OBSERVACIÓN: Un sistema puede: tener solución única, no tener soluciones o tener infinitas soluciones. En caso de tener una solución única la misma se representacomo un par ordenado de la forma (x ; y).
Para determinar analíticamente, si un sistema tiene solución única, no tiene soluciones, o tiene infinitas soluciones si b1(0 y b2(0 se puede despejar la y en cada una de las ecuaciones y representarla en la forma:
Sistemas equivalentes, son aquellos que tienen la misma solución.
Métodos analíticos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
1. Método de sustitución, consiste en despejar una variable en alguna de las dos ecuaciones y sustituir en la otra ecuación, esto conduce a una ecuación lineal que se resuelve y luego se halla el valor de la variable en la ecuación despejada.
Ejemplo:
2. Método de adición y sustracción (también denominado método de reducción o método de Gauss), consiste en multiplicar ambas ecuaciones por un número diferente de forma que los coeficientes de alguna de las dos variables sean opuestos, se suman ambas ecuaciones y se llega a una ecuación lineal que se resuelve, la otra variable se puede hallar de la misma forma o sustituyendo el valor de la variable obtenida en alguna de las dos ecuaciones dadas.
Ejemplo:
3. Método de igualación, consiste en despejar una de las variables en ambas ecuaciones e igualar entre sí las expresiones de las variables despejadas para resolver la ecuación de una sola variable resultante y el valor obtenido sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones originales para determinar el de la segunda variable.
Ejemplo:
Interpretación geométrica de las soluciones de un sistema de ecuaciones con dos variables:
Si el sistema tiene solución única entonces podemos decir que las rectas se intersecan en un punto.
Si el sistema no tiene solución entonces podemos decir que las rectas son paralelas.
Si el sistema tiene infinitas soluciones entonces las rectas coinciden.
Sistema de dos ecuaciones lineales con tres variables,
Pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables:
1. Se toman dos parejas de ecuaciones en las que se elimina la misma variable, para obtener dos nuevas ecuaciones con solo dos variables.
2. Se resuelve el sistema formado por estas dos ecuaciones.
3. Se sustituyen los valores encontrados en una de las ecuaciones originales y se halla el valor de la otra variable.
Ejemplo: Halla el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:
Resolución:
Trabajar primero con las ecuaciones (I) y (II) para eliminar, por ejemplo, la variable z.
Multiplicando la ecuación (I) por 2 y adicionándole la ecuación (II):
Sistemas cuadráticos (sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática):
Un sistema de ecuaciones se considera cuadrático cuando el mayor grado de al menos, una de las variables es 2.
Pasos para resolver un sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática:
1. Se despeja una variable en la ecuación lineal.
2. Se sustituye la variable despejada en la ecuación cuadrática.
3. Se resuelve la ecuación de segundo grado obtenida.
4. Se calculan los valores de la otra variable.
Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema
ACTIVIDADES A DESARROLLAR EN TORNO AL TEMA
Ejercicio: Dada la función real f que a cada número asocia el triple más uno:
a) Escriba su expresión algebraica.
b) Calcule f (1) y f (¾).
d) Analice las propiedades de inyectividad y monotonía.
Ejercicio 1: En la figura aparece representada la función lineal f, que corta a los ejes de coordenadas en A y B.
Ejercicio 2: Haz el esbozo gráfico de la función f(x) = -| x | + 3,5 e indica sus propiedades.
Ejercicio 3: ¿Para qué valores de x((, la función ( es no negativa? Si f(x) =|x + 1| – 4.
a) Determina sus ceros
b) Represéntela gráficamente.
Ejercicio 4: La ecuación del espacio recorrido por un móvil es S= 5 +3t + 2t2 donde s se expresa en metros y t en segundos.
a) ¿Qué longitud ha recorrido el móvil al cabo de 5 segundos de iniciar el movimiento?
b) ¿Cuál es la longitud recorrida durante el quinto segundo?
c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando ha recorrido 157 metros desde el inicio?
Ejercicio 5: Se lanza un proyectil.
La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación
Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
Ejercicio 6: Dadas las funciones
a) Represéntalas en un mismo sistema de ejes.
b) Indica el comportamiento creciente o decreciente de cada una.
Ejercicio 7: Un ciclista parte del kilómetro 10 de una carretera a una velocidad constante de 20 kilómetros hora.
a) Halla la expresión algebraica de la función que relaciona el punto kilométrico de la carretera con el tiempo transcurrido desde el inicio.
b) Representa la función.
Ejercicio 8:
Ejercicio 9: Para cada una de las funciones siguientes; halle su dominio de definición; su conjunto imagen; sus ceros; determine los intervalos de monotonía; determine pariedad; analice si es inyectiva y en caso afirmativo halle su inversa; haga su esbozo gráfico.
Ejercicio 10: Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y= -2×2 + 4x; a 1 km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación
y = 6x – 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
Ejercicio 11: Analiza la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.
Ejercicio 12: Selecciona la respuesta correcta marcando con una x en la línea dada.
