El concepto matemático de la Intratabilidad ha sido refinado recientemente, existiendo grados extremos de esta propiedad y niveles más o menos mitigados; y es precisamente con el estudio de este concepto que la rama de la Informática, la Inteligencia Artificial (7), ha deslindado el problema de la capacidad y limitaciones presentes y futuras de las computadoras electrónicas, y por lo tanto, hoy se conocen mejor las estrategias de cálculo de un cerebro electrónico y sus diferentes grados de eficiencia.
Pero ya que hemos concluido que problemas como el anterior sobre el máximo número de partidas de Ajedrez distintas unas de otras, es de imposible realización por nosotros, los humildes mortales, ya sea por limitaciones físicas o temporales; ahora cabría preguntar a los teóricos de la IA: ¿jugarán las computadoras electrónicas todas esas posibles partidas de Ajedrez? La respuesta a esta interrogante nos la proporciona el profesor William R. Ashby: "El número de variantes es el ajedrez es tal, que ni el cerebro, ni la computadora electrónica jamás (esto es, es imposible R. F.) Podrán agotar todas las variantes en el lapso de tiempo conmensurable no sólo con la duración de la vida humana, sino ni siquiera con el de la existencia de la humanidad. Más aún, para idear una máquina capaz de resolver este problema a un plazo admisible hará falta toda la substancia de muchos sistemas solares".
Y si los problemas antes mencionados se suscitan en el Ajedrez Bidimensional de 64 casillas, ¡que complicaciones inimaginables no surgirán en el análisis del ajedrez tridimensional! En este tipo de ajedrez, los escaques se representan por celdillas de forma cúbica y el juego se desarrolla comúnmente en un cubo de 5 x 5 x 5, con 125 celdillas: se designan respectivamente por A, B, C, D y E una base y las cuatro caras del cubo, de modo que una torre situada en Aa1 pueda trasladarse no sólo a Aa5 y Ae1, si no también subir como un ascensor a Ba1, Ca1, Da1, y Ea1(13).
En este caso, el mayor número posible de movimientos que pueda ejecutar cada pieza se deduce de las siguientes fórmulas:
R = 2 (n – 1) (13n2 – 14n – 4)
D = n2 (n – 1) (9n – 4)
T = 3n2 (n – 1)
A = 2n2 (n – 1) (2n – 1)
C = 24n (n – 1) (n – 2) y
P = 2n2 (n – 1)2
H. Stempel y J. Mortensen, independientemente uno del otro, han hallado fórmulas para calcular el máximo número de movimientos que cada pieza puede ejecutar en el Ajedrez de cuatro y cinco dimensiones, más tales fórmulas por su nivel de complejidad, no las tenemos aquí; actualmente existen grupos de investigadores matemáticos que están tratando de hallar las fórmulas generales que den el máximo número de movimientos en un Ajedrez enedimensional y que contengan las fórmulas anteriores como casos particulares.
Algunos lectores verán con escepticismo los planteamientos expuestos en los párrafos de más arriba, pues no concebirán que las computadoras, capaces de almacenar y procesar a altísimas velocidades, literalmente, miles de millones de instrucciones en el cortísimo instante de abrir y cerrar los ojos, posean limitaciones efectivas de sus circuitos lógicos; pues bien, como los lectores sabrán, toda computadora trabaja a base de algoritmos, siendo un algoritmo el conjunto determinado de instrucciones que puede ser mecánicamente aplicado a la solución de un caso particular de un problema tipo; y estos les son indispensables, pues la computadora necesita indicaciones explícitas y no ambiguas que determinen, etapa por etapa y paso a paso, la secuencia entera de sus operaciones.
El concepto de algoritmo fue presentado en forma muy precisa por el matemático británico Alan M. Turing (1912-1954), quien postuló que para cada algoritmo podía concebirse una máquina capaz de procesarlo; propuso en el 1937, también, la determinación de la Máquina de Cálculo Abstracta (Máquina de Turing) con cuyos recursos podía efectuarse, en principio, cualquier proceso de cálculo o cualquier proceso lógico a tenor de una prescripción rigurosa.
