Lógica de proposiciones

Idea de lógica de proposiciones La lógica de proposiciones es la parte más elemental de la lógica moderna o matemática. En esta primera parte de la lógica, las inferencias se construyen sin tomar en cuenta la estructura inter- na de las proposiciones. Sólo se examinan las relaciones lógicas existentes entre proposiciones consideradas como un todo, y de ellas sólo se toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o fal- sas. Por esta razón emplea sólo variables proposicionales. La lógica de proposiciones estudia las relaciones formales extraproposicionales, es decir, aquellas relaciones existentes entre proposiciones y no las que se dan dentro de ellas. Se la denomina, también, lógica de las proposiciones sin analizar. Dispone de me- dios de análisis formal de las inferencias (lenguaje simbólico y mé- todos específicos), y la validez de éstas se determina por las rela- ciones entre proposiciones consideradas como un todo, sin pene- trar en su estructura interna. Concepto de proposición El lenguaje, en sentido estricto, es un sistema convencional de sig- nos, es decir, un conjunto de sonidos y grafías con sentido, sujeto a una determinada articulación interna. Sirve para afirmar o ne- 7 1

gar (oraciones aseverativas o declarativas); expresar deseos (ora- ciones desiderativas); formular preguntas (oraciones interrogati- vas); expresar sorpresa o admiración (oraciones exclamativas o admirativas) e indicar exhortación, mandato o prohibición (ora- ciones exhortativas o imperativas). De todas estas clases de oraciones la lógica sólo toma en cuenta las declarativas o aseverativas, las únicas que pueden constituir proposiciones, según cumplan o no determinados requisitos. La proposición es una oración aseverativa de la que tiene sen- tido decir que es verdadera o falsa. Ejemplos: a) Dolly fue la primera oveja clonada. b) El átomo es una molécula. ‘a)’ y ‘b)’ son ejemplos de proposiciones, porque tiene sentido decir que ‘a)’ es verdadera y que ‘b)’ es falsa. En consecuencia, la verdad y la falsedad son sus propiedades, es decir, sólo las pro- posiciones pueden ser verdaderas o falsas Expresiones lingüísticas que no son proposiciones Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones. En efecto, las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Asimismo, las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor —no obstan- te afirmar algo— no constituyen ejemplos de proposiciones, pues su verdad o falsedad no puede ser establecida. Ejemplos: c) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. d) ¿Qué es la lógica? e) Debemos honrar a nuestros héroes. f) Sea en hora buena. g) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería! 7 2

h) Quizá llueva mañana. i) Valentín es bueno. ‘c)’ es proposición porque es una oración aseverativa verda- dera; ‘d)’ no es proposición porque es una oración interrogativa; ‘e)’ no es proposición porque es una oración imperativa o exhortativa; ‘f)’ tampoco es proposición porque es una oración desiderativa, ‘g)’ no es proposición porque es una oración exclamativa o admirativa, ‘h)’ no es proposición porque es una oración dubitativa, y finalmente, ‘i)’ no es proposición porque cons- tituye un juicio de valor. Finalmente, toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración aseverativa es una proposición. Ejemplos: j) El triángulo es inteligente. k) Eduardo es un número racional. l) x + 3 = 5 m) a es la capital del Perú. ‘j)’, ‘k)’, ‘l)’ y ‘m)’ son ejemplos de oraciones aseverativas, mas no de proposiciones. ‘j)’ e ‘k)’ son expresiones lingüísticas que tie- nen apariencia de proposiciones, pero que realmente no lo son por- que no tiene sentido decir de ellas que son verdaderas o falsas. Son pseudoproposiciones, es decir, falsas proposiciones. ‘l)’ y ‘m)’ son también ejemplos de oraciones aseverativas, pero no de proposicio- nes; no son verdaderas ni falsas porque en ellas figura una o más letras sin interpretar, son ejemplos de funciones proposicionales. n) El principal sospechoso de los atentados del 11 de setiem- bre de 2001 en los Estados Unidos. o) El actual Presidente de la República del Perú. ‘n)’ y ‘o)’ no son proposiciones; son descripciones definidas, es decir, frases especiales que pueden ser reemplazadas por nom- bres propios. ‘n)’ puede ser sustituida por Osama bin Laden y ‘o)’ por Alejandro Toledo. 7 3

