Un estilo matemático de pensar para la solución de tareas docentes en los escolares primarios

1. Resumen
3. Pensamiento matemático
4. Pensamiento combinatorio
5. Consideraciones finales
6. Referencias bibliográficas

RESUMEN

En el artículo, se realizan reflexiones acerca del estilo matemático de pensar, esclareciendo elementos esenciales sobre los términos "pensamiento lógico", "pensamiento matemático" y "pensamiento combinatorio", en el que los autores ofrecen una conceptualización de estos para el trabajo del maestro con los escolares primarios. Se proponen tareas docentes de los libros de texto de la escuela primaria en las que están presentes ideas combinatorias y se aporta la solución a una tarea que pone de manifiesto las limitaciones que puede tener el maestro al trabajar el desarrollo del pensamiento combinatorio en los escolares primario

Palabras claves: Pensamiento Matemático, pensamiento lógico, pensamiento combinatorio, didáctica de la matemática, aprendizaje matemático.

ABSTRAC

In the article, they are carried out reflections about the mathematical style of thinking, clarifying essential elements on the terms logical thought, mathematical thought and combine thought, in which the authors offer a conceptualization of these for the teacher's work with the primary scholars. They intend educational tasks of the books of text of the primary school in those that are present you devise combine and the solution is contributed to a task that shows the limitations that he/she can have the teacher when working the development of the combine thought in the primary scholars.

Key words: Mathematical thought, logical thought, combine thought, didactics of the mathematical one, mathematical learning.

INTRODUCCION

La verdadera realización de una enseñanza científica está íntimamente ligada a la formación en los niños y las niñas ya desde los primeros grados de las bases del pensamiento teórico, que está en el fundamento de la actitud creativa del hombre hacia la realidad (Davidov V. 1987 p. 143-154). La formación de un pensamiento lógico desde los primeros años de escolarización es objetivo en todas las asignaturas del curriculum en los diversos sistemas educativos.

En el escolar, ya desde edades tempranas coexisten tres tipos de pensamientos, el concreto; que es el que se queda al nivel de lo perceptiblemente externo, el funcional que opera con el uso del objeto o fenómeno y el lógico conceptual que al operar con conceptos comienza a regular los procesos de la memoria y la imaginación, como consecuencia de una forma superior de la actividad cognoscitiva que se inicia en la escuela (conocimiento racional).

En la literatura científica aparecen expresiones como: pensamiento concreto, pensamiento abstracto, pensamiento matemático, pensamiento lógico, pensamiento probabilístico, pensamiento variacional, pensamiento divergente, pensamiento combinatorio, etc.

En general se consideran como expresiones que se generan por la forma en que se manifiesta el pensamiento de un individuo ante la solución de problemas (en su concepción más general) en el aprendizaje escolar o de la vida diaria.

Ahora bien, en el proceso cognoscitivo que se realiza en la escuela, cada materia que se aprende aporta estilos específicos del pensar, por ejemplo, la Matemática aporta un entrenamiento dirigido a desarrollar una forma y un procedimiento de pensar y aprender ante situaciones muy generales (una situación en la vida diaria) o muy específicas (que bien pudiera ser un procedimiento escrito de cálculo o la solución de un tipo de ecuación entre otras muchas).

Es el maestro quien a través de sus clases tiene la misión de la formación y desarrollo del pensamiento lógico en el escolar. Circunscribir estos planteamientos generales en la asignatura de Matemática precisa la necesidad de conceptuar diferentes tipos de pensamiento que se manifiestan en la enseñanza y el aprendizaje de esta materia con el objetivo de integrar estilos de pensar, pues de hecho ante la solución de una situación determinada en esta asignatura coexisten distintos tipos de pensamientos (posibles también en el niño). ¿Conoce el maestro las características de los diferentes tipos de pensamiento? Tratar entonces de ofrecer algunas reflexiones que permitan esclarecer estos aspectos es el objetivo.

PENSAMIENTO MATEMÁTICO.

El término "pensamiento lógico" en el que está presente una cualidad que se le atribuye al pensamiento, la de ser lógico, es una categoría que se emplea con mucha frecuencia en la escuela. ¿Qué entendemos entonces por lógico?