La teoría de programación mide la eficiencia de los algoritmos en función del aumento del tiempo de procesamiento a medida que aumenta el flujo de información a procesar. Específicamente en los problemas ajedrecísticos, la cantidad de datos a analizar crece exponencialmente con respecto a las posiciones en juego. Así vemos como tan sólo existen:
169 518 829 100 544 000 000 000 000 000 ≈ 1.695 x 1029
Posiciones diferentes (variantes) de las primeras diez jugadas de una partida; esta cantidad se estima mucho por su importancia y por su aparente exactitud. Según cierto análisis ésta es el producto de los factores siguientes:
(20)2 . 28 . 29 . (30)13 . 31 . 32 . 33 (8)
y se establece que para hacer tantas jugadas, toda la humanidad tendría que mover las piezas interrumpidamente durante 217 mi millones de años (217 x 109 años), según el teórico del Ajedrez A. Charnota. Y si esto acontece con las diez primeras jugadas de una partida, calcúlese entonces, la cantidad de variantes de las aproximadamente 50 jugadas que tienen en promedio las partidas.
Dicho de otra manera, un pequeño aumento en el número de posiciones involucradas se traduce en un incremento explosivo en el tiempo y complejidad de análisis. Esto ha motivado que a nivel de discusiones se suscitase la cuestión de hallar el número de posiciones que pueden formarse con 32 piezas tomadas dos a dos, tres a tres, y así sucesivamente. Es lógico que en ello se descarten las posiciones contrarias a las normas del juego, tales como peones situados en las horizontales primera y octava de cada bando, el enrocar después de que se ha movido el Rey o las torres, etc.; si no se descartasen, el cálculo seria bastante fácil, pues con las 32 piezas, se podrían formar coordinaciones de diversos órdenes en un tablero normal (de 64 escaques) de:
64!
______________ =
(2!)6 (8!)2 (32!)
4 634 726 695 587 809 641 192 045 982 323 285 670 400 000 ≈ 4.635 x 1042
Para los ajedrecistas esta expresión carece de interés por contener muchas posiciones en las que, como dije antes, se violan las normas del juego; por el contrario, si se atienden las normas el número de posiciones que se pueden formar con las 32 piezas es más o menos 1042. N. Petrovic ha calculado que las posiciones con 28 piezas dan un número coordinativo mayor, en tal caso, el número de posiciones conformes a las normas de juego será de 2 x 1043, el cual representa aproximadamente todas las posiciones que pueden obtenerse en el tablero (9).
Las soluciones anteriores nos permiten inferir que las computadoras electrónicas nunca llegarán a ser jugadoras perfectas del Ajedrez, debido a que por el número de alternativas que tendrían que contener los algoritmos para la resolución de una partida requerirían una cantidad enorme de tiempo de procesamiento. El cerebro electrónico tendría que examinar, una a una, tantas alternativas y sus múltiples combinaciones que serían años enteros de procesamiento para alcanzar una decisión efectiva sobre el curso óptimo a tomar.
Si analizamos las palabras de Joseph Weizenbaum, científico de computación del Instituto Tecnológico de Massachussets en Estados Unidos, confirmaremos la razón expuesta ene. Párrafo anterior de por qué es imposible que se diseñe una computadora electrónica que juegue perfecta e invenciblemente al Ajedrez.
Weizenbaum ha observado que puede escribirse un programa "para probar cada movimiento legal en una cierta situación de Ajedrez; ante cada movimiento prueba las posibles respuestas; ante cada respuesta prueba la suya, hasta que haya encontrado un movimiento que si prosigue convenientemente garantice el triunfo. Tal programa sería seguramente finito, pero el tiempo requerido por una computadora para ejecutarlo sería increíblemente grande. Por lo tanto, en teoría, una computadora podría llevar a cabo semejante comportamiento; en la práctica no puede".
