Dificultades en matemática al resolver problemas que conducen a la resolución de ecuaciones de primer grado (página 2)
Enviado por Johan Ortega
En consecuencia, se puede deducir que, el juego es un recurso que sirve para trabajar diversos conceptos matemáticos, entre ellos los algebraicos, puede contribuir a la formación del pensamiento teórico y práctico de los estudiantes y a la formación de las cualidades que debe reunir para el desempeño de sus funciones: capacidad para dirigir, y tomar decisiones individuales y colectivas, razones por las cuales se deben utilizar regularmente en el aula.
Es importante señalar que, existen diferentes modalidades de juegos, entre ellos se destacan los siguientes:
1. El juego cooperativo: se caracteriza por eliminar la competencia, no hay nadie que pierda o gane. La meta que se persigue no es ganar sino alcanzar un determinado objetivo de equipo, estas actividades constituyen los contenidos transversales de la educación. Los juegos cooperativos constituye una primera reflexión para hablar de educación para la paz si nos proponemos actividades sin competición y sin necesidad de que trabaje uno en contra otro. Porque la competencia produce sentimiento de frustración y hace sentir a las personas como torpes. Este tipo de juegos favorecen el desarrollo de capacidades nuevas a quienes por sus limitaciones se ven excluidos o se autoexcluyen en el aula.
2. Juegos de procedimiento conocido: son aquellos que los alumnos conocen y que podemos modificar para trabajar los conceptos que nos interesen. Ejemplo: cartas, dominó, puzles.
3. Juegos de conocimiento: son aquellos preparados directamente para trabajar algún concepto concreto (visto en clase con anterioridad o como introducción a uno nuevo). Ejemplo: panel de números, laberinto de fracciones, tablero de ecuaciones.
4. Juegos de estrategia: consisten en aplicar procedimientos para resolver problemas, pudiendo aparecer en ellos números o letras. Ejemplo: sudoku, juego de Nim.
La Resolución de Problemas como Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas
La resolución de problemas es concebida por muchos expertos en el campo de la matemática como una estrategia esencial de esta ciencia. En relación a esta actividad didáctica, Terán y otros (2005), aportan lo siguiente:
Una de las estrategias más utilizadas para la enseñanza-aprendizaje de la matemática hoy día lo constituye la resolución de problemas. Se entiende por problema toda situación con un objetivo a lograr que requiere del sujeto una serie de acciones u operaciones para obtener su solución. (p. 244).
Lo planteado por los autores antes citados, demuestra que los problemas son elementos constantes en el abordaje de los diferentes contenidos matemáticos, razón que justifica, la aplicación de la resolución de problemas como estrategia de enseñanza y aprendizaje de la matemática. Respecto a esto, Terán y otros (ob. cit.) se inspiran en las ideas que Orton (1998), aporta sobre la resolución de problemas y plantean que dicha estrategia implica un procesos en el que el aprendiz puede armonizar los conocimientos, reglas, y técnicas ya adquiridas previamente, a partir de lo cual suministre una solución a una situación problemas.
Para ello es necesario que el docente admita el carácter dual de la matemática, es decir, verla como un producto y como un proceso. Dicho de otra manera, es prioritario entenderla en dos sentidos: como un conjunto organizado de conocimientos y como una acción en la que el sujeto que aprende puede desarrollar su potencial creativo. Este carácter dual que caracteriza la matemática debe plasmarse en su enseñanza.
En tal sentido, el acto de enseñar matemática debe estar signado, según Mora (2002, p. 18), por un aspecto altamente determinante que dicho autor resume en los siguientes términos: "lo más importante es hacer matemática con interés y motivación y no por obligación o exigencias curriculares, como lo observamos cotidianamente en nuestros centros de aprendizaje", de lo que se puede inferir como elementos fundamentales el interés y la motivación en el arte de enseñar matemática.
Por consiguiente, es pertinente lo acotado por Terán y otros (2005, p. 44), quienes siguiendo las ideas de González (1997), sostienen la necesidad de que el docente en la actividad de aula, tres dimensiones que favorecen la enseñanza de la matemática. Estas dimensiones son: a) Cognitiva, referida al contenido matemático; b) Metodológica, en la que se consideran los factores técnicos/ metodológicos/ docentes involucrados en los contenidos; y c) Afectiva, referida a las actitudes que manifiesta un docente de matemática respecto a la disciplina, así como de sí mismo y de los estudiantes.
En consecuencia, se asume como prioridad para el docente, la búsqueda, diseño y promoción de estrategias que le permitan mejorar el arte de enseñar la matemática de manera novedosa y atractiva para el educando. La resolución de problemas se convierte así, en una herramienta esencial para la enseñanza de la matemática, y su importancia radica en el énfasis que pone en los procesos de pensamiento de los estudiantes, quienes particularmente deben asumir un proceso ordenado, lógico-coherente y de inventiva, en la búsqueda de respuestas que lo lleven a la solución de los problemas que se derivan de los contenidos de esta área de conocimientos.
La importancia de la resolución de problemas como herramienta para la enseñanza de la matemática en sus diferentes contenidos, radica en los procesos mentales que debe ejecutar el estudiante, tal como es el caso de la representación, proceso que conduce a la visualización; que puede ser interna o externa. Respecto a este proceso, Golding (citado por Mejía 1995, p. 25), expone lo siguiente:
…para entender un problema, el solucionador crea, imagina una situación descrita por el enunciado verbal de un problema, lo visualiza, es decir, hace una representación interna. En ese dominio del proceso imaginístico, también se puede inducir modelos de reconocimiento, combinando entradas sensoriales no verbales, con información previamente codificada. Sin embargo, este proceso imaginístico es difícil de entender desde el punto de vista del procesamiento de la información, ya que no se sabe cómo son codificadas las configuraciones imaginísticas.
Ahora bien, ¿Qué se entiende por problema? Un problema desde el punto de vista de la matemática se define como una situación o planteamiento que requiere una solución y que de acuerdo con Polya (1981) se clasifican en problemas por resolver y problemas por demostrar.
El problema por resolver, de acuerdo a lo señalado por Polya (ob. cit, p. 67), es aquel que tiene como elementos fundamentales: los datos, la incógnita y la condición y agrega que "la solución consiste esencialmente en relacionar la incógnita con los datos. Por ello, al resolver un problema no se debe perder de vista en ningún momento dichos elementos y preguntarse: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?" Además, el autor antes mencionado hace ver que la incógnita es una especie de enigma, un elemento que no se conoce pero que es de vital importancia para comprender el enunciado de un problema, es lo que se pide buscar, se desea determinar; lo cual es la esencia del problema.
Otro elemento del problema por resolver de acuerdo con Polya (ob. cit) lo constituyen los datos. Estos son componentes con información que permitirán conocer la incógnita. En palabras del autor antes citado, son herramientas de las cuales se dispone para resolver el problema.
Respecto a la condición, constituye el elemento de mayor complejidad en el problema por resolver, según lo que expresa Polya (1981), ya que establece la relación entre los datos y la incógnita. Esta condición puede ser redundante cuando existen elementos superfluos, es decir, cuando el problema planteado contiene datos redundantes o en exceso. Agrega además este autor, que la condición puede ser contradictoria cuando los datos que se aportan se oponen unos a otros, y son incompatibles, de tal manera que se hace difícil entender la relación entre datos en incógnitas, es decir, que se cumpla la condición.
En cuanto al problema por demostrar, las partes que lo constituyen son según Polya (ob. cit.): la hipótesis y la conclusión. Estos son problemas literales, puesto que no poseen números, solamente un conjunto de letras que van a representar todos esos números. En relación a este tipo de problemas, Polya (ob. cit. p. 36), plantea que
…los alumnos deben saber que los problemas literales tienen una gran ventaja sobre los problemas puramente numéricos; si el problema está planteado de manera literal, su resultado puede, en efecto, someterse a varias verificaciones que serían imposibles en el caso de un problema numérico.
