- Una introducción necesaria
- Orientaciones generales en torno al tema: ecuaciones, funciones e inecuaciones
- Principales procedimientos del trabajo algebraico
- Función. Función inversa y compuesta. Funciones lineales; cuadráticas; modulares y potenciales: principales propiedades
- Inecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias
- Sistemas de ecuaciones
Una introducción necesaria
El conocimiento de las ecuaciones, funciones e inecuaciones es esencial para la modelación de diferentes situaciones de la vida práctica y para el desarrollo del razonamiento lógico y causal. Sin embargo, es una realidad que la actividad de estudio que realizan los estudiantes en torno a este contenido, principalmente, en los niveles primario, medio básico y medio superior muchas veces se ve limitada, bien por la carencia o escases de bibliografía o por la dispersión del contenido matemático en una variedad de esta.
Considerando lo anterior las autoras hemos elaborado esta guía de estudio, dirigida básicamente a estudiantes de la enseñanza politécnica general. Se estructura en 6 secciones de trabajo, algunas de las cuales sirven de intermediario teórico toda la vez, que ofrecen una base orientadora contentiva de conceptos, proposiciones y procedimientos asociados al tema; así como, ejercicios y problemas que permiten desarrollar habilidades; además de, elementos que le permitirán ampliar su cultura matemática en general.
La guía está diseñada con hiperenlaces o hipervínculos de tal manera que, al hacer clic sobre ellos, se muestra el otro punto del documento con el que están vinculados.
Las autoras
Sección 1: Orientaciones generales en torno al tema "Ecuaciones, funciones e inecuaciones".
Sección 2: Temática 1: Principales procedimientos del trabajo algebraico. Ecuaciones, lineales, cuadráticas, fraccionarias y con radicales.
Sección 3: Temática 2: Función. Función inversa y compuesta. Funciones lineales; cuadráticas; modulares y potenciales: principales propiedades.
Sección 4: Temática 3: Inecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias.
Sección 5: Temática 4: Sistemas de ecuaciones.
Sección 6: Actividades a desarrollar en torno al tema.
Orientaciones generales en torno al tema: ecuaciones, funciones e inecuaciones
En este tema se sistematizan los principales conceptos, proposiciones y procedimientos asociados al trabajo algebraico; las ecuaciones e inecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias; las funciones inversa y compuesta; lineales; cuadráticas; modulares y potenciales: principales propiedades; así como, a sistemas de ecuaciones. Asimismo, contribuye a apropiarse de otros elementos en torno a estos que forman parte, también, de una cultura matemática.
El tema se estructura en cuatro temáticas fundamentales de las que se exponen elementos teóricos de partida, así como, ejercicios y problemas para el desarrollo de habilidades.
Objetivos:
Caracterizar el concepto ecuación e inecuación lineales, cuadráticas y fraccionarias.
Caracterizar el concepto función (funciones inversa; compuesta; lineales; cuadráticas; modulares y potenciales: principales propiedades: principales propiedades) a partir de la sistematización de sus principales propiedades.
Determinar y fundamentar los valores reales de incógnitas y parámetros en ecuaciones e inecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias.
Determinar analíticamente y de forma gráfica el dominio, conjunto imagen y ceros, así como, otras propiedades de las funciones inversa; compuesta; lineales; cuadráticas; modulares y potenciales.
Determinar analíticamente y de forma gráfica el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Resolver problemas en los que intervengan diferentes relaciones vinculadas con situaciones de la práctica, donde se apliquen los conceptos, proposiciones y procedimientos asociados a ecuaciones e inecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias; funciones inversa; compuesta; lineales; cuadráticas; modulares y potenciales y sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
Contenidos:
Sistema de conocimientos:
Elementos históricos asociados al estudio de las variables, las ecuaciones y funciones; descomposición factorial, operaciones con fracciones algebraicas, potencias y radicales; ecuaciones e inecuaciones (lineales, cuadráticas y fraccionarias); funciones inversa; compuesta; lineales; cuadráticas; modulares y potenciales: principales propiedades; sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
Habilidad general: Resolver ejercicios y problemas que propicien la modelación de situaciones de la vida práctica mediante la utilización de recursos algebraicos.
