Contribución de la enseñanza de conceptos al razonamiento matemático. Una mirada desde tres perspectivas cognitivas (página 3)

A partir de estas definiciones y las relaciones entre ellas se presenta una propuesta de solución al problema de mejorar el razonamiento de los estudiantes a partir de la enseñanza de los conceptos. Esta propuesta tiene como base la utilización en la enseñanza de los conceptos de metodologías de tipo cognitivas ya que estas tienen como finalidad la movilización del pensamiento, cada una desde su perspectiva.

En la enseñanza a través de cada una de estas metodologías se buscó el que se pudieran manejar los procesos de pensamiento desde los niveles básicos (más fáciles) hasta niveles superiores (más complejos). A la vez que se manejaran tareas que fueran familiares para los estudiantes pero a la vez tareas que no lo fueran, esto con el fin de tener una dinámica en los procesos utilizados y permitir el que los dispositivos básicos de aprendizaje tengan también movilidad en su disposición.

Un punto muy importante en la propuesta fue el intento por desarrollar los procesos con independencia de campo, teniendo en cuenta que por las diferencias individuales podría haber dificultades para los estudiantes si el desarrollo de estossólo se diera en los temas del área. Esto se consiguió a través de la exposición de las experiencias.

Para la propuesta se escogieron tres metodologías de tipo cognitivo, el enfoque cubano de la enseñanza de los conceptos, la pedagogía conceptual y la enseñanza para la comprensión. Estos tres enfoques tienen la característica que trabajan la enseñanza de los conceptos pero permitiendo diversas formas de enfrentar la clase. A continuación se mostrarán algunas de las características generales de cada enfoque.

• Enfoque Cubano

• Componentes de un Concepto

Según la doctora Valverde todo concepto tiene dos componentes: la intensión (contenido) y la extensión. La intensión (contenido) de un concepto hace referencia a las características esenciales y sirve también para clasificar los conceptos. La extensión de un concepto está formada por todos aquellos objetos que cumplen las características esenciales de éste. Entre la intensión y la extensión del concepto se puede establecer una ley de reciprocidad, la cual consiste en que a medida que aumenta las características del concepto disminuye el número de objetos que las cumplen, y viceversa.20

La siguiente situación nos sirve para ejemplificar lo antes dicho:

Si observamos el ejemplo anterior en la definición de función trigonométrica está inmersa la de función en general pero tiene una característica adicional.

Entre los conceptos se pueden establecer ciertas relaciones, para la doctora Valverde son:

• CONCEPTOS SUPERIORES: son los que se originan al suprimir características esenciales al concepto inicial.

• SUBCONCEPTO: son los que surgen al añadir características esenciales al concepto inicial.

• CONCEPTOS COLATERALES: son los que no tienen en común ninguna característica esencial y tienen el mismo concepto superior.

Las relaciones propuestas por la doctora Valverde las podemos ver en el siguiente diagrama:

Adicional a las relaciones entre los conceptos que propone la doctora Valverde, encontramos que existen ciertas operaciones lógicas entre ellos, que son: dividir y definir.

La división de conceptos: esta operación consiste en obtener los subconceptos asociados a él, a partir de una razón de división. Existen ciertas reglas que hay que seguir para realizar una correcta división:

• Al reunir la extensión de todos los subconceptos, se obtiene la extensión del concepto original.

• Cada par de subconceptos no tiene elementos comunes.

• Una división se puede efectuar sobre la base de una característica esencial (indicio).

• La división debe ser continua, es decir no se pueden dar saltos.

De acuerdo con lo anterior se presenta la siguiente división para los conceptos matemáticos:

Conceptos de objetos: son los que hacen alusión a los objetos reales que se pueden caracterizar mediante representantes. Ejemplos: triángulo, círculo, cuadrado.

Conceptos de relación: son aquellos que permiten reconocer las relaciones que existen entre los objetos. Ejemplo: mayor que, menor que, igual a.

Conceptos de operación: se refieren a las acciones que se pueden efectuar con los objetos. Ejemplo: suma, resta, multiplicación.

La definición: es la segunda operación lógica que se puede realizar con los conceptos, por medio de esta y del lenguaje, se da cuenta la intensión de los mismos. Como es una operación lógica inicia con un enunciado y se enriquece con todas las propiedades hasta adoptar la intensión del concepto.

