Propuesta de enseñanza de polinomios desde la teoría de la TSD

Introducción

Esquema Mental de la Introducción:

La presente Unidad Didáctica, se realiza y se presenta con el fin de poder elaborar y construir una noción de los polinomios y de las operaciones entre ellos, como la suma, la resta y la multiplicación, en cada uno de los estudiantes del grado 802 del colegio Alexander Fleming, a partir de los resultados que se obtuvieron en la aplicación de una prueba diagnóstico; a través de la propuesta y planteamiento de una secuencia de actividades, que se encuentran diseñadas y planeadas bajo la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, que potenciarán inicialmente, el trabajo y manejo de los monomios y las operaciones entre los mismos, como la suma, la resta y la multiplicación, facilitando posteriormente el establecimiento y desarrollo de los polinomios como tal. Para que de esta manera, se permita el correcto y pertinente reconocimiento, entendimiento e interiorización, por parte de cada uno de los alumnos, frente al objeto matemático que se pretende trabajar y abordar, como lo es los polinomios.

Para ello, el presente documento contempla una justificación, que permite evidenciar por qué se realiza y se lleva a cabo la aplicación de esta unidad didáctica. Posteriormente se muestra los objetivos de la misma, de manera general y específica, los cuales nos ayudan a enfocar las metas que se pretenden alcanzar con la gestión de la Unidad Didáctica. Además se presenta el Planteamiento del Problema que comprende la descripción y argumentación acerca de la relevancia del problema pedagógico a abordar, acompañado de la pregunta orientadora la cual obedece a la síntesis del mismo. También, se exponen los Referentes Teóricos donde se plasman los elementos teóricos tenidos en cuenta para el diseño de las actividades, desde las diferentes perspectivas que rodena al objeto de investigación. Seguidamente se contempla el Diseño de implementación, que hace referencia al apartado que especifica a manera de resumen los elementos a tener en cuenta a la hora de la planeación y gestión en el aula, que se compone en el mapa de la secuencia, el cual explicita de manera gráfica, las relaciones fundamentales entre el desarrollo didáctico (Teoría de Situaciones Didácticas), el desarrollo del objeto matemático y el desarrollo metodológico (Resolución de Problemas); y la descripción de la secuencia de actividades la cual consiste en un cuadro que explicita la relación entre la Teoría de Situaciones Didácticas y los elementos de gestión en el aula. Por otro lado, se presentan los Resultados de la unidad didáctica, que es el apartado más relevante, donde se expone la secuencia de actividades planeadas y sus respectivos análisis didácticos, que son los protocolos. Y por último, se muestran, las conclusiones y recomendaciones, la bibliografía y los anexos de la presente unidad didáctica.

Justificación

Esquema Mental de la Justificación:

Esta unidad didáctica está realizada con el fin de describir tareas que ayuden a fortalecer algunas dificultades que tienen los jóvenes de grado octavo de bachillerato de la Institución Educativa Distrital Alexander Fleming en la jornada de la tarde, con respecto a la introducción de monomios y polinomios, suma, resta y multiplicación, determinación de dimensiones y propiedades de las operaciones entre estos. Todos presentes en el pensamiento variacional.

Para el desarrollo de dichas tareas se tendrá en cuenta los resultados que se evidenciaron en la aplicación de la prueba diagnóstico, reflexionando sobre las dificultades que presentan los estudiantes en reconocer y caracterizar la noción de monomio y polinomio y los temas con relación a este.

Los temas trabajados durante todo el semestre de 2011 fueron tomados de lo expuesto en los documentos de Operaciones con Polinomios y Productos Notables: Una Propuesta de Enseñanza, Amaya D, Unidad Didáctica de Santos L, lineamientos curriculares de matemáticas del ministerio de educación nacional y los estándares básicos de competencias en matemáticas. Donde se tomó la sustentación teórica de cada actividad propuesta y llevada al aula de clase, algunas de las herramientas usadas y algo de la metodología de enseñanza.

