sin desagregar en los proyectos integrantes. En este caso el error significaría obtener un VPN de sólo un tercio del VPN potencial (20 millones en lugar de 60). En algunos casos, la inclusión de un proyecto no rentable (como el agrícola del ejemplo), se puede justificar cuando tiene relaciones de complementariedad con los otros proyectos de la cartera. Vemos que se hace necesario analizar metodologías de selección en los tres casos posibles: independencia, sustitubilidad y complementariedad de proyectos. Caso de proyectos independientes. Si se enfrenta una cartera de proyectos independientes, con restricciones de capital17 una primera idea de ranking sería ordenar las inversiones por VPN de mayor a menor y luego seleccionar las primeras del ranking hasta que se agote el capital. Esta idea que intuitivamente parece acertada nos lleva a decisiones no óptimas según podemos ver en el ejemplo siguiente: Se puede ver que los proyectos están estrictamente ordenados por VPN: Suponiendo que nuestra restricción de capital para la inversión es de 10 unidades monetarias, según este ranking se debería ejecutar sólo el proyecto A, es el primero del ranking y su ejecución agota totalmente el capital disponible. Sin embargo, dado que los proyectos son independientes, se cumple que: VPN B+C = VPN A + VPN B En este caso VPN B+C es igual a nueve (cinco de B más cuatro de C), ¡ y VPN A es igual a seis!, es decir, el VPN conjunto de B y C es mayor que el de A, luego ordenar por VPN nos lleva a una solución no óptima para asignar nuestras 10 unidades monetarias. En este caso nos podemos dar cuanta fácilmente al observar las tres filas del cuadro. Sin embargo, si en lugar de tres alternativas hubiésemos tenido cuatro, cinco o más, tendríamos que haber analizado todas las combinaciones posibles, ese tipo de análisis nos lleva a un número combinatorio de alternativas el cual es muy alto y hace costoso el análisis de combinaciones de a pares, tríos , etc19. Como solución para evitar el análisis combinatorio se utiliza el indicador IVAN = VPN / Inversión ?2?. . Calculemos dicho indicador para el mismo ejemplo anterior. 17 El análisis sin restricciones de capital se excluye por ser poco realista, en todo caso dicho análisis concluye que se deben ejecutar todos los proyectos de VPN positivo, lo cual implica que se debe determinar la rentabilidad individual a cada uno. 18 perpetuos de monto B, es igual a B / r, donde r es la tasa de descuento. 19 sólo C, A+ B, B+C, A+C y A+B+C. El número 7 se obtiene de los números combinatorios 3!/(1!*2!) + 3!/(2!*1!) + 3!/3!. Si tuviésemos 4 proyectos, las combinaciones posibles serían 4!/(1!*3!)+ 4!/(2!*2!) + 4!/(3!*1!) + 4!/4! = 15. Se puede ver que para carteras de más de 5 proyectos el número de alternativas a analizar hace bastante complejo el análisis. 20 perpetuos de monto B, es igual a B / r, donde r es la tasa de descuento.
Se puede ver que el indicador IVAN genera el siguiente ranking distinto al del VPN: primero B, segundo C y último A. Entonces si ordenamos por IVAN seleccionaremos primero B que consume 5 de nuestras 10 unidades de capital disponible, luego C que consume las 5 restantes y por tanto el proyecto A queda fuera de la selección, de esta forma se ejecutaría B y C que efectivamente son la combinación de mayor VPN posible (VPN B+C = 9). Nótese que para poder calcular el IVAN, y hacer la combinación de inversiones que genere el máximo VPN, es condición necesaria que se calcule la rentabilidad individual de cada una, ya que el VPN individual es un dato necesario para el cálculo del IVAN. En síntesis, no es posible hacer una selección correcta de inversiones independientes sin hacer previamente la evaluación a nivel individual de cada una. En el ejemplo todas las inversiones eran individualmente rentables. Con mayor razón es necesario el análisis proyecto a proyecto cuando hay probabilidades de que algún proyecto individualmente sea no rentable, para no incurrir en el mala asignación de recursos del ejemplo del Sr. Flores con su terreno y sus usos agrícolas o inmobiliarios. Vemos entonces, que tanto en el caso de que todos los proyectos independientes de la cartera son rentables, como en el caso en que algunos no tienen rentabilidad positiva, el análisis proyecto a proyecto es necesario para una correcta asignación de recursos. Caso de proyectos dependientes. Tanto en el caso en que los proyectos son complementarios como en el caso en que son sustitutos, la decisión tomada en base a la rentabilidad de la cartera conjunta puede llevar a errores en términos de pérdidas de VPN, según se muestra a continuación. –INVERSIONES COMPLEMENTARIAS Dado un proyecto a con VPNa > 0, si se evalúa un segundo proyecto b con VPN b> 0, entonces se debe considerar además que la ejecución del proyecto b mejorará la rentabilidad de a (como en el ejemplo del shampoo y el bálsamo ), le llamaremos D VPNa al incremento del VPN de a debido a la ejecución de b. El criterio entonces sería: »SI VPNB + D VPNA > 0 => HACER B Y A
Nótese que la complementariedad en algunos casos puede llegar a significar la conveniencia de aceptar proyectos con rentabilidad negativa, siempre que los incrementos de rentabilidad que le provoquen al (o los) otros compensen la pérdida que generaría por sí sólo. Por ejemplo, supongamos que el proyecto "a" (Shampoo) tiene una rentabilidad individual de 10 unidades monetarias, (VPNa=10) mientras que el del bálsamo tiene una rentabilidad negativa de 5 unidades monetarias (VPNb=-5) pero le incrementa la rentabilidad al proyecto del Shampoo en 6 unidades monetarias (D VPNa=6) con lo que el VPN a sube a 16. En este caso convendría ejecutar ambos con una rentabilidad de 11 unidades monetarias (10-5+6). Sin embargo si la mejora del proyecto de Shampoo fuera sólo de 3 unidades monetarias, no compensaría la pérdida del proyecto bálsamo, en este segundo caso la rentabilidad conjunta de a y b sería 8 unidades monetarias (10-5+3).
En el segundo caso, si se evaluase sólo en forma conjunta a y b, sólo calcularíamos este VPN total de 8 y nunca detectaríamos el VPN individual de "a" de 10 ¡mayor!. La única forma de no cometer este error es evaluar proyecto a proyecto y luego calcular las rentabilidades conjuntas para poder finalmente optar por la alternativa de mayor VPN. A modo de resumen de los ejemplos anteriores: La necesidad de evaluar proyecto a proyecto se refuerza si se desea diseñar políticas de inversión dependientes del tipo de complementariedad o sustitubilidad entre proyectos. En efecto, recordemos que los proyectos pueden ser complementarios en beneficios, en costos o en ambos a
la vez, también pueden ser sustitutos en costos, en beneficios o en ambos. Una forma de diseñar carteras de inversiones es: priorizar proyectos individualmente rentables complementarios en costos o en beneficios o en ambos y desincentivar la ejecución conjunta de proyectos sustitutos en costos, o en beneficios o en ambos. Obviamente para poder detectar las complementariedades o sustitubilidades anteriores es necesario evaluar cada uno individualmente para luego pasar a detectar los efectos positivos o negativos en los otros proyectos. –INVERSIONES SUSTITUTAS
Supongamos que la inversión "a" es la represa para embalse de generación de energía y el proyecto "b" es la represa para regadío con VPNa = 10 si se destina exclusivamente a energía y VPNb = 8 si se destina exclusivamente a regadío. El uso conjunto de la represa para ambos fines suboptimiza el uso del agua tanto para "a" como para "b", de forma que el VPNa = 8 y VPNb= 6 , es decir el VPN conjunto sería 14. En este caso todavía el VPN conjunto es mejor que el VPN de cada uno por separado. Sin embargo, si el grado de sustitubilidad es muy fuerte, el VPN conjunto podría llegar a ser menor que el VPNa (o inlcuso menor que el VPNb). La regla en este caso debiera ser »SI VPNAB > 0 => HACER A Y B SSI VPNAB>VPNA Y VPNAB>VPNB
Nuevamente necesitamos evaluar cada proyecto individualmente para poder tomar la decisión correcta, si la ejecución conjunta disminuye el VPNa hasta 6 el VPNb hasta 3, entonces VPNab=9, es decir, menor que el de hacer sólo "a", En este segundo caso no conviene hacer ambos, se incurriría en una pérdida de rentabilidad de 1 unidad monetaria respecto a la alternativa de hacer sólo "a". El cuadro siguiente resume los casos anteriores. EN SÍNTESIS SI LAS INVERSIONES SON DEPENDIENTES ENTRE SÍ: –"RECETA": CALCULAR VPNA, VPNB, VPNAB –ELEGIR EL MAYOR
Vemos que tanto para proyectos independientes como para proyectos dependientes, se hace necesaria la evaluación de inversiones a nivel individual ?3?. Los ejemplos para proyectos dependientes, se ilustraron (por simplicidad) con carteras de sólo dos proyectos. Para carteras mayores, y para incluir además las restricciones de capital, se hace necesario trabajar con modelos de optimización de tipo programación lineal o no lineal ?4?., el análisis de los mismos escapa a los objetivos de este documento, no obstante en dichos modelos se mantiene la necesidad de identificar costos y beneficios proyecto a proyecto.