Los conceptos y su definición tienen una estrecha relación, sin embargo no son lo mismo.

La definición es el acto de definir, es decir, el reflejo verbal y escrito que se hace del concepto.

Definir un concepto significa explicitar algunas de las proposiciones que arman el contenido de un concepto.21

Werner Jungk entiende por definición lo siguiente:

• Una determinación de qué es un objeto, cómo se origina o cómo se reconoce.

• Una regla que establece cómo se utiliza un signo verbal; o

• Una determinación o una regla, que indica o estable qué significa o debe significar un signo verbal.

Existen dos tipos de definiciones según Werner Jungk, que son:

Definición existencial: es donde el objeto a definir ya existe y se describe a través de sus características, y

Definiciones genéticas: en este caso se expresa cómo puede obtenerse el objeto a definir.

Pero la definición se puede representar como una equivalencia lógica entre dos elementos: el definiendum y el definiens.

El definiendum es lo que debe ser definido, ejemplo: triángulo, funciones trigonométricas, entre otros. Mientras que el definiens es la expresión mediante la cual se define.

Existen tres formas de construcción del definiens, que son:

• El definiens se compone del concepto superior y de características significativas.

• El definiens se compone de un número de axiomas que deben ser válidos para el objeto a definir (definición axiomática).

• El definiens se compone de una sucesión de indicaciones recursivas (definición inductiva).

Sin embargo para poder elaborar una definición en matemáticas y garantizar que el concepto quede correctamente definido, se debe tener en cuenta que:

• En ambas partes de la definición existan siempre términos o formas proposicionales.

• Haya el mismo número de variables, tanto en el definiendums, como en el definiens.

Los conceptos que aparezcan en el definiens deben ser conocidos. En particular no debe aparecer el definiendums en el definiens.

• Elaboración de Conceptos

Se entiende por elaboración de conceptos al proceso mediante el cual el maestro conduce a los estudiantes para el redescubrimiento del concepto, su definición y su fijación. Este proceso tiene tres fases, que son:

• Ejercicios preparatorios: esta fase consiste en asegurar el nivel de partida, es decir, los conocimientos previos que se necesitan para el nuevo concepto.

• Formación de concepto.

• Fijación del concepto.

Antes de iniciar se le sugieren a lo docentes determinar si el concepto va a ser definido o solamente se dará una descripción explicativa, esta última actividad se llama desde el punto de vista metodológico introducción al concepto.

El segundo aspecto a determinar se refiere a la vía que vamos a utilizar para elaborar el concepto. Para esto existen dos vías: la vía inductiva y la deductiva.

Independiente de la vía que se escoja, siempre hay que tener en cuenta lo siguiente: asegurar el nivel de partida, motivar adecuadamente el tratamiento del nuevo concepto y orientar hacia el objetivo a los estudiantes.

Vamos a explicar cada una de las vías:

VÍA INDUCTIVA: en esta vía se parte de ejemplos, se buscan las características comunes de los objetos a investigar, se reconocen las características esenciales y la definición del concepto se elabora paso a paso.

PASOS:

• Asegurar el nivel de partida, motivación y orientación hacia el objetivo.

• Observar varios objetos materiales o materializados.

• Comparar estos objetos y determinar las características esenciales.

• Formar clases sobre la base de determinadas características esenciales

• Definir el concepto.

• Consideraciones perspectivas y retrospectivas.

VÍA DEDUCTIVA: en esta vía se parte de la definición del concepto y mediante la investigación de una serie de ejemplos se descubren la intensión y la extensión del concepto, en este caso se va de lo general a lo particular.

PASOS

• Asegurar el nivel de partida, motivación y orientación hacia el objetivo.

• Definir el concepto.

• Observar varios objetos materiales o materializados para constatar que se constituyen en ejemplos del concepto definido.

• Analizar representantes del concepto que resultan caso particulares "muy especiales".

• Consideraciones perspectivas y retrospectivas.

Fijación del Concepto

Para esta fase la doctora Valverde tiene en cuenta a Ballester, S y otros, que consideran que los alumnos deben:

• Comprobar si un objeto o una situación representa o no un concepto, utilizando el sistema de características del concepto.

• Considerar o construir ejemplos y contraejemplos.

• Buscar otras formulaciones o apreciar otras formulaciones para la definición de un concepto. Formular la negación de la definición.

• Señalar casos límite y casos especiales.