Habilidades básicas: Descomponer en factores. Construir ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones que satisfagan determinadas condiciones, por ejemplo, que tengan el conjunto solución que se indica. Identificar cuáles errores se cometen al transformar una ecuación, inecuación o sistema de ecuaciones en otro. Comprobar si determinados valores son solución de una ecuación, inecuación o sistema de ecuaciones. Resolver sistemas de ecuaciones utilizando los métodos estudiados en la escuela. Comparar las distintas formas en que se trata un contenido en diferentes libros de texto. Identificar y fundamentar cuáles correspondencias son o no funciones. Cálculo de forma analítica de valores funcionales y de interceptos con los ejes coordenados. Determinar analíticamente y de forma gráfica el dominio, conjunto imagen, ceros y otras propiedades globales de las funciones inversa; compuesta; lineales; cuadráticas; modulares y potenciales. Transferir de una representación a otra de las funciones. Ubicar en los programas de la enseñanza media y media superior los conceptos, proposiciones y procedimientos utilizados en el tema. Valorar las aplicaciones de un concepto, relación o procedimiento en distintos contextos matemáticos y extramatemáticos.
Convicciones, valores, actitudes y cualidades: Convicción de que la matemática tiene su origen en la realidad objetiva y que la práctica es fuente, medio y fin para la obtención de nuevos conocimientos; convicción, de manera general, del carácter instrumental de esta ciencia y de su utilidad para conocer y transformar el mundo y de su uso para beneficio de nuestra sociedad socialista; y de manera particular, valoración de los recursos algebraicos para la resolución de problemáticas reales; convicción de la posibilidad de aprender y ser mejores a través del esfuerzo, la perseverancia, la responsabilidad, la tolerancia, la solidaridad y el espíritu crítico y autocrítico; y convicción de ser un(a) buen(a) profesor(a) de Matemática sobre la base de actitudes positivas hacia a la profesión la profesión.
BIBLIOGRAFÍA
Coret, M y otros: Algebra Moderna 1. Primera parte (varios tomos) Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1990.
Davidson San Juan, L. D.: Ecuaciones y matemáticos. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 2008.
Kalnin, R.A.: Álgebra y Funciones Elementales. Editorial Mir, Moscú, 1972.
Marx, Suse y otros: Ecuaciones, inecuaciones y combinatoria. Editorial Pueblo y Educación, 1980.
Ochoa Rojas, Raúl. Funciones y temas afines. Tomos I y II. Editorial Pueblo y Educación, 2009.
Palacio, Joaquín: Los problemas matemáticos vinculados con la vida. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 2002.
Varela, M. Virginia y otros: Álgebra Lineal. Pueblo y Educación.
TEMÁTICA 1:
Principales procedimientos del trabajo algebraico
ECUACIONES, LINEALES, CUADRÁTICAS Y FRACCIONARIAS Y CON RADICALES.
Variable, es un símbolo que denota un elemento arbitrario de un conjunto prefijado (dominio de la variable).
Ejemplo:
Expresión algebraica, es toda combinación de números y variables relacionados mediante los signos de las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación. (cualquier combinación de términos relacionados por las operaciones aritméticas)
Término, es todo número, variable, o combinación de ellos relacionados mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación.
Monomio, es número, variable, o combinación de ellos mediante el producto, cociente y potencia se llama monomio. Todos los monomios son términos.
Grado de la variable en un monomio, es el exponente de esta.
Grado de un monomio (en el cual sus factores literales aparezcan con exponente entero no negativo) es la suma de los grados (exponentes) de las variables que contenga.
Términos semejantes: son los que tienen la misma parte literal.
Los términos semejantes se reducen operando con sus coeficientes y manteniendo la parte literal.
Para efectuar el producto de términos se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales.
Polinomio, es la suma algebraica de más de dos términos o monomios.
La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado por la suma o diferencia indicada de los términos no semejantes de ambos y la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos.
El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo, y reduciendo luego los términos semejantes.
División de polinomios, sean P(x) y D(x) dos polinomios, tales que el grado del P(x) = n; el grado de D(x) = m y n=m, entonces existen los polinomios Q (x) y R(x) que cumplen que: P(x) = D(x) Q(x) + R(x)
Binomio, es la suma algebraica de dos términos.
Productos notables:
Descomponer en factores es transformar sumas en productos.
Cuadrados perfectos, son las sumas que se pueden transformar en el cuadrado de un binomio de la forma (a ± b)2.
Trinomio, es la suma algebraica de tres términos.
Valor numérico de una expresión algebraica, es el número que se obtiene cuando en una expresión algebraica se sustituyen las variables por números y se efectúan las operaciones indicadas.