Este autor agrega además, que en la solución de problema interviene definitivamente la voluntad, que el estudiante desarrolla la perseverancia, aprecia sus progresos y logran mayor concentración. Por tal razón, el docente debería en incorporar la resolución de problemas en las actividades de aula.
Características de un problema Matemático
Según Parra (1994 d) las características del problema matemático son:
1. Planear las situaciones que le permitan a los estudiantes desarrollar el razonamiento matemático en situaciones funcionales y no en las que solo ejerciten el cálculo complicado.
2. La redacción debe ser clara, utilizando un vocabulario corriente y preciso.
3. La presentación debe ser original e interesante.
4. Debe tener suficiencia de elementos: datos, condición e incógnita.
5. El grado de dificultad debe corresponder al desarrollo cognitivo de los estudiantes.
6. Proponer datos de situaciones reales.
7. La incógnita debe estar claramente formulada.
8. No se reduce a soluciones que impliquen exclusivamente operaciones numéricas. Los estudiantes no podrán localizar datos en mapas, tablas y gráficos entre otros que no existen en el problema pero que son necesarios para su solución.
9. Debe estar formulado de forma que despierte en los estudiantes el interés por encontrar diversas alternativas de solución si estas existen.
10. Responde a los objetivos específicos del programa de matemática.
Con relación a lo planteado, la resolución de problemas, como estrategia principal para llevar a cabo el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática, es necesario que cuando se planteen, se les deben presentar a los estudiantes diferentes formas para llegar a la solución de los mismos.
BASES LEGALES
El presente estudio se fundamenta en la constitución de la República Bolivariana de Venezuela (1999) en su articulo102 donde se establece que uno de los fines de la educación es: "… desarrollar el potencial creativo de cada ser humano y el pleno ejercicio de su personalidad en una sociedad democrática basada en la valoración ética del trabajo y en la participación activa, consciente y solidaria en los procesos de transformación social,…" (p. 92)
Desarrollar el potencial creativo implica, el desarrollo intelectual, cultural y social de los estudiantes, la enseñanza de la matemática cumple un papel importante en este sentido, ya que con la enseñanza de esta disciplina, el estudiante adquiere conocimientos, habilidades y destrezas.
Igualmente, la ley Orgánica de Educación (2009) en su artículo 14, establece que la didáctica debe estar:
Centrada en los procesos que tienen como eje la investigación, la creatividad y la innovación, lo cual permite adecuar las estrategias, los recursos y la organización del aula, a partir de la diversidad de intereses y necesidades de los y las estudiantes. (p. 17).
De igual manera, la Ley orgánica de Educación (2009) en su artículo 15, numeral 8, señala que la educación tiene como finalidad: "desarrollar la capacidad de abstracción y el pensamiento crítico mediante la formación en filosofía, lógica y matemáticas, con métodos innovadores que privilegien el aprendizaje desde la cotidianidad y la experiencia" (p. 19)
En tal sentido, se hace necesario que el docente diseñe actividades, procedimientos y estrategias de enseñanza de las matemáticas que garanticen que los niños, niñas y jóvenes, adquieran las destrezas necesarias para desarrollar su capacidad de análisis, su potencial creativo, y por ende de razonamiento matemático, de manera contextualizado con la realidad. De allí, que las actividades didácticas basadas en la lúdica se incluyan dentro de esas estrategias para que el estudiante desarrolle su potencial socio- cognitivo.
En este mismo orden de ideas, la Ley Orgánica de Protección al Niño, Niña y Adolescentes (2007) en su artículo 53, Parágrafo Primero: establece que es necesario educar a los niños, niñas y jóvenes con "… recursos pedagógicos para brindar una educación integral de la más alta calidad…" (p. 38). De allí, surge la necesidad de planificar actividades y crear ambientes de aprendizaje adecuados con el fin de que los niños y jóvenes reciban una educación integral, es decir, donde se atienda lo cognitivo, lo afectivo, lo psicomotor y las relaciones sociales.
CAPÍTULO III
En el marco metodológico de una investigación se describen el tipo de investigación, el enfoque, las técnicas e instrumentos para la recolección de datos, así como la validez y confiabilidad de las mismas. El paradigma que rige el presente trabajo es de tipo positivista bajo el enfoque cuantitativo puesto que se trata de un trabajo de campo no experimental, inscrito bajo la modalidad de proyecto de aprendizaje y cuyo propósito es identificar las dificultades que confrontan los estudiantes de séptimo grado de Educación Básica de la U.E.N "Wenceslao Casado Fonseca" ubicada en el municipio San Sebastián del Estado Aragua para luego proponer un conjunto de actividades didácticas que podrían ayudarles a superarlas.
Tipo de Investigación
El presente trabajo se sustenta en la investigación de campo, la cual es definida por el manual la UNERG (2006) como:
El análisis sistemático de problemas con el propósito de describirlos, explicar sus causas y efectos, entender su naturaleza y factores constituyentes o predecir su ocurrencia Los datos de interés se recogen en forma directa de la realidad por el estudiante, partiendo así de datos originales o primarios (p. 9)
En tal sentido, la investigaciones campo permiten recoger la información sobre la realidad presente en las aulas de clase de primer año en el desarrollo del programa de matemática. Asimismo, el análisis de todos los datos y la formulación de supuestos implícitos, constituyeron la base para diseñar una propuesta.
Además, se lleva a cabo una revisión de tipo documental, que se realiza a través del análisis de investigaciones ofrecidas por la extensa bibliografía que ofrecen textos sobre actividades en el campo de la enseñanza de las matemáticas y que según Hurtado (2000) se define como: "una variante de la investigación científica cuyo objetivo fundamental es el análisis de diferentes fenómenos de la realidad a través de la indagación exhaustiva, sistemática y rigurosa,…" (p. 7)
La revisión bibliográfica y documental sirvió como fuente para construir el marco referencial que le dio sentido teórico a la propuesta, y además constituye la técnica utilizada para recopilar la información más importante e inherente al problema planteado en la investigación, los cuales fueron seleccionados tomando el criterio de pertinencia y actualidad de la información.
Este trabajo también es Investigación Acción Participativa que según Buendía, L; Colas, P y Fernández, F (1998, pág. 263) se caracteriza de la manera siguiente: a) La Investigación Acción se plantea para cambiar y mejorar las prácticas existentes, bien sean educativas, sociales y/o personales. b). La Investigación Acción se desarrolla de forma participativa, es decir, en grupos que plantean la mejora de sus prácticas sociales o vivenciales. c) Metodológicamente se desarrolla siguiendo un proceso en espiral que incluye cuatro fases: planificación, acción, observación y reflexión. d) La Investigación Acción se convierte en un proceso sistemático de aprendizaje ya que implica que las personas realicen un análisis crítico de las situaciones (clases, centros o sistemas) en las que están inmersos, induce a que las personas teoricen en cuanto a sus prácticas y exige que las acciones y teorías sean sometidas a prueba. Además, permiten desarrollar a los investigadores un análisis participativo, donde los actores implicados se convierten en los protagonistas del proceso de construcción del conocimiento de la realidad sobre el objeto de estudio, en la detección de problemas y necesidades y en la elaboración de propuestas y soluciones.
Nivel de la Investigación
El nivel es descriptivo, porque este tipo de investigación sirve para obtener información acerca de las condiciones existentes, es decir, se describe lo que existe con respecto a las variaciones o a las condiciones de una situación. Ary y otros (1989), afirman al respecto que "los estudios de esa índole tratan de obtener información acerca del estado actual de los fenómenos, con ello se pretende precisar la naturaleza de una situación tal como existe en el momento del estudio" (p.308).