Bibliografía.
?1?."Project Evaluation for the Next Decade", Arnold Harberger.
?2?."Evaluación Social del Proyectos", Ernesto Fontaine.
?3?."Inversión Pública Eficiencia y Equidad", MIDEPLAN.
?4?."Operations Research", Hiller Liberman.
INTRODUCCIÓN A RIESGO E INCERTIDUMBRE
1.12 DOS CONCEPTOS: Se dice que una inversión es riesgosa cuando una o varias variables del flujo de caja son aleatorias en vez de determinísticas. En estos casos no existirá certeza en los flujos de cada período. Y, como los indicadores de evaluación de proyectos, por ejemplo el VPN y la TIR, se calculan a partir de estos flujos, entonces estos indicadores serán también variables aleatorias. En este caso ya no sirve aplicar directamente el criterio básico que se ha utilizado hasta ahora: maximizar el VPN de los flujos relevantes, ya que bajo incertidumbre este indicador es una variable aleatoria. A continuación se analizan dos conceptos de utilidad: incertidumbre y riesgo. ¿Qué es la incertidumbre? Se entenderá que existe incertidumbre cuando las probabilidades de ocurrencia de un evento no están cuantificadas, es decir, no se conocen las funciones de distribución de probabilidades. Las fuentes básicas de incertidumbre radican en falta de información histórica, o bien, en que existiendo dicha información, no puede ser bien empleada, ya que la información es incompleta, inexacta, sesgada, falsa o contradictoria. ¿Qué es riesgo? Se ha señalado que los eventos que sucederán en el futuro no son determinísticos, sino que existe un grado de incertidumbre acerca de lo que sucederá. Este grado de incerteza es sólo parcial debido a la historia, la que permite conocer los resultados obtenidos anteriormente en alguna experiencia y sirve para estimar la probabilidad de que ocurra un evento específico sometido a iguales condiciones, es decir, en este caso se pueden estimar funciones de distribución de probabilidades. Fuentes de Riesgo: Poco conocimiento de la industria Dinámica de los precios Dinámica de la demanda Gustos y modas Costos de insumos Tecnologías Uso de fuentes de información poco confiables Errores de interpretación de datos Errores en la manipulación de información 1.13 ENFOQUES PARA LA INCORPORACIÓN DEL RIESGO El riesgo y retorno de una inversión se puede analizar individualmente para luego si es necesario incorporarlo en el riesgo retorno de un portafolio de inversiones ? Análisis individual de una inversión: existen diversos métodos de incorporación del riesgo. La elección de cada uno de ellos depende de la información existente (su calidad), de la exactitud exigida al pronóstico, etc. Conozcamos algunos de ellos: ? ? ? ?
? ? ? 1.1 Análisis Probabilístico 1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios 1.3 Ajuste simple en la tasa de descuento 1.4 Simulación
Análisis del Riesgo de portafolio 2.1 Diversificación y en modelo CAPM 2.2 Análisis de Decisiones Secuenciales y Arboles de Decisión 1.14 DISTINTOS NIVELES DE RIESGO ? ? ? Riesgo País: Variabilidad del PGB Riesgo Sectorial: Variabilidad del PGB sectorial (del mercado objetivo y de insumos) Riesgo de una Inversión: Apalancamiento Operativo (Niveles mínimos de operación) y Apalancamiento Financiero (Riesgo de quiebra)
V(X) ? E??X ? E(X)? ? 1.15 ANÁLISIS INDIVIDUAL DE UNA INVERSIÓN Este enfoque consiste en evaluar la conveniencia de cada alternativa de proyecto de inversión separadamente. Dentro de este enfoque existen diversos métodos para determinar la conveniencia de un proyecto: 1.15.1 ANÁLISIS PROBABILÍSTICO DE UNA INVERSIÓN. ? Una forma de interpretar el Riesgo y medirlo es la desviación estándar, la variabilidad de los flujos de caja que implica la variabilidad del VAN – Ahora los flujos de caja son variables Aleatorias Consiste en calcular estimadores de tendencia central y de dispersión del VPN (variable aleatoria) de un proyecto de inversión a través de su función de distribución de probabilidades. Breve repaso de probabilidades. Si se tiene una variable aleatoria (v.a.) continua llamada X, con función densidad f(X), entonces su valor esperado o esperanza es: (1) (2) (4) (5) F1 F3 F4 F2 F n F7 F6 F5 … . F8 F8 Con X variando en todo su espacio muestral. Si X es discreta entonces: m
n?1 Es importante recordar que el valor esperado es un operador lineal, es decir: E(aX ?bY) ? aE(X)?bE(Y) (3) ? Por otro lado, la varianza de X es: 2 ? E?X 2 ?2* X *E(X)? E 2(X) ? E(X 2)? E 2(X) La varianza no es un operador lineal, en efecto:
V(aX ?bY) ? a2V(X)?b2V(Y)?2abCOV(X,Y) ? ? ??X f (X)dX E(X) ?
E(VPN(X)) ? E(F0(X))?? ? ??VPN?? ? 2? ?F0 ?? ? ? ? 2?Ft? ?(1? r) ? Ft ??VPN?? ? ? ?? ? ? ? ? ? i 0? ? j 0 ? ??Ft? ? ?? ? t?0 (1? r) ??Ft? ? n ? ? ?? t?0 (1? r) ? Donde: (6) La covarianza será no nula entre las variables aleatorias cuando ellas tienen algún grado de correlación entre ellas. Se define el coeficiente de correlación entre X e Y como xy: (7) ¿Cuál es el criterio de decisión para este enfoque?. Determinar si es conveniente o no hacer un (2) Desviación estándar del VPN Existen tres casos posibles: En primer lugar, podría ocurrir que los flujos de caja de cualquier periodo sean estadísticamente independientes de los flujos de los periodos restantes. En segundo lugar, podría ocurrir que los flujos de cualquiera de los periodos tuviesen correlación perfecta con los flujos de los periodos restantes. Los dos casos anteriores son los menos probables, lo que probablemente se encuentre en la realidad de un proyecto, son flujos que no son independientes y tampoco tienen correlación perfecta, es decir, el caso intermedio de flujos con correlación imperfecta. i) Flujos de caja independientes: (11) Luego: (12) ii) Flujos de caja perfectamente correlacionados: (13) Luego: (14) proyecto riesgoso requiere de elementos algo más complejos que la evaluación de proyectos determinística. Como primer paso debemos conocer los conceptos de valor esperado y desviación estándar del VPN.