Al igual durante el transcurso de la práctica se vieron otros autores que aunque no fueron de nuestra búsqueda para la enseñanza de la práctica, fueron presentados como innovadores en la enseñanza de la matemática, algunos de ellos como la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau, que en pocas palabras hace mención a la enseñanza de las matemáticas estructurada bajo diferentes situaciones que tienen como fin el desarrollo de diferentes habilidades y complementasen entre ellas. Además de la utilización de la situación fundamental que nos muestra la importancia de la contextualización de cada uno de los conceptos matemáticos con la vida cotidiana del estudiante, para lograr que los conceptos sean significativos y sean comprendidos con mayor facilidad y ayude a desarrollar un pensamiento crítico y reflexivo. También debe ser lo suficientemente largo como para lograr su resolución en todas las sesiones de clase planeadas presentando cada día y a nivel de irlo solucionando un nuevo reto para el estudiante.

La estructura que tiene la unidad didáctica es la propuesta por el Brousseau, por el poco tiempo que dura la práctica y porque es una forma de acercarnos a la mejora de los conocimientos que tienen los alumnos. Dicha teoría presenta características como: poner en momentos y situaciones claramente diferenciados (situación acción, formulación, validación, institucionalización), la construcción del significado matemático por parte del profesor y los estudiantes (situación problema fundamental), los roles (compromisos y responsabilidades del estudiante y el profesor prescritos en el contrato didáctico), la descripción de la actividad (informar sobre la intención de la actividad, explicar en qué consiste), los materiales didácticos o instrumentos de mediación (materiales tangibles y manipulables como fichas, palabras escritas o habladas, gráficos, entre otros), los referentes teóricos de la actividad (para generar indicadores de evaluación) y los momentos de gestión del profesor dentro del aula de clases.

OBJETIVOS.

3.1. Objetivos Generales:

• Evaluar un proceso de enseñanza aprendizaje dentro del aula escolar, a partir de una propuesta de enseñanza basada en la resolución de problemas y en la Teoría de las Situaciones Didácticas, que permita la construcción, el reconocimiento y por consiguiente, el trabajo y manejo correcto de los polinomios, por parte de los estudiantes de grado 802 del colegio Alexander Fleming.

• Minimizar los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes de grado 802 del colegio Alexander Fleming, en el proceso de enseñanza – aprendizaje de las operaciones con los polinomios, usando diferentes sistemas de representación y la estrategia metodológica de los sistemas concretos conceptuales y simbólicos.

3.2. Objetivos Específicos:

• Identificar y clasificar los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes al desarrollar operaciones con polinomios y al trabajar puntualmente con ellos, con el fin de diseñar una secuencia didáctica de actividades, que ayude a la comprensión significativa de los polinomios y de las operaciones con otros polinomios.

• Construir, presentar y llevar a cabo el desarrollo de una situación fundamental, con la que el estudiante logre construir, reconocer y trabajar con los polinomios y las operaciones de suma y resta entre ellos, con el paso de cada una de las sesiones.

• Inducir a los alumnos hacia situaciones en las que puedan describir, comparar y cuantificar relaciones numéricas en diferentes contextos y en diversas representaciones, en donde hagan uso de distintos lenguajes, como el lenguaje geométrico, algebraico, aritmético y habitual.

• Promover diversos problemas en los que el estudiante realice y describa procesos de medición con patrones arbitrarios, que le permitan obtener las dimensiones de los lados y el volumen de figuras rectangulares, en forma de expresión algebraica, que van encadenados a la solución de la situación fundamental que se le ha planteado.

• Contribuir al desarrollo de nuevas alternativas y estrategias didácticas basadas en la resolución de problemas y en la Teoría de las Situaciones Didácticas, frente al proceso de enseñanza – aprendizaje de las expresiones algebraicas y particularmente de los polinomios; con el fin de ayudarle al estudiante a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, etc., respecto al objeto matemático en mención y frente a sus relaciones escolares.

