un triangulo con vértices en el sol, y en las dos posiciones de observación, cuya base será la orbita descripta por el planeta en el tiempo definido, en nuestro caso: una semana.
3. Si realizamos exactamente los mismo que hicimos en a) y b) pero en la zona que el planeta se encuentra mas alejado del sol. Tendremos así otro triangulo, con diferentes radio vectores y base dada por la orbita descripta.
4. Lo que Kepler detecto, es que la superficie de ambos triángulos es igual, concluyendo así que cuando el planeta se encuentra mas cerca del sol debe ir mas rápido.

Por ultimo descubrió una tercera ley que calcula el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor del sol, siendo este proporcional al tamaño de la orbita, entendiendo a este como la longitud del eje mayor de la elipse. La proporcionalidad esta dada por esta longitud elevada a la 3/2. Así Kepler a través de la observación dijo:

1. Los planetas describen orbitas elípticas alrededor del sol.
2. Áreas iguales se cubren en tiempos iguales.
3. El periodo o tiempo en que se da una vuelta completa es proporcional al tamaño de la orbita (eje mayor de la elipse) elevado a la 3/2

Estas tres leyes dan una descripción completa del movimiento de los planteas alrededor del sol. Pero ¿Por qué los planetas se mueven alrededor del sol?. En la misma época Galileo estudiando el movimiento de los objetos terrestres, descubre el principio de inercia que dice: si nada actúa sobre un objeto y este se esta moviendo en línea recta a una velocidad definida, este se mantendrá moviendo en la misma dirección y a la misma velocidad para siempre. Este principio no tiene explicación conocida. Por otro lado Newton se pregunto ¿ que pasa si el objeto no va en línea recta? Su respuesta fue que es necesario que exista una fuerza que cambie su dirección, el cambio de la velocidad (sea en magnitud o en dirección) por unidad de tiempo se denomina aceleración, y esta multiplicada por un coeficiente de inercia (la masa del objeto), se obtiene la fuerza que produjo dicho cambio de velocidad del cuerpo. Y esta fuerza puede medirse. Si tenemos una piedra atada a una soga y la hacemos girar, vemos que hay que tirar de la soga, tanto mas fuerte cuanto mas pesada es la piedra, de lo contrario piedra y soga saldrán disparadas en línea recta. Es decir ejercemos una fuerza para lograr que la piedra gire, que significa cambiar la dirección de su velocidad, y esta fuerza esta en la dirección radial y no tangencial del movimiento de la piedra, se transmite a través de la soga. De la misma manera si tomamos dos objetos distintos (dos planetas) y vemos que estos giran uno alrededor de otro, deducimos que debe existir una fuerza que produzca este cambio en la dirección de la velocidad, esta fuerza, que también debe estar en la dirección radial, es proporcional a la masa de los cuerpos o inercia. Los planetas en orbita alrededor del sol, se inclinan o "caen" (caer aquí significa la desviación respecto al movimiento en línea recta) hacia el sol debido a la fuerza de gravedad que el sol ejerce sobre ellos. Newton no hizo mas que explicar lo que Kepler ya había dicho de otra manera. Que la fuerza se dirige hacia el sol (sentido radial) y que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. La idea brillante fue darse cuenta que no era necesario ejercer una fuerza tangencial para que un planeta describa una orbita alrededor del sol. El principio de inercia permite mostrar entonces que la fuerza que desvía a los planetas de su movimiento rectilíneo y uniforme, y controla el movimiento de los mismos, es una fuerza en dirección al sol. En esa época se sabia que otros satélites giran alrededor de otros planetas, era como si todas las cosas se atrajeran mutuamente. así se concluía que la tierra tira de la luna, como el sol de los planetas; y también que la tierra tira de todas las cosas, fenómeno este conocido como la fuerza de gravedad. Lo genial de Newton fue darse cuenta que la misma fuerza que mantenía a la luna girando alrededor de la tierra era la que explica la atracción de la tierra para con cualquier objeto que tenga masa. La gravedad no tiene limites, existe hasta los confines del universo lo cual puede explicarse a partir de las observaciones telescópicas de pares de estrellas, galaxias y sus formas. El campo gravitatorio nunca se acaba. Si bien esta ley explica el funcionamiento de la maquinaria del universo a gran escala, es diferente a la mayoría de las otras leyes físicas; tiene relativamente pocas aplicaciones practicas en comparación con las demás leyes de la física. Solo encontramos aplicaciones en las prospecciones geofísicas, la predicción de las mareas, el calculo de la trayectoria de los satélites artificiales y cohetes. Otro caso donde la gravedad tiene un efecto real sobre el universo se da en la formación de nuevas estrellas, dado que a partir de concentraciones de gas este se comprime por efecto de la gravedad, así grandes volúmenes de gas y polvo estelar se aglomeran y a medida que caen hacia su propio centro se genera calor que enciende la masa de gas convirtiéndola así en una estrella. La ley de la inversa del cuadrado de la distancia aparece en las leyes de la electricidad. Se podría pensar entonces que esta relación tiene un significado mas profundo. Sin embargo nadie aun ha logrado establecer que la gravedad y la electricidad son aspectos diferentes de una misma cosa. Las leyes de la física son como piezas de un rompecabezas que no encajan del todo bien, no hay una estructura a partir de la cual se pueda deducir todo. Lo extraño es encontrar aspectos compartidos. La gravedad y la electricidad son fuerzas proporcionales a la inversa del cuadrado de la distancia entre los cuerpos que experimentan la fuerza, sin embrago lo notable es la tremenda diferencia de intensidad entre ambas fuerzas. Tomando una partícula fundamental creada por la naturaleza, que experimenta ambas fuerzas, podemos ver la relación de intensidad entre ambas. Esta partícula es el electrón que tiene masa, por lo cual dos electrones se atraen según nos dice la ley de la gravedad, y también tiene carga eléctrica por lo cual se repele de acuerdo a la ley de la electroestática. ¿Cuál es la relación de esas fuerzas?, la electrostática es mas intensa que la gravedad en una proporción de 1 vs. 4,17 x 1042. Einstein modifico la ley de gravedad dado que dijo que un fenómeno físico no podía ocurrir en forma instantánea, la información entre un punto del espacio y otro se transmite con una velocidad finita de allí la imposibilidad de lo instantáneo. Newton por el contrario decía que la fuerza de gravedad que experimentan dos cuerpos es instantánea y se experimenta en el mismo momento que aparece el cuerpo que genera el campo gravitatorio. Otro punto importante acerca de la gravedad descubierto por los físicos modernos, es que esta ley no rige en la pequeña escala, no existe aun una teoría cuántica de la gravedad.