p) ‘La realidad es duración’ (Bergson). q) ‘La materia se mueve en un ciclo eterno’ (Engels). r) ‘Las condiciones de posibilidad de la experiencia en gene- ral son al mismo tiempo las de la posibilidad de los objetos de la experiencia’ (Kant). s) ‘Considera bien quién eres. Ante todo, un hombre, es decir, un ser para el que nada existe más importante que su propia ca- pacidad de opción’ (Epicteto). t) ‘Filosofar (…) es el extraordinario preguntar por lo extra-or- dinario’ (Heidegger). u) ‘Nunca filósofo alguno ha demostrado algo. Toda preten- sión es espuria. Lo que tengo que decir es simplemente esto: los argumentos filóficos no son deductivos, por lo tanto no son rigu- rosos, por lo que nada prueban; sin embargo, tienen fuerza’ (F. Waismann). v) La ciencia y la religión son, ambas, vías respetables para adquirir creencias respetables, no obstante tratarse de creencias que son buenas para propósitos muy diferentes (R. Rorty). ‘p)’, ‘q)’, ‘r)’, ‘s)‘, ‘t)’, ‘u)’ y ‘v)’ no son proposiciones, sino filosofemas, es decir, enunciados filosóficos. Ninguna de ellos pue- de calificarse de verdadero o falso. Su verdad o falsedad no puede ser establecida lógica o empíricamente. En filosofía no hay verda- des, pues los enunciados filosóficos o filosofemas sólo expresan opiniones racionalmente fundamentadas. En conclusión: Para que una expresión lingüística sea proposición debe cum- plir con los siguientes requisitos: 1) Ser oración. 2) Ser oración aseverativa, y 3) Ser o bien verdadera o bien falsa. 7 4

Por esto, no son ejemplos de proposiciones: 1) Las oraciones interrogativas, imperativas o exhortativas, desiderativas, exclamativas o admirativas y las dubitativas. 2) Los juicios de valor. 3) Las pseudoproposiciones. 4) Las funciones proposicionales. 5) Las descripciones definidas, y 6) Los filosofemas. Proposición, oración y enunciado Es necesario distinguir una proposición (objeto conceptual o constructo) de las oraciones (objetos lingüísticos) que la designan, expresan o formulan, así como es preciso distinguir una oración de sus diversas enunciaciones (acto psicofísico) orales, escritas, o por ademanes. En efecto, cuando enuncio, o escucho, o escribo, o leo una oración, por ejemplo, ‘Tres es mayor que dos’, ejecuto un acto psicofísico. En consecuencia, la enunciación y la percepción de una ora- ción son procesos y, como tales, objetos físicos en sentido lato. No así la oración misma: ésta puede considerarse como una clase de enunciaciones concretas en circunstancias particulares. Una mis- ma oración podrá ser pronunciada por diversos sujetos, en distin- tas circunstancias y con diferentes tonos de voz. Cámbiese el suje- to, o las circunstancias, o el tono de voz, y se tendrán enunciacio- nes diferentes de la misma oración. Piénsese en la oración ‘3 > 2’ dicha en lenguaje interior, susurrada, gritada, o escrita en diver- sos lenguajes. Asimismo, ciertas oraciones designan o expresan proposicio- nes. Por ejemplo, las oraciones ‘3 > 2‘, ‘III > II’, ‘Three is greater than two’ y ‘Tres es mayor que dos’ expresan o designan una mis- ma proposición. Pero si bien toda proposición es expresable por una o más oraciones, la recíproca no es cierta. En efecto, hay ora- ciones gramaticales que no formulan proposición alguna, como por 7 5

