En Psicología esta tendencia se conoce como Conductismo.
Si por el contrario, consideramos que el conocimiento matemático no es algo totalmente acabado sino en plena creación, que más que conceptos que se aprenden existen estructuras conceptuales que se amplían y enriquecen a lo largo de toda la vida, entonces ya no bastará con la exposición. Habrá que hacer partícipes a los alumnos del propio aprendizaje. Y sólo hay una forma de hacer partícipes a los alumnos: dar significado a todo lo que se enseña.
Para desarrollar los hábitos de pensar sólo hay un camino, pensar uno mismo. Permitir que los alumnos participen en la construcción del conocimiento es tan importante o más que exponerlo. Hay que convencer a los estudiantes que la matemática es interesante y no sólo un juego para los más aventajados. Por lo tanto, los problemas y la teoría deben mostrarse a los estudiantes como relevantes y llenos de significado.
Si nos enmarcamos en un enfoque, la primera pregunta que nos viene a la cabeza es qué estamos enseñando. Una pregunta relacionada: ¿qué aprenden los alumnos?
O proponemos la pregunta de otra forma: ¿Cómo enseñamos? ¿Cómo aprenden los alumnos?
Si queremos que nuestros alumnos aprendan a resolver problemas, hemos de diseñar y desarrollar nuestra enseñanza.
Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.
Responde a las preguntas:
De acuerdo a la lectura haz un comentario. Luego dialoga con tus compañeros en grupo.
¿Cómo aprendes?
¿Cómo te gustaría enseñar?
¿QUÉ ENTENDEMOS POR DIDÁCTICA? Y ¿QUÉ ENTENDEMOS POR DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA?
Definiciones Clásicas de Didáctica
El empleo más común de la palabra "Didáctica" es su uso como adjetivo y él nos remite según el Diccionario Larousse (1999) a "lo que está relacionado con la enseñanza, lo que se quiere enseñar y más ampliamente, propio, adecuado para enseñar o instruir".
Comenius (1657), la introduce como sustantivo entre los años 1632-1640, para designar "el arte de enseñar", lo que significaría: el conjunto de medios y de procedimientos que tienden a hacer conocer, a saber algo, generalmente una ciencia, una lengua, un arte. Este sentido original es el más difundido, inclusive, es el que se encuentra en la mayoría de los diccionarios. Este término "Didáctica" es, por lo tanto, utilizado según sus necesidades por la mayoría de las instituciones con el sentido primitivo común, y de él surgen tres definiciones, denominadas para este trabajo como "clásicas". Ellas son:
- "Didáctica" como una palabra "culta" para designar la enseñanza.
- "Didáctica" como la preparación de lo que sirve para enseñar.
- "Didáctica" como el conocimiento del arte de enseñar
Analiza la orientación de las tres definiciones y expresa una idea personal de lo que consideras es la DIDÁCTICA.
Algunas Aseveraciones de Didáctica de la Matemática
Sin querer entrar en la discusión acerca del carácter de la didáctica y de la existencia o no de las didácticas específicas, queremos explicitar algunos supuestos.
Para ello proponemos utilizar el "triángulo didáctico", en tanto herramienta de análisis. Constituido por 3 vértices: el saber, el docente y el alumno, el lugar que cada uno de ellos ha ocupado en la enseñanza define 3 tipos generales de concepciones didácticas que han dado lugar a diversos métodos de enseñanza.
Aplicando esta idea a la didáctica específica que nos preocupa, Guy Brousseau realiza la siguiente caracterización:
"a) la didáctica como técnica: en tanto conjunto de técnicas y métodos que sirven para lograr mejores resultados;
b) la didáctica empírico-científica: en tanto estudio de la enseñanza como disciplina científica que planifica situaciones y las analiza junto a sus resultados en forma estadística y
c) la didáctica sistémica: en tanto ciencia que teoriza la producción y la comunicación del saber matemático en su autonomía de otras ciencias" (Villella, J. 1996)."
Vamos a partir de esta tercera concepción de la didáctica de la matemática como ciencia autónoma, originada en Francia con la denominada "escuela francesa de la didáctica de la matemática" del IREM, en los años "70, cuyos precursores son: Guy Brousseau, Yves Vergnaud y D. Chevallard entre otros.
La definen como ciencia autónoma desde 2 postulados:
- La identificación e interpretación del objeto de interés supone el desarrollo de un cuerpo teórico y
- Este cuerpo debe ser específico del saber matemático y no provenir de la aplicación de teorías desarrolladas en otros dominios (como ser la psicología, la pedagogía u otras).
En la concepción matemática o fundamental, la didáctica se presenta como "una ciencia que se interesa por la producción y comunicación de los conocimientos, en los que esta producción y esta comunicación tienen de específicos de los mismos" (Brousseau, 1989).
Sus objetos de estudio particulares son:
- Las operaciones esenciales de la difusión de los conocimientos, las condiciones de esta difusión y las transformaciones que produce, tanto sobre los conocimientos como sobre sus utilizadores.
- Las instituciones y las actividades que tienen por objeto facilitar estas operaciones.