VPN esperado Se parte del supuesto de que se tiene una variable aleatoria X que está presente en todos los flujos, luego tienen un flujo de caja aleatorio con un horizonte de n períodos Fo(X), F1(X), F2(X),…,Fn(X). A partir de ellos pueden obtener un VPN aleatorio VPN(X). Luego el VPN esperado será la esperanza de ese VPN aleatorio: (1) n
t n
t?1 E(Ft(X)) (1?r)t COV(X,Y) ? E??X ?E(X)??Y ?E(Y)?? ,con? X ? V(X) y?Y ? V(Y) COV(X,Y) ? X?Y ? X ,Y ? COV(Fi,Fj) ? ??Fi,Fj?? 0, ?i ? j ? n n
t?0 2t ? t?1 Ft ? (1? r)t ? ?i, j ?1, COV (Fi,Fj ) ? (Fi)?(Fj ) ??Fi,Fj?? ? ? ? t n t n n t 2 2 n ? t?0 (1? r) ??Fi???Fj? (1? r)i? j
??VPN?? ? ? ?? ? ? ? ? 2?Ft? ? ? t 0 (1?r)2t ?2? ? iii) Flujos de caja imperfectamente correlacionados: (15) Función de distribución de probabilidad del VPN. Teorema del Límite Central Si una variable aleatoria X puede ser expresada como la suma de n variables aleatorias independientes, entonces para un “n grande” la variable aleatoria X sigue aproximadamente una distribución normal. Figura 1: Distribución de probabilidades del VPN
f(VPN)
Distribución de Probabilidades
del VPN
?(VPN)
VPN [$] E(VPN)
Fuente: Elaboración Propia. El VPN es en efecto una variable aleatoria que es igual a la suma (ponderada) de (n+1) variables aleatorias: los flujos de caja. Por lo que con las funciones de distribución de los flujos de caja se puede obtener el comportamiento probabilístico del VPN. La forma funcional de la distribución de probabilidad del VPN dependerá del número de flujos, de la distribución de cada uno y de la independencia que exista entre ellos. No obstante, como ya se ha dicho, por el Teorema Central del Límite, se sabe que independientemente de las distribuciones de los flujos de cada período, la distribución del VPN tenderá a ajustarse a una distribución normal, para proyectos con largos horizontes de evaluación (muchos variables aleatorias Ft). ? ? n?1 n
i?0 j?i?1 n t 2? n Ft ? t?0 (1?r) ??Fi,Fj???Fi???Fj? (1?r)i? j
? ¿ Que inversión elegir? ? ? < ? La decisión depende del “comportamiento” del inversor frente al riesgo el cual puede ser Neutro, Amante o Adverso ? ¿Cómo se define el comportamiento de un inversionista ante el riesgo? Sometemos al inversionista a la siguiente pregunta: ¿ Por cuanto dinero estaría dispuesto a vender el boleto de la siguiente lotería? 50 % de probabilidad de ganar $ 1.000.000 50 % de probabilidad de ganar $ 500.000
El valor esperado (E) de la lotería es: E = 0,5 * 1.000.000 + 0,5 * 500.000 = 750.000 ? ? ? ? Si para el precio (E’) que esta dispuesto a vender se cumple: E’< E Adverso al riego E’ = E Neutro al Riesgo E’ > E Amante del riesgo $ Probabilidad Distribución de probabilidades
del VAN m s $ Probabilidad Distribución de probabilidades
del VAN ??? ??? ??? ???
Aunque como comentario debemos mencionar que casi todos los agentes económicos son adversos al riesgo ? Por otro lado, una medida del riesgo relativo (para comparar distintas alternativas riesgosas) nos la entrega el Coeficiente de Variabilidad (CV), el que se obtiene como CV = , indicador que nos entrega unidades de riesgo asociadas a cada unidad monetaria de incremento de riqueza. Por lo tanto, un inversionista adverso al riesgo optaría por la inversión de menor CV, uno preferente al riesgo el de mayor CV y uno neutro optaría por el mayor retorno esperado (para ver ejemplos y problemas propuestos ir a Anexo 5). 1.15.2 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DE ESCENARIOS Análisis de sensibilidad. Primero se realiza la evaluación del proyecto en una situación base, tomando los valores esperados o medios de las variables aleatorias. Después se determinan las variables más significativas que afectan los indicadores de conveniencia del proyecto, entre ellos: – precio de venta – precios de insumos – costos de producción – volúmenes de venta – coeficientes tecnológicos – inversión. Se busca sensibilizar los indicadores ante variaciones en las variables significativas más inciertas. Tabla 1: Análisis de sensibilidad. Fuente: Elaboración propia. Por ejemplo, se puede evaluar la situación base para el horizonte t1 del proyecto. Y evaluar precios de venta inferiores en un x% a los de la situación base, precio de uno o varios insumos importantes un y% más caros, ventas un z% inferiores, o costos de operación un w% más caros. Además, se puede evaluar el proyecto con un horizonte t2 < t1. Lo relevante es determinar cuáles son las variables críticas que hacen que el proyecto sea o no conveniente, y si para variaciones o errores de esos parámetros, el proyecto sigue siendo atractivo. Por ese motivo, también pueden ser consideradas variables como la inversión fija, el valor residual de ésta al momento de liquidación del proyecto, inversión en capital de trabajo, etc. Si el impacto de una variable riesgosa en el VPN es importante, entonces el proyecto es riesgoso. El nivel de riesgo se determina en la medida que el VPN se hace negativo para valores probables de la variable. En este caso, se debe hacer una evaluación costo-beneficio de la conveniencia de comprar certidumbre. Por ejemplo, seguros o precios futuros. Una de las formas en las que se suele presentar los resultados de un análisis de sensibilidad, es mediante el cálculo de elasticidades del VAN respecto a cada una de las variables riesgosas: (?VAN / VAN ) / (?X / X), donde X es cualquiera de las variables riesgosas sujeto de análisis.
Con ese indicador, el cuadro de análisis se puede presentar de la siguiente forma: Tabla 2: Cálculo de elasticidades Fuente: Elaboración Propia. A continuación se presenta (Tabla 3) un ejemplo de aplicación de este método a un proyecto de riego. En esta tabla, a través del análisis de sensibilidad, se determina que en ese proyecto las variables más relevantes de analizar, son los precios de las papas, las remolachas, las frambuesas, la carne y la leche.
Tabla 3: Ejemplo de aplicación al proyecto Victoria – Vilcún Cultivo
Trigo Cebada Avena Papa Remolacha Frambuesa c.v. Meeker* Frambuesa c.v. Heritage* Manzano c.v. Fuji Manzano c.v. Royal Gala Carne* Leche*
Todoslosprecios
Inversión($) Xo $/Kg.
89.9 77.3 54.2 65.3 22.2 791.2 615.3 68.7 53.9 492.1 101.2
898.716.320 X1 $/Kg.
98.9 85.0 59.6 71.8 24.4 870.4 676.9 75.5 59.2 541.3 111.3
988.587.952 VAN o $
5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018 5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018 VAN1 $
5.812.634.841 5.862.526.161 5.843.866.248 6.079.568.812 6.002.695.748 6.004.683.604 5.862.264.932 5.930.782.371 5.920.210.860 6.005.528.845 6.552.122.261
7.243.564.502
5.773.460.386 Delta VAN $
-50.697.177 -805.856 -19.465.770 216.236.794 139.363.730 141.351.586 -1.067.086 67.450.353 56.878.842 142.196.828 688.790.244
1.380.232.484
-89.871.632 Delta VAN VAN o
-0.86% -0.01% -0.33% 3.69% 2.38% 2.41% -0.02% 1.15% 0.97% 2.43% 11.75%
23.54%
-1.53% DeltaX Xo
10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00% 10.00%
10.00%
10.00% Elasticidad
-8.65% -0.14% -3.32% 36.88% 23.77% 24.11% -0.18% 11.50% 9.70% 24.25% 117.47%
235.40%
-15.33% *Enelcaso de las frambuesas,carne y leche no hay una única proyecciónde precio. Fuente: Elaboración propia a partir del Estudio de Factibilidad Habilitación Canal La Victoria de Vilcún, Geotécnica Consultores, 1997. Ventajas del método: – Fácil aplicación – Fácil de entender Desventajas del método: – Sólo permite analizar variaciones de un parámetro a la vez. – No utiliza información como las distribuciones de probabilidad del parámetro a sensibilizar. – No entrega distribución de probabilidades de los indicadores de rentabilidad (VPN o TIR), como se hace en el caso del análisis probabilístico y la simulación21. Más allá de estas críticas, deben considerarse los siguientes argumentos (a favor del método): – Es el análisis más factible cuando se carece de información histórica sobre el comportamiento de las variables riesgosas. Esa información es necesaria para determinar las funciones de distribución de probabilidad de dichas variables, y es uno de los datos de entrada necesarios para hacer análisis probabilística o simulación, sin ellos la aplicación de ese tipo de métodos es menos rigurosa. – Es un buen paso, previo al análisis probabilístico o la simulación, ya que ayuda a detectar las variables críticas desde el punto de vista del riesgo, siendo esas las que posteriormente debiesen tener prioridad en el proceso de modelamiento, de esa forma se hace más eficiente el análisis probabilístico o la simulación, al permitir la focalización en las variables más importantes. Análisis de Escenarios Este método permite resolver el problema de la unidimensionalidad del análisis de sensibilidad. Esto se logra a través de definir escenarios para las distintas variables riesgosas que afectan la inversión. Cada escenario está determinado por los valores que supuestamente tomarían las variables riesgosas en estos. Habitualmente se definen 3 escenarios: optimista, medio (también llamado escenario base o neutro) y pesimista. Ejemplo de un escenario optimista: – – –
21 precio del producto es un 20% superior al estimado en la situación base precio de los insumos se mantienen el volumen de producción y venta es un 10% superior al de la situación base.
Que se presenta más adelante.