27 ejemplo ‘El número cinco aleteó’ y ‘La raíz cuadrada de una me- lodía es igual a un sueño’.2 7 En resumen, tenemos tres clases de objetos y dos relaciones en- tre ellos: enuncian expresan Enunciados (acto psicofísico) Oraciones (objeto lingüístico) Proposiciones (objeto conceptual) Clases de proposiciones Éstas pueden ser de dos clases: atómicas y mole-culares. Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas (‘y’, ‘o’, ‘si… en- tonces’, ‘si y sólo si’) o del adverbio de negación ‘no’. Ejemplos: a) San Marcos es la universidad más antigua de América. b) La lógica es distinta a la matemática. Las proposiciones atómicas de acuerdo a sus elementos cons- titutivos pueden clasificarse en predicativas y relacionales. Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado. Ejemplos: c) El número 2 es par. d) El espacio es relativo. Las proposiciones relacionales constan de dos o más sujetos vinculados entre sí. Ejemplos: BUNGE, Mario, Epistemología, La Habana, Ciencias Sociales, 1982, pp. 62-65. 7 6

e) Silvia es hermana de Angélica. f) 5 es mayor que 3. Las proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el ad- verbio negativo ‘no’. Ejemplos: g) La lógica y la matemática son ciencias formales. h) El tiempo es absoluto o es relativo. i) Si dos ángulos adyacentes forman un par lineal, entonces son suplementarios. j) Este número es par si y sólo si es divisible por dos. k) El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista puneño. Clasificación de las proposiciones moleculares Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación ‘no’ se llaman negativas. • Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’, o sus expresiones equivalentes como ‘e’, ‘pero’, ‘aun- que’, ‘aun cuando’, ‘tanto… como…’, ‘sino’, ‘ni… ni‘, ‘sin embar- go’, ‘además’, etc. Ejemplos: a) ‘El’ es un artículo y ‘de’ es una preposición. b) El número dos es par, pero el número tres es impar. c) Silvia es inteligente, sin embargo es floja. d) Tanto el padre como el hijo son melómanos. e) Manuel e Ismael son universitarios. f) La materia ni se crea ni se destruye. g) Iré a verte aunque llueva. h) Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión. 7 7

En las proposiciones conjuntivas no es necesario que sus pro- posiciones componentes estén relacionadas en cuanto al conteni- do; es suficiente la presencia de la conjuncion ‘y’. Una proposición conjuntiva es conmutativa, es decir, se pue- de permutar el orden de sus proposiciones componentes sin alte- rar la conjunción. Esto es posible en la lógica, pero no en el len- guaje natural. En efecto, la proposición ‘Angélica se casó y tuvo diez hijos’ no significa lo mismo que ‘Angélica tuvo diez hijos y se casó’. En el lenguaje natural, la primera sugiere una relación de causalidad, en cambio la segunda no. Sin embargo, desde el punto de vista lógico, las dos proposiciones conjuntivas son equivalentes. Las pseudoproposiciones conjuntivas son proposiciones que se presentan como si fuesen proposiciones conjuntivas, pero que en realidad son proposiciones atómicas relacionales. La ‘y’, de los ejemplos, tiene carácter de término relacional y no propiamente de conjunción copulativa o conectiva. Ejemplos: a) Sansón y Dalila son hermanos. b) Sansón y Dalila son primos. c) Sansón y Dalila son vecinos. d) Sansón y Dalila son compadres. e) Sansón y Dalila son contemporáneos. f) Sansón y Dalila son condiscípulos. g) Sansón y Dalila son paisanos. h) Sansón y Dalila son colegas. i) Sansón y Dalila son cuñados. j) Sansón y Dalila son enamorados. k) Sansón y Dalila son novios. l) Sansón y Dalila son esposos. m)Sansón y Dalila son amantes. n) Sansón y Dalila son mellizos. o) Sansón y Dalila son siameses. p) Sansón y Dalila comparten sus ganancias. q) Sansón y Dalila obsequian una bicicleta a su sobrina Cleopatra. 7 8

• Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyun- tiva ‘o’, o sus expresiones equivalentes como ‘u’, ‘ya… ya’, ‘bien… bien’, ‘ora… ora’, ‘sea… sea’, ‘y/o’, etc. En español la disyunción 'o' tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente. La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alter- nativas se den conjuntamente. Ejemplos: a) Pedro es tío o es sobrino. b) Elena está viva o está muerta. c) Roberto es profesor o es estudiante. d) Silvia es soltera o es casada. ‘a)’ y ‘c)’ son proposiciones disyuntivas inclusivas o débiles porque en ellas no se excluye la posibilidad de que Pedro pueda ser al mismo tiempo tío y sobrino o de que Roberto sea profesor y estudiante a la vez; en cambio ‘b)’ y ‘d)’ son proposiciones disyuntivas exclusivas o fuertes porque en ellas se excluye la po- sibilidad de que Elena pueda estar viva y muerta al mismo tiempo y que Silvia sea soltera y casada a la vez. En español no existe un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la exclusiva, es decir, en ambos casos se usa la misma partícula ‘o’; mientras que en lógica sí existen signos es- peciales para distinguirlas, como veremos más adelante. • Las proposiciones condicionales llevan la conjunción con- dicional compuesta ‘si… entonces…’, o sus expresiones equivalen- tes como ‘si’, ‘siempre que’, ‘con tal que’, ‘puesto que’, ‘ya que’, ‘porque’, ‘cuando’, ‘de’, ‘a menos que’, ‘a no ser que’, ‘salvo que’, ‘sólo si‘, ‘solamente si’. Ejemplos: a) Si es joven, entonces es rebelde. b) Es herbívoro si se alimenta de plantas. c) El número cuatro es par puesto que es divisible por dos. 7 9

d) Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados iguales. e) Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez. f) De salir el sol iremos a la playa. g) La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica. h) Nuestra moneda se devalúa solamente si su valor disminuye. Toda proposición condicional consta de dos elementos: ante- cedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra ‘si’ se llama antecedente y la que sigue a la palabra ‘entonces’ se de- nomina consecuente. Toda proposición implicativa es condicional, pero no toda pro- posición condicional es implicativa. En efecto, sólo las proposi- ciones condicionales que son tautologías son implicativas. Para que una proposición condicional sea lógicamente correc- ta no es necesario que haya relación de atingencia entre el antece- dente y el consecuente, es decir, que la verdad en una proposición condicional es independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y el consecuente. Por ejemplo, la proposición “Si la tierra gira alrededor del sol, enton- ces Lima es capital del Perú” es verdadera no obstante no existir relación alguna entre los significados de sus proposiciones com- ponentes. Finalmente, en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Por ejemplo, en la proposición condi- cional ‘si los cuerpos se calientan, entonces se dilatan’, el conse- cuente ‘se dilatan’ es condición necesaria del antecedente ‘se ca- lientan’ y el antecedente ‘se calientan’ es condición suficiente del consecuente ‘se dilatan’. • Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta ‘… sí y sólo si…’, o sus expresiones equivalentes como ‘cuando y sólo cuando’, ‘ si…, entonces y sólo entonces…’, etc. Ejemplos: 8 0

a) Es fundamentalista si y sólo si es talibán. b) Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva. c) Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo entonces in- gresaré a la universidad. Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque es- tablecen dos condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la proposición bicondicional ‘el triángulo es equilátero si y sólo si tiene tres lados iguales’ establece dos condicionales de sentido in- verso: ‘si es triángulo equilátero, entonces tiene tres lados iguales’ y ‘si el triángulo tiene tres lados iguales, entonces es equilátero’. En toda proposición bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente del consecuente y el consecuente es condi- ción necesaria y suficiente del antecedente. • Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negación ‘no’, o sus expresiones equivalentes como ‘nunca’, ‘jamás’, ‘tam- poco’, ‘no es verdad que‘, ‘no es cierto que’, ‘es falso que’, ‘le fal- ta’, ‘carece de’, ‘sin’, etc. Ejemplos: a) Nunca he oído esa música. b) Jamás he visto al vecino. c) Es imposible que el átomo sea molécula. d) Es falso que el juez sea fiscal. e) Al papá de Nelly le falta carácter. Cuestionario N.º 5 1. ¿Qué es una proposición? 2. ¿Qué requisitos debe cumplir una expresión lingüística para que sea considerada proposición? 3. ¿Qué expresiones lingüísticas no constituyen ejemplos de pro- posiciones? 4. ¿Por qué las oraciones interrogativas, imperativas o exhortativas, desiderativas, admirativas o exclamativas y las dubitativas no constituyen ejemplos de proposiciones? 8 1