Modalidad de la investigación
Uno de los propósitos de la presente investigación consiste en diseñar un conjunto de actividades didácticas basadas en la lúdica que podrían favorecer la resolución de problemas que conducen a la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Dentro de este contexto se ajusta a la modalidad de proyecto de aprendizaje (PA), los cuales según la Universidad Bolivariana de Venezuela (UBV), están concebidos como estrategia de articulación y organización de los aprendizajes de los niños y niñas en formación. El fin de los PA es "desarrollar los componentes de formación y lograr el crecimiento personal y profesional de cada uno (a) de los (las) estudiante (s)" p.6.
Diseño de la Investigación
De acuerdo con Kenlinger (1982), el diseño de una investigación se puede definir en términos generales como "un conjunto de reglas mediante las cuales obtenemos observaciones del fenómeno que constituye el objeto de estudio" o de forma más simple se puede decir que es "el plan, estructura y estrategia de una investigación cuyo objetivo es dar respuesta a ciertas preguntas". Así entendido sería aplicable tanto a investigaciones experimentales como no experimentales. El diseño es pues imprescindible para toda investigación científica, ya que proporciona los pasos a seguir, desde la formulación del problema hasta el análisis de los datos, y su finalidad primordial es permitir hacer observaciones sobre el objeto de estudio.
El diseño que rige la presente investigación es de tipo no experimental, de corte transversal que de acuerdo con Kenliger (ob. cit) "es aquella investigación en la que resulta imposible manipular variables o asignar aleatoriamente a los sujetos o a las condiciones". En este tipo de estudios, no hay condiciones o estímulos a los que se expongan los sujetos, es decir, son observados en su ambiente natural, en su realidad.
De conformidad con lo señalado en los párrafos anteriores y con el fin de llevar una organización y coherencia en el proceso desarrollado en esta investigación, se implementaron una serie de actividades correspondientes al análisis actual del caso de estudio, aplicación de los instrumentos y concepción de las propuestas. Dichas actividades se realizaron en las siguientes etapas:
Conformación de las bases teóricas del estudio a través de la revisión de texto, revisión de trabajos especiales de grado, páginas web y documentos que proporcionaron los fundamentos teóricos conceptuales sobre estrategias metodológicas y teorías del aprendizaje relacionadas con la enseñanza de la geometría, para luego contrastarlas con la actuación de los estudiantes durante la realización del estudio.
Diseño y determinación de la validez y confiabilidad de los instrumentos de recolección de datos; y su respectiva corrección según las opiniones de los expertos.
Recolección de los datos que sustentan la investigación, la cual se realizó en el primer lapso del año escolar 2008-2009.
Análisis, organización e interpretación de los datos suministrados por los estudiantes bajo estudio por medio de una matriz de información para el cuestionario. Posteriormente se evaluaron los resultados obtenidos por el diagnóstico; lo que sirvió de sustento a la propuesta.
Diseño y elaboración de la propuesta tomando en consideración las bases teórica y los resultados obtenidos a través de la aplicación de los instrumentos diseñados.
Población y Muestra
La población para esta investigación estuvo conformada por ciento tres (103) estudiantes del séptimo grado de la U.E.N "Wenceslao Casado Fonseca", ubicado en San Sebastián de los Reyes Estado Aragua.
Los alumnos seleccionados en este estudio son niños de ambos sexos del séptimo grado de Educación Básica, cuyas edades están comprendidas entre 11 y 14 años. El instituto educativo se ha elegido en forma intencional debido a que el autor de este trabajo de investigación tiene fiel acceso al mismo.
El tamaño de la muestra lo conformaron veintisiete (27) estudiantes de la U.E.N "Wenceslao Casado Fonseca" seleccionados intencionalmente debido a que el autor conoce las características de estos grupos. De acuerdo a lo establecido por Tamayo 1999, señala que:
Al muestreo intencional se le da igualmente el nombre de sesgado, en donde el investigador seleccione los elementos que a su juicio son representaciones, lo cual exige al investigador un conocimiento preciso de la población que se investiga para determinar cuáles son las categorías o elementos que se pueden consideran como tipo representativo del fenómeno que se estudia. P.118
Técnicas e Instrumentos de la recolección de datos
Para recabar la información pertinente a la investigación se utilizó como técnica: una revisión bibliografía con la finalidad de obtener una serie de datos que sirven de referencia para conformar el aspecto teórico que sustenta el estudio; además se aplicó un cuestionario de respuesta libre con el objetivo de analizar las dificultades en matemática que confrontan los estudiantes del séptimo grado de educación básica al resolver problemas que conducen a la resolución de ecuaciones lineales de una incógnita.
El instrumento aplicado fue de repuesta libre donde se propusieron cinco (05) problemas.
Las diferencias existentes entre los problemas lo constituían la estructura semántica y el tipo de operación que el alumno tiene que utilizar para determinar el valor de la incógnita y en el conjunto de soluciones al que pertenecieron los problemas .Los problemas contenían información pertinente al contexto de los alumnos, además aparentaban ser distintos, cuando en realidad todos se resolvían a través de una ecuación lineal.
Los problemas utilizados poseían las siguientes características:
a) Debían ser traducidos literalmente, es decir convertir cada una de las palabras claves de los enunciados en un símbolo, conservado el orden en que aparecen en la frases y utilizando las operaciones y el igual como signos de enlace.
b) Para llegar a la resolución los alumnos tenían que presentar en un orden conveniente todas las relaciones que deben ser ampliadas entre la incógnita y los datos siguiendo la condición dada;
c) Permitían trasformar la solución en forma literal.
Por otro lado, es relevante describir brevemente el proceso que se empleó para aplicar el instrumento. El cuestionario de problemas escritos se pasó a todo el grupo a la vez en su aula. Los estudiantes estaban sentados en sus sitos habituales para evitar una posible causa de la unidad de las respuestas de otros compañeros. El investigador insto a los jóvenes para que respondieran a conciencia según lo que ellos pensaran que era la solución sin fijarse, en el compañero debido a que posiblemente se equivocarían, y las respuestas no servirían. Por lo general los estudiantes aceptaron esta indicaciones y resolvieron en silencio y con interés los cinco (05) problemas; el tiempo empleado para resolver los problemas del cuestionario oscilo entre 25 y 45 minutos.
Instrumento Aplicado
Preguntas contenidas en el cuestionario aplicado
Problema N0 1
Las edades de Julio y José suman 75 años. Si Julio tiene tres años más que José. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Problema N0 2
La edad de maría es el triple de la edad de Rosa. Si ambas suman 80 años. ¿Qué edad tiene cada una?
Problema N0 3
Un bolígrafo cuesta 30 Bolívares más que un lápiz. Un muchacho ha comprado 8 bolígrafos y 15 lápices. En total le han costado 700 Bolívares. ¿Cuánto costo cada lápiz y cada bolígrafo?
Problema N0 4
Si a Roberto le descuentan la tercera parte de su sueldo y recibe 2000 Bf. ¿Cuál es el sueldo de Roberto?
Problema N0 5
Si al dinero que tenía Luís, le añade el doble del dinero que tenía más 10000 bolívares, tendría 100000 Bolívares. ¿Cuánto dinero tenía Luís?
CAPÍTULO IV
En éste capítulo se presentan los resultados de la investigación a través de la técnica de la encuesta por medio de un cuestionario aplicado los estudiantes. Los resultados se presentan tomando en cuenta los siguientes objetivos; identificar y describir respectivamente las dificultades que confronta los estudiantes del séptimo grado al resolver problemas matemáticos que conducen a la resolución de ecuaciones lineales con una incógnita. Dichos resultados se presentan en cuatro (4) cuadros de distribución de frecuencias y porcentajes con respecto a las respuestas emitidas por los estudiantes.
Por otro lado, se presenta también un análisis de cada dificultad dada, acompañada con una descripción de la misma y alguna sugerencia para superarla. A continuación se presentan los resultados obtenidos de acuerdo a lo anteriormente expuesto.
Cuadro 1. Distribución de frecuencias y porcentajes con respecto a las respuestas emitidas por los alumnos en el primer cuestionario.
