Educación primaria: la matemática en la evaluación de la calidad del aprendizaje (página 2)

DOMINIOS CONCEPTUALES

Los dominios conceptuales comprenden los saberes específicos de Matemática.  Se refieren al conjunto de conceptos, propiedades, procedimientos y relaciones entre ellos, así como a los sistemas de representación, las formas de razonamiento y de comunicación, las estrategias de estimación, aproximación, cálculo y las situaciones problemáticas asociadas. En los dominios establecidos para la Educación Primaria, hay coincidencia en todos los especialistas de las diversas regiones geográficas y se declaran cinco dominios:

1. Dominio numérico: números y operaciones.
2. Dominio geométrico: espacio y forma.
3. Dominio de la medición: tamaño y medida.
4. Dominio estadístico: tratamiento de información.
5. Dominio variacional: estudio del cambio.

Las diferentes mediciones realizadas en nuestro país asumen en su marco teórico esta posición. Para la Educación Primaria de la escuela cubana se declaran el contenido de cada dominio de la siguiente forma:

Numérico: Abarca la comprensión de la noción de número y la estructura del sistema de numeración; del significado de las operaciones en contextos diversos, de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas; el uso de los números y las operaciones en la resolución de problemas diversos.

Geométrico: Comprende atributos y propiedades de figuras y objetos bidimensionales y tridimensionales; las nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad; los diseños y las construcciones con cuerpos y figuras geométricas; la construcción y manipulación de representaciones de objetos del espacio, y el reconocimiento de ángulos y polígonos y su clasificación.

De la medida: Abarca la construcción de conceptos de cada magnitud, los procesos de conservación, las unidades de medida, la estimación de magnitudes y de rangos, la selección y el uso de unidades de medida y patrones, de sistemas monetarios y del sistema métrico decimal.

Estadístico: Incluye la recolección, organización e interpretación de datos; la identificación y el uso de medidas de tendencia central (media, mediana y moda), y el uso de diversas representaciones de datos, para la resolución de problemas.

Variacional (del cambio): Comprende el reconocimiento de regularidades y patrones, la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia, la noción de función, y la proporcionalidad (variación lineal), en contextos aritméticos y geométricos.

EJEMPLOS EN TERCER Y SEXTO GRADOS

DOMINIOS COGNITIVOS: PROCESOS COGNITIVOS

Los dominios cognitivos definen los comportamientos esperados de los escolares al ocuparse del contenido de matemática. Los procesos cognitivos son las operaciones mentales que el sujeto realiza para establecer relaciones con y entre los objetos, las situaciones y los fenómenos representados.

Para responder correctamente a los ítems de prueba de las diferentes mediciones, los escolares tienen que estar familiarizados con el contenido matemático de los ítems. Igual de importante es el hecho de que los ítems han de estar diseñados para deducir el uso de destrezas cognitivas concretas. Muchas de estas destrezas y habilidades se incluyen en las listas de temas evaluables de los dominios de contenidos. No obstante, como ayuda en la elaboración de pruebas equilibradas en las que se otorga una ponderación apropiada a cada uno de los dominios cognitivos a lo largo de todos los temas, resulta indispensable obtener un  conjunto completo de los resultados del aprendizaje. Así, las descripciones de las destrezas y habilidades que forman los dominios cognitivos y que se evaluarán conjuntamente con los contenidos se presentan en este marco teórico con algún detalle. Estas destrezas y habilidades deben jugar un papel central en la elaboración de ítems y en el logro de un equilibrio en los conjuntos de ítems de los diferentes grados objetos de medición.

Los comportamientos utilizados para definir los marcos teóricos de matemáticas se han clasificado en los cuatro dominios cognitivos siguientes:

• Conocimiento de hechos y de procedimientos

• Utilización de conceptos

• Resolución de problemas habituales

• Razonamiento

Varios especialistas dentro de la matemática en el sector de la Educación Primaria, e incluso maestros, tienen diferentes puntos de vista acerca de los valores relativos de las destrezas cognitivas, o al menos acerca del énfasis relativo que se les debe otorgar en los centros educativos. Los autores considera que todas ellas son importantes y en las pruebas se utilizarán varios ítems para medir cada una de estas destrezas.

Las destrezas y habilidades incluidas en cada dominio cognitivo ejemplifican aquellas que cabría esperar que manifestasen tener los escolares en las pruebas de rendimiento. Se pretende que sean aplicables tanto para todos los grados objetos de medición, aunque el grado de sofisticación en la manifestación de comportamientos variará considerablemente entre los diferentes grados. La distribución de ítems entre conocimiento de hechos y de procedimientos, utilización de conceptos, resolución de problemas habituales y razonamiento también difiere entre los grados.

Al desarrollarse la pericia matemática de los escolares con la interacción de experiencia, instrucción y madurez, el énfasis curricular se traslada de situaciones relativamente sencillas a tareas más complejas. En general, la complejidad cognitiva de las tareas aumenta de un dominio cognitivo al siguiente. Se pretende permitir una progresión desde el conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta la utilización de ese conocimiento para resolver un problema y desde la utilización de ese conocimiento en situaciones poco complicadas a la habilidad de embarcarse en el razonamiento sistemático (transito del contenido por las diferentes demandas cognitivas).

Las secciones siguientes continúan describiendo los comportamientos, destrezas y habilidades de los escolares empleados en la definición de cada dominio cognitivo con respecto a las capacidades generales esperadas de los escolares.

I. CONOCIMIENTO DE HECHOS Y DE PROCEDIMIENTOS

La facilidad para el uso de las matemáticas o para el razonamiento acerca de situaciones matemáticas depende primordialmente del conocimiento matemático.

Cuanto más relevante sea el conocimiento que un escolar es capaz de recordar, mayor será su potencial para enfrentarse a una amplia gama de situaciones planteadas como problema. Sin el acceso a una base de conocimiento que posibilite recordar fácilmente el lenguaje y los hechos básicos y  convenciones de los números, la representación simbólica y las relaciones espaciales, a los escolares les resultaría imposible el pensamiento matemático dotado de finalidad.

Los hechos engloban el conocimiento factual que constituye el lenguaje básico de las matemáticas, así como las propiedades y los hechos matemáticos esenciales que forman el fundamento del pensamiento matemático.

Los procedimientos forman un puente entre el conocimiento más básico y el uso de las matemáticas para resolver problemas habituales, especialmente aquellos con que se encuentran muchas personas en su vida cotidiana. En esencia, el uso fluido de procedimientos implica recordar conjuntos de acciones y cómo llevarlas a cabo. Los escolares han de ser eficientes y precisos en el uso de diversos procedimientos y herramientas de cálculo. Tienen que saber que se pueden utilizar procedimientos concretos para resolver clases enteras de problemas, no sólo problemas individuales. Por tanto aquí en términos de habilidades y destrezas los escolares deben:

Recordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéricos; propiedades de los números; propiedades de las figuras planas; conversiones de diferentes magnitudes, etc

Reconocer/Identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales  y porcentajes equivalentes;; figuras geométricas simples orientadas de modo diferente, etc.

Calcular Conocer procedimientos algorítmicos para +, -, x, : o una combinación de estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado, etc.

Usar herramientas Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leer escalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

II. UTILIZACIÓN DE CONCEPTOS

Estar familiarizado con conceptos matemáticos es esencial en la utilización efectiva de las matemáticas para la resolución de problemas, para el razonamiento y, por tanto, para el desarrollo de la comprensión matemática.

El conocimiento de conceptos permite a los escolares hacer conexiones entre elementos de conocimiento que, en el mejor de los casos, sólo serían retenidos como hechos aislados. Les permite extenderse más allá de sus conocimientos existentes, juzgar la validez de enunciados y métodos matemáticos y crear representaciones matemáticas.

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan en determinadas condiciones; tener una apreciación de conceptos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad de probabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinalidad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

Ej. Decidir si el área de un papel es mayor, igual o menor después de cortar una hoja de papel en tiras

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetos según sus atributos.

Ej.: Seleccionar los triángulos de entre un conjunto de figuras geométricas de diversas formas y números  de lados.

Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Ej.: Sombrear zonas de figuras para representar fracciones dadas.

Ej.: María ha leído 29 páginas de un libro. Si el libro tiene 87 páginas, en la ecuación 87 -  __ = 29, el espacio en blanco contiene el número de páginas que le quedan por leer. Inventa otra situación para la que valdría esta ecuación.

Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que no se pueden plantear así.

Ej.: Dado un gráfico de barras, seleccionar de entre un conjunto de preguntas aquellas para las cuales se pueden obtener respuestas con el gráfico.

III. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HABITUALES

A los escolares se les debe educar para que reconozcan que las matemáticas son un gran logro de la humanidad y para que aprecien su naturaleza. No obstante, el conocimiento matemático por sí mismo probablemente no sea la razón más imponente para la inclusión universal de las matemáticas en los currículums escolares. Una de las razones primordiales para incluir las matemáticas es el conocimiento de que la efectividad como ciudadano y el éxito laboral mejoran mucho por el hecho de saber y "lo que es más importante" poder utilizar las matemáticas.

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los escolares. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

Ej.: Una clase va a dar un concierto y los 28 alumnos de la clase tienen que vender 7 entradas cada uno. Para hallar el número total de entradas, hay que: dividir 28 entre 7; multiplicar 28 por 7; sumar 7 a 28; etc.

Representar Generar una representación apropiada, por ejemplo una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas.

Ej.: Dada una figura o un procedimiento poco conocido (pero no complejo), escribe las instrucciones orales que darías a otros estudiante para que reprodujera la figura.

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los escolares en clase.

Verificar o Comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

Ej.: Mario hace una estimación del área de una habitación de su casa en metros cuadrados. Su estimación es de 1.300 metros cuadros. ¿Puede ser una buena estimación? Explicar por qué.

IV. RAZONAMIENTO

El razonamiento matemático implica la capacidad de pensamiento lógico y sistemático. Incluye el razonamiento intuitivo e inductivo basado en patrones y regularidades que se pueden utilizar para llegar a soluciones para problemas no habituales. Los problemas no habituales son problemas que muy probablemente no resulten conocidos para los escolares.

Plantean unas exigencias cognitivas que superan lo necesario para resolver problemas habituales, aun cuando el conocimiento y las destrezas requeridas para su solución se hayan aprendido. Los problemas no habituales pueden ser puramente matemáticos o pueden estar enmarcados en la vida real. Ambos tipos de ítems implican la transferencia de conocimiento y destrezas a nuevas situaciones; una de sus características es que suele haber interacciones entre destrezas de razonamiento.

La mayoría de los demás comportamientos enumerados dentro del dominio de razonamiento son aquellos que se pueden aprovechar al pensar en estos problemas y resolverlos, pero cada uno de ellos por sí solo es un resultado valioso de la educación matemática, con potencial para influir de un modo más general en el pensamiento de los que aprenden. Por ejemplo, el razonamiento implica la habilidad de observar y hacer conjeturas. También implica hacer deducciones lógicas basadas en reglas y supuestos específicos y justificar los resultados.

Formular hipótesis, Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etc.) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticos invariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar; hacer inferencias válidas a partir de información dada.

Evaluar Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etc.

Ej.: Dos pintores usan dos latas de pintura para pintar una valla. Después tienen que usar la misma clase de pintura para pintar una valla que sea el doble de larga y el doble de alta. Uno de los dice que necesitarán el doble de pintura para pintar la valla. Indica si el pintor tiene razón y aporta razones para respaldar tu respuesta.

Generalizar Extiende el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

Ej.: Dado el patrón 1, 4, 7, 10, …, describe la relación entre cada término y el siguiente e indica el término siguiente a 61.

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o Integrar Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resultados para llegar a un resultado ulterior. Ej.: Resuelve un problema para el cual hay que obtener primero una de las informaciones clave de una tabla.

Resolver problemas no habituales. Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los escolares hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Ej.: En cierto país la gente escribe los números como sigue: 11 lo escriben MMΦ, 42 es NNΦΦ y 26 es NMΦ. ¿Cómo escriben 37?

Justificar o Demostrar Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

LOS PROCESOS COGNITIVOS Y LOS NIVELES DE DESMPEÑO

Descripción de los procesos cognitivos en Matemática se evalúan agrupados en los siguientes tres niveles:

– Reconocimiento de objetos y elementos. Implica la identificación de hechos, conceptos, relaciones y propiedades matemáticas expresados de manera directa y explícita en el enunciado.

– Solución de problemas simples. Exige el uso de información matemática que está explícita en el enunciado, referida a una sola variable, y el establecimiento de relaciones directas necesarias para llegar a la solución.

– Solución de problemas complejos. Requiere la reorganización de la información matemática presentada en el enunciado y la estructuración de una propuesta de solución a partir de relaciones no explícitas, en las que se involucra más de una variable.

Reconocimiento de objetos y elementos.

• Identificar objetos y elementos.

• Interpretar representaciones matemáticas.

• Identificar relaciones y propiedades.

Solución de problemas simples. Resolver un problema simple involucra:

• Interpretar la información explícita que se brinda.

• Representar la situación.

• Establecer relaciones directas entre los datos.

• Planificar una estrategia de solución.

• Registrar el proceso de resolución utilizado.

• Analizar la razonabilidad del resultado.

Solución de problemas complejos. Resolver un problema complejo involucra:

• Interpretar la información que se brinda.

• Reorganizar la información presentada en el enunciado.

• Seleccionar la información necesaria para resolver el problema.

• Representar la situación.

• Establecer relaciones explícitas y no explícitas entre los datos.

• Planificar una estrategia de solución.

• Registrar el proceso de resolución utilizado.

• Analizar la razonabilidad de los resultados.

El desempeño en Matemática: los niveles

El desempeño de los estudiantes en Matemática se agrupa en tres niveles, aunque hay estudios que consideran cuatro niveles. Los niveles corresponden a categorías de tareas que permiten identificar grupos de alumnos con similar perfil de rendimiento en las pruebas. Un estudiante cuyos resultados se ubican en un determinado nivel de desempeño muestra el rendimiento necesario para realizar, con alta probabilidad de éxito, las actividades propuestas en ese nivel, así como en los inferiores. Los niveles se establecen con el propósito central de facilitar la comunicación de lo que los alumnos pueden hacer, y se determinan a partir de una combinación de criterios empíricos, disciplinares y pedagógicos.

PROGRESIÓN CRECIENTE DE LA DIFICULTAD EN LOS PROCESOS COGNITIVOS

La progresión de los niveles de desempeño en Matemática se define a partir del análisis de la combinación adecuada entre procesos cognitivos y contenidos según niveles crecientes de dificultad. Los procesos cognitivos caracterizados anteriormente describen categorías con complejidad creciente, que, en gran parte, constituyen un continuo a través de los niveles de desempeño, veamos  el siguiente cuadro.

Algunos especialista describen cuatro niveles, basados en que decomponen el nivel I hablando de del reconocimiento de relaciones explícitas y no explicitas estas últimas incluidas en el nivel II, veamos un ejemplo en la siguiente tabla.

Algunos ejemplos utilizados en las pruebas de Matemática de Primaria, según niveles de desempeño y procesos cognitivos implicados

Nivel

Nivel de Desempeño I

Dominio conceptual Tratamiento de la información

Proceso Reconocimiento de objetos y elementos

Acción o tarea Interpretar información directa presentada en un gráfico de  barras

Respuesta correcta A: Enero

Nivel de Desempeño I

Dominio conceptual De la medida

Proceso Reconocimiento de objetos y elementos

Acción o tarea a realizar Identificar una medida de capacidad

Respuesta correcta A: litros

Nivel de Desempeño II

Dominio conceptual Tratamiento de la información

Proceso Solución de problemas simples

Acción o tarea a realizar Resolver un problema que involucra la interpretación de datos  presentados en una tabla o cuadro para su comparación

