Este proceso de evolución de los sistemas biológicos se cumple en todos los niveles desde la célula, al individuo, la especie y la sociedad. En este proceso evolutivo aumenta la complejidad de los sistemas la cual se mide en bits cuyo número es aproximadamente igual al número de pares de bases nitrogenadas en el ADN y con la complejidad aparecen las propiedades emergentes o sea las que sólo se manifiestan por sinergia al integrarse los colectivos y que no presentan los elementos por separado.
En el proceso evolutivo se verifican cambios que pueden ser mecánicos, químicos o de otra índole, de carácter no lineal, esto es de retroalimentación que propician la autoorganización de los sistemas biológicos. En este proceso, el sistema experimenta efectos no siempre deterministas, debidos al azar, fluctuaciones que pueden llevarlo a un estado estacionario inestable. A partir de una inestabilidad, puede pasar a estabilizarse en un nuevo estado de organización después de explorar otras posibilidades de las cuales elige a la que reúne mejores condiciones de adaptación. Aplicado este proceso a las especies vemos algo semejante a lo que en la teoría de la evolución de Darwin aparece como selección natural..
En la evolución biológica se producen procesos de transformación semejantes a las transiciones de fase de segundo género como las de las sustancias paramagnéticas a ferromagnéticas por pequeñas variaciones de la temperatura de Curie
En la evolución aumenta la complejidad y la información .En el enfoque taxonómico de la evolución biológica del hombre la complejidad y la información van aumentando con la individualización, esto es, el programa va aumentando su longitud en bits según vaya pasando del correspondiente a la codificación del reino, pasando a la de especie hasta llegar a la de individuo
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En un caso específico como lo es el crecimiento poblacional de una especie animal, vamos a explicar algunos conceptos y procedimientos básicos de los sistemas dinámicos y mapas iterativos los cuales constituyen el instrumento matemático de la dinámica no lineal. .
Podría pensarse que el crecimiento de una especie animal en el tiempo a partir de una población de N ejemplares puede venir dada por una ecuación como N*= rN donde N* es la variación de la población respecto al tiempo y r es la tasa de crecimiento .Este sería un crecimiento lineal lo cual se advierte en la ecuación que, por tener la incógnita con exponente 1 ( el cual por ser 1 no hay que escribir ) y que por ese motivo se denomina ecuación lineal a este tipo de ecuación .Pero es el caso que la experiencia muestra que el crecimiento no es lineal.
La denominación de lineal se debe a que si en una ecuación como N* = rN se le van dando valores a N para r permaneciendo constante, calculamos los valores rN correspondientes, marcamos los valores de N en una línea horizontal, los de rN en una línea vertical trazada desde el cero de la horizontal, trazamos perpendiculares por cada valor de N intersectándolas con las correspondientes perpendiculares trazadas por cada valor rN y unimos los puntos de intersección, obtendremos una línea recta.
El procedimiento descrito en el párrafo anterior es el que básicamente utilizaremos para representar los gráficos correspondientes a las distintas ecuaciones que emplearemos.
Cuando en una ecuación aparece por lo menos una vez la incógnita elevada a un exponente mayor que 1, la ecuación es no-lineal y al trazar el gráfico como indicamos se obtendrá una curva. Como ejemplo utilizaremos una de las ecuaciones mas citadas y utilizadas en dinámica no lineal y en particular la teoría del caos, me refiero a la ecuación logística que presento en forma diferencial como N* = rN(1-N) pero que por ahora trabajaré en la forma: N* = r ( N – N2 ) donde N2 es el cuadrado de N o sea N multiplicada por N. Como N aparece al cuadrado, la ecuación es no lineal lo cual se debe a que el aumento ( o disminución ) de la población depende de la población que
ya había ( propiedades emergentes, sinergia o cooperatividad entre elementos del sistema).Puede comprobarse que el gráfico es una curva ( no-linealidad ) para lo cual sugiero los valores para N :0;0, 32; 0,42; 0,5; 1 tomando o aproximando sólo hasta las centésimas y siempre haciendo r =2.
Los gráficos que hemos obtenido cuyas ecuaciones se caracterizan por presentar en el primer miembro la variación de la variable con el tiempo (en nuestro caso N*) reciben el nombre de retratos fásicos. A la curva (o la recta) que resulta se le llama trayectoria fásica la cual se marca con una punta de flecha en el sentido en que van apareciendo los puntos de la trayectoria. Así tendremos que en el último gráfico que vimos, la trayectoria puede decirse que sale o fluye del punto 0 en la línea horizontal hasta el punto 1. A los puntos de donde sale una trayectoria se les llama puntos fijos inestables o de equilibrio inestable, y a los puntos donde entra una trayectoria se le llama puntos fijos estables o de equilibrio estable. A los puntos estables (puede ser uno solo o un conjunto de ellos) se les llama atractores.
Conceptos como los que acabamos de presentar de equilibrio estable, inestable, atractores, etc. Son fundamentales en la teoría del caos y en todo lo concerniente a la dinámica no lineal.
Cada punto en el espacio fásico (en el retrato fásico) se representa por dos números o coordenadas: el primero o abscisa es el correspondiente al eje horizontal o eje de abscisas y el segundo u ordenada es el que corresponde al eje vertical o de ordenadas, de modo que el punto donde termina el segundo gráfico que vimos tiene por coordenadas ( 1 , 0 ) y el punto donde comienza ( 0 , 0 ).
Físicamente punto fijo estable significa que un sistema físico, biológico o de similar índole se encuentra, cuando sus parámetros son los indicados por sus coordenadas, en un estado tal que pequeñas variaciones de los parámetros, al cesar, permiten que el sistema vuelva a su estado de equilibrio original. Lo contrario ocurre a un sistema en un punto de equilibrio inestable. En un sistema alejado del equilibrio, a partir de una inestabilidad pasará a autoorganizarse en un nuevo estado el cual se mantendrá en éste constituyendo una estructura disipativa que es la que necesita de suministro de energía y/o sustancia para mantener su condición. El paso a la autoorganización a partir de una inestabilidad se deberá a la amplificación de las fluctuaciones en el sistema.