"El verdadero objetivo de la didáctica es la construcción de una teoría de los procesos didácticos que nos proporcione dominio práctico sobre los fenómenos de la clase" (Chevallard, 1980; p. 152).
Con las aseveraciones dadas expresa una idea de lo que consideras es la DIDACTICA DE LA MATEMÁTICA.
DEFINIENDO LA DIDÁCTICA Y DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
DIDÁCTICA
- La didáctica es la disciplina pedagógica de carácter práctico y normativo que tiene por objeto específico la técnica de la enseñanza, esto es, la manera coherente y sustentada de dirigir, orientar, acompañar eficazmente a los alumnos en su aprendizaje, respetando sus características, intereses y saberes.
- Es el conjunto sistemático de principios, normas, recursos y procedimientos específicos que todo docente debe conocer y saber aplicar para orientar con seguridad a sus alumnos en el aprendizaje de las materias y o en la adquisición de habilidades y destrezas, teniendo a la vista las capacidades a desarrollar en ellos.
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
La concebimos como una disciplina en tanto conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes y su enseñanza.
En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para la enseñanza: Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de la verdad.
Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo, instrumental y social. Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de utilización del saber matemático.
ESTILOS DE ENSEÑANZA
La matemática como actividad posee una característica fundamental: La matematización.
Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras.
Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematización, la matematización horizontal y la matematización vertical.
La MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL, nos lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas.
En esta actividad son característicos los siguientes procesos:
- IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales
- ESQUEMATIZAR
- FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras
- DESCUBRIR relaciones y regularidades
- RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas
- TRANSFERIR un problema real a uno matemático
- TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.
La MATEMATIZACIÓN VERTICAL consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos:
- REPRESENTAR una relación mediante una fórmula
- UTILIZAR diferentes modelos
- REFINAR y AJUSTAR modelos
- COMBINAR e INTEGRAR modelos
- PROBAR regularidades
- FORMULAR un concepto matemático nuevo
- GENERALIZAR
Estos dos componentes de la matematización pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática.
Estructuralismo
Para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de la misma.
El estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría euclideana y en la concepción de la matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que, a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe enseñar la matemática como un sistema bien estructurado, siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje. Ese fue, y sigue siendo, el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemática Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días. El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva, de forma abundante, el componente vertical.
Mecanicismo
El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la matemática como un conjunto de reglas. A los alumnos se les enseñan las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al alumno, más aún, se presta poca atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematización.
El ataque más demoledor a este planteamiento de enseñanza proviene de H. Freudenthal (1991): "De acuerdo con la filosofía mecanicista el hombre es como una computadora, de tal forma que su actuación puede ser programada por medio de la práctica. En el nivel más bajo, es la práctica en las operaciones aritméticas y algebraicas (incluso geométricas) y la solución de problemas que se distinguen por pautas fácilmente reconocibles y procesables. Es en este, el más bajo nivel dentro de la jerarquía de los más potentes ordenadores, donde se sitúa al hombre".
Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta dirigida a sus propagadores: ¿Por qué enseñar a los alumnos a ejecutar tareas, al nivel en el que los ordenadores son mucho más rápidos, económicos y seguros?
Empirismo
Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje. El empirismo está enraizado profundamente en la educación utilitaria inglesa.
Realista
El estilo realista parte asimismo de la realidad, requiere de matematización horizontal, pero al contrario que en la empirista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc. El principio didáctico es la reconstrucción o invención de la matemática por el alumno, así, las construcciones de los alumnos son fundamentales. Es una enseñanza orientada básicamente a los procesos. Este estilo surgió en los Países Bajos partiendo de las ideas de Freudenthal y ha sido desarrollado por los actuales miembros del Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht (www.fi.uu.nl ).
Los estilos empirista y realista desarrollan bastante el componente horizontal pero sólo el último presta atención al componente vertical, que es casi inexistente en el primero.
Extrae tus propias conclusiones.
Los alumnos suelen retener:
- El 10% de lo que leen,
- El 20% de lo que escuchan
- El 30% de lo que ven,
- El 50% de lo que ven y escuchan,
- El 70% de lo que discuten
- El 90% de lo que hacen
MEDIANTE EJEMPLOS ANALIZAMOS CÓMO ENSEÑAMOS Y CÓMO DEBERÍAMOS ENSEÑAR TENIENDO EN CUENTA LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Ejemplo 1
Sistema de numeración
Un sistema de numeración es aquel formado por símbolos y reglas que permiten combinar esos símbolos. A lo largo de la historia, el hombre ha empleado distintos sistemas de numeración, por ejemplo el Romano, el Egipcio, el Babilonio. etc.
El sistema de numeración que empleamos es el DECIMAL, pues está formado por 10 símbolos. (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y las reglas que los vinculan: cada unidad está formada por diez unidades del orden inferior, es decir 1 decena está formada por 10 unidades simples; 1 centena por 10 decenas; 1 unidad de mil por 10 centenas; etc.
La característica principal del Sistema de Numeración Decimal, es la de ser posicional, es decir cada cifra ocupa un lugar determinado.
Ejemplo: en el número 4876, el 6 ocupa el lugar de las unidades simples, el 7 el de las decenas, el 8 el de las centenas y el 4 el de las unidades de mil. Si cambiamos el orden de las cifras cambia el valor del número. Así 6487 será distinto que 4876.