Planteamiento del problema

Es cierto que muchas cuestiones matemáticas no se pueden demostrar en forma objetiva, y en ese caso, el alumno tendrá que conformarse con la teoría; pero en el caso al que hacemos referencia, los polinomios y los productos notables sí se pueden verificar, no sólo algebraica, sino aritmética y geométricamente, y esto es lo que no se ha hecho en el aula escolar, por lo tanto el alumno no genera conceptos con significado. Amaya (2009).

Cuando el maestro se preocupe, no sólo por enseñarle al alumno el procedimiento algebraico para trabajar con un polinomio, sino que le haga la verificación aritmética mediante la aplicación de valores a las literales y la realización de las operaciones correspondientes, y la confrontación de resultados iguales o equivalentes, así como dibujar la figura geométrica relativa en el caso de los monomios, y presentar el modelo didáctico; entonces, el maestro podrá considerar que el estudiante está construyendo significados asociados a los conceptos y procedimientos. Amaya (2009).

Además, la historia de las matemáticas brinda importantes herramientas a los educadores en cuanto a la enseñanza de un determinado contenido, por lo cual se debe contribuir al desarrollo de nuevas alternativas y estrategias didácticas basadas en lo lúdico. Es importante destacar que el objetivo primordial de la enseñanza básica no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que podría serle útil como ciudadano, más bien el objetivo cosiste ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, etc. Soto (2005).

En este orden de ideas, y gracias a la aplicación de la actividad y prueba diagnóstico, que se realizó en el grado 802 del colegio Alexander Fleming, en el cual los estudiantes presentaban serias dificultades en el momento de operar diferentes expresiones algebraicas y sobre todo de identificar y manejar un determinado polinomio, se pretende buscar una solución a esta problemática teniendo como objetivo general el minimizar los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes en el proceso de enseñanza- aprendizaje de las operaciones con polinomios usando diferentes sistemas de representación y la estrategia metodológica de los sistemas concretos conceptuales y simbólicos. Ya que muchos de los alumnos no reconocen un determinado polinomio, y por lo tanto no logran generar un manejo y una construcción propia de los mismos, en una determinada situación problema a la que se han enfrentado, como es el caso de los resultados obtenidos con la aplicación de la prueba diagnóstico en el grado 802 del colegio Alexander Fleming. Al respecto, se presenta una tipología de errores de los cuales según los resultados obtenidos del diagnóstico, los alumnos manifestaron diferentes errores, en el momento de enfrentarse a problemas que involucraban los polinomios y al llevar a cabo la solución de la prueba diagnóstico, que pueden ser atribuidos a aspectos como:

a. La naturaleza y significado de los símbolos y las letras.

b. El uso inapropiado de "fórmulas" o "reglas de procedimientos".

Siendo errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva, errores relativos al mal uso de los recíprocos y errores debido a falsas generalizaciones. Amaya (2009).

Por lo cual, se presenta como pregunta orientadora de la unidad didáctica:

4.1. Pregunta Orientadora:

¿Cómo evaluar un proceso de enseñanza aprendizaje dentro del aula escolar, a partir de una propuesta de enseñanza basada en la resolución de problemas y en la Teoría de las Situaciones Didácticas, que permita la construcción, el reconocimiento y por consiguiente, el trabajo y manejo correcto de los polinomios, por parte de los estudiantes de grado 802 del colegio Alexander Fleming?

4.2. Preguntas Específicas:

• ¿Cuáles son los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes de grado 802 del colegio Alexander Fleming, en el proceso de enseñanza – aprendizaje de las operaciones con los polinomios?

• ¿Qué procesos y procedimientos hacen uso los estudiantes del grado 802 del colegio Alexander Fleming, en el momento de trabajar las operaciones de suma, resta y multiplicación, entre polinomios?

Referentes teóricos

Dentro de cualquier secuencia de actividades y específicamente dentro de una unidad didáctica, se hace necesario hacer énfasis en un marco teórico que permita sustentar dicha propuesta; por ello es que en el presente apartado se expone unos referentes teóricos, que permiten sustentar y sobretodo, basar dicha propuesta en ellos para llevar a cabo el desarrollo de la unidad didáctica, en el cual estos se encuentran divididos en cinco marcos, un marco político, un marco matemático, un marco didáctico, un marco metodológico y un marco relacionado con la evaluación.