Cuando un sistema se encuentra en régimen caótico según se entiende en la teoría del caos, no presenta ningún tipo de atractor entendiéndose por tal lo que ya dijimos.
Cuando el estado de un sistema viene dado por dos ecuaciones en cuyos primeros términos aparecen las dependencias de las variaciones respecto al tiempo del tipo N*, puede darse el caso de que una trayectoria fásica se enroye en una curva cerrada llamada ciclo límite el cual, si las trayectorias tienden a acercársele será un ciclo límite estable y por tanto un atractor. En el régimen de caos tampoco habrá este tipo de atractor. Al caos sólo llegan los sistemas cuyo estado viene dado por más de dos ecuaciones del tipo que hemos venido estudiando.
No obstante no presentarse en el caos atractores como los definidos hasta ahora, las trayectorias quedan confinadas en una región del espacio fásico tridimensional, presentándose un comportamiento impredecible de las trayectorias fásicas el cual experimenta grandes variaciones para pequeñas variaciones de las condiciones iniciales. A la configuración que toman las trayectorias fásicas en el caos se le llama atractor extraño el cual adopta una estructura fractal.
El procedimiento matemático que he utilizado en las explicaciones anteriores se denomina por ecuaciones diferenciales, sin embargo para mostrar la aparición del caos, o sea la aparición del régimen de caos en un sistema de cualquier índole, por ejemplo el aumento poblacional que hemos estudiado por el método de ecuaciones diferenciales, lo lo haremos ahora por un método que resultará mas sencillo a la vez que mas evidente conocido como método de los mapas iterativos. Para ello escribiremos de nuevo la ecuación logística: N* = rN (1- N) donde N* no tiene el mismo significado que antes y ahora la utilizaremos del siguiente modo. Comenzaremos con r = 2 y con el valor inicial para N = 0,8 (quiere decir 0.8 millares, por ejemplo). El valor que obtengamos para N* lo pondremos como valor de N en la ecuación y repetiremos este proceso llamado iteración hasta llegar al valor para N* = 0,5. Al tratar de continuar la iteración veremos que se repetirá una y otra vez ese valor N* = 0,5, lo cual indica que se ha llegado a un atractor, en nuestro caso significa que la población de la especie animal que estudiamos se mantiene estacionaria.
Ahora hacemos la tasa de crecimiento r = 3 y con valor inicial de la población N = 0,7 efectuamos la iteración igual que antes. Notaremos ahora que se van alternando dos valores 0,635 y 0,694.
Con r = 3,5 y comenzando con N = 0,383 obtendremos cuatro valores que se repiten, así vemos que se van duplicando los valores repetidos, se nota una cierta regularidad todavía no se ha llegado al caos. El valor del parámetro o los parámetros que marcan el comienzo de la duplicación, se llaman puntos de bifurcación. El conjunto de valores que se repiten constituyen un atractor cíclico, periódico, y el número de valores repetidos es el número del período.
Pero ya para valores de r de 4 en adelante no aparecen atractores ya no se nota regularidad ni periodicidad alguna, se ha llegado al caos.
Precisamente con r = 4 veremos otra característica del caos, la mas conocida, , la que motivó al creador de la Teoría del Caos, Edward Lorenz para su estudio.
Con ese valor para r iteraremos la ecuación logística a partir de dos valores iniciales que se diferencian muy poco y veremos que las dos series difieren bastante.
Con valor inicial 0,600, la serie es 0,960 0,154 0,521 y con valor inicial 0,610 se obtiene 0,952 0,183 0,598.
Vemos así que en las situaciones de caos, variaciones muy pequeñas en las condiciones iniciales producen variaciones enormes en los valores que va tomando el sistema. Esta es la característica pudiéramos decir definitoria del caos.
Conclusiones
Hemos expuesto una panorámica de lo que constituye la base teórica en la cual se sustenta la moderna biología teniendo presente en los razonamientos lo esencial de la Teoría de la Complejidad.
Bibliografía
Campbell-Williamson. Biology. Pearson Prentice Hall. Boston 2007
González, J. y R. Ávila. La ciencia que emerge con el siglo. Editorial Academia. La Habana. 2005.
Strogatz,S. Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books Group. New York. 2000.
Volkenshtein, M.V. Biofísica. Editorial Mir. Moscú.
La teoría de las cuerdas
Una de las teorías que mas acapara la atención de físicos, matemáticos y cosmólogos, es la llamada Teoría de las Cuerdas, la cual constituye una alternativa a las variantes de la física de las partículas en los empeños unificadores de las teorías científicas que comprenden como uno de los principales temas el de la unificación de las fuerzas de la naturaleza a la que dedicaron sus mayores esfuerzos intelectuales Albert Einstein, Theodor Kaluza, y John Wheeler entre otros.
Las distintas vertientes de la Teoría de las Cuerdas, ha tenido gran desarrollo mostrando en general gran coherencia y lógica interna, pero con el gran inconveniente de que no se han podido llegar a cabo confirmaciones experimentales por grandes dificultades técnicas para su desarrollo. No obstante resultan tan interesantes los hallazgos teóricos obtenidos por los científicos de las cuerdas, entre los que destacan Michael Green, Brian Greene, Edward Witten, y otros como Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau, que no obstante la hasta ahora no lograda confirmación experimental, se continúa con gran optimismo trabajando en la teoría en cuestión.
Según la teoría de las cuerdas los constituyentes últimos de la materia, átomos, electrones, etc., no son partículas prácticamente adimensionales como plantean la Teoría Estándar y la Electrodimámica Cuántica y sus vertientes, sino unidimensionales e imperceptibles directamente, cuerdas abiertas o cerradas, que no obstante su pequeñez superan la longitud límite o longitud de Planck condición que no presentan las partículas.
Las cuerdas que nos ocupan a semejanza de las de los instrumentos musicales poseen frecuencia propia aunque, por supuesto, no suenan.Según la frecuencia, nuestras cuerdas serán cuerdas protones, cuerdas electrones, etc. También están las cuerdas portadoras de fuerza como las cuerdas, fotones y demás. Y es entre estas últimas que la Teoría de las Cuerdas ha hecho una de las predicciones mas importantes al fundamentar la necesidad de la existencia de las portadoras de la fuerza de la gravedad, los supuestos pero hasta ahora no detectados gravitones. La fundamentación como consecuencia que emerge de la lógica interna de la Teoría de las Cuerdas, constituye según Witten una comprobación lógica de la certeza de ésta, que tiene fuerza como una comprobación experimental.