Respuesta correcta A: las niñas tienen más perros que los niños

Nivel de Desempeño II

Dominio conceptual Medida

Proceso Solución de problemas simples

Acción o tarea a realizar Resolver un problema del campo aditivo entre números decimales que involucra equivalencia de medidas de longitud

Respuesta correcta B: 15cm

Nivel de Desempeño III

Dominio conceptual De la medida

Proceso Solución de problemas simples

Acción o tarea a realizar Resolver un problema que requiere una sustracción y equivalencia entre medidas de tiempo

Respuesta correcta D: 15

Nivel de Desempeño III

Dominio conceptual Medida

Proceso Solución de problemas simples

Acción o tarea a realizar Resolver un problema del campo aditivo que involucra equivalencia de medidas de peso (masa)

Respuesta correcta D: 1kg 5kg 2kg

Nivel de Desempeño IV

Dominio conceptual Variacional

Proceso Solución de problemas complejos

Acción o tarea a realizar Identificar la regla de formación de una secuencia numérica aditiva por su enunciado

Respuesta correcta C: Se agregaron 300 unidades cada vez

Nivel de Desempeño IV

Dominio conceptual Variacional

Proceso Solución de problemas complejos

Acción o tarea a realizar Continuar una secuencia gráfica identificando su regularidad

Respuesta correcta C: Figura 3

DEFINICIÓN DEL DOMINIO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

El dominio de Competencia en Matemáticas concierne la capacidad de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente sus ideas al tiempo que se plantean, formulan, resuelven e interpretan tareas[1] matemáticas en una variedad de contextos.

El nivel de competencia en matemáticas se refiere a la medida en la que estudiantes pueden ser considerados como ciudadanos reflexivos y bien informados además de consumidores inteligentes. OCDE / PISA define de la siguiente manera la competencia  matemática[2]:

La competencia matemática es la capacidad de un individuo para identificar y entender el rol que juegan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados y utilizar las matemáticas en formas que le permitan satisfacer sus necesidades como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.

TIPOS DE COMPETENCIAS

Las competencias tratan de centrar la educación en el estudiante, en su aprendizaje y en el significado funcional de dicho proceso, esas competencias son: Pensar y razonar, Argumentar, Comunicar, Modelar, Plantear y resolver problemas, Representar y Utilizar el lenguaje simbólico, formal, técnico y las operaciones.

Se considera que los logros de los estudiantes en matemáticas se pueden expresar mediante este conjunto de competencias, ya que describen los procesos que se requieren para un domino matemático general.

Conviene observar que las tres primeras son competencias cognitivas de carácter general, mientras que las cuatro siguientes son competencias matemáticas específicas, relacionadas con algún tipo de análisis conceptual. A continuación se presentan algunos indicadores que ejemplifican cada una de las competencias.

Pensar y Razonar

Incluye las capacidades de: plantear cuestiones propias de las matemáticas (¿Cuántos hay? ¿Cómo encontrarlo? Si es así,…entonces etc.); conocer los tipos de respuestas que ofrecen las matemáticas a estas cuestiones; distinguir entre diferentes tipos de enunciados (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, afirmaciones condicionadas); entender y utilizar los conceptos matemáticos en su extensión y sus límites.

Argumentar

Incluye las capacidades de: conocer lo que son las pruebas matemáticas y cómo se diferencian de otros tipos de razonamiento matemático; seguir y valorar cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos; disponer de sentido para la heurística (¿Qué puede (o no) ocurrir y por qué?); crear y expresar argumentos matemáticos.

Comunicar

Incluye las capacidades de: expresarse en una variedad de vías, sobre temas de contenido matemático, de forma oral y también escrita; entender enunciados de otras personas sobre estas materias en forma oral y escrita.

Modelar

Incluye las capacidades de: estructurar el campo o situación que va a modelarse; traducir la realidad a una estructura matemática; interpretar los modelos matemáticos en términos reales; trabajar con un modelo matemático; reflexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados; comunicar acerca de un modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones); dirigir y controlar el proceso de modelización.

Plantear y resolver problemas

Incluye las capacidades de: plantear, formular y definir diferentes tipos de problemas matemáticos (puros, aplicados, de respuesta abierta, cerrados); resolver diferentes tipos de problemas matemáticos mediante una diversidad de vías.