5.1. Marco Político:

A modo de referentes teóricos para esta unidad didáctica, se ha hecho énfasis en distintos referentes, encaminados especialmente al soporte de la construcción y enseñanza de los polinomios, en los estudiantes de grado octavo del colegio Alexander Fleming, de acuerdo al énfasis de la presente práctica que hace referencia a la evaluación y teoría de las situaciones didácticas, partiendo de la búsqueda de referentes políticos.

En esta medida, se hace referencia a que existen diferentes entes (Ley General de Educación, Lineamientos Curriculares de Matemáticas y Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas) que forman este marco, el cual, los profesores de matemática deben tener presente y claro, ya que todo está regido por la ley.

Según en los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, habla de que las matemáticas pueden dejar de ser un "dolor de cabeza" para estudiantes, padres y maestros. Para ello el Ministerio de Educación Nacional está trabajando en varias estrategias para quitar este mito en la educación; la enseñanza de la matemática debe ser agradable para que exista una relación alumno-maestro y viceversa, crear la idea de que la matemática se encuentra en la vida cotidiana y dejar de creer que solamente es parte de la institución educativa.

El compromiso con los ideales democráticos se alcanza si en el aula se trabaja en un ambiente donde es posible la discusión y la argumentación sobre las diferentes ideas, lo cual favorece el desarrollo individual, la confianza y razón, como medio de autonomía intelectual, al tomar conciencia del proceso constructivo de la matemática para intervenir en la realidad.

Ahora, más enfocados en los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas que competen para la enseñanza de los monomios y polinomios, se toman y explican 5 estándares que van vinculados a los procesos que se llevan a cabo en el aula de clase.

De acuerdo a los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2006), en el grado octavo de bachillerato se busca en el pensamiento variacional:

• Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

Aquí se toma la relación que el estudiante establece entre las áreas y longitudes de diferentes figuras geométricas, como los cuadrados y la determinación de expresiones algebraicas, de este modo y según Amaya (2009), la adquisición de los conceptos de monomio y polinomio es más fácil de comprender porque el alumno interactúa con un medio dentro de su diario vivir y los obtiene de este.

• Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

En el cual se establece que dentro de determinadas sesiones de clase dentro del aula escolar, cuando se tenga la certeza que los estudiantes comprenden los términos que se les desea enseñar, se pueda proponer problemas y ejercicios de simplificación de términos donde el estudiante, como por ejemplo este en capacidad de tomar x+x+x+x y determinar que es igual a 4x.

• Usar procesos inductivos de lenguaje algebraico para verificar conjeturas.

En el cual el estudiante hace uso de diferentes procesos razonables y lógicos, que le permiten defender sus ideas a partir del lenguaje algebraico, determinando de dónde obtuvo ese valor y por qué sirve a la aplicación de su problema que se le ha planteado.

• Modelar situaciones con funciones polinómicas.

Para este caso, las situaciones que los estudiantes deberán modelar son la determinación de algunas preguntas que incluyen el uso de monomios y polinomios con sus respectivas operaciones. Preguntas que conduzcan al estudiante a establecer resultados en términos de monomios y polinomios, que hacen parte de este estándar. (MEN, 2006).

En los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 2006), se propone para el trabajo y el desarrollo del pensamiento variacional la metodología de resolución de problemas, mencionando que se ha de realizar desde los primeros grados, para el grado octavo propone una serie de ejercicios para el buen desarrollo del pensamiento variacional con el objetivo de ver el álgebra en su sentido simbólico, y particularmente determinar la noción, el significado y las operaciones entre polinomios.

Para el conjunto de grados 4º, 5º y 6º se propone:

En donde se evidencia la utilización de los problemas de estructura similar en los problemas llevados al aula de clases, ya que los estudiantes deben ordenar áreas rectangulares bajo unas condiciones y obtener todas las posibles combinaciones de este, que se asemeja a la propuesta de actividades que se pretende llevar a cabo dentro de esta unidad didáctica.