• Subordenar el concepto en un sistema de conceptos conocidos, destacando relaciones entre ellos (conceptos superiores, subconceptos, colaterales).

• Derivar consecuencias de la definición.

Sin embargo para asimilar un concepto y por tanto fijar el conocimiento adquirido es importantes las siguientes acciones: identificar, realizar y aplicar conceptos.

Identificar: se entiende la determinación de la pertenencia o no pertenencia de objetos y relaciones a conceptos determinados. Naturalmente, para la identificación del concepto se utilizan ejercicios y se aumenta sistemáticamente su grado de dificultada22.

Realizar: en esta acción "se deben crear objetos o n-upios de objetos, o complementar o transformar los existente o relacionarlos, de manera que se originen representantes de conceptos dado".23

La aplicación propone la doctora Valverde se deben analizar en dos sentidos: "la aplicación teórica" que tiene una relación indirecta con la práctica y que es adecuada para el desarrollo del pensamiento teórico de los estudiantes y la "aplicación práctica" que tiene una relación directa con el desarrollo científico técnico.

La aplicación teórica se puede ver reflejada en solución de ejercicios, en la fundamentación de una proposición, en la demostración de teoremas, en la elaboración de algoritmo, entre otros.

• Pedagogía Conceptual

En la pedagogía conceptual también se establecen ciertas relaciones pero entre las clases, estas relaciones son:

• SUPRAORDINACIÓN: la inclusión de una clase en otra más general. Por ejemplo: triángulo rectángulo está incluido en la clase más general de los triángulos. El concepto triángulo esta supraordinado al de triángulo rectángulo.

• INFRAORDINACIÓN: es el proceso contrario al anterior. Por lo tanto, podríamos decir que al ser el triángulo rectángulo una expresión más particular de la clase general triángulo, está infraordinada al concepto más general triángulo, es decir el concepto triángulo rectángulo está incluido dentro del concepto más incluso previo.

• ISOORDINACIÓN: se presenta cuando no existe contenencia sino intersección entre dos clases. Es decir, cuando ninguna de las dos está incluida dentro de la otra.

• EXCLUSIÓN: la exclusión se presenta cuando las dos clases que caracterizan una proposición, no existe ni intersección, ni contenencia. Son por lo tanto dos clases independientes, es decir disyuntas.24

La Pedagogía conceptual propone la siguiente secuencia didáctica para la enseñanza de cualquier instrumento de conocimiento, en nuestro caso los conceptos: Aprehendizaje de las proposiciones aisladas (Lectura)

• Comprensión y aplicación.

• Profundización.25

La primera fase consiste en enseñar primero los conocimientos previos y constitutivos. Para esto se recure a la lectura, tarea que llevan a cabo los estudiantes con escasa ayuda del profesor.

La comprensión hace referencia cuando el estudiante reconoce el carácter general, las cualidades particulares, diferencias del concepto con otros próximos y sus familias. Con esto el estudiante está en capacidad de aplicarlo, que debe ser hacía donde apunta el profesor una vez superada la extracción inicial de las proposiciones aisladas. Es decir, la tarea del profesor es propiciar las condiciones que evidencien que en efecto los estudiantes comprenden la clase general a la cual pertenece el concepto en cuestión, sus cualidades particulares, capta en qué se diferencia de otros conceptos muy semejantes y descubre sus familias o subclases. Esto se puede hacer mediante el método inductivo, es decir partiendo de lo particular para llegar a lo general.26

El método inductivo propone los siguientes pasos para su desarrollo:

• Observación: consiste en poner a jugar los sentidos con el fin de determinar cuál es la información que se esta suministrando.

• Registro de hechos: a partir de la observación, el estudiante describirá que esta sucediendo en cada situación planteada o gráfica, con el fin de determinar en que aspectos coinciden o se diferencian.

• Análisis: consiste en establecer cuál es la característica que tienen en común las situaciones u objetos planteados.

• Clasificación: en este paso se agrupan los datos que tienen una característica común y lo que no.

• Planteamiento de hipótesis: en esta fase se propone que posible situación, hecho o concepto responde a la situación planteada.

• Contrastación o comprobación: a partir del planteamiento de hipótesis, se entra a comprobar si cumple o no.