Es decir, un escenario es un cambio coherente en las variables riesgosas, ya que no todas las combinaciones de variables aleatorias son igualmente probables. La definición de los escenarios posibles debe ser realizada por la propia organización que está evaluando el proyecto o por expertos de ese sector industrial. Este método es levemente mejor que el de sensibilidad ya que considera que hay varias variables que pueden variar en forma conjunta (no necesariamente una a la vez), pero mantiene las desventajas y sesgos del análisis anterior. 1.15.3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON 2 VARIABLES ? Sensibilidad con respecto a Precio – Producto, a la inversión 1. Se impone VPN = 0 2. El análisis se hace sensible a 2 variables (I,P) 3. Se despeja P = P(I), I = I(P) 4. También se puede hacer extensivo el modelo a otras variables como por ejemplo: costo variable unitario y cantidad de producto. 1.15.4 EQUIVALENTE CIERTO Es una cantidad determinística (no aleatoria) que deja indiferente al adverso al riesgo con respecto a un evento de riesgo. Equivalente Cierto E' = ? *
= ? E Valor esperado de la variable riesgosa Con ? menor que 1 ? Para inversión o un préstamo, otro método de incorporar sería "castigar" los flujos con un ponderador de ? ? 1 ? Encontrar flujo futuro equivalente cierto: ? t=0 F t E(VPN) = ———— ( 1+ r) t VPN ? t=0 ?t F t = Equivalencia Cierto ———— ( 1+ r) t Donde ?t= ( 1+ r)t ( 1+ r + p) t
Desde el punto de vista teórico, este enfoque se sustenta en la teoría de preferencias sobre contingencias (Von Neumann – Morgenstern) y en la utilidad esperada: Regla de Utilidad Esperada Este enfoque supone que aunque el aumento en el VPN de una persona u organización aumenta siempre su bienestar (suponiendo todo lo demás constante), éste no lo hace linealmente, sino que su aporte marginal es positivo pero decreciente. Además, con incertidumbre se tiene que maximizar el bienestar (lo relevante) no necesariamente es equivalente a maximizar la riqueza como ocurre en bajo certidumbre. Esto se muestra con un ejemplo. Supongamos que un proyecto riesgoso tiene dos posibles resultados VPN1 y VPN2, cada uno con una probabilidad de ocurrencia de p y (1-p). Y que la función de utilidad del dueño del proyecto es U(VPN). Con: (17) Es decir, U(VPN) es cóncava. Cumpliendo de esa manera con que la utilidad siempre aumenta con la riqueza, pero este aumento es marginalmente decreciente. ? 0 ? 0, ?2U ?VPN 2 ?U ?VPN
Figura 5: Función de utilidad y aversión al riesgo t t (18) E(VPN) ? pVPN1 ?(1? p)VPN2 En tanto que la utilidad esperada es igual a: E(U(VPN)) ? pU(VPN1)?(1? p)U(VPN2) (19)
Se puede ver que debido a que U(VPN) es cóncava ocurre que E(U(VPN)) < U(E(VPN)). Es decir la utilidad que otorga recibir E(VPN) con probabilidad 1 es mayor que la utilidad que otorga el proyecto aleatorio. Es decir, el riesgo hace disminuir la utilidad, aunque el valor esperado sea el mismo.
Lo anterior lleva al concepto de equivalente cierto (EC). Este valor es tal, que si se obtiene con probabilidad 1 y es evaluado en la función de utilidad entrega el mismo bienestar que el proyecto riesgoso. Aunque con un menor aporte esperado a la riqueza. Podemos definir el concepto de equivalente cierto o equivalencia a la certidumbre, como la cantidad sin riesgo que a un inversionista le resulta indiferente con respecto a un valor esperado de una variable aleatoria riesgosa. Para un averso al riesgo se cumple que ese equivalente cierto es menor que el valor esperado de la variable riesgosa. Esta diferencia en la riqueza (E(VPN)-EC) es el premio por riesgo exigido por realizar el proyecto. El concepto de equivalente cierto puede ser aplicado también al flujo de caja, de forma que: (20) EC(F ) ? E(F )? premio por riesgo De forma que la función de utilidad cóncava explica el comportamiento adverso al riesgo. Por lo tanto, una función de utilidad lineal representará un comportamiento neutro al riesgo. VPN U(VPN) VPN1 p Fuente: Elaboración Propia
El proyecto aleatorio entrega un VPN esperado de: VPN2 1-p E(VPN) U(VPN2) U(E(VPN))
E(U(VPN))
U(VPN1) EC
Consecuentemente, una función de utilidad convexa representa el comportamiento amante del riesgo, es decir, que en vez de exigir un premio adicional en la riqueza por correr riesgo, se está dispuesto a sacrificar riqueza por él. En general, el resultado anterior se puede presentar alternativamente como: EC(Ft) = E(Ft) con < 1 (21) Con : grado de aversión al riesgo ¿Cómo se determina ? Depende de la función de utilidad del inversionista, la cual no es observable, esa es una dificultad de aplicación de este método, ya que el parámetro de aversión al riesgo sólo se revela en la toma de decisiones, esta dificultad es aún mayor cuando el tomador de decisiones es un organismo público, dado que el inversionista en ese caso es al conjunto de la sociedad. ¡Para ver ejemplo ir a Anexo 5! AJUSTE SIMPLE EN LA TASA DE DESCUENTO 1.15.5 Sean: Ejemplo: Otra forma de incorporar el riesgo en una inversión individual es considerar que ante dos proyectos de inversión de diferente riesgo, los flujos esperados del proyecto más riesgoso se deben descontar con una mayor tasa, ya que se le “debe” exigir una mayor rentabilidad. ?????????? Alto ? 4500 4500 10000 4500 ??? ????? Es decir, se debe exigir un premio por riesgo, el que se refleja en una mayor tasa de descuento: rRiesgo ? rLibrede Riesgo ? premio por riesgo
(22) Problemas del Método:
EC(Ft) VPN ? EC(F 0)?? – El premio por riesgo se fija arbitrariamente. Esta crítica es válida para el método tal y como se ha presentado hasta este punto. Más adelante, cuando se presente el tema de Riesgo y carteras, se verá como el premio por riesgo puede ser calculado con el sustento teórico en el modelo CAPM. – – No se utiliza información valiosa como la distribución de probabilidades de los flujos futuros. El riesgo aumenta a medida que pasa el tiempo. Lo que no necesariamente será siempre (24) Dado que se encontraran flujos ciertos que son equivalentes a los riesgosos, se deben descontar con el costo de oportunidad del dinero que está libre de riesgo. Lo anterior permite relacionar el método de los equivalentes ciertos con el ajuste a la tasa de descuento. La demostración de esta relación se presenta a continuación. Cabe señalar que en dicha demostración se utiliza el cálculo del premio al riesgo con el modelo CAPM que se presenta más adelante en 8.5: Sean F y EC el flujo incierto y el equivalente cierto respectivamente, y sean r y rf las tasas con riesgo y sin riesgo (la primera determinada según CAPM). Debe cumplirse que: VA = EC / (1+rf) = F / (1+r) (25) de donde F / VA = (1+r). Luego, F / VA = 1+rf + ? (rm –rf) (1) (26) Pero ? = COV (r, rm) / VAR (rm) = COV (F / VA – 1, rm)/ VAR (rm) (27) dado que VA es el precio actual (valor cierto): ? = COV (F , rm)/ VA*VAR (rm) reemplazando en (1) => F / VA = 1+rf + ?COV (F , rm)/ VA*VAR (rm)? (rm –rf) => F = (1+rf)*VA + ?COV (F , rm)/ VAR (rm)? (rm –rf) (29) => VA = ?F – COV (F , rm) *(rm-rf)/ VAR (rm) ? / (1+rf) De donde se concluye que el flujo equivalente cierto es: EC = F – COV (F , rm) *(rm-rf)/ VAR (rm) (28)
(30) La expresión anterior permite encontrar el flujo equivalente cierto sin necesidad de conocer los datos del modelo CAPM. Sin embargo, si ya se ha calculado la tasa de descuento con CAPM, se puede determinar EC de una forma alternativa (más simple), ya que si VA = EC / (1+rf) = F / (1+r) (31) => EC = (1+rf) F / (1+r) Entonces en general, para un período t cualquiera se tiene que: EC = ?t F (32) donde ?t =? (1+rf) / (1+r)? t < 1
Nótese que en todos los casos, llegar a obtener el parámetro de equivalencia a la certidumbre, implica que se debió desarrollar previamente el método de ajuste a la tasa de descuento, lo que plantea el cuestionamiento de la utilidad del método de equivalencia a la certidumbre, dado que si ya se calculó la tasa de descuento ajustada por riesgo, deja de ser necesario incluir el riesgo en los flujos vía equivalencia a la certidumbre. t t verdadero. Alternativamente como ya se vio, se ha propuesto adaptar el concepto de equivalente cierto al flujo de caja. Es decir: (23) EC(F ) ? E(F )? premio por riesgo
Luego, el VPN del proyecto con este método se calcula como: t n t?1 (1?rlibre deriesgo)
1.15.6 SIMULACIÓN Surge como respuesta a las limitaciones del modelo probabilístico, este último: probabilidades – – » » Requiere conocimientos y manejo acabado de conceptos de Es de difícil formulación matemática debido a la necesidad de: Modelación de las relaciones entre flujos Modelación de la relaciones entre variables Por lo tanto en algunos casos se llega a la imposibilidad de llegar a una solución analítica. La solución práctica ha sido la Simulación Computacional Esta técnica surgió a partir del desarrollo de la computación e informática que les permite hacer una gran cantidad de cálculos en poco tiempo. La idea tras la simulación es ”recrear" numérica y reiteradamente la experiencia aleatoria que interesa analizar, por medio de un modelo que describa el comportamiento del sistema (no es optimizante) y mida las variables de desempeño del sistema bajo distintos parámetros dados. La simulación permite la evaluación de un gran número de escenarios generados aleatoriamente, de acuerdo a las distribuciones de probabilidades de las variables riesgosas y de las relaciones de interdependencia entre ellas. Procedimiento : Se puede representar en el siguiente esquema Datos de entrada :
– Tasa descuento
– Tasa Impositiva
– Definición Probabilística de variables riesgosas
– Relación entre variables Generador de
variables
aleatorias. de Modelo Inversión Criterios de Evaluación :
– VAN
– TIR
– Pay-Back Distribución de
Probabilidades De los criterios
seleccionados. Análisis estadístico
de la distribución de los criterios de
Evaluación.
Resultado de la simulación: Obtienen un Histograma, que representa en forma aproximada la Distribución de Probabilidades del VAN (suponiendo que ese es el criterio de evaluación seleccionado):
Nótese de la figura, que uno de los datos de entrada necesarios es la definición de las distribuciones probabilísticas de las variables riesgosas. En la propuesta metodológica, éstas deben de ser previamente identificadas mediante análisis de sensibilidad. Las Distribuciones de Probabilidad más usadas : –
–
–
– Uniforme
Triangular
Normal
Binomial Si
No
Values x 10^-4 – “ad hoc” Ejemplo: Evaluación Proyectos de Riego
Figura 4: Obtención de la función de distribución para un producto agrícola.
Distribuciónde precios arveja LogLogistic(991,68,7470,5,4,0674) X< =4614 5,0% 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 X< =16399 95,0%
@RISK Student Version For Academic Use Only Values in Thousands
Fuente: Elaboración Propia.
1.16 RIESGO Y RENTABILIDAD DE PORTAFOLIO La teoría del portafolio considera como pilar básico los beneficios de la diversificación. En este sentido Markowitz se preocupa del grado de covarianza entre las rentabilidades de los activos componentes de un portafolio. La idea central es combinar en un portafolio, activos que no estén perfectamente correlacionados, con el propósito de disminuir el riesgo sin sacrificar rentabilidad.
Sean E(ri) ?i ?ij Ep : valor esperado de la rentabilidad del activo i : varianza de la rentabilidad de i : coeficiente de correlación entre los retornos de los activos i y j : valor esperado de la rentabilidad del portfolio 2 ?p Xi n : varianza de la rentabilidad del portafolio : proporción de la riqueza invertida en el activo i : numero total de alternativas de inversión El modelo de Markowitz plantea la minimización del riesgo del portafolio (medido por medio de la varianza del mismo) sujeto a un nivel mínimo de rentabilidad esperada por el inversionista. Alternativamente, se puede plantear el problema dual de maximización de la rentabilidad esperada sujeto a un nivel máximo de riesgo del portafolio. En el óptimo las soluciones de ambos problemas coinciden.
El modelo de optimización en el primer caso es: Min ? p 2 sujeto a Ep >= E0 ? Xi ? 1 Xi >=< 0 Eo es el nivel mínimo de rentabilidad exigida. Los Xi son la variable del problema y están expresados como proporción (porcentaje) respecto a la riqueza total del inversionista, por lo tanto la suma de dichas proporciones debe ser igual al 100% de la riqueza, esto se traduce en la segunda restricción. Por último, la tercera restricción indica que las soluciones no deben ser necesariamente mayores que cero, en caso de que un Xi resulte positivo en el óptimo, significa que el inversionista deberá invertir en ese activo una proporción Xi, en el caso de que resulta negativo deberá endeudarse en ese activo (por ejemplo vendiendo bonos). Por definición se tiene además que rp ?? Xi*ri es decir, la rentabilidad del portfolio es igual al promedio de las rentabilidades de cada inversión ponderadas por la proporción de la riqueza invertida en cada una. Por propiedad de la esperanza matemática: Ep ? E(rp) ??Xi*E(ri) mientras que la varianza ?p2 ?V(rp) ???p2 ?? Xi2*?i2??? Xi*XjCov(Xi,Xj) La solución del problema se puede ilustrar intuitivamente de forma gráfica. Considerando que Cov(Xi,Xj)??ij*?i*?j Se tiene que en el caso de dos alternativas de inversión el problema se reduce a: Min?p ? X12*? 22 ? X 22*? 22?2?12X1X 2?1? 2
sujeto a Ep ? X1E(r1) ? X 2E(r2) ?? E0 X 1? X 2 ?1 De las dos restricciones se puede despejar X1 y X2 en función de Ep, E(r1) y E(r2), reemplazando en ?p2 obtenemos Ep = E(rp) = f(?p ) ??p ? f(Ep)
La rentabilidad esperada es función del riesgo o viceversa, más aún, en el caso en que el coeficiente de correlación es igual a más o menos uno, la varianza del portafolio (desviación estándar al cuadrado es igual a un binomio cuadrado perfecto, por lo que en esos casos extremos de correlación perfecta positiva o negativa la función implícita “f” es una función lineal con modulo (es decir simétrica). Si graficamos estos comportamientos extremos en los ejes rentabilidad esperada vs. riesgo obtenemos lo siguiente:
Se demuestra que en el caso más general en que -1< ? < 1 se obtienen curvas intermedias entre las rectas de los valores extremos que representan el riesgo en función de la rentabilidad o viceversa. Se llama a estas curvas frontera de carteras eficientes. En esta deducción hemos considerado solamente inversiones riesgosas. Si agregamos ahora la posibilidad de invertir en un activo de cero riesgo (por ende situado sobre el eje de la rentabilidad esperada) con rentabilidad Rf, tenemos que el inversionista podrá combinar la inversión en activos riesgosos con el de cero riesgo. Cualquier combinación de un punto de la frontera de carteras eficientes con el activo de cero riesgo será una combinación lineal. La combinación óptima será aquella en la que la recta de la combinación de activos riesgosos con el de cero riesgo sea tangente a le frontera de carteras eficientes.
Si imponemos que la pendiente de la recta sea igual a la derivada de la curva en el punto M de tangencia tenemos: (E(Rm)?Rf )/?m??E(rp)/??p ? = -1 ? =1
-1< ? < 1 E(r)
E(r2)
E(r1) ?1 ?2 ?
donde el par ( E(Rm),?m ) representa la rentabilidad esperada y el riesgo de la combinación de activos riesgosos. Usamos la letra “m” para denominarle cartera de mercado y levantamos el supuesto de que solamente esté compuesto por dos activos. Para el cálculo de ?E(rp) / ??p se expresa E(rp) como E(rp) = a*E(ri) + (1-a)*E(rm) donde E(ri) es la rentabilidad esperada de la inversión en un activo i cualquiera, es decir, la rentabilidad de la cartera de se expresa como la combinación de un activo i cualquiera y el resto de los inversiones.
Análogamente ?p ? a2?i2?(1?a)2?m2?2a(1?a)Cov(i,m) Se calcula ?E(rp)/??p ??E(rp)/?a*?a/??p ??E(rp)/?a*(1/??p /?a) Luego en la condición de óptimo anteriormente planteada se llega a: (E(rm) ? Rf ) /?m ? ?E(rp)/?? ? (E(ri)? E(rm))*?m /(Cov(i,m)??m2) Reordenando términos se obtiene el modelo de valoración de activos de capital: E(ri)?Rf ?Cov(i,m)/?m2*(E(rm)?Rf) Siguiendo el modelo de valoración de activos de capital, más conocido como CAPM (capital asset pricing model), el retorno esperado de un activo riesgoso puede expresarse como la suma del retorno de un activo libre de riesgo y del premio por asumir ese riesgo. El precio es (en el modelo CAPM) el producto del factor beta por el precio del riesgo descrito arriba. Analíticamente el CAPM se puede expresar como: – donde: Rf i : : : : retorno esperando sobre el activo riesgoso i; tasa libre de riesgo; coeficiente de riesgo sistemático del activo i; y retorno esperado sobre el portafolio de mercado m. El coeficiente de riesgo sistemático o factor beta se define por: ?i ? Cov(Ri,Rm) Var(Rm) : donde: , Cov (Ri Rm)
Var(Rm) : covarianza entre el activo riesgoso i y el portafolio de mercado m; y
Varianza del portafolio de mercado m. El valor de beta puede ser positivo o negativo, dependiendo de cómo covaríen el activo riesgoso y el portafolio de mercado. Usualmente es mayor que cero, y se sitúa en el entorno de la unidad. El beta asociado al portafolio de mercado es igual a uno. Si el beta del activo i es mayor que uno, entonces se dice que el activo es más volátil que el mercado. El coeficiente de riesgo sistemático representa el riesgo no diversificable, es decir, el riesgo de la economía como un todo. El riesgo total se puede definir como: Riesgo Total = Riesgo sistemático + Riesgo no sistemático El riesgo no sistemático se puede eliminar mediante la diversificación de las inversiones de los individuos, por lo tanto el único riesgo relevante y no diversificable es el sistemático1-2 se descarta pues al mismo riesgo se puede obtener mejor rentabilidad ? En efecto, la varianza del portafolio (riesgo total) es:
Siendo X la fracción de riqueza invertida en cada activo riesgoso, ? NOTA: ?p2= VAR (rp) Vemos como los beneficios de la diversificación del riesgo, disminuyen al aumentar el número de activos Sabemos que la relación más típica entre riesgo y rentabilidad es lineal, lo que significa que la rentabilidad de un activo se “explica” en función de la cantidad de riesgo que tiene. ? ? Cov (Ri,RM) /Var(RM) = Bi representa la cantidad de riesgo y se denomina riesgo sistemático. Por definición sabemos que BM = 1 = Cov(RM,RM)/Var(RM) = Var(RM)/ Var(RM) = 1. ? ? Activo más volátil o sensible que el "mercado" Activo menos volátil o sensible que el "mercado" En definitiva veamos para que sirve el modelo:
? ? Aplicando el modelo veamos como determinamos ciertos parámetros: Tasa libre de riesgo: candidatos Papeles del Banco Central de Chile (PRC’s van desde 2 a 20 años) ? Rentabilidad esperada de mercado: primer problema ¿Cuál es el portafolio de mercado? Teóricamente representa el valor de mercado de todos los activos de la economía (debidamente ponderados). Candidatos para RM : índices bursátiles (IPSA, IGPA), índices sectoriales, PIB, consumo agregado real. ? ? Estimación de Betas El beta de una compañía es típicamente estimado a través de una regresión con datos históricos, por lo cual es importantísimo la calidad de la información. ? ML estimó el beta para Hewlett Packard a partir de 60 observaciones de retornos de su acción y S&P 500 y obtuvo
=1.81 significa alto riesgo. Claramente mayor que la volatilidad del portafolio de mercado. ? El costo de capital promedio ponderado (WACC) asume que la estructura de capital es replicable y nos permite descontar los flujos generados por el proyecto puro, es decir el valor económico del activo o de una empresa. WACC = Re C + i D D+C D+C
i = Rd ; WACC = Ra BA = BE C + Bd D D+C D+C BA = Activos BE = Patrimonio Bd = Deuda ? ? RA = RLR + BA (Rm – Rf)
Tanto el CAPM como el WACC “aproximan” el costo de capital para efectos de valoración. Una aproximación más exacta consiste en valorar cada componente del flujo de caja de acuerdo a su propio costo de capital. Esto se conoce como valoración por componentes o valor presente neto ajustado. Si se usa el WACC, se deben descontar los flujos de la inversión “pura” (sin deuda). Se obtiene un Valor Presente de los activos. Si se desea estimar el Valor Presente del Patrimonio, al valor anterior se le resta el Valor Presente de la deuda. Es equivalente a descontar los flujos con deuda (“inversión financiada”), con la tasa de costo del patrimonio Re (ó cost of equity ó rentabilidad patrimonial ó rentabilidad sobre el capital). CAPM INTERNACIONAL (CAPITAL ASSETS PRICING MODEL) ALTERNATIVA AL PORTAFOLIO DOMÉSTICO
Una manera de evitar el problema de trabajar con un portafolio no observable es un portafolio “mundial”. Un proxy típicamente usado para estos efectos es un índice proveniente de los países que permiten un libre flujo de capitales (OECD). Bajo este esquema, estaríamos interpretando a la OECD como un solo gran país. No obstante lo anterior, no debemos dejar de reconocer el Riesgo cambiario dado que inversionistas internacionales están expuestos a riesgos de tipo de cambio real. Más aún, inversionistas de diferentes países no tienen expectativas homogéneas debido a que el retorno para ellos puede ser diferente dependiendo del país donde se encuentren. Inversionistas chilenos estarán preocupados de su rentabilidad en pesos chilenos. Si por ejemplo, ellos tienen un portafolio de acciones en Estados Unidos, su retorno en pesos será: 1+rpeso = (1+rdólares)(1+speso/dólar) s corresponde al cambio en el tipo de cambio. Inversionistas chilenos se preocuparán ahora de la distribución conjunta del retorno del portafolio en pesos y del tipo de cambio. Esto quiere decir que el valor esperado y la varianza del portafolio no son suficientes para rankear portafolios. Específicamente, debemos considerar la covarianza entre el retorno del portafolio y el tipo de cambio. Para incorporar el efecto del riesgo cambiario, debemos capturar el premio que espera recibir un inversionista por tomar este riesgo. En un modelo de dos países (Estados Unidos y Chile), podemos usar como premio por riesgo cambiario la diferencia entre los bonos del tesoro de Estados Unidos y bonos libre de riesgo en Chile. ? Reformulando CAPM obtenemos:
Esta reformulación puede ser estimada a través de la siguiente ecuación: La extensión al modelo a muchos países se obtiene incorporando los restantes tipos de cambio:
ANEXO CASOS
CASO “GALVANIZADO”
Eduardo Contreras V. 29.09.01
Se tiene una planta ubicada sobre un predio agrícola, en la cual se procesan metales sometiéndolos a procesos de galvanización (principalmente barreras de contención de carreteras y torres de alta tensión), el valor de mercado de la planta es de 4,5 millones de U$. Su valor libro es cero. Para los próximos 4 años se espera que los resultados sean los siguientes: Ventas Costo variable planta Costo fijo planta Depreciación planta 16,5 MM U$ 8,4 MM U$ 3,3 MM U$ 0 MM U$ Al final del período el valor residual de la planta es 0 (de mercado). Se desea evaluar las siguientes alternativas:
a) Arrendar el predio a 3 MM$ anuales y vender la planta inmediatamente a 4,5 MM$
b) Modificar la planta para que además produzca tubos de metal extruídos, se produce en base a las mismas materias primas anteriores, con ello las ventas serían el doble y los costos variables de la planta se incrementarían a 12,87 MMU$, el resto de los costos permanecen iguales. Las nuevas instalaciones cuestan 12 MMU$ y se financian en un 50% con un crédito pagadero en 4 cuotas con amortizaciones iguales y un interés sobre el saldo de 10% anual (real). La vida útil de las nuevas instalaciones es de 4 años, el valor residual sigue siendo cero al cabo de 4 años.
La tasa de descuento relevante es de 8%
a) Construya el flujo de caja de las dos alternativas b) ¿Cuál es la alternativa más conveniente? c) Considerando que en la alternativa (b) no hay financiamiento con crédito (todo con recursos propios) ¿conviene postergar el proyecto?, ¿cuál sería en ese caso el momento óptimo?
CASO IANSA IANSA es la mayor empresa agroindustrial del país, su principal negocio es la producción de azúcar refinada. Otras actividades incluyen la distribución de insumos agrícolas y la producción de derivados de tomate, jugos de frutas y alimentos para animales. La empresa fue creada por la Corporación de Fomento de la Producción (CORFO) en 1953. En la actualidad (1996) cuenta con más de 2.300 trabajadores, cinco plantas azucareras, una planta productora de alcohol, dos plantas de jugo de frutas, dos fábricas de derivados del tomate, tres plantas de alimentos para bobinos, dos plantas de alimentos para peces, una planta de alimentos para mascotas, tres plantas procesadoras de fertilizantes y una planta elaboradora de pastas de tomate en Perú. Los negocios antes mencionados son llevados por las cuatro empresas especializadas que componen el holding IANSA, estas son Iansa Azúcar, Iansafrut, Biomaster y Iansagro. IANSA fue privatizada durante la época del régimen militar y acualmente es controlada por el grupo Pathfinder a través de su propiedad de un 36% de Sociedad de Inversiones Campos Chilenos, la cual a su vez es dueña de un 46% de empresas IANSA. Entre 1992 y 1994 con la llegada de este grupo a la propiedad de la empresa se dio inicio a una nueva estrategia de organización de la Compañía en base a las áreas de negocios antes mencionadas, realizándose las siguientes inversiones: – Ampliación y automatización de las plantas azucareras. – Tres plantas procesadoras de fertilizantes. – Apertura de nuevas oficinas comerciales y centros de distribución – Adquisición del 20% de la propiedad de Anagra. – Expansión de la planta procesadora de tomate de Talca. – Nueva planta elaboradora de tomate en Curicó. – Línea de tomate cubeteado aséptico en Talca. – Planta de jugos de fruta en Temuco. – Planta de alimentos extruído para peces y mascotas en Rapaco. – Planta de alimentos para bobinos en Los Angeles. – Adquisición de la licencia para producir y vender alimentos para mascotas marca Doko en Chile, Argentina y Perú, así como la opción de ampliar esta licencia a toda Latinoamérica. – Adquisición de los activos y la marca Suralim, orientada al mercado de alimentos para bovinos. Asimismo durante este período la Compañía disminuyó en forma importante su nivel de endeudamiento gracias a sus mejores resultados operacionales y a un cambio en su política de dividendos (disminuyendo de 85% a 50%). Lo anterior junto con una reestructuración de pasivos (deuda) con bancos e instituciones financieras desde el corto al largo plazo, se tradujo en una mejor liquidez de la Compañía. La razón deuda/activos bajó de 52% en 1992 a 27% en 1994. Durante 1995, Empresas IANSA inició la internacionalización de sus operaciones constituyendo la sociedad Iansa Perú S.A., la cual inició a fines de dicho año la producción de pasta de tomates en ese país. Del análisis de los estados financieros de la empresa se desprende que la gran expansión de la escala de operaciones ha sido financiada principalmente con capital social y reservas, ambas partidas suman casi el 60% de las fuentes de recursos. La capacidad de Iansa para generar utilidades ha mejorado sensiblemente. Tanto la productividad como la rotación de activos han mejorado y las ventas crecen en forma sostenida. Los dos puntos anteriores llevan a pensar en la posibilidad de autofinanciamiento para futuras inversiones que complementen el proceso de internacionalización de la empresa. En este contexto, se les pide analizar la siguiente idea de proyecto de inversión para las Empresas IANSA: Las autoridades de Macondolandia, un país latinoamericano en pleno apogeo de la fiebre privatizadora, han llamado a presentar propuestas para adjudicarse el 100% del capital accionario de una empresa estatal, productora de azúcar, con capacidad para abastecer el mercado local. Los datos relevantes para la evaluación y presentación de la propuesta son los siguientes: 1. Valor Mínimo de la empresa (fijado por la autoridad): 20.000 Unidades Monetarias (UM) del país en cuestión.
2. Subsidio de 25% del valor de la inversión (entregable al final del primer año) para las propuestas que se comprometan a fijar un precio de 0,5 UM por cada unidad vendida en el mercado doméstico (precio 10% inferior al precio internacional del saco). 3. Pronósticos de demanda interna: AÑO 1 2 3 y después UNIDADES 130.000 175.000 200.000 4. Costos fijos de producción de UM 2000/año 5. Costos variables de producción de 0,4 UM/unidad. 6. Gastos generales se estiman en: AÑO 1 2 GASTO UM 3.000 UM 4.000 3 y posteriores UM 5.000 7. Gastos de comercialización: 1.000 UM/ año. 8. IANSA actualmente exporta Azúcar a Macondolandia (que no tiene capacidad para autoabastecerse), las cifras de incremento de ventas para la empresa en privatización suponen que dicha empresa capta todo el aumento de la demanda interna. Esto implica que las estimaciones de exportaciones de IANSA a Macondolandia se ven afectadas por las siguientes disminuciones (efecto canibalización): AÑO 1 2 3 y después DISMINUCION DE UTILIDADES UM 3.500 UM 4.500 UM 5.000 9. La depreciación anual es del 20%, el valor de la inversión a considerar para la depreciación es el neto de subsidios. 10. Impuesto a las utilidades de las empresas del 30%. 11. La deuda actual de la empresa a comprar es cero. Dadas las políticas de autofinanciamiento de IANSA puede considerarse como aproximación que los futuros gastos financieros serán despreciables respecto al flujo de caja de la nueva empresa. 12. IANSA desea evaluar la conveniencia de la inversión en un horizonte no superior a 6 años. Dada cierta inestabilidad política de Macondolandia, pareciera conveniente evaluar la alternativa de operar cinco años y vender los activos de la empresa (a valor libro del año 5) durante el año 6. Se le solicita a Ud.: a) Construir los flujos de caja de la inversión. b) Calcular el VPN después de impuestos de esta inversión, asumiendo tasas de descuento de 10% y de 20%. Calcule también la TIR. b) Aconseje a IANSA respecto a la conveniencia o no de invertir bajo las condiciones que establece el gobierno de Macondolandia. c) ¿Resulta conveniente postular al subsidio o es mejor renunciar a este a cambio de vender al precio internacional de mercado?. d) ¿Conviene endeudarse en un 50% de la inversión, si la tasa de interés es del 10%.
I.- Anexo : EJERCICIOS RESUELTOS y PROPUESTOS MATEMATICAS FINANCIERAS (CAPÍTULO 2)
2.1- Si la tasa de Interés de mercado es del 10% anual. Calcule: a) El valor de $115 en el año 1 b) El valor actual de $180 que se recibirán en el año 1 c) El valor de la riqueza actual de un individuo que tiene hoy un ingreso de $1.000 y de $1.500 En el próximo periodo.
Respuesta a) 115*(1+0.1) = 126.5 b)180/(1.01) = 163.64 c) 1.000 + (1500/1.1) = 2.363,64
2.2- Una empresa está considerando invertir en un proyecto que genera flujos semestrales de US$2.200 por tres años. La inversión inicial es de US$10.000. ¿Cuál es el valor actual neto de Los flujos generados por el proyecto, si la tasa de descuento es de un 8% semestral? ¿Le conviene a la empresa invertir en este proyecto? Si la tasa de descuento es ahora de un 11% semestral, ¿Conviene llevar a cabo el proyecto?
Respuesta
VAN = -Inv. Inicial + VP de los flujos futuros
El valor actual neto con una tasa de descuento del 8%, es de US$170,34, por lo tanto, conviene realizar El proyecto. Con un factor de descuento del 11%, el VAN es de (692,82), por consiguiente, no Es conveniente llevar a cabo el proyecto con esta tasa de descuento 2.3 Una persona solicita un préstamo de $8.000.000 a un interés de un 7%. Desea pagar la deuda en 12 cuotas semestrales, la primera de las cuales abonaría dentro de tres meses. Si los pagos tienen incrementos de $500 cada vez, determine el monto del primer pago.
2.4 Usted desea adquirir un televisor que tiene un valor de $100.000 y que en el comercio se vende con un 20% de pie y cuatro cuotas mensuales de $22.456 cada una. Usted tiene $20.000 disponibles y su ejecutivo bancario le ofrece la posibilidad de pedir un préstamo a un interés de un 5% mensual. Decida que hará.
2.5 Su Tío, un agricultor del Valle del Lauca, sabiendo de sus conocimientos en finanzas e ingeniería económica, le solicita que lo ayude a tomar una importante decisión. El banco de la esquina le ofrece dos alternativas de préstamos para financiar un nuevo un programa de riego: a) El préstamo tipo A, en pesos chilenos, sin reajuste de ningún tipo y a un interés del 25% anual capitalizando intereses trimestralmente. b) El préstamo tipo B, en U.F. (unidades de fomento) con un interés del 9% anual capitalizado anualmente.
La amortización de los préstamos se realiza en los mismos períodos y de acuerdo con lo que le indica su Tío, no son relevantes para la decisión. ¿Qué le aconseja a su Tío?
2.6 Usted está considerando dos oportunidades de inversión, A y B. Se espera que A pague 300 dólares al año durante los 10 primeros años y 700 dólares al año durante los 15 años siguientes (y nada después de esta fecha). Se espera que B sólo pague 1.000 dólares al año durante 10 años y nada después de esta fecha. Otras inversiones de riesgo similar al de A y B otorgan una rentabilidad de un 8% y 14% anual respectivamente para los 10 primeros años y de ahí en adelante un 10% anual. Encuentre el valor esperado presente de cada inversión.
EJERCICIOS RESUELTOS y PROPUESTOS VALORACIÓN DE EMPRESAS – PROYECTOS
4.1 En este problema se presenta un cambio de maquinaria para lo cual se solicita a usted la evaluación económica del proyecto. Se analiza un cambio de maquinaria, la implementación permite un ahorro de costos de 2.000 UF al año. El precio de mercado de la nueva máquina es de 5.000 UF, valor que puede ser depreciado en 5 años sin valor residual. Respecto al financiamiento, la empresa puede negociar un contrato de leasing con una empresa arrendadora. El valor de contrato de leasing ascendería a un 95% del valor de mercado actual de la máquina. El contrato estipula el pago anticipado de una cuota de arriendo por 1.120 UF y 4 cuotas adicionales cada una por este monto al final de los siguientes años. Con el pago de la última cuota se ejercería la opción de compra. Por otra parte, los préstamos de largo plazo con garantía prendaria se encuentran a 12% + UF anual. Si la empresa tiene un costo promedio ponderado de capital del 25% real anual y la tasa de impuestos sobre sus utilidades asciende a un 15%. Se pideevaluar económicamente el proyecto
Solución Ahorro de costos – – 1 2.000 2 2.000 3 2.000 4 2.000 5 2.000 Depreciación – – 1.000 – 1.000 – 1.000 – 1.000 – 1.000 Utilidad Bruta – 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Impto – – 150 – 150 – 150 – 150 – 150 Ut después de impto. – 850 850 850 850 850 Inversión – 5.000 Depreciación
Flujo de Caja
Valores Actuales –
– 5.000
1 5.000 1.000
1.850
1 1.480 1.000
1.850
2 1.184 1.000
1.850
2 947 1.000
1.850
2 758 1.000
1.850
3 606 Van = -25 Negativo, no conviene realizar el proyecto
4.2 En este ejercicio se presentan dos proyectos alternativos y se solicita a usted elegir cual de los dos proyectos se debe efectuar a una tasa de descuento dada y cual es la tasa a la que ambos proyectos son indiferentes. Se tienen dos proyectos excluyentes. Años Proyecto A 0 $20.000 1 $10.000 2 $5.000 3 $4.000 4 $6.000 5 $5.000 Proyecto $20.000 $2.000 $8.000 $7.000 $8.000 $9.000 B
a) ¿ Qué proyecto conviene a una tasa de descuento de 12%? b) ¿ A qué tasa se está indiferente entre ambos proyectos?
Solución
a) Calculemos los respectivos VAN -20.000 8.929 3.986 2.847 3.813 2.837 22.412 VAN Proyecto 1 = $2.412 -20.000 1.786 6.378 4.982 5.084 5.107 23.337 VAN Proyecto 2 = $3.337 El proyecto que conviene realizar es el Proyecto B.
b) Debemos actualizar las diferencias de flujos y luego calcular la TIR, que representa ahora la tasa de "indiferencia" Difer. $0 $8.000 $3.000 $3.000 $2.000 $4.000 Flujos Tasa de equilibrio 17,86% (Van = 0)
4.3.- A continuación se muestran los rendimientos al vencimiento y las tasas implícitas a plazo de bonos que se espera tengan el mismo riesgo de dos proyectos que una empresa está considerando invertir. Año Rendimiento al Tasa a Flujo efectivo Flujo efectivo 0 1 2 3 Vencimiento (%)
0,2 0,17 0,15 plazo
0,2 0,1408 0,111 Proyecto 1 -1000 587 265 200 Proyecto 2 -1000 400 352 270 a) Si se utiliza como tasa de descuento para estos proyectos el rendimiento al vencimiento de los bonos a tres años, ¿cuál es el VAN de cada proyecto? b) Si ahora se utiliza la tasa a plazo como tasa de descuento, ¿cuál será el VAN de cada proyecto? c) ¿Cuál de los dos procedimientos es el correcto?
4.4 Un empresario se ve ante las siguientes alternativas de inversión, que son excluyentes, no repetibles ni duplicables: Además: ? Rentabilidad alternativa del capital propio 10% anual, tax de un 50%, la inversión no tiene valor comercial al final de su vida útil. La inversión en su totalidad se deprecia linealmente en su vida útil.
Utilidad U(x) ? El empresario dispone de $ 500.000. de capital propio pudiendo conseguir el resto a la tasa de descuento pertinente si se trata de la alternativa A, o bien a un interés de un 5% anual concedido por el fabricante en el caso de la alternativa B. ? El crédito del fabricante se cancela en amortizaciones iguales, en tanto que el crédito del fabricante se amortiza al final de la vida útil del proyecto. ¿Qué alternativa le recomienda al empresario?. Determine el rendimiento de cada inversión y la rentabilidad de los fondos propios en cada caso.
EJERCICIOS RESUELTOS RIESGO E INCERTIDUMBRE (análisis individual)
5.1.- Defina y explique con ejemplos el método del equivalente cierto. Es un método indirecto de ajuste de flujos de caja por riesgo. Basado en la suposición de la existencia de una función de utilidad para cada inversionista, consiste en trasformar los flujos de caja esperados que entrega el proyecto, que incorporan el factor riesgo a través de su distribución probabilística, en flujos libres de riesgo, que entregan igual nivel de utilidad para el inversionista en cuestión.
Para un mejor entendimiento de la situación se tiene el siguiente ejemplo: – Se tiene un proyecto que entrega un ingreso de 1 con una probabilidad de 0,5 y 2,8 con Co mo se ha plan tead o, se deb e encontrar el valor del ingreso libre de riesgo que entregue el mismo nivel de utilidad que el ingreso esperado (que posee un cierto riesgo asociado). Por lo tanto, sólo se debe proyectar el valor de U(x) en el eje X tal que U(x) = E. Esta condición se ha graficado en la figura Nº2.
Cabe consignar finalmente dos ideas relevantes; primero que nada, que dado que el ingreso equivalente cierto ya ha sido ajustado por riesgo, cualquier descuento para transformarlo en VP, debe sólo considerar un interés libre de riesgo (risless interest rate). Segundo, queda claro que este equivalente cierto es inversamente proporcional al riesgo asociado al proyecto, y por lo tanto, mientras mayor sea este, menor será el ingreso libre de riesgo exigido por el inversionista. probabilidad también de 0,5, por lo que el ingreso esperado asciende a 1,9. El inversionista a evaluar posee una función de utilidad f(x). Así, la situación caracterizada se puede apreciar en la siguiente figura.
Función de Utilidad 0 1 2 4 5 6 3 Ingreso f(x) Inversión Propuesta Ingreso Esperado E
Utilidad U(x) Activo B:
E(VAN) = $3.945.000 Desviación estándar del VAN = $2.530.000 Inversión inicial = $2.500.000
Activo C:
Si la tasa libre de riesgo es de un 10% anual, ¿qué inversión escogerá el gerente de proyectos si es preferente, indiferente o adverso al riesgo?. Justifique su respuesta.
RESPUESTA:
E: valor esperado DS: desviación estándar CV: coef. de variabilidad
Activo A: Inv. = 6.000.000 Función de Utilidad 0 1 2 3 4 5 6 Ingreso
5.2 Una empresa de área inmobiliaria debe adquirir cierto activo fijo y posee tres alternativas excluyentes (para cada una de ellas asuma flujos independientes)
Activo A: f(x) Inversión Propuesta Ingreso Esperado Equivalente Cierto
E(F1) E(F2) E(F3) = 5.375.000 = 4.750.000 = -300.000 E(Van) = 2.586.589, se espera conveniencia DS(0) = 0 DS(1) = 2.265.364 DS(2) = 1.250.000 DS(3) = 3.100.000 DS (Van) = 3.276.129 CV = 1,26 Activo B: CV = 0,64 Activo C: E(inv.) = 9.500.000 E(F1) E(F2) E(F3) = 4.800.000 = 5.300.000 = 7.800.000 E(Van) = 5.104.057, se espera conveniencia DS(0) = 0 DS(1) = 2.250.000 DS(2) = 2.800.000 DS(3) = 3.430.000 DS(Van) = 4.022.398 CV = 0,78 Si es preferente al riesgo opto por el activo A (mayor CV), si es adverso opto por el activo B (menor CV) y si es indiferente opto por el activo C (mayor E(Van)).
5.3 Considere las siguientes inversiones y sus probabilidades asociadas: Inversión A VAN Probabilidad Inversión B VAN Probabilidad 500 1000 1500 0.125 0.75 0.125 800 1000 1200 0.125 0.75 0.125 a) Calcule el valor esperado del VAN de cada inversión. b) Calcule la varianza para cada c) Cual de las dos inversiones escogería. Justifique su respuesta.
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