Otra de las ventajas que presentan los teóricos de las cuerdas está relacionada con las rugosidades del espacio-tiempo debidas a las fluctuaciones cuánticas. Dichas fluctuaciones son explicadas por el Principio de Incertidumbre de Heisenberg aplicado en el nivel subplanckiano al par energía-tiempo: la imprecisión de las duraciones del tiempo acarrea imprecisiones de la energía lo cual por E=mc2, motiva la creación de pares partícula-antipartícula y la consiguiente deformación rugosa de la curvatura del espacio-tiempo. Esa pérdida de la "suavidad" de la curvatura hace inaplicable la Teoría General de la Relatividad al aparecer indeseables infinitos. Y es esa dificultad la que según la Teoría de las Cuerdas no se "presenta" ya que los medios de detección son cuerdas las cuales por sus dimensiones superiores a la longitud de Planck, no "advierten" las rugosidades subplanckianas. Nos parece exagerado este radical razonamiento positivista. ¿no se "presenta" la rugosidad o no "vemos# la rugosidad?. Suena como aquello de que" ojos que no ven, corazón que no siente".
De todos modos, en general la Teoría de las Cuerdas, por su formal aplicación del método científico y sus lógicas conclusiones, es posible que en un futuro cercano pueda tener convincente verificación.
La dimensión fractal
El concepto de fractal aunque utilizado en las más diversas manifestaciones del quehacer intelectual, surge en el contexto de la geometría. El fractal es un ente geométrico el cual, en su desarrollo espacial, va reiterando una misma forma cada vez a una escala menor, de manera que cualquier porción del mismo reproduce a escala la forma de la totalidad.
Característica fundamental de los fractales es su dimensión la cual permanece invariante en cada reiteración autosemejante de la forma seminal.
La dimensión (el "número de dimensiones") del fractal, a diferencia de la de las figuras de la geometría habitual, es un número fraccionario, el cual se calcula mediante la fórmula de Hausdorff (dimensión de Hausdorff) que como veremos mas adelante también puede aplicarse para determinar la dimensión de las figuras de la geometría aprendida en la escuela.
Mostraremos la construcción de fractales y el cálculo de su dimensión tomando como ejemplo uno de los más conocidos: el fractal de Koch. Se traza un segmento de recta el cual se divide en tres partes iguales. Con la parte central como base se levanta un triángulo equilátero. Esta operación se reitera en cada uno de los lados de triángulos que van resultando, proceso que teóricamente se prolonga hasta el infinito. Si se designa por r el número de partes en que se divide el segmento inicial (en el ejemplo r=3), por N el número de reproducciones del segmento inicial que resultan en cada iteración (N=4, en nuestro caso), la dimensión de Hausdorff se calcula mediante la fórmula: D=log N/logr, lA cual para el fractal de Koch nos da D=1.262.
Veamos como calcular la dimensión de un dado aplicando la fórmula de Hausdorff. Dividamos cada arista en dos y por las marcas de división dividamos el dado en ocho partes iguales. Tendremos r=2 y N=8 con lo que D=log8/log2 y D=3 como sabemos y que nos ha servido para evidenciar la universalidad de la dimensión de Hausdorff.
Por lo importante que resulta en la Teoría del Caos, aplicaremos el algoritmo descrito al fractal denominado Conjunto de Cantor. Un segmento rectilíneo se divide en tres partes iguales y se suprime la parte del medio reiterándose la operación en cada segmento no suprimido. Tendremos r=3, N=2 y por tanto: D=log 2/log3=0.631.
Además de los procedimientos descritos para obtener fractales mediante algoritmos, esas figuras geométricas pueden obtenerse por computación aplicando mapas iterativos de la forma: Z2 n+1 = Z2 n +C donde Z y C son números complejos que podemos representar en la forma (p.q) coordenadas de un punto del plano.. Se comienza con un punto Zn(a,b) para una constante C(e,f) y se va iterando mediante el mapa que mostramos, apareciendo puntos Zn+1 (c,d) los cuales van conformando el fractal. Así se han obtenido los fractales de Mandelbrot y de Julia, de gran valor estético. Pero la importancia de los fractales vs mucho más allá de lo estético, fractales se presentan en la naturaleza, en los vegetales, en las formaciones, rocosas, en la periodicidad de múltiples fenómenos físicos, biológicos, cósmicos y de otra naturaleza, y revisten singular importancia en la fundamentación de teorías como la de la renormalización y la ya mencionada del caos.
Bibliografía
Gleik, J.1988. Chaos. Penguin Books. New York
Strogatz, S.2000. Non Linear Dynamics and Chaos. Perseus Books Group. Cambridge.
El eco del Big Bang
Me llegó por correo electrónico la noticia del otorgamiento del Premio Nobel de Física 2006 a los norteamericanos John C. Mather y George C. Smoot, El tema, La radiación de fondo dejada por el Big Bang., algo así como El Eco del Big Bang.. Pues bien, desde varios días antes tenía yo en mi computadora, preparado para leer hoy, sin recordar que en estos días se darían los ganadores del Nobel, ni por supuesto tener idea de la temática que se premiaría, tenía repito, escrito el comentario de hoy "El Eco del Big Bang" que paso a leer.
La teoría que explica el inicio del universo a partir de un colosal estallido conocido por Big Bang, es uno de los resultados científicos mas comentados por el público llano .Aún quienes no son especialistas ni estudiantes de ciencias, conocen en lo esencial lo que esa teoría expresa. No obstante, que el hecho del comienzo de todo lo que existe a partir de la explosión de un punto sin dimensiones, no de una partícula muy pequeña, sino de un punto como el ideal que define la matemátíca: un ente geométrico sin dimensiones, es algo no ya difícil, sino imposible de asimilar No obstante, tomado este supuesto como hipótesis para continuar investigaciones, los resultados de las mismas van siendo comprobadas en la práctica y así se continuará hasta que algo invalide la teoría en cuestión.