Otra tarea del profesor es colocar "cascaritas" problemas y presentar paradojas asociadas con el concepto a sus alumnos, con el fin de que identifiquen los elementos del concepto y lo diferencien de otros. No durante la evaluación sino durante la enseñanza.27

En el caso de la fase de profundización, esta se debe llevar a cabo cuando los conceptos son prerrequisitos genuinos de una secuencia conceptual o cuando son conceptos base de un área determinada, solo en estos dos caso se profundiza en un concepto de resto es suficiente con que dominen el concepto.

• Enseñanza para la Comprensión

La base teórica de este apartado es tomada de la obra del profesor Walter Quispe Santos, información de sus obras se encuentra en la bibliografía. La comprensión es la habilidad de pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que uno sabe. Para decirlo de otra manera, la comprensión de un tópico es la "capacidad de desempeño flexible" con énfasis en la flexibilidad, o de otro modo es la capacidad de usar el conocimiento de maneras novedosas. La comprensión se puede dilucidar de dos formas: desde una visión vinculada al desempeño y desde una visión representacional.

En la visión de la comprensión vinculada con el desempeño, los criterios comunes para apreciar la comprensión en las personas desde el sentido común son: primero, poner su comprensión en juego, es decir, explicando, resolviendo un problema, construyendo un argumento, armando un producto; segundo, lo que los educandos responden no sólo demuestra su nivel de comprensión actual, sino que lo más probable es que los haga avanzar. Al trabajar por medio de su comprensión en respuesta a un desafío particular, llegan a comprender mejor, aquí se reconoce la comprensión por medio de un criterio de desempeño flexible.

La comprensión se presenta cuando la gente puede pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que sabe, en cambio, cuando un educando no va más allá de la memorización y el pensamiento y la acción rutinaria nos indica falta de comprensión, entonces comprender un tópico quiere decir ni más ni menos que ser capaz de desempeñarse flexiblemente en relación con el tópico: explicar, justificar, extrapolar, vincular y aplicar de maneras que van más allá del conocimiento y la habilidad rutinaria.

En la visión representacional de la comprensión se piensa la comprensión como algún tipo de representación, imagen o modelo mental que tienen las personas. Cuando se logra comprender algo se dice en el lenguaje cotidiano: "lo tengo", "veo lo que dice", "veo el sentido", "veo a través de ti", "veo la respuesta", "veo la trampa" estas expresiones vinculan la percepción con la comprensión; así, la comprensión como visión exige alcanzar una representación mental que capta lo que ha de comprenderse. Por lo tanto, la comprensión depende de adquirir o construir una representación adecuada de algún tipo, un esquema, modelo mental o imagen. Existen dos tipos diferentes de representaciones, en primer lugar tenemos los modelos mentales, este tipo de representaciones son objetos mentales que la gente manipula, maneja o recorre con el ojo de la mente, en segundo lugar están los esquemas de acción que considera que las representaciones están en el trasfondo, que el ojo interno no las inspecciona conscientemente sino que en cierta forma guían nuestras acciones. La comprensión puede darse a partir de la comprensión en acto que pasa por la prueba de desempeño flexible, porque todas las formas de comprensión son parciales, uno nunca entiende todo acerca de algo.

La enseñanza para la comprensión busca que a los educandos se les permita ser pensadores críticos, gente que plantea y resuelve problemas y que es capaz de sortear la complejidad, ir más allá de la rutina y vivir productivamente en este mundo en rápido cambio y se apoya con toda claridad en la convicción, de larga data, de que las escuelas deben comprometer a los alumnos de manera más intensa y contar con la comprensión como su pieza central.

• Proyecto de Investigación sobre la Enseñanza para la Comprensión

La mejor forma de promover la enseñanza para la comprensión se desarrolla asumiendo el currículo como un proyecto de investigación en la acción o acción reflexión que supera las relación unidireccional de especialistas, docentes y alumnos donde no existe una práctica dialogante, al contrario las relaciones entre educadores y educandos se desarrollan a partir de decisiones unidireccionales.