Que son las leyes de conservación Una de las leyes fundamentales y básicas de toda la física es la denominada ley de conservación de la energía. No hay excepción a esta ley que dice que existe una cierta cantidad de algo que llamamos energía que no cambia a través de los muchos cambios que pueda experimentar la naturaleza. Esta es la expresión mas abstracta dado que este es un principio matemático que dice lo siguiente: existe una cantidad o valor numérico que no cambia cuando algo ocurre o cambia. No es la descripción de un mecanismo o algo concreto, es solo un hecho extraño que podamos calcular algún numero y que cuando terminamos de realizar la observación de la naturaleza, vamos a través de sus trucos y calculamos el mismo numero de vuelta, este permanece invariable. Relacionando esto con lo que veíamos en las reglas del ajedrez, un alfil que esta en un casillero negro, siempre estará en el mismo color de casilla no importa la cantidad de jugadas que se hagan. Feynman ilustra esta idea abstracta de conservación mediante una analogía. Imaginemos un chico que juega con bloques los cuales son indestructibles e indivisibles. Cada uno de ellos son exactamente iguales, supongamos que tiene 28 bloques. Al comienzo del día su madre lo pone en un cuarto con todos sus bloques. Supongamos que al final de sucesivos días, la cantidad de bloques que su madre encuentra varia, y que ella va dando explicaciones al respecto, a partir de la idea de que la cantidad de bloques no puede variar, es decir: se conserva. Un día arrojo uno por la ventana, otro día trajo 2 bloques de lo de un amigo, otro día que cuenta 25 bloques, no encuentra ninguno hasta que ve una caja cerrada. Dado que no puede abrir la misma, pero tiene información adicional: sabe cuanto pesa la caja vacía (16kilos) y cuanto pesa cada bloque (3 kilos). Así deduce una relación en función de los pesos: (cantidad de bloques encontrados)+(peso de la caja – 16 kilos)/3 kilos= 28. En otra oportunidad ocurre lo mismo pero cuando realiza el calculo anterior no llega al mismo valor, se da cuenta entonces que en una pileta con agua sucia puede haber algún bloque. Para esto cuenta con otra información adicional: sabe que originalmente la altura de agua era de 15 cm, y que cuando se agrega un bloque esta altura aumenta en 1 cm, por lo tanto la nueva formula para darse cuenta si están y en donde todos los bloques es: (cantidad de bloques encontrados)+(peso de la caja-16ks)/3ks+(altura del agua-15cm)/1cm=28. De esta forma, y a través de estos artificios matemáticos, a medida que se hace mas compleja la búsqueda de los bloques, ella va encontrando la manera de saber donde están los mismos aunque no pueda verlos. Lo que esta haciendo es calcular una cierta cantidad que ella sabe cuanto vale (28) y que no puede cambiar; se conserva. Esta analogía sirve para explicar en una primera instancia la ley de conservación de la energía. No sabemos que es la energía, pero la asumimos como los bloques, y sabemos que nada debe entrar o salir de nuestro calculo sin que nos percatemos y lo tomemos en cuenta. La complejidad en el caso de la energía es que esta adopta diferentes formas. Así tenemos energía gravitacional, cinética, calorífica, elástica, eléctrica, química, radiante, nuclear y de masa (mase y energía son cantidades equivalentes en términos relativistas E = m.c2 ). Todas estas formas de energía deben ser tenidas en cuenta en los cálculos de conservación. En física hoy en día no se tiene conocimiento de lo que es la energía. Pero si se sabe que cuando sumamos la totalidad de la energía nos da un numero que se mantiene constante, el 28 en el ejemplo de los bloques. Esta es la ley de conservación mas importante aunque podemos decir que no entendemos su significado, porque no sabemos muy bien cual es el significado de la energía. Además existen otras leyes de conservación como la conservación del momento lineal y la del momento angular. Hay otras leyes de conservación mas claras dado que si existe algo para contar como en el caso de los bloques. Son las leyes de conservación de la carga eléctrica, la de conservación de bariones (Neutrones y protones son bariones), la de conservación de leptones ( electrones, mesón mu y neutrinos son leptones). Así llegamos a establecer las seis leyes de conservación que conocemos, las primeras tres mas sutiles que tienen en cuenta el espacio y el tiempo; mientras las ultimas tres mas simples ya que solo se trata de contar cosas que existen De la energía / masa. Del momento lineal. Del momento angular. De la cantidad de carga. Del numero de Bariones. Del numero de Leptones. Otro concepto interesante que nos da Feynman, es que si bien la cantidad de energía total se conserva, la energía utilizable por el hombre no se conserva tan fácilmente, dado que parte de esta se pierde en energía no utilizable (calor por ejemplo) Las leyes que gobiernan cuanta energía existe para utilizar son las leyes de la termodinámica, las cuales involucran un concepto denominado entropía, que tiene en cuenta los procesos termodinámicos irreversibles. Cuando Feynman intenta explicar el carácter de la ley física, nos dice que tras el amplio abanico de leyes físicas, existen grandes principios que todas ellas cumplen. Los principios de conservación son uno de esos, que coexisten con: ciertas propiedades de simetría, los principios de la mecánica cuántica, y la forma matemática de las leyes físicas. Existen otros principios de conservación pero mas específicos que no vale la pena desarrollar.

7. La Cuántica

En el inicio del capitulo 6 de libro "El Carácter de la ley física", Feynman nos relata algo que a mi modo de ver es muy singular y muy atrayente acerca de lo que es el significado de la ciencia, la investigación, las matemáticas y los modelos: en los orígenes de la observación experimental o cualquier observación de carácter científico, la intuición es la que sugería las explicaciones razonables de los fenómenos. La intuición a su vez esta basada en la experiencia simple de los objetos cotidianos. Pero a medida que intentamos abarcar un campo mas amplio de hechos y dar explicaciones mas consistentes de lo que vemos, las explicaciones simples dejan el paso a las llamadas leyes. Una curiosa característica de estas leyes es que a menudo parecen hacerse cada vez menos razonables y mas alejadas de lo que resulta intuitivamente obvio. Por ejemplo en la teoría de la relatividad se afirma que si uno piensa que dos cosas ocurren al mismo tiempo (simultáneamente), esto es una mera opinión subjetiva…mediante nuestra experiencia directa solo accedemos a una porción muy pequeña de los fenómenos naturales. Solo a través de mediciones refinadas y una cuidadosa experimentación podemos ampliar nuestra visión del mundo. Entonces descubrimos cosas insospechadas, mas allá del alcance de nuestra imaginación. Así Feynman comienza a relatar algunos fenómenos que tienen que ver con la denominada física cuántica. Empieza por el fenómeno de la luz donde dice que en primer momento era considerada como partículas, luego mas tarde los fenómenos luminosos daban lugar a entender la luz como una onda, y mas tarde nuevamente a partir del denominado efecto fotoeléctrico, se considero a la luz como un haz de partículas. De la misma forma cuando el electrón fue descubierto, se le dio la forma de partícula, aunque luego haciendo pruebas con una lluvia de electrones se vio que presentaban comportamientos ondulatorios. Esta confusión de si eran ondas o partículas fue resuelta en 1925 con la formulación de las ecuaciones correctas de la mecánica quántica. Feynman dice entonces ahora si sabemos como se comportan los electrones y la luz, el problema es como describirlo. Las partículas de luz denominadas fotones y los electrones se comportan a su manera, a la que denominaremos mecanicocuanticamente. Este comportamiento no se parece a nada de lo cual tengamos experiencia en el mundo macro de los sentidos. "Nuestra experiencia de los hechos cotidianos es incompleta" dice Feynman. Tan fuera de lo común es este comportamiento que Feynman nos advierte que el solo puede describir que es lo que pasa, y no porque pasa; se anima a decir que nadie entiende la mecánica cuántica que es la ciencia que describe el comportamiento de las partículas muy pequeñas, de la dimensión de los átomos o aun mas pequeñas. Lo interesante es que este supuesto no entendimiento, para Feynman es una dificultad psicológica, que surge del deseo incontrolado de intentar ver todo en términos familiares, lo cual no tiene sentido. La explicación del comportamiento mecanicocuantico de fotones (la luz) y electrones (la materia) que da Feynman es mas o menos así: En primer lugar vale decir que según sus propias palabras esta explicación se hará mediante una mezcla de analogía y contraste con cosas que resulten familiares. La analogía será que cuando hable de partículas hablara de balas que salen disparadas desde una ametralladora, mientras que cuando hable de ondas, hablara de las ondas que forma el agua, sea en el mar o en una pileta. Con esta analogía hará un experimento que consiste en lanzar hacia una pared o plancha que tiene un orificio en el centro, primero balas y después agua en forma de ondas. Del otro lado de esta plancha existe otra similar pero con dos orificios equidistantes hacia arriba y hacia abajo, del orificio central de la primera plancha. Entonces observara que es lo que pasa a través de dichos orificios o ranuras. Luego repetirá el experimento y lo describirá cuando es realizado con fotones (análogo a las ondas de agua) y electrones (análogo a las balas), mostrando así como difieren entonces el comportamiento normal o familiar de las balas y el agua, del comportamiento que llamamos mecanicocuantico. Este experimento se ha diseñado, según Feynman, para contener todo el misterio de la mecánica cuántica y para enfrentarnos con lo paradojal y peculiar del comportamiento de la naturaleza. En este experimento esta contenido todo el misterio de la cuántica. Cuando inicia el experimento con balas desde una ametralladora que baila en su soporte, y haciendo una descripción detallada, Feynman concluye que la cantidad de balas que luego de pasar por el orificio central, pasan por alguno de los otros dos orificios de la plancha seguirá una ley de distribución que se conoce como campana de Gauss, donde una mayor cantidad de balas estarán alineadas con el orificio mientras que un número decreciente se repartirá a ambos lados del orificio. Esto ocurrirá con los dos orificios de manera que si dibujamos en un grafico la cantidad de balas nos quedara como una doble joroba, estando el pico de la misma a la altura del orificio. Esta doble joroba dice Feynman es la superposición de los gráficos que obtendría si se repite el experimento por separado para cada uno de los orificios estando el otro cerrado. A esto lo llama Ley de la "No interferencia". Ahora repite el experimento con ondas de agua, donde existe la primer plancha o barrera con un orificio donde pasan las ondas, formando círculos concéntricos al pasar, con centro en el orificio por donde pasan, al llegar estas ondas a la siguiente plancha con los dos orificios, también pasan por cada uno de ellos formando círculos concéntricos con centro en cada uno de ellos. Al viajar las ondas que salieron de los dos orificios, se comienzan a encontrar produciendo lo que se denomina interferencia, sea esta constructiva, cuando las dos ondas llegan al mismo tiempo y se suman o destructivas cuando una onda esta arriba y la otra onda para abajo y se restan. Así si medimos a una cierta distancia de la plancha de dos ranuras como llega la intensidad de las ondas veremos que si dibujamos esto en un grafico nos daría zonas de altura hacia un lado, otras de altura hacia el otro, y aun otras de altura cero o planas. Este grafico además no tendría nada que ver con el que se obtuviera al hacer el experimento con un orificio cerrado, luego el otro y sumando los resultados, como en el caso de las balas. Con alguna notación matemática simple, diremos esto:

1. Llamamos N al grafico hecho a partir del experimento con las balas. así N1 es el grafico cuando el orificio 1 esta abierto y el 2 cerrado; N2 es cuando 2 esta abierto y 1 cerrado; mientras que N12 es cuando ambos orificios están abiertos. La conclusión era que N12= N1+ N2 a la que llamábamos Ley de la No interferencia.
2. Llamamos I al grafico hecho a partir del experimento con agua. Así I1 significa 1 abierto y 2 cerrado, mientras que I2 es la inversa: 2 abierto y 1 cerrado. I12 es cuando ambos orificios están abiertos. Aquí se da la ley de la interferencia por la que I12 ¹ I1+ I2 , sin embargo si se dan las siguientes igualdades: I1 = N1, I2 = N2.

Ahora bien cuando se realiza el experimento con electrones verdaderos y fotones, algo que la técnica si permite realizar, ocurre los siguiente: Se lanzan electrones o fotones de a uno, lo cual se puede determinar dado que se coloca un sensor que cada vez que llega un electrón o foton hace un click, es decir medimos unidades físicas que llegan tal como hacíamos en el experimento de las balas. Ahora bien si hacemos esto durante bastante tiempo y vamos contando con el sensor adonde terminan cada una de estos proyectiles cuánticos, veremos que lo hacen en lugares totalmente aleatorios y diferentes uno del otro, pero después de haber lanzado miles de estos, empezamos a notar un cierto patrón de llegada. Dicho patrón es el mismo que nos muestra la grafica de las ondas, es decir un patrón de interferencia. Esto significa que si hacemos el experimento con estas partículas, con cualquiera de los dos orificios cerrados, las mismas se distribuyen de una manera similar a la que adoptaban las balas, pero al dejar ambos orificios abiertos, en lugar de distribuirse como si fuera la superposición de las anteriores –no interferencia- lo hacen como en el caso de las ondas- interferencia- ¿Cómo es que un conjunto de proyectiles pueden provocar interferencia, algo que es propio de las ondas?. Se dice entonces que los electrones, o para el caso cualquier entidad cuántica, en este experimento de las dos ranuras, llegan en unidades enteras adoptando así el comportamiento de las partículas materiales (balas), pero la probabilidad de llegada o la distribución de dicha probabilidad de llegada, se determina como si fueran ondas. Es en este sentido dice Feynman, en el que los electrones se comportan a veces como partículas y a veces como ondas. Se comportan de dos maneras diferentes al mismo tiempo.

8. Simetría

Feynman se pregunta porque debe tratar el tema de la simetría y las leyes físicas. Su opinión al respecto es que desde siempre la mente del ser humano se fascina con todas aquellas formas o patrones que son simétricos. Es un hecho interesante, nos dice Feynman que la naturaleza muestra a menudo ciertas clases de simetría en aquellos objetos que encontramos en el mundo que nos rodea. Por ejemplo una de las formas mas simétricas es la esfera, y la naturaleza muestra muchos objetos esféricos tales como los planetas, las estrellas, las gotas de agua. Los cristales de las rocas muestran estructuras simétricas que nos dan pautas acerca de la estructura de los sólidos. Incluso en el mundo animal y vegetal encontramos formas simétricas. Pero la simetría de la cual se interesa Feynman no es acerca de las formas, sino de una simetría mucho mas profunda dentro del universo. Es la simetría que presentan las leyes básicas en si mismas, las que gobiernan la operación o el comportamiento del mundo físico. Lo primero en responder será entonces ¿que significa simétrico?, ¿cómo una ley física puede ser simétrica?. Para definir simetría, lo primero que menciona Feynman es la definición de un tal Weyl: cualquier cosa es simétrica, si existe algo que podamos hacerle a esa cosa, de manera tal que luego de haberlo hecho, esa cosa permanece igual que antes de nuestra acción. Por ejemplo un vaso es simétrico si podemos reflejarlo en un vidrio o rotarlo, de manera tal que luego de esa acción (reflejarlo o rotarlo) el vaso permanece igual, o sea sin cambio aparente alguno. El inconveniente en nuestro caso es detectar que le podemos hacer a un fenómeno físico o a una situación física en un experimento, de manera tal que los resultados permanezcan invariables. A partir de esta definición, Feynman da una lista de operaciones que mantienen invariables a los fenómenos físicos, es decir que los fenómenos no cambian antes o después que sobre ellos realizamos la operación mencionada:

• Traslación en el espacio.
• Traslación en el tiempo.
• Rotación angular.
• Velocidad uniforme en línea recta.
• Reversión del tiempo.
• Reflexión en el espacio.
• Intercambio de átomos idénticos o partículas idénticas.
• Fase mecánico-cuántica.
• Materia-antimateria.