Como se puede observar, en el cuadro anterior, los altos índices de frecuencia porcentual en todos los problemas se encuentran concentrados en respuestas incorrectas, a excepción del problema número dos, donde el porcentaje de respuestas correctas y parcialmente correctas suman el 66,67% y el de incorrectas el 33,33%. Desde el problema número tres en adelante el porcentaje de respuestas incorrectas fue aumentando del 88,89%, hasta el 96,30%. Esto indica que el proceso enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones lineales de una incógnita, presenta un conjunto de debilidades que se corresponde a un modelo de enseñanza que utiliza como principales métodos: los memorísticos y mecanicistas; donde el conocimiento que se adquiere no es producto de la reflexión de las actividades que realiza el estudiante, lo que permite adquirir un aprendizaje poco significativo.
Por otro lado, los problemas donde los estudiantes obtuvieron más respuestas correctas, se corresponde con los de las edades; donde las relaciones de las cantidades la establecen los años que tienen las personas que allí se mencionan, siendo este el aspecto común de ambos. Y los problemas que más respuestas incorrectas arrojaron tiene que ver con el problema tres (96,30%) el cual es un problemas de estado, donde se cuenta una historia en la que una de las cantidades va cambiando de valor a lo largo de una serie de estado sucesivos y el cuatro (96,30%) en el cual se incluye una expresión racional.
Cuadro 2. Distribución de frecuencias y porcentajes con respecto a las respuestas emitidas por los alumnos después de aplicar las estrategias didácticas.
En el cuadro anterior se muestran los resultados obtenidos al aplicar nuevamente el cuestionario una vez que el profesor aplicó una serie de juegos didácticos para ayudar a los estudiantes a superar los problemas de traducción. Como se deja ver, la situación mejoró considerablemente. En todas las preguntas, el porcentaje de respuestas correctas y parcialmente correctas superan al porcentaje de respuestas incorrectas a excepción del problema número cuatro donde el porcentaje de respuestas incorrectas (59,26%) superan por un amplio margen a la cantidad de respuestas correctas (22,22%) y parcialmente correctas (18,52%). Esto se debe tal vez a que este problema incluye una expresión racional.
Cuadro 3. Distribución de frecuencias y porcentajes con respecto a las dificultades encontradas en los problemas resueltos por los estudiantes antes que se emplearan juegos didácticos.
Para analizar los resultados reflejados en el cuadro anterior y en el siguiente hay que tomar en cuenta los siguientes significados:
D1: En el análisis de los resultados para determinar el significado de los enunciados.
D2: Al traducir el enunciado.
D3: Tienden a escribir los símbolos de las ecuación en el mismo orden en que aparecen en el enunciado
D4: No resuelven los problemas.
D5: Las respuestas son incoherentes con relación al problema
D6: En la reducción de términos semejantes.
D7: Con relación al signo de división
D8: En la utilización adecuada de los símbolos.
D9: En el cambio del concepto del signo igual.
D10: En la realización de los cálculos.
D11: Con los números racionales.
Los resultados mostrados en el cuadro número tres (3) evidencian que los estudiantes presentan un gran número de dificultades cuando resuelven problemas de ecuaciones lineales de una incógnita, a nivel de séptimo grado de Educación Básica. Estas dificultades están asociadas a la manera de expresar en lenguaje matemático, enunciado escritos en lenguaje natural, donde se observan que ellos inventan expresiones algebraicas y no pueden representar los símbolos a través de letras. Es importante destacar que las dificultades que más se repitieron en los diferentes problemas están relacionadas con; no resuelven los problemas (60); la traducción del enunciado (49); el análisis de los enunciados para determinar significados de la variables (48) Esto indica que estas dificultades podrían proceder de una deficiente compresión de las relaciones que hay que expresar simbólicamente. Pero el problema mayor y más frecuente que se observó, consiste en que algunos casos, los estudiantes comprendían la situación problemática planteada y sin embargo no podían expresarla en el lenguaje del álgebra. También se presentaron otras dificultades en menor cantidad, pero lo suficientemente, marcadas para reseñarla.
Los estudiantes presentan dificultades en lo referente a la transposición de términos, también con la concepción del signo igual y la realización de los cálculos para resolver las ecuaciones.
Otros aspectos importantes para destacar, es que los alumnos no utilizan adecuadamente los símbolos, y además en el caso del problema que se plantea con fracciones, no pudieron resolver correctamente las operaciones de adición y sustracción de fracciones.
Cuadro 4. Distribución de frecuencias y porcentajes con respecto a las dificultades encontradas en los problemas resueltos por los estudiantes después que se emplearon juegos didácticos.
Fuente: datos de la investigación 2008
En el cuadro anterior se deja ver que los resultados mejoraron un poco después que se aplicó la estrategia de juegos didácticos para superar los problemas de traducción. Sin embargo, es de hacer notar que aún se siguieron presentando dificultades relacionadas con el análisis de los enunciados para determinar significados de la variables (74), la traducción del enunciado (40), con el signo de división (64). Es importante resaltar que la dificultad no resuelven los problemas se redujo considerablemente de (60) pasó a (6); la dificultad las respuestas son incoherentes con relación al problema de (45) se redujo a (31).
Los resultados evidencian que una estrategia basada en juegos didácticos disminuye la aversión que sienten los jóvenes hacia las matemáticas. No obstante, el docente ha de combinar la lúdica con otras estrategias para ayudar a los jóvenes a hacer frente a los problemas de traducción.
A continuación se presentan una serie de gráficos que nos permitirán hacer un análisis de cada uno de los errores que suelen cometer los estudiantes cuando resuelven problemas que conducen a la resolución de ecuaciones lineales de una incógnita, a cada gráfico le sigue una breve explicación de la dificultad y una estrategia didáctica para superar la misma.
Gráfico 1
Fuente: datos de la investigación 2008
Análisis y Reflexión
Como se puede apreciar en el grafico uno, las dificultades en el análisis de los enunciados para determinar el significado de las variables, es una constante que se repite en todos los problemas resueltos por los alumnos
En la resolución de estos problemas se evidencia que para el alumno, no está claro que la equis (x) puede representar edades, costo de cosas, números de personas, cantidades de objetos, etc.; las cuales no podían quedar multiplicadas por tres. Por ejemplo en el caso del problema la edad de María es el triple de la edad de Rosa, no puede expresar x: como la edad de Rosa; mucho menos 3X: la edad de María.
Esta compresión o interpretación de letra como de edad, supone un bajo nivel de respuestas de los alumnos, puesto que para alcanzar una compresión real de los métodos y formas de proceder del álgebra, es necesario que las letras se interprete, al menos como un números concreto aunque desconocido.
Otros aspectos que se presentó durante la aplicación del primer cuestionario fue que los estudiantes para referirse a las variables utilizan abreviaturas o iniciales de los nombres de las personas u objetos directamente relacionados con dicha variable. En otros casos la equis (x) representaba una situación que no tenía nada que ver con la situación problemática planteada.
También ocurría que al escribir las expresiones los coeficientes aparecían detrás de las variables x3: edad de María o que en algunos casos figuraba el signo multiplicar x entre la letra y el número. 3x X; la edad de María.
Una sugerencia para determinar el significado de las variables cuando se analiza un enunciado, es la propuesta por Whitman (citado por el grupo Azarquiel 1993), el cual señala que es importante que los estudiantes aprendan a asociar el producto de un número y un marco como solo número. Ella insiste en que el procedimiento. (COVER UP). (? +17=21; 2 ? +5 =47; 3?.-8 =31), ayuda a los estudiantes a relacionar una determinada variable con un valor determinado y además sirve para estudiar las estructura general de las ecuaciones y descomponerla de manera sistemática.
Otra idea sería el descomponer el problema en una tabla, como por ejemplo; el problema propuesto del cuestionario, la edad de María es el triple de la edad de Rosa. Si ambas edades suman 80. ¿Qué edad tiene cada una?; para darle significado a la variable, se podría utilizar la siguiente tabla:
Grafico 2
Fuente: datos de la investigación 2008
Análisis y Reflexión
Como se puede observar la dificultad relacionada con la traducción del enunciado de los diferentes problemas propuestos en el cuestionario, es una de las que más veces se repite, o sea que un número de estudiantes confortaron problemas a la hora de expresar en lenguaje matemático la situación planteada en el lenguaje natural.