En definitiva, la insolubilidad de algunos problemas (podría hablarse de soluciones imposibles, aunque parezca paradójico), por los métodos actualmente conocidos de manejo de la información, está íntimamente asociada con el hecho de que estos problemas son "inherentemente exponenciales", pues todo algoritmo posible para su solución requeriría una cantidad exponencial de tiempo para su procesamiento; esto es, aún cuando los pasos de los programas sean finitos y comprensibles, poseen tareas cuya ejecución pueden requerir miles de millones de años de procesamiento. Los estudiosos de la computación matemática refieren este fenómeno con el término "explosión combinatoria" donde un número finito de pasos genera un enorme e impracticable, número de operaciones de las computadoras.
El tiempo que le toma a la computadora ejecutar un algoritmo depende no sólo de la complejidad de los pasos involucrados y de la cantidad de los datos a procesar, sino también del tiempo que le toma a los conmutadores de los circuitos electrónicos pasar de la posición abierta a la cerrada. El número total de los conmutadores que integran los circuitos, multiplicados por este tiempo de cambio puede resultar bastante grande, pues una computadora de alta velocidad suele tener un millón de conmutadores con tiempo de cambio de unos 10-9 de segundo (unidad conocida como nanosegundo; por comparación sabemos que hay tantos nanosegundos en un minuto, como minutos hay en 1,100 siglos).
Debido al conocimiento de estas complicaciones, los diseñadores de los programas que actualmente existen en el mercado para jugar Ajedrez, hacen que éstos se limiten a requerir el análisis de porciones selectivas de las alternativas posibles dando lugar a estrategias más o menos acertadas y a algoritmos con ciertos niveles de eficiencia.
Se han escrito decenas de programas que pueden correrse desde las microcomputadoras personales hasta las microcomputadoras más complejas; estos programas permiten, los más avanzados por supuesto, que la computadora mejore continuamente su juego hasta el punto que vence con facilidad a los autores de los programas, por lo que con métodos de "prueba y error" el cerebro electrónico ha "aprendido" lo que no debe hacer.
Los programas comerciales se diseñan en base al sistema de sopesar un subconjunto de las posibilidades, tanto ventajosas como desventajosas, que ofrece cualquier posición. Primero, comprueban cuáles casillas están ocupadas, quién las ocupa, cuáles están amenazadas y defendidas y cuáles se podrán ocupar, después, entresacan los movimientos que estiman "mejores" y, por último, hacen las siguientes preguntas:
1. ¿Se da jaque a mi rey? Si, es así, ¿puedo comer la pieza que lo da o protegerlo o retirarlo a una casilla segura?
2. ¿Es posible efectuar un cambio de piezas? Si lo es, ¿me reportará alguna ventaja material o debo retirar mi pieza?
3. ¿Puedo enrocar?
4. ¿Tengo posibilidades de movilizar una pieza menor?
5. ¿Hay alguna columna abierta que pueda yo ocupar?
6. ¿Puedo situar una pieza en un punto crítico, producido por una cadena de peones?
7. ¿Me es posible adelantar un peón?
8. ¿Puedo mover una pieza?
Al comienzo de la partida, se puede contestar afirmativamente a las preguntas cuarta, séptima y octava, pues los programas reducen los 20 movimientos con que cuenta cada bando a 7; esto es, los 4 de los caballos y los 3 del peón. A estas 8 preguntas se responderá con los 7 mejores movimientos, a éstos se responderá con otros 7 mejores movimientos, y a éstos se replicará, a su vez, con otros 7 mejores movimiento, por consiguiente, habrá que analizar unos 2,400 de ellos. Un ejemplo de estos programas es el CHESS 4.6 que antes de h hacer un movimiento analiza entre 300,000 y 500, 000 posiciones.
