Pero es que la razón analítica no ha seguido mejor suerte. En contra de lo que los racionalistas pensaron, la razón analítica dista mucho de ser por completo coherente y en consecuencia absolutamente verdadera. La demostración lo dio el gran programa que se inició en la segunda mitad del siglo XIX, el intento de formalización de la matemática, y a partir de ahí de unificación bajo un sistema de leyes absolutamente precisas de las dos disciplinas paradigmáticas del uso analítico de la razón, la lógica y la matemática. Es bien sabido que ese ambicioso programa de formalización acabó en un fracaso, al probarse que todo proceso formal, por ambicioso que sea, conduce necesariamente a paradojas. Diversos autores fueron formulando una tras otra la multitud de paradazos a que dio lugar el intento de formalización de la razón analítica. Y Kart Gödel, en 1930, demostró, con su teorema de la incompletitud de los sistemas algebraicos, que esas paradojas no se deben a defectos de construcción, y que todo sistema algebraico, y a la postre todo sistema formal, es por necesidad incompleto.
Estos debates propios de la lógica formal, repercutieron inmediatamente en todo el resto de las disciplinas filosóficas, incluida la ética. La filosofía del siglo XX se ha visto en la necesidad de pensar todas las ramas del saber filosófico, la metafísica y la ética incluidas, una vez asumido el fracaso de la razón. Las vías para conseguirlo han sido varias. En el mundo anglosajón se impuso el llamado método analítico. En Europa, otro alternativo, el método fenomenológico. Por más que las diferencias entre ellos fueran enormes, ambos coinciden en su escepticismo ante la razón filosófica, tal como esta se había venido manifestando y expresando hasta entonces. En ambos movimientos la influencia de Hume fue enorme. Y si han querido hacer metafísica, tanto los de un lado como los del otro, han tenido que hacerla de un modo completamente distinto al de épocas anteriores. Las verdades metafísicas, si existen, tienen que darse en niveles previos y distintos a los de la razón clásica. Sin esto no se entiende la metafísica del siglo XX" (1).
Evidentemente, este autor, el que suscribe lo anterior, tiene mucha razón. Pero hay cosas en las que no estamos de acuerdo. En primer lugar, se mezclan dos cosas distintas: lo que pasó en el terreno de la verdad (de la gnoseología) con lo que pasó en el terreno del logos (o de la razón y sus leyes), es decir de la lógica. En segundo lugar, el fracaso de un canon de hacer filosofía no puede identificarse con el fracaso del quehacer filosófico.
Efectivamente, con Hegel termina la filosofía, pero termina la filosofía en el sentido anterior de la palabra. Con Hegel quedó demostrado que la verdad filosófica no puede aspirar a ser absoluta. Antes y hasta Hegel se pensaba que a la filosofía correspondía la verdad absoluta y que a la ciencia correspondía la verdad relativa. El sistema hegeliano demostró que la verdad, cualquiera que esta sea, es un proceso de acercamiento del objeto al sujeto, es un movimiento asintótico de aproximación de la imagen al objeto, que comprende imprecisiones, relatividades, incongruencias, etc., pero que comprende también el elemento de lo absoluto, de modo que en la sucesión de generaciones humanas, lo relativo tiende a cero y lo absoluto tiende a la unidad, es un proceso infinito que no puede agotar el objeto de una vez y para siempre para un momento dado del tiempo (sólo lo agota de forma relativa, es decir para un nivel del conocimiento, para una dimensión de la esencia), pero que en la secesión prácticamente infinita de generaciones humanas, puede lograrse. De este modo la verdad deviene, por su contenido, en la unidad de lo relativo y lo absoluto, con lo que desaparece al distinción entre verdad filosófica y verdad científica, ambas se reducen a una, al menos con relación al problema de lo relativo y lo absoluto.
Claro que el juicio verdadero se torna "probable", "aproximado", "relativo", con "incertidumbre", etc., pero así y todo con el elemento de lo objetivo. El podrá ser sujetivo por su forma, y subjetivo por parte de algunos elementos de su contenido, pero a pesar de todo en el contenido del juicio encontramos siempre, si se trata de un juicio verdadero, el elemento de lo objetivo. Cómo es que el hombre llega al conocimiento objetivo, eso es una cosa que lo explica muy bien la epistemología, la gnoseología de nuestro siglo, lo que no hace falta aclarar aquí. De lo que se trata es de reconocer que en nuestras verdades hay el elemento de lo absoluto y el elemento de lo objetivo, aunque ya no sea como antes se pensaba.
De aquí no puede sacarse la conclusión de que la verdad absoluta desaparece. La verdad de última instancia se nos muestra siempre como verdad absoluta. No podemos decir dónde está el elemento de lo relativo en nuestra verdad de última instancia. Si lo supiéramos, ya no sería nuestra verdad. Lo que desaparece es la distinción entre verdad filosófica y verdad científica. Hacer la distinción entre verdad filosófica y verdad científica es una tarea que está por hacer. Pero cualquiera que sea esta distinción deberá reconocer que la verdad, por su contenido, es una unidad de lo absoluto y lo relativo. Si le quitamos a la verdad el elemento de lo absoluto caemos en el relativismo gnoseológico, que es lo mismo que entregarse al agnosticismo y al escepticismo gnoseológico.
Otra cosa fue lo que pasó en el terreno de la lógica. Desde la antigüedad y hasta finales del siglo XX, en lógica se fueron acumulando un conjunto de paradojas (aporías o antinomias) que intentaban quebrar la razón, ya no analítica o sintética, sino la razón en general, el acto racional en general. De aquí el irracionalismo al que abocó la filosofía occidental del siglo XIX y XX. Pero del teorema de Gödel no puede sacarse la conclusión de la necesidad de la existencia de paradojas lógicas. Por el contrario, Gödel utiliza toda la lógica y racionalidad del mundo para demostrar su teorema, es el suyo un acto racional y en nada paradójico.
