Epidemiología: Análisis matemático y manejo sistémico de enfermedades de cultivos tropicales (página 2)

Aunque la verdadera línea de regresión está representada por AB, en la figura 5, su posición real e inclinación no son conocidas. Usando el método de los mínimos cuadrados, podemos estimar la línea recta que mejor representa los datos observados, y que puede ser representada por CD, (línea de regresión estimada). Esta pasa a través de media de cada variable y es expresada por ecuación de regresión:

Los tres modelos o ecuaciones antes descritos se refieren al análisis de regresión lineal simple; es decir, a la relación entre una variable dependiente (Nª de lesiones Y) y una variable independiente (dosis de esporas X). Pero cuando, por ejemplo, el número de lesiones por hoja, depende de dos o más variables independientes estamos refiriéndonos a un análisis de regresión lineal múltiple (o parcial), en este caso la ecuación es:

Y = b0 + b1 x1 – b2 X2…………….+ bn xn (10)

Donde: Las constantes b hasta bn, son coeficientes de regresión parcial, y representan los estimados del efecto lineal neto de las variables X hasta Xn, respectivamente, sobre la respuesta total de Y. El coeficiente de regresión parcial b1 es la inclinación lineal de y sobre x1 cuando los efectos de x2 hasta xn sobre y han sido descontadas.

Si introducimos el factor determinante Humedad relativa en la ecuación 10, tendríamos una ecuación:

Y = b0 + b1 x1 – b2x2 (11)

La severidad de la enfermedad incrementa en b1 lesiones con el incremento de dosis de esporas (X1 ) y disminuye la enfermedad en b2 lesiones conforme aumenta la humedad relativa (x2 ). La habilidad para medir el efecto neto de cada variable independiente, hace que el análisis de regresión múltiple sea un método valioso en epidemiología.

Un modelo adicional al presentado en la ecuación 11, en la que la variable dependiente (y)

está en función lineal de cada variable independiente (X1, X2), se presenta en la ecuación 12, considerando variable X3 (viento), como otra determinante para el Nª de lesiones.

Y = b0 + b1 x1 – + b2x2 + b3 x3 + b4 x1 x3 + b5 x2 3 (12)

Donde: x2 3 da lugar a un componente no lineal en la respuesta de la variable dependiente y a la velocidad del viento.

La ecuación 12 queda como un ejemplo de regresión lineal, por que la variable dependiente e expresada como una función lineal de cada una de las 5 variables independiente es apreciada como la suma de los efectos lineales de variables independientes.

Antes de realizar el análisis de regresión es necesario examinar la relación grosera entre las variables dependientes con cada variable independiente. Esta primera información es obtenida de una serie de diagramas de dispersión en que la variable dependiente es plotada contra cada variable independiente.

Algunos problemas pueden surgir sobre la naturaleza de la variable dependiente, cuando por ejemplo medidas repetidas de la severidad de la enfermedad o número acumulado de esporas, son registrados. Los datos describen una curva "S" (forma sigmoide) de progreso de la enfermedad (ver ecuación 27, más adelante). Si el objeto del Análisis de regresión es la formulación de una ecuación de predicción para prever la severidad de la enfermedad, o el análisis de factores que determinan la tasa de incremento de la enfermedad, es necesario linealizar los datos de incidencia de la enfermedad, que constituye la variable dependiente. Algunas transformaciones son consideras por VAN DER PLANK (1963), KRANZ (1974) y MOGK y JOWETT (1974)..

ANÁLISIS DE REGRESIÓN NO LINEAL. Como ya vimos, un ejemplo típico de modelo de regresión lineal es representada por la ecuación:

Y = a + bX (13)

Los términos en la ecuación 13, son (1 x a) + (X x b); donde 1 y X son valores conocidos, y a y b son los parámetros. Desde que X es conocido, podemos también conocer los valores de X2, X3, a/X, log X, etc., para los modelos que así lo expresen.

Por ejemplo, los modelos, según lo anotado anteriormente, representadas por:

Y = a + bX + cX2 (14) Y = a + b/X (15)

Son también lineales en a y b, asumiendo que conocemos los valores de X.

Por otro lado, los modelos exponencial y logístico que se muestran en las ecuaciones:

Y = a ebx (16)

representan modelos no lineales, y los parámetros aparecen multiplicados o divididos por funciones de otros parámetros. Es esta característica de tales modelos que hace que no se puedan ajustar por el método convencional de los mínimos cuadrados. El modelo 16 puede ser linealizado aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación, quedando expresada como:

lnY = lna + bX (18)

Pero el modelo logístico de la ecuación 17 no puede ser directamente linealizado sin asumir otras consideraciones, tales como el empleo de valores supuestos de los parámetros y se requiere de un computador.5

APLICACIONES EPIDEMIOLÓGICAS DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN Como demostramos anteriormente, la importancia del análisis de regresión en la epidemiología es significativa.

Cuando el objetivo es desarrollar modelos de predicción o pronóstico, la función del análisis de regresión es seleccionar aquellas variables del patosistema que explican mejor el desarrollo de la enfermedad. La ecuación de predicción que muestre un alto valor de R2 , nos permitirá con mucha precisión, pronosticar cuantitativamente la enfermedad, como por ejemplo las ecuaciones 41 Y 42 , en las que tres variables independientes (X1, X2, y X3), en el caso de la "enfermedad de los brotes del té" y una (RSPM) en el caso de la "roya del cafeto" , explican el comportamiento de la epidemia (variable dependiente).

Cuando el objeto es cuantificar el progreso de la enfermedad, lo que se busca es calcular el avance de la epidemia en relación al tiempo. En este caso, el análisis de regresión nos permitirá calcular la tasa de infección o tasa de incremento de la enfermedad r ; es decir, la inclinación de la curva de progreso de la enfermedad (valor de b de la ecuación de regresión resultante).

El método de análisis de regresión también ha sido usado para analizar y medir la relación entre enfermedad y la pérdida de rendimiento; para lo cual se correlacionan datos históricos y de diferentes localidades sobre grado de ataque de alguna epidemia en estudio, con las normas en producción de dichos campos; estimándose mediante el análisis de regresión las pérdidas esperadas (Y) con (X) severidad de ataque.

Según KRANZ (1974), es muy importante considerar los siguientes aspectos en la interpretación de las relaciones dadas por el análisis de regresión múltiple:

1. La evidencia de la regresión no es evidencia de las causas biológicas dadas por las variables determinantes, sino una representación matemática de ésas.

2. Algunos factores importantes no pueden estar incluidas en las variables seleccionadas, eso determina una variación en la precisión de la ecuación de acuerdo con la fuente de datos, lo cual es notado por el coeficiente de determinación (R2).

3. Existen limitaciones debido a inter-correlaciones entre variable X. A veces puede tenerse altos valores de R2, pero bajos de coeficientes de regresión parcial. Para mejor interpretación sobre el comportamiento de las variables es importante hacer una matriz de correlación, la que nos indicará el grado de asociación entre variables.

Tradicionalmente las ecuaciones no lineales sólo eran planteadas ocasionalmente, debido a que eran demasiado complejas para ser resueltas y debido a la naturaleza caótica de los fenómenos naturales asociados. Por lo tanto, los científicos evitaban el estudio de sistemas no lineales, y se hizo costumbre linealizar las ecuaciones no lineales, reemplazándolas por aproximaciones lineales. Esto ha conllevado a errores permanentes al creerse que los fenómenos naturales podrían ser descritos por ecuaciones lineales.(CAPRA,2002)

La visión de los sistemas vivos- como es el caso de los patosistemas- cuyos componentes están interconectados y son interdependientes, ha sido mejor detallada recientemente, mediante el uso de nuevas herramientas matemáticas, con capacidad de permitir diseños de modelos de interrelación no lineal. El descubrimiento de estas "matemáticas complejas" fue uno de los descubrimientos más importantes del siglo XX, y es la base del desarrollo de nuevos modelos cada vez más complejos.

Puesto que los patosistemas son sistemas altamente complejos, en la actualidad, como ocurre desde hace dos décadas, con el desarrollo y aplicaciones prácticas de las matemáticas complejas, llamadas "matemáticas de la complejidad", "teoría de los sistemas dinámicos" "dinámica no lineal" y mediante el uso de nuevas computadoras y nuevos software, la epidemiología cuenta con herramientas poderosas para la elaboración de modelos matemáticos o funciones epidemiológicas que permiten una mejor descripción y pronóstico de epidemias. Tal como explicamos a continuación.

FUNDAMENTOS Y USO DE LOS MODELOS MATEMATICOS EN EPIDEMIOLOGIA Los fundamentos Nuestro interés es llevar al lector a familiarizarse con el uso de modelos matemáticos y epidemiológicos en forma práctica. Por lo tanto, es apropiado presentar algunos conceptos, complementados con algunas experiencias y observaciones obtenidas por diversos autores en regiones de agricultura tropical.

A continuación trataremos e responder a las cuestiones :¿qué es un modelo?, ¿podemos estudiar matemáticamente una epidemia?, ¿podemos estudiar la propagación y pronóstico de una enfermedad con el uso de las matemáticas?. Con ello se tiene la intención de introducir al lector en la mejor comprensión de los principios de la Epidemiología Cuantitativa.

Como ya indicamos, desde sus inicios la Biología se ha caracterizado por ser una disciplina contemplativa y descriptiva. La Biología como ciencia comenzó realmente al surgir la Genética, la Evolución y la Fisiología; y los avances más notables en Biología se lograron posteriormente con los progresos aportados por la Física en cuanto a los métodos de mediciones.

Según MOMO, F. y col. (1994) la Matemática en Biología, Biomatemática o Ecología Matemática, nació como Ciencia en los años 1926 y 1927, con los trabajos de Volterra (1926), Lotka y Kostitzin , respectivamente. A partir de allí, la mayoría de los conceptos de la Ecología han tenido expresión en forma de modelos matemáticos que explican o predicen lo que pasa en la naturaleza, con mayor o menor grado de realismo y precisión. La ecología matemática, estrechamente vinculada a la epidemiología, hoy en día puede dedicarse a varios aspectos: predecir la probabilidad de inundaciones, modelar el clima, diseñar prevención para enfermedades infecciosas, etc.

Los conocimientos alcanzados por la humanidad hasta el presente, hacen presumir que los avances científicos tienden a prever todos los acontecimientos que pudieran suceder bajo la órbita de una realidad cada vez más artificial, cibernética o programable. Esto lleva a reemplazar dicho fenómeno real por otro simulado, simple y que puede ser manipuleado, denominado modelo; más aún, si se representa mediante herramientas matemáticas, se conocen como Modelos Matemáticos. 6

En el contexto antes descrito, un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático. Se puede decir que un modelo matemático de un cierto fenómeno es bueno si predice o simula algunos de los comportamientos del fenómeno real. También se puede tratar de encontrar estructuras matemáticas que sirvan de modelo común a diversos y diferentes fenómenos.

En términos generales, en todo modelo matemático se puede determinar 3 fases:

· Construcción del modelo. Transformación del objeto no-matemático en lenguaje matemático.

· Análisis del modelo. Estudio del modelo matemático.

· Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto inicial no-matemático.

· El éxito o fracaso de estos modelos es un reflejo de la precisión con que dicho modelo matemático representa al objeto inicial y no de la exactitud con que las matemáticas analizan el modelo Por lo tanto,la visión de los sistemas vivos, cuyos componentes están interconectados y son interdependientes, ha sido expresada repetidamente, de uno u otro modo, a lo largo de la historia de la filosofía y de la ciencia. No obstante, modelos detallados de esos sistemas sólo han podido ser formulados recientemente, cuando se ha accedido a nuevas herramientas matemáticas, capaces de permitir a los científicos el diseño de modelos, de la interconectividad no-lineal características de los patosistemas. El descubrimiento de estas nuevas "matemáticas de la complejidad" está siendo cada vez reconocido como uno de los acontecimientos más importantes de la ciencia del siglo xx.

Uso de los modelos matemáticos en epidemiología. Como ya fuera ampliamente explicado, desde un enfoque ecológico o sistémico una enfermedad es el resultado de la interacción de un patógeno con un hospedero susceptible en un ambiente favorable, a través del tiempo. Si el hospedero es especialmente susceptible y el ambiente favorable, un patógeno agresivo puede inducir una enfermedad severa. La naturaleza compleja de una enfermedad puede ser expresada como indica FRY (1982)

mediante la siguiente expresión:

Donde:

E= Enfermedad t-Tiempo Et = f(pi, hi, Ii) (19) pi= Patógeno (Capacidad del patogeno para inducir enfermedad, población del Patógeno) hi=Hospedero(susceptible,distribucion,poblacióndeplantas). li=Ambiente (factores fisicos. químicos, biológicos)

Desde el punto de vista cuantitativo,en una población del patógeno, los diversos macro y microprocesos pueden ser cuantificados como "razón de sobrevivencia" (RS). De acuerdo al concepto ecológico utilizado por ZADOKS y SCHEIN (1979), la RS es la razón existente entre el número de uredosporas inoculadas y el número de pústulas resultantes. Este mismo concepto es usado básicamente para evaluar el efecto de las condiciones ambientales y de la resistencia del hospedero sobre la biología del patógeno. En este sentido, la sobrevivencia después de un mícro o macro proceso puede ser expresado en forma de proporción. Así, epidemiológicamente, la germinación es la razón entre el número de unidades infectivas que formaron tubo germinativo sobre el número total de estas unidades depositadas. Si colocamos 100 uredosporas a germinar y 70 de éstas logra emitar tubo germinativo, entonces se dice que la razón de sobrevivencia para un proceso monociclico (RSPM) o ciclo de infección es de 0.32.

El aspecto temporal del proceso puede ser expresado como promedio de tiempo transcurrido para pasar de un estado morfológico a otro inmediatamente siguiente. Por ejemplo, el tiempo de germinación es el periodo, en horas, para que una unidad infectiva (uredospora) complete el proceso de germinación. De este modo, el tiempo necesario para que una uredospora pueda germinar (período de germinación), o infectar (período de infección) inducir lesión (período de incubación), producir pústula (período latente), son aspectos temporales de los micro y macro procesos señalados.

Como ya explicamos en los capítulos precedentes, la dinámica de desarrollo de una enfermedad, vista como componente de un patosistema, es compleja. Por lo que la epidemiología debe recurrir a las ciencias matemáticas y de computación, que haciendo uso de los conceptos de análisis de sistemas, permiten evaluar y comprender la dinámica de la epidemia, mediante el uso de modelos matemáticos y tratan de representar la dinámica de desarrollo de una enfermedad en términos de ecuaciones.

MODELOS PARA EPIDEMIAS CAUSADAS POR PATOGENOS MONOCICLICOS Ejemplos de Patógenos monociclicos son el "carbón del maíz" (Ustilago maydis), "marchitez" (Fusarium sp y Verticilium sp.), pudriciones causadas por Sclerotium sp, etc. En estas enfermedades, las plantas, infectadas al inicio del ciclo del cultivo, no actúan, significativamente, como fuentes de inóculo para las infecciones posteriores en una estación. La siguiente ecuación describe como una enfermedad resulta de la interacción entre hospedero, ambiente y patógeno monociclico a través del tiempo.

Donde:

xt = QR t (20)

Xt = Cantidad de enfermedad (proporción) en el tiempo t. Q= tamaño de la población inicial del patógeno o inoculo.

R= eficiencia del inoculo inicial, medida como tasa de incremento de la enfermedad y que sintetiza el efecto del ambiente, resistencia del hospedero, practicas culturales, y la habilidad inherente del patógeno para inducir la enfermedad.

t= tiempo en que el hospedero y patógeno interactúan en su ambiente.

La velocidad e aumento de la enfermedad monociclica, de acuerdo con la ecuación anterior, puede representarse por:

dx/dt =QR (21) Esta ecuación establece que el incremento de la enfermedad (dx), durante un corto período de tiempo (dt),esta en función del inóculo inicial (Q) y su eficiencia (R) que es la tasa de infección o incremento de la enfermedad. En este análisis, la cantidad de enfermedad (x) es representada como proporción de población de hospedero que está afectado, y la proporción puede ser calculada con base en la cantidad total de tejido disponible o al total del número de plantas hospederas. Consecuentemente, los valores de la proporción de tejido enfermo debe estar en un rango entre 0 y 1.0. La figura 6 ilustra lo expresado.

Puede notarse, sin embargo, que la ecuación dx/dt =QR no considera un importante factor: la cantidad de tejido sano. Corrigiendo dicha ecuación para describir la influencia del tejido sano, obtenemos:

dx /dt =QR ( 1- x) (22) En la que (1-x) es el factor que explica el tejido o área sanos disponibles. Para todos los modelos de crecimiento el máximo de área susceptible para infección es 1, considerando constante durante la epidemia (xmáx =1 ). Sin embargo se observa que, mientras ocurre el crecimiento del hospedero, existe un aumento de masa en los tejidos susceptibles " diluyendo" la proporción de enfermedad; inconveniente que puede corregirse con el factor (1-x).

Los parámetros epidemiológicos (Q y R), en epidemias monocíclicas. Para estudiar las epidemias monocíclicas, necesitamos calcular sus parámetros epidemiológicos (Q y R) en las ecuaciones 21 y 22. Para esto, lo primero que debe hacerse es evaluar la epidemia durante el tiempo. Luego, registrando la proporción (0 – 1) de tejido afectado, en relación al tiempo, se construye una curva de progreso de la enfermedad. La forma, para una enfermedad monocíclica, es una curva de saturación (Fig 6), Si los datos de proporción de enfermedad (x) lo transformamos para LN (1/ (1-x), tratándose de enfermedades monocíclicas, podemos, entonces, linearizar las curvas respectivas, con la finalidad de calcular su inclinación o pendiente , usando análisis de regresión. Como ya se indicó, se usa 1/(1 – x) para enfermedades monocíclicas porque el inóculo no se incrementa durante la estación. La linearizacion de la curva nos permite ilustrar comparativamente el comportamiento de las epidemias.

A continuación presentamos dos ejemplos de cuantificación de dos epidemias causadas por un patógeno monocíclico. Se trata de la "traqueomicosis", en el cultivo de la palmera aceitera, causado por el hongo Fusarium oxysporum f.sp. Elaeidís, y que causa marchitez, y "Mal de Panamá" del bananero Fusarium oxysporum f.sp. cubense.(Ver fotos 1 y 2). Son dos enfermedades monociclicas o de "interés simple"", debido a que su aumento es principalmente limitado al inóculo inicial, ya que las plantas enfermas no son fuente de inóculo para el resto de la plantación, en un determinado período o ciclo de cultivo,de manera que su crecimiento no es exponencial. Para cuantificar este tipo de epidemias, consideramos a toda la planta enferma y no a una parte de ésta, como unidad de muestreo. Los cuadros 2 y 3 , ilustran lo dicho.

CUADRO 2. Evaluación del porcentaje de la enfermedad de la "traqueomicosis" de la palma aceitera durante nueve meses.

CUADRO 3. Evaluación del porcentaje de la enfermedad de la "Mal de Panamá" del bananero, en Ucayali – Perú, durante un ciclo de producción.

Como notamos en los cuadros 2 y 3, es conveniente expresar los porcentajes en términos de proporción e plantas enfermas (x). Si colocamos los valores de Proporción de la enfermedad contra el tiempo, obtendremos la curva de progreso de la enfermedad, como se muestra en la Las curvas de saturación obtenidas se ajusta al modelo monomolecular de la enfermedad. Esta curva se convierte en línea recta, transformando cada uno de los valores de proporción de la enfermedad (x). A su vez esta linealización o ajuste de la curva monomolecular, se realiza usando algún programa computarizado o sofware de regresión no lineal utilizando la ecuación que explica el modelo monomolecular: monit = LN (x/1-x).

MODELOS PARA EPIDEMIAS CAUSADAS POR PATÓGENOS POLICÍCLICOS.

Las enfermedades causadas por patógenos policíclicos son influenciadas por la habilidad del patógeno para inducir las enfermedades, resistencia del hospedero, las condiciones ambientales incluyendo prácticas culturales tiempo en el que hospedero y patógeno interactúan, y la tasa de reproducción del patógeno (FRY 1982).

Una simple expresión matemática ayuda a comprender el comportamiento de una epidemia policíclica, como por ejemplo pudrición de fruto del cacao Moniliophtora roreri la roya del cafeto Hemileia vastatrix . En un corto período de tempo (dt) durante la estación, la tasa de enfermedad (dx/dt ) se incrementa en función del tamaño de la población del patógeno, de la eficacia con que esta población induce enfermedad, y con la proporción de tejido de planta disponible para el patógeno. El tamaño de la población del patógeno está en función de la cantidad de enfermedad (x), debido a que el patógeno inóculo en el tejido enfermo. La relación entre tejido e inóculo se expresa por un factor ( r ) el cual también describe la eficiencia del inóculo (FRY 1982).

Entonces , la tasa de incremento de la enfermedad policíclica puede ser expresada por la siguiente ecuación y Figura 9.

dx/dt= xr (1-x) (24)

ENFERMEDADES POLICÍCLICAS

Las plantas o partes de las plantas infectadas (hojas,frutos, etc), al inicio de la estación, actúan significativamente como fuentes de inóculo para infecciones repetitivas posteriores, durante el ciclo vegetativo del cultivo.

FOTOS 3 y 5B. "pudrición parda del fruto del cacao" (Phytophthora palmivora). FOTO 4. "Moniliasis del cacao" (Moniliophtora roreri). FOTO 5 A. "Roya del cafeto" (Hemileía vastatrix). FOTO 5 C. "Escoba de brujas

de cacao" (Crinipellis perniciosa).

La ecuación 24 se deriva del modelo general de crecimiento logístico dado por la ecuación:

X=1/(1+b.exp (-rt)) (25)

Cuya ecuación de transformación es:

logit (x)=1n (x/(1 — x) ) (26) LOS PARÁMETROS EPIDEMIOLÓGICOS: La tasa de de infección o tasa de incremento de la enfermedad (r). Para estudiar las epidemias policíclicas, necesitamos calcular sus parámetros epidemiológicos (x y r en las ecuaciones 24 y 25 ). Como venos, la ecuación 24 similar a la ecuación 23, que describe el incremento de la enfermedad inducida por un patógeno rnonocíclico, en que ambas tienen el factor (1 — x) o tejido disponible. Sin embargo difieren en que el inóculo (Q) es constante en el patógeno monociclico, pero variable (x) en el patógeno policíclico.

BERGER (1980), demostró que otras transformaciones pueden ser más apropiadas para estimar los parámetros epidémicos, debido a que no todas las curvas de progreso de la enfermedad policíclica se ajustan al modelo logístico propuesto por VAN DEP PLANK (1963). Muchos otros investigadores como ANALYTIS, (1973), por ejemplo, utilizó los siguientes modelos de crecimiento para cuantificar con el progreso de la enfermedad "sarna" de la manzana (Venturia inaequalis):

Logística: x= 1/(1+b. exp (-rt)) (27) Gompertz : x = exp (- b . exp (-rt) (28) Monomolecular : x= 1- b.exp(- rt) (29) Weibull : x= 1-exp(t-a)/b)c (30) En estudios para cuantifcar el comportamiento de la roya amarilla del café,(Hemileia vastatrix), HERNANDEZ (1984), demostró que el modelo Gompertz explicaba mejor, la curva de progreso de la enfermedad, antes que los modelos logístico y monomolecular.

Todo esto permite afirmar que antes de calcular los parámetros epidémicos, como la tasa de infección (r). u otro, se debe, previamente (mediante análisis de regresión no lineal), determinar a qué modelo de crecimiento, de los antes descritos, la curva de progreso de la epidemia en estudio se ajusta mejor. Esta indicación la da, como se sabe, el coeficiente de determinación (R2)

Como ya indicamos la forma sigmoide corresponde a la curva de progreso de una enfermedad policiclica (Fig. 9) pero usamos x/ (1-x) para enfermedades policiclicas porque el inoculo ( x en diferentes tiempos ) se incrementa durante la estación. La inclinación de la linea resultate de graficar LN(1/(1-x) contra el tiempo es QR y si Q es conocido podemos calcular R . Si colocamos LN(1-x) contra el tiempo, la inclinación de la curva es r, "tasa de infección aparente" por VAN DER PLANK (1963).

El procedimiento anteriormente descrito para el cálculo de los parámetros R y r, es simple. Sin embargo, como indicamos esta forma de estimación puede llevar a cometer errores, considerando que tanto los valores de Q y x pueden ser sobrestimados en el cálculo de r, por ejemplo cuando se ajusta la curva logística usando análisis de regresion lineal simple.

Por lo anteriormente expuesto adquieren valor, las recomendaciones dadas por varios investigadores(HERNANDEZ,1984, BERGER,1980,KRANZ, 1978 ), de probar, previamente, de acuerdo con el coeficiente de determinación (R2), cual de los modelos matemáticos explican mejor la curva de progreso de la enfermedad en estudio; para ello, se procede asi: Primero.- Cuantificar la proporción de enfermedad (x) en las diferentes evaluaciones, expresarla en forma acumulativa y graficarla contra el tiempo a fin de diseñar una curva de progreso de la enfermedad.

Segundo.- Los valores de x, en cada una de las lecturas realizadas, durante el transcurso de la epidemia (x t ), se dividen entre el valor de la cantidad de tejido máximo que alcanzó el hospedero en la última evaluación (Y máx). De esta manera obtenemos valores de proporción de la enfermedad corregida para el crecimiento del hospedero. Esto se resume por la ecuación.

x" = xt/ Y máx (31) Donde x" = Proporción de enfermedad corregida para crecimiento de hospedero. xt =Proporción de enfermedad en cualquier tiempo t.

Ymáx=Número de hojas, frutos, ramas, etc (máximos)alcanzados por el hospedero.

Tercero.-Calcular loqit x"; monit x"; o gompit x" , tratando de usar el modelo loqístico, monolecular, o gompertz. respectivamente; usando sus ecuaciones de transformación:

Colocando estos datos contra los de tiempo (t). y mediante análisis de regresión lineal simple, calcularemos la inclinación de la curva (b=r) y el coeficiente de determinación(R2 ) que nos indicará cual es el modelo adecuado.

Cuarto.-Por análisis de regresión no lineal, y usando algún programa de computación que permita estos cálculos es posible con mayor eficiencia,: estimar los datos de x", contra el tiempo (t), bajo los modelos logístico, gompertz, monomolecular, etc, y la inclinación de la curva, o sea el parámetro (r) de las ecuaciones 27,28,29, y 30, que representa la tasa de infección corregida para crecimiento del hospedero (p"). ver KUSHALAPPA (1982) y HERNANDEZ (1984), Area debajo de la curva de progreso de la enfermedad Además de la tasa de infección (r ), el área debajo de la curva de progreso de la enfermedad ( ACPE) es un parámetro generalmente usado en epidemiología comparativa (SHANER y FINNEY" 1977; HERNANDEZ 1984, 1986), y es calculado por la fórmula:

CASOS DE CUANTIFICACIÓN DE EPIDEMIAS CAUSADAS POR PATÓGENOS POLICÍCLICOS.

A continuación presentamos dos ejemplos de cuantificación de epidemias causadas por patógenos policiclicos : 1.- la "pudrición del fruto" del cacao, incitada por el hongo Phytoph- thora palmivora, y b) la "roya amarilla" del cafeto, incitada por el hongo Hemileia vastatrix. . Como sabemos, ambas enfermedades son de importancia significativa en estos dos cultivos tropicales. En el primer caso las unidades de muestreo son los frutos, y, en el segundo, las hojas.

En el ejemplo de la "Pudrición parda" del fruto del cacao, se han tomado los datos presentados por MULLER (1974) sobre el comportamiento de la enfermedad durante un experimento realizado entre 1957-1958, El Cuadro 4,muestra dichos datos, con los cuales el investigador graficó la curva de progreso de la enfermedad. Es una curva sigmoide típica, como se ilustra en la Figura 10.

En el caso de la "Roya amarilla" del cafeto, HERNANDEZ et al (1986). evaluaron el comportamiento epidémico de la "roya amarilla" del cafeto (Hemileia vastatrix, Berk & Br), durante dos años, con la finalidad de cuantificar su desarrollo en tres zonas altimétricas, ubi- cadas a 670, 1,100 y 1,600 msnm), tal como se conduce el cultivo del café en el Perú y en otros países del área andina. Se calculó el Área debajo de la curva de progreso de la enfermedad (ACPE)-ver cuadro 5 y Fig.11- con el fin de tener una idea más completa sobre el comportamiento de la enfermedad, para lo cual fue usada la ecuación 22, con base en los valores de proporción de enfermedad acumulados durante el periodo octubre 1983- octubre1984, en las tres zonas en estudio, mostrados en el cuadro 6.

CUADRO 5. Inóculo inicial y Area debajo de la curva de progreso de la enfermedad (ADCPE) de la roya del cafeto, observados en tres zonas altimétricas

KUSHALAPPA (1984) y HERNANDEZ (1984), han indicado que la relación entre el parámetro ACPE y el área debajo de la curva del crecimiento de la planta hospedera, da como resultado un nuevo parámetro denominado PROPORCION DE AREA DEBA- JO DE LA CURVA DE PROGRESO DE LA ENFERMEDAD INTRINSECA, dado por la fórmula:

PACPEI =ACPEI/ACCH (36)

Donde:

PACPEI= Proporción de área debajo de la curva de progreso de la enfermedad intrínseca. ACPEI= Area debajo de la curva de progreso de la enfermedad intrínseca.

ACCH = Área debajo de la curva de crecimiento del hospedero.

anto el ACPEI como el ACCH son calculados en base a la ecuación 35,que fuera propuesta por SHANER

y FINNEY (1977).

CUADR0 6 . Valores de Proporción de la enfermedad (x) acumulados durante el periodo octubre 1982-1984, en tres zonas altimétricas, en Tingo María-Perú

CUANTIFICACIÓN DE EPIDEMIAS DE ENFERMEDADES CAUSADAS POR FITOVIRUS En las regiones tropicales y sub-tropicales, existen serios perjuicios causados por fitovirosis; sin embargo no es abundante la información sobre la epidemiología de las mismas.Las relaciones entre virosis y sus hospederos son particularmente complejas; tal vez sea esta la razón para que pocas investigaciones se hayan realizado sobre la epidemiología de este tipo de enfermedades. Se ha reportado inclusive casos en que importante enfermedades, anteriormente atribuidas a virosis, son ahora asociadas con micoplasmas.

Los aportes de THRESH (1978, 1983); HARRISON (1997); SMITH (1977); GIBBS (1981); y ALLEN (1983), resaltan los siguientes aspectos:

· La mayoría de fitovirus son transmitidas por áfidos y cigarritas. Por lo tanto, el conocimiento del ciclo de vida de estos insectos permitirá entender mejor su rol sobre la epidemiología de las enfermedades viróticas.

· Aunque el vuelo de lagunas de los áfidos es probablemente corto, otros pueden ser de vuelo más largo; esto es muy importante considerarlo en la epidemiología viral. Consecuentemente, la dirección e intensidad de viento son factores importantes a considerar.

· El conocimiento del modo de transmisión (virus persistente o semi –persistente), y el rol epidemiológico de los áfidos, puede servir para predecir enfermedad virosas, con la finalidad de buscar su control adecuado.

· La epidemiología de las enfermedades inducidas por micoplasmas (MLCS) es compleja. Son necesarias muchas investigaciones sobre las interacciones de ambiente, población de vector, MLO, y plantas hospederas.

Los criterios de cuantificación de las virosis vegetales, en esencia, son los mismos empleados para la cuantificación de enfermedades causadas por otros patógenos, tanto en el análisis de gradiente de la enfermedad (avance desde el foco de infección), así como del progreso de la misma a través del tiempo, tal como fuera explicado en los capítulos precedentes.

A manera de ilustrar lo dicho, en cuanto a gradiantes de las enfermedades virósicas, presentamos algunos ejemplos, en la figura 12, donde observamos que la tendencia general, para la incidencia de virosis, es decrecer tonel incremento de la distancia desde el foco de infección, en la mayoría de los cultivos. Aunque haya muchas diferentes de cantidad de enfermedad y distancia de diseminación, las gradientes tienen el mismo modelo o tipo de curva.

En lo que se refiere al progreso de las epidemias de virosis de plantas en relación al tiempo, THRESH (1972 – 1983), indica que las curvas de progreso de la enfermedad tienden a ser sigmoides (Fig. 13.), aunque dentro de este mismo modelo hay diferencia entre cultivares (Fig. 14.), lugares, estaciones, tasa, y cantidad de enfermedad total. Después de la aparición de la enfermedad hay, usualmente, un periodo de rápido incremento en el total acumulado de plantas sanas permanecen para ser infectadas.

La figura 15 nos muestra que una baja tasa de incremento de la enfermedad (r) es mucho menor en cultivos perennes leñosos a una escala de tiempo medida en años. Por el contrario, las enfermedades viróticas en cultivos anuales y otras herbáceos de vida corta, frecuentemente aparecen tempranamente y se incrementan rápidamente en pocas semanas o meses.

Toda esta información es muy importante para el empleo de técnicas y estrategias de control de dichas epidemias, tales como aislamiento, uso de variedades resistentes, pesticidas para suprimir al Vector; así como cuantificar sus efectos.

Finalmente debe indicarse que los esfuerzos que vienen realizando recientemente los investigadores en ecología de insectos vectores, meteorólogos, epidemiólogos, y especialistas en virología, conducirán a una mejor compresión del comportamiento epidemiológico de las virosis de diferentes cultivos, con la finalidad de sentar bases sólidas para su manejo y control. El trabajo multidisciplinario, dada la complejidad del problema, se torna fundamental.

CAPITULO IV

APLICACIÓN DE LOS MODELOS EPIDEMIOLOGICOS EN EL PRONÓSTICO Y MANEJO DE ENFERMEDADES

Como hemos explicado, quien se dedica al estudio de modelos matemáticos o modelos epidemiológicos, debe tener siempre en mente, que, un modelo es una abstracción del mundo real. BERGAMIN (1978); indica que un modelo matemático es una aproximación simplificada de la realidad, sin pretender ser una réplica de ésta; lo cual significa que, difícilmente, un modelo pueda ser completo. Los modelos epidemiológicos se estudian con el objeto de entender mejor lo que ocurre en el campo, cuantificar el progreso de epidemias, prevenir epidemias, y. principalmente tornar los medios de control existentes más eficientes, así como la formulación de nuevas estrategias. Por lo tanto los modelos deben ser suficientemente probados antes de su aplicación practica, porque el comportamiento sistémico y de pronostico de las epidemias puede ser explicados con diversos modelos usando análisis de regresión hasta matemáticas complejas, como detallaremos más adelante.

Para tratar sobre el uso de modelos matemáticos en el manejo de enfermedades, debemos considerar que, tradicionalmente las enfermedades han sido controladas de varias maneras: Exclusión del patógeno, erradicación del patógeno, protección de la planta hospedera, resistencia del hospedero y terapia de la enfermedad. Luego, FRY (1982), plantea que el control de una enfermedad es más eficiente cuando se consideran tres perspectivas: El manejo de la enfermedad como un componente integral del manejo del cultivo, el empleo de un sistema lógico de tecnología (resistencia, uso de productos químicos, prácticas culturales), y la comprensión precisa del potencial destructivo de la enfermedad. Sin embargo, por su trabajo y visión particular de la fitopatología, uno de los pioneros más notables del enfoque sistémico en el estudio y manejo de enfermedades, es el ingles, Raoul Arthur Robinson, quien ha visualizado una nueva filosofía el estudio y manejo de problemas fitosanitarios en regiones tropicales . Esa nueva filosofía se sustenta en la teoría general de sistemas, el enfoque holístico y una visión ecológica y evolucionista, que son los fundamentos de este libro.

Con esas consideraciones , a continuación presentamos los fundamentos y algunos ejemplos sobre la aplicación de los modelos epidemiológicos, en el pronóstico y manejo de enfermedades.

FORMULACIÓN Y APLICACIÓN DE MODELOS DE PRONÓSTICO DE ENFERMEDADES. De acuerdo con KUSHALAPPA (1984) y HERNANDEZ (1984), pronóstico es la previsión de un futuro evento o condición. Hasta entonces, y antes del desarrollo reciente de las denominadas Redes Neurales- RN, cuyos fundamentos y su aplicación en fitopatología lo explicaremos en el capítulo VI, existían dos métodos de predicción o pronóstico de enfermedades: Método empírico: basado en la experiencia del observador, y que consiste en correlacionar los resultados del desarrollo de la enfermedad, en un lugar determinado, con los factores climáticos; y Método fundamental: basado en datos provenientes de la investigación científica. Este método utiliza los resultados de la investigación obtenidos en el laboratorio, referentes al efecto de los diferentes factores del clima sobre el patógeno y el hospedero, los que son interpretados de acuerdo a la biología del patógeno y con la variación en la susceptibilidad del hospedero; y toda esta información se relaciona con el clima del lugar.

El pronóstico de una enfermedad, mediante un modelo fundamental, envuelve las siguientes actividades durante su formulación:

1).Estudiar la biología del patógeno y desarrollar funciones epidemiológicas (ecuaciones que explican el efecto del ambiente). En el caso de de hongos fitopatógenos , se desarrollan funciones epidemiológicas para los diferentes macro y micro-procesos como infección, esporulación y diseminación en el primer caso; y de germinación, penetración, colonización, formación de esporas, liberación y deposición de esporas, en el segundo. El efecto de cada elemento del ambiente, o de la combinación de éstos, sobre los macro y micra procesos, es estudiado en condiciones de laboratorio, donde se mantienen constantes los aspectos que no están siendo evaluados, variando sólo aquellos que están siendo probados. Este efecto del ambiente es cuantificado como "razón de sobrevivencia" o como períodos necesarios para la realización de estos procesos.

2).Cuantificar la tasa de desarrollo de la enfermedad y del hospedero en el campo; cuantificar el microclima; transformar los parámetros meteorológicos en razones de sobrevivencia, en base a funciones epidemiológicas para el patógeno, desarrollados tal como fue explicado anteriormente, 3).Correlacionar la tasa de infección con las funciones epidemiológicas y las razones de so- brevivencia, e identificar las variables más importantes por medio de modelos matemáticos, como análisis de regresión, y establecer un sistema de previsión.

4).Correlacionar la tasa de desarrollo de ¡a enfermedad con la pérdida en rendimiento (pér- dida económica); cuantificar la reducción en la lasa de infección por las diversas aplicaciones de fungicidas.

5).Prever la intensidad de la enfermedad, en base a parámetros escogidos para previsión, y notificar a los agricultores de las medidas, las cuales puede ser simples o complejas, po- sitivas o negativas (aplicar o no fungicidas).

Se presentan, a continuación, dos casos de modelos de predicción, y su uso en el manejo de dos enfermedades tropicales importantes.

CASO 1.— MODELO DE PREVISIÓN DEL "BLISTER BLIGHT"" DEL TÉ (EXOBASIDIUM VEXANS) Desde su centro de origen, el sudeste asiático, el cultivo del té, Camellia sinensis, ha sido introducido en regiones que presentan condiciones ecológicas que van desde los climas fríos hasta los calientes y húmedos tropicales. Este cultivo agroindustrial ha alcanzado, relativo éxito en América Latina, expecialrnente en Argentina, Brasil y Peru. Exobasidium vexans, es un parásito obligatorio de la planta de té y es causante de una enfermedad foliar llamada "Mal de ampollas" o más comúnmente, "blister blight". Esta enfermedad, aún no presente en áreas tealeras latinoamericanas, puede causar pérdidas entre 25 y 50 o/o, como en el caso de Ceylán, donde el té fuera implantado como sustituto del cultivo de café, prácticamente devastado por Hemileia vastatrix. Las unidades infectivas del hongo son basidiosporas producidas sobre basidios en la cara inferior de las hojas o brotes tiernos. Después de varios años de estudios, KERR y RODRIGO (1967) y KERR y SILVA (1969), entre otros, demostraron que el comportamiento de la enfermedad era determinado, principalmente, por los macroprocesos de infección y esporulación. Una vez identificados estos macroprocesos epidemiológicos, fue determinado que el número de esporas depositadas en las hojas (microproceso de deposición) estaba en relación directa con el número de esporas en el aire (microproceso de dispersión),y el número de lesiones (proceso monocíclico) por 100 brotes, la duración de agua líquida sobre la superficie foliar (equivalente de agua líquida para infección), y la media diaria de horas de sol (equivalente de horas de sol para esporulación), para 2-3 semanas (período de latencia del hongo) antes de la fecha de predicción (FP).

El modelo de predicción de la enfermedad propuesta KERR y colaboradores (1967, 1969) y que mostró ser altamente eficiente, fue planteado mediante la ecuación:

Y =1.8324 +0.8439 x1+0.0665 x2- – 0.1031 x3 ( 37 ) Donde:

Y = log. del número de lesiones por 100 brotes, x1= log. de la raíz cuadrada del porcentaje de infección en el tiempo t2

x2=log. de la raíz cuadrada del porcentaje de infección en el tiempo t2 menos aquel correspondiente al tiempo t1.

X3= Promedio diario de luz solar para el periodo considerado entre t1 y t2

Identificados los factores que explican matemáticamente mejor el comportamiento de la enfermedad, mediante- trabajos en laboratorio e invernadero , la siguiente etapa es probar la eficiencia del modelo bajo condiciones de campo, habiéndose procedido, en el presente caso, del modo siguiente:

1.-Cuantificación del inóculo.- EI inóculo puede ser expresado como el número de lesiones por 100 brotes, o como porcentaje de infección en la tercera hoja (ver F ig. 16). Otra forma en que el inóculo puede ser cuantificado es haciendo contaje de esporas en el aire, mediante el uso de trampas volumétricas colocadas a una altura de 1 metro, dentro de la plantación de té.

2.-Relación entre inóculo e infección.- Desde 1962 y, durante 4 años, se cuantificó el número de esporas en el aire. así como la incidencia de la enfermedad con intervalos semanales, en una área experimental donde no se aplicó fungicida alguno, midiéndose el número de lesiones por 100 brotes. La relación entre el número de lesiones en 100 brotes y el número de esporas por m3 de aire, es mostrado en la fig, 17. Como puede notarse, la correlación no es lineal, por lo que es necesario hacer una transformación logarítmica de la raíz cuadrada del porcentaje de infección, para linearizar la curva resultante. En otras palabras, el número de esporas en el aire puede ser estimada usando la ecuación:

No. de esporas/m3 de aire = log v% infección (38)

3.-Predicción de la esporulación.- La esporulación fue prevista en función de las horas de sol, eficientemente, corno se muestra en la fig. 18.

4.-Predicción de la infección.- Como se indicó en el punto 2, existe una alta correlación entre infección y esporulación. Asimismo en el punto 3 observamos que es posible predecir la esporulación. Por lo tanto, se trató de desarrollar un modelo que permita predecir la infección, planteándose la siguiente ecuación; en función del agua líquida superficial:

y =102+0.182×1 + 12.24 x2 (39) Donde:

Y= Número de lesiones por 100 brotes x1 =Promedio diario de esporas x2 =Promedio diario de agua líquida superficial.

Así mismo, se demostró que es posible predecir la infección, en función de las horas de sol, mediante la ecuación:

y =165+0.1678×1 + 30.51 x2 (40) Donde:

Y = Número de lesiones por 100 brote.

X1 = Promedio diario del número de esporas x2 =Promedio diario de horas de sol.

5.-Realizando análisis de regresión múltiple, y considerando las dos ecuaciones ecuaciones anteriores, fue posible formular el modelo final siguiente:

Y = 33+0.3145X1-0.03725X1 X2 (41) Donde:

Y, x1, y x2 = en la ecuación 27 La eficiencia de este modelo puede mostrarse en la Figura 19.

6,- Como los campos de té en Ceylán son montañosos, con variaciones de clima. lo que no permitiría la aplicación generalizada del modelo propuesto, se trató de simplificar la ecuación de predicción, a fin de que los agricultores tealeros lo usen para decidir la aplicación de fungicidas quedando la ecuación 28 simplificada a la ecuación 24 La eficiencia de este modelo simplificado de predicción de la enfermedad puede mostrarse en la figura 20.

CASO 2.— FORMULACIÓN Y USO DE UN MODELO DE PREDICCIÓN DE LA "ROYA AMARILLA" DEL CATETO PARA DETERMINAR ÉPOCAS DE APLICACIÓN DE FUNGICIDAS. El presente caso se refiere a un experimento realizado por el autor, en el Estado de Minas Gerais-Brasil, durante los años agrícolas 1982-1983y 1983-1984.

La cuantificación del hospedero se realizó mediante evaluaciones de desarrollo del cafeto. Para ello se seleccionaron seis plantas, distribuidas a manera de representar el campo experimental. En dichas plantas, se determinó el número promedio de ramas simples por planta, contado inicialmente el total de ramas plagiotrópicas, de las que se marcaron 10 (3 en el tercio superior, 4 en el medio, y 3 en el inferior) En cada una de estas se marcaron todas las ramas plagiotrópicas secundarias y terciarias, Mensualmente, fueron cuantificadas las nuevas ramas con dos pares de hojas.

Para evaluar la epidemia, cada parcela estaba constituida por 4 filas de 15 plantas. En cada parcela se tomaron 6 cafetos, aleatoriamente, en los que, a una altura del tercio medio, se marcaron cuatro ramas, al inicio del experimento. Posteriormente, y de acuerdo al apare- cimiento de nuevas ramas, indicado por la evaluación del desarrollo fenológico del cafeto, un representativo número de ramas adicionales fueron marcadas mensualmente en cada planta, donde se cuantificó el progreso de la enfermedad, como se ilustra en la Figura 5, e el capítulo III.

En cada una de las cuatro ramas seleccionadas al inicio del experimento, se evaluaron cada 14 días, los siguientes parámetros.

§ Número de hojas presentes en cada lectura (H)

§ Número de hojas con roya en cada lectura(HR)

§ Área foliar con roya en cada lectura (AFR)

§ Número de hojas caídas de una lectura a otra (Hq )

§ Número de hojas caídas con roya entre una lectura y otra (HRq).

§ Área foliar con roya caída de una lectura a otra (AFRq).

Al observar una rama, evaluamos la presencia o no de hojas con o sin roya, en cada nudo, se anotaron los datos de AFR, como se ilustra en la tabla siguiente:

TABLA 2. Evaluaciones de roya del cafeto en una rama.

Cada uno de estos parámetros fue calculado para cada rama. Después se sumaron los datos para todas las ramas, a fin de tener datos, por planta y parcela.

En la tabla 2 puede notarse que cuando se hizo la primera evaluación, el día 23.0.82, se observó, en el nudo No, 1, que las dos hojas estaban afectadas; la hoja del lado izquierdo tenía el 10 o/o del área follar cubierta con roya, mientras que la hoja del lado derecho tenía 5 o/o de su área con roya. En el nudo No. 2. sólo la hoja del lado izquierdo tenía roya, en un 5 o/o; mientras que la del lado derecho estaba sana, En el nudo No. 3, las dos hojas estaban sanas. De manera que, en la primera evaluación, fueren observadas un total de 6 hojas.

Cuando se hizo la segunda evaluación, notamos que ya no están presentes la hoja izquierda del nudo No. 1. ni la hoja derecha del nudo No. 2,) Pero también notamos que han aparecido dos hojas, dando lugar al nudo No. 4. Notamos, al mismo tiempo, que en la hoja derecha del nudo No 1, el porcentaje de área foliar con roya aumentó de 5 á 15 o/o con respecto a la lectura anterior; en la hoja izquierda también hubo un aumento de 5 a 10 o/o . La hoja derecha del nudo No. 3 presenta, ya, un 5 o/o de su área foliar con roya. En resumen, en la segunda evaluación notamos que han caído bojas , pero al mismo tiempo han aparecido otras, observándose un total de 6 hojas.

De la misma manera podemos seguir analizando para el resto de evaluaciones realizadas. Estos datos servirán para elaborar un cuadro que permita resumir los valores totales de los parámetros de la enfermedad y hospedero por planta o tratamiento, tal como se observa en el cuadro 7, el cual permite calcular la proporción de la enfermedad expresada ya sea como proporción de hojas con roya (PHR) o como proporción de área foliar con roya (PAFR). Lo interesante de esta metodología es que nos permite cuantificar la enfermedad conforme crece el hospedero y considerar la caída de hojas en relación al comportamiento del hospedero susceptible.

Fundamento y Formulación del Modelo KUSHALAPPA et al (1982 y 1984) y HERNANDEZ (1984), formularon y evaluaron el modelo de predicción, para lo cual tomaron como base el esquema dado en la Figura 2, en la que, en el patosistema de la "Roya amarilla" del cafeto existen muchas variables relativas de patógeno, al hospedero y al ambiente, que son necesarios cuantificar primero bajo condiciones de laboratorio e invernadero y después bajo condiciones de campo. La Fig 2 nos sugiere que en la formulación de un modelo de predicción se trata de relacionar las variables independientes y dependientes, para establecer una ecuación de regresión. Para este caso, las variables independientes son:

· Razón de sobrevivencia del patógeno (P).-Que es expresada como: Proporción de área foliar enferma (LESIÓN), proporción de área foliar con espora (ESPORA), proporción de esporas dispersas y depositadas en el campo de infección (ESPDEP), proporción de área foliar con esporas infectivas (ESPINF).

· Macroprocesos en función del ambiente (A).-Que son expresados como: Función de de ambiente para esporulación (FAESP), para diseminación (FADIS), para infección (FAINF) y para todo un proceso monocíclico (FAPM=FAESP x FADIS x FAINF).

· Hospedero (H) o tejido disponible.— Que es expresado como: Densidad de hospedero y susceptibilidad de la planta principalmente. La variable dependiente es la tasa de infección corregida para crecimiento de hospedero (?"). Si a las variables independientes, relativas al patógeno (P), ambiente (A) y hospedero (H), las agrupamos bajo un solo parámetro, denominado Razón de Sobrevivencia para Proceso Monocíclico (RSPM), la ecuación o modelo final de predicción de la enfermedad es: ?"= f (RSPM).

Considerando lo expuesto, KUSHALAPPA et al (1982), establecieron la siguiente ecuación de predicción de la roya amarilla del cafeto:

?"= 0.00044+ 14,77 RSPM- 2511.21RSPM2 (42)

Donde:

?"= tasa de incremento de la enfermedad, corregida para crecimiento de hospedero , 28 días después de la fecha de predicción.

RSPM= Razón o proporción de sobrevivencia para proceso monocíclico, 28 días antes de la fecha de

predicción.

Es importante indicar que este modelo propuesto, en base a los trabajos de KUSHALAPPA et al (1980,1984), permitió establecer que la proporción o razón de sobrevivencia de un proceso monocíclico ciclo de patogénesis (RSPM) de Hemileia vastatrix, calculada para períodos de 28 días antes de la fecha de predicción (FP), es un parámetro altamente correlacionado con la Tasa de infección de la enfermedad (?"). calculada para periodos de 28 días después de la fecha de predicción.

La razón de sobrevivencia para proceso rnonocíclico (RSPM)- que es la relación existente entre el número de esporas inoculadas y el número de pústulas resultantes, (ZA. DOKS y SCHEIN, 1979)- también fue expresada en función de parámetros ambientales, para después relacionarla con la tasa de infección.

Si deseamos predecir la tasa de incremento de la enfermedad en un periodo determinado después de una fecha de predicción (FP). y sabemos que el período de latencia del patógeno es de 25—30 días, optamos por cuantificar comportamiento epídemiológico del patógeno durante las cuatro semanas previas (28 días) a la Fecha de predicción. Este comportamiento epidemiológico de Hemileia vastatrix es cuantificado, bajo condiciones de campo, usando el parámetro RSPM, que toma en cuenta los tres componentes epidemiológicos en relación al tiempo, corno ilustra las figuras 1 y2 del capítulo II. Esto puede expresarse mediante a ecuación :

RSPM=PID x EAPM x EHPM. (43)

Donde:

Pl D=Proporción de inóculo disponible.

EAPM= Equivalente de ambiente para Poceso monocíclico. EHPM Equivalente de hospedero para proceso moncíclico.

La Proporción de inóculo disponible (PID) fue calculada en base a la proporción de área foliar con roya (PAFR), para un período de 28 días antes de la fecha de predicción, usando la ecuación 2 .

El equivalente de ambiente para un proceso monocíclico (EAPM) fue calculado mediante la ecuación:

EAPM=EAINFx EADIS (44) Donde:

EAINF= Equivalente de ambiente para infección EADIS =Equivalente de ambiente para diseminación.

Para calcular el Equivalente de ambiente para infección EAINF, fueron usados datos duración de agua líquida sobre la superficie foliar y la correspondiente temperatura, calculándose promedios para 6 horas, que es el tiempo mínimo necesario para iniciar el proceso de infección. Para medir estos dos parámetros micrometeorológicos, se coloca dentro de la plantación un aparato de medicion de la mojadura de la superficie foliar y un termógrafo. El Parámetro EAINF puede calcularse mediante la siguiente ecuación :

EAINF = ? (EAINF AL x EAINF T)/ n (32)

Donde:

EAINF AL = Número de horas de agua líquida observado en campo y transformado en equivalente de infección, con base en la Tabla 1 del Capítulo II.

EAINF T = Temperatura observada en campo, mientras el agua líquida estuviera presente en la superficie foliar, y transformada Equivalente de ambiente para infección, con base en la Tabla 1.

Para calcular el Equivalente de ambiente para diseminación EADIS , se usó la ecuación:

EADIS = (E1 + 0.5 E2 / 28 ) x E3 (33)

Donde:

E1= Número de dias con lluvias mayores de 1.0 mm

E2= Número de dias con lluvias menores de 1.0 mm

E3= Proporción de densidad de hospedero, calculado usando la ecuación (1).

El Equivalente de hospedero para proceso monocíclico- EHPM, fue calculado mediante la siguiente fórmula:

EHPM = RH 0.5 + (PP / 10 ) x Mi (34) Donde:

RH = Grado de resistencia del hospedero (0-1). Siendo el valor 1 considerado como muy suceptible PP = Proporción de producción, estimado mensualmente como muy baja (0), baja (0.3), media (0.6) y alta (1.0), en base al número de frutos presentes en la rama marcada (máx 40 frutos por rama)

Mi = Meses después de la floración principal USO DEL MODELO DE PREDICCION EN EL CONTROL QUIMICO DE LA "ROYA AMARILLA" DEL CAFETO El manejo de enfermedades y plagas es la selección, integración, e implementación de las estrategias de control sobre una base de predicciones de las consecuencias económicas, ecológicas, y sociológicas. 7

Se considera recomendable mantener- mediante una medida de control preventivo- un valor RSPM= 0.00015, en base a la proporción de área foliar con roya. Esto es equivalente a mantener un nivel de enfermedad aceptable (10 % de infección de hojas presentes durante un mes). Por lo tanto, para el presente estudio fue pre-establecido un nivel de riesgo de RSPM =0,00015, para iniciar las aplicaciones de fungicidas preventivos a base de cobre.

CUADRO 8. Tasa de Infección (?")y Proporción de Area debajo la curva de progreso de la enfermedad intrínseca ( PACPEI) en los tratamientos.

Los efectos de los tratamientos fueron estimados por la reducción de la tasa de infección (?"). durante la campaña agrícola y la proporción de área bajo la curva de progreso de la enfermedad (ACPE). Los resultados de la eficiencia del modelo de predicción son mostrados en el cuadro 8 y Figura 22. La enfermedad es reducida significativamente mediante la aplicación preventiva de fungicida cúprico (que evita la germinación e infección de uredospora), tomando como base el nivel de riesgo pre establecido(RSPM =0,00015).

USO DE LOS MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS EN ESTUDIOS DE RESISTENCIA A ENFERMEDADES DE PLANTAS. Una forma de reducir las pérdidas causadas por las enfermedades es a través de la resistencia genética. Sin embargo,como argumenta Robinson R. (1987 ) el mejoramiento genético de los cultivos agrícolas ha enfatizado los aspectos de calidad y rendimiento de las cosechas, dejando a los parasitólogos el manejo de los parásitos. A su vez los parasitólogos, como ya explicamos, tradicionalmente se han centrado en el estudio de los parásitos para encontrar los puntos y momentos más vulnerables de estos, y los intentos de control; dejando el manejo genético del hospedante, en manos de los genetistas. Esto ha dado lugar a que el manejo genético por resistencia a parásitos haya sido relegado por el uso y abuso de los pesticidas agrícolas, con los consecuentes problemas ambientales, particularmente en áreas tropicales, donde los ecosistemas son supremamente frágiles.

La resistencia de las plantas a los patógenos, fue clasificada por VAN DER PLANK (1968, 1975, 1982) en: RESISTENCIA VERTICAL, y RESISTENCIA HORIZONTAL, basado en la susceptibilidad del hospedero a diferentes razas del patógeno. La resistencia vertical es también denominada resistencia específica, y se presenta cuando las variedades de un hospedero reaccionan diferente a distintas razas del patógeno. Se dice, en este caso, que estas varían en virulencia pero no en agresividad. A su vez. la resistencia horizontal, es llamada también no específica o resistencia de campo, o epidemiológica. o cuantitativa, o resistencia que reduce la tasa de infección, se presenta cuando las variedades del hospedero reaccionan igual a todas las razas del patógeno. Se dice en este caso que ellas varían en agresividad, pero no en virulencia.

Para explicar, epidemiológicamente, lo que es resistencia vertical, imaginémonos dos campos de papas, ubicados uno al lado del otro; en uno de ellos crece una variedad sin ningún gen de resistencia vertical, y en el otro una variedad con el gen R1, que confiere resistencia a determinadas razas del hongo Pltytophthora infestans. Supongamos que cierto tiempo después, una lluvia de esporas de hongo invade ambos campos, siendo que el 99 o/o pertenece a las razas que no pueden infectar la variedad con R1 (razas 0:2; 3; 4; 2. 3; 2, 4; etc.) y el 1 o/o restante pertenece a las razas que pueden infectar ambos campos (razas 1; 1, 2; 1, 3; 1, 4;etc.). Para este último grupo de razas, el campo con el gen R1 es tan susceptible como el campo sin R. Esto indica que el número de lesiones iniciales, consecuencia del primer ciclo de patogénesis o proceso monociclito, será 100 veces mayor en el campo sin el gen R1 que en el campo con este. De estas lesiones iniciales el hongo comienza a diseminarse y los ciclos de infección se repiten (proceso policíclico) dando lugar a la epidemia. La figura 23 grafica este comportamiento epidémico, que corresponde a la resistencia vertical (RV). Por lo tanto el efecto epidemiológico de la RV se da por el atraso del inicio de la epidemia, debido a que este tipo de resistencia actúa sobre el inóculo inicial (Q, en las ecuaciones 8 y 9 en capítulo II.

Con la resistencia horizontal (PH) ocurre una situación diferente, pues a pesar de ser efectiva contra todas las razas, se manifiesta por una disminución del tamaño de las lesiones producidas por el patógeno, aumenta el periodo de latencia o de incubación, disminuye el número de esporas producidas por lesión, etc. Todos esos efectos parciales que son influenciadas por las condiciones ambientales, en suma, producen una reducción en la tasa de desarrollo de la enfermedad o tasa de infección (r, en las ecuaciones 11 y 12).

La resistencia horizontal (RH) puede ser cuantificada, por lo tanto, expresando los mi-cro y macro procesos de un proceso monocíclico , en sus aspectos cuantitativo y temporal coma prolongación del período de incubación o latencia. Por ejemplo algunas líneas del cafeto variedad "Catimor" presentan niveles de resistencia horizontal a Hermileia Vastatrix, expresada por el menor numero de lesiones por hoja y mayor período de latencia, en compa- ración a la variedad "Mundo Novo". La otra manera de expresar la RH es mediante el pará- metro TASA DE INFECCION (r); para lo cual debe evaluarse el comportamiento de la epi- demia, en las variedades que se están probando a través del tiempo y calculando el valor de r (inclinación de la curva) como se ilustra en la figura 24

La llamada resistencia horizontal no se rompe a consecuencia de la aparición de nuevas razas del parásito, y que al lograr incrementos, aún pequeños en los niveles de esa resistencia, hace que todos los aspectos del manejo del parásito sean más efectivos, más baratos y más seguros. Hay muchos ejemplos exitosos de la aplicación de este tipo de resistencia en zonas de trópico húmedo. Consideramos importante destacar el trabajo de Robinson, en Kenia, quien tras 21 años de trabajo con el cultivo de papa, logra variedades con resistencia horizontal para el patosistema local, las que en la actualidad ocupan alrededor de 60% de la superficie cultivada, que no requieren semilla certificada ni aplicación indiscriminada de pesticidas. Logró también, salvar a los caficultores de Etiopía de la devastación causada por la enfermedad de los frutos, mediante la selección, entre poblaciones nativas, de variedades horizontalmente resistentes, que ocupan en la actualidad, aproximadamente 50 mil hectáreas.

En las zonas tropicales las enfermedades son limitantes importantes de los cultivos. Por consideraciones prácticas, económicas y ecológicas; y por la naturaleza de los sistemas de producción de estas regiones, la resistencia genética de la planta es la mejor alternativa de control para estas enfermedades. Bajo este contexto la Resistencia Duradera debe constituirse en la meta común de mejoradores y fitopatólogos .

CAPITULO IV

INTRODUCCION A LAS REDES NEURALES Y SU APLICACIÓN COMO MODELOS EPIDEMIOLOGICOS.

LA RED NEURAL COMO ALTERNATIVA EN EPIDEMIOLOGIA. Una nueva alternativa a los modelos epidemiológicos desarrollados por métodos matemáticos, presentados hasta ahora en este libro, son las denominadas Redes Neurales , (RN).. Como hemos visto hasta ahora, para entender mejor una epidemia, se han desarrollado sistemas fundamentales o explicativos, que se derivan en modelos matemáticos, que se basan en estudios de las relaciones de las condiciones ambientales , que gobiernan la interacción patógeno-hospedero. Considerando que las redes neuronales (RN) presentan un gran potencial en el reconocimiento de patrones y previsión de series temporales, por ser un método flexible y más próximo de los procesos biológicos, a continuación se presentan los fundamentos de este nuevo procedimiento y su el uso en epidemiología Las RN son sistemas de inteligencia artificial capaces de simular los mecanismos de aprendizaje del cerebro humano. Es decir, la red neural (Neural Network o NN en inglés), es un modelo artificial de las neuronas en el cerebro (células o neuronas artificiales o elementos de procesamiento), consistente usualmente en una computadora provista de nodos o células interconectados que pueden poseer uno de dos valores, sí o no, con enlaces calibrados para tener valores numéricos (llamados pesos) para dejar pasar flujos de potencial. Dichos flujos adquieren patrones dictados por el peso de los enlaces. A veces se usa la palabra neural para una red artificial, reservado "neuronal" para la biológica. Tal como se ilustra en la Fig.26, el patosistema de la roya del cafeto presentada en la Figura 2 del Capítulo I, puede ser analizada en redes neurales artificiales , con base en las redes neuronales, ilustrada en una foto electrónica del cerebro.

La estructura de la red neural es la interconexión de sus elementos básicos. Es la manera como las unidades (neuronas artificiales) comunican sus salidas a las entradas de otras unidades.

Por lo general, estas están agrupadas en capas o camadas (layers ,en inglés), de manera tal, que las salidas de una capa están completamente conectadas a las entradas de la capa siguiente; en este caso decimos que tenemos una red completamente conectada, como se ilustra en la Figura 27.

Podemos decir entonces que, las redes neurales (RN) son sistemas de cálculo que se asemejan a las redes neuronales biológicas al utilizar nodos (neuronas) interconectados. Estos nodos reciben la información, realizan operaciones sobre los datos y transmiten sus resultados a otros nodos. Para su uso en predicción o pronóstico-y por lo tanto su factible uso en epidemiología- el procedimiento consiste en entrenar a las redes para que aprendan patrones complejos de relaciones entre las variables predictoras y de resultado y que sean capaces de enfrentarse a nuevos datos dando las respuestas esperadas. 8

Por su complejidad, y gracias al avance de las ciencias matemáticas y computacionales, las RN son desarrolladas mediante el uso de programas computarizados o 'software' como por ejemplo el BRAINCEL®- Promissed Land Tecnologies, Inc.(PINTO A.C), Qnet 97 ®-Vesta Services Inc. (TRUJILLANOA J. 2003), entre otros. El conjunto de observaciones o los datos colectados a partir de un fenómeno deben ser divididos en cerca de 75% para ensayar la RN y 25% para validarla las RN desarrolladas. Las RN se definen como sistemas no lineales, flexibles y con gran capacidad de generalización. Estas propiedades han hecho que se difundieran en todos los campos científicos y que se demostrara su equivalencia o superioridad sobre algunas técnicas estadísticas. Por ejemplo, el interés en la aplicación de las RN en el campo medicina durante los últimos 10 años ha aumentado su uso en epidemiología, predicción de resultados y procesos diagnósticos, porque ofrece como ventaja un posible aumento del poder predictivo (precisión), que se ha evaluado en un 5- 10%.,ya que no trabajan con las limitaciones rígidas de los modelos estadísticos.

Las primeras aplicaciones de las RN en las ciencias agropecuarias datan del inicio de los años 1990. Fueron empleadas como herramientas para identificar hongos causantes de pudrición de madera (MORRIS ET AL., 1992). Aunque poco usadas en fitopatología, las RN presentan un gran potencial en el análisis de fenómenos y predicción de series temporales, debido a la capacidad de detectar cambios en el comportamiento del patosistema, por ejemplo el cambio de la tasa de progreso de una serie temporal (r de la curva de progreso de la enfermedad). En fitopatología las RN fueron aplicadas para cuantificar y prever enfermedades, así como describir epidemias. Por ejemplo la aplicabilidad de la RN para describir la epidemia de roya del frejol [Uromyces appendiculatus (Pers.) Unger] fue probada por MIZUBUTI ET AL. (1994). Los componentes de resistencia (período latente medio, frecuencia de infección , diámetro de pústulas e intensidad de esporulación), evaluado en 18 de frejol (Phaseolus vulgaris L.), fueron utilizados como datos de entrada de la red ('inputs'); como datos de salida ('output'), el área debajo de la curva de progreso de la enfermedad (ADCPE) y la tasa progreso e la enfermedad ( r en las ecuaciones 23 y 24 presentadas en el capitulo II). La precisión entre los datos estimados por las RN y los observados en el campo fue de 0,99 e 0,92, para r y ADCPE , respectivamente. El potencial de aplicacion de las RN para describir la epidemia de la Escoba de Bruja [Crinipelis perniciosa (Stahel) Singer] en el cacaotero (Theobroma cacao L.) fue estudiado por POZZA (1998), utilizando datos colectados en Altamira – PA,Brasil entre enero de 1986 y de diciembre de 1987. A partir de 16 variables climáticas, produccion de basidiocarpos e intensidad de la enfermedad , fuero construidas 100 RN y probados 37 modelos de regresión . La mejor RN fue aquella construida con 11 variables climáticas en la novena semana anterior a la ocurrencia de la intensidad de la enfermedad . Las RN describieron la enfermedad con mayor eficiencia,cuando fueron comparadas con las ecuaciones de regresión , principalmente para la intensidad de la enfermedad .

En los estudios de COSTA (1993), relativos a la epidemiología de la "Escoba de bruja", se han determinado la influencia de la fenologia del cacao y las condiciones climatológicas en la enfermedad. Un total de 16 variables climáticas y su efecto en la intensidad de la Escoba de bruja y las producciones del basidiocarpos del patógeno Crinipellis perniciosa fueron sometidas a análisis de regresión. El uso de la RN y el análisis de regresión no han mostrado eficacia como potencial para predecir la intensidad de enfermedad, pero sí es eficaz en la predicción del número de basidiocarpos, tal como ilustran las figuras 28 y 29.

Además, la RN ha sido usada por MIZUBUTI ET AL. (1994). para describir la epidemia de la roya del frejol Uromyces appendiculatus y probar los componentes de resistencia (periodo latente medio, frecuencia de infección, diámetro de pústulas e intensidad de esporulación), que fueron utilizados como datos de entrada de la red ('inputs'); y como datos de salida ('output'), el área debajo la curva de progreso de la enfermedad (ADCPE) y la tasa de progreso de la enfermedad (r ) . La precisión entre los datos estimados por la RN y los observados en campo fue de 0,99 e 0,92, para r y ADCPE , respectivamente.