Ahora bien, para que el lector no se quede con la impresión de que todo lo anteriormente expuesto sobre las limitaciones de las computadoras electrónicas es el resultado de divagaciones y disquisiciones teóricas, pasaremos a ilustrar con dos ejemplos extraídos de la práctica ajedrecística, las inmensas complejidades que se originan al operar con hipernúmeros arrojados pro conceptuales soluciones matemáticas a problemas de este juego-ciencia. Primero, veamos el siguiente problema, considerado sencillo; fue propuesto y resuelto por el analista matemático y ajedrecista Olavi Riihimaa:
En la posición de la figura suceden tablas por rey ahogado en 36 movimientos. Hallar el número de soluciones.
Las torres se colocarán respectivamente en los puntos 8CD y 8CR; los 6 peones situados en medio de la fila que forman, avanzarán hacia la séptima horizontal, y los dos de las verticales extremas del tablero avanzarán y se convertirán en alfiles (10).
El número de soluciones pedido es: (36!) (5)2 = 0.94 x 1029
Exactamente el cálculo da: 93 873 436 053 649 778 225 700 000 000. Esta cantidad es extraordinariamente grande, pero, ¿qué tan grande? Comparemos: si convirtiésemos la longitud que ocupa cada conjunto de seis dígitos en 6 cm2, podríamos cubrir más de 100 000 000 000 veces la superficie de la Tierra. ¡Aún las soluciones pueden ser mayores para lo cual basta situar la torre ene. Punto 7TD en vez de hacerlo en el 8CD!, aunque esta modificación menoscabaría la homogeneidad de la posición y del cálculo.
Otro ejemplo ilustrativo es el planteado por el mismo autor: ¿cuántas series de movimientos diferentes deben producirse en la figura para que las blancas muevan y, después de transcurridos 50 movimientos, exijan tablas conforme ala regla que lo determina? Esta regla se refiere al párrafo 4to. del artículo 12 del reglamento establecido por la Federación Internacional de Ajedrez, donde está contenido que el resultado de una partida quedará en tablas (empate): "cuando a un jugador le toque mover y declare que ya se han efectuado 50 movimientos por bando y no se ha movido un peón ni cambiado una pieza".
En la solución hallada por el analista Olavi Riihimaa, éste establece que los dos bandos limitándose a mover su torre, con el fin de apurar la regla citada deben efectuar, previo cálculo combinatorio: (14 x 9)50 = (126)50 = 1.04 x 10105 movimientos.
El valor exacto hallado para el mismo fue:
1 043 583 624 915 992 322 004 937 038 165 379 072 826 843 313 081 551 745 745 535 209 959 483 360 465 524 619 027 077 751 788 441 620 709 376 movimientos.
¿Hay alguien que quiera comprobar este resultado?
Podemos meditar cuidadosamente que existe una solución posible al problema, la pregunta que tácitamente cae por su peso: ¿es posible que sea jugada esta partida por el hombre? De las respuestas de Kraichik y Sabih deducimos que es imposible por los humanos; pero, ¿sería posible por las computadoras electrónicas? Antes de responder a esta cuestión es importante establecer que a las dificultades asociadas a las magnitudes de los números, hay que añadir las limitaciones que afectan el tamaño y la velocidad del procesador electrónico, esto es, una computadora electrónica cualquiera que ésta sea, no puede escapar a la obediencia de ciertas propiedades intrínsecas del Universo.
Es así como la computadora electrónica más potente que jamás pueda ser construida, no podría, por supuesto, ser más grande que el Universo mismo, el cual se calcula tiene unos 1011 (cien mil millones) de años-luz de diámetro. Dicho esto en lenguaje tan sencillo no nos permite apreciar el tamaño de que supuestamente debería ser la computadora.
Como las distancias astronómicas son tan inmensas que no pueden ser medidas en kilómetros, es por ello que se usa el año-luz ya mencionado. El año-luz se define como la distancia que recorre la luz en un año a la velocidad de 299,792.5 Kms./seg, esto es 9 454 256 300 000 kms. ó 5.875 x 10 millas, aproximadamente 6 billones de millas. ¿Cómo tener una representación del tamaño del Universo? Hagamos la siguiente comparación: si la luz reflejada de la Luna llega a la Tierra en poco más de un segundo y la del Sol en ocho minutos, la de Neptuno demora algo más de cuatro horas y la de la estrella más cercana a la Tierra, la llamada Próxima del Centauro tarda 4.3 años, la luz de la estrella Polar ha de viajar más de 400 años para llegar a nosotros. Entonces, si consideramos a la Tierra del tamaño de la punta de un alfiler, la Luna estaría a 20 milímetros de distancia, el Sol a 6 metros y Neptuno a 200 metros, la Próxima del Centauro distaría 1,700 kilómetros. De las grandes galaxias, la más cercana a la nuestra es la Gran Nébula Espiral de Andrómeda, compuesta por miles de millones de estrellas y distante unos dos millones de años-luz.
Otras galaxias están hasta a 12 mil millones de años-luz de distancia de la Tierra, lo cual ha hecho necesario que en los últimos tiempos, se establezcan unidades astronómicas aún mayores como el parsec (11), el cual equivale a 3.2626 años-luz. Para distancias extragalácticas se usa el kiloparsec y el megaparsec; los radiotelescopios revelan la existencia de nebulosas a distancias de unos 3 mil megaparsecs.
Por lo tanto, la hipotética computadora electrónica que estamos diseñando, además de que no puede ser más grande que el Universo (¡imagínense esos cien mil millones de años-luz de diámetro!) No podrá tener componentes más pequeños que el protón, cuyo diámetro es de 10-13 cm (a pesar de los crecientes logros que se pudieran conseguir en el futuro en la tecnología de microminiaturización de los componentes que forman los circuitos integrados electrónicos). Además, esta "non plus ultra" de las computadoras no podría transmitir la información de componente a componente, a una velocidad mayor que la de la luz, esto es, funcionar con rayos láser en vez de corrientes eléctricas (12); ni tampoco podría tener tiempos de cambios inferiores a 3x 10-24 de segundo, que es el tiempo que toma a la velocidad de la luz atravesar el diámetro del protón.
Ahora bien, la computadora hipotética, monstruosamente gigantesca e infinitamente rápida que se construiría, formada por un total de 120126 piezas, requeriría unos 20 mil millones (2 x 1010) de años para resolver ciertos problemas aritméticos cuyas expresiones constan de 675 símbolos y que se tienen actualmente por solubles en principio. Resultado al que arribaron A. R. Meyer y L. J. Stockmeyer, eminentes matemáticos del Instituto Tecnológico de Massachussets, el cual conserva su validez no importando la gran sofisticación del sistema operativo diseñado para la supercomputadora. Pero (¡triste palabra que nos trae a la realidad! Y como dirían los franceses: con el pero se puede meter en una botella incluso París completo) según los cosmógonos y radioastrónomos, el Universo entero no tiene 10 mil millones de años de existencia de acuerdo con sus teorías (13); todo lo cual nos permite inferir que ciertos problemas, como el segundo de los dos puestos como ejemplos, son en realidad intratables, esto es, de soluciones imposibles, aún contando con la supercomputadora electrónica ultra perfecta.
NOTAS
(1) Ver trabajos anteriores: "La Omnipresencia de la Informática" I, II, III, IV y V, en el Suplemento Especial "Informática" (El Mundo Maravillosos de la Computadora) del periódico Listín Diario de junio a octubre de 1986.
(2) La Cibernética (cuyo nombre significa arte de dirigir) es la ciencia que se ocupa de los procesos de dirección en los sistemas dinámicos complejos y que tiene por fundamento teórico las matemáticas y la lógica, así como el empleo de la automática, especialmente de computadoras electrónicas y de máquinas de control lógico-informativas. De forma global se le caracteriza como la ciencia que se ocupa de los procedimientos de percibir, transmitir, conservar, transformar y utilizar la información en las máquinas y en los organismos vivos, así como en la combinación de unos y otros. Sus ideas fundamentales como disciplina especial las formuló en 1948 Norbert Wiener (1894-1964) en su obra Cybernetics or Control and Communication in the Animal and the Machine. Para más detalles sobre esta ciencia, ver los libros "Historia de la Cibernética" de A. V. Jramoi e "Introducción a la Cibernética" de N. Berishmeey.