5. ¿Qué semejanzas y diferencias existen entre las pseudo- proposiciones y las funciones proposicionales? 6. ¿Qué es una descripción definida? 7. Los filosofemas o enunciados filosóficos, ¿son o no ejemplos de proposiciones? ¿Por qué? 8. ¿Es la ley, un ejemplo de proposición? ¿Por qué? 9. ¿Qué clases de proposiciones hay y cuáles son las diferencias que existen entre ellas? 10. ¿Cómo se clasifican las proposiciones atómicas? 11. ¿Qué diferencia existe entre proposición predicativa y proposi- ción relacional? 12. ¿Cómo se clasifican las proposiciones moleculares? 13. ¿Qué es una proposición conjuntiva? 14. ¿Qué es una pseudoproposición conjuntiva? 15. ¿Qué es una proposición disyuntiva? 16. ¿Qué clases de proposiciones disyuntivas existen y en qué con- sisten cada una de ellas? 17. ¿Qué es una proposición condicional? 18. ¿Qué diferencia existe entre proposición condicional y proposi- ción implicativa? 19. ¿Qué es una proposición bicondicional? 20. ¿Qué es una proposición negativa? Ejercicio N.º 4 Reconocimiento de proposiciones 1. Analice las siguientes expresiones lingüísticas e indique si son o no proposiciones: a) La nueva Constitución Política del Perú fue sancionada y pro- mulgada por la Asamblea Constituyente en 1993. b) El presidente de la República es el Jefe del Estado y personifica a la Nación (Constitución Política del Perú, Art. 110). c) ¿Quién es el pez gordo del narcotráfico? 8 2

d) Sea en hora buena. e) ¡Por fin llegó la primavera! f) Los números racionales son inteligentes. g) Que tengan ustedes buen viaje. h) Sólo sé que nada sé. i) Juan es bondadoso. j) No engañes nunca a nadie. k) Quizá existan miles de millones de universos. l) Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan respirar. m) a es la capital del Perú. n) x + y = y + x o) Los planetas del sistema solar, a excepción de Plutón, ocupan prácticamente el mismo plano con respecto al Sol. p) El número 5 sonrió. q) Los cuerpos sin apoyo caen aceleradamente en proporción di- recta al cuadrado del tiempo de caída. r) x es un número par. s) Los electrones son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo. t) La semana tiene y días. Ejercicio N.º5 Clases de proposiciones 1. Diga si las siguientes proposiciones son atómicas o moleculares: a) Osama y Omar son concuñados. b) Toda inferencia inductiva es una inferencia en términos de pro- babilidad. c) Hace unos años se consideraba al computador como una gran ‘calculadora’, pero hoy se habla de sus logros intelectuales. d) El oxígeno no produce óxido en presencia de metaloides. e) Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son asociativas. 8 3

f) Los peces son acuáticos puesto que respiran por branquias. g) La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. h) Gloria e Irene son contemporáneas. i) El abuelo y la abuelita obsequiaron una muñeca a su nieta. j) Hace aproximadamente 1 750 000 años el Homo habilis desapa- reció para ser reemplazado por un individuo más fornido, cono- cido como Homo erectus. k) Una lógica se dice paraconsistente si puede ser la lógica de teo- rías inconsistentes pero no triviales. l) A la descomposición química de una sustancia en iones por la acción de la corriente eléctrica se llama electrolisis. m) Los términos ‘lenguaje objeto’ y ‘metalenguaje’ no son absolu- tos sino relativos. n) Por razones aún no conocidas, el hombre de Neanderthal desapa- reció hace unos 40 mil años y cedió el lugar a un individuo venido del este: el hombre de Cro-Magnon, nuestro ancestro directo. o) Decir que la inteligencia es hereditaria es defender la idea de que nuestras facultades intelectuales se transmiten de padres a hijos casi de la misma manera que el color de los ojos. p) Así pues, no hay forma de argumentar en contra de las ideas de Aristóteles sobre la base de las creencias formuladas en el voca- bulario, pero no a la inversa. q) La diferencia que hay aquí entre Sellars y Davidson es la diferen- cia entre alguien que se toma en serio la pregunta “¿Existe en realidad aquello sobre lo que hablamos?” y alguien que no. r) “Liberalismo burgués posmoderno” fue una contribución a un simposio sobre “La responsabilidad social de los intelectuales”, celebrado en la reunión anual de 1983 de la división oriental de la Asociación Americana de Filosofía. s) Me parece que la izquierda posmarxista actual difiere de la mar- xista anterior principalmente en que esta última tenía en mente una revolución concreta. t) La concepción que denomino “pragmatismo” es casi la misma que la que Hilary Putnam denomina “la concepción internalista de la filosofía”. 8 4