Fracción algebraica entera, es el cociente indicado de dos polinomios enteros, siendo el divisor un polinomio no nulo.
El matemático francés Albert Girard fue quien introduce por primera vez el uso de los paréntesis y usa además, el signo "-" colocado entre el numerador y el denominador para indicar una fracción algebraica o numérica .
En una fracción algebraica si el numerador es múltiplo del denominador la fracción se reduce a un polinomio.
Ecuaciones, son igualdades que contienen, al menos, una variable y que se verifica o es cierta para determinado (s) valores que se le dé a la (s) variable (s).
Miembros de una ecuación, son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo de igualdad.
Grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Ecuación lineal o de primer grado en una variable, es aquella que tiene la forma
Solución o raíz de la ecuación, es el valor que satisface a la ecuación.
Conjunto solución de una ecuación, es el conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación.
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
Las ecuaciones pueden tener solución (ser solubles) o no tener solución (insolubles). Las ecuaciones solubles pueden tener una solución única o infinitas soluciones.
La solución de la ecuación depende del dominio de la variable, por tanto: Hay ecuaciones que pueden ser solubles en un dominio numérico e insoluble en otro.
En el siglo XV el francés Chuquet expresa por primera vez un número negativo aislado en la ecuación 4x= -2. Pero todavía en el siglo XVI eran llamados números absurdi.
Ecuaciones equivalentes: Ecuaciones que tienen las mismas soluciones.
Quitar paréntesis.
Quitar denominadores.
Agrupar los términos semejantes en cada miembro de la ecuación.
Reducir términos semejantes.
Despejar la variable.
Calcular el valor de la variable.
Comprobar que el valor obtenido satisface la ecuación.
Escribir el conjunto solución.
Identidad, es una igualdad que se verifica o es cierta para cualquier valor que se le asigne a las variables.
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable, son las ecuaciones en las cuales el mayor grado al cual aparece la variable es 2. Ellas se reducen a la forma
Se transponen todos los términos para un solo miembro y se iguala a cero.
Se realizan las operaciones indicadas, se reducen los términos semejantes, al llegar a la expresión de segundo grado igualada a cero (ax2 + bx + c = 0)
Se factoriza y se iguala a cero cada factor resolviendo así dos ecuaciones.
Ecuaciones fraccionarias son las que contienen fracciones y en esas fracciones están implicadas las incognitas.
Ecuaciones con radicales, son aquellas en las que aparece la variable en alguno de sus términos bajo el signo radical. Para resolver estas ecuaciones es necesario transformarla en otra en la que la variable no aparezca en el radicando.
Un conjunto de pares ordenados (x ; y) tales que x ? A e y ? B es una función o aplicación de A en B, si a cada elemento x ? A le corresponde un único elemento y ? B.
Al conjunto A se le denomina dominio de definición de la función o campo de existencia y a sus elementos se les llama argumentos o preimágenes.
A los elementos del conjunto B que son correspondientes de algún elemento de A se les llaman imágenes, y el conjunto de ellos se denomina conjunto imagen de la función.
Si y0= f(x0), entonces el par ordenado (x0; y0) pertenece a la función f y a la representación gráfica de todos los pares ordenados se le denomina gráfica de la función f.
Si f(x0) = 0, al valor xo se le denomina cero de la función f y el gráfico de la función f corta al eje Ox en los puntos de coordenadas (xo; 0). (Una función puede tener un cero, varios ceros o no tener ceros)
El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.
En 1694 el matemático alemán Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.
Sin embargo, hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet, quien entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, …, xk.
El símbolo y= f(x) fue utilizado por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler.
En forma descriptiva (la ley de dependencia funcional se describe mediante palabras)
Mediante una ecuación la ley de correspondencia o de dependencia funcional se expresa mediante una ecuación)
Mediante una tabla de valores Se expresa la correspondencia entre los valores de x e y mediante una tabla)
Mediante gráficos cartesianos.
Una función es par si para todo x ( Dom f se cumple que f(x ) = f(-x).
Una función es impar si para todo x ( Dom f se cumple que f(x) =-f(-x).
Una función es monótona creciente estricta si a medida que aumentan los valores de las "x", aumentan los valores de las "y".
Una función es monótona decreciente estricta si a medida que aumentan los valores de las "x", disminuyen los valores de las "y".
n es la ordenada en el origen e indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
m es la pendiente de la recta, indica, la inclinación de la recta respecto al eje x.