Conjunto de grados 7º, 8º y 9º:

La presente situación que se propone, es muy similar a la de la obtención de las medidas de las longitudes de las figuras geométricas como el cuadrado, en términos de "x", pero aquí se realiza con "palitos" ya que la situación se da para definir con cuántos "palitos" se puede construir uno o varios cuadrados. El estudiante por ejemplo determina 20 palitos como si determinará 20x, donde la construcción del concepto de monomio y polinomio se ve implícita.

Siguiendo con los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 2006), hacen referencia que en los contextos de la vida práctica y en los científicos, la variación se encuentra en contextos de dependencia entre variables o en contextos donde una misma cantidad varía (conocida como medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promueven en el estudiante actitudes de observación, registro y utilización del lenguaje matemático. Abordado así el desarrollo del pensamiento variacional se asume por principio que las estructuras conceptuales se desarrollan en el tiempo, que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más sofisticado, y que nuevas situaciones problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido para aproximarse a las conceptualizaciones propias de las matemáticas. (MEN, 2006).

Siendo esto lo relacionado a la enseñanza del pensamiento variacional y específicamente del aprendizaje de las expresiones algebraicas, con respecto a los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 2006), en donde además nos aclara la existencia de diversas competencias a desarrollar en el estudiante, como es el caso de: La resolución y el planteamiento de problemas, El razonamiento, La comunicación, La modelación, La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. En el cual se ha de aclarar, que de estos se ha de tomar solo La resolución y el planteamiento de problemas, El razonamiento, La comunicación y La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos, con el fin de potenciar y desarrollar cada uno de estos procesos generales en el estudiante, de tal manera que este logre realizar un adecuado reconocimiento y trabajo del objeto matemático en el cual se pretende abordar dentro de esta unidad didáctica.

5.2. Marco Matemático:

En este orden de ideas, teniendo como objeto matemático, "Los Polinomios", dentro de esta unidad didáctica se estudian las expresiones algebraicas en general, y los monomios y polinomios en particular, en el cual además, se estudian las operaciones con monomios y polinomios, especialmente la suma, la resta y multiplicación entre los mismos. Por ello, se hace un bosquejo de cada uno de estos aspectos y conceptos matemáticos involucrados; por lo tanto, en primera instancia, un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural Santos (2001, pág., 5). En el cual, se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las variables que componen al monomio y normalmente se coloca al principio de las mismas. Si es un 1 no se escribe y nunca es 0 ya que la expresión completa sería 0, por lo cual, ejemplos de coeficientes de monomios podrían ser como: 3; -2; y 5/8. Por otro lado, se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras. De este modo, ejemplos de grado de algún determinado monomio podrían ser: de grado 2, de grado 3, grado 5, y (como es sabido cuando el exponente es 1 no se escribe). Sin embargo, en la mayor parte de los casos los monomios que se utilizarán serán más simples, ya que sólo estarán formados por una letra, normalmente la x, el exponente correspondiente que será el grado del monomio y un respectivo coeficiente. Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros (por ejemplo 0,6; 1/2; -5/6 etc.) aunque normalmente serán enteros y así lo vamos a suponer en este tema. Santos (2001).

Por ejemplo: -2×2; 3x; -5×3; x5 son cuatro monomios de grados 2, 1, 3 y 5 respectivamente, como se enfatizaba anteriormente; sin embargo, se pueden presentar casos en los que los monomios son semejantes, por ello, son monomios semejantes entre sí, aquellos en los que aparecen las mismas variables con los mismos exponentes, como por ejemplo de monomios semejantes serían: 2ax4y3; -3ax4y3; ax4y3; 5ax4y3. Mientras que por ejemplo no son semejantes las expresiones: axy3; 3a2x4y3; 2bx4, por tanto, dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente.