Dentro de esta dificultad sobresale el hecho de que las ecuaciones planteadas por los alumnos no tenían nada que ver con los problemas propuestos en el cuestionario. Por ejemplo: algunos estudiantes, al tratar de traducir el problema # 3; un bolígrafo cuesta 30 bolívares más que un lápiz. Un muchacho ha comprado 8 bolígrafos y 15 lápices. Si en total le ha pagado 700 bolívares ¿Cuántos valía cada lápiz y cada bolígrafo?, hacían lo siguiente: llamaban (x) al precio de del lápiz y (y) al precio del bolígrafo. Planteaban la siguiente ecuación:
(30+x) +8x+5y =700
En este caso, los estudiantes identificaban dos categorías distintas lápices y bolígrafos.
Como se deja ver la traducción del lenguaje natural al lenguaje simbólico no se realiza de la manera automática, incluso conociendo y comprendiendo ambos. El origen de las dificultades podrían venir de la estructura y la interpretación de las propias expresiones algebraicas, pero encontrar la expresión simbólica adecuada para trasladar el significado del enunciado al nuevo lenguaje es una tarea distinta y que requiere además, del conocimiento adecuado de la estructura y la sintaxis algebraica, un entrenamiento específico en esta dirección.
Sugerencias para actuar en situaciones similares
Para que los alumnos puedan aceptar como resultado una expresión, como una operación indicada y sin efectuar, es necesario que se establezca distancia entre el significado y las operaciones aritméticas que siempre dan como resultado un número, y el significado de la operaciones en algebra que se presenta la simbolización de un proceso.
Es necesario que los docentes tomen conciencia de las dificultades que supone la traducción al lenguaje del algebra de los problemas de enunciados. En tal sentido, Clement (citado por Grupo Azarquiel 1993), describe el proceso mental que hay que seguir para describir una ecuación a partir del enunciado del problema, y sostiene que la clave para comprender traducciones correctas está en la habilidad para inventar una operación, que genere una equivalencia, y comprender que es precisamente esa acción lo que se simboliza en lado derecho de la ecuación. P (85)
Bell (citado por Grupo Azarquiel 1993), sostiene que para trabajar problemas de traducción en el aula hay que proponer situaciones en las que el alumno, probablemente cometa el error, y entonces, suscitar la discusión para que los estudiantes conozcan la posibilidad del error en esta clase de situación. En consecuencia, es necesario proponer ejercicios que consideren conjuntamente el paso del lenguaje natural al matemático y viceversa. Estas actividades deben organizarse en un contexto donde las respuestas poco claras puedan ser discutidas, ampliamente por el grupo de estudiantes. Es muy importante provocar estas discusiones, proponiendo a los alumnos que hagan comprobaciones y pruebas de sus respuestas. La finalidad es de conseguir que los jóvenes escriban la ecuación apropiada, y además enfrentarlos a su propia contradicción.
Gráfico 3
Fuente: datos de la investigación 2008
Análisis y Reflexión
En esta dificultad se puede observar que un gran número de alumnos convirtió cada una las palabras clave de los enunciados, de los cinco problemas propuestos en el cuestionarios, en símbolos donde conservaron el orden en que aparece en la frase y utilizando las operaciones y el igual como signo de enlace.
Un ejemplo de traducción literal lo presenta el siguiente problema. Si a Roberto le descuentan la tercera parte de su sueldo y recibe 2000 Bf. ¿Cuál es el sueldo de Roberto?
Muchos alumnos plantearon para resolver el problema la siguiente ecuación:
X – 1/3 =2000, lo que indica dos cosas.
1. Escribieron la ecuación de izquierda a derecha (traducción literal)
2. No pudieron expresar la tercera parte del sueldo de Roberto como 1/3X
Una sugerencia para lograr resolver problemas de ecuaciones lineales, sin presentar dificultades en la traducción de enunciados, consiste en utilizar cuadros en donde se traduzca cada parte del enunciado del lenguaje natural al algebraico. Una vez identificadas las incógnitas, se procede a escribir la ecuación correspondiente.
Gráfico 4
Fuente: datos de la investigación 2008
Análisis y Reflexión
En el grafico 4 se puede apreciar que la dificultad "no resuelven el problema"; fue una de las que más se repitió en los diferentes problemas del primer cuestionario resuelto por los estudiantes. Igualmente se puede observar que los alumnos, no sintieron motivados a resolver algunos problemas planteados, quizás porque sintieron que el nivel de complejidad de estos es muy alto y no comprendían lo que se pedía; o sino, debido a que no encontraron una estrategia de soluciones definida que les permitieran expresar en forma de lenguaje matemático, situaciones referidas a las relaciones que se establecen en los problemas de ecuaciones lineales de una incógnita.
Otro motivo que pudo contribuir con este resultado, podría haber sido el escaso conocimiento que poseen los estudiantes, acerca de lo que es un problema y su solución, caracterizado por los indiferenciado e incompleto de las representaciones y del énfasis hacia la respuesta del problema.
Por otro lado, es importante destacar que para resolver un problema los alumnos deben identificar los componentes del problema; es decir, reconocer los datos, la incógnita y la condición del problema. Establecer las relaciones entre los componentes para intentar dar con la solución, distinguir el todo y las partes y las asociaciones entre ellos, recordar conocimientos previos, aplicar estrategias que permitan realizar comparaciones con problemas resueltos.
Finalmente, otro aspecto que pudo ocasionar que los estudiantes no contestaron algunos de los problemas propuestos en el cuestionario, lo constituye el hecho de que probablemente no conocían el significado de las operaciones y relaciones entre ellos, no dominan la técnica operatoria y además no encuentran que cálculos aplicar para obtener la solución.
Gráfico 5
Fuente: datos de la investigación 2008
Análisis y Reflexión
Con respecto a la dificultad respuestas incoherente con relación al problema, se puede observar que esta aparece repetida en todo los problemas a excepción relacionado con los Números racionales, o sea el problema # 4.
Es importante señalar que en el tanto en el primer como en el segundo cuestionario aplicado, algunos estudiantes planteaban ecuaciones que no tenían nada que ver con la situación problemática planteada, y además las respuestas eran totalmente incoherente en relación al problema, esto se puede evidenciar en el problema # 4 donde algunos estudiantes para resolver planteaban la ecuación de la siguiente forma:
X / 3 = 2000
Gráfico 6
Fuente: datos de la investigación 2008
Análisis y reflexión
Esta dificultad está relacionada entre operaciones de adicción y sustracción de términos semejantes, es importante resaltar, que cuando los alumnos planteaban correctamente la ecuación que permitía resolver el problema, se equivocaban al tratar de reducir términos semejantes, por ejemplo:
En problema # 1 se observó lo siguiente:
X+(x+ 3) =75
X+ 3 =75, ignoraban x+x =2x, debido a que piensan que es un producto de coeficiente 1.1
En el problema # 4, no podían resolver la ecuación x –x / 3 =2000, debido que no encontraban la manera de reducir x – x / 3, dejando el problema sin resolver. Cuando inclusive habían hecho lo que supone tiene mayor dificultad, lo cual es exponer en lenguaje matemático el enunciado del problema.
Gráfico 7
Fuente: datos de la investigación 2008
Análisis y reflexión
Antes de la aplicación de los juegos didácticos se observó que un gran número de estudiantes manejaban el signo igual como un mandato operacional. Por ejemplo, al responder el problema #2, uno de los estudiantes, resuelven la ecuación de la siguiente manera.
4X = 80 = X = 80/4 = 20
Aquí se observa que resuelven encadenando mediante el singo igual, las distintas ecuaciones que obtienen al hacer una serie de trasformaciones. Mezclan el igual operacional, propio de la aritmética, con el igual como equilibrio especifico de la ecuación; propio del algebra.
