El capítulo 9 se le dedica a los tres problemas clásicos de la geometría. Demostrando la imposibilidad de la duplicación y la cuadratura y resolviendo la trisección de un ángulo cualquiera, único problema clásico resoluble con regla y compás.
Finalmente, se debe recalcar lo que dice E. T. Bell en "Grandes matemáticos (cap. XXIX)". "Corresponde a Cantor el gran mérito de haber descubierto, a pesar de sí mismo y contra sus propios deseos, que "el cuerpo matemático" está profundamente enfermo y que la enfermedad con que Zenón la infectó no ha encontrado aún alivio". Hoy, amigo lector, podrá usted descubrir el remedio para la enfermedad de este cuerpo.
Nota Importante: Si usted, amigo lector, no es un matemático de libros (aquellos que se aferran a, sólo, lo aprendido en los libros) y no siente temor de aventurarse por rumbos fascinantes pero desconocidos, entonces, le encantará este pequeño libro al leerlo, pues, está escrito para usted; debemos recordar que Albert Einstein nos dejó su teoría de la relatividad, gracias a que no sintió temor de transitar por rumbos desconocidos por todos.
Es el deseo del autor que este pequeño aporte a la matemática sea para enriquecerla más y no para generar polémicas; como sucede cada vez que aparece en el ámbito matemático una nueva visión de ésta. Aunque sé que, como dijo algún matemático una vez, dejar los caminos ya trillados y caminar por rumbos nuevos es bastante difícil para el ser humano, espero la mejor comprensión por parte del mundo matemático.
Dimas Herrera.
CAPÍTULO 1
Subsanando el paraíso de cantor
1.1 Algunas Definiciones de la Teoría de Conjuntos
Una de las teorías matemáticas más ricas en aplicaciones es sin lugar a dudas la teoría de conjuntos debida al gran genio de Georg Cantor (matemático ruso) y la cual ha sido enriquecida a través de la historia por otros no menos grandes matemáticos. Acá nos ocuparemos de dar algunas definiciones de esta teoría las cuales se necesitarán para la demostración de la falsedad de la hipótesis del continuo; el cual es el objetivo primario de este capítulo.
1.1.1 Definiendo al Conjunto A
Un conjunto A finito o infinito, aún cuando parece redundante, se denotará por
Esta forma de denotar a dicho conjunto es la más adecuada para la demostración de los teoremas que acá veremos (Se supone conocido por el lector todo lo relativo a teoría de conjuntos).
1.1.2 El Cardinal del Conjunto A
El cardinal de un conjunto A es el número de elementos que posee dicho conjunto y se denotará por #A. En este trabajo todos nuestros conjuntos serán no vacíos.
1.1.3 Conjuntos Iguales
Dos conjuntos A y B son iguales si poseen los mismos elementos.
1.1.4 Inclusión de Conjuntos. Subconjuntos
1.1.9 Función Biyectiva
Una función es biyectiva cuando es inyectiva y también sobreyectiva. Cuando una tal función existe entre dos conjuntos A y B, se dice que entre éstos existe una relación biunívoca y que, por tanto, ambos tienen la misma cantidad de elementos.
1.1.10 Potencia de un Conjunto
La potencia de un conjunto A es el número de subconjuntos de A. Esta viene dada por # P(A) = 
donde #A es el número de elementos de A. Observe que no es lo mismo conjunto potencia que potencia de un conjunto, ya que el conjunto potencia de A está dado por P(A) (Conjunto de partes de A).
1.1.11 Equipotencia de Conjuntos
Dos conjuntos A y B se dice que son equipotentes si tienen igual potencia. Como la potencia de A es y la de B es 
entonces, al ser = se tiene que #A = #B. Luego, se puede inferir que dos conjuntos son equipotentes si tienen igual número de elementos. De las definiciones de biyectividad y equipotencia de conjuntos, conjuntamente con el axioma de elección de la teoría de conjuntos, se infiere que dos conjuntos son equipotentes si, y sólo si, existe entre ellos al menos una biyección.
1.2 Falsedad de la Hipótesis del Continuo
A continuación, se presenta una serie de teoremas sencillos que nos demuestran que la conjetura de Cantor, conocida como hipótesis del continuo, es falsa.
En dicha hipótesis se asegura que no existe un cardinal transfinito x tal que # N < x < # R.
Esta hipótesis se dio sobre la base de la igualdad de los cardinales de N, Z y Q. Igualdad que se demostró gracias a una supuesta biyección entre N y Z, y entre N y Q. Sin embargo, acá se demostrará que dichas biyecciones no pueden existir, a menos que la teoría de conjuntos sea una falsedad, lo cual no es así.
La idea de este trabajo no es detallar lo que significa la hipótesis del continuo; para quien desee detallar esto existe abundante literatura en el ámbito matemático. Acá sólo se pretende demostrar, con los mismos elementos de la teoría de conjuntos, que la cardinalidad de N, Z y Q son diferentes y que dicha hipótesis del continuo no es más que la camisa de fuerza que mantiene atada a la matemática a concepciones erróneas del infinito.