Lo que Gödel demuestra es la incompletitud de los sistemas algebraicos, la imposibilidad de crear un sistema universal que sea completo, de modo que, en particular, nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad, en otras palabras la imposibilidad de que el algebra arribe a una verdad absoluta al estilo de las que pretendía la filosofía anterior. Gödel demuestra que en la ciencia, en el álgebra en este caso, es imposible lo mismo que es imposible en filosofía, la verdad absoluta, pero la verdad absoluta por sí sola, sin el elemento de lo relativo. Gödel no intenta demostrar la imposibilidad de la verdad en la ciencia. Su teorema mismo según él es una verdad, lo que una verdad que contiene el elemento de lo relativo y no una verdad absoluta por sí misma.
Otra cosa es que este conjunto de paradojas que intentan quebrar la razón estén por resolver, de la misma forma que está por resolver el problema de la distinción entre verdad filosófica y verdad científica. Pero la solución no puede ser renunciar a la razón, ni en el mejor de los casos renunciar al precepto de la ley lógica de la no-contradicción. Porque se descubran y acumulen paradojas, no significa que se quiebre la razón y que haya que caer en los brazos del irracionalismo. Lo que hay que hacer es resolver el problema en los marcos de un determinado sistema conceptual.
El descubrimiento de paradojas ("para"-"contra", "doxa"-"opinión"), aporías (situación sin salida), antinomias ("anti"-"contra", "nomos"-"ley") ha sido siempre un hecho significativo. El problema estriba en que una paradoja encierra una contradicción lógico-formal vetada por la ley lógica de la no-contradicción. Cuando hablamos de paradojas no nos referimos a una especie extraña o contraria a la común opinión, ni a una aserción inverosímil que parece verdadera, ni a un hecho que aparentemente está en contradicción con las leyes de la naturaleza, sino que nos referimos a una figura del pensamiento consistente en un raciocinio que demuestra tanto la veracidad como la falsedad de un juicio, en otras palabras demuestra tanto ese juicio como su negación. Y aquí los conceptos "paradoja", "aporía" o "antinomia" son sinónimos. Todos ellos se refieren a que en el transcurso de un raciocinio aparece una contradicción del tipo "A y no-A", donde "A" representa un juicio o proposición.
No estamos de acuerdo con las afirmaciones de M. Rosental y P. Iudin de que "la aparición de una antinomia no es un resultado de un error subjetivo del hombre, sino que se halla relacionado con el carácter dialéctico del proceso de la cognición" y que "es imposible excluir del conocimiento las antinomias de una vez y para siempre" (2). Por el contrario, las antinomias (paradojas, aporías) suscitan atención porque son una franca violación del carácter lógico del pensamiento, del curso normal del raciocinio y porque son un atentado a la racionalidad del universo. Por eso, las personas de sano juicio no pueden permanecer impasibles ante la existencia de paradojas en su mundo cotidiano y en el de su ciencia. Una cuestión distinta es, como hecho temporal y transitorio, no poderle encontrar solución.
Otra cosa son las antinomias al estilo de las kantianas o al estilo de las antinomias de la economía política clásica, por citar dos ejemplos. Aquí estamos ante hechos teóricos que sí son momentos del proceso cognoscitivo. El proceso cognoscitivo es francamente antinómico (dialéctico). Pero estas antinomias no son tales en el sentido de la lógica formal moderna, dado que en ellas la fundamentación de la tesis y la antítesis no es susceptible de presentar en forma de razonamiento lógicamente cerrado. En el proceso del conocimiento se dan antinomias (contradicciones), pero en ningún modo son formas de pensamiento lógicamente cerrado. Estas antinomias que surgen en el proceso cognoscente encuentran su solución en la creación de teorías científicas, que explican de forma desplegada (en una dialéctica de mediación) la contradicción. Una cosa son las contradicciones que surgen en el ámbito de la gnoseología como momentos del proceso del conocimiento y otra las contradicciones lógicas en forma de pensamiento lógicamente cerrado. Las aporías, antinomias, paradojas de que hablamos en este trabajo se refieren a fenómenos repudiables y no a fenómenos gnoseológicos típicos del proceso del conocimiento.
Las paradojas (antinomias, aporías) son conocidas e investigadas desde la antigüedad. El término "aporía" fue acuñado por Platón y Aristóteles, pero antes que ellos ya otros filósofos las abordaron. Los lógicos escolásticos dedicaron mucho tiempo a formular y analizar las mismas. No es hasta la crisis de las matemáticas modernas, de finales del siglo XIX, que se pone al orden del día el estudio y análisis de las paradojas lógicas, en particular las de la teoría de conjunto. Sin embargo, resucitar el problema en el siglo XXI no deja de tener fundamento.
Los avances de la ciencia, por una parte, y los adelantos de la filosofía, por la otra, permiten el replanteamiento del problema y su análisis en un nuevo plano. Al mismo tiempo, la aspiración inagotable de la razón humana a superar todos los escollos da, de por sí, una razón de ser al replanteamiento del problema. En este trabajo abordaremos las paradojas, aporías y antinomias más significativas que se han dado al estudio y encontraremos el intento de hallarle su solución.
DESARROLLO
Versa así: alguien dice "yo miento". Si en estas condiciones miente, entonces lo dicho por él es falso. Y, por tanto, él no miente. Si, de otro modo, él en estas condiciones no miente, entonces lo dicho por él es verdad, y por tanto, miente. En resumen: si al decir "yo miento", miente, entonces no miente; si, por el contrario, al decir "yo miento", no miente, entonces miente. En cualquier caso resalta que es mentiroso y no-mentiroso al mismo tiempo.
Como puede verse, después de razonar un rato, llegamos a una contradicción lógica: "es mentiroso y no es mentiroso (A y no-A)". El lector puede leer varias veces la paradoja hasta darse cuenta de la contradicción. Proponemos que intente él mismo resolverla. Si después de intentarlo no puede, entonces que nos siga.