Así como en el problema #5: 15x+8 (x+30) =700 =15x+8x+240 =700 =23x =700-240 =23x =460
Las dificultades analizadas son solo algunos ejemplos, que se ponen de manifiesto los obstáculos que presentan los alumnos, tanto el concepto de ecuación y de solución, como el propio proceso de resoluciones. En la base de todo el problema se encuentra el paso, de fundamental importancia, que el estudiante debe dar desde la aritmética al algebra y, especialmente; del antiguo al nuevo concepto. Del signo igual.
Para introducir el concepto de ecuación como la condición que cumple cierto número desconocido que es preciso encontrar; se puede partir de situaciones pre algebraicas a modo de juegos, tales como el siguiente:
1) Escribe en cada cuadrito la cantidad que corresponde para establecer la igualdad.
a) 8 + 4 = ? + 5 b) ? + 3 = 6 + 4
c) 8 – ? = 1 + 2 d) 6 + 5= 13 – ?
CAPÍTULO V
Conclusiones y recomendaciones
Conclusiones
Los resultados obtenidos de la aplicación del cuestionario, del análisis realizado a partir de las fuentes bibliográficas consultadas y de los diferentes aspectos considerados en la metodología empleada para el desarrollo de esta investigación, permitieron obtener las siguientes conclusiones:
1. Los estudiantes presentan un gran número de dificultades cuando resuelven problema de ecuación lineal de una incógnita a nivel de séptimo grado de Educación Básica. Estas se pueden agrupar de la manera siguiente: dificultades relacionadas con la traducción del enunciado del problema, los que tienen que ver con la comprensión del problema, las asociadas al cambio del concepto del signo igual, con la transposición de términos y finalmente la dificultad de no resolver los problemas plateados en el cuestionario.
2. Las dificultades que más se repitieron sumando las observadas en los dos cuestionarios fueron: Determinación de los significados de las variables (88 veces), la traducción de enunciado (74 veces) y con que no resolvieron los problemas (66 veces). Estos errores analizados son solos algunos ejemplos que ponen de manifiesto las dificultades que presentan los alumnos, tanto el concepto de ecuaciones y resolución, como el propio proceso de resolución.
3. En el proceso de aprendizaje de la resolución de problemas de ecuaciones lineales de una incógnita, es preciso trabajar especialmente la traducción del enunciado. Además resolver, este tipo de problema implica diferentes habilidades: manejar el concepto de variable, realizar determinadas generalizaciones; establecer relaciones cualitativas entre datos e incógnitas del problema; utilizar adecuadamente los símbolos; establecer la ecuación y resolverla; interpretando después las soluciones obtenidas.
4. Los estudiantes presentan dificultades en la compresión o interpretación de la letra, lo que supone un bajo nivel de respuestas de los alumnos, puesto que para alcanzar una compresión real de los métodos y formas de proceder del álgebra, es necesario que las letras se interpreten, al menos con un número concreto aunque desconocido.
5. Cuando se trata de traducir el enunciado de un problema hay una tendencia a escribir los símbolos de la expresión en el mismo orden en el que se aparecen en el lenguaje natural.
6. Los estudiantes al intentar traducir el enunciado de los problemas del lenguaje natural al simbólico lo realizan de manera automática, incluso conociendo y comprendiendo ambos. El origen de esta dificultad podrían venir de la estructura y la incrementación de las propias expresiones algebraicas, pero encontrar la expresión simbólica adecuada para trasladar el significado del enunciado al nuevo lenguaje es una tarea distinta y que requiere además, del conocimiento adecuado de la estructura y la sintaxis algebraica, un entrenamiento específico en esta dirección.
7. Los estudiantes presentan dificultades con el paso del concepto del signo igual desde la aritmética al álgebra. El igual de las ecuaciones ha perdido su carácter unidireccional y hay que manejar simultáneamente sus dos lados. Para esto es necesario que los estudiantes lleguen a asimilar la situación de equilibrios que representa el signo igual y su propiedad simétrica
8. Los estudiantes presentan muchas dificultades en el establecimiento de la relación entre una operación y su inversa en la que se basa la técnica de transposición de términos. En aritmética, no es tan importante el dominio de este aspecto, ya que el igual se utiliza en una sola dirección.
Recomendaciones
A las autoridades del Ministerio del Poder Popular para la Educación, Dirección Regional de Educación y demás entes relacionados con el quehacer educativo que promueven los resultados de trabajos como este, para incorporar correctivos y/o sugerencias en la acción educativa en pro de la enseñanza- aprendizaje de los educandos.
Los docentes deben apoyar en el aula la utilización de símbolos algebraicos por parte de los estudiantes, mostrando las posibilidades de calculo que su uso permite, y descubriendo las ventajas que proporcionan para resolver los distintos tipos de problemas y, en consecuencia, las estrategias más adecuadas para manipularlos.
A los educadores que laboran en el área de matemática en la III Etapa de Educación Básica, han de revisar constantemente las investigaciones relacionadas con el proceso de enseñanza de esta asignatura, tomando esto como un aporte para reflexionar sobre la praxis educativa.
A los docentes en el aula, para que los alumnos puedan aceptar como resultado una expresión como una operación indicada y sin efectuar, se recomienda proponer situaciones en las que el estudiante, probablemente cometa errores, y entonces suscitar la discusión, abiertamente para que conozcan la posibilidad de error en esta clase de situaciones. Además deben presentar ejercicios que consideren, conjuntamente, el paso del lenguaje natural al matemático y viceversa.
Se ha de promover una mayor investigación sobre la didáctica del algebra, la cual es necesario para mejorar el proceso de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas.
Es importante iniciar a los estudiantes en los conceptos de ecuaciones y solución de una ecuación a través de métodos más profundos y adecuados para acercarse a las modernas teorías sobre el aprendizaje en esta área.
Desarrollar encuentros anuales de profesores de matemática, para intercambiar opiniones, estrategias y experiencias que a la larga puedan formar círculos de acción para realimentar la labor educativa.
Fomentar cursos de actualización, mejoramiento y motivación para el personal docente que labora en esta área.
Producir alternativas, aparte de las que en este trabajo se proponen, para que los estudiantes puedan superar las dificultades encontradas cuando resuelven problemas de ecuaciones lineales de una incógnita, con el fin de mejorar la enseñanza del álgebra a nivel de séptimo grado.
CAPÍTULO VI
Presentación
EL papel del profesor de matemáticas es, sin duda muy difícil. Es sabido, en efecto, que, al llegar a cierta etapa del aprendizaje, un gran número de estudiantes tienen ya sentimientos contrarios a las matemáticas. Por eso, unas de las ocupaciones fundamentales del profesor, tiene que ser el intentar cambiar estas actitudes y hacerlas positivas, y para ello, debe utilizar todos los medios a su alcance. Está comprobado que, cuanto más positiva es la actitud de los estudiantes en clase, más eficaz será el aprendizaje. Una tarea importante del profesor será, por lo tanto, motivar estudiante, utilizando todos los recursos posibles.
En este orden de ideas, el docente que quiere ayudar a los jóvenes a superar los errores que comenten al traducir problemas matemáticos del lenguaje natural al algebraico, debe procurar la activación de conocimientos previos del estudiante. Por ejemplo, si se quiere que los jóvenes expresen situaciones referidas a relaciones numéricas en el conjunto de los números naturales, se debe repasar previamente contenidos relacionado con dicho conjunto, las operaciones básicas en N y luego proponer situaciones problemáticas que impliquen la traducción del lenguaje natural al simbólico, pero antes de todo, se debe aplicar una evaluación diagnóstica para determinar hasta qué grado los estudiantes conocen del tema.