1. El uso cotidiano del término da idea de natural, adecuado, etc.
2. También se utiliza para calificar el pensamiento en el sentido de su validez y su corrección, en este sentido se entiende por lógico un pensamiento que es correcto, es decir, un pensamiento que garantice que el conocimiento mediato que proporciona se ajuste a lo real. (Campistrous L. 1983).

La segunda elección es propia del trabajo en la escuela. En este proceso de formación del pensamiento lógico en los primeros grados de la escuela primaria, una de las asignaturas que mayor incidencia tiene en ello es, sin lugar a dudas, la Matemática porque tiene un estilo propio de razonamiento: brevedad de la expresión, el proceso de reflexión estructurado con exactitud, la ausencia de saltos lógicos y la exactitud en su simbología, que son características de esta forma de pensar.

En la Matemática se aspira a la concordancia óptima, con un esquema lógico-formal. El estilo matemático de pensar, a causa de su concordancia, posibilita en grado sumo, controlar la exactitud en el proceso del pensamiento.

El estilo matemático de pensar es una forma racionalizada de pensamiento, y por ello la educación en este tipo de pensamiento es de extraordinaria importancia para todas las esferas de la ciencia y para la vida diaria.

No existe una definición universalmente aceptada de lo que significa "pensamiento matemático". Según Schoenfeld A. H. (1992) los objetivos de la instrucción matemática dependen de la conceptualización de lo que uno tenga de lo que es matemática. Tal conocimiento varía ampliamente; para él aprender a pensar matemáticamente significa "…desarrollo de un punto de vista matemático, valorando el proceso de matematización y de abstracción, teniendo predilección por su aplicación y desarrollar las competencias para el uso de los instrumentos al servicio del propósito de la dualidad: estructura de entendimiento y el sentido común de cómo hacer las matemáticas…"

En nuestra experiencia educativa en la formación de profesionales para la Educación Primaria, se observa en la última década la tendencia, incluso a escala mundial, del desarrollo de las habilidades propias de los diferentes dominios cognitivos de la Matemática (cálculo, magnitudes, geometría, ecuaciones, trabajo con variables, etc.) a partir de la resolución de problemas en diferentes situaciones.

El análisis de este fenómeno, permite declarar la posición de los autores, es decir, sería perfectamente comprensible hablar de "pensamiento matemático" en la escuela primaria cuando la tarea que se le presenta al escolar exige:

• Calcular con seguridad y rapidez en N y con seguridad en Q+.
• Resolver problemas matemáticos con diferentes cantidades de magnitudes.
• Hacer uso del lenguaje de la matemática en la competencia comunicativa del ambiente escolar.
• Saber hacer uso de los conocimientos matemáticos en diferentes situaciones de la vida diaria.

Además, con un nivel de aspiración mayor, se debe propiciar a los estudiantes numerosas y variadas experiencias que le permitan, entre otras cosas, formular hipótesis, probar y formar de manera empírica argumento acerca de la validez de la hipótesis, sin que esto se interprete como una simplificación de la intención de los autores de conceptuar el término "pensamiento matemático", análisis y reflexiones sustentadas en lo que en la práctica el maestro hace en las clases de Matemática, cuando de manera natural trabaja por la formación de un pensamiento lógico en los escolares primarios.

PENSAMIENTO COMBINATORIO

En la asignatura de Matemática, en todos los grados de la escuela, existen ejercicios donde están presentes ideas combinatorias, podemos decir que las primeras ideas del pensamiento combinatorio están reflejadas en problemas sencillos que aparecen desde el primer grado.