Nota: Las demostraciones acá se harán sólo para conjuntos discretos, aún cuando también valen para conjuntos continuos. Se usarán subíndices naturales en los conjuntos infinitos, acá tratados, bajo el supuesto que dichos naturales nunca se terminan; también, porque siempre se ha creído que todos los conjuntos infinitos, a excepción de R, son numerables. Al final de cada demostración se usará el símbolo ( el cual nos indica que la demostración concluyó.
Como consecuencia directa de este teorema se tiene el siguiente
1.2.2 Teorema 1.2 (f(A) = g(A); si f inyectiva, g inyectiva)
Sean f y g dos funciones cualesquiera con dominio en A y tales que f(A) = g(A). Si f es inyectiva, g es inyectiva (o viceversa).
Demostración
1.2.4 Teorema 1.4 (#A < #B; f:A(B, f(A) ( B)
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera tales que # A < # B y f: A ( B es una función cualquiera, entonces f (A) ( B.
Demostración
1.2.5 Teorema 1.5 (f:A(B sobreyectiva y no inyectiva, # A > # B)
1.2.7 Teorema 1.7 (# R > # Z)
El cardinal de R es mayor que el de Z
Demostración:
Los 7 teoremas anteriores nos inducen a subsanar el error que existe en toda la teoría de conjuntos. Pues, no se puede tener la gran contradicción de ser # Z > # N, por una parte y, por la otra, # Z = # N. Ahora bien, la misma teoría posee elementos suficientes que le permiten limpiarse de toda contradicción. Esto lo veremos en los siguientes teoremas.
1.2.8 Teorema 1.8 (A( B, # B > # A)
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Si A es un subconjunto propio de B, se tiene entonces, # B > # A.
Demostración
1.2.9 Teorema 1.9 (A( f (A), f (A) = A)
Sea A un conjunto cualquiera y f:A(f(A) una función cualquiera tal que A( f(A). Entonces, f(A) = A.
Demostración.
El teorema anterior nos asegura que nunca existirá una sobreyección de A hacia B si A es un subconjunto propio de B. Por lo tanto, tampoco podrá existir una biyección ni de A hacia B, ni de B hacia A. En consecuencia, la mal llamada biyección entre N y Z no es tal.
1.2.11 Teorema 1.11 (#N > #N*)
El cardinal de N es mayor que el de N*.
Demostración
1.2.12 La Aparente Biyección Entre N y Z
Sea la función entre N y Z definida de la siguiente manera
Esta función así definida es la pretendida biyección entre N y Z con la cual se asegura que estos conjuntos tienen igual cardinalidad. Ahora bien, el teorema 1.9 nos asegura que entre N y Z no puede existir ninguna biyección. Como esta función es inyectiva, entonces dicha función no es sobreyectiva.
Analicemos la no sobreyectividad para el caso n impar en la tabla que sigue:
Otra forma de disponer la tabla anterior es la siguiente:
1.3 Propiedad de Dilatación o Contracción de los Puntos
Sabemos que el punto carece de existencia real, es decir, así como el universo nace de la nada, también la Geometría nace de la nada. Por esta razón, los puntos poseen unas propiedades que no se pueden notar cuando las ponen en práctica. A estas propiedades se les llamará propiedad de contracción y propiedad de dilatación y consisten en que, los infinitos puntos que están en un segmento cualquiera, pueden entrar todos (en sentido figurado) en otro segmento de mayor o menor longitud, dilatándose o contrayéndose respectivamente. Sin embargo, es un error afirmar que dos segmentos cualesquiera poseen la misma cantidad de puntos, tomados dichos puntos como entes con existencia real, si dichos segmentos posen longitudes distintas. Veamos la demostración de esto.
Veamos ahora el serio problema en el cual nos meten las propiedades de contracción y dilatación de los puntos.
1.3.2 La Unidad a Diferentes Escalas
Como ambos representan a la unidad (en diferentes escalas), cometemos el error de decir que ambos contienen la misma cantidad de puntos, es decir, que como conjuntos de puntos son equipotentes. Pero el teorema anterior nos dice que ello no es así. De manera que algo anda mal en nuestra forma de ver la realidad.
La pregunta es ¿qué es lo que realmente sucede? La respuesta es "la propiedad que tienen los puntos geométricos de dilatarse y contraerse".
1.3.2.1 Biyección Geométrica
Es la biyección galileana (en honor a Galileo quien fue el primero en observar esto) que existe entre los conjuntos de puntos geométricos.
1.3.2.2 Biyección Algebraica
Es la biyección cantoriana (en honor a Cantor, padre de la teoría de conjuntos) que existe entre conjuntos cuyos elementos tienen (o se les asigna) una existencia real. Ejemplo de ellos son las biyecciones entre conjuntos numéricos.