Esto no sucede de la misma forma en un sistema no posicional, por ejemplo el romano, el número XV representa al 15 y si permutamos los símbolos VX, no obtenemos ningún nuevo número. Estos sistemas son denominados ADITIVOS. El romano, CCCXXIV y el decimal, 324.
Podemos observar que, un sistema del tipo aditivo es sencillo de interpretar, sólo se necesitan sumar los valores de los símbolos utilizados. Pero requieren de gran cantidad de símbolos para representar números mayores.
El posicional, es más económico, con sólo diez símbolos podemos continuar la serie numérica indefinidamente, pero, es menos transparente. El número 324 está formado por 300+ 20+ 4.
¿Cuáles son los conocimientos previos que poseen los niños?
Sabemos que los niños tienen ideas previas, adquiridas por el intercambio con el medio natural y social.
Podemos enseñar a partir de ellas. No siempre hacemos uso de esas ideas.
Si queremos trabajar con los niños, por ejemplo, numeración, indagamos sobre los conocimientos que poseen y luego nos dedicamos a "enseñar" los cinco primeros números. ¿Para qué indagamos las ideas previas que poseen? Si deseamos comenzar a trabajar el espacio geométrico y después de ver a los niños jugando con bloques, comenzamos mostrando figuras planas, ¿qué sentido tiene el haber observado el juego? ¿O tal vez no se lo ha hecho?
Es cierto que la enseñanza inicial de la matemática básica no ha sabido capitalizar demasiado a menudo la riqueza del conocimiento informal y esto ha hecho que se la enseñe desconectada de la realidad y en forma mecanicista y repetitiva.
Leamos una experiencia realizada con niños de 4 años. Después de jugar con la computadora a uno de esos juegos que otorgan puntos por realizar correctamente determinadas tareas.
Se le preguntó a Andrés, ¿quién ganó?
Andrés: Luis, hizo más puntos.
Maestra: -¿Cómo lo sabes?
Andrés:- Porque el número de él era más largo.
En ese "más largo" estaba implícito, que era el número que tenía más cifras.
Debemos, entonces, ¿enseñar números de tres, cuatro o más cifras? No, pero la respuesta nos da indicios de ir reconociendo ciertas características de los números.
Secuenciar la enseñanza
Debemos tener en cuenta.
Primero: buscar una situación problemática que necesite del contenido a tratar.
Por ejemplo: veamos una actividad para nivel inicial. Colocar 3 muñecos sobre una mesa alejada del armario y, luego de preguntarles ¿cuántos hay?, pedir que vaya al armario y busquen tantos gorros como muñecos hay.
Podrán resolver la situación de distintas formas. Traer de uno en uno. Recordar la cantidad y traer todos juntos, etc.
Segundo: tener en cuenta los números que intervienen. Si el problema es resuelto. La próxima vez colocaremos 9 muñecos, aumentar la cantidad implica hacerla más compleja.
Si los niños traen de a uno los gorros y no memorizan la cantidad, poner la condición de hacerlo con el menor número de viajes.
Esto permite graduar las actividades e ir apropiándose de nuevas estrategias para solucionar los distintos problemas.
Tercero: llevar un registro de las distintas actividades y las respuestas de los niños, será de importancia para saber en que momento es necesario cambiar la dificultad de las actividades.
¿Qué hacen los niños al respecto, cómo se apropian del sistema de numeración?
En primer lugar reconocen que un número es mayor que otro porque tiene más cifras. Ejemplo: 456 es mayor que 34 pues el primero tiene 3 cifras y el segundo 2.
Poco a poco reconocen que si los números tienen igual cantidad de cifras es mayor el que comienza con la cifra mayor. Ejemplo: 45 y 28; 45 es mayor que 28, pues 4 es mayor que 2.
Sus producciones escritas responden a lo que "escuchan", así 238 (doscientos treinta y ocho) será escrito: 200308
A pesar de su corta edad los niños son capaces de establecer relaciones, reflexionar sobre posibles respuestas a situaciones. Observar regularidades, propias de los contenidos matemáticos, que le permitirán generalizar conceptos.
No se debe caer en el error de suponer que los niños "conocen" el sistema de numeración, que reconocen cantidad al hablar de 29 o 12, o que conocen los números porque los recitan correctamente
Pero, también, será un error no indagar sus conocimientos, no permitirles explorar en las creencias y no ponerlos en situaciones que exijan buscar soluciones.
Conociendo los números
Cardinalidad y ordinalidad: dos aspectos ligados al número.
Cardinalidad, hace referencia a la cantidad de elementos de un conjunto o colección.
Ordinalidad, hace referencia al lugar que ocupa el número dentro de una serie ordenada.
Contextos.
Recordemos que la Matemática es una ciencia en sí totalmente abstracta, de allí que sea necesario, para su estudio y sobre todo desde una edad temprana, que esté contextuada.
Contexto cardinal: es aquel en el que el número natural describe la cantidad de elementos de un conjunto de objetos discretos (aislados). Ejemplo: ¿Cuántos lápices hay sobre la mesa?.