Si m ( 0 la recta se eleva de izquierda a derecha y los valores de la función correspondiente aumentan a medida que aumentan los valores de x, la función es creciente (biyectiva). O sea, si m > 0 el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m ( o la recta desciende de izquierda a derecha y los valores de la función correspondientes disminuyen a medida que aumentan los valores de la variable x, la función es decreciente (biyectiva). O sea, el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Si n = 0, entonces y = mx cumpliéndose que:
Si m ( 0 la recta va del III cuadrante y I cuadrante.
Si m ( o la recta va del II cuadrante y IV cuadrante.
Si m = -1, la recta es bisectriz del II cuadrante y IV cuadrante.
Si m = 1, la recta es bisectriz del III cuadrante y I cuadrante.
Función constante, es la función lineal en que m = 0, de ahí que tiene la forma
Función idéntica, es la función lineal que tiene la forma y = x; de ahí que su gráfica es la bisectriz de los cuadrantes 1. Y 3.
FUNCIÓN CUADRÁTICA o DE SEGUNDO GRADO, es la correspondencia que a cada x(( le hace corresponder el número real y= ax2 + bx + c (a?0), donde a, b, c son números reales dados.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola
Las parábolas abren hacia arriba, si a > 0
Las parábolas abren hacia abajo, si a < 0
El punto de corte de la parábola con el eje y se obtiene haciendo x = 0, por tanto el punto de corte es C (0, c).
Dilatación: Una función g del tipo g(x) = a f(x) se dice dilatada si |a| ( 1 (a (1 ó
Contracción: Una función g del tipo g(x) = a f(x) se dice contraída si |a| ( 1 (-1( a ( 1). Su representación gráfica se "aproxima" al eje de las abscisas a partir del gráfico de la función f.
Traslación: Sea la función g del tipo g(x) = [f(x + d)] + e. Su gráfica se obtiene a partir del gráfico de la función f (x)= x2 mediante una traslación de |d| unidades en la dirección del eje de las abscisas, "hacia la derecha" si d ( 0 y "hacia la izquierda" si d ( 0 y (e( unidades "hacia arriba" si e ( 0 y "hacia abajo" si e ( 0.
Calcular los ceros si los posee.
Calcular las coordenadas del vértice
Calcular las coordenadas de algunos puntos y sus simétricos respecto al eje de la parábola.
Representar los puntos determinados en un sistema de coordenadas rectangulares.
Unir los puntos representados mediante una parábola.
FUNCIÓN MODULAR:
FUNCIÓN POTENCIAL, es la definida por la ecuación de la forma
FUNCIÓN COMPUESTA,
Inecuación, es una desigualdad en la que aparece alguna variable en uno o en los dos miembros de la desigualdad.
Dominio de definición de la inecuación son los valores admisibles del dominio de definición de las variables.
Inecuación lineal en una variable es una inecuación que se puede reducir a una de las formas siguientes: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ( 0, ax + b ( 0 (a ( R, b ( R, x ( R, a ( 0).
Inecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las mismas soluciones y el mismo dominio de definición.
Resolver una inecuación significa determinar todos los valores reales que la satisfacen. Estos valores constituyen el conjunto solución de la inecuación.
Los sumandos se transponen de igual que en las ecuaciones, agrupando en un mismo miembro los términos que contienen variables y los números en el otro.
El coeficiente de la variable se transpone atendiendo a:
Si el coeficiente es positivo, la desigualdad no se latera.
Si el coeficiente es negativo el signo de la desigualdad se invierte.
Inecuación cuadrática en una variable es aquella en la que el mayor exponente de la variable es 2 y se puede reducir a una de las formas siguientes:
Si el trinomio tiene dos ceros, cambia el signo en cada uno de ellos de modo que el eje queda dividido en tres intervalos que se alternan en signos.
Si el trinomio tiene un único cero, se anula para el cero, pero su signo es positivo en el resto.
Si no hay ceros, el trinomio tiene en todo momento signo positivo.
Inecuación fraccionaria en una variable:
Se descompone en factores el numerador y el denominador y se simplifican, si es posible.
Se marcan en una recta numérica los ceros del numerador y el denominador. La expresión cambia de signo en estos puntos (a menos que el factor correspondiente esté elevado a exponente par)
Ecuaciones lineales con dos variables, son las ecuaciones que puedan reducirse a la forma ax + by = c donde x y y son variables con a, b y c números racionales dados, tales que a y b no sean nulos simultáneamente.