Para concluir este capítulo se debe decir que el gran geómetra Euclides de Alejandría sí tuvo razón al postular que "El todo es mayor que cualquiera de sus partes". Y ha sido la teoría de Cantor la que nos ha permitido deducir este hecho.
CAPÍTULO 2
La racionalidad de los irracionales
2.1 Lo Contradictorio del Número Irracional
Esto permite encontrar algunas contradicciones dentro de nuestra matemática.
Antes de ver estas contradicciones, veamos los siguientes teoremas donde se admite que el lector conoce todo lo referente a la teoría de grupos.
2.1.1 Teorema 2.1 (Composición de infinitos elementos de un grupo)
"La composición de un número infinito de elementos de un grupo (G, *), que posee infinitos elementos, es otro elemento de dicho grupo".
Demostración:
2.1.2 Teorema 2.2 (Suma de infinitos racionales)
La suma anterior la puede comprobar el lector con la fórmula para sumar los infinitos términos de una serie geométrica cuando el valor absoluto de la razón es menor que uno.
Ahora, veamos dos expresiones que, por los teoremas anteriores, son contradictorias entre sí.
2.1.3 Dos Expresiones Contradictorias
La expresión 1) se contradice con el teorema 2.1, ya que el conjunto Q es un grupo infinito para la suma. Por otra parte, la expresión 2) es algebraicamente igual que la 1), puesto que son sumas de infinitos elementos de Q. En consecuencia, no puede ser que una es irracional, incumpliendo con el teorema 2.1, y la otra racional, cumpliendo con dicho teorema. De manera que algo en nuestra matemática no anda bien, y corregir esto es el propósito de este trabajo (ver la racionalidad de m,a1a2…an… en el apartado 2.4.5).
2.2 La Presencia de Enteros Infinitos en Z
Veremos ahora que en el conjunto Z de enteros existen números que poseen una cantidad infinita de cifras sin que por ello dejen de ser enteros. En efecto, como el conjunto Z dotado de la adición es un grupo infinito, entonces, al sumar una cantidad infinita de elementos distintos de Z nos aparecerá un elemento de Z que posee un número infinito de cifras. Que existen estos enteros con infinitas cifras lo podemos ver en el siguiente teorema.
2.2.1 Teorema 2.3 (existencia de enteros infinitos)
"Existen enteros que poseen un número infinito de cifras".
Demostración:
Supongamos por un momento que el último de los enteros positivos (o último natural) tiene una cantidad finita n de cifras.
Se tendrá entonces que la expresión dada a continuación es un entero
999…(n nueves). (1)
Sumando en (1) el entero 1 se tiene
1000…(n+1 cifras). (2)
La expresión (2) tiene n+1 cifras por tener n ceros más la cifra 1.
Entonces, la expresión (2) no es un entero porque tiene n+1 cifras.
Pero esto contradice la definición del grupo (Z, +), pues, a un entero finito le hemos sumado un entero finito y se obtuvo un número no entero. Como esta contradicción provino de suponer que el último entero positivo tiene una cantidad n finita de cifras, se concluye que esto es falso y, por tanto, existen enteros con infinitas cifras. (
A los enteros que tienen una cantidad infinita de cifras se les llamará enteros infinitos y se les denotará acá por a(i), b(i), etc., y, ¡ojo!, pertenecen a Z.
2.2.2 ¡Un Racional Irracional!
Sabemos que Euclides demostró que los números primos son infinitos. Esto quiere decir que existen primos con infinitas cifras. Veamos la siguiente razón de dos enteros a la cual llamamos, erróneamente, irracional.
En consecuencia, se tiene que la razón de dos números de Z, la cual es racional por definición, es a la vez irracional, es decir, tenemos lo que se ha titulado ¡un racional irracional!
Ahora bien, sabemos que todas las semisumas que van apareciendo en cada nueva operación son números reales distintos.
2.2.5 Enteros Infinitos Consecutivos
Veamos ahora cómo se obtienen enteros infinitos que difieran en una unidad. Sabemos que si se tiene
3 < 4.
Entonces colocando la misma cifra x a la derecha de cada número se tiene
3x < 4x (por ejemplo, 37 < 47)
Cuando se hayan colocado una cantidad infinita de cifras a la derecha de cada número se tendrá que sigue siendo
3xyz… = a(i) < 4xyz… = b(i)
Ahora coloquémosle cifras a los mismos números 3 y 4 pero por la izquierda. Se tendrá entonces
3 < 4.
x3 < x4 (por ejemplo 23 < 24)
xyz3 < xyz4 (por ejemplo 9723 < 9724)
Obsérvese que siempre se tiene la cantidad de la derecha mayor en una unidad que la de la izquierda.