Simetría espacio-tiempo Si realizamos un experimento en una cierta región del espacio y luego con un aparato similar realizamos lo mismo en otra región del espacio, cualquiera haya sido el resultado en el primer experimento se repetirá exactamente igual en el segundo; si mantenemos las mismas condiciones en ambos experimentos. Esta traslación en el espacio, también puede visualizarse como una rotación de un ángulo fijo alrededor de un centro o eje. De la misma manera que hablamos de traslación en el espacio físico, lo hacemos en el temporal, es decir iguales experimentos repetidos en las mismas condiciones externas, pero en dos momentos de tiempo diferentes, darán los mismos resultados. Para entender esto mejor, en un experimento que no es simétrico pensemos en que si el experimento consiste en comprar acciones de una empresa, los resultados no serán los mismos si lo hacemos en diferentes momentos, es decir la ley del mercado que gobierna el comportamiento de los precios de las acciones no presenta simetría respecto a la traslación en el tiempo. En un nivel mas avanzado tenemos la simetría que se da bajo un movimiento a velocidad uniforme en línea recta. Este es un efecto notable: si tomamos un aparato lo hacemos trabajar en una cierta forma y luego a este mismo aparato lo ponemos en un auto que se desplaza en línea recta a velocidad uniforme, todos los experimentos que aquí realicemos, en el auto darán resultados iguales a los que obtuvimos con el aparato fuera del auto. Fue el estudio de la relatividad lo que concentro la atención de los físicos en los temas de la simetría de las leyes físicas. Todas estas simetrías mencionadas, son de naturaleza geométrica. Existen otro tipo de simetrías, por ejemplo aquella que describe que podemos reemplazar un átomo por otro de la misma clase, sin producir ninguna alteración en la sustancia donde realizamos el reemplazo. Es decir existen átomos de la misma clase. Ahora bien parecería que todo es simétrico cuando hemos definido simetría de esa manera. ¿Que no es simétrico? Por ejemplo, las leyes físicas ¿son simétricas cuando realizamos un cambio de escala? Supongamos que construimos dos aparatos idénticos pero uno 5 veces mas grande que el otro, el mismo experimento realizado en ambos ¿dará los mismos resultados? La respuesta es no. La longitud de onda emitida por un átomo de sodio en un caja de átomos de sodio, y la longitud de onda emitida por gas de átomos de sodio cinco veces mas grande en volumen que la caja del primer experimento, no es cinco veces mas grande sino que es exactamente igual. Las leyes de la física no permanecen invariables a los cambios de escala; esta realidad fue descubierta por Galileo. El se dio cuenta que la fuerza o resistencia de los materiales no era exactamente proporcional a la dimensión del cuerpo compuesto por dichos materiales. Para explicar esto Galileo pensaba en dos huesos de perro, uno en la proporción exacta para poder sostener el peso del perro, y el otro hueso imaginario de un superperro que fuera diez o cien veces mas grande que el otro, llegando a la conclusión que un perro de esta proporción no podría ser sostenido por un hueso en la misma proporción, es decir diez o cien veces mas grande. Esto es así porque el peso dependerá del volumen del animal ( dimensión al cubo) mientras que la resistencia del hueso aumenta con la superficie de la sección (dimensión al cuadrado); por lo tanto no se mantiene la proporcionalidad o sea no hay simetría.

La simetría y las leyes de la conservación Las simetrías de las leyes físicas son mas interesantes al nivel de la mecánica cuántica. Esto es así porque en este nivel, por cada una de las reglas de simetría, existe una ley de conservación que se corresponde. Hay una conexión definida entre las leyes de conservación y la simetría de las leyes físicas. Así la simetría en la traslación espacial se corresponde con la ley de conservación del momento, la simetría de las leyes en la traslación temporal se corresponde con la ley de conservación de la energía; la simetría de las leyes ante la rotación en un ángulo fijo, se corresponde con la conservación del momento angular. Feynman considera a estas conexiones como una de las cosas mas profundas que ocurren en la física. Existen también una serie de simetrías que solo se dan en el ámbito de la cuántica sin correspondencia en la física clásica, como por ejemplo la simetría respecto al cambio de fase de la función de onda, cuya ley de conservación asociada es la correspondiente a la conservación de la carga eléctrica. Posiblemente toda esta explicación de la simetría a alguno le parezca algo ridículo. A mi personalmente me admira el final de la lección que da Feynman. En esta Feynman dice que en realidad la naturaleza vista a través de sus leyes es casi simétrica, es decir no todas las leyes físicas tienen la cualidad de la simetría, es decir existe la simetría pero no en forma absoluta. ¿Porque ocurre esto? Se pregunta Feynman. En primer lugar debemos aceptar que la simetría de las leyes físicas son una muestra de la perfección de la naturaleza, al menos a los ojos de los científicos. Feynman comenta entonces que en una puerta construida en Japón durante la influencia del arte chino, se ven infinidad de dibujos y arabescos perfectos y simétricos esculpidos. Solo en un sector pequeño se nota una asimetría. La pregunta de porque esto fue así, la responden diciendo que de esta manera los dioses no tendrán celos de los hombres dado que son imperfectos. Dando vuelta el argumento para el caso de las leyes de naturaleza, ¿por qué Dios creo estas leyes de la naturaleza casi simétricas, es decir cuasi perfectas y no perfectas? La respuesta de Feynman es que de esta manera los hombres no están celosos de la perfección de Dios. Me parece admirable este argumento de un hombre que se manifestaba como no creyente.

Relatividad especial Durante 200 años se consideraba que las ecuaciones de movimiento enunciadas por Newton, describían la naturaleza correctamente. La primera vez que se descubrió que esto no era así, también se descubrió la manera de corregir este error. Esto fue logrado por Einstein en 1905. La segunda ley de Newton define la fuerza como el cambio de la cantidad de movimiento respecto al tiempo: F = d(mv)/dt En esta ecuación existe la premisa de que la masa es una magnitud constante; esta premisa es la que hoy sabemos es incorrecta. Einstein nos dice que la masa de un cuerpo aumenta con la velocidad con la que este se mueve de acuerdo a la siguiente formula: m = m0 / (1-v2/c2)1/2, donde m0 es la masa del cuerpo en reposo, v la velocidad del cuerpo y c la velocidad de la luz. Para valores de v pequeños en relación a c, el termino v2/c2 tiende a cero, por lo tanto la masa puede considerarse como constante m=m0. En esto consiste toda la relatividad especial, es decir en aplicar a las formulas de Newton un factor de corrección para la masa. Esta formula ha sido ampliamente verificada a través de las observaciones de muchas clases diferentes de partículas que se mueven a velocidades cercanas a las de la luz. Para realizar estas investigaciones es que se construyen y utilizan los aceleradores de partículas o ciclotrones. Estas comprobaciones experimentales fueron realizadas posteriormente al desarrollo teórico de Einstein. El llamado principio de relatividad fue enunciado por Newton como un corolario de sus leyes de movimiento: los movimientos de cuerpos dentro de un espacio dado, son iguales entre estos (los cuerpos), sea que el espacio se encuentre en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. Esto significa que si por ejemplo lanzamos una pelota hacia arriba dentro de un auto en movimiento, esta nos caerá en las manos de la misma forma que lo haría si el auto estuviera parado. La teoría de la relatividad lo que en realidad quiere significar es que no existe en el universo un estándar absoluto para medir el movimiento, todos los objeto se mueven respecto de otros y solo podemos decir que algo se esta moviendo en tanto y en cuanto podamos establecer un sistema de referencia. Todos los sistemas de referencia son igualmente validos; cualquier punto de vista es tan bueno como cualquier otro. Si llamamos x, y, z, t a un sistema en reposo, y x’, y’, z’, t’ a las coordenadas que definen los puntos de un sistema en movimiento a velocidad u en la dirección de x. Resulta que las ecuaciones que relacionan las coordenadas de ambos sistemas según el principio de relatividad de Newton son: x’=x-ut y’=y z’=z t’=t Este principio de relatividad enunciado por Newton no resulto ser valido cuando fue aplicado a las ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético, esto significa que en un sistema en movimiento: un auto o una nave espacial, los fenómenos eléctricos y ópticos no son iguales a los mismos fenómenos cuando el sistema esta en reposo.

La constancia de la velocidad de la luz c Einstein estableció como postulado de su nueva teoría de la relatividad especial, que la velocidad de la luz es una constante independiente del estado de movimiento o reposo de la fuente que la origina. Es decir si estamos en reposo y hacia nosotros se acerca una nave a una velocidad v, cuando esta nave enciende una luz, dicho haz de luz nos llega a nosotros a la velocidad c y no como supondríamos a la velocidad compuesta c+v. Lo mismo ocurriría si la nave se aleja de nosotros, la luz no nos alcanzaría a una velocidad menor c-v, sino que lo seguiría haciendo a la velocidad c. Este postulado, junto con el que establece que la velocidad de la luz es una velocidad máxima que no puede ser superada por ningún objeto, cuerpo o radiación, suena muy raro para el sentido común, pero fue finalmente comprobado experimentalmente. ¿Cómo es posible? Einstein advirtió entonces que la única forma de explicar este "sin sentido" de que la luz se mueva a una velocidad idéntica para un observador en reposo que para otro en movimiento, es que el sentido del tiempo y del espacio para cada uno de ellos difieran, es decir el tiempo y el espacio dejan de ser valores absolutos o constantes sino que dependen del estado de movimiento del sistema de referencia. Los relojes del interior de una nave que se mueve a una velocidad muy alta (cercana a la de la luz) marchan mas despacio que los que están en la tierra en reposo. El viajante de la nave diría que se daría cuenta si esto ocurre pero no es factible dado que su cerebro también ira mas lento, es mas su cuerpo siendo un reloj biológico también envejecerá mas lentamente. Entonces se dice que dentro de la nave se mide la velocidad de la luz como 300.000 km base nave por segundo base nave, mientras que en la tierra el resultado es el mismo aunque los km y los segundos son base tierra.

Las transformadas de Lorentz En una primera instancia, cuando se comprobó que las ecuaciones de Maxwell no cumplían con el principio de relatividad newtoniano se creyó que estas estaban mal, y por ende se intento modificarlas de manera tal que se ajustaran al cumplimiento de dicho principio. El problema fue que cuando se hizo esto, los resultados de las predicciones que arrojaban estas ecuaciones correspondían a fenómenos que no se observaban en la realidad. Lorentz detecto que cuando hizo las siguientes sustituciones en las ecuaciones de Maxwell: x’= (x-ut)/(1-u2/c2)1/2y’=y

z’=z t’=(t-ux/c2)/(1-u2/c2)1/2

las mismas permanecían invariables. Einstein dijo entonces que todas las leyes físicas debían ser de tal forma que se mantuvieran invariables bajo las transformaciones de Lorentz. Así concluyo que no eran las ecuaciones de Maxwell que había que cambiar sino las de la mecánica Newtoniana. De aquí resulto que el único cambio necesario consistía en dejar de considerar a la masa como un valor constante y tomar el valor dado según la ecuación anterior donde la misma aumenta con la velocidad del cuerpo, siendo este aumento significativo a velocidades cercanas a la de la luz. De esta forma las leyes de Newton y las de la electrodinámica permanecen invariables en los diferentes sistemas de coordenadas. Ahora bien, las transformaciones de Newton llamadas Galileanas parecen ser de sentido común, no así las de Lorentz, por esta razón Einstein, para encontrar el sentido de estas transformaciones, comenzó por revisar los conceptos de espacio y tiempo. 18 años después de que Michelson y Morley fracasaron en su intento de medir la velocidad absoluta de la tierra respecto al éter, fluido este que nunca existió, Einstein explico lo que pasaba. Los cuerpos que se mueven a una velocidad cercana a la de la luz se contraen en la dirección del movimiento. El factor de contracción esta dado por las llamadas transformaciones de Lorentz. Lo que en un primer momento pareció ser un artificio matemático para lograr un resultado, se pudo comprobar experimentalmente junto con la no menos descabellada idea de que el tiempo transcurre mas lentamente para aquellos cuerpos en movimiento a velocidades comparables con la de la luz

9. Espacio-tiempo

La teoría de la relatividad muestra que la relación de posiciones y tiempos medidas en dos sistemas de coordenadas no son lo que hubiéramos esperado sobre la base de nuestra intuición. Por el contrario estas siguen las relaciones dictadas por las transformaciones de Lorentz. Para realizar una analogía con mediciones en dos sistemas de coordenadas y su significado, consideremos las transformaciones que tienen lugar cuando a un sistema se lo rota un cierto ángulo q respecto al centro del sistema. Así las ecuaciones que relacionan las posiciones entre ambos sistemas, el original y el rotado son: X’= x cosq + y senq

Y’= y cosq – x senq

Z’=z

Siendo los valores primos las coordenadas en el sistema rotado y los valores no primos las coordenadas en el sistema original. Los valores primos pueden considerarse como un mix ponderado de los valores no primos, siendo los factores de ponderación que ponderan a los valores no primos, función del ángulo de rotación del sistema. Veamos ahora una analogía físico-geométrica. Cuando miramos a un objeto, existen dos dimensiones del mismo, el ancho y la profundidad. La realidad es que el ancho puede pasara a ser profundidad y viceversa, dependiendo de cómo nos ubiquemos respecto al objeto. Es decir, ambas medidas son aparentes dado que según estemos ubicados nosotros respecto al objeto, las mismas serán diferentes (imaginemos que miramos al objeto desde diferentes ángulos). Estas medidas aparentes son una combinación o mix de las medidas reales del objeto, su ancho y su profundidad, y se pueden calcular aplicando las formulas anteriores de rotación. Si no pudiéramos cambiar de posición respecto al objeto que observamos, este ejercicio de pensamiento seria irrelevante dado que siempre veríamos los mismo del objeto, es decir para nosotros el ancho y la profundidad serian dos medidas diferentes, que denominaríamos las verdaderas medidas del objeto. Es debido a que podemos caminar alrededor del objeto, que podremos darnos cuenta que el ancho y la profundidad son de alguna manera dos aspectos diferentes de la misma cosa. Supongamos que el objeto es un rectángulo, si lo miramos de frente el ancho es una dimensión, mientras que si nos colocamos de costado perpendicular a la posición anterior, el ancho es lo que antes era la profundidad. Ahora bien ¿podemos pensar a las transformadas de Lorentz de la misma manera? En estas también los valores primos son un mix de los no primos. Recordemos que los valores primos son los correspondientes al sistema en movimiento, mientras los no primos son los correspondientes al sistema en reposo. Lo complicado es que dicho mix, es un mix de espacio y tiempo. En el sistema en movimiento (el primo) valores de posición que denotan espacio, son una mezcla de valores de posición del sistema en reposo y valores de tiempo en el mismo sistema. Lo que una persona en el sistema en movimiento ve como espacio, la otra persona en el sistema en reposo lo ve en parte como paso del tiempo. Feynman genera la siguiente idea: la "realidad" de un objeto al cual miramos, es de alguna manera mas amplia (lo que miramos no es la realidad objetiva e intrínseca del objeto) que el "ancho" y la "profundidad" del objeto porque estos dependen del hecho de cómo miremos al mismo, es decir desde que lugar. Cuando nos movemos a una nueva posición, nuestro cerebro inmediatamente recalcula el ancho y la profundidad, dándonos una idea real de lo que es el objeto. Pero nuestro cerebro no puede recalcular inmediatamente coordenadas de espacio y de tiempo cuando nos movemos a altas velocidades, debido a que no tenemos la experiencia efectiva de viajar a velocidades cercanas a la de la luz, adonde podríamos apreciar que el espacio y el tiempo son como "el ancho y la profundidad" dimensiones de la misma naturaleza. A nosotros nos ocurre como en el caso de aquella persona que mira a los objetos siempre desde la misma posición, sin poder caminar alrededor de ellos. De esta manera intentaremos pensar a los objetos en una nueva clase de mundo de espacio-tiempo combinado, de la misma manera que en el espacio dimensional podemos observar los objetos desde diferentes posiciones. Así consideraremos a los objetos que ocupan un cierto espacio y duran un cierto tiempo, como ocupando un cierto "blob" (es la palabra de Feynman) en este nuevo mundo al que denominamos espacio-tiempo. Un punto en este espacio-tiempo definido por cuatro coordenadas (x, y, z, t) se denomina evento. La geometría del espacio-tiempo así definido no es euclidiana. El espacio-tiempo es un espacio curvo, estando la curvatura dada sobre la dimensión tiempo de dicho espacio. ¿Que tal?!!!

Espacio curvo El tema este me parece interesante porque si bien el titulo suena a algo estrambótico, la realidad es que entenderlo abre la mente, porque da la casualidad que nosotros vivimos en un espacio curvo. Muchos de los conceptos que adquirimos en las escuelas aprendiendo geometría euclidiana en un plano, no son validos en los espacios curvos. La explicación que da Feynman acerca de los espacios curvos surge a partir de la teoría general de la relatividad y de la teoría de la gravedad de Newton. Newton decía que cualquier cuerpo con masa atrae a otros cuerpos con masa, con una fuerza que de acuerdo a una formula sencilla era igual al producto de las masas dividido por el cuadrado de la distancia que separa a ambos. Si bien sencilla, el fundamento físico de esta formula no es para nada claro, ¿por qué se produce esa atracción? Es una pregunta sin respuesta. Einstein tenia una interpretación diferente de la fuerza de gravedad o atracción entre los cuerpos. Según el, el espacio y el tiempo, que conforman el denominado espacio-tiempo, sufren una curvatura considerable cerca de grandes masas. Es así que el intento de las cosas de continuar el movimiento en línea recta en este espacio-tiempo curvado lo que hace que las cosas se muevan como lo hacen, es decir atrayéndose entre ellas según la formula de Newton. Esto dice Feynman es una idea compleja para entender, así que comienza su explicación ocupándose solamente del concepto de espacio curvo sobre todo en la aplicación de Einstein. Como en tres dimensiones es un tema complejo, empieza a desarrollarlo en dos dimensiones. Para esto Feynman se imagina seres vivos que habitan en un mundo de dos dimensiones. Estos insectos obviamente no tienen posibilidad de imaginarse como es un mundo como el nuestro de tres dimensiones, por lo tanto por analogía que hagamos al pasar de dos a tres dimensiones, podremos comprender, no sin esfuerzo como transformar nuestras ideas y pasar de nuestras tres dimensiones a cuatro dimensiones (espacio-tiempo). Así Feynman nos habla de un insecto que vive en un plano, otro que habita la superficie de una esfera, donde podrá caminar pero sin tener el concepto de mirar para arriba o para abajo o para afuera de la esfera, y un tercero que vive en un plano mas complejo y con ciertas características: la temperatura es diferente en diferentes zonas de dicho plano, tanto el insecto como las reglas que utiliza para medir están hechas de un material que se expande cuando aumenta la temperatura. En este plano que denominamos plato caliente, todo se expande con el calor en la misma proporción. Ponemos ahora a nuestros insectos a estudiar geometría. Primero aprenden el concepto de línea recta como la distancia mas corta que hay entre dos puntos. El insecto en el plano dibuja una línea recta; el que esta sobre la esfera también lo hace aunque nosotros (individuos en tres dimensiones) veremos que es una curva sobre la esfera que une ambos puntos. Para el tercer insecto en el plato caliente, el dibujo también resultara en una línea curva pero que requiere mas explicación. Digamos primero que el plato esta mas caliente en el centro que en los bordes, y digamos que los puntos que debe unir están a ambos lados del centro. Dada la definición que la línea recta es la menor distancia entre dos puntos, el insecto comenzara a trazar esta línea con su regla, pero dado que la misma se expande en las zonas de mayor temperatura, los cm que el mida sobre esta regla serán mas grandes en las zonas calientes que en las frías por lo tanto al querer trazar la línea mas corta, esta tendrá, viéndola desde arriba (algo que nuestro insecto no puede hacer), una curvatura hacia fuera del plato, que son las zonas de mayor temperatura. Vemos así que el mismo concepto adopta diferentes formas para nosotros. Estas formas se producen según es el punto de vista de los insectos que dibujan las líneas. Veamos ahora la construcción de figuras geométricas sencillas: un cuadrado, un triangulo y un circulo. Empezando por el insecto que esta en un plano, el dibujara un cuadrado trazando a partir de un punto A, una línea de longitud d definida; marcando luego un ángulo de 900 con esta, trazara otra línea de longitud d, y así repetirá el procedimiento dos veces mas, comprobando que vuelve al punto de partida A. Esta figura es un cuadrado. Si luego dibuja una figura que esta dada por la intersección de tres líneas oblicuas obtendrá lo que se denomina triangulo, figura esta que tiene la propiedad de que sus ángulos internos suman 1800. Finalmente si desde un punto c, nuestro insecto comienza a dibujar líneas todas de la misma longitud r, comprobara que si une estos puntos obtenidos obtendrá una línea curva que se cierra sobre si misma a la que denominaremos circulo. También haciendo diferentes de estos círculos, podrá comprobar que la relación entre la medida de esta curva (perímetro de la circunferencia) y la distancia desde el punto c (centro) hasta la curva r (radio) es un valor constante, aproximadamente 6,283 (2p ). Ahora bien cuando el mismo procedimiento es seguido por nuestros otros dos insectos, el de la esfera y el del plato caliente, nos encontramos con ciertos inconvenientes. El cuadrado no se cierra, es decir no se vuelve al punto de partida cuando a partir de un punto trazamos líneas en ángulos rectos de la misma dimensión. Los ángulos del triangulo no suman 1800 sino mas. Cuando dibujan la circunferencia sobre la superficie de la esfera o sobre el plato caliente, resulta que la relación entre C (perímetro de la circunferencia) y la constante 2p , da un valor que es menor al radio medido sobre el espacio sea de la esfera o del plato caliente. Se define entonces un espacio curvo como aquel en el que ocurren este tipo de incongruencias o diferencias con el espacio euclidiano. Puede haber diferentes tipos de espacios curvos. Un insecto en una pera tendrá una visión diferente a los otros dos que mencionamos, dado que la curvatura de la pera varia según este en la parte superior o la inferior. Un insecto en una silla de montar también esta en otro tipo de espacio curvo. Según sea la curvatura de estos espacios se puede dar que las incongruencias con el espacio euclidiano sean inversas. Así la suma de los ángulos internos de un triangulo podrán ser inferiores 1800, el radio calculado puede ser menor al radio medido. Se dice de estos que son espacios curvos de curvatura negativa. Un caso particular es aquel del insecto viviendo en la superficie de un cilindro. Diríamos en principio que este también esta en un espacio curvo. Sin embargo si dibujamos el cuadrado, el triángulo y el circulo sobre la superficie del cilindro, veremos que estas figuras cumplen con los criterios del espacio euclidiano. Esto es simplemente así porque si desenrollamos el cilindro con las figuras en el, veremos entonces que estas son las mismas pero ahora en un plano. De esta manera podemos decir que nuestro insecto no puede detectar que esta sobre un espacio curvo, realizando los experimentos de los dibujos, porque le darán como si fuera un plano. Solo podrá detectar la curvatura comenzando a caminar hacia una dirección y comprobando que regresa al punto de partida. Según nuestra definición técnica, el cilindro no es un espacio curvo. De esta manera, introducimos el concepto de curvatura intrínseca, diciendo que es aquella que puede detectarse mediante una medición local, por ejemplo dibujando el cuadrado y viendo que no llegamos al punto de partida. Decimos entonces que el cilindro no tiene curvatura intrínseca. Este fue el sentido que le daba Einstein cuando definía a nuestro espacio como un espacio curvo. Ya lo vimos en dos dimensiones, debemos extrapolar ahora no sin cierta complicación a tres dimensiones. Vivimos en un espacio de tres dimensiones y no podríamos imaginar que el mismo puede estar doblado o curvado en alguna dirección, simplemente nos dice Feynman porque nuestra imaginación no es lo suficientemente buena, de la misma manera que para el insecto que habita la superficie de la esfera, le es imposible darse cuenta de lo que significan las tres dimensiones que nosotros vemos tan claramente. Aun así podemos definir una curvatura sin salir de nuestro mundo tridimensional. Todo lo dicho acerca de el mundo bidimensional de nuestros insectos fue un ejercicio para mostrar que podemos obtener una definición de curvatura del espacio que no requiere que estemos en condiciones de observarla desde una posición externa. Podemos determinar si nuestro mundo esta en un espacio curvo de la misma manera que hacen nuestros insectos que viven en la superficie de una esfera o de un plato caliente. Es cierto que no podremos diferenciar entre ambos, pero si podemos diferenciar ambos de un espacio plano. ¿Cómo lo hacemos? De la misma manera que hicimos hasta ahora, dibujamos un triangulo y medimos sus ángulos interiores, o un circulo y medimos la relación entre su circunferencia y el radio, o una esfera, o tratamos de dibujar un cuadrado o un cubo. En cada uno de estos casos verificamos si se cumplen los postulados de la geometría euclidiana, si esto no ocurre, entonces decimos que nuestro espacio es curvo. No obstante en el caso de tres dimensiones la cosa no es tan sencilla como en el caso de dos dimensiones, dado que en los espacios bidimensionales, en cualquier punto del mismo hay una cierta curvatura, pero en tres dimensiones existen varios componentes de la curvatura, por ejemplo si dibujamos un triangulo en un plano podremos obtener una suma de sus ángulos interiores diferente a la que obtendríamos si lo dibujamos en otro plano, lo mismo ocurriría si dibujamos un circulo. Una manera de superar este obstáculo seria dibujando una esfera. Definimos la esfera como el conjunto de puntos que en un espacio tridimensional son equidistantes de un punto del mismo espacio al que denominamos centro de la esfera. Podemos medir la superficie de la esfera mediante algún sistema practico tal como colocar sobre dicha esfera una grilla con pequeños rectángulos, hasta cubrirla totalmente, luego sumar las áreas de los rectángulos y esa será la superficie medida de la esfera, como sabemos que la formula de la superficie de una esfera es: S = 4p r2, resulta que de esta formula podemos calcular el radio ya que la superficie S fue calculada con el método de la grilla. Es importante una aclaración; la formula del área de una esfera es correcta si la misma (esfera) existe en un espacio euclidiano, justamente que los resultados de la formula no coincidan con las mediciones realizadas, asumiendo que tenemos instrumentos perfectos para medir, denota la característica de espacio no euclidiano y por ende la denominación del mismo como espacio curvo. Volviendo a nuestra comprobación, podemos medir directamente el radio de la esfera con los instrumentos perfectos. Si el radio medido es mayor al radio calculado, tendremos un radio en exceso que es la medida de la curvatura media del espacio tridimensional en el cual se encuentra nuestra esfera. Al ser una curvatura media o promedio no se podrá determinar las propiedades geométricas de dicho espacio. En realidad la definición completa de la curvatura de un espacio tridimensional requiere la especificación de seis números de curvatura en cada punto. Esto así esta dicho por Feynman, pero realmente no es sencillo entender a que se refiere. Ahora bien, el espacio tridimensional en el que vivimos ¿es curvo? A partir de muchas mediciones geométricas realizadas, nadie detecto que nuestro espacio fuera curvo. Simplemente para distancias no muy grandes no es factible detectar si nuestro espacio es euclidiano o no. Pero bajo ciertas circunstancias tales como en lugares donde la fuerza de gravedad es muy intensa o las distancias en cuestión son muy largas, tal como ocurre en los espacios interestelares o cerca de estrellas que producen fuertes campos gravitatorios, se ha comprobado que el universo es un espacio no euclidianos es decir es un espacio curvo. Fue Einstein quien estudiando el tema de la gravedad, en su teoría general de la relatividad, quien descubrió la curvatura de nuestro espacio. La explicación que da Feynman no es sencilla, pero esta hecha con lenguaje llano y poca matemática así que aquí la describo. Einstein dijo que el espacio es curvo y que la causa de esa curvatura es la materia. Como la materia es también la causa de la gravedad, entonces la gravedad estará relacionada on la curvatura del espacio.

Hiper-espacio No es sencillo entender o imaginarnos los conceptos relacionados con la teoría general de la relatividad y la cosmología, porque nos hablan de hiperespacios (espacios de mas de tres dimensiones) y espacios no euclidianos. Por esta razón me pareció importante agregar algunas explicaciones que no vienen de Feynman pero que ayudan a comprender su lectura. Como primera medida es necesario dar significado al termino "dimensión". Podemos acordar que el lugar donde habitamos es un espacio de tres dimensiones, un plano geométrico o la superficie de una esfera, es un espacio de dos dimensiones, una línea o una circunferencia es un espacio de una dimensión. En nuestro universo nosotros siempre encontraremos un punto por donde puedan trazarse tres líneas perpendiculares entre ellas, imaginemos la esquina de un cuarto. En un plano solo podemos trazar dos líneas perpendiculares que pasen por el mismo punto. Por lo tanto por extensión decimos que si en un espacio podemos trazar por un punto n líneas que son perpendiculares entre si, dicho espacio será n-dimensional. Esta afirmación que deducimos obviamente no puede captarse con la imaginación, simplemente porque, como decía Feynman, nosotros estamos metidos en un espacio tri-dimensional por lo que todo lo que lo supere no es algo que podamos visualizarlo dado que nuestros sentidos no están preparados para esto. Un ejemplo típico de espacio bidimensional es la superficie de la tierra, donde solo pueden trazarse dos líneas perpendiculares que pasen por el mismo punto. Así el concepto de dimensión se define en términos de la cantidad de líneas perpendiculares que pueden pasar por un mismo punto. Dos cosas surgen como validas de esta definición: la cantidad de dimensiones de un espacio es un numero entero, y en un mismo espacio todos los puntos cumplen con la condición de cantidad de líneas perpendiculares, es decir no puede existir una zona donde pasen tres líneas perpendiculares y otra donde pasen dos, por que estaríamos hablando de espacios diferentes. Otra forma de definir el concepto de dimensión, es a partir de la cantidad de valores que necesitan darse para conocer la posición de un punto en el espacio de referencia. Así en un espacio bi-dimensional solo necesitamos dos valores, sean estos las coordenadas cartesianas (x, y) o lo que mas nos suena en la superficie de la tierra la longitud y la latitud, no olvidemos que en este último caso el espacio es curvo sobre una tercera dimensión, por lo que no existen las líneas rectas para dibujar los ejes cartesianos, salvo en regiones pequeñas del mismo (locales). Si definimos como superficie de un objeto el límite o la frontera que separa lo interior de los exterior del objeto, en un espacio bi-dimensional, esto será el perímetro del objeto. S el espacio es además euclidiano podemos entonces decir que el perímetro de un cuadrado es 4 veces el lado, y el de una circunferencia es 2p R. Si queremos medir lo mismo en un espacio curvo como la superficie de una esfera, según habíamos visto en la explicación de Feynman, esto no ocurre, es decir el espacio continuo bi-dimensional que se forma sobre la superficie de una esfera (como la tierra) no es euclidiano sino curvo. Entrando a nuestro espacio dado por todo el universo que podemos observar, desde Einstein con su teoría general de la relatividad, se considera que el mismo podría ser un espacio de cuatro dimensiones, donde para poder ubicar a cada punto del mismo, se deberían conocer cuatro valores. Estos cuatro valores ubicarían a cada punto en la superficie de un hiper-esfera, es decir cada uno de estos equidistaría (igual distancia) de algún epicentro cósmico. Las desviaciones locales de la perfección euclidiana son muy pequeñas como para ser detectadas, pero los cosmólogos dicen que si iniciáramos un viaje interestelar imaginario, a la larga llegaríamos al punto de partida. Algo así como si iniciamos un viaje alrededor de la tierra. Esto lleva a la idea de que nuestro universo no tiene limites pero es finito. Para marearnos mas, este viaje nos llevaría por una circunferencia cuyo distancia es probablemente del orden de cientos de miles de millones de años luz. Si viajáramos a la velocidad de la luz, máxima permitida según la teoría especial de la relatividad de Einstein, volveríamos cuando nuestro sol esta consumido y la tierra congelada o evaporada. ¿Cuáles son las características de este universo cuya forma es una esfera de cuatro dimensiones? En primer lugar y como ya mencionamos, debemos definir que es una hiper-esfera, y lo hacemos como analogía de una esfera tri-dimensional, diciendo que es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un centro P. En una dimensión una esfera son solo dos puntos, en dos dimensiones es un circulo, en tres dimensiones es lo que conocemos como esfera. Una esfera en una dimensión no tiene superficie o mejor la superficie es de dimensión cero (recordemos como definimos superficie: es el limite entre lo externo e interno del objeto), una esfera en dos dimensiones tiene una superficie de una dimensión (una línea), una esfera de tres dimensiones tiene una superficie de dos dimensiones (una superficie curva. Analogía con la tierra). Y en general decimos entonces que una n-esfera tendrá una superficie de n-1 dimensiones. Nuestro Universo si esta definido como una esfera en un espacio cuatri-dimensional, tiene una superficie tri-dimensional que es donde nosotros existimos. Nunca podemos ver nada fuera o dentro de la esfera de 4 dimensiones, solo vemos lo que ocurre en la superficie en la que estamos, dado que la luz viaja en solamente sobre dicha superficie. Para reafirmar esta idea pensemos en el insecto de Feynman que vive en un plano e imaginemos lo encerrado en una circunferencia sobre el mismo, nosotros, seres con capacidad para ver en tres dimensiones, sabemos que para salir del encierro solo tendría que saltar, pero esto implica poder ver esta tercera dimensión que es la altura, algo imposible para nuestro ser bi-dimensional, por eso estar encerrado. Así nosotros nos es imposible salir de nuestro espacio tri-dimensional por las mismas razones. La imaginación ha permitido escribir ciencia ficción donde las maquinas del tiempo permitirían salir de este confinamiento. ¿Cuál es el significado del tiempo como una cuarta dimensión de nuestro espacio? En primer lugar es perfectamente posible definir al tiempo como una variable para ubicar un punto(evento) en el espacio. Sin ir mas lejos, existen en los textos históricos flechas o líneas de tiempo donde se ubican momentos ocurridos en el pasado. La magnitud de los intervalos puede ser la que uno elija dado que el tiempo es una variable continua. Adicionalmente existe una correlación entre espacio y tiempo que pudiera permitir medir la dimensión del espacio en unidades de tiempo. Esta correlación surge del postulado d Einstein acerca de la constancia de la velocidad de la luz. Así diríamos que una medida de 300.000 Km. puede expresarse en unidades de tiempo como 1 seg dado que es ese el tiempo que tarda la luz en recorrer los 300.000 Km. Evidentemente esta medida es mas adaptable a distancias muy grandes como las interestelares. Así decimos que la distancia del sol a la tierra son 8 minutos, el diámetro del sistema solar es de 10 horas, el diámetro de la vía Láctea es de 100.000 años y el radio del universo conocido es de 10.000 millones de años. Creo que ya lo mencione pero es a mi criterio importante destacar que nuestro espacio tri-dimensional es no euclidiano, es decir es un espacio curvo. Para que esto sea posible es necesaria la existencia de una cuarta dimensión del espacio, de manera tal que nuestro universo tenga algo respecto a que curvarse. Si descubrimos que nuestro espacio es no-euclidiano, entonces concluiremos que debe existir una dimensión adicional. Por ultimo algo extraño pero interesante. Si pensamos nuestra ubicación en la superficie de la tierra, vemos que la distancia entre dos puntos es una línea que se denomina geodesia. Esta línea es un arco de circunferencia que une ambos puntos. Esta es para nosotros la distancia mas corta, aunque si nos movemos a tres dimensiones sabemos que hay una distancia mas corta dada por la recta que pasa bajo tierra y une ambos puntos. Si extendiéramos esto al infinito, diríamos lo siguiente:

1. Así como habitamos en un espacio tridimensional que es la superficie de un espacio cuatri-dimensional, podemos pensar que este espacio cuatri-dimensional es la superficie de un espacio de 5 dimensiones.
2. Cada uno de estos espacios es como el anterior no-euclidiano. ¿por qué? Simplemente por que hay muchas formas para un espacio de ser curvo y solo una de ser euclidiano.
3. Tal como ocurre al medir la distancia entre dos puntos en este tipo de espacios curvos, veíamos como cuando se agrega una dimensión, esta distancia es mas corta que la que podíamos medir.
4. Podríamos entonces concluir que extendiendo el razonamiento al infinito, la distancia entre dos puntos es igual a cero. Es allí donde decimos que toda la creación es un simple punto en un espacio de infinitas dimensiones.

¿Qué es lo que nos ha llevado a decir que nuestro espacio es no euclidiano o curvo? ¿Qué propiedades hemos observado que nos hace creer en esto? La respuesta que dio Einstein a estas es la gravedad. La presencia de la materia causa una distorsión en el espacio-tiempo, y esta es la base para la Teoría General de la Relatividad.

Autor:

Eduardo Yvorra