Una de las mas contundentes y espectaculares evidencias de que, tal como se deduce de la teoría, hará unos 15 mil millones de años., se produjo una enorme explosión en lo que ahora llamamos Cosmos., consiste en la detección de lo que acertadamente se ha llamado El Eco del Big Bang.
Veamos la explicación. Algún tiempo después del Big Bang, cuando todavía la temperatura del Universo era extremadamente alta, se produjeron los primeros fotones, corpúsculos que constituyen la luz y todo tipo de radiaciones Esos fotones constituyeron una especie de gas que se difundió por todo el universo en constante expansión actual pero entonces muy comprimido. Como los gases conocidos, el gas de fotones al irse expandiendo, se fue enfriando y según cálculos basados en la Teoría del Big Bang, su temperatura debe ser ahora de unos -270 grados Celsius. La teoría predijo la existencia actual de esa radiación de fondo que persiste como un Eco del Big- Bang.
Pero hasta 1965 no se había percibido ese Eco Fue en ese año que dos ingenieros de la Bell Telephone Laboratories de Estados Unidos, Arno Penzias y Robert Wilson, utilizando una antena direccional de radar, con fines ajenos a lo sucedido, captaron un ruido cuyo origen no podían explicar. Comprendieron que era una señal radioeléctrica la cual se recibía de igual forma en todas las direcciones que orientaran la antena. Quizás otros hubieran obviado el incidente, peo éste había ocurrido, afortunadamente, a dos talentosos científicos, que continuaron las investigaciones auspiciadas por la NASA , hasta llegar a la conclusión de que esa radiación que ahora llamamos relicta, que habían captado en su antena, era nada menos que El Eco del Big Bang lo cual tuvo mas reciente confirmación con el proyecto espacial COBE. Penzias y Wilson recibieron el Premio Nobel en 1978 por ese aporte.
Algo no muy conocido es que quienes ahora me atienden y casi el resto de la humanidad, han captado sin proponérselo en múltiples ocasiones, El Eco del Big Bang aunque acompañado de otras radiaciones. Con mas frecuencia que la deseada, hemos sufrido los efectos en nuestra pantalla de TV. del fallo mas o menos prolongado, del fluido eléctrico en la torre de transmisión. En esos momentos observamos que la pantalla se cubre de multitud de puntos de luminosidad oscilante rodeados de una tenue neblina que permanecerán hasta que vuelva la señal a la antena de nuestro equipo. Ese patrón neblinoso es efecto conjunto del Eco del Big Bang y otras radiaciones. La radiación de fondo emitida en la gran explosión primigenia, "entra" en nuestra antena, acompañada de otras radiaciones, aprovechando que la señal de TV les "dejó sitio".
Pero no hay que esperar al fastidioso evento, del fallo en la torre, para momentáneamente convertirse en investigador científico, basta aguardar a que un canal recese sus trasmisiones y "se vaya del aire" para observar aunque acompañado El Eco del Big Bang. éste, con dispositivos muy sofisticados puede aislarse de las otras radiaciones que intervienen en el patrón observado, procedimiento que permite apreciar que en dicha imagen está presente el trascendental residuo de la Gran Explosión.
Sistemas dinámicos y no dinámicos, el caos y el fractal
Resumen
Se presenta el tratamiento físico-matemático de los sistemas dinámicos y no dinámicos haciendo hincapié en estos últimos lo cual permitirá acceder a la Teoría del Caos y del Fractal.
Conceptos y métodos generales.
Se llama dinámicos a aquellos sistemas que experimentan variaciones de sus valores, cantidades o propiedades, con el tiempo. Dichos sistemas pueden ser físicos, químicos, biológicos, sociológicos, etc. Nos ocuparemos de los que su variación con el tiempo puede expresarse por sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo:
dx/dt = f(x,y,z…)
dy/dt = g(x,y,z…)
aunque en este trabajo al principio sólo nos ocuparemos de sistemas de dos variables solamente en aras de simplificar la explicación.
La mayor parte de las veces, la resolución de las ecuaciones diferenciales correspondientes no será posible por los métodos matemáticos exactos, por lo que se procederá sólo a encontrar elementos que ayuden a bocetar las trayectorias fásicas mediante las cuales determinar puntos estacionarios. averiguar periodicidad de los procesos etc.
. Para ello necesitamos, no obstante recordar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales por el momento lineales, aunque luego nos ocuparemos detenidamente de los no lineales que serán los que más nos interese.
Tomemos como ejemplo el sistema:
dx/dt = ax + by
dy/dt = cx + dy. que puede escribirse:
│ dx/dt │ │a b│ │x│
│dy/d t │ = │c d │ │y│
Como se conoce la solución tendrá la forma:
x = A exp λ1t+ B exp λ2t
y = C exp λ1t + D exp λ2 t ( t tiempo )
donde las λ se calculan por los valores propios mediante:
│a – λ b │ = 0
│ │
│ c d -λ │
que desarrollado da:
λ2 -( a + d ) λ + ( ad – bc ) = 0
haciendo la traza a + d = t y el determinante ad – bc = d, se tiene:
λ2 – tλ + d = 0 con sus soluciones:
λ1 = ( t + ( t2 – 4d )1/2 ) / 2
λ2 = ( t – ( t2 – 4d )1/2 ) / 2.
Los signos de λ sustituidas éstas en las soluciones de x e y obtenidas anteriormente, determinarán si las curvas exponenciales correspondientes lo son de crecimiento ( signo mas) o decrecimiento ( signo menos) de los valores de x e y, Dichas ecuaciones de x e y con parámetro t, servirán para trazar las trayectorias fásicas en un sistema de coordenadas xy conformando el retrato fásico del sistema dinámico ( dx/dt, dy/dt ).