Respecto a las operaciones entre los monomios, en este caso iniciando con la suma y la resta, se puede hacer énfasis, que por ejemplo si tenemos:

En el primer caso la resta de monomios se puede realizar mientras que en el segundo caso la suma no, debido a que en el primer caso, se trata de monomios semejantes y en el segundo no. Por tanto, para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes; pero cuando los monomios no son semejantes, la suma queda indicada y el resultado es un polinomio. Santos (2001).

Ya por otro lado, respecto al producto de monomios, se puede resaltar que para multiplicar monomios, se debe recordar el producto de potencias que como se ha venido haciendo referencia, se puede realizar si tienen la misma base. Por ejemplo 5×2 · 3×4 = 15×6 ya que: "Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes". Santos (2001). Con ello, para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno entre sí y las potencias que tengan la misma base de cada uno, pero si son de distinta base se dejan tal y como estén. Es decir, se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores; y el signo del producto encontrado, vendrá dado por la respectiva aplicación de la Ley de los signos, sobre la determinada expresión en monomio que se esté trabajando. Santos (2001).

Por otro lado, en cuanto a los polinomios, respecto a su definición, ejemplos y operaciones entre los mismos, se puede enfatizar, en que un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Santos (2001, pág., 6). Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar, en este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio. Son polinomios las expresiones siguientes:

En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos, cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a). Además, cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio, que son dos binomios; cuando consta de tres monomios se denomina trinomio. Con más de tres términos (de monomios), ya se denomina en general polinomio. Santos (2001).

Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8. En el caso b) el grado es 4.Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman también coeficientes del polinomio: 4, -2, 3, -2, y 5 respectivamente en el caso b).

En relación a la suma y resta de polinomios, se puede rescatar, que la suma de polinomios se basa en la de monomios. Se podrán sumar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma, como por ejemplo, para calcular la suma de los polinomios:

Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está. Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

Por tanto, para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos. Si por el contrario, en lugar de sumar dos polinomios se tratará de restarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados. Como por ejemplo, para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:

Téngase en cuenta que si un coeficiente es 0, el término correspondiente vale 0, luego no suma ni resta y viceversa, si "falta" un término podemos suponer que el coeficiente es 0. Santos (2001, pág., 10).

Pasando al producto de polinomios, se puede indicar que para multiplicar dos polinomios, se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple, en el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con un número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes. Santos (2001). En resumen, se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos al operar con cada uno de ellos, y se reducen los términos semejantes. Santos (2001).

En la práctica no suele indicarse la multiplicación como en el anterior ejemplo, sino que suelen colocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Así:

En últimas, un ejemplo de un polinomio podría ser: 3×2 + x – 2, donde un polinomio puede tener constantes, variables como "x" y los exponentes 0, 1, 2, 3, etc. Y se puede combinar haciendo sumas, restas y multiplicaciones, pero no divisiones. Santos (2001).

5.3. Marco Didáctico:

Ahora en relación al referente teórico de esta unidad didáctica, de acuerdo al aspecto didáctico, se procede a hacer énfasis en cuanto a la enseñanza del álgebra y todo su proceso para llegar a abordar los polinomios y sus operaciones, en el transcurrir de la secuencia de actividades que se han planteado.

Por ello, teniendo en cuenta la situacion fundamental que se les ha presentado a los estudiantes, con el fin de abordar el objeto matemático de la presente unidad didáctica, se hace referencia, bajo una mirada matemática de la situación el arreglo de áreas cuadradas y rectangulares, siguiendo determinadas condiciones, ayudan al desarrollo cognitivo del estudiante ya que está interactuando con diferentes modelos y aprueba o descarta según su juicio y lógica. (Amaya 2009).

De acuerdo a la presentación de un respectivo problema que se le ha planteado al estudiante.

Siguiendo lo mencionado por Amaya (2009), donde habla de cómo el estudiante establece y caracteriza monomios y polinomios a través de un análisis geométrico y algebraico de áreas rectangulares y es de allí donde comprende su significado y contexto, es decir de dónde viene o qué representa esa expresión algebraica (monomio). También habla y propone situaciones donde el estudiante previamente habiendo establecido expresiones algebraicas simples (monomios) debe operar con ellas y así establecerá más expresiones, las operaciones pueden darse en un contexto fácil de comprender por el estudiante donde se le pida implícitamente sumar o restar. Así se estaría abordando la obtención e interpretación de monomios y las operaciones de suma y resta.