La paradoja ha intentado resolverse con lo que nosotros dimos por llamar su enfoque contextual. Pero lo que se ha logrado no nos complace. No obstante, oigamos los argumentos. Estos son los siguientes:
Todo juicio (por ejemplo "yo miento"), se nos dice, es verdadero o falso en un contexto concreto. Quiere esto decir, se argumenta, que el juicio "yo miento" tomado sin relación con un objeto determinado no puede ser ni verdadero ni falso. Para saber si el juicio "yo miento" es verdadero o falso hace falta saber acerca de qué se habla, de qué se miente. Por ejemplo, si se nos dice "yo miento cuando digo que I. Kant no es el autor de la obra Crítica de la razón pura", entonces el individuo está diciendo la verdad. La verdad es que miente cuando dice semejante cosa. Si por el contrario, se nos dice "yo miento cuando digo que I. Kant es el autor de la obra Crítica de la razón pura", entonces el individuo está diciendo una falsedad. La falsedad es que miente cuando dice semejante cosa. Por tanto, tomado con relación a otro juicio, el juicio "yo miento" no encierra paradoja alguna. El (el juicio) es verdadero o falso, y punto.
Pero de lo que se trata aquí –decimos nosotros- no es del juicio tomado con relación a otro, sino de la calidad del juicio mismo "yo miento". Para que un juicio sea verdadero o falso no hay que tomarlo con relación a otro. La verdad es una calidad del juicio. "La verdad, nos enseña Aristóteles en su Organon, es la correspondencia de la proposición con los hechos"(3). Y aquí no importa si esta correspondencia la obtenemos por coherencia o por constatación. La verdad es una calidad del juicio que consiste en que el juicio concuerda con lo enunciado en él. ¿Qué es lo enunciado en el juicio "yo miento", la calidad mía de mentir? Si tomo la expresión "yo miento" en relación a otro juicio, la expresión "yo miento" deja de ser juicio simple y se transforma en juicio modal o en el modal de un juicio (como por ejemplo la forma modal "es bueno" en el juicio modal "es bueno que tengas hijos"). Es evidente que el modal no es ni verdadero ni falso, verdadero y falso son los juicios, las proposiciones. Por tanto, lo que nos interesa es la expresión "yo miento" tomado como juicio, como preposición.
Tomemos la expresión "yo miento" en calidad de juicio, pero insistamos en su análisis concreto. Para que la expresión "yo miento" sea un juicio y pueda ser verdadero, falso, mentira, etc. tiene que tener un contenido concreto. La expresión "yo miento" en abstracto no forma juicio, carece de sentido. Cuando alguien dice "yo miento" se refiere a algo. Sólo así la frase "yo miento" cobra sentido y forma juicio. Sólo los juicios pueden ser verdaderos, falsos, mentiras, etc. ¿Qué quiere decir el individuo cuando afirma "yo miento"?. Puede ser que se refiera a la calidad de su persona, al hecho de que va por ahí diciendo mentiras, de que dice mentiras de vez en cuando, etc. Si interpretamos así el juicio "yo miento" podemos reconstruir la paradoja.
Veamos. Alguien dice "yo miento". ¿Qué quiere decir con esta frase, que va por ahí diciendo mentiras de vez en cuando? Supongamos que cuando dice esto, miente, entonces lo dicho por él es falso, y, por tanto, no miente. He aquí la primera parte de la paradoja. Basta con interpretar el juicio "yo miento" en el sentido anterior. De igual forma podemos interpretar la segunda parte de la paradoja. ¿Cómo dice?: alguien dice "yo miento". Si al decir esto no miente (es decir, va por ahí diciendo mentiras), entonces lo ducho por él es verdad, y, por tanto, él miente. De este modo tenemos la paradoja interpretada en un contexto concreto. Intentemos resolverla.
Para resolver la paradoja –nos parece- hay que analizar dos conceptos: la verdad y la mentira. Comencemos por "la verdad". El concepto "la verdad" se usa en ocasiones para designar la calidad de un juicio. Se dice que un juicio X es verdadero cuando se corresponde, lo enunciado en él, con la realidad. Por tanto, la verdad, aquí, es la calidad de la relación entre el juicio (idea) y lo enunciado en él (cosa). Si el juicio (idea) se corresponde (hay identidad) con lo enunciado en él (cosa), entonces es verdadero. Si no hay correspondencia, entonces es falso. Pero la palabra "verdad" se usa también para designar la realidad de las cosas. Cuando digo "es verdad que estuve en tu casa", uso el término "verdad" en este otro sentido. En el sentido de que es un hecho que estuve en tu casa. Ya no se trata de la calidad del juicio, sino del ser efectivo de una cosa. También el término "error" tiene estas dos acepciones. Cuando digo: "fue un error construir la casa de este modo", tomo el término "error" en el sentido de falla de mi conducta, de cosa mal hecha, etc. Por tanto, en este sentido el término "error" no es aplicable al juicio. Pero podemos hablar de error con relación al juicio. Se trata del sentido gnoseológico, epistemológico del término "error". Cuando digo: "creer que todas las aves vuelan es un error", estoy calificando de errático a un juicio. Aquí el error es un juicio. En esta acepción del término, el error es el juicio que tomamos en la creencia que es verdadero siendo falso. No podemos saber cuales son nuestros errores. De saberlo, ya no lo serían. Sabemos que entre los juicios que tomamos como verdaderos hay algunos falsos. Esos son nuestros errores. Pero no sabemos cuáles son. En este sentido de la palabra, el término "error" es también calidad del juicio. Desde este punto de vista, los juicios pueden ser verdaderos o falsos, con la acotación que dentro de los que pensamos que son verdaderos los hay falsos. Esos son nuestros errores.
Pero también puede pasar que entre los que pensamos que son falsos, existan verdaderos. Esto también es una forma de error. Creer que un juicio es falso, siendo verdadero es un error. Desde el punto de vista epistemológico (gnoseológico), el error es siempre falla, incorrección, falsa creencia. El error es el juicio que siendo verdadero lo tomamos por falso o que siendo falso lo tomamos por verdadero. Notemos que el error –desde el punto de vista epistemológico- es siempre falsa creencia en cuanto a la calidad del juicio. Pero hay que hacer distinción entre la falla gnoseológica y la falla moral o ética, como en el caso de la mentira. No se puede confundir la mentita con el error, aunque sean conceptos próximos. Veamos.
La mentira es el juicio que le trasmitimos a otro pensando que es falso con la intención de engañarlo. La mentira es relativa a la conducta de las personas. Se trata, por tanto, de una figura moral y no epistemológica. Por ello, no es una categoría de la gnoseología, sino de la ética.
El que miente piensa, cree, etc. que lo que dice es falso. Se lo dice a otro con la intención de engañarlo. El toma un juicio que cree falso y lo enuncia como verdadero. Claro que aquí pueden pasar dos cosas: 1) que el juicio que toma por falso lo sea (que no sea un error en su saber), y 2) que el juicio que toma por falso no lo sea (que sea un error en sus conocimientos). Al primer tipo de mentira le llamaremos directa; al segundo, indirecta. Un ejemplo elemental de esta última puede ser con el juicio "los delfines son peces". Muchas personan creen que los delfines son peces. Si ahora esta persona trata de engañarnos diciéndonos que los delfines no son peces, tenemos una mentira del tipo indirecta. Es decir, de hecho tenemos por mentira una verdad, aunque el sujeto en cuestión sigue siendo un mentiroso.
Analicemos ahora la paradoja en el contexto de los dos tipos de mentira. Por otra parte, apliquemos los términos verdadero o falso, solo a la calidad del juicio.
a) Supongamos que se trata de la mentira directa (equivale a que el juicio que formulamos es falso): "alguien dice yo miento". ¿Qué quiere decir con "yo miento", que miente por ahí, que se reconoce como un mentiroso? ¿Cómo dice ahora la paradoja?, dice: "si en estas condiciones miente". He aquí el primer desliz: nadie puede decir "yo miento" y en ese mismo juicio mentir (de forma directa). Supongamos que el sujeto nunca en su vida ha mentido, supongamos que ahora afirma "yo miento". Evidentemente, miente por primera vez. Ya es mentiroso. Ahora no puede mentir (de forma directa) al decir "yo miento". El juicio "yo miento" es ahora necesariamente verdadero. En este desliz lógico se introduce la primera parte de la paradoja. ¿Cómo dice la segunda parte?, "alguien dice yo miento". Si en estas condiciones no miente, entonces lo dicho por él es verdad, y, por tanto, miente. Notemos algo, aquí se identifica la no-mentita con la verdad. Así que si no miente, entonces lo dicho por él es verdad. Conclusión falsa. El individuo puede no mentir y decir un error del tipo de la falsedad. Pero supongamos que dice la verdad y no la falsedad. ¿Cómo dice esta segunda parte?, "alguien dice yo miento". Supongamos que cuando dice esto no miente y que dice la verdad. ¿Qué quiere decir con "yo miento", que va por la vida diciendo mentiras? Pero eso no quita que ahora diga la verdad. Por eso aquí no miente. Y, por tanto, miente. Pero no al formular el juicio "yo miento", sino miente por la vida. La tesis de que miente y no miente se refiere a dos situaciones distintas: miente en la vida como norma de conducta y no miente cuando se declara mentiroso. Como vemos se introducen dos fallas lógicas. Primero, se identifica la no-mentita con la verdad y, segundo, se toma "miento y no miento" en dos relaciones distintas y se hace pasar por una sola. Con estos dos artificios se construye la segunda parte de la paradoja.
b) Supongamos que se trata de la mentira indirecta (equivale a que el juicio que formulamos es verdadero): "alguien dice yo miento". ¿Qué quiere decir con esto, que va por ahí mintiendo, que en ocasiones dice mentiras? Supongamos que alguien nos dice esto, y que al decirlo miente, miente de forma indirecta (equivale a que lo dicho por él es verdadero). Por tanto, lo dicho por él es verdad: él miente por la vida. ¿Cómo dice ahora la paradoja? Dice: "si en estas condiciones miente, entonces lo dicho por él es falso". Inferencia incorrecta: lo dicho por él, como vimos, no es falso, sino verdadero. Aquí se identifica la mentira con la falsedad, sin tomar en cuenta que existen mentiras indirectas. En este desliz lógico se introduce la primera parte de la paradoja. ¿Cómo dice la segunda parte?, dice: alguien dice "yo miento". Si en estas condiciones no miente, entonces lo dicho por él es verdad, y, por tanto, miente. Aquí hay dos detalles: 1) "si en estas condiciones no miente, entonces lo dicho por él es verdad". Esto es una inferencia incorrecta. Se identifica la no-mentita con la verdad. Pero la no mentita puede ser falsa, si se trata de un error. Supongamos que la no-mentira aquí coincide con la verdad. 2) "Si no miente al decir "yo miento", entonces dice la verdad, y, por tanto, miente". Aquí parase que miente y no miente, pero lo hace en dos relaciones distintas: no miente al decir "yo miento" y miente cuando va por la vida. Por tanto, no hay contradicción lógico-formal. Es decir, no hay situación paradójica. Como puede verse, la segunda parte de la paradoja se construye sobre la base de dos deslices lógicos: 1) identificar la no-mentira con la verdad, y 2) tomar "miente" y "no miente" que están en dos relaciones distintas, en una sola relación.
Como puede verse, la paradoja ha sido resuelta. No es cierto que en cualquier caso resulte que es mentiroso y no mentiroso al mismo tiempo. No es cierto que si al decir "yo miento" miente, entonces no miente, y si al decir "yo miento" no miente, entonces miente. Esta contradicción lógica se levanta sobre un conjunto de incorrecciones lógicas, las cuales pudimos apreciar.
II. La paradoja de la teoría de los términos
Se puede construir así: supongamos que los estudiantes se preguntan "¿será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura?" Evidentemente podemos formar el juicio "los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura". Pero los términos "I. Kant" y "el autor de la obra Crítica de la razón pura", son equivalentes. ¿En qué sentido son equivalentes?, en el sentido de que designan un mismo objeto (cosa). En virtud del principio de la equivalencia, podemos intercambiar términos equivalentes, es decir, poner en el lugar de uno al otro. Por tanto, en el juicio anterior podemos realizar esta sustitución. De aquí resulta el juicio "los estudiantes quieren saber si será I. Kant, I. Kant". Pero esto, como se comprenderá, no es lo que quieren saber los estudiantes. Pero si los estudiantes no quieren saber esto, entonces podemos formular el juicio "los estudiantes no quieren saber si será I. Kant, I. Kant". Pero el término I. Kant" es, como vimos, equivalente al término "el autor de la obra Crítica de la razón pura". Podemos, entonces, realizar de nuevo su sustitución, pero ahora en el segundo juicio. De aquí resulta el juicio "los estudiantes no quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura". Pero este último juicio es equivalente al juicio "no es que los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura". En resumen, tenemos dos juicios 1) "los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura" y 2) "no es que los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura". Es decir, tenemos "A y no-A", en otras palabras, una contradicción lógica. ¡He aquí una situación paradójica! ¿En qué consiste la paradoja?, en que tenemos una contradicción lógica. Partiendo del juicio A, por medio de razonamientos, hemos arribado al juicio no-A. Y ahora tenemos A y no-A. El lector puede leer varias veces la paradoja e intentar resolverla. De lo que se trata es de preservar el principio de la equivalencia y de encontrar los deslices lógicos que nos introducen en la situación paradójica. Si no lo logra, que nos siga y que juzgue nuestra solución. Aquí, en la paradoja, hay dos incorrecciones. 1) Del juicio "los estudiantes no quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura", no se puede pasar al juicio "no es que los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura", y 2) mal manejo de la interrogante. Veamos:
1) Es común en lógica agrupar los juicios en una clasificación universal, donde todo juicio puede ser reducido a una de estas cuatro formas: a) universal positivo (todo S es P), b) universal negativo (todo S no es P), c) particular positivo (algunos S son P), y d) particular negativo (algunos S no son P). ¿En que clase cae el juicio "los estudiantes no quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pira"?. Para responder a esta pregunta, al juicio en cuestión hay que organizarlo. Veamos. Lo primero es que se puede llevar a la forma "los estudiantes no son personas que quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura", es decir a la forma negativa. Lo segundo es que se trata de un juicio universal. Es evidente que aquí se refiere al total de los estudiantes. Por tanto, toma la forma "todos los estudiantes no son personas que quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura". Este juicio es, de este modo, universal negativo, es decir tiene la forma "todo S no es P". Y ¿qué forma tiene el juicio "no es que los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la rezón pura"?. Es evidente que tiene la forma de la negación de un juicio universal positivo. Es decir, tiene la forma "no todo S es P". La pregunta es la siguiente: ¿de la forma "todo S no es P" se infiere la forma "no todo S es P"? Como puede verse, aquí se trata de operaciones con la negación, tanto interna como externa. Investiguemos este asunto a fondo.
Es sabido que el juicio es siempre la relación entre dos conceptos. Es la relación en que un concepto se enfrenta a otro atendiendo a su volumen por medio de la cópula lógica. ¿Cuántas combinaciones caben en esta relación? Las combinaciones entre un número n de objetos se determina por la expresión "dos elevado a la n". Como aquí el número de conceptos son dos, resulta entonces cuatro. Se puede asegurar que entre dos conceptos (atendiendo a su volumen) existen sí y sólo sí cuatro tipos de relaciones: 1) incompatibles (cuando no tienen elementos de sus volúmenes comunes), 2) cruzados (cuando hay un subconjunto de elementos comunes, pero cada concepto tiene en su volumen elementos que no son comunes con el otro), 3) subordinados (cuando el volumen de uno queda incluido completamente en el del otro, pero el otro es mas amplio que el primero) y 4) equipolentes (cuando coinciden por su volumen). Esto es un axioma de la lógica.
Con este axioma, analicemos la relación que existe entre la negación interna y la negación externa. Supongamos que enunciamos el juicio "todo S no es P", es decir el universal negativo. ¿Qué relaciones entre el volumen de dos conceptos, de las cuatro posibles admite el juicio en cuestión? Aquí suponemos que S se refiere a un concepto y P al otro. Evidentemente, la relación de incompatibilidad (la No 1). Neguemos entonces el juicio en cuestión (el juicio "todo S no es P"). Es decir, obtenemos el juicio "no todo S no es P". Pero al negar el juicio "todo S no es P", que enuncia la relación de incompatibilidad (la No 1), nos trasladamos a las relaciones 2), 3) y 4). ¿Qué juicio podemos formular acerca de estas otras tres relaciones, de forma que sea válido para las tres a la vez? El juicio "algunos S son P". Es decir, al negar la relación 1) nos quedamos con la 2), 3) y 4), de las cuales sólo podemos decir "algunos S son P". Este es el juicio que engloba a las tres relaciones en cuestión. Ahora neguemos el juicio "algunos S son P". Obtenemos el juicio "no algunos S son P". Pero al negar el juicio "algunos S son P", que engloba las relaciones 2), 3) y 4), nos trasladamos de nuevo a la relación 1), es decir a la de incompatibilidad. Por tanto, el juicio "no algunos S son P" (que es la negación de las relaciones 2), 3) y 4)) es equivalente al juicio "todo S no es P" que es la relación 1)). En fin, los juicios "todo S no es P" y "no algunos S son P" son equivalentes.
El razonamiento es muy sencillo: formulamos un juicio que engloba a determinada relaciones. Al negarlo, nos trasladamos a las restantes. Enunciamos el juicio que engloba a las restantes, el cual al negarlo, nos retrotrae a las iniciales. De esta forma, partimos de "todo S no es P" y después de ir y regresar llegamos a "no algunos S son P". Por tanto, estos juicios son equivalentes. De igual forma se pueden demostrar las equivalencias siguientes: a) "algunos S son P" equivale a "no todo S no es P", b) "algunos S no son P" equivale a "no todo S es P", c) "todo S es P" equivale a "no algunos S no son P".
Pero la que nos interesa es la primera. ¿Cómo dice el razonamiento que hay en el final de la paradoja? Dice que los juicios "los estudiantes no quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura" y "no es que los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura", son equivalentes. Pero estos juicios, como se recordará, tienen la forma "todo S no es P" y "no todo S es P", respectivamente. Y no son equivalentes como acabamos de ver. El juicio "todo S no es P" es equivalente al juicio "no algunos S son P" y no guarda equivalencia con el juicio "no todo S es P". ¿He aquí un desliz lógico! La incorrección consiste en una mala operación con las negaciones, con sus giros de internas en externas y viceversa. Pero esto no agota las incorrecciones lógicas que en la paradoja encontramos. Hay más, veamos.
2) En el juicio "todos los estudiantes quieren saber si será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura" encontramos instalada una interrogante. ¿Cuál?, la interrogante: ¿será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura? Analicemos la idea que representa una interrogante.
Supongamos que tenemos la interrogante ¿será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura? Ahora bien, los términos "I. Kant" y "autor de la obra Crítica de la razón pura", son equivalentes (más exactamente, equipolentes pues coinciden por su volumen). Si ahora hacemos la sustitución, resulta la interrogante ¿será I. Kant I. Kant? Evidentemente, al sustituir términos equivalentes (equipolentes) se modifica el sentido de la interrogante. Pero las interrogantes no son ni verdaderas ni falsas. Es por ello que no podemos decir que la segunda interrogante es falsa, sino que tiene otro sentido, un sentido distinto del de la primera. El sentido de la segunda pudiera entenderse así: hay una persona que se dice llamar I. Kant. Surge la duda de si esta persona que ahora dice llamarse I. Kant es el I. Kant autor de la obra en cuestión. Por ello nos preguntamos ¿será I. Kant I. Kant? El sentido de la interrogante es que pueden existir dos I. Kant, uno autor de la obra y el otro no. Por tanto, aquí no se trata de que la segunda interrogante sea falsa, sino de que tiene otro sentido, un sentido distinto de la inicial. Analicemos más a fondo lo que es una interrogante.
En toda interrogante hay instalada una base. La base de la interrogante es el juicio que resulta como respuesta a la interrogante o el juicio que contiene la respuesta de la interrogante. Tomemos, por ejemplo, el juicio "el perro negro es el que ganó la pelea". Acerca de este juicio podemos formular varias interrogantes: a) ¿Quién ganó la pelea? Respuesta: el perro negro, b) ¿Cuál perro ganó la pelea? Respuesta: el negro, c) ¿Qué hizo el perro negro? Respuesta: ganó la pelea, d) ¿Qué hizo en la pelea el perro negro? Respuesta: ganó, e) ¿Es el perro negro el que ganó la pelea? Respuesta: sí, es el perro negro el que ganó la pelea, f) ¿El perro negro ganó la pelea? Respuesta: sí, ganó la pelea, g) etc. Estas interrogantes, como vemos, tienen por base el juicio "el perro negro es el que ganó la pelea". La esencia de la base es que contiene la respuesta a la incógnita que hay instalada en la interrogante. La interrogante es una idea que contiene una incógnita, una variable que hay que despejar. Denotemos esta variable por X y convirtamos la interrogante en un juicio formado por una variable.
Veamos: a) ¿Quién ganó la pelea? …….. "X ganó la pelea", b) ¿Cuál perro ganó la pelea?……. "el perro X ganó la pelea", c) ¿Qué hizo el perro negro?…….. "el perro negro X la pelea", d) ¿Es el perro negro el que ganó la pelea?…… "X el perro negro el que ganó la pelea". Podría decirse que la interrogante es un juicio abstracto, abstracto porque contiene una variable, incógnita, etc. que hay que despejar. Precisamente, al responder a la interrogante lo que hacemos es despejar la variable que hay instalada en el juicio abstracto que es parte de la base de la interrogante.
Notemos algo. En ocasiones las interrogantes se clasifican en directas e indirectas. Es directa la interrogante en la cual la respuesta es "sí" o "no". Es indirecta la interrogante cuando encontramos palabras que denotan la interrogación y por lo cual las respuestas son términos distintos de "sí" o "no". La pregunta: ¿será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura?, es, como puede verse, directa. Pero tanto en las interrogantes directas como indirectas hay una incógnita por despejar, y ambas son juicios abstractos porque contienen una variable.
Esto es lo importante. Las interrogantes no se pueden tratar, en cuanto a la sustitución de términos, como a los juicios comunes, porque en ellas hay una variable que requiere ser despejada y la sustitución le puede cambiar el sentido a la expresión. Responder una interrogante significa despejar la variable que hay instalada en la expresión (juicio abstracto). Pero, ¿que significa despejar esta variable?, significa encontrar el significado de esta variable. Si cambiamos términos equipolentes, podemos cambiar el significado de la interrogante porque los términos equipolentes tienen, aunque igual volumen, distintos significados.
Todo término tiene un significado. El significado del término no es la cosa que se designa con el concepto, ni es su volumen. El significado del término es parte de la idea, es su contenido. Por tanto, el significado del término entra en el significado de la interrogante. Cuando digo "el autor de la obra Crítica de la razón pura" destaco como significado de esta idea: 1) el ser autor, 2) el ser autor de una obra y 3) el ser autor de la obra Crítica de la razón pura. Cuando digo "I. Kant" destaco como significado de esta idea el ser una persona que tiene por nombre I. Kant. Como puede verse, estos significados son totalmente distintos. En un juicio común esta diferencia no se hecha a notar.
