"La teoría ajedrecística matemática, no existe ni puede ser creada".
Jules-Henri Poincaré (1854-1912)
PALABRAS CLAVES: Posibilidad, Teoría de Probabilidades, Análisis Combinatorio, Intratabilidad, Matemáticas, Inteligencia Artificial, Ajedrez, Teoría Ajedrecística, Algoritmos, Computabilidad, Teoría de Complejidad Computacional
Desde los inicios de lo que hoy entendemos como civilización, los hombres hemos sentido fascinación por la búsqueda de los límites de nuestras capacidades intelectuales, o en otras palabras, la posibilidad o la imposibilidad de resolver ciertos problemas que se nos plantean en el plano puramente teórico. Pero más que fascinación, podríamos decir deslumbramiento, siente el hombre moderno ante el análisis de problemas que implican, no un reto a sus posibilidades propias, sino a las de los engendros de su cerebro, como son las ultrarrápidas computadoras electrónicas, monumentos imperecederos que celebran los recursos de su ingenio.
Existen problemas en el campo de la Teoría Ajedrecística que matemáticamente poseen una solución, sin embargo, esos mismos problemas no podrían resolverse con las más poderosas computadoras electrónicas existentes o imaginables en un cercano o lejano futuro. Hablando con más propiedad, aunque a estos problemas se les pueda construir un modelo de computación, es imposible su procesamiento a través de computadoras por el tiempo y la cantidad de datos necesarios para su resolución. ¿Cómo nos atrevemos a hacer tales afirmaciones, cuando en trabajos publicados anteriormente (1) fuimos capaces de plantear que las posibilidades de las computadoras electrónicas son infinitas y lo que es más, cuando planteamos que el límite de las posibilidades de las computadoras no se halla en las computadoras mismas, sino en las limitaciones de los hombres que las crean?
Si el lector observa con sumo cuidado, verá que la supuesta contradicción planteada en la pregunta del párrafo anterior, gira en torno a una palabra posible y su antítesis, la posibilidad. Pero ¿qué es la posibilidad? Filosóficamente la posibilidad encierra la tendencia objetiva del desarrollo contenida en los fenómenos existentes esto es, la presencia de condiciones para que surja la cosa o fenómeno, o por lo menos, la ausencia de circunstancias que excluyan su aparición; siempre ésta va unida a otra categoría, la realidad, la cual muestra la existencia de un estado o cosa, como el resultado de la realización de una determinada posibilidad, esto es, a la realidad la antecede la posibilidad.
Existen dos tipos de posibilidades, la abstracta y la real. La abstracta (o formal) establece que en realidad no existen las condiciones que excluyan el surgimiento de cierto fenómeno, pero no presupone que se den condiciones de las que el fenómeno surja inevitablemente; también expresa la tendencia aún no desarrollada hacia algo y suele presentarse junto al desconocimiento de las circunstancias que se analizan, pudiendo estar encubierta tras ella la imposibilidad. La real presupone la presencia de todas las condiciones necesarias para que la posibilidad se realice inevitablemente. No existe una demarcación definida entre una y otra, y bajo ciertas circunstancias puede convertirse la posibilidad abstracta en real viceversa.
La relación cuantitativa entre la posibilidad abstracta y la real podemos expresarla en base a la Teoría de las Probabilidades, que junto al Análisis Combinatorio, la Cibernética (2) y la Informática(3), nos proporcionarán, luego de este preámbulo profundamente filosófico, las herramientas teóricas que utilizaremos en este trabajo para demostrar que existen soluciones matemáticas a problemas del Ajedrez que envuelven números conceptualmente manejables, pero que se tornan irreales cuando se consideran todas las dimensiones involucradas en su procesamiento; esto es, soluciones que la práctica se encarga de catalogar como de imposible realización, por lo menos, con los actuales conceptos de manejo de la información (su almacenamiento y procesamiento mediante computadoras electrónicas).
El primer problema de vinculación de las matemáticas con el Ajedrez, tal vez un poco fantasioso, se planteó al querer un rey recompensar el inventor de este juego por su meritorio trabajo y pedir éste un grano de trigo para la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta, y así sucesivamente, siempre doblando la cantidad de la anterior; leyenda que reza más o menos así en el libro de G. Gamow titulado El Uno, Dos y Tres Infinitesimales y en muchos libros más. Un historiador del Ajedrez ha dicho que Sissa Ben Dari le pidió a Iadava, rey y dueño de la provincia Taligana en La India, granos de arroz y no de trigo; como es sumamente difícil esclarecer este asunto, no se le da gran importancia ya que ello no altera el cálculo ni el sabio ejemplo que la historia nos ha legado. Otros estudiosos de la historia del Ajedrez hablan de una leyenda donde se atribuye este juego al griego Palamedes, quien lo inventó durante el sitio de Troya, para distraer a los guerreros durante los días de inacción; mientras que la generalidad sostiene que lo más probable es que provenga de los persas o de los chinos, quienes lo dieron a conocer a los árabes, y que posteriormente el Ajedrez se introdujo en Europa, después de Las Cruzadas.