Contexto ordinal, es aquel que describe la posición relativa de un elemento de un conjunto discreto y totalmente ordenado en el que se ha tomado uno de los elementos como inicial. Ejemplo: Señala el tercer libro de los que están ubicados en el estante.
Contextos de secuencias: los números se emplean sin estar asociados a un objeto u objetos en particular.
Ejemplo: "Decir" los números, al jugar a las Escondidas.
Contexto de código: Los números se usan como "etiquetas" que dan información. Se usan para distinguir clases de elementos. Ejemplo: los números que identifican a una línea de colectivos, a un número de teléfono, etc.
Contexto de medida: Los números describen la cantidad de unidades de alguna magnitud continua, como longitud, capacidad, superficie, tiempo, etc. Ejemplo: 2 litros, 10 horas.
¿Cómo construyen la serie numérica los niños?
Baroody, indica que la determinación para saber si un conjunto, que tiene 8 elementos, es más que uno que tiene 7 elementos, implica una comparación entre magnitudes numéricas que requieren de cuatro técnicas.
- La técnica más básica es generar sistemáticamente los nombres de los números.
- Las palabras (etiquetas) de la secuencia numérica deben aplicarse una por una a cada objeto de un conjunto. Esta acción se denomina enumeración.
- Se necesita una manera conveniente de representar los elementos que contiene cada conjunto.
- La última etiqueta numérica expresada durante el proceso de enumeración representa el número total de elementos en el conjunto.
La secuencia oral
En un primer momento, aproximadamente a partir de los 2 años, los niños comienzan a "contar" o más bien realizan un recitado de números sin sentido. Éste puede ser del tipo 1, 2, 3, 5, 8, 10, 20; en general aprendido de memoria.
En un segundo momento los niños son capaces de recitar en forma ordenada y completa la serie numérica.
Ejemplo de actividades que el docente puede poner en práctica.
Salas de 4 y 5 años.
- Decir los números a partir de un número dado.
- Pedir a algún niño que diga un número, y a partir de ese continuar el recitado.
Esto hará, que el niño tenga que memorizar el número ante el cual debe detenerse y luego recomenzar la serie.
- Detenerse ante un número dado.
Jugar una carrera, cuando los niños están listos en la línea de partida, contar 3, 2, 1 y parten.
- Recitar los números en ambos sentidos.
- Detectar errores u omisiones en el recitado de otro compañero y de la docente. . Por ejemplo: ante el recitado 1,2,3,5. La docente preguntará, ¿qué número falta, cuál es el anterior a ese y el que le sigue?.
Funciones de los números que los alumnos de nivel inicial pueden reconocer
El número como memoria de la cantidad.
Poder recordar una cantidad determinada sin que ésta esté presente.
Ejemplo de actividades:
Los niños están sentados en grupos de 5 (cinco) niños. Un compañero deberá repartir las hojas de trabajo. Podrá hacerlo llevando las hojas una a una. (Método propio de los niños más pequeños, para asegurarse de dar una a cada niño). Le pedimos que lo haga empleando el menor número de viajes. (Podrá llevar un montón). Se le pedirá que no tenga la necesidad de volver a guardar las que sobraron. De esta forma comprenderá la ventaja de recordar la cantidad.
Registro de la información
Registrar la información de alguna forma para no olvidarla o poder comunicarla a otro.
Ejemplo de actividades:
Permitir a los niños buscar la forma de registrar la información de los puntos obtenidos en algún juego. Conversar con ellos sobre distintas formas de hacerlo. Será importante que los niños observen que hay una forma de registrar la información.
Para representar al número cinco, podemos colocar cinco palitos, cinco redondeles o bien el numeral 5. Registrar la información de las distintas posiciones obtenidas en algún juego. Empleando tablas.
El número como memoria de la posición.
Los niños deberán comprender la utilidad de recordar una posición y no la lista completa. Ejemplo de actividades: ¿Quien llegó primero a la meta?. (En algún juego.) Colocar los útiles en la tercera caja, etc.
Enfoques en la enseñanza del número.
De ser así, se estaría negando que un niño pueda conocer su edad, saber que tienen 2 hermanos o que, frente al ofrecimiento de caramelos, no sepa si escoger 1 o 3. No saber que si tiene 4 fichas y agrega 2 tiene 6 y muchos otros conocimientos que los alumnos de 4, 5 6 años si poseen.
- Se puede considerar al niño como sin conocimientos sobre el número. Esto hace que se comience a enseñar por el número 1, luego el 2, el 3 y así continuar.
- El enfoque de la Matemática Moderna y el aplicacionismo de las teorías piagetianas hizo que los docentes indicaran que los alumnos debían, clasificar, seriar y establecer correspondencias término a término, como base a la adquisición del número.
- La didáctica de la matemática, de la escuela francesa, recoge las ideas piagetianas según la cual los conocimientos no se producen solo por la experiencia que los sujetos tengan sobre los objetos, ni tampoco por una programación innata preexistente en él , sino por construcciones sucesivas que se dan en interacción con el medio. Pero esto es insuficiente sino se tiene en cuenta las condiciones en las cuales los alumnos movilizan los saberes bajo la forma de herramientas que permitan la construcción de nuevos conocimientos.