El valor numérico de a en la ecuación de la función f definida en el conjunto de los números reales por f(x) = ax2-2x+a siendo f(2)=3 es:
Ejercicio 13: Clasifica las siguientes proposiciones en verdaderas o falsas. Escribe V o F en la línea dada. Justifica las que sean falsas.
Ejercicio 14: Selecciona la respuesta correcta marcando con una x en la línea dada.
Ejercicio 15: Haz el esbozo gráfico de la función g(x) = | x + 6| – 3 e indica sus propiedades.
Ejercicio 16: En los juegos de Sydney, un nadador de la delegación de Cuba, deja caer la toalla desde el trampolín de 10 m de altura. ¿Cuántos segundos tardará en llegar a la zona de la piscina?
ESFUÉRZATE POR RESOLVER CON INDEPENDENCIA LAS TAREAS QUE SE LE PLANTEAN
¡LE DESEAMOS ÉXITOS!
François Viète (1540 – 1603), conocido en multitud de textos en español por su nombre latinizado Francisco Vieta fue un matemático y jurista francés. Se lo considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en emplear letras para simbolizar las incógnitas y constantes en las ecuaciones. François Viète también fue conocido en su época como súbdito del rey fiel y competente. Fue consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Leibniz fue el primero que utilizó el término función en el siglo XVII. Para él y para los matemáticos del siglo XVIII, el concepto de relación funcional en sentido matemático estaba más o menos identificado con el de una fórmula algebraica sencilla que expresara la naturaleza exacta de esta dependencia. Leibniz también introdujo los términos constante, variable y parámetros y la notación de derivada anteriormente citada.
Diofanto de Alejandría matemático griego que vivió probablemente en el siglo III. Su legado matemático se considera como un precedente del álgebra. En su publicación Aritmética de gran originalidad, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.
Johann Widman (1460 – 1498); matemático alemán que floreció a fines del siglo XV, pues en el año 1486 recibió el diploma de Magister artium en la Universidad de Leipzig. Su nombre figura en la historia de la Matemática por su obra de Aritmética comercial: Behend und hünsch rechung auf alten kauffmannschaften, Leipzig, 1489, en la que aparecerán por primera vez los signos "+" y "-" de la adición y sustracción, utilizados al principio para indicar excesos y deficiencias.
Albert Girard (1595 – 1632) matemático nacido en Francia. Fue el introductor de numerosos símbolos matemáticos, dígase el primero en usar las abreviaciones "sen", "cos", "tan" para las funciones trigonométricas en un tratado, así como en introducir por primera vez en su Invention Nouvelle en Algebre el uso de los paréntesis; explica el método de descomposición de un polinomio en factores, enuncia el teorema fundamental del álgebra (establece que cualquier ecuación polinómica, P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a0 = 0, de grado mayor que 1, con coeficientes complejos, tiene solución, y esta solución pertenece a los números complejos).
Nicolás Chuquet, matemático francés, nacido en París alrededor de 1450 (algunas fuentes dicen que en 1445, y otras retrasan su venida al mundo hasta 1455), y fallecido en Lyon en 1488 (o en 1500, según otros documentos de la época). Considerado como el principal matemático francés del siglo XV, fue el autor del primer tratado de álgebra escrito en dicha nación e introdujo en la historia de las Matemáticas universales algunas nociones de uso tan frecuente como las de numerador y denominador de una fracción. Introdujo en Europa occidental los números negativos; se le reconoce, además, por ser el primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base en el siglo XV.
"DESEO ÚNICAMENTE TRANQUILIDAD Y REPOSO". Éstas son las palabras del hombre que desvió la Matemática hacia nuevos caminos y cambió el curso de la historia científica. René Descartes (1596-1650) se reconoce como el mayor filósofo francés de todos los tiempos, padre de la filosofía moderna, e iniciador del racionalismo.
Yohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), matemático y físico alemán de origen francés. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.
Leonhard Paul Euler (1707 – 1783), se le considera el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos. Euler a pesar de sufrir un grave problema de visión realizó contribuciones muy importantes a la matemática pura y aplicada. Se le conoce por su tratamiento analítico de las matemáticas y su discusión de conceptos del cálculo infinitesimal, pero también por su labor en acústica, mecánica, astronomía y óptica. En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático, físico y astrónomo alemán conocido por sus muy diversas contribuciones en estas áreas muy en especial en Matemática. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
Autor:
Graciela Abad Peña.
Licenciada en Educación, especialidad Matemática y Física/ Doctorada en Ciencias Pedagógicas/ Prof. Auxiliar e Investigador Agregado.
Academia de Ciencias de Cuba/Grupo de Análisis y Prospectiva.
Katia Lisset Fernández Rodríguez.
Licenciada en Educación, especialidad Matemática / Doctorada en Ciencias Pedagógicas / Prof. Auxiliar e Investigador Auxiliar.
Instituto Central de Ciencias Pedagógicas. Miramar. Municipio Playa. La Habana. Cuba.
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