La modelación matemática de situaciones problémicas de la física en el preuniversitario (página 2)

La modelación de situaciones problémicas

Uno de los aspectos a tomar en cuenta durante la resolución de situaciones problémicas en Física es la modelación matemática del fenómeno que se describe o se observa. Como ya se ha dicho, se trata de transformar la "contemplación viva" a la forma de "pensamiento abstracto". Esto requiere del uso del lenguaje matemático por parte de profesores y estudiantes. Pero debe tenerse en cuenta que los docentes que imparten Matemática lo hacen siguiendo ciertas normas, de modo que los físicos deberán utilizar normas similares en el uso de dicho lenguaje para no generar contradicciones y confusiones innecesarias en los estudiantes. Con frecuencia el vocabulario utilizado por los profesores de Física al realizar la transposición de términos en una ecuación no coincide con el que utiliza el profesor de Matemática; en ocasiones, el manejo del trabajo con variables durante el despeje de incógnitas en las ecuaciones no es el mismo. Resulta frecuente escuchar a un profesor de Física decir: "… esto es Física, no Matemática", como si se tratara de otro lenguaje, como si los procederes no tuvieran que coincidir, como si las matemáticas fueran diferentes al ser utilizadas en las distintas asignaturas. De modo que, ante todo, debemos unificar la manera de utilizar el lenguaje matemático y para ello los físicos debemos ajustarnos a la forma y al estilo que utilizan lo docentes que imparten Matemática.

La resolución de situaciones problémicas en la Física es una de las habilidades específicas de la asignatura que más peso tiene en su proceso de enseñanza aprendizaje. Es resolviendo situaciones problémicas que los estudiantes desarrollan el pensamiento lógico, son las situaciones problémicas los que exigen esfuerzos personales y favorecen el desarrollo de cualidades volitivas. La resolución de problemas estimula el debate y como consecuencia, aparecen diferentes vías de solución para un mismo problema lo que permite la aparición del pensamiento divergente, contribuyendo así al debate científico. En ese debate entre los estudiantes se socializan las estrategias de aprendizaje y los métodos para abordar las situaciones problémicas. Así, está presente el llamado plano interpsicológico en el proceso de aprendizaje. Cuando el estudiante se sienta a resolver el problema, sin la ayuda de alguno de sus compañeros, de manera independiente, entra en función el plano intrapsicológico que, según Lev S. Vigotski, juegan un papel decisivo en el aprendizaje y en la formación de la personalidad de los educandos. Uno de los momentos fundamentales de la resolución de situaciones problémicas lo constituye la modelación matemática de la misma. La modelación es una habilidad dentro de otra habilidad, ella propicia el tránsito a la forma de pensamiento abstracto, lo que permite la predicción científica, que podrá ser corroborada mediante el experimento.

Como toda habilidad, tiene una estructura interna. Estructura que ha de conocer el profesor para poder diagnosticar el estado en que se encuentra el aprendizaje de sus alumnos y para dar un tratamiento didáctico adecuado a la resolución de la situación problémica. Solo mediante el conocimiento de la estructura interna de una habilidad, un profesor puede saber "dónde" es que se "detiene" el estudiante, en qué indicadores falla. Solo así se puede concebir una estrategia para lograr que el alumno avance.

Antes de pasar al estudio de la estructura interna de la habilidad referida es conveniente conceptualizar "modelación matemática de una situación problémica de la Física", en el nivel preuniversitario cubano.

En el contexto de este trabajo asumimos la referida modelación como "Un proceso constituido por un sistema de pasos lógicos que se rige consecuentemente por la aplicación de las leyes de la Física, que se apoya en el uso del lenguaje matemático, para predecir, desde la teoría, la solución de una situación problémica concreta del mundo físico y que favorece el desarrollo del pensamiento estratégico y táctico de los estudiantes".

Proceso al fin, está constituido por etapas. El hecho de presentar un carácter sistémico implica que está compuesto por subsistemas de diferente nivel jerárquico donde se manifiestan nexos de coordinación y subordinación. Obviamente la modelación parte de la aplicación de las leyes de la Física, de modo que está presente el cuerpo legal de dicha ciencia. El uso del lenguaje matemático se convierte en una necesidad para codificar y expresar en símbolos los conceptos subyacentes en dichas leyes y operar con los mismos. Esa codificación permite trabajar cómodamente en el intricado laberinto que representan los procesos del pensamiento lógico aplicados a situaciones problémicas complejas. De modo que la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático es una condición imprescindible para enfrentar dichas situaciones. Posteriormente, al llegar a la solución, será necesaria la decodificación de los resultados para su interpretación física y poder brindar una respuesta inteligible.

Pero la solución a que conduce la modelación está en el marco de las hipótesis. Decir que el alcance de un proyectil es 250 metros es solo predecir que, si se monta el experimento con las condiciones requeridas, el resultado estará, dentro de cierto margen de error, en el entorno de los 250 metros. Una situación problémica en Física no está totalmente resuelta hasta tanto no se compruebe mediante el experimento (la práctica), de modo que lo que muchos profesores llaman "resolver un problema" no es otra cosa que modelar una solución e hipotetizar un posible resultado. Algunos especialistas le llaman "problemas de lápiz y papel" indicando que no se trata de una solución completa a un problema físico. Pero en la Física existen los físicos teóricos, ellos se dedican a la obtención de modelos, estos modelos, llevados al experimento, han conducido a grandes descubrimientos en el terreno de esta ciencia. Ahí está la expansión del universo, la existencia de las antipartículas, la existencia de los agujeros negros, así como otras muchas soluciones teóricas que después han sido comprobadas en la práctica. Es por ello que resulta conveniente que los estudiantes se familiaricen con este proceso, para que "sientan" la Física, para que, de acuerdo con su nivel, puedan saborear las vivencias de los físicos "de verdad", esto los motiva y los implica en la actividad que organiza el docente.

Cuando se habla de pensamiento estratégico se hace referencia a que, durante la modelación de una situación problémica, se requiere organizar las ideas, establecer una serie de pasos lógicos, en un orden preciso. Cuando se hace referencia al pensamiento táctico se está hablando de la necesidad de encontrar soluciones parciales a sub-problemas que aparecen dentro de una situación problémica y que implican soluciones tácticas, es cuando el alumno se plantea: bueno, ya conozco la ecuación que debo utilizar pero ¿cómo determino la velocidad?, ¿y el tiempo?, porque son magnitudes que están contenidas en dicha ecuación y no conozco sus valores.

La estructura interna de esta habilidad específica de la Física, en opinión del autor, es la siguiente:

Veamos cada aspecto en detalle:

Esquematización: se trata de confeccionar un esquema de la situación que se describe en el texto del problema o se observa a través de un experimento en clase, de manera que se represente lo verdaderamente importante, lo esencial, despreciando lo superfluo. Esta es una habilidad que debe desarrollarse en los estudiantes y que contribuye a la comprensión de la situación problémica.

Graficación: el estudiante debe confeccionar un gráfico que represente la dependencia funcional entre las variables involucradas en el problema. Para ello debe tener conocimientos sobre las funciones lineales, cuadráticas, trigonométricas, etc. Es importante que el alumno sea capaz de predecir, a partir de las ecuaciones, el tipo de gráfica que le corresponde. Muchos problemas de la Física se resuelven partiendo de un diagrama de dispersión que sugiere una tendencia, que puede ser lineal, cuadrática, exponencial, etc. De modo que el trabajo del físico pasa por la necesidad de dominar la confección, aunque sea aproximada, de un gráfico de permita comprender cómo están relacionadas las variables que se involucran dentro de la posible solución de la situación problémica.

Selección de la información útil: se trata, ni más ni menos, que de la selección de lo que llamamos comúnmente "los datos", es aquella información, explícita o no, que aparece en el texto del problema o que se aprecia a través de la realización de un experimento.

Interpretación de dicha información: el estudiante debe culminar esta etapa "comprendiendo" con profundidad en qué consiste la situación problémica gracias a una correcta interpretación de la información recogida. La mayoría de los estudiantes no se detienen a procesar la información preliminar antes de comenzar a trabajar, esto conduce a la selección de vías de solución inadecuadas que una vez encaminadas, frenan la capacidad de encontrar la vía de solución correcta. Es necesario que el estudiante ahora sea capaz de enfocar el problema desde diferentes aristas, por ejemplo, la selección del sistema de referencia más cómodo para abordar la solución.

Aplicación de las leyes de la física para seleccionar las ecuaciones que se requieren: el estudiante selecciona, a partir de las leyes que rigen el fenómeno que se estudia, aquellas ecuaciones con las que se debe trabajar, al menos para comenzar.

Adecuación de las ecuaciones a las condiciones del problema: ahora se ajustan las condiciones iniciales (en este nivel no hay que pensar, de modo general, en condiciones de frontera), es decir, si hay o no velocidad inicial, si el cuerpo experimenta una caída libre o si es lanzado, si se detiene por completo, si está acelerado o no…

Obtención de la ecuación solución mediante el trabajo con variables: el estudiante debe ser capaz de combinar las ecuaciones necesarias para obtener una ecuación en la que está despejada la variable que desea evaluar en función de los datos seleccionados.

Estudio de casos límite: es donde el estudiante valora diversas hipótesis, ¿qué pasa si se reduce la masa?, ¿y si la velocidad inicial fuera cero?, ¿y si no hay rozamiento?, en fin, diversas posibilidades que permiten encontrar una respuesta lógica ante determinadas situaciones que pudieran darse. Se trata de poner a prueba la ecuación obtenida ante situaciones extremas.

El resto de los indicadores se explican por sí solos, pero es conveniente apuntar que en la valoración de la solución los estudiantes deberán ser capaces de obviar aquellos resultados absurdos y revisar qué "anda" mal en la solución encontrada.

La mejor manera de comprender lo que se pretende expresar es mediante un ejemplo donde se manifieste la necesidad de apoyarse en el lenguaje matemático para resolver situaciones problémicas de la Física en el nivel preuniversitario. Veamos un problema típico de la enseñanza preuniversitaria y cómo tratar la situación física utilizando el lenguaje matemático que resulta habitual a los alumnos de este nivel.

En algunos casos se pide la velocidad inicial para que el estudiante se vea obligado a realizar el despeje de la variable, sustituir y calcular. Después se proponen varios ejercicios similares, en ocasiones exigiendo la conversión de unidades. En un turno de clase se pueden hacer varios ejercicios como este, pero se pierde el sentido de la modelación matemática de la situación problémica, de la concepción de un modelo físico-matemático que brinde una solución general. Se apuesta por la reproducción y no se explotan conocimientos matemáticos que adquirirían significado si se utilizaran. Proponemos partir del criterio de manejar la situación problémica como lo haría un físico en el supuesto caso de que se tratara de un fenómeno totalmente desconocido.

Ante todo, debe ser elaborado un esquema que ilustre aproximadamente la situación que se describe. Esta esquematización forma parte de la comprensión de la situación problémica que se estudia, el esquema ayuda a aclarar las ideas porque se convierte en una manera gráfica de describir, desde la interpretación que hace el estudiante, la situación que se estudia y que se pretende modelar.

Fig 1

La lectura inteligente permite la selección de la información útil.

Se procede a discutir la vía de solución, para ello se descompone el vector Ven sus proyecciones sobre los ejes coordenados.

Después de arribar a la conclusión (previo debate con razonamientos incluidos) de que el movimiento en la dirección vertical es uniformemente acelerado, no así en la dirección horizontal, que es sin aceleración, se llega a que:

Entonces se puede construir un gráfico aproximado que describe dicha trayectoria parabólica. El estudiante estará familiarizado con este tipo de gráfico porque ya ha recibido el contenido relativo a las funciones cuadráticas con anterioridad en la asignatura Matemática.

Al llegar a este punto es conveniente reflexionar sobre lo que se ha hecho: se ha demostrado, mediante el uso de las matemáticas y partiendo de ciertas condiciones físicas iniciales, que si se lanza un cuerpo puntual, en las condiciones dadas, sobre un plano horizontal y formando cierto ángulo (< 90º) con dicha dirección, el cuerpo se mueve siguiendo una trayectoria parabólica como se muestra en el gráfico (y aquí se pone de manifiesto la importancia del signo "menos" que precede la ecuación paramétrica que describe el movimiento en el eje x y que aparece después en la "ecuación de la trayectoria"). El razonamiento físico apoyado por la herramienta matemática ha permitido obtener un modelo teórico que predice cómo se moverá el cuerpo en las condiciones que se describen, qué trayectoria seguirá. El experimento para corroborar la predicción puede hacerse lanzando un fragmento de tiza y observando su trayectoria. En la historia de la Física son muchos los descubrimientos hechos de esta manera, desde las ecuaciones de Newton para describir el comportamiento de los cuerpos bajo la acción del campo gravitatorio, pasando por las ecuaciones obtenidas por Dirác que condujeron al descubrimiento de las antipartículas hasta las que manejaron Einstein y Fridman y que predicen la expansión del universo. ¿Por qué privar a los alumnos del placer de modelar una situación problémica, de hipotetizar, de predecir y de dar significado a sus conocimientos matemáticos?

Volviendo al problema del alcance. Se ha probado que el proyectil sigue una trayectoria parabólica. Si se observa detenidamente el gráfico, el estudiante puede percatarse de algo esencial: L (el alcance) es uno de los "ceros" de la función cuadrática, es uno de los puntos donde su gráfica corta al eje de las abscisas. Entonces: si y = 0, en la ecuación (I) podemos escribir:

Hay una gran diferencia entre la deducción de la ecuación solución con las reflexiones que implica, aprovechando el vínculo que es posible establecer con los conocimientos matemáticos; a dar la ecuación ya "hecha" para que solo se sustituya y se calcule.

En la expresión obtenida se puede hacer el análisis de las unidades y probar su compatibilidad dimensional como vía alternativa para la comprobación del proceso.

Cualquier pedagogo sabe que el aprendizaje de los alumnos es insuficiente si se conforma solamente con lo que se discute en el turno de clase. Se requiere del estudio individual, por equipos, con carácter independiente, sin los niveles de ayuda que aporta siempre el profesor en el aula. Es durante el trabajo en equipos donde mejor se socializan las estrategias de aprendizaje entre los estudiantes. Es durante el estudio individual donde se alcanza la independencia cognoscitiva. Pero ello solo ocurre cuando hay una fuerte motivación.

El estudiante del preuniversitario se motiva cuando aprecia cómo y dónde se aplica lo que aprendió, cómo se pueden usar las matemáticas, cómo el lenguaje matemático permite establecer argumentos y fundamentar modelos de solución. Solo así los contenidos adquieren significado. El proceso de reflexión asociado a la situación problémica antes descrita – a modo de ejemplo de cómo introducir las ecuaciones a partir de un problema- consume casi todo el turno de la clase, por lo que se recomienda, para este caso, el uso de la clase especializada. Es preferible provocar la reflexión de los alumnos, motivarlos con el debate profundo de una situación problémica, sorprenderlos con un punto de vista novedoso para ellos, que resolver varios problemas sencillos con un carácter meramente reproductivo. La utilización de métodos como la Elaboración Conjunta mediante el uso del diálogo interrogativo posibilita la reflexión y contribuye a la activación de la clase haciendo que el estudiante se implique en el proceso de enseñanza-aprendizaje y se sienta motivado para continuar la búsqueda independiente del conocimiento.

Se trata de "(…) que el alumno debe aprender a analizar los problemas, encontrar por sí mismo los medios para resolverlos, y que la resolución de problemas no puede convertirse en la realización de ejercicios rutinarios que no estimulan la iniciativa, independencia y creatividad (…). Gozan de particular respeto aquellas materias en que los profesores demandan esfuerzos mentales, imaginación, inventiva y crean condiciones para que el alumno participe de modo activo."[1] Esto es lo que se quiere, a ello se aspira: "(…) habituar a los estudiantes a un ambiente interactivo, reflexionar, plantear hipótesis y conjeturas…", un ambiente "(…) que propicie la reflexión, la comprensión conceptual junto con la búsqueda de significados…"[2]. Todo ello se puede conseguir mediante la modelación matemática de situaciones problémicas tratadas adecuadamente.

Para establecer un vínculo entre las situaciones problémicas características de la Física y el uso adecuado del lenguaje matemático para su modelación matemática no se requieren problemas de alto nivel de complejidad. Veamos un ejemplo de lo interesante que puede resultar un problema sencillo, con texto, tratado didácticamente de la manera que se propone. Un problema de caída libre de los cuerpos.

Los datos serían:

Estos constituyen ejemplos de lo que se puede hacer al tratar las situaciones problémicas físicas aprovechando el lenguaje matemático al alcance del estudiante del preuniversitario y desarrollar el hábito de utilizar este lenguaje en la modelación matemática de los fenómenos que se estudian. Así se hace más atractiva la enseñanza de la Física en ese nivel, se consigue una mejor motivación y se estimula el interés por vincular las asignaturas de Física y Matemática. Se utiliza la Matemática como lenguaje útil para la resolución de problemas físicos y se aprecia dónde y cómo aplicar los conocimientos matemáticos estudiados en clase.

Conclusiones

• La habilidad "modelación matemática de una situación problémica de la Física" es una de las habilidades específicas fundamentales de la asignatura en el nivel preuniversitario.

• Esta habilidad, como todas, tiene una estructura interna que el docente debe conocer para utilizar sus componentes como dimensiones e indicadores que le permitan "medir", diagnosticar, el estado de desarrollo que al respecto tienen sus estudiantes.

• Todos los pasos que conforman esta estructura interna no tienen que aplicarse, forzosamente, en todos los problemas sino solo aquellos que se requieran.

• Trabajar siguiendo esta metodología permite favorecer el desarrollo del pensamiento estratégico y táctico de los estudiantes.

• La modelación matemática de las situaciones problémicas de la Física favorece la motivación por la asignatura en los alumnos.

Bibliografía

• Colectivo de autores: Diccionario Filosófico, Editorial Progreso, 4º edición, Moscú, 1984.

• Colectivo de autores: Metodología de la enseñanza de la Física, 7º y 8º grados", tomo I, Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, 1985.

• Pérez Rosell R y otros: Didáctica de las Ciencias Exactas, Tabloide para la maestría en Ciencias de la Educación, Módulo III, segunda parte, Mención en Educación Preuniversitaria, La Habana, 2006.

• Portuondo Duany, Raúl y Pérez Quintana, Medel: Mecánica, Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de la Habana, 1983.

• Resnick, Robert y Halliday, Davis: Física. Para estudiantes de Ciencias e Ingeniería, Parte 1. Instituto Cubano de Libro, Séptima Edición, La Habana, 1965.

• Savéliev, I. V.: Física General, Tomo I, Editorial MIR, Moscú, 1982.

• Yaborski, B. M. y Detlaf, A. A.: Prontuario de Física, Editorial MIR, Moscú, 1983.

Autor:

Agustín Ricardo Vázquez Mestre

Nacido en Media Luna, provincia Granma, en Cuba, en julio de 1949. Es graduado como profesor de Matemática de la enseñanza media y licenciado en Educación en la especialidad de Física y Astronomía. Máster en Ciencias de la Educación y profesor auxiliar de la Universidad Pedagógica "Blas Roca Calderío" de Granma. Se desempeña como metodólogo de Física de la Educación Preuniversitaria en Media Luna y ejerce la docencia en la sede municipal de la Universidad Pedagógica granmense impartiendo cursos de pregrado y postgrado sobre Didáctica de la Física y Metodología de la Investigación Educativa.

DATOS DE TRABAJO:

Este artículo ha sido escrito en el año 2010 como parte de una serie de reflexiones sobre temas polémicos de la didáctica de la Física en el nivel preuniversitario de Cuba.

[1] otas y Referencias: Pérez Rosell R y otros: Didáctica de las Ciencias Exactas, Tabloide para la maestría en Ciencias de la Educación, Módulo III, segunda parte, Mención en Educación Preuniversitaria, La Habana, 2006.

[2] Ibíd. p.30