Ejercicio N.º 6 Clasificación de las proposiciones moleculares 1. Diga si las siguientes proposiciones moleculares son con- juntivas, disyuntivas inclusivas, disyuntivas exclusivas, condi- cionales, bicondicionales o negativas: a) Si el ciclotrón bombardea el átomo, entonces acelera la velocidad de los protones. b) Todos los cuerpos se atraen con una fuerza directamente pro- porcional al producto de sus masas e inversamente proporcio- nal al cuadrado de la distancia que los separa. c) Un ejemplo típico de la falacia del círculo vicioso es la famosa prueba del quinto postulado de Euclides o postulado de las pa- ralelas. d) El 20% de 150 es 30 ó 50. e) Dos ángulos son suplementarios siempre que formen un par lineal. f) La huelga continúa, pues no hay solución. g) Si consigo una beca, entonces y sólo entonces viajaré al extranjero. h) Si se calienta un cuerpo, entonces se dilata; y si se enfría, enton- ces se contrae. i) Cuando apruebe el examen de admisión ingresaré a la univer- sidad. j) David no es limeño ni loretano. k) Si la distancia entre el Sol y la Tierra hubiera diferido en apenas un 5 por ciento, ninguna forma de vida habría podido surgir y nuestro planeta habría sido un desierto. l) Sin la aparición de las galaxias, sin la formación de estrellas masivas, sin el paso por el estadio de supernova, jamás habrían podido existir el hombre ni la vida. m) Francis Fukuyama proclamaba el fin de la historia y la muerte de toda ideología, puesto que era liberal. 8 5

n) Actualmente está claramente establecido que nuestro universo sufre una tremenda expansión, y que esta expansión parece ser el resultado de una explosión inicial o big bang. o) Las estrellas nacen y viven, pero también mueren. p) Se dice que existe probabilidad de que ocurra un hecho o que un hecho es probable, cuando hay en alguna medida razones o fun- damentos para afirmar su ocurrencia, pero sin llegar al nivel de la certeza o de la seguridad. q) Vilma trabaja despacio, pero sin pausa r) Paradoja es un tipo especial de contradicción constituida por una proposición determinada cuya verdad implica su falsedad y cuya falsedad implica su verdad. s) El pragmatismo norteamericano ha oscilado entre el intento de elevar el resto de la cultura al nivel epistemológico de las cien- cias naturales y el intento de nivelar las ciencias naturales en paridad epistemológica con el arte, la religión y la política. t) “Definición operacional” es la expresión del significado de un constructo o concepto teorético en términos de propiedades ob- servables y medibles llamadas indicadores. EL LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL El lenguaje natural y el lenguaje formalizado Existen dos tipos fundamentales de lenguajes: el natural y el for- malizado. El lenguaje natural es el lenguaje usado en la vida fa- miliar, en la vida cotidiana. Tiene una amplia gama expresiva, es decir, sirve para comunicar informaciones, formular órdenes, ex- presar deseos, sentimientos, etc. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el español, el inglés, el francés, el alemán, entre otros. El lenguaje formalizado es el lenguaje usado en la actividad científi- ca. Sólo sirve para formular conocimientos. Es un lenguaje espe- cializado. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el lenguaje lógi- co y el matemático. 8 6