Después de realizar la evaluación diagnóstica, el profesor puede comenzar la clase sobre los números naturales relatando situaciones de la vida real que impliquen la utilización de dichos números resaltando que: casi todas las actividades humanas requieren la utilización de los sistemas numéricos, y el de los números naturales es uno de los más utilizados. Con esto se busca que el estudiante perciba la importancia de estudiar este conjunto numérico.
La clase sobre el conjunto de los números naturales se puede introducir utilizando una lluvia de ideas para reforzar el concepto de número natural. Para lograr este objetivo el docente puede preguntar: ¿En que trabajan los padres de ustedes? Sí alguno de los estudiantes dice que su padre es albañil, herrero o carpintero se les puede decir que las personas que trabajan en esos oficios deben realizar mediciones y que las mismas son expresadas en el conjunto de los números naturales, es decir, N= {0, 1, 2, 3,…}, luego se le da la definición matemática de dicho conjunto, el profesor coloca en el pizarrón ejemplos de actividades humanas donde se utilizan los números naturales y le pide a los jóvenes que escriban otros ejemplos en la pizarra, por último el docente explica que son los números pares, impares y consecutivos. Una vez concluida la exposición, el docente, les propone a los estudiantes una serie de interrogantes con el fin de verificar que los muchachos manejan el concepto que acaban de aprender:
Ejercicios propuestos:
1) Identifica los números naturales en cada grupo de números
a) 70; 3; 5; -12; 256; XIV; 0,25
b) 4/3; 17; 8; 500; 2/3; 101; 28; 45; 6, XXI.
2) Responde.
a) ¿Cuántos números naturales hay del 4 al 23, ambos inclusive?
b) ¿El número de tu cédula representa un número natural? ¿Por qué?
c) ¿Tu edad es un número natural?
d) ¿El número ½ es un número natural? ¿Por qué?
e) ¿Los números 6 y 8 son números pares consecutivos? ¿Por qué?
f) ¿Los números 3 y 7 son números impares consecutivos? ¿Por qué?
Después de comprobar que los estudiantes comprenden claramente el concepto de número natural se comienza a desarrollar el tema: Relación de orden en N. Para introducir la clase sobre este contenido el docente utiliza una dinámica grupal, la cual consiste en pedirles a tres o cuatro estudiantes con edades distintas que se levanten frente al grupo y se les pide al resto de los jóvenes que ordenen a sus compañeros de menos a mayor y viceversa de acuerdo con sus edades. Con esta actividad se persigue que el estudiante comprenda la relación de orden en el conjunto de los números naturales. Finalizada la dinámica, el profesor escribe en el pizarrón la recta numérica, explica que a medida que los números naturales se alejan del cero se hacen cada vez mayores. Para verificar que los estudiantes han comprendido los contenidos desarrollados en clase, el profesor propone a sus estudiantes una actividad para realizar en su cuaderno de trabajo como la siguiente:
Actividades:
1) Representa en la recta numérica los siguientes números y, luego, ordénalos de menor a mayor.
a) 16; 14; 17; 15; 11; 10; 12; 13; 18
b) 26; 22; 25; 24; 27; 21; 28; 23; 20
c) 40; 50; 30; 60; 70; 80; 90; 100; 20
d) 21000; 26000; 22000; 24000; 25000; 23000
2) Responde.
a) ¿Qué desigualdad puede colocarse entre los números naturales 0 y 5? ¿Y entre 7 y 4?
b) Luís es mayor que Juan y Juan es mayor que José. ¿Cuál de esas personas es menor?
En otra clase se pueden repasar las operaciones aritméticas fundamentales en N resultando las propiedades de la adición y la multiplicación. Con el fin de comprobar el dominio del contenido y de activar los conocimientos aritméticos que manejan los estudiantes el docente propone las siguientes actividades.
Actividades para hacer en el cuaderno:
1) Realiza las operaciones que se te indican.
a) 965781 + 54823
b) 456789 + 654 32
c) 859486 – 788697
d) 23456 * 9
e) 1111111 / 3
f) 668540 / 40
2) Completa con los números que faltan según corresponda.
a) 345678 + ___________ = 460008 b) 20 * _________ = 240
c) ___________ – 345621 = 62719 d) 1000 / _______ = 250
3) Resuelve aplicando las propiedades. Escribe que propiedad aplicaste en cada caso.
a) 678 * 45 =
b) (11 * 37) * 9 =
c) 34567 * 1 =
d) (23 +421) * 8 =
e) 10 * (4 + 248) =
4) ¿Se cumple la propiedad distributiva con respecto a la sustracción? Compruébalo con el siguiente ejercicio:
28 * (7832 – 100) =
Después de repasar las operaciones en N el docente comienza a desarrollar el tema: Ecuaciones de primer grado en el conjunto de los números naturales. Para introducir este bloque de contenido el profesor les pide a sus estudiantes que resuelvan los siguientes ejercicios:
1) Escribe en cada cuadrito la cantidad que corresponde para establecer la igualdad.
a) 8 + 4 = ? + 5 b) ? + 3 = 6 + 4
c) 8 – ? = 1 + 2 d) 6 + 5= 13 – ?
El objetivo de esta actividad es que los estudiantes cambien el concepto aritmético de la igualdad por el concepto algebraico. Cuando los estudiantes hayan resuelto los ejercicios propuestos anteriormente, el docente, puede explicar que este cuadrito puede sustituirse por "x" o cualquier otra letra, y decirles, que a estas letras se les llama variables ya que las mismas son empleadas para representar cantidades diferentes.
Una vez que los estudiantes comprendan el concepto de variable, el docente, les da la definición matemática de ecuación y, les explica que las ecuaciones están compuestas por: constantes, términos, variables, miembros, los símbolos de las operaciones aritméticas y el igual. Para verificar que estudiante asimiló los contendidos desarrollados en clase, se les propone que realicen en el cuaderno los siguientes ejercicios:
Ejercicios propuestos
1) Identifica cuales de las siguientes igualdades son ecuaciones.
a) 7 – 3 = 4
b) 11 + 4 = 15
c) x – 2 = 7
d) 4/2 – 1 = 1
e) 3y + 1 = 28
f) 6 + x = 8
g) 12 * 4 = 48
h) x/2 – 1 = 7
i) x + 2x = 3x
j) 3 = x – 1
2) Determina en cada una de las siguientes ecuaciones la variable, los términos, el primero y el segundo miembro.
a) x – 11 = 3
b) 7x + 7 = 14
c) 1 + y = 11
d) 3x – 5 =19
e) 3x + 5 = 6x – 1
f) 22 = 10 + x
g) 9 – 3 = x
h) z + 6 = 10
i) 3x +5 = 17
j) 8y + 3 = 27
k) 2x + 1 = 13
3) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x – 6 = 0
b) x + 7 = 2x – 5
c) 2x – 5 = 23
d) 3x – 1 = 2x
e) 2x + 18 = x + 21
f) 2x / 3 = 12
g) 2(x + 3) = x + 9
h) 7x – 4 = 3
Al finalizar esta actividad, el docente puede escribir en el pizarrón una serie de expresiones matemáticas en el lenguaje natural y su traducción al lenguaje algebraico con el propósito que el estudiante se familiarice con el lenguaje simbólico del álgebra. Para verificar que los jóvenes asimilaron el contenido, se les pide que expresen mediante ecuaciones las siguientes situaciones:
Actividades para hacer en el cuaderno
Expresa las siguientes situaciones a través de ecuaciones y haya su solución.
a) Un número más ocho es igual a veinticinco.
b) El doble de un número menos dos es igual a diez.
c) El triple de un número es igual a treinta.
d) El triple de un número menos el mismo número es igual a dieciocho.
e) La mitad de un número es igual a seis.
f) La suma de dos números consecutivos es igual a 21.
g) El triple de un número es igual a cuarenta y ocho.
h) El triple de un número más el doble del mismo es igual a quince.
i) La mitad de un número más siete es igual a diez más ocho.
j) Un tercio de un número menos uno es igual a cinco.
k) Trece es igual a un número menos tres.
l) Un número menos diecisiete es igual a doce.
m) Veinte menos que el doble de un número, es igual a 78. ¿Cuál es el número?