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, son dos ecuaciones lineales con dos variables que puedan reducirse a la forma siguiente:
Soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables son las soluciones comunes a las dos ecuaciones que lo forman, y el conjunto de estas soluciones recibe el nombre de conjunto solución del sistema.
Ejemplos:
Ejemplo:
Ejemplos: 0,5; b2; 2xy2; -xy
OBSERVACIÓN: En un término la parte formada por las variables se llama, parte literal y el factor numérico coeficiente.
Ejemplos: a) 0,5 es de grado 0 b) y -2xy2 es de grado 3.
Ejemplo: -2ab2 y 3,7ab2
OBSERVACIÓN:
Ejemplo: -2ab2 +3ab2 = ab2
Ejemplo: -2ab2 . 3ab2 = -6a2b4
Ejemplos: a) -2xy2 +3 b) 4a + 5ab – 8
Ejemplo: (3×2 – 5x + 1) – (x2 – 7x – 3) = 2×2 +2x + 4
Ejemplo: (2xy – 3×2) (2x + 5y) = -11x2y +10xy2 – 6×3
P(x) es dividendo; D(x) es divisor; Q(x) es cociente y R(x) es resto; el grado de R(x) es menor que el de D(x).
Ejemplo: 6x +2b
(a ± b)2= a2 ± 2ab + b2
(a +b) (a – b) =a2 – b2
(a ± b)3= a3 ±3a2b + 3ab2 ± b3
a3 + b3 = (a +b) (a2 – ab + b2
a3 – b3= (a -b) (a2 + ab + b2)
(x + a) (x + b) = x2+ x (b +a) + ab
(ax + b) (cx + d) = acx2+ x(ad + bc) + bd
a) 5×2 – 20x = 5x (x – 4) (extrayendo factor común)
b) 16×2 – 25y4 =(4x – 5y2)(4x + 5y2) (utilizando el producto notable)
c) ax-3x+2ay-6y = (ax-3x)+ (2ay-6y) = x(a-3)+2y(a-3) =(a-3)(x+2y) (por agrupamiento de términos)
Ejemplos: a) 9×2 + 12x +4 b) a2 – 10a +25
Ejemplo: 3m-4n+b
OBSERVACIÓN: mx2 +px + q=(ax + b) (cx + d), donde:
m= ac p= ad +bc q= bd
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
OBSERVACIÓN:
Ejemplo:
OBSERVACIÓN: Los pioneros en emplear signos de igualdad en algunas ecuaciones, fueron Johann Widman y Francois Viéte.
ax + b= 0 (a ( Q, b ( Q, a ? 0), o puede reducirse a ella.
Ejemplos:
OBSERVACIÓN:
Ejemplo: 4x = 3 no tiene solución en el dominio de los números naturales pues no existe ningún número natural que multiplicado por 4 sea igual a 3.
En cambio, en el dominio de los números fraccionarios la ecuación es soluble, pues
Ejemplo: a) 2x – 3 = 3x + 2 b) x + 3 = -2
x = -5 x = -5
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL
Ejemplo: (x + y)2= x2 + 2xy + y2
ax2 + bx +c = 0 (a, b, c ( R, a ( 0)
Ejemplos:
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo: Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y -2.
p= 3 – 2 = 1 y q = 3 · 2 = 6; por tanto la ecuación es: x2 – x + 6 = 0
Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado
OBSERVACIÓN: En la primera mitad del siglo III, Diofanto de Alejandría usa los símbolos algebraicos y enuncia las reglas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del Álgebra Moderna.
Ejemplo:
Ejemplos:
TEMÁTICA 2:
Definición de función como una correspondencia:
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMO UN CONJUNTO DE PARES ORDENADOS:
OBSERVACIÓN:
Algunas formas de representar las funciones
Ejemplo: A cada número natural se asocia su cuadrado.
Ejemplo: a) y = 4 x + 5
Ejemplo:
Ejemplo:
OBSERVACIÓN:
La denominación de cartesiano se ha adoptado honrando a Descartes, filósofo y matemático francés que fue el originador de este sistema en su célebre ensayo La Geómétrie en 1637.
Para diferenciar si una gráfica es función, basta deslizar sobre ésta una línea recta paralela al eje y; si la intercepta únicamente en un punto, entonces la gráfica representa una función.
Ejemplo:
CONSECUENCIA: Para decidir si una función tiene inversa, es necesario determinar previamente si dicha función es inyectiva.