’. ’. Variables proposicionales y operadores lógicos El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma o estructura de las pro- posiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: variables proposicio- nales y operadores o conectores lógicos. Las variables proposicionales representan a cualquier propo- sición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto castellano ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, etc. Los operadores lógicos además de enlazar o conec- tar proposiciones establecen determinadas operaciones entre ellas. Son de dos clases: diádicos y el monádico. Los operadores diádicos tienen un doble alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, afectan a dos variables. Y son los siguientes: El conjuntivo: representa a la conjunción ‘y’. Su símbolo es ‘?’. El disyuntivo: representa a la conjunción ‘o’. Puede ser inclusivo y exclusivo. El símbolo del inclusivo es ‘?’; el del exclusivo es ‘ El condicional: representa a la conjunción compuesta ‘si… enton- ces’. Su símbolo es ‘?’. El bicondicional : representa a la conjunción compuesta ‘si y sólo si’. Su símbolo es ‘ Negación conjunta: representa a las partículas ‘ni…ni‘. Su símbolo es ‘ ?’. Negación alterna : representa a la expresión ‘no o no’. Su símbolo es ‘? ’ El Negativo: Es el operador monádico y tiene un solo alcance: hacia la derecha, es decir, afecta a una sola variable. Es el operador de la negación. Representa al adverbio negativo ‘no’. Su símbolo es ‘~’. Principales notaciones simbólicas Existen diferentes notaciones simbólicas, pero pueden reducirse a tres: la de Scholz, la de Peano-Russell y la de Lukasiewicz. Las 8 7

tablas siguientes muestran las correspondencias entre las princi- pales notaciones simbólicas: Sistemas Negación Conjunción Disyunción Disyunción Condicional Bicondicional inclusiva exclusiva Scholz Peano- ~p ~p p ? q p.q p ? q p ? q p p q q p ? q p ? q p p q q Russell Luka- Np Kpq Apq Jpq Cpq Epq siewicz Sistemas Scholz Peano-russell Lukasiewicz Variables p, q, r, etc. p, q, r, etc. p, q, r, etc. Jerarquía entre operadores Usa paréntesis Usa puntos Ni paréntesis ni puntos Sistemas de Scholz y Peano-Russell Las características de las notaciones simbólicas de Scholz y Peano- Russell son: a) Los operadores diádicos se escriben entre las variables que enla- zan, pero la negación va delante. b) Los operadores son signos especiales. c) Se usa puntos auxiliares o signos de agrupación para determi- nar la jerarquía entre los operadores. Sistema de Lukasiewicz La notación simbólica de Lukasiewicz presenta las siguientes características: a) Los operadores se escriben delante de las variables que conectan. b) Los operadores son letras mayúsculas del alfabeto castellano. 8 8

c) No se usa signos de agrupación ni puntos auxiliares para esta- blecer la jerarquía entre los operadores. El operador de mayor jerarquía va a la cabeza. Nosotros hemos preferido usar la notación simbólica de Scholz porque es la que con mayor frecuencia se emplea en los libros de lógica que circulan en nuestro medio. Reglas de formación de fórmulas lógicas Una fórmula lógica, es decir, una fórmula bien formada (FBF) es una cadena de símbolos construida según reglas establecidas por la sintaxis lógica. Puede ser de dos tipos: atómica y molecular. Una fórmula atómica es aquella que no contiene entre sus sím- bolos ningún operador y puede ser representada por una variable proposicional, mientras que una fórmula molecular contiene en- tre sus signos, al menos, un operador. La sintaxis lógica es una disciplina metalógica que estudia el lenguaje de la lógica desde el punto de vista formal, es decir, sin interesarse más que por las relaciones entre los símbolos. Ella per- mite la construcción de fórmulas bien formadas estableciendo, con tal objeto, reglas para usar y combinar símbolos. Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica que posibilitan la construcción de fórmulas bien formadas: Regla 1. Toda variable proposicional (‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’) es una FBF. Regla 2. Si ‘p’ es una FBF, entonces ‘~ p’ es también una FBF. Regla 3. Si ‘p’ y ‘q’ son FBF, entonces ‘p ? q’, ‘p ? q’, ‘p q’, ‘p ?q’, ‘p q’ ‘p ? q’ y ‘p? q’ son igualmente FBF. Regla 4. Una cadena de símbolos es una FBF si y sólo si se sigue de la aplicación de R.1, R.2 y R.3. Regla 5. Una fórmula lógica está bien formada si y sólo si existe una jerarquía claramente establecida entre sus operadores; en caso contrario, la fórmula carece de sentido. Regla 6. Una FBF tiene un nombre y éste depende de su operador de mayor jerarquía. 8 9

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