Es frecuente en Matemática el término "pensamiento combinatorio", sin embargo la literatura científica no recoge con exactitud su significado, al intentar entonces conceptuar este término, se parte de los siguientes criterios:

• Como la teoría Combinatoria es una de las ramas de la Matemática, situamos el pensamiento combinatorio como una forma del pensamiento matemático.
• La introducción de los primeros conocimientos matemáticos en la escuela exige de un riguroso trabajo con conjuntos, de hecho la teoría de conjuntos fundamenta teóricamente la introducción de las operaciones de cálculo en el conjunto de los Números Naturales (N). De este modo mediante la realización de combinaciones con elementos de un conjunto en diferentes condiciones, el niño adquiere los primeros procedimientos de solución de problemas aritméticos: se inicias así de manera intuitiva el trabajo con la teoría combinatoria.
• Mediante los principios básicos de la Combinatoria, el maestro podrá obtener el total de combinaciones posibles de respuestas en ejercicios que admiten varias soluciones, presentes en todos los grados de la escuela.
• Asumir la introducción del término "tarea" que hace Werner J. (1982), porque desde el punto de vista de la didáctica permite establecer la diferencia entre ejercicio y problema (…la misma tarea puede ser para una persona que conoce el algoritmo, un ejercicio y para una persona que no lo conoce un problema en el sentido amplio…).

Por tanto sería perfectamente admisible hablar de pensamiento combinatorio en la escuela primaria sí:

• Se explotan todas las posibilidades de la tarea que admite diferente posibilidades de respuesta y que de manera directa implica el desarrollo de cualidades del pensamiento como la amplitud y la flexibilidad, sin que esto quiera decir que no existan incidencias en otras.
• Se propicia en los escolares el análisis de situaciones de la vida diaria que exigen un mayor grado de abstracción y generalización de las operaciones de adición y multiplicación en N, como consecuencias de la variedad de respuestas posibles en una misma situación en problemas y ejercicios con textos.

Conceptuar el término "pensamiento combinatorio" para el escolar primario entonces sería:

PENSAMIENTO COMBINATORIO: es el que aparece cuando en la solución de una tarea se utilizan los principios generales y los elementos de la Teoría Combinatoria, dándose tratamiento a las ideas combinatorias presentes.

ELEMENTOS DE LA TERORÍA COMBINATORIA: variaciones, permutaciones o combinaciones (con o sin repetición).

IDEAS COMBINATORIAS: una de las formas de expresión del pensamiento combinatorio.

ALGUNOS EJEMPLOS DE EJERCICIOS QUE APARECEN EN LOS DIFERENTES GRADOS DE LA ESCUELA DONDE ESTÁN PRESENTES IDEAS COMBINATORIAS.

1. Ofrece diferentes posibilidades de cómo puedes pagar con monedas el importe siguiente: 17¢, 28¢, 45¢, 50¢ y 70¢ (1. grado ejercicio 48 pág. 114)
2. Escribe cuatro números de tres lugares en los que (3. grado ejercicio 7 pág. 21):

• En las unidades haya un cero
• En las centenas haya un cero

1. Escribe un número (4.grado ejercicio 15 pág. 5):

• De cuatro lugares que tenga un tres en las centenas.
• De tres lugares que tenga un cero en las decenas.
• De tres lugares que tenga un dos en las centenas y un cuatro en las unidades.

1. Escribe un número (5. grado ejercicio 4 pág. 8):

• De tres cifras que tenga un ocho en las decenas.
• De cinco cifras que tenga un tres en el lugar de las centenas.
• De siete cifras que tenga un cinco en el lugar de las unidades de millar.

1. En la figura te han representado cuatro segmentos con sus longitudes, escoge todos los posibles tríos de segmentos con los que se pueda formar un triángulo. Si no seleccionas algún trío fundamenta. (6. grado ejercicio 19 pág. 198)

Como se puede apreciar en todos los casos fuera conveniente que el maestro pudiera determinar el total de posibles respuestas distintas, auxiliándose de las reglas o principios básicos de la Teoría Combinatoria, para explotar todas las potencialidades que brindan para el desarrollo del pensamiento combinatorio en los escolares primarios.

Aunque parezca sencillo, de antemano te afirmamos que no lo es. Te proponemos por ejemplo el de primer grado y se quiere que el maestro trate de encontrar todas las respuestas distintas que existen si se le dice al niño que ofrezca posibilidades de pagar 17¢ utilizando monedas por valor de 1¢, 2¢ y 5¢.