Cuando se hayan colocado la misma cantidad infinita de cifras a la izquierda de cada uno de estos números, tendremos dos enteros infinitos que difieren en una unidad, es decir, el de la izquierda será a(i) y el de la derecha será a(i) + 1. Teniéndose que siempre será
2.3 Fracciones Racionales Infinitas
Una vez que ya se sabe de la existencia de los enteros infinitos, se puede demostrar que números como 
por ejemplo, poseen una fracción racional infinita; que el logaritmo de un racional cualquiera es racional; etc. Veamos.
2.3.1 Sobre la Fracción Infinita de 
Con estas cinco operaciones de semisumas se está listo para generalizar a n operaciones. Para ello veamos que el denominador siempre es 2n. Al observar los coeficientes en (A), (B), (C), (D) y (E) se tiene que la suma de ellos es siempre igual al denominador. Esto se puede probar de la siguiente manera.
Llamemos a(n) al coeficiente del 1 y b(n) al coeficiente del 2.
Ahora bien, obsérvese que (7) lo podemos escribir
Nota: Decir que n tiende a infinito es decir que se convierte en un natural con infinitas cifras. Pero son muchos los naturales con infinitas cifras. De manera que la operación termina una vez que se tenga un natural infinito cualquiera.
2.3.2 El Logaritmo Natural Como Fracción Infinita
Ahora veremos la forma de obtener el logaritmo natural de un número mayor que uno como fracción racional infinita.
Si a es un número entre 0 y 1 se puede escribir de forma (p / q) y aplicar lo ya visto. Para logaritmos en otras bases se procede de forma análoga.
2.3.3 El Número e Como un Racional
El número e, base de los logaritmos naturales, se puede obtener como una fracción infinita de la siguiente manera.
Continuando de esta manera, cuando n es suficientemente grande, se obtiene a e como una fracción racional infinita. (
Ahora bien, cuando n es suficientemente grande, a e lo llamamos, erróneamente, irracional.
Ya el lector estará suficientemente claro que los llamados números irracionales no son otra cosa que números racionales de fracción generatriz infinita, es decir, fracción generatriz formada por enteros con infinitas cifras. Sin embargo, la definición de racional nos dice que un número es racional si es la razón de dos números de Z, sin importar el tamaño de éstos. Pero los irracionales hasta ahora vistos son razones de dos números de Z. Por lo tanto, amigo lector, ¿sigue pensando que nuestra matemática anda bien?
2.4 Teoremas Que Determinan la Inexistencia de Irracionales
Se presentarán ahora dos teoremas que son contradictorios si se sigue aceptando que los mal llamados irracionales existen.
2.4.1 Teorema 2.4 (Semisumas de a y b que tienden a a)
2.4.2 Teorema 2.5 (infinitas semisumas mixtas)
Definiremos semisuma mixta a la semisuma de un racional y un irracional y es sumamente sencillo probar que
"Toda semisuma mixta es siempre irracional".
Demostración:
Ahora, veamos que los dos teoremas anteriores son contradictorios. Para ello, hagamos b irracional y a racional en el teorema 2.4. Dicho teorema nos asegura que el límite es a (racional). Pero el teorema 2.5 nos dice que este límite no puede ser racional porque ninguna semisuma mixta es racional. Para comprobar que este límite no puede ser racional, analicemos las infinitas semisumas en sentido inverso y veamos que si la última semisuma en el infinito fuese racional se tendría
Así, los dos teoremas son contradictorios si los irracionales existen.
2.4.3 En el Proceso de Semisumas en [a, b] no Quedan Huecos
Al efectuar el proceso de semisumas en [a, b], alguien podría inferir que en dicho intervalo quedan números reales a los cuales no se les puede llegar con el proceso en cuestión. Demostraremos acá que cualquiera que sea el real r([a, b], éste se consigue con el proceso de semisumas.
2.4.4 Teorema 2.6 (1er teorema de la Inexistencia de Irracionales)
Hemos visto una serie de contradicciones acarreadas por la existencia de los números irracionales. Sin embargo, ya estamos preparados para demostrar que dichos números no existen y, por lo tanto, todos los reales son racionales. Enunciemos entonces el primer teorema concluyente de la inexistencia de dichos números.
"En el intervalo [1, 2] no existe ningún número irracional".
Observe el lector que el teorema se ha enunciado para el intervalo [1, 2]. Esto es debido a que todo irracional es de la forma
Por (8) y nuestra hipótesis temporal, se tiene que i es irracional y a la vez racional, lo cual es un absurdo. Como esto provino de suponer que en el intervalo [1, 2] existe un irracional, se concluye que esto es falso y, en consecuencia, los irracionales no existen. (
2.4.5 Teorema 2.7 (2do teorema de la inexistencia de irracionales)
Lo que nos demuestra que los mal llamados irracionales no son más que números racionales de fracción generatriz infinita (numerador y denominador infinitos).
2.4.6 Comprobando los Teoremas 2.6 y 2.7
2.4.7 La raíz enésima 
en el Infinito
Cuando extraemos raíz n de un número cuya raíz enésima no es exacta, se tiene que éste nos da un número de decimales muy grande y solemos decir que nunca terminamos de encontrar decimales en dicha operación. Esto es falso, pues, si pudiésemos trabajar infinitamente la operación, encontraríamos que el residuo es un cero residual. Por lo que en lo transfinito este cero residual se convierte en cero absoluto y, por tanto, la cantidad sería exacta, es decir, la operación termina en lo transfinito.
Un ejemplo sería
Todo lo anterior nos indica que los conjuntos Q y R, como siempre lo afirmó Kronecker (matemático alemán), son equivalentes, es decir, Q = R.
("El buen Dios dio al hombre los números Naturales; el resto ha sido obra suya". L. Kronecker)
CAPÍTULO 3
Los ceros residuales
3.1 Los Símbolos ( y (
El símbolo ( (lemniscata) se usa para indicar que alguna operación continúa indefinidamente o que algún conjunto es infinito. Acá se usará para indicar que un número es entero infinito de la forma a(i), b(i), etc., mientras que en los conjuntos N y Z se usará ( para denotar el valor del último natural. Estos conjuntos se denotarán por
3.2 Orden en los Enteros Infinitos
Los enteros infinitos de la forma n( se ordenarán de la siguiente manera:
3.3 El Cero Absoluto y los Ceros Residuales
Sabemos que el cero absoluto, que acá estamos denotando por 0 o por 0(abs), es el neutro para la adición en N, Z y R.
Entonces, podemos definir cero residual como: la cantidad que tiene como parte entera cero, infinitos ceros después de la coma y un residuo no nulo en el infinito. Y como toda cantidad que tenga cero como parte entera y luego infinitos ceros después de la coma es para nosotros un cero, al no ser el cero absoluto, lo llamaremos cero residual; éstos no son otra cosa que los infinitésimos con los cuales siempre se ha operado en el cálculo.
De esta manera, es un cero residual cualquier número finito dividido entre un entero infinito.
3.3.1 La Respuesta a Berkeley
Cuando el Filósofo y clérigo Irlandés G. Berkeley conoció los trabajos de Newton y Leibniz sobre cálculo diferencial, comentaba que no entendía cómo los grandes matemáticos de entonces aceptaban el famoso cociente
donde el numerador y el denominador se convertían en cero y luego aparecían nuevamente como distintos de cero; esto para Berkeley era un absurdo. Sin embargo, nadie pudo explicarle este hecho el cual se aceptó como uno de los más significantes y misteriosos de la matemática. Si Berkeley viviera hoy, tendría que exclamar: ¡Ahora lo entiendo!
La razón por la cual el cociente
puede tener su numerador y denominador iguales a cero y a la vez diferentes de cero es la existencia de los ceros residuales, los cuales son distintos al cero absoluto. En el capítulo 6 se verá con más detalles todo lo referente a este cociente, con lo que quedará clarificado el misterio que le quitó el sueño a Berkeley.
3.3.2 Infinitos Ceros Residuales
Aún cuando ya se visualiza que los ceros residuales deben ser infinitos, se dará una sencilla demostración de este hecho.
Entonces, por (1) y (3), podemos inferir que existen infinitos ceros residuales. De manera que debe existir un cero residual el cual será el último de todos ellos sin ser el cero absoluto. Esto lo veremos en el siguiente teorema.
3.3.3 Teorema 3.1 (el último cero residual)
Demostración:
Observación: El por qué no se debe multiplicar por 2 en la igualdad (10) se aclarará en el capítulo 5. Por otra parte, el que al último cero residual se le anule al multiplicarlo por un real positivo menor que 1 es lo que da origen a las indeterminaciones (ver capítulo 4).
Sin embargo, lo llamaremos cero absoluto. Lo que nos dice que, tal vez, Santo Tomás de Aquino tenía razón; sólo Dios es absoluto.
3.4 Operaciones con los Ceros Residuales
Con los ceros residuales, por ser estos números reales, se pueden efectuar las operaciones usuales de R; adición, multiplicación, multiplicación por un real finito, división, potenciación y extracción de raíces.
3.4.1 Adición de Ceros Residuales
La adición de un número finito o infinito de ceros residuales es otro cero residual.
3.4.2 Multiplicación de Ceros Residuales
La multiplicación de un número finito de ceros residuales puede ser otro cero residual o el cero absoluto.
3.4.4 División, Potenciación y Radicación de Ceros Residuales
De manera que la potencia de base un cero residual siempre es cero.
En igualdades como A = B, podemos elevar al último cero residual y seguimos teniendo la igualdad. Es decir
3.5 Los Enteros infinitos ka(i) y Sus Factores Primos
En una suma al infinito como la siguiente
. 
Ahora bien, con la suma anterior podemos comprobar que los enteros infinitos son divisibles por un número real cualquiera finito; es decir, ellos contienen a todos los números primos finitos como factores. Veamos algunos ejemplos.
3.6 Existencia de la Razón de Continuidad en R
Veamos la prueba de que el conjunto R posee un número real que representa a la menor distancia que puede separar a dos números reales distintos, r y r".
Ilustremos esto con dos esferitas (canicas) distintas, Ea y Eb (figura 3.1)
Dichas esferas como conjuntos de puntos son disjuntos.
En consecuencia, el enunciado de dicho axioma, así como la definición de puntos consecutivos, deberán ser de la siguiente manera:
Puntos consecutivos: Aquellos que están separados por una distancia igual a la razón de continuidad de los números reales. Es decir, los puntos A y B son consecutivos si, y sólo si, están en contacto.
Axioma de continuidad: "Entre dos puntos distintos no consecutivos A y B, siempre existe otro punto C distinto a ambos".
3.6.1 La Respuesta a Peirce
Lo anterior nos permite responder adecuadamente a la pregunta del matemático Charles Sanders Peirce (USA / 1836 – 1914) sobre qué se hace el punto A en la circunferencia C donde se ha hecho un corte precisamente en dicho punto A (figura 3.2).
En la figura 3.2 se tiene la circunferencia C con el corte en A y la circunferencia Cc donde se ha hecho la separación en el corte. El punto A ha quedado en el segmento que sirve de corte, y en los extremos del corte están los puntos B y C los cuales estaban en contacto con A; uno a cada lado. Por los tres puntos A, B y C, siempre pasa un plano. Luego, el punto A está en dicho plano (recuerde, un punto es nada).
CAPÍTULO 4
El misterio del continuo
4.1 Aclarando el Misterio del Continuo
Al no darle cabida en la matemática a los enteros infinitos y, por consiguiente, a los ceros residuales, hace imposible darle una respuesta matemática a la siguiente paradoja:
Como esta contradicción provino de suponer que después de r está otro número real distinto, se concluye que no existe tal número y, por lo tanto, el conjunto R consta de un único elemento.
Ningún matemático en el mundo ha sido capaz de dar una respuesta matemática a esta paradoja, por tanto, se debe aceptar que estas son las cosas del continuo que no tienen explicación. Sin embargo, al darle cabida en nuestra matemática a los enteros infinitos y, por ende, a los ceros residuales, sí se le puede dar una respuesta satisfactoria a dicha paradoja. Puesto que para que exista la continuidad de los números reales, tiene que suceder, forzosamente, que inmediatamente después de un número real r existe otro real r" distinto de r, al cual se le llamará el siguiente o consecutivo de r, tal que r" – r = rc, siendo rc el menor número real no nulo que se llamará razón de continuidad (sección 3.6).
4.1.1 El Cero Absoluto no es Razón de Continuidad.
Otro hecho que se acepta sin demostración convincente, al no conocer la existencia de los ceros residuales, es el siguiente: al sumarle una cantidad infinita de ceros a un número real cualquiera, r, da como resultado el número real que sigue. Se demostrará acá que esto es falso.
Como la contradicción anterior provino de aceptar que la razón de continuidad es consecuencia de sumar infinitos ceros, se concluye que el cero absoluto, sumado una cantidad infinita de veces, no es razón de continuidad.(
4.1.2 Los Números Transfinitos en las Fracciones Reales
Antes de dar las propiedades que debe cumplir un número para ser la razón de continuidad, recordemos (apartado 2.4.5) que los transfinitos colaboran con el conjunto Z para formar a los números reales. Esto se hará formando todas las fracciones del intervalo (0, 1] que tienen como numerador a la unidad y como denominador un natural; estas son
Así, hemos comprobado, nuevamente, que los enteros transfinitos forman fracciones reales.
4.1.3 La Razón del Continuo (rc)
A estas alturas, ya el lector sabrá cual es el número real al cual se le pueda llamar razón de continuidad. Acá vamos a enunciar las propiedades que debe cumplir dicho número para ser candidato a razón del continuo.
Nos queda por descifrar el porqué la razón del continuo se forma con potencia de base 2 y no con potencia de base otro natural diferente de 2. La razón es la siguiente:
Si [a, b] es un intervalo de longitud la unidad, sólo las semisumas de a y b caen dentro del intervalo, sea cual sea éste. Pero al aplicar tercios, cuartos, quintos, etc., de sumas de a y b, éstas no caen en el intervalo (a, b) si éste es diferente al intervalo [0, 1]. Esto se puede probar de la siguiente manera.
Todo lo anterior nos revela el porqué la base de la razón de continuidad es el número 2 y no otro natural. Sin embargo, esto no quiere decir que si dividimos al intervalo dado en n partes iguales, luego a estas n partes las dividimos nuevamente en n partes iguales, y así sucesivamente, no encontraremos a dicha razón de continuidad.
Es decir, nunca sabremos dónde el proceso se termina.
De esta manera queda aclarado el misterio del continuo.
4.2 La Definición Correcta de Q (= R)
Ya sabemos que los números transfinitos forman fracciones reales. Ahora bien, no todos los transfinitos nos permiten formar a dichas fracciones. En consecuencia, debemos deducir cuáles son los transfinitos que nos permiten este hecho.
4.2.1 El Conjunto T0
4.2.2 Construyendo Números Reales
La construcción de los reales se hará en la misma forma que los racionales, por clases de equivalencias, pues ya se vio que Q = R.
4.2.3 Deducción del Cardinal de R
En este momento estamos listos para calcular el cardinal de R en función de (0. Esto se logra de la siguiente manera:
Primero se determina la cantidad de números reales que existen en el intervalo (0,1].
Nótese que en el conjunto [0,1] hay fracciones que el humano no puede simplificar pero ellas se simplifican por sí mismas. Éstas se denominarán auto-simplificables. Por lo tanto, toda fracción 
es el resultado de la auto-simplificación de una fracción transfinita.
Ahora contamos los intervalos de longitud unidad que existen desde 0 hasta (0 excluyendo de cada uno de ellos el extremo final.
Estos son
Sin embargo, aunque este gran genio de las matemáticas haya tenido este pequeño error, fue el único de entonces que percibió con claridad lo relacionado con el continuo. Y si acá se ha logrado determinar toda la verdad, ha sido gracias a su genialidad.
4.3 Validando la Clausura
Pero como estos números son infinitamente grandes y sólo existen en la abstracción matemática. Entonces, al no poder el humano efectuar una suma que exceda a dichos números, se da por sentado que la clausura siempre es válida en N, Z y R.
4.3.1 El Paso al Límite con ( y (
En las operaciones en las cuales se necesite tomar límite al infinito, es necesario tener presente las siguientes consideraciones:
4.4 La División Por Cero y las Indeterminaciones
4.4.1 La División por Cero
En lo adelante se denotará el cero absoluto como 0 y los residuales por 0(res).
Así, se entenderá que la división por cero es un número transfinito y no tiene existencia como real.
4.4.2 La Indeterminación 
4.4.6 La Indeterminación (0
Para deducir por qué la expresión (0 es una indeterminación se procede de la siguiente manera:
Sea k un real positivo cualquiera diferente a la unidad. Entonces
4.4.7 La Indeterminación 00
El lector podrá comprobar que si el cero de la base es absoluto y el exponente residual, dicha expresión es indeterminación. Si es al contrario, dicha expresión es 1. Como en general no sabemos cuándo estos ceros son absolutos o residuales, entonces 00 es siempre una indeterminación.
4.4.8 La Indeterminación 1(
Para comprobar que la expresión 1( es indeterminación, suponemos a la unidad como cualquier real no nulo elevado al exponente cero. Entonces se tiene
4.4.9 La Indeterminación ( -(
4.4.10 Transformación de Indeterminaciones
CAPÍTULO 5
La razón del continuo en la teoría de límites
5.1 Propiedades de la Razón del Continuo
Veremos ahora cuán útil es la referida razón en la teoría de límites. Para ello, primero deduciremos algunas de las propiedades más importantes de dicha razón de continuidad.
5.1.1 Múltiplos y Divisores de rc
Todo múltiplo de rc es otro cero residual de mayor magnitud que éste; donde se ha llamado magnitud de un cero residual al grado de cercanía al cero absoluto, es decir, mientras más cerca esté del cero absoluto, menor será su magnitud. En efecto, sea n cualquier natural mayor que la unidad.
Entonces se tiene
Lo anterior se ha deducido para múltiplos positivos. Esto se debe a que lo que sucede para los positivos también sucede para los negativos.
5.1.3 Igualdades que Contienen a rc
De lo anterior se tiene que:
I1) "La ley de cancelación por rc, al igual que por 0, no es aplicable". Esto quiere decir que no debemos multiplicar a una igualdad por el inverso de rc si dicha razón está en ambos miembros como factor.
Otra contradicción que surge al operar con rc es la siguiente:
Si en la igualdad k rc = 0, con k ( 0, se multiplica por 
, se obtiene rc = 0, lo cual es falso. Esto se debe a que rc es el último cero residual y, por tanto, opera como el cero absoluto sin serlo. Y al ser multiplicado por cualquier real cuyo valor absoluto sea menor que la unidad se convierte en cero. Una vez anulado, es imposible revertir la operación.
Por lo anterior se tiene:
Con los mismos a, b, n, m anteriores y suponiendo que
De las dos operaciones anteriores se tiene la siguiente propiedad:
I5) "En cocientes de numerador y denominador con más de un término cada uno y alguno de estos términos con rc como factor, no se debe multiplicar a ambos (numerador y denominador) por rc".