Representar Incluye las capacidades de: decodificar, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representación de objetos matemáticos y situaciones, así como las interrelaciones entre las distintas representaciones; escoger y relacionar diferentes formas de representación de acuerdo con la situación y el propósito. Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones

Incluye las capacidades de: decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal y entender sus relaciones con el lenguaje natural; traducir desde el lenguaje natural al simbólico y formal; manejar enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas; utilizar variables, resolver ecuaciones y comprender los cálculos; las competencias muestran los modos en que los estudiantes actúan cuando hacen matemáticas.

BIBLIOGRAFÍA

Leyva L. M. y Proenza Garrido Y. "Reflexiones sobre la calidad del aprendizaje y de las competencias  matemáticas" Revista Iberoamericana de Educación (ISSN 1681-5653), en la dirección:

Leyva L. M. y Proenza Garrido Y. "Reflexiones sobre la evaluación de la calidad del aprendizaje en la práctica pedagógica en la escuela primaria". Que se encuentra en Internet en la dirección: http://www.monografias.com/trabajos44/calidad-aprendizaje/calidad-aprendizaje.

Leyva L. M. y Proenza Garrido Y: "Aprendizaje desarrollador en matemática" que se encuentra en Internet en la dirección http://www.monografias.com/trabajos52/pensamiento-geometrico/pensamiento-geometrico.shtml.

Leyva L. M. y Proenza Garrido Y. "Una aproximación a la problemática de la evaluación de la calidad del aprendizaje de la matemática en la escuela primaria: las competencias matemáticas"

URL: http://www.ilustrados.com/publicaciones/EEAFEZZFAlYWoqbXkX.php

Leyva L. M. y Proenza Garrido Y. "Las competencias matemáticas" en la dirección: http://www.rieoei.org/deloslectores/1394Proenza.pdf

Leyva L. M. y Proenza Garrido Y. "EL APRENDIZAJE Y EL PENSAMIENTO MATEMÁ TICO EN LA EDUCACIÓN INFANTIL: SU TRATAMIENTO Y EXIGENCIAS EN EL MODELO CUBANO ACTUAL",en formato ppt, y  en la categoría Matemática cuya URL es: http://www.ilustrados.com/documentos/eb-aprendizajematematico.ppt

Puig S. "Los niveles de desempeño cognitivo". MCS. Silvia Puig Investigadora ICCP. Octubre del 2003

Manual de elaboración de ítemes objetivos de selección múltiple y de preguntas abiertas  para el SERCE, (2004), Santiago de Chile.

SERCE. Análisis Curricular. Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior (ICFES), 2004.

Segundo Informe de Resultados TIMSS 2003. MATEMÁ TICAS. Edición: Mayo 2005.

"Reflexiones sobre la evaluación de la calidad del aprendizaje en la práctica pedagógica en la escuela primaria",  http://www.ilustrados.com/publicaciones/EEZVpEZAFZYFyQNMrU.php

"La calidad del aprendizaje ", http://www.rieoei.org/deloslectores/1394Proenza.pdf

Los aprendizajes de los estudiantes de América Latina y el Caribe Primer reporte de los resultados del Segundo Estudio Regional Comparativo y  Explicativo   2008

Autor:

MsC. Luis Manuel Leyva Leyva

Dra C. Yolanda Proenza Garrido

MsC. Roberto Cristo Varona

[1] Se asume la introducción del término "tarea" que hace Werner J. (1982), porque desde el punto de vista de la didáctica permite establecer la diferencia entre ejercicio y problema (…la misma tarea puede ser para una persona que conoce el algoritmo, un ejercicio y para una persona que no lo conoce un problema en el sentido amplio…).

[2] OCDE / PISA [Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes auspiciado por la UNESCO y la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE)]. El objetivo de la evaluación internacional que hace OCDE / PISA es establecer hasta qué punto los sistemas educativos de los países participantes (42 en 2003) están preparando a sus estudiantes para jugar un papel constructivo como ciudadanos participes en la sociedad