Cuando digo "I. Kant era prusiano" puedo sustituir términos y decir "el autor de la obra Crítica de la razón pura era prusiano" Aquí estos juicios pueden pasar por equivalentes; ¿por qué?, porque en los juicios los conceptos (términos) se relacionan por su volumen. Y los términos "I. Kant" y "autor de la obra Crítica de la razón pura" son equipolentes, lo que condiciona la equivalencia de los juicios anteriores. Pero en las interrogantes hay que ser más cuidadoso.
Tomemos las interrogantes siguientes: ¿será I. Kant prusiano? y ¿será el autor de la obra Crítica de la razón pura prusiano? Como puede verse, estas interrogantes también son equivalentes, aunque hemos efectuado sustitución de términos. Aquí, el problema radica en las respuestas a estas preguntas. ¿Cuáles son las respuestas a estas preguntas? La respuesta será, de la primera "sí, era prusiano" y de la segunda, "sí, era prusiano". Como puede verse es la misma. Evidentemente, en las interrogantes anteriores el término clave es "prusiano". Es este término el que se acusa en la respuesta. Y es el significado de este término lo que se busca con la interrogante, el que se acusa. Por tanto, la sustitución de términos se puede realizar siempre que no afecte el término que se acusa en la interrogante, porque aquí se acusa no el volumen del término sino su significado. Y los términos equipolentes son equivalentes por su volumen, pero no por su significado.
En la interrogante: ¿será I. Kant el autor de la obra Crítica de la razón pura?, el término que se acusa es "autor de la obra Crítica de la razón pura". Eso se puede ver por la respuesta (sí, es el autor de la obra Crítica de la razón pura). Por tanto, este término no se puede sustituir. ¿Por qué?, porque interesa no por su volumen sino por su significado. Esto quiere decir que de sustituirlo se afectaría el significado de la interrogante, con lo que se comete una imprecisión lógica. Se ha violado la ley de la identidad. ¿Qué expresa esta ley?, que en el transcurso del pensamiento el significado de una idea debe permanecer idéntica a sí misma, que no se puede variar. ¡He aquí el meollo de la situación paradójica! Esto quiere decir que el principio de la equivalencia es válido sólo cuando se trata de operaciones con volúmenes de términos (conceptos) y no cuando se trata de operaciones con el significado de los conceptos. Pensamos que con esto queda resuelta la paradoja en cuestión.
III. La paradoja de la teoría de conjunto
Bertand Russell descubrió en una obra de Gottlob Frage la paradoja del conjunto de todos los conjuntos propios y de entonces para acá se ha debatido mucho. El problema consiste en que la teoría de conjunto se encuentra en el fundamento de las matemáticas modernas y una contradicción en esta teoría pone en crisis todo el edificio de las matemáticas. Nosotros vamos a intentar resolverla, pero a la par de su solución intentaremos solucionar otras paradojas que son análogas y que entran todas en un caso común. Tomamos como título del capítulo la del conjunto por ser la más conocida. Pero centraremos nuestro análisis en todas ellas a la vez.
a) La paradoja del barbero.
Consideremos un ejército que está en combate. Evidentemente, producto del combate resultan malheridos muchos soldados. Es normal que entre los malheridos existan soldados que no se pueden afeitar. ¿Qué hacer con estos soldados? Muy simple, el general ordena a un soldado afeitar a todo aquel que no sea capaz de afeitarse él mismo. Llamemos a éste soldado-barbero. Él tiene la tarea de afeitar a todo aquel que no sea capaz de afeitarse el mismo, que no esté en condiciones de hacerlo. Surge la cuestión siguiente: ¿qué debe hacer este soldado-barbero con relación a él mismo? Si se afeita, contradice la orden del general, pues él sólo puede afeitar a quien no sea capaz de afeitarse él mismo. Por tanto, no debe afeitarse. Si no se afeita, entonces su barba crecerá, se verá en la necesidad de afeitarse. Pero con ello estará en la lista de los soldados que no son capaces de afeitarse él mismo, y con ello deberá afeitarse para poder cumplir la orden del general. ¿En qué consiste la situación paradójica? En que si se afeita, no debe hacerlo; y en que, por el contrario, si no se afeita, debe hacerlo. Por tanto, se afeita y no se afeita al mismo tiempo.
b) La paradoja del alcalde.
Sabemos que cada alcalde vive o bien en la ciudad de la que es alcalde o bien fuera de ella. Supongamos que el presidente de la nación ordena construir una ciudad donde puedan radicar todos los alcaldes que no vivan en su ciudad. El presidente ordena que todos los alcaldes que no vivan en la ciudad de la que son alcaldes, deban vivir en esta ciudad especial. Pero esta ciudad especial es una ciudad más. Por tanto, necesitará de un alcalde. La pregunta es la siguiente: ¿dónde debe vivir el alcalde de la ciudad de los alcaldes? Si vive en ella, entonces no debe hacerlo (por orden del presidente aquí vivirán sólo los alcaldes que no vivan en la ciudad de la que son alcalde). Y, si vive fuera de ella, entonces deberá hacerlo (por orden del presidente debiera vivir en ella, por cuanto esta ciudad está destinada para los alcaldes que no viven en la ciudad de la que son alcalde). ¿En qué consiste la paradoja? En que si vive en la ciudad, no debe hacerlo; y si no vive, entonces debiera hacerlo. Por tanto, vive y no vive en la ciudad al mismo tiempo.
c) La paradoja del catálogo.
Es sabido que en las bibliotecas abundan los catálogos. Un catálogo es un inventario o lista de libros, textos, documentos, etc. e incluye los propios catálogos. Por ello, los catálogos pueden ser clasificados en dos tipos: 1) los normales, y 2) los anormales. Serán normales los catálogos que no se contienen a sí mismos, enumerándose dentro de la lista. Serán anormales los catálogos que sí se contienen a sí mismo como elemento. Es decir, que en el inventario que enumeran ocupan un número X. Supongamos entonces que el bibliotecario ordena al asistente construir un catálogo de todos los catálogos normales y solamente normales. La pregunta es la siguiente: ¿cómo debe comportarse este catálogo especial con relación a él mismo? Si el asistente lo enumera a él en su propia lista, ya el catálogo especial no sería normal. Por tanto, incumple la orden del bibliotecario. Si no lo enumera, entonces hay un catálogo normal (precisamente él) que no está enumerado, que queda fuera del catálogo especial. Por tanto, también incumple la orden del bibliotecario. ¿En qué consiste la situación paradójica? En que si este catálogo especial se contiene, entonces no debía contenerse; y si, por el contrario, no se contiene, entonces debía contenerse. Por tanto, se contiene y no se contiene al mismo tiempo.
d) La paradoja del conjunto propio.