El conocimiento, la capacidad o habilidad y la comprensión son los materiales que se intercambian en la educación, así como los valores que suponen los procesos de enseñanza y de aprendizaje, así las relaciones praxis – axiología son praxiológicas. La enseñanza para la comprensión involucra a los educandos en los desempeños de comprensión, para cuyo efecto es necesario responder a algunos interrogantes y elementos. Las preguntas claves determinan qué contenidos deben comprenderse identificando temas relevantes y pertinentes a través de temas generativos y organizando propuestas curriculares alrededor de ellas; además clarifica lo que los estudiantes tienen que comprender articulando metas claras centradas en comprensiones clave, motiva el aprendizaje de los educandos involucrándolos en desempeños de comprensión o capacidades que exigen que éstos apliquen, amplíen y sinteticen lo que saben, y controla y promueve el avance de los educandos por medio de evaluaciones diagnósticas continuas de sus desempeños o capacidades, habilidades, destrezas con criterios directamente vinculados con las metas de comprensión.

• ¿Qué contenidos vale la pena comprender? Contenidos generativos

Determinar el contenido del currículo socialmente relevante, culturalmente pertinente y personalmente significativo se vincula necesariamente con los intereses y necesidades, preocupaciones y experiencias que se ocupan los educandos en su vida cotidiana. La toma de decisiones sobre el currículo parte de las reflexiones de vincular el trabajo escolar y la vida cotidiana de los alumnos. Los educadores deben seleccionar el contenido y ajustar la forma del currículo para responder a las necesidades de los educandos. La selección de los contenidos no sólo debe ser información en cantidad y calidad, sino que debe involucrar a los alumnos en constantes espirales de indagación que los lleven desde un conjunto de respuestas hacia preguntas más profundas.

Los criterios que se recomiendan para seleccionar contenidos plantean como punto de partida que el tema generativo sea central para el dominio de la disciplina, que sea accesible e interesante para los educandos, que excite las pasiones intelectuales del docente y se conecte fácilmente con otros contenidos tanto dentro como fuera del dominio de un área curricular.

• ¿Qué aspectos de esos contenidos deben ser comprendidos? Metas de comprensión

Las metas de comprensión afirman explícitamente lo que se espera que los alumnos lleguen a comprender, es decir, definen de manera específica las ideas, procesos, relaciones o preguntas que los alumnos comprenderán mejor por medio de la investigación acción o acción reflexión.

Las capacidades específicas, se encuentran relacionadas con las características y naturaleza de las distintas áreas y las mismas vienen a constituir desempeños de comprensión que se traducen en competencias, habilidades, destrezas, y otros. En esta parte es necesario que los educadores realicen una distinción de las diferentes metas de comprensión, en ese caso, las capacidades fundamentales, de área y las específicas; así como, las metas finales y las intermedias, este tipo de reflexiones corresponde también con la configuración de los perfiles reales, potenciales e ideales, los perfiles reales nos permiten determinar la situación en que se encuentran los estudiantes, los perfiles potenciales son metas intermedias y los perfiles ideales vienen a constituir las metas finales después de la experiencia escolar. Cabe señalar que las metas de comprensión no son objetivos conductuales estrechos. Por eso es necesario responder al interrogante ¿qué es lo que queremos que los alumnos comprendan al final de su semestre, trimestre o de su año? Por lo que puede haber metas de comprensión de corto, mediano y largo plazo.

Finalmente, las metas de comprensión son explícitas y públicas. Explicitas porque deben ser claramente establecidas de acuerdo con los intereses y necesidades de los alumnos. Para atender a la diversidad de las mismas propongo la posibilidad de objetivos comunes y objetivos personales. Públicas, porque deben ser de conocimiento pleno de la comunidad escolar, lo que permitirá que todos conozcan hacia dónde se avanza y cuánto se ha conseguido. Por otro lado, las mismas deben estar dispuestas en una estructura compleja para señalar sus conexiones, relaciones, lo supraordenado y subordinado, lo principal y lo secundario, el objetivo general y el específico, la capacidad de área y la capacidad específica, las competencias de año y las de un periodo o de una experiencia de aprendizaje. Y por último, deben ser centrales en la materia o área, es decir, en las ideas, modalidades de investigación y formas de comunicación y diálogo que son condicionantes para la comprensión.

• ¿Cómo podemos promover la comprensión? Desempeños de comprensión

Los desempeños de comprensión son las capacidades e inclinación de usar lo que uno sabe cuando actúa en la realidad natural y social. La comprensión por lo tanto se desarrolla y demuestra poniendo en práctica la comprensión, y los mismos parten de niveles simples hasta llegar a unos más complejos. El valor de los desempeños es central en el proceso y resultado, además de la evaluación diagnóstica en la educación. Este enfoque por lo tanto, centra más su atención en la actividad de los educandos y no tanto de los educadores, aquí la atención en los criterios, indicadores y sobre todo las actividades de desempeño son prioritarios. Las capacidades específicas de cada área cuando son extendidas, sintetizadas, o aplicadas o usadas de una u otra forma, además de manera creativa y novedosa a través de los desempeños representa las mejores evidencias de los mismos. En suma, se trata de responder al interrogante ¿Qué pueden hacer los estudiantes para desarrollar y demostrar su comprensión?