Respecto a las operaciones entre los monomios, ahora en este caso la suma y multiplicación entre los mismos, que posteriormente se pretende dar paso al trabajo con los polinomios; se buscará llevar a cabo un trabajo geométrico y algebraico que permita el desarrollo de estos contenidos, a través de un análisis geométrico, y un análisis algebraico. Socas (1996). Ya que en el momento en que se potencia el análisis y el trabajo de los polinomios, mediante representaciones geométricas y algebraicas, según Amaya (2009), se logra un correcto reconocimiento de los mismos, que permite posteriormente una pertinente aplicación y desarrollo de los estos; con el fin de ayudar a superar algunas dificultades y errores manifestados al respecto, como la carencia de significados asociados a los conceptos, procedimientos y usos de los polinomios como tal. Amaya (2009).

Por lo cual, para dicho trabajo se pretende llevar a cabo el uso de diferentes recursos y materiales didácticos, en el cual se tomarán como base para la elaboración y construcción de distintos modelos geométricos, y por consiguiente la manipulación de cada uno de los diferentes modelos obtenidos, de tal forma que permita un correcto reconocimiento de las dimensiones de cada uno de los mismos. Ya que según Godino (2005), los recursos didácticos, sean manipulativos o virtuales, pueden ser el soporte para el planteamiento de problemas y situaciones didácticas que promuevan la actividad y reflexión matemática.

5.4. Marco Metodológico:

Ahora, respecto a la metodología a utilizar dentro de esta propuesta de enseñanza, se pretende enfatizar al respecto, sobre "La Teoría de las Situaciones Didácticas", propuesta por Brousseau en 1986, donde se aclara que a través de las situaciones didácticas es que se logra que los estudiantes aprendan un nuevo conocimiento, donde gracias a una determinada situación, el alumno se sumerge en un nuevo saber y logra construirlo y interiorizarlo. En esta medida se presentan dos grades tipos de situaciones, por un lado están las situaciones a-didácticas, donde hace referencia a una determinada situación que presenta el maestro a sus respectivos alumnos, y no existe una exigencia didáctica como tal, por parte del docente, ni una obligación de los caminos que puedan tomar los estudiantes frente al desarrollo de una situación problema; ya que el alumno es el encargado de dar respuesta a las cuestiones de la situación, solo. Como es el caso del planteamiento de problemas al estudiante, o la misma aplicación de la actividad diagnóstico, según DECA (2003), donde este deberá resolverla con sus propios conocimientos. Permitiendo de esta manera que el estudiante modifique su sistema de conocimiento y consideraciones, a través de las determinadas estrategias y medios que utilizó y empleó para la solución del problema, que quizás lo condujo a la solución del mismo o no. D´ Amore. (1999).

Por otro lado, se encuentra la situación didáctica, en la que el docente a través de una determinada situación, busca que se realice una interacción del profesor con cada uno de sus estudiantes, frente a la situación problema planteada, permitiendo que a través de diferentes preguntas y el planteamiento de determinadas cuestiones, el docente conduzca a el estudiante hacia respectivo contenido o saber que se pretende enseñar y por consiguiente construir. D"Amore. (1999).

Además, al respecto del desarrollo la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, se resalta la importancia que existe en cada una de sus fases, al implicar en el proceso de construcción del conocimiento al que el estudiante debe llegar, en el cual, se hace referencia que para que esto ocurra, el profesor debe proponer situaciones en donde el conocimiento que se quiere enseñar, "aparezca como una solución optima" para dar solución a la misma. Chevallard. (1997 pág.).