Lo que se pretende al hacer Matemática es que el alumno sea el constructor, se sienta partícipe de su aprendizaje. El docente debe evitar dar indicios en la resolución de las actividades propuestas, pues, puede suceder que respuestas correctas de los alumnos provengan de casualidades, adivinaciones y no de haber puesto en juego sus conocimientos. Esto traeré en el futuro decepciones, al fracasar en planteos que evidencias la ausencia del saber que se pensó estaba adquirido.
"el alumno debe ser capaz no solo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas." (Charnay 1994)
Ejemplo 02
Divisibilidad
En general el concepto de divisibilidad se enseña, en la escuela primaria, para que los niños puedan resolver adiciones y sustracciones con fracciones y algunos problemas de los llamados "de encuentro". Ejemplo: Juan visita a su abuela cada dos días y su hermana María cada 3 días. Si ambos la visitaron el lunes pasado, ¿cuándo volverán a coincidir en la visita?.
No se vincula con otros temas y no se le da la importancia que el tema presenta. Incluso no se trabaja el concepto de cuándo un número es divisible por otro. El lector podrá pensar que si, pues se enseñan las "reglas de divisibilidad". La pregunta es. ¿se enseñan?, o ¿se informa a los alumnos de las reglas?.
- Todo número que termina en cifra par es múltiplo de 2.
- Todo número que termina en cero o en cinco es múltiplo de 5.
- Si las dos últimas cifras de un número son múltiplos de cuatro, el número es múltiplo de 4.
Etc.
¿Por qué esto es así?. ¿Por qué funciona de esta manera?.
Múltiplos y divisores.
¿Qué es un múltiplo y qué es un divisor?
Múltiplo: aquel número que se obtiene al multiplicar un número por otro. Es el producto de una multiplicación.
Por ejemplo: 4 x 3 = 12, 12 es múltiplo de 4 y es múltiplo de 3. 4 y 3 son llamados "factores" de 12.
Divisor: Si atendemos a la división entera. D = d x c + r (dividendo = divisor x cociente + resto).
El divisor es aquel número que divide a otro. Por ejemplo: 2 divide a 7; 2 divide a 8, etc.
Qué diferencia hay entre ambas situaciones:
2 divide a 8, "exactamente" es decir el resto es cero. Esto se debe a que 2 es divisor factor de 8.
Significa que 2 x 4 = 8, 2 es divisor– factor de 8.
No sucede lo mismo con : 2 divide a 7. 2 no es divisor factor de 7, pues no hay ningún número entero que multiplicado por 2 de cómo resultado 7.
Significa: 7 = 2 x 3 +1 , el resto es distinto de cero, 2 no es divisor – factor de 7.
Como podemos observar la palabra DIVISOR, presenta un sentido amplio, número que divide a otro. Un sentido estricto divisor – factor, que divide a otro y cuyo resto es cero.
Esto será importante en el momento de trabajar con los alumnos. Si sólo decimos que un número es divisor de otro cuando el resto es cero,
- Se contradice con el nombre de divisor en la relación D = d x c + r y lo obligamos a hacer la cuenta para saber si el resto es cero o no.
- No le permitimos observar otros aspectos como el siguiente;
Si presentamos el siguiente cálculo 16 x 23 = 368 y preguntamos ¿16 es divisor de 368?.
Es muy probable que los alumnos "hagan la cuenta de dividir" , ya que no tienen otra estrategia para responder a la pregunta.
El lector podrá argumentar que la multiplicación y la división son operaciones inversas y, que, por lo tanto es obvio.
No lo es para los alumnos. Se les ha enseñado el concepto vinculado con la división y no a "leer" la información dada en la expresión simbólica.
P1: Piense Usted., sin hacer la cuenta, ¿46 es divisor de 368?.
Será necesario trabajar con los alumnos actividades como las siguientes:
-Act 1- Sabiendo que 23 x 16 = 368, ¿cuáles son los divisores de 368?. Los primeros en ser observados son 23 y 16, pero si descomponemos el número 16 de esta forma: 23 x 4 x 4 = 368 podemos ver que 4 también es divisor de 368. 23 x 8 x 2 , luego 2 y 8 también lo son.
Estos divisores no aparecen al hacer la cuenta de dividir, ésta no es necesaria.
-Act. 2-Sabiendo que 8 x 15= 120, ¿cuáles son los divisores de 120?. Descomponemos: 4 x 2 x 5 x 3 = 120 . Los divisores son: 4; 2; 5; 3; 8; 15; 6; 12; 32; 40; 24; 60, 20.
P2: Piense Usted; ¿de dónde se han obtenido los últimos números?
Veamos que, aplicando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir:
5 x 24 = 120
10 x 12 = 120
20 x 6 = 120
40 x 3 = 120
Todos los productos son equivalentes, luego los distintos factores son divisores de 120.
Por otra parte, para poder encontrar rápidamente los distintos productos, puede observarse que si 10 x 12 = 120, al multiplicar la mitad de 10 por el doble de 12, se obtiene 120.
El doble de 10 por la mitad de 12 es igual a 120, etc.