Al llegar a este punto es muy probable que el joven comience a tener dificultades para traducir situaciones problemáticas del lenguaje natural al simbólico. Dichas dificultades suelen ser las siguientes:
1. Los estudiantes tienden a escribir los símbolos de la expresión algebraica en el mismo orden en que aparecen en el lenguaje natural.
2. Muchas veces consideran las letras como objetos y no como variables. Los jóvenes creen que las letras, en lugar de representar números, cantidades de objetos, representan los objetos mismos.
3. Al escribir las expresiones algebraicas muchos estudiantes suelen colocar los coeficientes detrás de la variable o puede que figure el signo de multiplicar "x" entre la letra y el número.
4. Al simbolizar una relación entre cantidades desiguales, por lo general colocan delante de la cantidad de mayor tamaño el coeficiente mayor.
¿Qué puede hacer el docente para ayudar a los estudiantes a enfrentarse a estas dificultades? El profesor de matemática debe diseñar actividades que le ayuden en este sentido. Para ello debe hacer uso de cualquier material didáctico, estructurado o no, que le permita enseñar con claridad conceptos matemáticos. Dentro de los materiales, los juegos ocupan el primer lugar debido a su enorme atractivo para los niños y adolescentes. De allí que el autor de este trabajo proponga una serie de actividades centradas en la lúdica para desarrollar el contenido relacionado con problemas matemáticos que conducen a la resolución de ecuaciones de primer grado.
Al Final de la primera clase sobre ecuaciones, el profesor propone a sus estudiantes más ejercicios de rutina para realizar en el hogar, les dice que en la próxima clase continuaran estudiando las ecuaciones y la utilidad de éstas para resolver problemas matemáticos y les asigna como tarea traer de su casa un rectángulo elaborado en cartulina de 10 cm de ancho por 15 cm de largo, dados (el que tenga), para diseñar un juego que se utilizará en la siguiente clase.
Antes del desarrollo de la clase en la que los estudiantes resolverán problemas matemáticos haciendo uso de las ecuaciones lineales de una incógnita, el docente diseña un juego didáctico para llevarlo al aula de matemática. Dicho juego está dirigido especialmente a jóvenes con edades comprendidas entre los 12 y 14 años y sirve, fundamentalmente, para aclarar conceptos o mejorar destrezas de álgebra, que, de otra forma, los estudiantes encontrarían aburridas y repetitivas, además es adecuado para ayudar a los jóvenes a enfrentarse a las dificultades de traducción.
Para elaborar el juego, el docente emplea cartulina de diferentes colores, regla, tijera, un libro de texto de séptimo grado adaptado al programa oficial y mucho ingenio. El juego que será utilizado por el profesor se llama: "LO TUYO Y LO MIO", el cual reúne las siguientes características
Un tablero numerado del 1 al 49
Dos dados con seis caras
Una colección de 20 tarjetas con enunciados verbales.
A continuación se muestra el tablero y el contenido de las tarjetas. 2
Tablero2
Contenido de las Tarjetas
El día de la clase relacionada con la resolución de problemas matemáticos que conducen a ecuaciones de primer grado, el docente inicia su actividad empleando un juego para despertar la curiosidad de los estudiantes. El juego consiste en lo siguiente:
El profesor le pide a uno de los jóvenes que se ponga de pie frente a sus compañeros y le dice:
1. Piensa un número.
2. Multiplícalo por 4.
3. Añade 10 al resultado.
4. Divide lo que has obtenido entre 2.
5. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.
Cuando el estudiante diga la respuesta el profesor le dice que número pensó. El docente, repite esta actividad con otro estudiante diciéndole lo siguiente:
1. Piensa un número
2. Multiplícalo por 3
3. Súmale 6 al resultado
4. Divide lo que has obtenido entre 3
5. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.
Una vez que, ha pasado el primer momento de sorpresa, donde el estudiante realiza las órdenes y al dar el resultado al profesor, este le "adivina" su número inicial, se puede establecer una discusión colectiva para encontrar el "truco" utilizado. El profesor pregunta – ¿Les gustaría saber cuál cual es el secreto para adivinar el número?, y entonces pide a los jóvenes vayan simbolizando, paso a paso, los enunciados, hasta llegar a la expresión final. Cuando hayan finalizado esta actividad el docente propone un problema con el fin de crear conflicto en la mente de los estudiantes. El problema es el siguiente:
En el salón de clases de 7mo "A", el número de estudiantes es tres veces el número de profesores que trabajan en dicha sección. Representa esta situación utilizando las variables "x" e "y".
En este problema el conflicto que se desea provocar puede conseguirse mediante un proceso de tres pasos:
1. Comprensión cualitativa. El primer paso consiste en probar por comprensión cualitativa, pidiendo a los estudiantes que opinen sobre si hay más estudiantes que profesores.
2. Comprensión cuantitativa. El segundo paso consiste en probar la comprensión cuantitativa. Para el problema antes mencionado se podría preguntar: "Suponiendo que en 7mo "A" trabajan 10 profesores. ¿Cuántos estudiantes habría?"
3. Comprensión conceptual. Este tercer paso consiste en probar la comprensión conceptual, pidiendo a todos los estudiantes de la clase que escriban una ecuación que represente las relaciones expresadas en las proposiciones del problema.
Si los estudiantes responden incorrectamente, se podría volver a comenzar el proceso.
Al finalizar la actividad el profesor les dice a sus estudiantes que trajo consigo un juego que les ayudará a enfrentar las dificultades que se han venido presentando. Para ello pide a sus estudiantes que traigan las tarjetas que elaboraron en su casa, y en cada una, escribe un número en el anverso y una expresión matemática en el reverso. Las fichas quedarán de la siguiente manera:
El profesor le dice a los estudiantes que este juego se llama: "Yo tengo… ¿Quién tiene?". Reparte una tarjeta por estudiante y explica cuáles son las reglas del juego. Supongamos que comienza el estudiante que tenga el número 49 en el anverso de su tarjeta. Este debe decir:
"yo tengo 49. ¿Quién tiene 20 menos que el doble de mi número?
Contestando el joven que tenga la tarjeta:
"Yo tengo 78. ¿Quién tiene 3 menos que este número, dividido por 15? Y, así, sucesivamente, hasta que se cierre la cadena.
Este juego, requiere que el estudiante tenga la habilidad para traducir expresiones del lenguaje natural al algebraico y que realice el cálculo correcto para llegar a la respuesta.
Para facilitar el desarrollo del juego, el profesor, le pide a los estudiantes que vayan escribiendo en la pizarra, por un lado, las preguntas, y por el otro, las correspondientes respuestas. El simple hecho de tener escrita la pregunta en la pizarra facilita el cálculo mental de los estudiantes y la obtención de las respuestas correctas.
Al finalizar este juego el profesor les pide a los estudiantes que pongan por escrito en su cuaderno de trabajo la ecuación algebraica correspondiente a la tarjeta que tiene en sus manos. El docente, revisas las respuestas y les pregunta que si quieren seguir jugando. Si la respuesta de los estudiantes es afirmativa, les presenta el juego "Lo tuyo y lo mío", descrito anteriormente
Antes de comenzar el juego, el profesor les solicita a los estudiantes que formen grupos de cuatro personas, le entrega 10 tarjetas a cada jugador y les comienza a leer las reglas del juego. Las cuales son:
1. Sale quien menor puntuación obtenida en la primera tirada
2. El primer jugador tira los dados y el siguiente saca una de las 20 tarjetas que permanecen dadas la vuelta en la mesa.
3. Con el número obtenido con los dados por el otro, "LO TUYO", el jugador que ha sacado la tarjeta calcula el número que corresponde a "LO MIO", utilizando la frase de la tarjeta, colocándose entonces ese resultado en el tablero y devolviendo la tarjeta al montón.
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