(3) Informática es un neologismo nacido en los inicios de la década de los años sesenta que resulta de unir las dos primeras sílabas y las tres últimas de las palabras Información y automática, respectivamente. Este término, cuyo origen es francés y de uso muy frecuente en algunos países iberoamericanos, especialmente España y las naciones de la América Latina, engloba al conjunto de conocimientos científicos y técnicos que hacen posible el tratamiento automático de la información por medio de calculadoras electrónicas; aunque algunos teóricos rechazan esta definición, prefiriendo conceptualizarla como "la ciencia del tratamiento automático y racional de la información independiente de los medios empleados para ello", ya que consideran que la primera definición y la más conocida de la Informática, asociándola con el uso de dispositivos electrónico para el procesamiento de datos, restringe su vínculo sólo al área de la computación y olvida que los equipos electrónicos son un solo recurso de manejo de la información.
(4) En su libro "Mathematical Recreations", M. Kraichik calcula unas 2.5 x 10 partidas diferentes. Y en su obra "A Mathematician´s Miscellany", J. E. Littlewood precisa más este problema al hallar un límite de (101070.5) partidas, valor definido por el par de potencias (101070) y (101071).
(5) La búsqueda de la partida más larga es un asunto dilucidado en el aspecto puramente teórico. Surgió como respuesta a la interrogante: ¿cuánto dura una partida de Ajedrez? En ello los autores ponen como condición el hecho de que a los jugadores no les importe ganar ni perder, sino prolongarla todo lo que se pueda, y la realización de cierto número de jugadas dentro de un tiempo determinado, de una hora o de un día, por ejemplo. A pesar de que se halló 5,899 movimientos (otros autores han encontrado 6,149 movimientos, pero sus deducciones adolecen de fallas) como la partida más larga, en verdad una partida real consta a lo sumo de 200 a 219 movimientos, por lo que este resultado carece de utilidad práctica.
(6) El que el universo tenga un final es motivo de controversias y discusiones filosófico-científicas. Algunos cosmógonos plantean la "Muerte térmica del Universo", esto es, el estado final del Universo que surgirá como resultado de la transformación irreversible de todas las formas del movimiento a la forma térmica, de la dispersión del calor por el espacio y como consecuencia de que el Universo pase a un estado de equilibrio con un valor máximo de entropía (concepto fundamental de la física clásica que desde un punto de vista macroscópico expresa la capacidad de transformación de energía). A esta conclusión arribaron los autores de la Segunda Ley de la Termodinámica (principio que determina el sentido de los cambios energéticos: en un sistema cerrado, la entropía no puede disminuir) Clausius y William Thomson (Lord Kelvin) asignándole un valor absoluto a esta ley y haciéndola extensible a todo el Universo. Otros cosmógonos refutan esta teoría estableciendo que es inconsistente pues: 1) el Universo es infinito en el espacio y forma un conjunto no cerrado de una multiplicidad infinita de sistemas cualitativamente heterogéneos; 2) el conjunto de todos los estados posibles de la materia en éste es infinito y no puede hallar su realización en ningún espacio de tiempo, por considerable que sea; y 3) la segunda ley no determina el sentido de todos los cambios posibles de la materia; en el Universo existen otras leyes que condicionan la concentración de la materia y de la energía dispersas, así como su inclusión en nuevos ciclos de desarrollo.