Se podrá, entonces, trabajar con los alumnos estas relaciones numéricas, ricas en cuanto al reconocimiento de propiedades, numéricas., vinculación entre divisores y múltiplos y propiedades de las magnitudes inversamente proporcionales.
P3: Piense Usted ¿qué asociación permite que aparezca el número 80?
De la misma trate de encontrar los divisores, a partir de la información dada en 24 x 15 = 360.
P4: ¿Cuáles son los divisores de 216? Resuélvalo descomponiendo el número a partir de la multiplicación.
Estas actividades permitirán a los alumnos comenzar a leer la información que presentan los números ayudándose con otras estrategias más ricas para el reconocimiento de divisores y múltiplos. Y más adelante reconocer la necesidad de encontrar otras herramientas cuando la lectura no sea tan sencilla. Por otra parte podrá notarse que no se ha hecho mención alguna a regla, o criterios de divisibilidad enseñados en forma mecánica y vacíos de comprensión.
Veamos otras actividades que aparecen en los libros de texto actuales.
Act3: Sabiendo que 16 x 25 = 400 ¿Cuál será el resultado de 8 x 25?.
Si observamos que 8 es la mitad de 16, el resultado será la mitad de 400. No es necesario hacer la multiplicación.
Creo que es obvio indicar que el objetivo de la actividad anterior no es encontrar el resultado, sino trabajar con las propiedades numéricas y la lectura.
P5: Teniendo en cuenta la relación anterior ¿Cuánto será 160 x 25?.¿ y 16 x 5?. Y ¿16 x 50?.
Los números dan información, las operaciones dan información. Hay que saber leerla y que nuestros alumnos aprendan a hacerlo.
El contexto en el cual se ha trabajado en las actividades anteriores es intramatemático, pero, también se lo podrá trabajar en el contexto de las organizaciones rectangulares.
Act4; Sabiendo que 8 x 25 = 200 ¿cuánto es 200 : 8?, Es 25 porque 25 x 8 = 200
¿cuánto es 200; 4?. Es 50 porque 4 es la mitad de 8, entonces 4 x 50 = 200.
Act5: Sabiendo que 8 x 14 = 112 ¿cuánto es 112 : 16?, Es 7 porque 16 es el doble de 8 y la mitad de 14 es 7.
P6: ¿cuánto es 112; 28?.¿Por qué?. Y ¿112 : 56?..¿Por qué?.
Podrá seguir observado la riqueza del trabajo matemático, la puesta en juego de propiedades y la relación de igualdad entendida como equivalencia, la no necesidad de "hacer la cuenta de dividir" y el propiciar el cálculo mental
Trabajando con la divisibilidad
Proponemos a los alumnos
Si el producto de 13 x 3 es múltiplo de 3, el doble de dicho producto es múltiplo de 3?. La respuesta es si, pues 39 es múltiplo de 3 pues 3 es uno de los factores. Si al producto lo multiplicamos por 2, es decir hallamos el doble, el producto seguirá siendo múltiplo de 3.
13 x 3 x 2
P7; Piense Usted y justifique su respuesta. Si multiplicamos a 15 x 3 por 8, el resultado seguirá siendo múltiplo de 3?.
Encontrar un número múltiplo de 48 que sea tres veces mayor que él.
Problemas para trabajar la divisibilidad.
Ejemplo de actividades para 4to. grado – año Si tengo una cierta cantidad de bombones y los coloco en cajas de a 6 no sobra ninguno. Si los coloco en cajas de a 8 tampoco sobra ninguno, ¿cuántos bombones podré tener?
Lo que se pretende es que el alumno, a partir del problema busque un número que sea al mismo tiempo múltiplo de 6 y de 8.
¿Cómo procederá para encontrarlos? Escribiendo los distintos múltiplos hasta encontrar aquellos que cumplan ambas condiciones. Ser múltiplo de 6 y de 8. La respuesta será que existen infinitos múltiplos que cumplen esta condición. Los alumnos deben advertir que existen problemas con muchas soluciones posibles.
Podemos modificar el problema agregando:
- la cantidad de bombones es menor a 100
De esta manera las respuestas posibles serán 48 y 96 en el primer caso, observando que existen dos soluciones posibles.
o* está comprendida entre 100 y 300. Esto obligará a los alumnos a buscar alguna estrategia de cálculo para obtener todas las soluciones posibles. Por ejemplo, encontrar el menor múltiplo, el 48 y luego:
48 x 3 = 144
48 x 4 = 192
48 x 5 = 240
48 x 6 = 288
48 x 7 = mayor a 300
Será importante que los alumnos puedan comenzar a distinguir cuando los problemas tienen infinitas, algunos, una o ninguna solución posible.
Los problemas no se resuelven solamente haciendo cuentas y preguntando si es correcta la respuesta o no,. Exigen análisis de condiciones, estrategias cada vez más económicas, planteo de situaciones.
Ejemplo de actividades para 5to. grado
Podrán presentarse problemas similares con tres números en juego. La idea es que los alumnos, poco a poco, vayan buscando estrategias de cálculo más económicas para resolver los mismos problemas.
