Ampliación del contenido de integrales en cálculo (página 2)

 Integral Indefinida

Dada una función f(x), una primitiva arbitraria de f se denomina generalmente integral indefinida de f(x) y se escribe en la forma.

La primitiva de una función también recibe el nombre de antiderivada.

Si es una función tal que para x en un intervalo , entonces la integral indefinida de está dada por:

C es cualquier número real y recibe el nombre de constante de integración.

Puede decirse que si se conoce cualquier función primitiva de de la función , entonces cualquier otra primitiva de tiene la forma , donde C es una constante.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS

Si f(x) y g (x) son dos funciones que tienen integral indefinida, y k es una constante, entonces

La integral de la función nula f(x)=0, es:

La integral de una función constante f(x)=k, es:

Ejemplos:

1.

2.

La integral de una función f(x)=x, es

La integral de una función potencia f(x)= , con , es:

Ejemplos:

1.

2.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Los métodos de integración son los medios por los cuales se puede conocer una función indefinida que ya está dada, pero que no conocemos, existen tres métodos de integración, son uno es por el manejo de la propiedades, otro es por sustitución y el ultimo es por partes a su vez todos los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo.

.INTEGRACIÓN POR PARTES

La integración por partes consiste en descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una integral que, pretendidamente, es más sencilla que la de partida.

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Eligiendo adecuadamente los valores de u y dv, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

Para elegir la función u se puede usar las siguientes reglas:

Logarítmicas, Inversas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales. LIATE.

Como norma general elegiremos como u la parte del integrando fácil de derivar y como dv la parte fácil de integrar. Sea la diferencial de la función producto u·v:

DESARROLLO DEMOSTRACIÓN

Al integrar en ambos lados de la ecuación:

Al cancelar derivada con la integral y separar la integral de la suma en una suma de integrales se obtiene:

Finalmente al despejar

Ejemplos:

1.

u= x; dv=senx.dx. Entonces, du=dx y v= -cosx.

2.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

El método de integración por sustitución se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una

integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Esta integración esta definida por la formula:

Ejemplos:

1.

U=

2.

INTEGRAL DEFINIDA

Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:

Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura.

De esta manera la superficie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos D S, cuya área la denotaremos con D A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión) Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con D x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S (rarb) d (rarb). Por lo que:

D A =½(f(x) + f(x+D x)) D x, y dividiendo por D x se tiende A =½(f(x) + f(x+D x)) Dx y al evaluar el límite cuando D x tiende a cero: Lim D A =Lim ½(f(x) + f(x+D x)) =½(2f(x)) =f(x) (D x tiende a 0). D x Luego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que el área es una función primitiva de f(x); la que denotaremos con F(x).

Para determinar D A, bastará calcular f(x+D x) dx – f(x) dx lo que se escribe: f(x) dx y que es igual a F(x+D x)- F(x).

Integral Definida: sumatoria de incrementos de áreas bajo la curva.

Supongamos ahora, la representación gráfica de la función y=f(x), como se muestra en la figura. Situemos dos puntos fijos a y b sobre los que levantaremos rectas perpendiculares al eje x, de tal forma que todo f(x) sea del mismo signo siempre que a<x<b.

De esta forma, hemos definido una figura cuya superficie af(a)f(b)b se encuentra situada bajo la curva y=f(x) y limitada por la recta x. Tracemos un haz de rectas paralelas que contengan a las levantadas, previamente, en los puntos a y b. Las distancias entre rectas consecutivas pueden variar o pueden ser iguales; pero, su cantidad será tal que las distancias entre dos de ellas sea un infinitésimo. Con esto, la figura queda dividida en superficies infinitamente pequeñas cuyas áreas, en conjunto, suman el área de la figura que las contiene. Esta forma de dividir la figura es válida, tomando en cuenta el criterio anteriormente utilizado para el cálculo de incrementos de área bajo la curva, que nos permitió establecer que f(x) y f(x+D x) se encuentran situados en una misma recta (ver III). Cada recta del haz, junto a la gráfica de la función y el eje x contendrá un delimitador de las superficies infinitamente pequeñas antes mencionadas. Con estas premisas, podemos calcular el área bajo la curva y= f(x) definida por los puntos a y b. Utilizando nuestra fórmula para el área del polígono y suponiendo k rectas paralelas del haz, identificadas desde a hasta b como ri (i=0,…., k-1) tendremos:

