Ampliación del contenido de integrales en cálculo

1. Reseña de la integral
2. La antiderivada
4. Aplicación de la integral en los sólidos de revolución
5. Conclusiones
6. Bibliografía

RESEÑA DE LA INTEGRAL

Arquímedes de Siracusa (287 – 212) resolvió los primeros problemas relativos al (hoy llamado) cálculo integral. En particular, halló el centro de gravedad de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio; y de un segmento de parábola. Calculó el área de un segmento de parábola, cortado por una cuerda. Demostró que (a) la superficie de una esfera es 4 veces la de su círculo máximo; (b) el volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito; (c) la superficie de una esfera es 2/3 de la superficie de este cilindro, incluyendo sus bases. Resolvió el problema de como intersectar una esfera con un plano, de forma de obtener una proporción dada entre los volúmenes resultantes.

Johannes Kepler: Kepler parece haberse casado con su primer esposa, Bárbara, por amor (a pesar de que el casamiento fue acordado mediante un intermediario). El segundo casamiento, en 1613, fue una cuestión de necesidad práctica; precisaba alguien para encargarse de sus hijos.

La nueva esposa de Kepler, Susana, tuvo un curso acelerado sobre el carácter de Kepler: en la carta dedicatoria al libro de casamiento explica que en la celebración de la boda el notó que los volúmenes de los barriles de vino eran estimados mediante una vara introducida en forma diagonal, por el agujero de la tapa, y comenzó a preguntarse como podría funcionar eso.

El resultado fue el estudio de los volúmenes de los sólidos de revolución (New stereometry of wine barrels…, Nova sterometria doliorum…, Linz, 1615) en la cual Kepler, basándose en el trabajo de Arquímedes, utilizó la resolución en `indivisibles'. Este método fue luego desarrollado por Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) y es parte de la historia ancestral del cálculo infinitesimal.

Sir Isaac Newton… en un período de menos de dos años, cuando Newton tenía menos de 25 años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física, y astronomía. Mientras Newton estaba en casa (debido a una plaga que cerró la Universidad de Cambridge, en la que estudiaba) estableció las bases del cálculo diferencial e integral, varios años antes de su descubrimiento, en forma independiente, por Leibniz.

El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en su crucial visión de que la integración de una función era meramente el procedimiento inverso de su derivación. Tomando la derivación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas aparentemente no relacionados como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo, y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al ingles en 1736.

El número e se define por la fórmula e=exp. (1) donde exp. (x) es la función inversa de la función Log(x). (El logaritmo se define como la integral en el intervalo [1, x] de la función 1/x.) Se escogió la letra e en memoria del matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783), y se llama número de Euler. El número e es un número trascendental; es decir, no se puede expresar como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. (La demostración de que e es un número trascendental se debe a Charles Hermitte en 1873.) El valor de e=2.718281828…

de "El Cálculo con Geometría analítica", de Louis Leithold.

Isaac Newton (1642-1727) nació el 25 de Diciembre de 1642 según el calendario Juliano, todavía usado por entonces en Inglaterra, o el 4 de Enero de 1643 con respecto a nuestro calendario Gregoriano. Fue profesor de matemáticas en Cambridge y luego jefe de la casa de la moneda en Londres. Sus principales ideas fueron desarrolladas en 1664-1666 cuando estaba recluido en su casa natal de la aldea de Woolsthorpe, ya que el Trinity College de Cambridge, donde Newton era estudiante, estuvo cerrado por la epidemia de la peste. Alli desarrolló sus ideas de la gravitación universal, de la teoría de los colores y sobre la serie del binomio y el cálculo de fluxiones.