Es evidente que los educadores se encuentren con diferentes desempeños de comprensión debido a los ritmos y estilos de aprendizajes diversos y diferentes de los educandos. El reconocimiento de diferentes tipos de comprensión, también nos conduce a tener en cuenta de los desempeños preliminares o subdesempeños necesarios con el fin de desarrollar ideas y procesos que pueden sintetizar en el desempeño o producción textual. Así mismo, existe algo importante al que se debe prestar atención: los intereses de los alumnos y en el objetivo de las metas de comprensión para que las cadenas de desempeños fueran generativas y plantearan un desafío. En este aspecto hay tres categorías comunes. La primera etapa de exploración basada en la investigación inicial permite acercar a los educandos al principio de unidad, la presentación del todo del contenido o materia y al dominio del contenido generativo y sus experiencias previas. La segunda etapa se refiere a la investigación guiada donde los educandos utilizan sus ideas y las diferentes modalidades de investigación que el educador considera centrales e importantes para la comprensión de las metas identificadas. Es necesario que el educador explicite como habíamos destacado antes el por qué de los contenidos que se aprende para que los educandos le den sentido a sus aprendizajes, la importancia y utilidad de las mismas. Existen habilidades básicas y complejas cuya gradualidad están en función directa de las metas de comprensión. Finalmente, el proyecto final de síntesis donde se exponen los resultados y los educandos demuestran con claridad el dominio de las metas establecidas. Las metas de comprensión pueden ser entendidas de diversas formas como fines, metas, capacidades, objetivos, propósitos y se articulan al alcance y a las dimensiones de comprensión mediante conocimientos, metas, propósitos y formas de expresión. Las actividades y experiencias que tienen lugar en el aula o fuera de ellas son concebidos como desempeños de comprensión sí solo sí desarrollan y demuestran la comprensión vía la investigación.

• ¿Cómo podemos averiguar lo que comprenden los educandos? Evaluación diagnóstica y continúa

La forma de averiguar lo que comprenden los educandos es a través de la evaluación diagnóstica continua de desempeños en relación con las metas de comprensión. Un principio es importante al respecto: si la enseñanza es efectiva, la valoración del propio desempeño se vuelve casi automática. La evaluación es descriptiva, ya que el educador va registrando los avances en la comprensión de acuerdo con los estilos y ritmos de aprendizaje personalizados de los educandos, y luego podrá compararlos con las metas de comprensión que generalmente se prescriben en las formas de evaluación de la comprensión deseada e intencional. Aquí es necesario redimensionar el valor singular y social de la educación a través de la autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación y las formas de evaluación meta, debido a que ayuda a integrar mejor la perspectiva holística de los contenidos investigados, los instrumentos intelectuales y las operaciones intelectuales construidos en el aula o fuera de ella.

3. DISEÑO METODOLÓGICO

• TIPO DE INVESTIGACIÓN

El tipo de investigación es mixta, es decir, presenta datos cualitativos debido a que el análisis se hace descriptivamente por tratarse de una investigación de procesos educativos y el análisis se soporta con algunos datos cuantitativos.

El enfoque es cuasiexperimental ya que los grupos no fueron seleccionados al azar sino que estaban ya conformados.

De acuerdo con esto el diseño escogido para llevar a cabo la investigación fue: preprueba – postprueba – grupo control.

• CARACTERIZACIÓN DE LA POBLACIÓN

La población son aproximadamente 160 estudiantes pertenecientes a los grados décimos de la Institución Educativa Escuela Normal Superior de Medellín, ubicada en el barrio Villa Hermosa al Nororiente de Medellín.

Las características de la población son: estudiantes entre los 15 y 17 años de edad, pertenecientes a los estratos 1, 2 y 3, ninguno con diagnóstico de enfermedades cognitivas.