Ejemplo de actividades para 6to. grado
Tengo una cierta cantidad de figuritas, si las agrupo de a dos no sobra ninguna, pero, si las agrupo de a cinco sobra 1. ¿cuántas figuritas tengo?.
Con los alumnos se deberá analizar la situación presentada.
Los números a buscar tienen que ser pares, pero no terminados en cero. Una posible respuesta será 6. Pues 6 = 5 + 1 , lo cual nos muestra que el resto de la división por 5, es 1.
Luego, de manera similar: 16 = 15 +1 ; 46; 76; etc. Esto nos lleva a pensar: ¿cómo podemos reconocer si un número es múltiplo de otro?.
Primero: podemos apoyarnos en la relación D = d x c + r (dividendo = divisor x cociente + resto). 49 = 16 x 3 +1 , y leemos la información de esta expresión , 49 no es múltiplo de 3 pues podemos observar que el resto es 1.
89 = 8 x 10 + 9, 89 no es múltiplo de 10. 36 = 5 x 7 +1 , 36 no es múltiplo de 5. el resto es 1. 36, ¿es múltiplo de 7?. ¿Por qué?.
¿Cuál es el resto de dividir 4 x 85 x 23 por 4?. Sin hacer la cuenta se puede advertir que al ser 4 uno de los factores, el número si es múltiplo de 4, el resto será cero.
P8: Piense Usted: ¿cuál es el resto de dividir 15 x 17 x 36, por 5?. ¿Por qué?.
¿cuál es el resto de dividir 35 x 4 + 1 , por 4?. ¿Por qué?.
¿cuál es el resto de dividir 8 x 17 + 2 por 4?. ¿Por qué?.
¿cuál es el resto de dividir 25 x 7 +4 , por 7?. ¿Por qué?.
Hablemos un poco más de la división.
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?.
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos en forma equitativa. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?.
Javier tiene 30 figuritas y le quiere dar 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos dará figuritas ?.
Los enunciados anteriores presentan similitudes y diferencias.
El primero admite varias soluciones posibles, por ejemplo, dar 5 figuritas a un niño, 7 a otro, 8 a un tercero y 10 al cuarto. O bien, 7 a cada uno de los tres primeros y al cuarto 9 figuritas. El enunciado no aclara que el reparto sea en partes iguales. Si no lo dice no se puede asumir que sea así.
El segundo la respuesta será 5 a cada uno, pues es un reparto equitativo.
El tercero no es un problema de reparto, es un problema de partición. Estos problemas son las más difíciles para que los niños los identifiquen como problemas de división.
¿Y con los restos qué?
Luciana tiene 7 globos y los quiere repartir en partes iguales entre dos compañeras, ¿cuántos globos dará a cada una?
Luciana tiene 7 y los quiere repartir en partes iguales y en su totalidad entre dos compañeras, ¿cuántos alfajores dará a cada una?
75 alumnos y 3 maestras de la escuela van al planetario. Si en cada ,micro pueden ir hasta 30 personas, ¿cuántos micros serán necesarios para transportar a todos, con el menor costo posible?
La solución al primer problema será 3 globos para cada uno y sobrará 1.
La solución al segundo problema será 3 alfajores y la mitad de otro.
La solución al tercer problema será 3 micros. Nadie puede quedar sin ir.
Como se puede observar cada problema presenta una situación a pensar, decidir, argumentar. No todo es cuestión de cuentas.
Problemas para los alumnos.
Tenemos que repartir, en partes iguales, 20 caramelos, entre 5 niños. ¿Cuántos caramelos recibe cada uno?.
¿Y si la cantidad de caramelos fuera 21; 22; 23; 24; 25?.
Se podrá confeccionar una tabla, teniendo en cuenta los distintos restos obtenidos.
20–21–22–23–24–25
30–31–32–33–34–35
Permitirá a los niños observar que los distintos restos son 0; 1; 2; 3; 4. ¿En qué casos se han repartido todo y no sobra nada?. En todos estos números se verifica que: 20 = 4 x 5 ; 30 = 6 x 5 ; 25 = 5 x 5 , etc. En el resto las distintas expresiones serán 21= 4 x 5 +1 ; 22= 4 x 5 + 2 , etc.
¿Cuál es el mayor resto que se puede obtener?.
Actividades para 4to – 5to. grado /año
Si cuento de 4 en 4, a partir del 3, ¿llego al número 96?.
Se organiza una reunión y no se sabe si vendrán 4 ó 6 personas.¿En cuántas partes habrá que cortar la torta para darle la misma cantidad a cada uno y no sobre nada?.
Un ejemplo trabajado con los alumnos.
Un cartel tiene 4 luces de colores Amarillo, Verde; Rojo; Blanco.
Se van encendiendo, por minuto. El primer minuto, la luz amarilla, el segundo minuto la verde, el tercer minuto la roja y el cuarto minuto la blanca. El quinto minuto la amarilla, el sexto minuto la verde y así continua.
¿Cuál es el color de la luz en el minuto 7?. ¿Y en el minuto 18?. ¿Y en el 35?. ¿y en el minuto 100?, ¿Y en el 412?. ¿Y en el 2.000?