Se dice que en la primera leyenda mencionada, el rey consideró modesta esta petición, pero que cuando quizo satisfacerla, se halló con que todos los graneros de su imperio no hubieran bastado para contener la cantidad de trigo pedida, ya que como el tablero de Ajedrez tiene 64 escaques o casillas, el número de granos para cada casilla es 20, 21, 22, 23 … 263, siendo el total 264 – 1 = 18, 446, 744, 073, 709, 561, 615, lo cual equivale a un cubo de más de un kilómetro de arista.
Otra versión de esta leyenda contada al califa de Bagdad, Al-Motacen Billah, por Beremís Samir dice que el rey llamó a los algebristas más hábiles de la Corte y les ordenó que calculasen la porción de trigo que Sissa pretendía, y que luego de horas de profundos estudios, el más sabio de los geómetras, le dijo: "Rey magnánimo, calculamos el número de granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por Sissa, y obtuvimos un número cuya cantidad es inconcebible para la imaginación humana (264 – 1). Hallamos en seguida, y con la mayor exactitud, a cuántas Ceiras (o cer, es la unidad de capacidad y de peso usada en La India, cuyo valor varía de una localidad a otra, R.M.F.) corresponderá ese número total de granos, llegando a la conclusión de que la cantidad de trigo que debe entregarse a Sissa Ben Dari equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, debe entregarse al joven Sissa".
Los resultados de este problema están relacionados directamente a algo tangible (la cantidad de trigo del imperio de un rey), no ocurriendo lo mismo con problemas, como por ejemplo, ¿cuál es el máximo número de partidas de Ajedrez distintas unas de otras? Mediante el cálculo se han obtenido 10115 a 10120 partidas diferentes (4), fundamentándose en las partidas de carácter práctico, esto es, en aquellas que no se prolongan premeditadamente, duran unos 40 movimientos y ofrecen a cada bando la posibilidad de disponer de 50 jugadas y respuestas para elegir.
Para tener una idea de lo que representa este número de partidas, citemos al matemático M. Kraichick: "Si toda la población del mundo jugase al Ajedrez las veinticuatro horas del día, a razón de una jugada por segundo, para agotar todas las variantes de las partidas ajedrecísticas se necesitarían no menos de 10100 siglos" ; pero no conforme con esto, N. Petrovic ha sido el único en apurar por completo la teoría ajedrecística, pues, basando su cálculo en 5,899 movimientos de las blancas de la "partida más larga" (5) ha hallado la sorprendente cantidad de 1018,900, partidas diferentes; publicando su resultado en la revista Sahovski Vjeanik en el año 1948.
El cálculo del máximo número de movimientos que puede efectuar una pieza es un asunto de suma importancia para la determinación del mayor número de movimientos del bando (sea el de las piezas blancas o el de las negras) al cual pertenece, lo que a su vez incide en la determinación de la "partida más larga", y por lo tanto, en el cálculo del máximo número de partidas diferentes; éste se hace en base a las siguientes fórmulas, designando por n la longitud del lado del tablero (en el que normalmente jugamos es de 8 escaques), R al Rey, D a la dama, T a la torre, A al alfil, C al Caballo y P al peón:
R = 4 (2n – 1) (n – 1)
D = (2/3) n (5n – 1) (n – 1) = T + A
T = 2 n (n – 1)
A = (2/3) n (2n – 1) (n – 1)
C = 8 (n – 2) (n – 1)
P = (3n – 4) (n – 1), a partir de n = 4.
Sería interesante que el lector se fije en las cantidades citadas anteriormente (10115 a 10120 y 1018,900), esto es, nuestras mentes conciben fácilmente números muchísimo más grandes que 3 X 1074,que es el número de átomos que se estima se encuentran contenidos en el Universo; aunque hablando con rigurosidad matemática, para esta ciencia los números se convierten en "intratables" cuando alcanzan más allá de cierta magnitud, pues pierden su significado real para el cálculo efectivo, ya que esta considera el número como una entidad generada en un tiempo real dado, siguiendo los pasos contenidos en una regla precisa de producción. Y resulta que este problema y otros que más adelante analizaremos, arrojan números que poniéndonos de acuerdo con Kraichik, su producción excedería no sólo el tiempo entero de la humanidad en su conjunto, sino el del Universo desde sus inicios hasta su final, en el supuesto de que lo tenga (6).
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