Los estudiantes presentan diferencia a nivel económico y social, encontrando algunos con dificultades muy grandes en estos campos y otros que tienen solucionado sus necesidades básicas. Igualmente se identificaron algunos que pertenecen a tribus urbanas como: emos, punkeros, roqueros, entre otros.

Se debe tener en cuenta que del total de estudiantes, solo dos están repitiendo el grado décimo.

• TIPO DE MUESTRA

El tipo de muestra seleccionado es no probabilístico ya que los grupos estaban conformados desde el inicio del año lectivo, por tanto no se podían hacer cambios. Otros factores que influyeron en que fuera este tipo de muestra es que los investigadores van a intervenir en el grupo seleccionado de acuerdo a su disponibilidad horaria.

Por lo anterior, el total de la muestra intervenida fue de 120 estudiantes pertenecientes a los grados 10° A, 10° B y 10° C, e l grado 10° D fue seleccionado como grupo control. Sin embargo, la aplicación de los instrumentos se realizó a un total de 69 estudiantes, debido a que estos fueron los que se hicieron presentes en ambas pruebas: diagnóstica y de salida, esta última se llevo a cabo en horario extraclase.

• PROPUESTA METODOLÓGICA

La propuesta metodológica consta del diseño y estructuración de las clases de acuerdo con lo que propone: la enseñanza para la comprensión, el enfoque cubano y la pedagogía conceptual, cada una de estas metodologías es aplicada por separado en los grupos seleccionados para la muestra.

Cada una de estas se implementaron en la enseñanza de los conceptos de parábola y razones trigonométricas, este último en su nivel de aplicación, con el fin de determinar los cambios generados en el razonamiento matemático.

El tiempo dedicado a la intervención fue aproximadamente de 20 horas de clase, distribuidas así: 14 horas en razones trigonométricas en su fase de aplicación (ley del seno y del coseno) y 6 horas en el concepto de parábola.

A continuación se explica que actividades se realizaron en la intervención y el diseño de las clases de acuerdo con cada metodología, es de anotar que al final del trabajo sobre el concepto de parábola se aplicó un taller igual a los tres grupos de intervención, lo mismo que al de control, Ver anexo 1:

Enseñanza para la Comprensión

La enseñanza para la comprensión se caracteriza por tener cuatro fases, las cuales se propone aplicar de la siguiente manera:

Primero se diseñaron las preguntas esenciales o temas generativos que guían el desarrollo de las clases sobre los teoremas del seno y del coseno y el concepto de parábola, las metas de comprensión y los desempeños de comprensión (Ver anexo 2).

Para poder cumplir con la consecución de estos desempeños la intervención se realizó en las siguientes etapas: La primera fase es la exploración donde se explica a los estudiantes la tarea a realizar, se presenta el problema a resolver y se indaga sobre las posibilidades que tienen los alumnos para enfrentarse al problema, qué nociones y conceptos se manejan y qué procedimientos se tienen claros, además la actitud que tienen los estudiantes para enfrentar la tarea; además de esto se arman los equipos de trabajo con los roles que cumplirá cada uno de los estudiantes, para la enseñanza del concepto de parábola (ver anexo 3) y para la enseñanza del concepto de razones trigonométricas en su última fase (ver anexo 4). En la segunda fase, investigación guiada, los estudiantes enfrentan el problema teniendo como base para esto los conocimientos iníciales y con la posibilidad de la búsqueda de información que se requiera; aquí el papel del docente fue importante guiando el proceso (ver anexo 3A y 5). En la tercera fase del proceso, el proyecto de síntesis, por medio de exposiciones de los equipos de trabajo se presenta a todo el grupo de estudiantes los resultados a los que llegó cada uno de los equipos y se dan los debates sobre cada propuesta formalizando el docente los procesos realizados y encontrando dificultades, aciertos, errores y aciertos (Ver anexo 3B y 5).

La aplicación se realizó con los siguientes pasos que conforman las fases anteriormente explicadas:

• Actividad previa: el profesor da al grupo una breve introducción a la tarea, con el propósito de ubicar a los estudiantes en contextos similares a la actividad; destacando la importancia que representa su participación en el desarrollo de la sesión. Se plantea el problema a resolver para que los estudiantes comiencen a relacionar la introducción realizada con los conceptos previos manejados por ellos.

• Trabajo en equipos: se organizan en equipos, procurando que en cada uno haya estudiantes con distintos niveles de desempeño, que tengan la posibilidad de interactuar entre ellos y los demás equipos, así como de expresar y comunicar sus ideas. Al concluir el periodo asignado al trabajo por equipos, cada uno entrega su reporte de solución.