De naturaleza entonces tímida era reacio a publicar sus resultados, para así evitar las posibles críticas y controversias de sus contemporáneos. En Octubre de 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobre series infinitas que circuló en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Society. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura de curvas de 1693. Sin embargo estos fueron publicados hasta bien tarde y algunos sólo lo fueron después de su muerte. De analysi fue publicado en 1711 y el tratado sobre cuadratura de curvas, De Quadratura Curvarum de 1693 apareció como un apéndice de su Opticksen 1704. Su obra más famosa, donde expone su teoría de la gravitación universal, los Principia, fue publicada en 1687, pero sus argumentos son muy geométricos y sólo dan una idea de sus métodos del cálculo infinitesimal.

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del vice-presidente de la facultad de filosofía de la universidad de Leipzig. De joven, estudió filosofía, derecho y lenguas clásicas. Su principal interés estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje simbólico para representar los conceptos fundamentales del pensamiento humano y las maneras de combinar estos símbolos para llegar a conceptos más elaborados. Esta idea filosófica, que tiene relación con la combinatoria, fue ya algo en parte elaborada por franciscano mallorquín Ramón Llull (1235-1316) en su Arte Luliano.

Poco después de acabar sus estudios, Leibniz empezó en 1672 una misión diplomática en Paris donde permanecería unos cuatro años hasta 1676. Allí conoció a numerosos filósofos y miembros de la alta sociedad, en particular al holandés C. Huygens (1629-1695), entonces miembro de la recién creada Académie Royale des Sciences. Como curiosidad Huygens le planteó a Leibniz que hallara la suma de los inversos de los números triangulares. Mediante sumas y diferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entonces creció su interés en estudiar matemáticas, cuya formación hasta entonces había sido muy escasa. Huygens le recomendó que leyera la renovada edición en latín de van Schooten de la Géometrie de Descartes y los trabajos de Pascal. La entrada matemática de Leibniz fue entonces impresionante, ya que le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684 y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.

El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral.

Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos  "" y  "d" de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. En matemáticas su cálculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo característico.

Leibniz pasó la mayor parte del resto de su vida en Alemania, como consejero del duque de Hannover. Aparte de la invención y del desarrollo de su cálculo y en la solución de problemas geométricos y de ecuaciones diferenciales, Leibniz tiene otros trabajos en solvabilidad de ecuaciones y determinantes y escribió y contribuyó enormemente en prácticamente todos los campos del conocimiento humano, religión, política, historia, física, mecánica, tecnología, lógica, geología, linguística e historia natural.

Aunque oscuros y difíciles de leer, los dos artículos de Acta de Leibniz de 1684 y 1686 fueron leidos por los hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Jakob Bernoulli era profesor de matemáticas en Basilea y su hermano Johann, unos trece años más joven, le sucedió después en 1705. Ambos entendieron notablemente el simbolismo y los conceptos de Leibniz y publicaron varios artículos en Acta a partir de 1690. Después iniciaron una intensa y productiva correspondencia con Leibniz, resolviendo en unos pocos años numerosos problemas en los que el nuevo cálculo demostró toda su fuerza, tales como el la isócrona, la catenaria, la tractriz, la isócrona paracéntrica o la braquistocrona.

LA ANTIDERIVADA

Una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la siguiente forma:

Encontrar la función f(x) de la cual derivada es conocida.

Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x)

La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar a símbolo:

Concretamente diremos que

Aunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar el análisis de este concepto.

Así por ejemplo podemos tener f1(x)= 3x y con ello f1´(x)dx=3dx por lo que

 Pero podemos observar que si la función es f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces f2´(x)dx=3dx por lo que

Podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f1(x) cualquier constante y tener el mismo diferencial por lo que una expresión más general a considerar es la siguiente:

 A la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. A la expresión anterior se le conoce como integral indefinida.

 Retomemos el ejemplo:

Que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:

Lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integración obtenemos la función a integrar. De forma más general tendremos:

Como podemos observar el operador de derivada en un operador inverso al de integración, hemos concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el operador de integral antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta, y en ocasiones, no siempre podremos obtener una solución.

Ejemplos:

1.

2.