Sabemos que todo conjunto está formado por un número X de elementos. Por ejemplo, el conjunto de las estrellas comprende todas y cada una de las estrellas. Ahora bien, al formar el conjunto de todas las estrellas formamos una cosa más. Pero esta cosa, que es el conjunto de todas las estrellas, no es una estrella. Es otra cosa. Este tipo de conjuntos los llamamos propios. Es propio el conjunto que como cosa no es lo mismo (no pertenece al género) que lo que son sus elementos. Pero podemos hablar de conjuntos impropios. ¿Cuándo el conjunto es impropio? Cuando él como cosa es un elemento igual a los elementos que lo integran. Se trata, aquí, de que él como cosa es una cosa al estilo de sus elementos. Por ejemplo, un catálogo de diez catálogos (es decir, un catálogo que consiste en la enumeración de diez catálogos de otras cosas) es un catálogo más. Este conjunto será impropio. Supongamos entonces que nos deshacemos de todos los conjuntos impropios. Es decir, nos quedamos solamente con los conjuntos propios. Formemos ahora el conjunto de todos los conjuntos propios. La pregunta es: ¿y el conjunto de todos los conjuntos propios qué cosa es; propio o impropio? Si el conjunto de todos los conjuntos propios no se contiene como elemento, entonces será propio. Pero por cuanto es un conjunto propio este conjunto especial, debiera contenerse (pues él es el conjunto de todos los conjuntos propios). Supongamos que es impropio, que se contiene a sí mismo en calidad de elemento. Pero si es impropio, entonces no puede ser elemento de este conjunto especial, pues él está formado sólo por conjuntos propios. Así que, si el conjunto de todos los conjuntos propios es propio; debiera contenerse, pues él es el conjunto de todos los conjuntos propios. Pero si entonces se contiene, deja de ser propio. Por tanto, pasa a ser impropio. Por otra parte, si es propio es porque se contiene. Pero si se contiene, no debiera contenerse, pues él es el conjunto de todos los conjuntos propios y de contenerse, él sería impropio. Por tanto, si es propio, debiera ser impropio; y si es impropio, no debiera serlo. Como puede verse, estamos ante una situación paradójica.
El lector puede releer estas cuatro paradojas e intentar resolverlas. Si no las resuelve, le proponemos que nos siga. Fácil es darse cuenta que las cuatro tienen una misma estructura lógica. Por ello, bastaría con resolver una para resolver de forma teórica las restantes. Intentemos resolverlas
Parecería como que aquí –en las cuatro paradojas anteriores- hay instalada una contradicción lógica. ¿En qué consistiría esta contradicción? En que el conjunto de todos los conjuntos propios es propio e impropio al mismo tiempo, en que el catálogo de todos los catálogos normales es normal y anormal al mismo tiempo, en que el alcalde vive en la ciudad y no vive en ella al mismo tiempo, y en que el soldado-barbero se afeita y no se afeita al mismo tiempo. Notemos que estos juicios anteriores tienen la forma de una contradicción lógica, es decir "A y no-A".
Pero esta contradicción –decimos nosotros- es aparente. En el fondo no hay contradicción lógico-formal. Todo consiste en confundir una contradicción con una contradicción lógico-formal. Analicemos, por ejemplo, la paradoja del alcalde. ¿En qué consiste la contradicción? En que si vive en la ciudad, entonces no debe vivir en ella; y en que si no vive en ella, entonces debe vivir en ella. La tesis de que vive y no vive en ella se saca de la tesis anterior, pero aquí no hay –decimos nosotros- inferencia lógica. Esta conclusión es forzada. Evidentemente, puede existir el presidente, la ciudad y el alcalde. Pero lo que es contradictorio no es ninguno de estos tres elementos, sino la orden del presidente. La ciudad puede ser una ciudad como otra cualquiera, el alcalde igual a cualquier alcalde, y el presidente como todo presidente. Supongamos que el alcalde vive en la ciudad. Si vive en la ciudad, vive. Lo que no debe vivir. Aquí la contradicción es entre el ser (el hecho de que vive) y el debe ser (el hecho de que no debe vivir en ella). Supongamos que no vive en ella. Si no vive, no vive. Lo que si no vive, entonces debe vivir en ella. De nuevo la contradicción es entre en el ser y el debe ser, es decir entre el hecho de que no vive en ella y el precepto de que debe vivir en ella. Pero El ser y El debe ser son dos esferas distintas. La primera es la esfera ontológica y la segunda, la deontológica. Pero las leyes de la lógica –decimos nosotros- son para la esfera del ser (ontología) y no para la esfera del debe ser (esfera deontológica). Una contradicción entre estas dos esferas no consiste en una contradicción lógico-formal. Es una contradicción, sí, pero no lógico-formal. La lógica formal prohíbe las contradicciones del ser, de la esfera ontológica; pero no de la esfera del debe ser, de la esfera deontológica. ¿Qué es lo contradictorio en todo este conjunto de elementos?, la orden del presidente. La orden del presidente encierra un contrasentido, que se despliega como contradicción entre el ser y el debe ser. Pero la orden del presidente es un imperativo, y los imperativos tocan la esfera del debe ser, pertenecen a la esfera deontológica. Es claro que los imperativos pueden ser contradictorios y encerrar contrasentidos. No se puede aplicar las leyes de la lógica a cualquier capricho. Sacar las leyes de la lógica (la ley de la no contradicción) de la esfera del ser es cometer un desliz lógico. ¡He aquí el fundamento de la situación paradójica!
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