Dada la muy frecuente dificultad de resolver las ecuaciones diferenciales, se acude a métodos gráficos como el ir hallando los valores de la pendiente dy/dx en varios puntos del espacio fásico y en cada punto trazar una pequeña saeta en el sentido que indique el valor de la pendiente y de esa manera tener una idea del retrato fásico. El conjunto de saetas constituyen el campo vectorial del sistema. Se procede luego a situar los puntos estacionarios o sea de los puntos donde dx/dt = 0 y dy/dt = 0. Si las trayectorias fásicas tienden a converger en un punto estacionario, éste será un punto estable o sea un punto en el que pequeñas variaciones del estado del sistema no impedirán que este vuelva a su estado inicial. Los puntos estacionarios estables reciben también el nombre de atractores, el cual resulta muy utilizado en dinámica. Todo lo contrario ocurrirá cuando las trayectorias fásicas tiendan a alejarse de un punto estacionario, éste será inestable, pequeñas variaciones del estado del sistemas harán que éste no vuelva a su estado inicial. Los acercamientos y alejamientos de las trayectorias fásicas los determinarán los signos de las λ por razones similares a las antes explicadas para las soluciones de x e y. A su vez, como es obvio, esos signos vendrán determinados por los valores de la traza t y del determinante d.
Veamos ahora el procedimiento a seguir con los sistemas dinámicos no lineales, esto es en los que las variables pueden estar afectadas por exponentes diferentes de 1 o estar multiplicas entre si, y que son los mas frecuentes en los sistemas reales
Mucho de lo visto hasta aquí nos servirá, pero antes de seguir adelante observemos de nuevo el sistema lineal que antes vimos:
│dx/dt │ │a b ││x │
│dy/dt │= │c d ││y │
Fijémonos en la matriz del segundo miembro. Si siguiendo con la notación general que adoptamos desde las primeras líneas, hacemos
f = ax + by
g = cx + dy
veremos que ∂f/∂x = a, ∂f/∂y = b, ∂g/∂x = c, ∂g/∂y = d con lo que podríamos sustituír la matriz por el jacobiano (ver "Non Linear Dynamics and Chaos", S.H. Strogatz, 2000): .
│∂f/∂x ∂f/∂y│
J = │∂g/∂x ∂g/∂y│
Cuya traza t y determinante d, se puede demostrar que cumplen la misma función que sus homónimas antes vistas para determinar los signos de las λ y por tanto el sentido de las trayectorias fásicas y la clasificación de los puntos estacionarios como estables e inestables y otras características de los mismos, aún en los sistemas no lineales. Entre estas otras características tenemos la clasificación de los puntos estacionarios ya sean estables o inestables, en nodos y focos. En los nodos se cumplirá que t2 – 4d mayor que cero y en los focos t2 - 4d menor que cero. En los focos las trayectorias fásicas tienen forma de espiral que se dirigen al foco cuando éste es estable y se alejan de él cuando es inestable. En ambos casos se producen oscilaciones que pueden ser no amortiguadas de frecuencia d1/2 cuando t = 0 y cuando el foco es inestable o se enrolla en un ciclo límite. Cuando el foco es estable las oscilaciones son amortiguadas.
Tanto los nodos como los focos son estables cuando t menor que cero e inestables cuando t mayor que cero. En ambos casos d será mayor que cero. Cuando d es menor que cero el punto estacionario se llama asiento o silla y en ese caso las trayectorias fásicas no salen ni entran al punto estacionario sino que se acercan a él en forma semejante a ramas de una hipérbola.
Visto lo anterior, vamos aplicar los métodos de la dinámica no lineal a un proceso que se presenta en un modelo didáctico ideal llamado Brusselator consistente en una reacción química en la que se producen situaciones características de sistemas dinámicos abiertos, autorregulados lejos del equilibrio, situaciones que también se dan en los organismos vivos en los cuales se alcanza el orden dinámico en condiciones de no equilibrio.
Es una reacción autocatalítica en la que se producen sustancias intermedias cuyas concentraciones variables las representaremos por x e y las cuales varían con el tiempo según el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
dx/dt = 1 – (b+ 1)x + ax2 y
dy/dt = bx – ax2y
donde a y b son parámetros.
Como indicamos antes calculamos los puntos estacionarios igualando a cero los segundos miembros. Obtenemos un solo punto de coordenadas x*= 1,y*=b/a. Hallamos el jacobiano J buscando ∂f/∂x, etc evluándolas para x=1 e y=b/a y obtenemos:
J = │b – 1 a │
│- b -a│
Calculamos t = b – (a + 1) d = a.
Luego t2 – 4d que llamaremos D.
Si a mayor que cero con b mayor que a+1 y D mayor que cero tendremos nodo inestable pero si b menor que a +1 nodo estable. Pero si D menor que cero con las otras condiciones, entonces en vez de nodos tendríamos focos. En el caso de foco inestable se producirían autooscilaciones no amortiguadas que podrán ser observadas por variaciones periódicas de la coloración de las sustancias de la reacción. Si b = a+ 1, será el valor crítico de b. El paso de los valores de b crítico hacia valores un tanto mayores o un tanto menores de éste, provocan un cambio en la naturaleza de los puntos estacionarios lo cual se conoce como bifurcación.
Hemos visto así un caso típico de sistema abierto, alejado del equilibrio que llegado a un punto de inestabilidad puede pasar en determinadas condiciones a autoorganizarse, en este caso ordenándose en el tiempo con oscilaciones no amortiguadas. La autoordenación de este tipo de sistema pudiera darse también en el espacio, todo lo cual se logra manipulando adecuadamente los parámetros.
Pondremos otro ejemplo ahora de la bioquímica-física específicamente de genética: la acción del código genético portado por el ADN para que por medio del ARNm determine la secuencia de aminoácidos en las proteínas.
El sistema dinámico tiene la forma:
dx/dt=-ax+y
dy/dt= x2 /(1+x2) -by donde x e y son las concentraciones de la proteína y el ARNm y a y b parámetros.
Los puntos estacionarios se buscan como indicamos igualando los segundos miembros a 0; serán tres. Luego se determinan los jacobianos para cada punto estacionario y mediante el análisis ya explicado de la traza y el determinante, en cada caso se encontrará que hay dos nodos estables y un punto de ensillaje. El bioquímico-físico sabrá manejar estos resultados e interpretarlos.
A veces el problema dinámico se nos plantea a partir de la expresión de la ley fundamental de la dinámica para el caso que se trata. Por ejemplo para el oscilador armónico amortiguado:
d/dt(dx/dt) = -kx – bdx/dt.
En este caso se hace dx/dt=y con lo que la segunda derivada de x se hará dy/dt y así tendremos el sistema en la forma habitual:
dx/dt=y
dy/dt=-kx-by
y se seguirá el procedimiento explicado.