Para resolverlo algunos alumnos fueron escribiendo, debajo de los colores, los distintos números hasta encontrar la respuesta.
A–V–R–B
1–2–3–4
5–6–7–8
………..
17-18
En el minuto 7 la luz es de color rojo y en el 18 es de color verde.
Al llegar al número 415 uno de los alumnos argumenta:
A1-Yo pensé que 400 es 4 veces 100, entonces es blanca. A partir de ahí conté 15 y llegué a rojo.
Se propuso el número 815. A1-Es igual, rojo, porque 800 va a ser blanca, y a partir de allí, se cuenta. A2-Con el 2.000 también llegas a la luz blanca.
Se propuso el número 2.136 A3-Con 2.000 llegas a la blanca. Habría que contar 136 y ver cuál es la luz.
Se propone descomponer el número 2.136. 2136 = 2.100 + 36 Esto permite que se den cuenta que no necesitan contar con un número tan "grande" como 136.
A partir de aquí los alumnos comienzan a darse cuenta que, una estrategia económica es dividir por 4, el número.
La pregunta es:¿cómo darse cuenta mirando, si el número o no es múltiplo de 4 o cuál es el resto que se obtiene.
Los alumnos proponen:
A1 tienen que terminar en 4. (Semejante al reconocimiento de los múltiplos de 5).Se propone el número 14.
A2. tienen que terminar en 0. (Han probado con 400. 800, 2.000). Se propone el número 70 . Algunos sugieren que deben terminar en dos ceros. (observando los ejemplos dados)
Se proponen los números 436; 1.348; 2.024. Observan que también son múltiplos de 4
Se procede a decomponer los números: 436= 400+36 1.348= 1.300 + 48; 2.024= 2.000 +24
Se concluye que es necesario que las dos últimas cifras sean múltiplos de 4.
Puede observarse que los alumnos han podido "descubrir" cuando un número es múltiplo de 4 y elaborar ellos la regla.
EVALUACIÓN FORMATIVA
Del análisis de los ejemplos 1 y 2 extrae los problemas que se presentan en la didáctica de la matemática y fundaméntala.
REFORZAMIENTO
Para tener en cuenta los problemas que hemos detectado hay que tener presente los principios del aprendizaje los cuales son:
1ro. El refuerzo más efectivo en el proceso del aprendizaje es aquel que sigue a la acción con una mínima demora. La efectividad del esfuerzo disminuye con el paso del tiempo y muy pronto no tiene casi ninguna efectividad.
2do. La máxima motivación para el aprendizaje se logra cuando la tarea no es demasiado fácil ni demasiado difícil para el individuo pues así se logra satisfacción.
3ro. El aprendizaje no es proceso simplemente intelectual, sino que también emocional. El individuo tiene metas en el proceso de aprender que deben ser claras y precisas para que sean motivantes.
4to. Aprendemos a través de los sentidos. Especialmente del sentido de la vista y del oido, no obstante no debemos dejar de lado los demás (tacto, gusto, olfato) por lo que se deben considerar como recursos para el desarrollo de este proceso.
5to. Generalmente lo que aprendemos lo vinculamos con lo que sabemos, es decir partimos de encuadres particulares para darle valor a la enseñanza.
6to. Regularmente aprendemos una cosa a la vez. Por ello se trata de delimitar lo más claramente posible las distintas unidades de aprendizaje.
7mo. Cada persona aprende en grados distintos o a velocidades diferentes, dependiendo de sus conocimientos, habilidades y desde luego del nivel de inteligencia que posea.
REALIMENTACIÓN
Ingresa. Lee el documento sobre Perspectivas de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica de Juan D. Rodino.
EVALUACIÓN DE SALIDA
Presenta un resumen sobre dicho documento. (Paso 7) esquematizando de la forma que creas conveniente.
TRANSFERENCIA
De acuerdo a nuestro módulo podemos establecer:
El aprendizaje se realiza a través del descubrimiento personal de las relaciones, conexiones, leyes, principios y estructuras matemáticas. Cuando el alumno realiza una tarea para descubrir algo, él es activo, tiene iniciativa y participa en la formación de la idea matemática. Consecuentemente, él cultiva una "filosofía" e independencia.
La Didáctica de la matemática, (constructivista) recoge las ideas piagetianas según la cual los conocimientos no se producen solo por la experiencia que los sujetos tengan sobre los objetos, ni tampoco por una programación innata preexistente en él, sino por construcciones sucesivas que se dan e interaccionan con el medio. Pero esto es insuficiente si no se tiene en cuenta las condiciones en las cuales los alumnos movilizan los saberes bajo la forma de herramientas que permitan la construcción de nuevos conocimientos.
Lo que se pretende al hacer matemática es que el alumno sea el constructor, se sienta partícipe de su aprendizaje.
BIBLIOGRAFÍA
- Elizabeth Rafael. Documentos de didáctica. Huaraz 2008
- Juan Antonio García Cruz. La Didáctica de las Matemáticas: Una visión General.
- Antonio Pérez Sanz : Matemáticas
- Juan D. Rodino. Perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas como disciplina científica.
- Hildebrando Luque Freire: Didáctica de las Matemáticas
Autor:
Doris Melgarejo Herrera
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