Propiedades de la función inversa:
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN:
Ejemplo: f(x)=x2 es una función par ya que f(-x) = (-x)2 =x2
OBSERVACIÓN: Gráficamente, se dice que una función es par si su gráfico es axialmente simétrico respecto al eje de las ordenadas.
Ejemplo: f(x)=2×3 es una función impar ya que para todo x(( se cumple que
f(-x)=2(-x)3=-2×3=-f(x)
OBSERVACIÓN: Gráficamente, se dice que una función es impar si su gráfico es centralmente simétrico respecto al origen de coordenadas.
OBSERVACIÓN: Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.
FUNCIÓN LINEAL, es la función que a cada x ? R le hace corresponder el número real f(x) = m x + n, donde m ? R y n ? R. El dominio y la imagen de una función lineal es el conjunto R.
Ejemplos: a) y = -5 b) y = 2,5 + 0,3x c) y = 2,5x
La gráfica de una función lineal es una es una recta.
El cero de la función se calcula igualando la ecuación de la función a cero y resolviendo la ecuación lineal correspondiente.
Ejemplo: Calcular el cero de la función f (x) = 2x – 6
Ejemplo: Calcular el cero de la función f (x) = 2x – 6 (m = 2 y n= 6)
OBSERVACIÓN: Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Casos particulares de una función lineal:
y = n; n ? R (no biyectiva).
Ejemplo:
Ejemplo: Ejercicio resuelto sobre función lineal.
Sea la función g(x) = 4x – 3
d) Punto de corte con el eje Oy: (0; -3)
e) La función es monótona creciente porque m ( 0
f) Representación gráfica
Ejemplos:
OBSERVACIÓN: Si para el cálculo de los ceros resulta más cómoda la descomposición factorial, se puede hacer por esta vía.
a ( -1). Su representación gráfica se "separa" del eje de las abscisas a partir del gráfico de la función f.
Ejemplo: La función y=3×2 con relación a y=x2
Ejemplo: y = ¼ x2 es contraída con relación a y=x2
Procedimiento para representar gráficamente una función cuadrática f cualquiera:
Ejemplo: Ejercicio resuelto sobre función cuadrática.
Ejemplo: Ejercicio resuelto sobre función modular.
CASO 2: Si n = 2, f(x) = x2 (gráfica simétrica respecto al eje y (parábola))
Propiedades:
CASO 3: Si n =-2, f(x) = x-2 (gráfica simétrica respecto al eje y (hipérbola))
Propiedades:
CASO 4: Si n = 3, f(x)=x3 (gráfica centralmente simétrica respecto al origen de coordenadas)
Propiedades:
CASO 5: Si n=-1, f(x)=x-1 (gráfica centralmente simétrica respecto al origen de coordenadas (función proporcionalidad inversa))
Propiedades:
CASO 6:
CASO 7:
TEMÁTICA 4:
Inecuaciones lineales, cuadráticas y fraccionarias
Ejemplo:
Procedimiento para resolver una inecuación lineal en una variable
Ejemplos: Resuelve
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ( 0
ax2 + bx + c ( 0
con a, b, c números reales dados, x ( R y a ( 0.
Para resolver una inecuación cuadrática en una variable se debe tener en cuenta el signo del trinomio ax2 + bx +c con a > 0, cuya representación gráfica es una parábola que abre hacia arriba; además que:
Pasos para resolver una inecuación cuadrática en una variable:
– Se trasponen todos sus términos para un solo miembro y se compara con 0.
– Se reducen los términos semejantes.
– Se hallan los ceros del trinomio de segundo grado asociado a la inecuación.
– Se traza una recta numérica y se sitúan los ceros del trinomio.
– Se sitúan los signos de acuerdo al signo de la función en cada uno de los intervalos
– Se seleccionan el o los intervalos que satisfacen la inecuación, teniendo en cuenta que los ceros del trinomio pueden o no incluirse, en dependencia de si la desigualdad es estricta o no.
Ejemplos: Resuelve
a) x2-3x – 4 > 0 (Inecuación de 2. Grado comparada con 0 y en la que el coeficiente de x2 es positivo)
(x – 4) (x + 1) > 0
(x – 4) (x + 1) = 0 (Ecuación para determinar los ceros del trinomio)
x – 4 = 0 x + 1 = 0
x = 4 x = 1
Como son dos los ceros del trinomio, hay tres intervalos de signos alternos
Pasos para resolver una inecuación fraccionaria en una variable:
Ejemplos: Resuelve
TEMÁTICA 4:
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