Antes de seguir adelante con la dinámica de sistemas de dos variables o bidimensionales nos referiremos brevemente a los sitemas unidimensionales, esto es los de la forma dx/dt=f(x). En este caso el retrato fásico se sitúa en el plano cartesiano x,dx/dt y las trayectorias fásicas se plotean a partir de f(x) tomando como variable independiente a x. Los puntos estacionarios x* análogamente a lo que ya sabemos, se hallarán a partir de dx/dt=0 con lo que estarán localizados sobre el eje x. Serán estables cuando la trayectoria fásica va hacia ellos e inestables en caso contrario como ya habíamos visto. Como es obvio en los puntos estables
f ´(x) menor que cero y en los inestables f ´(x) mayor que cero.
Un ejemplo de sistema unidimensional es el que describe la variación poblacional de una especie animal dado por la llamada ecuación logística:
dx/dt= kx(1-x)
Siguiendo lo explicado vemos que los puntos estacionarios son x*=0, x*=1.
La derivada de f respecto a x es f ´(x)=k-2kx que evaluada para 0 es positiva y por tanto ese punto es inestable. Lo contrario ocurre al evaluar para 1
Un fenómeno muy interesante y conocido es el de la formación de una estructura conocida como Celdas de Bénard, que se produce en un líquido al ser calentada la base del recipiente que lo contiene. El líquido en el fondo en proceso convectivo se eleva hasta la superficie y para ciertos valores de los parámetros del sistema unidimensional que describe su dinámica se llega a una inestabilidad que propicia el paso a una autoordenación dinámica en el espacio apareciendo las celdas. El sistema unidimensional tiene la forma: dx/dt=ax-bx3, para el análisis de los puntos estacionarios: f ´(x)=a-3bx2. Un punto crítico será cuando a=3bx2 y para el punto x=1aproximadamente, se producirá la inestabilidad antes citada cuando a mayor que 3b. A esta situación se le llama Inestabilidad de Bénard.
Ciclos límites.
Resulta conveniente conocer porqué la presencia de exp iө en las soluciones de x e y en función del tiempo, indica oscilaciones (La presencia de iө se deberá a que la traza y el determinante del Jacobiano cumplirán que t2 menor que 4d).Para ello debemos recordar la ecuación de Euler exp iө = cosө + isenө. La presencia de las funciones seno y coseno nos indica la periodicidad de los valores..
Ya mencionamos los ciclos límites que resultan cuando una trayectoria fásica en forma de espiral, acaba por enrollarse conformando una trayectoria cerrada. Se comprende que recorriendo la trayectoria los puntos fásicos se van repitiendo periódicamente indicando el comportamiento oscilatorio del sistema. El concepto ciclo límite es muy importante en dinámica. Los ciclos límites pueden atraer trayectorias cercanas hacia él o por el contrario repelerlas. En el primer caso estamos ante otro tipo de atractor.
Los ciclos límites estables son muy importantes en la ciencia ya que modelan los sistemas dinámicos reales que presentan procesos oscilatorios autosostenidos tales como latidos cardíacos, ritmos biológicos, reacciones químicas oscilantes y otros muchos ejemplos de la materia viva e inerte.
No toda trayectoria u órbita cerrada es un ciclo límite ya que ésta tiene que ser aislada..Cuando del jacobiano del sistema obtenemos que t2 es menor que 4d y t=0, indica órbitas cerradas pero no aisladas por lo que no hay ciclo límite.
Veamos el análisis de sistemas en los que se presentan ciclos límites del tipo de Liénard:
dx/dt = y
dy/dt = -f(x)dx/dt – g(x).
como es el del famoso oscilador de Van der Pol utilizado en los primeros radios de válvulas al vacío y que motivaron los mas importantes estudios de sistemas dinámicos no lineales, el cual se expresa así:
dx/dt = y
dy/dt = -µ(x2 – 1)dx/dt – x
que recuerda el del movimiento oscilatorio amortiguado:
dx/dt = -bdx/dt – x
aunque éste es lineal.
La peculiaridad y ventaja del de Van der Pol es que en éste al pasar el valor modular de x de ser menor que 1 a mayor que 1 la acción amortiguadora varía su efecto coadyuvando a la autosustentación de las oscilaciones.
Unas líneas mas arriba hemos escrito el sistema no lineal de Van der Pol y vamos analizarlo con el método que ya conocemos.
Encontramos el punto estacionario igualando los segundos miembros del sistema acero y hallamos que es (0,0) o sea el origen de coordenadas.
Calculamos el jacobiano para (0,0):
J = │0 1│
│-1 1 │
Como t=1, d=1y t2 – 4d menor que cero vemos que es un foco inestable. Veamos ahora si se presenta un ciclo límite para lo cual aplicaremos el Teorema de Liénard que conlleva los siguientes pasos. Siguiendo la notación que adelantamos cuando presentamos el sistema de Liénard haremos µ(x2 – 1) = f. Si la expresión que resulta de ∫fdx se hace cero para un único valor positivo, el sistema tendrá una órbita cerrada rodeando el punto estacionario Veamos si es así en nuestro caso:∫µ(x2 – 1)dx = 0, en efecto:
x = 31/2 único valor positivo que lo cumple, por tanto para el sistema de Van der Pol habrá una órbita cerrada rodeando el origen de coordenadas.
Caos y complejidad.
En el espacio fásico no puede ocurrir la intersección de dos trayectorias fásicas. En el de n=2 donde n número de ecuaciones diferenciales del sistema, tal cosa implica que, en virtud de uno de los mas importantes teorema de la dinámica, el de Poincaré-Bendixon, una trayectoria fásica en una región limitada del plano en el cual no hay atractores eventualmente terminará enrollándose en una órbita cerrada.
Con n igual o mayor que 2, no se cumple el Teorema de Poicaré- .
Bendixon, y una trayectoria fásica puede estar por siempre desarrollandose en una región limitada sin asentarse bajo ningún atractor de los descritos hasta ahora, pudiendo ocurrir que para ciertos valores de los parámetros del sistema, sea atraída hacia un complicado objeto geométrico con ciertas características llamadas de fractales de los que mas adelante nos ocuparemos. Ese objeto se conoce como atractor extraño y cuando se llega a esa situación se dice que el sistema ha llegado a régimen de caos.