A= å ½ S (riri+1) d (riri+1), con I =0, k-2. Si identificamos los puntos x donde se levanta cada recta, con el mismo subíndice, tomando en cuenta que a=x0 y b= xk-1, podemos calcular los incrementos de as áreas a partir de ri así:

½ S (r0r1) d (r0r1) = F(x1)-F(a)

½ S (r1r2) d (r1r2) = F(x2)-F(x1)

½ S (r2r3) d (r2r3) = F(x3)-F(x2)

½ S (r3r4) d (r3r4) = F(x4)-F(x3)

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS:

Propiedad 1: . Es decir, si la base del área de la región najo la curva es cero, el área es cero.

Propiedad 2: . Es decir, el área de la región bajo la curva siempre será positiva si f(x) es positiva.

Propiedad 3: . Es decir, que el área de la región bajo la curva siempre será negativa si f(x) es negativa.

Propiedad 4: si f es una función integrable en un intervalo que contiene los puntos a, b y c, tal que a<b<c,

Entonces:

Propiedad 5: Si f y g son funciones integrables en [a, b], entonces también son f + g y f – g. así:

Propiedad 6: , para toda k constante

Propiedad 7: , es decir, al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la integral.

Propiedad 8: si f y g son funciones integrables en [a, b] y si , entonces .

Propiedad 9: , Es decir, si la función es constante, su integral es el producto de las constante por la diferencia de los limites de integración.

Ejemplo: Halle

Como f(x) = x3 es continua en el intervalo [-2, 1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud y para el cálculo de la integral consideramos el extremo   derecho   de   cada   subintervalo   ti =.

= =

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

=

Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN LOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Sea f una función definida en el intervalo [a,b].

Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje x, la región limitada por la gráfica de y= f(x), el eje x y las gráficas de x=a y x=b. El eje x es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje x es un círculo.

Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el "volumen" de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).

Consideremos una partición Pn del intervalo [a,b.] determinada por el conjunto de números

donde, con. , con

Sea un aumento de Pn.

Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son , y cuyas bases tienen radios

El volumen del ésimo disco es:

La suma

de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.

Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición:

Si existe un número tal que dada exista para la cual

para toda partición Pn de [a,b] y todo aumento Tn de Pn, y con , este número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de alrededor del eje x.

Si es la función dada por para , entonces la suma de aproximación:

utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como:

donde .

Luego, de la definición de integral y de la definición de dada, se tiene que

 Consideremos ahora dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a,b], tales que para . Sea la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones y=f(x), y=g(x) y las rectas con ecuaciones x=a, x=b.

Deseamos determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje x (note que en este caso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras).

El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

Sea Pn una partición del intervalo [a,b] determinada por el conjunto de números con para , y sea un aumento de Pn.

En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.

Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .

Luego, el área del anillo circular es:

por lo que el volumen del ésimo elemento sólido será:

Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:

Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido.

 Si existe un número V tal que dada exista para la cual

Para toda partición Pn de [a,b] y todo aumento Tn de Pn, y con , este número de es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de y=f(x), y=g(x), x=a, x=b, alrededor del eje x.

Si h es la función dada por: para , entonces la suma de aproximación

  Utilizada en la definición 8, puede escribirse como:

donde .

Luego se tiene que:

CONCLUSIONES

• La integral es una operación contraria a la derivada, es decir, integral significa volver a la función que se tenía antes de derivar.
• Para poder integrar con éxito no solo es necesario aplicar bien las propiedades de la derivación, sino también saber usar los tres métodos de integración, el de sustitución, integración por partes y fracciones parciales.

BIBLIOGRAFÍA

CHÁVEZ LÓPEZ, Hugo Hernán. Introducción al cálculo. Editorial Santillana. Bogotá. 2004. 352 Pág.

http://aula.elmundo.es/aula/laminas/lamina1141639712.pdf

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.1.html

Miguel Angel Correal Betancur