(7) La Inteligencia Artificial (IA) nació hace aproximadamente 40 años en la Universidad de Stanford, California, Estados Unidos, con un fin lúdico (resolver problemas de Ajedrez), pero rápidamente se extendió al ámbito militar (simulación) y médico (reconocimiento, análisis y diagnóstico de enfermedades), antes de pasar a la industria (producción y gestión). Se la define como un conjunto de métodos destinados a hacer funcionar una computadora según el modelo de razonamiento humano (esto es, con la facultad de aprender por asociación y de inferir conocimientos); algunas áreas específicas de interés de la IA son: la comprensión, el análisis y la resolución de problemas, procesamiento del lenguaje natural, modelos de percepción y reconocimiento, almacenamiento y recuperación de la información, control de robots, estrategias de juegos, programación automática y lógica computacional. Para más detalles sobre esta área ver el libro Artificial Intelligence, de Neil Graham.
(8) En un estudio documentado, A. S. M. Dickins prueba que Edwin Anthony la insertó, como aportación personal, en la segunda edición de Principles of Chess de James Mason, y que no expresa el número de posiciones que dan los 10 primeros movimientos, sino el máximo número de series de movimientos que las producen. En su cálculo Edwin Anthony considera sólo las aperturas (que no son más que un conjunto de movimientos estatuidos que clásicamente se emplean para el inicio de las partidas ajedrecísticas por sus excelentes resultados; existen más de 100,000 de ellas y algunas de las más conocidas son la "Ruy López", "Defensa Petroff", "Apertura Escocesa", "Defensa Siciliana", "Gámbito de Rey", "Defensa Alekhine", "Defensa Nimzovitch", etc.) que se estilaban en su época y en ellas enumera las jugadas de que disponen por término medio las blancas y las negras en los movimientos primero, segundo, tercero y cuarto, a saber: 20, 28, 30 y 32 para las primeras, y 20, 29, 31 y 33 para las segundas. En los quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno y décimo establece 30 posibilidades para cada bando y, así, obtiene el producto en cuestión. Extraído del libro "Ajedrez y Matemáticas", de E. Bonsdorff, K. Fabel y O. Riihimaa.
(9) El libro "Mezcla Cibernética" de Víctor Pekelis cita en las páginas 135 y 136 al matemático Richard Schuring con un número de 52 signos para la cantidad de posiciones:
7 534 686 312 361 225 327 x 1033
(es decir, 7534 octillones, 686 312 septillones, 361 225 sextillones y 327 000 quintillones), pero no establece el cálculo básico para su obtención.
(10) Aunque no es de nuestro particular interés sumergir al amable lector en los tecnicismos ajedrecísticos, la elaboración de este trabajo nos obligó a penetrar en éstos. Para aquellos que no dominan la anotación ajedrecística y desean apreciar toda la belleza del problema, les sugerimos el libro "Camino Fácil del Ajedrez" de Baruch H. Word, Capítulo IX, de las páginas 116 a 123. La comprensión del problema no es lo más importante, sino los resultados que se derivan de su solución.
(11) El pársec se fundamenta en el paralaje. El paralaje es el fenómeno que describe el hecho de que cuando nos movemos, la dirección en la que vemos los cuerpos cambia tanto más, cuanto más cercanos están; por lo tanto, el pársec se fundamenta en el hecho de que como la Tierra gira alrededor del Sol, las estrellas más cercanas no se ven siempre bajo el mismo ángulo, y es así que éste expresa la distancia de una estrella cuya oscilación aparente anual es del segundo de arco (paralaje segundo).
(12) Este es uno de los logros a alcanzar por los investigadores de los complejos científico-militares, a corto plazo, para el proyecto "Guerra de las Galaxias" o "Star War" en los Estados Unidos; los mismos científicos plantean que si esto se llegara a conseguir, tendría en contra el hecho de que una diezmilésima de segundo sería suficiente para paralizar el aparato.
(13) Ver la teoría del "Big Bang" y la teoría del "estado invariable" o de "creación continua", en el libro "Cosmos" de Carl Sagan y el artículo "The Incredible Universe", por Kenneth F. Weawer, en la revista National Geographic de mayo de 1974.
Autor:
Rina Familia
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