En un sistema en régimen de caos muy pequeñas variaciones de las condiciones iniciales, esto es de sus variables, dan lugar a grandes cambios en los valores de las mismas.
La teoría del caos, entendido como lo hemos presentado en el párrafo anterior, el estudio de los fractales, y la termodinámica de los procesos de no equilibrio en sistemas abiertos, se engloban en la llamada Teoría de la Complejidad, que en general estudia los sistemas en los que aparecen propiedades emergentes que son aquellas que presentan los colectivos al integrarse y que no presentaban sus componentes cuando se encontraban aislados. Otra característica de los sistemas de comportamiento complejo es que su grado de complejidad se mide por la longitud en bits del programa que lo define
La complejidad en el proceso de formación y evolución de la materia viva experimenta un crecimiento de su complejidad y por ende de su ordenamiento en aparente contradicción de la segunda ley de la termodinámica. Pero es el caso que el ser vivo es un sistema abierto y su ordenamiento no se produce como en la cristalización, por descenso de temperatura sino porque su entropía sale al medio exterior, es un proceso de la termodinámica de no equilibrio. Ese ordenamiento es dinámico con características de transición de fase pero no equilibrada.
Un proceso biológico fundamental como es la glicólisis, constituye un ejemplo de ordenamiento dinámico. Mediante la glicólisis las células obtienen energía de los glúcidos. El tratamiento por los métodos de la dinámica no lineal se efectúa a partir del sistema:
dx/dt = -x + ay + x2 y
dy/dt = b – ay – x2 y
donde x e y son las concentraciones de las sustancias involucradas en este sistema en el cual, dados los pasos ya vistos de hallar puntos estacionaros, jacobiano, traza y determinante se llega a que para ciertos valores de los parámetros, el punto estacionario es un foco inestable que conllevará a un ciclo límite y la consiguiente aparición de oscilaciones sostenidas, esto el ordenamiento dinámico en el tiempo. La termodinámica de no equilibrio constituye un poderoso instrumento teórico de investigación a partir de los aportes de Ilya Prigogine.
Pero volvamos al caos. Las principales características del comportamiento de los sistemas que pueden alcanzar régimen caótico, pueden estudiarse a partir del sistema dinámico dado por las ecuaciones de Lorenz:
dx/dt = s(y-x)
dy/dt = rx-y-xz
dz/dt = xy-bz
donde s número de Prandlt, r número de Rayleigh y b constante que tiene que ver con los procesos convectivos de fluídos. éstos son los parámetros del sistema que al alcanzar los valores s=10, b=8/3 y r=28, el sistema presentará las características antes citadas del caos.
La trayectoria fásica evolucionará en el espacio trimensional adoptando una espectacular conformación que aparenta una figura como las alas de un díptero que parecen en un visionaje de muy poca resolución, unirse por sus bases pero en realidad constituyen un complejo de superficies que adoptan una configuración fractal, esto es configuran un atractor extraño conocido como atractor de Lorenz,
No obstante la idea que hemos dado del caos mediante ecuaciones diferenciales, resulta mas ilustrativo a la vez que muy atractivo el método de los mapas iterativos del cual pasamos a ocuparnos.
La teoría del caos mediante mapas iterativos.
Se dice que un sistema físico, químico, social, económico, o de otra índole, se encuentra en régimen de caos, cuando muy pequeñas variaciones de las condiciones iniciales (valor de las variables del sistema) dan lugar a notables diferencias en los valores de las variables. Además, si los valores antes de alcanzar la situación de caos, se estabilizaban en un valor o en un conjunto de ellos, ya en el caos no ocurrirá eso.
Veamos un enfoque matemático del caos, utilizando la relación iterativa conocida como mapa logístico:
x → kx( 1- x ).
Aplicándolo al estudio del aumento o disminución del número de ejemplares de una especie animal que se encuentran en determinada condición de alimentos, clima, etc.
Se empieza por un valor inicial del número de ejemplares que se sustituye en el segundo miembro del mapa logístico y se halla el valor de la x del primer miembro. Con ese valor obtenido se repite una y otra vez el proceso o sea se continúa la iteración La constante k es la tasa de crecimiento que depende de las condiciones ambientales etc.
Comencemos los ejemplos con k=2 y un valor inicial x=0.8 (quiere decir 0.8 millares de ejemplares). Se comprobará que cuando se llegue a x=0.5 y se trate de seguir la iteración, se repetirá el 0.5, se dice que se ha llegado a un atractor, la población.se queda en ese valor, se estabiliza en ese valor.
Hagamos ahora k=3 y comencemos por 0.635, al dar x=0.694 y seguir la iteración, se repetirá esta pareja de números una y otra vez Ahora el atractor es mas complicado, cuando es de mas de un número se dice que el atractor es un ciclo. Este es un ciclo de período 2 por ser de dos valores.
Probemos con k=3.5 y empecemos con x=0.383, veremos que cada cuatro valores se repiten y así se siguen repitiendo; ahora es un ciclo de período 4 el atractor.
Pero con k=4 ya no hay atractores de ningún tipo, el sistema ha llegado a situación de caos. Sin embargo, aún en situación de caos, los valores se mantienen dentro de una estructura a la que se le ha dado el nombre de "atractor extraño" nombre que considero desafortunado pues esa estructura no tiene las propiedades de los atractores que vimos antes de llegar al caos.
La sensibilidad a las pequeñas variaciones de los valores iniciales pueden comprobarse con k=4 o sea ya en el caos. Con valor inicial x=0.6 e iterando varias veces y luego haciendo lo mismo con x=061. Se verá que las series obtenidas son bastante diferentes. Esto fue lo que motivó a Edward Lorenz a idear la Teoría del Caos.