De seguro que un escolar de primer grado con dominio de la adición con números naturales encontrará formas de responder, pero ¿el maestro podrá encontrar todas las distintas posibilidades?. Puede proceder escribiendo todas las respuestas y contarlas, sería un trabajo engorroso y podría cometer error. La Teoría Combinatoria, sus reglas y elementos le permitirá una solución más cómoda. Una idea de la solución puede ser, para el maestro, resolver esta problemática a través de la diferenciación de casos:

1. En la respuesta no intervienen monedas de 5¢
2. En la respuesta interviene exactamente una moneda de 5¢.
3. En la respuesta intervienen exactamente dos monedas de 5¢.
4. En la respuesta intervienen exactamente tres monedas de 5¢.

Cuando encuentre las respuestas posibles en cada caso habrá encontrado el total de posibles respuestas distintas que pueden ofrecer los escolares. Al resolver el primer caso por analogía se obtendrán las respuestas en los demás casos.

1. En la respuesta no intervienen monedas de 5¢, el problema se reduce a encontrar todas las formas distintas de pagar 17¢ utilizando solo monedas de 2¢ y 1¢, es decir, encontrar ahora la cantidad de soluciones naturales de la ecuación 2x + y = 17, donde la variable x identifica la cantidad de monedas de 2¢ utilizadas y la variable y las monedas de 1¢. Un examen por ensayo y error nos conduce a:

Un análisis similar para los demás casos nos conduciría a encontrar las soluciones naturales de las ecuaciones siguientes:

2x + y = 12 que aportará 7 posibilidades destinas.

2x + y = 7 que aportará 4 posibilidades distintas.

2x + y = 2 que aportará 2 posibilidades distintas.

Y como conclusión se tienen que existen 9 + 7 + 4 + 2 = 22 posibilidades distintas para pagar 17¢ con las condiciones exigidas.

CONSIDERACIONES FINALES.

Los autores han demostrado que en numerosas tareas que aparecen en los diferentes grados de la escuela primaria en la asignatura de Matemática, el maestro necesita tener claridad de cuántas y cuáles son las posibilidades de solución que existen. Esto debemos de reconocerlos y enseñarlos desde los primeros grados. Resolverlos por tanteo, realizar pruebas sistemáticas, utilizar estrategias de ensayos y error es tarea del maestro.

En muchas situaciones de la vida, para tomar decisiones correctas, es necesario abarcar, sistemáticamente todas las posibilidades; dicho en otras palabras, primero hay que precisar correctamente una alternativa, para después considerar todas las posibilidades mediante una diferenciación completa de casos, esto no es solo parte del pensamiento matemático, sino de todo el pensamiento correcto.

La Combinatoria facilita el desarrollo del pensamiento, contribuye además, a enseñar métodos del pensamiento que son típicos de la Matemática.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

1. A renciabia Daniel: Elementos de Combinatoria. ISP Frank País. Folleto 1992
2. Batanaro M. C y otros: Razonamiento Combinatorio. Educación Matemática en secundaria. Editorial Síntesis. S. A. Madrid. España. 1994.
3. Campistrous L. "Lógica y Procedimientos Lógicos del Aprendizaje". Material elaborado. ICCP. 1993.
4. Libros de texto de la Escuela Primaria. MINED.
5. Linares Cesca, S y otros: "Teoría y práctica en Educación Matemática". Editorial Alfar. España. 1990. 133p.
6. Werner J. "Conferencia sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática II". Primera parte. Editorial para libros de la Educación. La Habana. Cuba. 1982.

MsC. Luis Manuel Leyva Leyva Prof. Asistente

MsC. Jorge Luis Leyva Leyva Prof. Asistente

Dra. Yolanda Proenza Garrido Prof. Titular

Los autores son profesores del Instituto Superior Pedagógico de Holguín, Licenciados en Educación especialidad Matemática. Han desarrollado docencia en el pre-grado y de postgrado. Se destacan por su participación en eventos nacionales e internacionales entre ellos los Congresos Internacionales de Pedagogía y de Educación Matemática. Poseen publicaciones en revistas especializadas cubanas y extranjeras. Investigan en Didáctica de la Matemática para la Educación Primaria. Miembros de la Asociación Cubana de Pedagogos y la Sociedad Cubana de Matemática y Computación.