También este autor, Chevallard (1997), explicita lo que es una situación matemática, una situación a-didáctica, una situación didáctica y una situación fundamental, que es lo que se desarrolla dentro de esta unidad didáctica, en el cual, la primera dice que debe ser comunicable, y para solucionarse se debe usar el conocimiento al que se quiere llegar. De la a-didáctica dice que debe provocar cambios en las estrategias usadas para la solución de lo planteado y que cuando se adapta a esta, se aprende el conocimiento que está implícito. De la situación didáctica, afirman que es más compleja y es más amplia, y es en ésta donde interactúan los alumnos, el maestro y el medio que son los objetos con los que están familiarizados los estudiantes. El conjunto mínimo de éstas forma una situación fundamental.

Más adelante explican lo que es la devolución del problema, que según ellos, ocurre cuando el profesor hace que los estudiantes se apropien de la situación planteada, para luego encontrarle solución a la misma, para que así, los maestros institucionalicen los conocimientos y de esta forma los alumnos aprendan el conocimiento matemático que estaba en cuestión. Donde se puede evidenciar, en el momento en que se le presenta al estudiante un determinado problema, que permitirá el desarrollo del objeto matemático a abordar. La devolución se establece en el contrato didáctico, ya que aparte de mostrar las reglas del juego, debe hacer que el estudiante se sienta responsable. En el caso de que esto no se cumpla, surgen paradojas que pueden ser que el maestro no deje que el alumno llegue a la solución de la situación, sino que les dice cómo llegar a esta, sin cambiar situaciones que permitan la óptima construcción del conocimiento. Chevallard. (1997).

En esta medida, se pueden resaltar diferentes relaciones que se presentan dentro de las situaciones a-didácticas, que son la acción, la formulación y la validación.

En la acción el estudiante aborda el problema basándose en sus conocimientos y plantea algunos caminos de solución a la situación fundamental, luego de ello viene la formulación en donde el estudiante comunica sus ideas y interactúa con otros tipos de tipos de vista de sus compañeros, discutiendo sobre los mismos y encontrando elementos importantes para la solución de la situación, cuando este grupo de estudiantes llega a un acuerdo en cuanto a la respuesta argumentándola matemáticamente se da la etapa de validación que es en donde el estudiante logra finalmente construir el conocimiento.

Esta metodología permite que el docente se concentre en crear un medio en el que el estudiante va a ser el único actor, quien desempeñe el papel de investigador e indagador, desarrollando competencias comunicativas, argumentativas y propositivas. Chevallard. (1997).

Por último, en relación a la metodología a utilizar, se hace uso de la resolución de problemas, en el cual, según los Lineamientos Curriculares (1998), hace referencia a un proceso general, que tiene que ver con el aprendizaje y se propone dentro de procesos generales como: el razonamiento, el planteamiento y resolución de problemas, la comunicación, la modelación y la elaboración y ejercitación de procedimientos.

Según los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), la actividad de resolver problemas ha sido considerada como un elemento importante en el desarrollo de las matemáticas y en el estudio del conocimiento matemático. La resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática. En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando confianza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su capacidad de comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de pensamiento de más alto nivel. Lineamientos Curriculares (MEN, 1998. pág., 52). Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una actividad muy importante para aprender matemáticas, proponen considerar en el currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes: Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas. Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas. Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original. Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas. Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas. Lineamientos Curriculares (MEN, 1998).

También, en relación a los Lineamientos Curriculares (1998), se hace énfasis de la resolución de problemas dentro de unas competencias específicas, en el cual, éste se relaciona, entre otros, con la capacidad para formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática, traducir la realidad a una estructura matemática, desarrollar y aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e instrumentos para la solución de problemas, justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida. Verificar e interpretar resultados a la luz del problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevas situaciones problema. Acevedo (2007).

5.5. Marco Evaluativo:

Inicialmente se realizará una breve descripción del aspecto evaluativo y de sus principales aspectos inmersos en el mismo, según los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), seguidamente se tendrá presente el SIEE del colegio Alexander Fleming y por último se hará una relación entre estos y se tomará lo que se piensa utilizar en el proceso de evaluación de los estudiantes, teniendo en cuenta diferentes puntos de vista, desde los diferentes documentos abordados a lo largo del espacio académico.