A los valores de k para los cuales cambia el período del ciclo (antes del caos claro está) se les llama puntos de bifurcación. Vimos que para k=3 se duplicó el período, esta duplicación del período se va produciendo para determinados valores de k así el período se hará 4 para k=3.449…, se hará 8 para 3.54409…y así para correspondientes valores de k. Feigenbaum encontró una regularidad en la sucesión de los valores de k para la duplicación del período. Si a cierto valor de k le llamamos A, al anterior B y al que le sigue C, Figenbaum encontró que:
Lim para período tendiendo a infinito de (A-B)/(C-A) = 4,669…
El caos y los fractales.
Ya llegando al caos los ciclos son de un período enorme, tienden a infinito. Si se representaran los valores de un ciclo ya "a las puertas del caos" por puntos en un eje de coordenadas, los infinitesimales segmentos que determinarían esos puntos, configurarían aproximadamente lo que se llama el Fractal de Cantor, figura que se obtiene por un procedimiento gráfico reiterativo de acuerdo a la definición de fractal dada por Benoit de Mandelbrot. El procedimiento para el Fractal de Cantor es el siguiente. Un segmento rectilíneo se divide en tres partes y se suprime la del medio. Esta operación se va repitiendo en cada porción de segmento que vaya resultando. Según la Teoría de los Fractales de Mandelbrot, la dimensión de los fractales es fraccionaria.
Vemos pues que aún en el caos hay una tendencia al orden ya que un fractal presenta una especie de ordenamiento que se manifiesta en que cualquier porción de la figura es una réplica de la figura total.
La fraccionalidad de la dimensión de los fractales se evidencia en el estudio de uno de los más famosos, el fractal de Koch, pero antes debemos dar el concepto de dimensión de Hausdorff. Imaginemos un cubo de arista de longitud l. Si dividimos cada arista en 2 partes el cubo quedará dividido en 8 partes iguales. El número de dimensiones del cubo viene dado por la llamada dimensión de Hausdorff que se calcula por el exponente al cual hay que elevar el número de partes en que se dividió la arista para que de el número de partes en quedó dividido el cuerpo. En el caso del cubo será el exponente al que hay que elevar 2 para que de 8 o sea 3 como es sabido. La fórmula para calcular la dimensión de Hausdorff la obtenemos como una generalización del procedimiento seguido para el cubo. Si llamamos D a la dimensión, n al números de partes en que se dividió la arista y N al númeo de partes en que quedó dividido el cuerpo, se tendrá: D log n= log N y por tanto D = logN/logn que para el cubo es.
D = log8/log2 = 3.
El fractal de Koch se traza del siguiente modo. Un segmento se divide en 3 partes. Sobre el segmento parcial del medio levantamos un triángulo equilátero y borramos su base. Repetimos una y otra vez la misma operación en cada segmento teóricamente hasta el infinito. Veamos su dimensión aplicando la fórmula de Hausdorff: N=4,n=3 y D=log4/log3=1.2618, un número fraccionario de dimensiones.
Una variante del fractal de Koch es el Copo de Nieve de Koch el cual se obtiene aplicando el mismo procedimiento del fractal a cada lado de un triángulo equilátero. Con la repetición del procedimiento en cada segmento resultante teóricamente hasta el infinito, el perímetro del Copo tiende a infinito. Se tendrá el paradójico caso de un perímetro infinito encerrando un área finita. Otra peculiaridad de los fractales es que cada porción de uno de ellos reproduce la forma del fractal completo a una escala cada vez menor.
Un fractal muy famoso es el de Sierpinski. Su construcción se efectúa a partir de un triángulo equilátero. Con vértice en los puntos medios de sus lados se traza otro triángulo el cual se borra. El mismo procedimiento se aplica a cada uno de los triángulos que quedan una y tra vez. Para calcular su dimensión aplicamos la fórmula de Hausdorff con n=2 y N=3 con lo que obtenemos D=1,584.
Del fractal de Cantor también conocido como Conjunto de Cantor y Polvo de Cantor ya hemos hablado. Para calcular su dimensión de Hausdorff hay que tomar n=3 y N=2 con lo que obtenemos 0,63.
Fractales como los anteriores se construyen mediante un algoritmo como hemos visto, pero otros como los de Mandelbrot y Julia se trazan determinando puntos en el plano obtenidos por iteración de expresiones del tipo z2 = z12 +c donde la z y la c representan números complejos a+bi donde i, unidad imaginaria, la raíz cuadrada de
-1
Cualquier número complejo, por ejemplo: z=a+bi, representa un punto (a,b) en el plano cartesiano, de modo que una expresión como la anterior, puede representarse así:
a+bi=(c+di)2 + (e+fi) desarrollando y aplicando igualdad de polinomios se tendrá:
a=c2-d2+e
b=2cd+f y esas serán las igualdades con números reales que se iterararán.
Ejemplo para un punto inicial del fractal (c,d)= (1,0), y constante (e,f)=(0,1), de la fórmula de las z y la c antes dada, el siguiente punto (a,b)
se hallará por la fórmula obtenida para a y b as
a=1-0+ 0=1
b=0+1=1
así que el segundo punto será (1,1). Se seguirá la iteración poniendo este punto (1,1) de nuevo en las fórmulas de a y b., nos dará (0,3) y así se seguirá la iteración. Un número considerable de puntos conformarán el fractal.
Conclusiones
Se ha mostrado una panorámica de los conceptos básicos y el tratamiento matemático necesario para aplicar los métodos de la dinámica a los temas esenciales de la Teoría de la Complejidad la cual es motivo de especial atención actualmente para la comunidad científica mundial.
Bibliografía
-Strogatz, S. Non Linear Dynamics and Chos.Perseus Books Publishing Estados Unidos. 2000.
-Volkenshtein, M.V. Biofísica.Editorial MIR.Moscú. 1985.
-Zill,D.G. Differential Equations. Library of Congress. Estados Unidos. 2004.
Autor:Joaquín González Alvarez
Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física
Datos del Autor:
Joaquín González Alvarez.
Graduado de Carrera Profesoral Superior de Física y de Optometrista por la Uiversidad de la Habana. Profesor Universitario de Física (Jubilado). Autor de numerosos libros y artículos publicados en Cuba, España, México, y Nicaragua. Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física.
Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, radicado en Estados Unidos.
González, J., y R. Ávila.2005 La Ciencia que Emerge con el Siglo. Editorial Academia. La Habana.
González, J. 2007. La Geometría Fractal. En www.casanchi.com
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