• Presentaciones: cada equipo presenta a todo el curso su solución a la tarea, permitiendo que los miembros de los demás equipos pregunten libremente a quienes exponen.

• Discusión colectiva: el profesor promueve la discusión colectiva entre los estudiantes, con la idea de analizar ventajas y desventajas de los diferentesmétodos de solución presentados y, cuando sea necesario, realiza una sistematización de las ideas e identifica posibles extensiones del problema.

• Trabajo individual: enseguida, a partir de la discusión colectiva, los estudiantes tienen la posibilidad de volver a la actividad y aplicar los nuevos entendimientos que se generaron como producto de la interacción y abordan individualmente la tarea.

• La evaluación se realizó sobre el trabajo en equipo, el reporte escrito de la resolución de las tareas, los exámenes realizados sobre los conceptos, el grado de participación de los estudiantes durante las clases.

Pedagogía Conceptual

Esta estrategia metodología propone tres fases para la enseñanza de los conceptos, que son:

• Aprehendizaje de las proposiciones aisladas: para esta fase se les entregó un documento llamado "Recordemos" a los estudiantes, con los conocimientos previos para la enseñanza del concepto de parábola (ver anexo 6), en la clase se resolvieron las dudas generadas en la lectura, para el concepto de razones trigonométricas en su nivel de aplicación, se realizó a través del dialogo heurístico (ver anexo 7), ya que venían trabajando este tema durante el año escolar.

• Comprensión: en esta fase se utilizó el método inductivo y el dialogo heurístico para la enseñanza de razones trigonométricas en su fase de aplicación (ver anexo 8), para la enseñanza del concepto de parábola se apoyo en actividades didácticas como la papiroflexia y cortes al cono, igualmente se apoyo con el dialogo heurístico y unas preguntas orientadoras (ver anexo 9).

• Aplicación: para esta fase se propone llevar ejercicios y problemas donde los estudiantes apliquen los procesos de pensamiento, es decir, que observen, describan, comparen situaciones y variables y utilicen los conceptos aprendidos con el fin de llegar a la solución. Para la última fase de la enseñanza de razones trigonométricas se llevaron varios ejercicios y problemas de este tipo (ver anexo 8) y para el concepto de parábola se aplico un taller en común para todos los grupos (ver anexo 1)

Enfoque Cubano

Este enfoque se desarrollo en los siguientes pasos: ejercicios preparatorios, formación del concepto y fijación del concepto; propuestos así:

• Ejercicios preparatorios: para el concepto de razones trigonométricas en su fase de aplicación (ley del seno y del coseno) se realizó una actividad de reconocimiento de las diferentes partes del triángulo y las razones trigonométricas en triángulos rectángulos (ver anexo10). Para el concepto de parábola se realizó por medio del dialogo en el concepto de distancia entre punto – punto y punto – recta (ver anexo 11).

Estas dos actividades se desarrollaron con el fin de que todos los estudiantes estén al mismo nivel ya que se evidenció que no manejan estos conceptos, es decir se aseguró el nivel de partida.

• Formación del concepto: para esta fase se utilizó la vía inductiva, para el caso de la leyes del seno y coseno se realzó la demostración apoyándose en el dialogo heurístico (ver anexo 12).

El concepto de parábola se desarrolló mediante la construcción de regla y cuerda, esta herramienta nos permite identificar las características principales para construir el concepto y sus propiedades, además de la deducción de su expresión matemática (ver anexo 13).

• Fijación del concepto: en esta última fase, se aplicó actividades con ejercicios y problemas, con los cuales se evidencia que aplican, realizan e identifican el concepto (ver anexo 14).

Se presenta para este enfoque la preparación de dos clases que se llevaron a cabo para trabajar el concepto de parábola, siguiendo los pasos propuestos por este (ver anexo 15)

• INSTRUMENTOS

Para determinar los avances en los estudiantes durante el proceso de intervención se propone utilizar los siguientes instrumentos:

OBSERVACIÓN (Ver anexo 16)

Para registrar las observaciones en las diferentes clase se utilizó el siguiente formato:

TIPO DE INSTRUMENTO: OBSERVACIÓN

FECHA: GRADO: ESTUDIANTE: CONCEPTO: