El concepto de ángulo construido a partir del arte abstracto (página 3)

• ¿Puedes identificarlos en el cuadro? ¿Qué partes tienen un ángulo?

• ¿Ves diferentes tipos de ángulos? ¿Cuáles? ¿Puedes enumerarlos? ¿Puedes explicar o definir con tus palabras cada uno de ellos?

• ¿Cómo podemos explicar, comprobar o demostrar que un ángulo es de un tipo o de otro, por ejemplo que uno es más grande que otro o más pequeño que otro o iguales?

[Se trata de enfatizar la importancia del rigor matemático, o de la demostración matemática, tanto gráfica como algebraica]

• ¿Conoces el transportador? ¿Para qué sirve esta herramienta o instrumento geométrico? ¿Sabes utilizarlo?

• Ahora intentaremos juntos describir este objeto, el transportador, ¿qué observamos que tiene? ¿si lo comparamos con una regla, qué significado pueden tener estas líneas? ¿en qué unidades se miden los ángulos?

[Se presenta, nuevamente, la pintura de Wassily Kandinsky, para buscar la interpretación personal de los alumnos]

• ¿Qué significado tiene esta imagen?, ¿qué podría ser?

• Coloquémonos en el lugar del pintor. ¿Qué idea o sentimientos crees que quiere transmitir con esta obra?

• ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y colocación de las líneas, la secuencia de las líneas, del fondo?, ¿cuántos planos vemos?, ¿cuál creemos que es el principal y por qué?, etc.

• ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro?, ¿qué título le pondrías?

• 2. Descripción por parte del docente de la obra haciendo referencia a:

• a) Título: In the blue (1925)

• b) Autor: Wassily Kandinsky (1866 – 1944). Rasgos más característicos de su vida y obra

• c) Técnica utilizada.

• 3. Motivación para investigar de forma individual sobre:

• Características más importantes de la vida y obra de este pintor, centrándonos más en la relación con las matemáticas (Geometría).

• Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a estudiar este tema: ángulos, tipo de ángulos, etc.

7. Actividad de definición de ángulo

Objetivos

Con esta actividad se persigue los siguientes objetivos:

• Construir progresivamente los siguientes conceptos: ángulo, elementos del ángulo y tipos de ángulos.

• Desarrollar los procesos de pensamiento del estudiante desde la observación hasta el análisis a través de la construcción del concepto de ángulo.

• Formar al estudiante en el respeto por su trabajo y por el trabajo de los demás valorando cada una de las construcciones individuales y colectivas.

Materiales

• Transparencias, rotuladores permanentes (o cartulina y marcadores), fotocopias actividad anterior; material de consulta: libros de texto de matemática de primaria, diccionarios, posibilidad de asistir a la sala de Internet, etc. Esto para los alumnos.

• Para el docente: retroproyector, transparencia de la figura utilizada o en su defecto, fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Kandinsky.

Metodología

Trabajo individual, en pequeño grupo y en gran grupo.

Secuenciación y tiempo

Esta actividad de definición requiere de cuatro sesiones de una hora. En la primera sesión se realiza la primera fase de definición, en la segunda sesión la segunda fase de definición, en la tercera sesión la tercera fase de definición y en la cuarta sesión los alumnos exponen los mapas y entre todos se construye el mapa consensuado por la clase para el concepto de ángulo.

Desarrollo de la actividad

Se inicia la sesión con una actividad que tiene como objetivo para el docente el motivar por una parte y el centrar la atención en lo que se va a realizar (Anexo 6). La actividad hace parte del Programa de Modificabilidad Cognitiva de Reuven Feuerstein.

En la construcción de la definición del concepto de ángulo se tienen en cuenta tres fases, que se encuentran esbozadas en la siguiente tabla:

Fase I. Definición individual

Se considera importante que inicialmente los alumnos de forma individual consignen por escrito sus definiciones previas sobre ángulo porque ayuda a ver los aciertos y los posibles errores o dificultades que tienen con relación a los conceptos a desarrollar. Se han de tener en cuenta en la gestión del proceso de construcción por parte de los estudiantes del concepto de ángulo entre otras cosas, las siguientes:

• 1. Aspectos de la definición [diferenciar términos como: punto, recta, semirrecta, segmento, etc.].

• 2. Las representaciones del concepto [hacer énfasis en las partes: lados, vértice, etc.].

• 3. La necesidad del uso de los símbolos matemáticos [facilitar la diferenciación de los diferentes elementos, por economía al escribir, etc.].

Fase II. Confrontación entre iguales

Esta fase, al igual que la anterior, es importante porque estamos convencidas que, precisamente, en la interacción entre iguales se crea un ambiente propicio para el dialogo, el intercambio de ideas en un contexto de igualdad. La confrontación de ideas y la unificación de criterios que se desprenden en esta fase, ayuda a los estudiantes a aprender del respeto por las ideas del compañero, a la negociación entre posturas y a la verificación, mediación y enriquecimiento de las mismas, mediante el buen uso de la información que les proporcionan otros referentes. En este caso las definiciones de otros libros de texto, el uso de diccionarios, Internet y en general, el manejo de otras fuentes de información.

Otro aspecto a resaltar de esta fase es la motivación por la creatividad que se intenta promover en los estudiantes a la hora de asumir el diseño de páginas que incluyan la definición del concepto de ángulo. Esto permite observar la influencia que tiene el trabajo en pequeños grupos, pues se dan evoluciones en las definiciones que inicialmente dan algunos de los estudiantes.

Fase III. Consenso de la definición

El objetivo que se plantea con esta actividad es consensuar y reconstruir las definiciones propuestas por los alumnos en las fases I y II, teniendo como marco de referencia las visiones estáticas y dinámicas de este concepto, el uso de variedad de representaciones y la importancia del uso de prototipos, ejemplos, no ejemplos y contraejemplos del concepto en la resolución de problemas.

En esta fase se quiere resaltar el papel del docente como orientador del proceso de aprendizaje de los alumnos. La gestión del maestro debe llevar al consenso de los elementos conceptuales relevantes del concepto en cuestión y proporcionarles a los alumnos las herramientas, en este caso el uso de los mapas conceptuales, que les ayuden en la organización de los aspectos teóricos del concepto de ángulo institucionalizados en clase, atendiendo a sus contextos de uso dinámico y estático.

Para la construcción de los mapas conceptuales, se sugiere a los alumnos los siguientes pasos:

• 1. Escribir un listado de palabras claves que consideran más importantes del tema objeto de estudio.

• 2. Tratar de organizar las palabras anteriores en jerarquías, y escribirlas en la hoja de papel donde desarrollaran el mapa conceptual definitivo.

• 3. Conectar los pares de conceptos y relacionarlos mediante conectores o palabras enlace, enfatizando que también podían utilizar palabras, por ejemplo verbos, que hagan sencilla la comprensión del mapa.

Dado que en esta tercera fase, el objetivo que se persigue es remarcar sobre los elementos conceptuales que se quiere que los alumnos construyan del concepto de ángulo, esta actividad resulta rica y provechosa, en el sentido que el intercambio en grupo grande sobre los diferentes mapas de los alumnos y la gestión del docente pueden ayudar a que los alumnos incorporen en sus esquemas conceptuales aspectos de la definición del concepto que no han quedado suficientemente claros.

Después de la presentación y justificación de los mapas conceptuales de los alumnos el docente construye con los aportes de los alumnos el mapa conceptual consensuado por toda la clase del concepto en cuestión. Es importante que se intente que el mapa conceptual sea lo más rico posible.

8. Actividad de construcción de producciones artísticas

Objetivo

Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexión sobre la importancia que tiene, en la construcción de una producción artística, que relacione arte y Geometría, la justificación de los siguientes aspectos:

• 1. El uso práctico de los contenidos geométricos en la construcción de una producción artística.

• 2. Los procedimientos (geométricos y/o algebraicos) utilizados en la construcción de los objetos geométricos (ángulo, triángulo, etc.) que conforman la producción artística.

• 3. Las diferentes técnicas artísticas y materiales que utilizan en la construcción de la producción artística.

• 4. Título del cuadro, nombre del autor, y la descripción de los sentimientos que quiere transmitir con su producción artística.

Materiales

Cualquier tipo de material y técnica plástica es aceptado. Los alumnos deben escogerla y justificar su elección.

Metodología

Producción individual, descripción y justificación, gran grupo.

Secuenciación y tiempo

Esta actividad de construcción de producciones artísticas requiere de seis o siete sesiones de una hora. En la primera sesión se trata el manejo de los diferentes tipos de transportadores, en la segunda sesión se introduce la operación con ángulos complementarios, en la tercera sesión se introduce la operación con ángulos suplementarios y las tres últimas sesiones se dedican a la resolución de problemas y a la exposición y justificación de las producciones artísticas realizadas por los niños y niñas.

Desarrollo de la actividad

En esta actividad inicialmente se hace una introducción de las unidades de medida de ángulos, teniendo como referencia el sistema Sexagesimal. Se sugiere, en este nivel de escolaridad, centrarse en la medición de ángulos utilizando como unidad básica el grado. Es necesario matizar que el instrumento que permite medir ángulos en este sistema es el transportador. Igualmente se tiene que hacer énfasis de la variedad de modelos que hay en el mercado de transportadores y, por tanto, de las diferencias que hay en el uso de los mismos. De allí que se sugiere que esta actividad inicie con un reconocimiento del transportador que utilizará cada alumno.

Posteriormente se propone la resolución de una serie de problemas en los que se tratan los siguientes aspectos:

• 1. El pensamiento conjetural, con el propósito de que los estudiantes usen las definiciones de los diferentes tipo de ángulo en la medición aproximada de diferentes ángulos representados gráficamente, como en la siguiente actividad:

Clasifica los siguientes ángulos y con la ayuda del transportador verifica la medida de cada uno de ellos.

• 2. Introducir el procedimiento geométrico, que consiste en la utilización del transportador como instrumento que permite una medición "exacta" de ángulos a partir de su representación gráfica.

• Referencia los anteriores ángulos en la siguiente tabla, nómbralos y llena el siguiente cuadro:

• 3. Construcción y reproducción gráfica de ángulos mediante procedimientos geométricos a partir de su representación algebraica o numérica.

• ¿Puedes utilizar algún objeto de la clase o de casa, que tenga que hacer algún tipo de giro para funcionar, para explicar cada uno de los tipos de ángulos? Intenta hacer la representación de la situación, especificando el tipo de ángulo al que haces referencia.

4. En la pintura In the blue, de Wassily Kandinsky, encuentra las diferentes clases de ángulos que se han trabajado hasta ahora, indicando donde se encuentran, el nombre del tipo al que pertenece y la medida del ángulo. Anota estos datos en la fotocopia que tienes de la pintura y compárala con las de tus compañeros para que ubiques si hay algún error o si te faltó alguno.

Evaluación

Dado que las aportaciones curriculares que se proveen en el contexto escolar pueden ser de distinta naturaleza (declarativos, procedimentales y actitudinales), la evaluación de sus aprendizajes exige procedimientos y técnicas diferenciadas.

Mientras que algunas técnicas evaluativos son válidas para todos los tipos de contenidos (por ejemplo, la observación, la exploración), otras suelen tener un uso restringido para ciertos tipos de contenidos. Lo relevante aquí es que todas las evaluaciones de los aprendizajes del contenido tiendan a apreciar el grado de significatividad y la atribución del sentido logrados por los alumnos.

La evaluación es considerada formativa, continua e integral. Lo anterior implica centrarnos en la evolución de los aprendizajes de los estudiantes más que en los aprendizajes puntuales o finales. Además, la evaluación es un proceso en la cual los alumnos tendrían que participar activamente. Por tanto, se describen brevemente las estrategias y tipos de evaluación que se implementan durante el desarrollo de esta parte de la unidad:

• Auto-evaluación: revisión continua de las actividades, revisión y mejora continua de sus producciones artísticas.

• Entre iguales (co-evaluación): valoración de las producciones del compañero, intercambio de material para corregir errores, debate y argumentación de ideas, etc.

• Negociación de los criterios de evaluación y de los aspectos y problemas a evaluar: los alumnos participan en la construcción de problemas, preguntas abiertas y las correspondientes respuestas, que después serán tenidas en cuenta en la evaluación final o de síntesis (que es una más en el proceso).

• Hetero-evaluación: considerada no estática, ni acabada; los alumnos tienen la oportunidad de revisar, mejorar y proponer alternativas de solución que reflejen los progresos que se van alcanzando.

EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE CONTENIDOS

Los contenidos de aprendizaje requieren de distintas estrategias e instrumentos de evaluación a continuación se plantearán algunas de las estrategias que se utilizan en cada uno de los tipos de evaluación propuestos.

Evaluación del aprendizaje de contenidos declarativos

Evaluar la comprensión o asimilación significativa es mucho más difícil que el simple recuerdo de datos o hechos. La evaluación de los conceptos puede basarse en varios tipos de estrategias:

• Solicitar la definición intensiva de un concepto o principio, partiendo de las características y no de la definición de los libros, buscando ejemplos, añadiendo explicaciones, etc.

• Reconocer el significado de un concepto entre varios posibles.

• Trabajar con ejemplos. Solicitar que se propongan ejemplos ilustrativos, positivos o los categorice por su tipicidad.

• Relacionar los conceptos con otros de mayor o menor complejidad (clasificación, organización, jerarquización) por medio de recursos gráficos (mapas conceptuales, diagramas).

• Emplear la exposición temática.

• Aplicar los conceptos a tareas de solución de problemas.

Para la evaluación del aprendizaje de contenidos declarativos, lo que se requiere es seguir una aproximación cualitativa, porque se trabaja esencialmente sobre cómo interpreta el concepto, o cómo se usa en explicaciones y aplicaciones. La asimilación de un concepto o principio no está sujeto a la ley del "todo o nada" como en el caso de un hecho o dato; esto es una cuestión de grado, por lo que hay que tener definidos claramente los criterios que permitan la valoración cualitativa, los cuales diferirán en función de lo que queramos enfatizar en su aprendizaje o evaluación.

Evaluación del aprendizaje de contenidos procedimentales

Los procedimientos no deben evaluarse como acontecimientos memorísticos. La evaluación que solicite que los alumnos "reciten" los pasos de un determinado procedimiento están valorando una parte muy limitada del mismo.

Debe evaluarse la significatividad de los aprendizajes. Dos cuestiones esenciales en este sentido, sobre todo para el caso de procedimientos no esencialmente algorítmicos, la funcionalidad y la flexibilidad.

Para lograr una valoración integral de los procedimientos, pueden contemplarse las siguientes dimensiones:

• La adquisición de la información sobre el procedimiento.

• Evaluación indirecta por observación.

• Solicitar a los alumnos directamente que nombren los pasos del procedimiento.

• Solicitar a los alumnos directamente que se refieran a las reglas que rigen el procedimiento o a las condiciones principales que hay que atender para su ejecución

• Solicitar que los alumnos expliquen a otros el procedimiento.

• El uso o conocimiento y el grado de comprensión de los pasos involucrados en el procedimiento.

• La composición y organización de las operaciones que forman el procedimiento.

• El grado de automaticidad de la ejecución.

• Saber hacer un uso generalizado o discriminado del procedimiento.

• El sentido otorgado al procedimiento.

• Observación y seguimiento directo de la ejecución del procedimiento.

• Observación y análisis de los productos logrados gracias a la aplicación de los procedimientos.

Evaluación del aprendizaje de contenidos actitudinales

Se sabe que la evaluación de las actitudes y los valores es menos común que la de los contenidos declarativos y procedimentales. Una razón de ello radica en la gran complejidad que tiene la evaluación de este tipo de contenidos curriculares.

En la medida en que la evaluación de las actitudes y los valores se haga una práctica común dentro de las aulas, los mismos alumnos comenzaran a reconocer que este tipo de contenidos son tan relevantes o más que los otros en los escenarios escolares y, al mismo tiempo, se percataran de que ellos también se encuentran realizando una serie de aprendizajes actitudinales y valorativos cruciales para su proceso de desarrollo personal y social.

Bolívar (1995) ha propuesto una clasificación de técnicas e instrumentos para la evaluación de este tipo de contenidos, que aquí simplemente se enunciaran, a saber:

• Uso de la observación directa.

• Registro anecdótico.

• Rúbricas, listas de control, escalas de observación.

• Diarios de clase.

• Triangulación (con otros profesores).

• Cuestionarios e instrumentos de autoinforme

• Escalas de actitudes.

• Escalas de valores.

• El análisis del discurso y la solución de problemas.

• Entrevistas

• Intercambios orales incidentales, debates en clase, etc.

• Solicitud de redacciones sobre temas elegidos.

• Técnica del role playing.

• Tareas de clasificación de valores.

• Resolución de dilemas morales.

• Contar historias vividas.

Dada la complejidad de la evaluación de las actitudes y los valores, es altamente recomendable que se apliquen varias técnicas de manera simultánea, lo cual puede exigir un alto costo en tiempo y preparación. Realizar la evaluación entre la "intuición y la instrumentación" ayuda a solventar un poco el problema mencionado.

Conclusiones y recomendaciones

La aplicación de la unidad didáctica conlleva una profunda reflexión acerca de los objetivos de la educación, reflexión que deje a un lado la simple instrucción y centre su labor en la formación integral del ser. Este es uno de los objetivos de la unidad y por lo tanto el no pensarlo de esta manera llevará a una no aplicación o a una aplicación alejada del espíritu en que fue construida.

El docente debe tomar esta unidad didáctica como un modelo sobre el cual trabajar, es decir, que partiendo del mismo recurso (un cuadro), cada docente debe rediseñar y crear su propia unidad.

Se pueden encontrar dificultades al intentar aplicar esta unidad didáctica en el aula. Estas dificultades pueden estar centradas en los materiales con que se cuenta en la implementación inicial, la distribución del tiempo dedicado a la geometría en el calendario escolar y la cantidad de alumnos por aula. Sin embrago la metodología de trabajo en grupos cooperativos, la utilización de recursos más sencillos y asequibles (cartulina, papel periódico, colores, marcadores y fotocopias ampliadas de las pinturas) y la convicción de que la geometría es un contenido curricular primordial que se debe rescatar en el trabajo en el aula de matemáticas, pueden convertirse en herramientas poderosas que motiven y ayuden a los profesores a llevar al aula esta propuesta como mediador del aprendizaje significativo en los alumnos.

Hay algunos aspectos claves a tener en cuenta en la aplicación de la unidad y que se deben resaltar:

El contexto, la situación creada permite que los contenidos matemáticos vayan más allá del aprendizaje de los mismos, se debe tener esto en cuenta para evitar que se diluya el objetivo propuesto. El docente debe tener claro el objetivo de la unidad desde su integralidad para poder graduar la movilidad por los diferentes aspectos tratados.

Contenidos geométricos, hay que buscar la relación de los términos geométricos que se están trabajando con la realidad tridimensional que se vive. Esto permite una comprensión de la aplicabilidad de estos contenidos y permitirá un avance en la significatividad que el estudiante le pueda dar a lo trabajado.

Interdisciplinariedad, buscar el enfoque globalizador de la situación y ser conciente que en este tipo de situaciones didácticas es posible que los alumnos puedan aprender simultáneamente distintos pensamientos del área de matemáticas y distintos aspectos de diferentes áreas. Esto permite que, aunque el tiempo de la aplicación sea largo, se avance en otros contenidos, por lo cual en realidad se avanza de mejor manera que trabajando por temas.

Metodología, se deben alternar actividades de conversación y dialogo con actividades que requieran que los niños estén activos físicamente, además de mentalmente (estampar, expresarse corporalmente, recortar, agrupar y clasificar, crear una producción plástica propia, etc.), no se debe perder la objetividad, se debe comprender que los alumnos que se tienen aún son niños y que su cuerpo pide movilidad a todo momento, por lo que la educación debe intentar también educar esta parte sin que la quietud absoluta sea la esencia de la actividad del aula.

Actitudes hacia las matemáticas, relacionar una materia que tradicionalmente se le ha considerado árida, y que en la aplicación la mayoría de veces lo es, abstracta y formal con estados emocionales agradables, emotivos y estéticos.

Para el trabajo con la diversidad es importante que el trabajo colaborativo y en equipos tenga como base la conformación de equipos heterogéneos, donde los estudiantes puedan encontrar diferentes niveles en cada una de las dimensiones de manera que se permitan aprendizajes en cada una de ellas producto de los avances individuales, los conflictos cognitivos, la visión de otras habilidades y el modelamiento de actitudes positivas.

Bibliografía

COUSO, Digna. BADILLO, Edelmira. PERAFAN E., Gerardo Andrés. ADURIZ-BRAVO, Agustín. Unidades Didácticas en Ciencias y Matemáticas. Cooperativa Editorial Magisterio. Bogotá., 2005.

DIAZ-BARRIGA ARCEO, Frida. HERNÁNDEZ ROJAS, Gerardo. Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Una interpretación constructivista. Editorial McGraw-Hill. México, 2002.

CATSIGERAS, Eleonora. Las Cartas Matemáticas (artículo de Internet). (Consulta: 23 de junio de 2007). Disponible en: www.fing.edu.uy/~eleonora/dvi/CARTAS_MATEMATICAS6.doc

FEUERSTEIN, Reuven. Fichas Modificabilidad Estructural Cognitiva. Procesos de Pensamiento. Documentos de clase.

PRIMERA, Eugenia. La Historia de Cerito (artículo de Internet). (Consulta: 15 de julio de 2007). Disponible en: http://profesoraeugenia.blogspot.com/2006/06/mi-primer-cuento-infantil.html

Anexos

ANEXO 1

Categoría: Progresiones Numéricas

Problema: Seriación

Actividad: Continúa el ejercicio según el modelo

ANEXO 2

Categoría: Análisis Perceptual

Problema: Completación de figuras

Actividad: Completa la figura igual al modelo.

ANEXO 3

Categoria: Compraraciones

Problema: Reconocimiento de similitudes.

Actividad: Señalar con un color las figuras iguales al modelo.

ANEXO 4

Categoría: Análisis Perceptual.

Problema: Completación de figuras.

Actividad: Completa la figura igual al modelo.

ANEXO 5

Categoría: Orientación espacial.

Problema: Organización de puntos.

Actividad: Con lápices de colores une los puntos para formar las figuras modelo.

ANEXO 6

Categoría: Orientación espacial.

Problema: Organización de puntos.

Actividad: Con lápices de colores une los puntos para formar las figuras modelo.

Autor:

Jorge Eliecer Villarreal Fernández