5.1.4 Desigualdades que Contienen a rc
5.1.5 La Cancelación por 1/rc
Ya se vio que la ley de cancelación no es aplicable con rc. Ahora veremos que con el inverso de dicha razón sí es aplicable dicha ley.
Sea b un número real. Sea a real no infinito y tal que
5.1.6 La Multiplicación por (1 / rc)
Una igualdad cualquiera se puede multiplicar por el inverso de rc. Para ver que esto es correcto, sean A y B dos reales no nulos cualesquiera tal que
5.1.9 Los Valores de Sin(rc), Cos(rc) y Tan(rc)
Ahora, aplicando la identidad trigonométrica fundamental, se obtiene que
5.1.11
5.1.12 Sumatoria de n partes de rc
Si se desea sumar n partes de rc, primero se deben juntar todas las n partes y luego aplicar, si es necesario, lo visto en 4.2.2. Veamos.
De (2) y (3) se tiene que, en (1), se debe primero sumar todas las partes y luego anular, si es necesario (ver también Nota 2 de 5.2.12).
5.1.13 Teorema 5.1 (del cociente de funciones que se anulan)
Demostración:
Se demostrará, en primer lugar, que para toda función real f(x) continua en un punto c, si f(c) = 0, entonces f(c + rc) es también 0 (o un cero residual infinitamente cercano a 0).
En efecto, sea
Ahora, sean f y g funciones reales continuas en c, tales que se anulan en c y
5.2 Aplicación de rc al Cálculo de Límites de Indeterminaciones
Una vez conocidas las propiedades de rc, y apoyados en el teorema 5.1, así como en las equivalencias de las indeterminaciones, se pueden calcular los límites de algunas de estas indeterminaciones en forma muy sencilla, sin necesidad de recurrir al teorema de L"hopital; para el cual se necesita de la derivación.
Esto no quiere decir que todos los límites de cocientes que originan alguna indeterminación se pueden calcular aplicando el teorema 5.1. Algunas veces dicho teorema, lejos de simplificar el cálculo, lo complicará. En este caso, será el método de L"hopital el más apropiado para resolver el problema en cuestión. Sin embargo, en aquellos casos donde se puedan aplicar ambos métodos es, la mayoría de las veces, preferible el del teorema 5.1.
5.2.1 Ejercicio 1 con Indeterminación
5.2.3 Ejercicio 3 con Indeterminación (.0
5.2.4 Ejercicio 4 con Indeterminación (.0
Calcular
5.2.6 Ejercicio 6 con Indeterminación 00
Calcular
5.2.9 Ejercicio 9 con Indeterminación ( – (
Calcular
5.2.10 Ejercicio 10 con Indeterminación ( – (
Calcular
5.2.12 Ejercicio 12 con Indeterminación 0/0 y 
Calcular
Nota 1: No a todas las funciones dentro del radical será sencillo hallarle la sustitución adecuada. En esos casos es mejor aplicar L"hopital. Por otra parte, el hecho de no tomar el siguiente de 0 en el ejercicio 11 es debido a que con dicho número sigue existiendo la indeterminación, pues, la raíz de 9 + rc es el mismo 3 y quedaría la indeterminación 0 / rc. Como el número que quita la indeterminación es la contraimagen del siguiente de 3, se usó dicho número. De la misma manera se hizo en el ejercicio 12. Finalmente, si en estos últimos ejercicios hubiésemos probado el real anterior a 3 (3 – rc) y anterior a 4 (4 – rc), hubiésemos obtenido igual resultado (compruébelo).
Nota 2: Al resolver le ecuación 3x + 1 = 16 + 8rc, nos dio como resultado x = (8/3)rc. Este resultado debemos tomarlo tal cual como nos da, es decir, sin descomponerlo en la suma 2rc + (2/3)rc = 2rc, porque debemos multiplicarlo por 3. Esto nos indica que números como arc, a > 1, los podemos dividir por un b < a y mantenerlos como (a/b)rc si necesitamos operar con ellos. Por ejemplo, si tenemos 8rc y lo dividimos en tres partes iguales, tendremos (8/3)rc. Al sumarle (10/3)rc, se obtendrá 6rc. Es decir, sólo debemos descomponerlos en c + (d/b)rc cuando necesitemos representarlos en los ejes cartesianos o cuando haya finalizado la operación.
CAPÍTULO 6
La razón del continuo en la derivación
6.1 La Razón de Continuidad en las Funciones Reales
La derivada de una función real, f(x), si existe, es otra función real que se obtiene de hallar la razón entre el incremento de la función f(x) y el incremento de x cada vez que ésta es incrementada en la mínima cantidad.
Donde f"(x) es la derivada de la función f en el punto x. Para la demostración de este hecho se hará uso de las propiedades de rc vistas en el capítulo anterior.
Sabemos que la derivada es la razón entre el incremento de f y el mínimo incremento de x. El mínimo incremento de x es
6.1.2 La Derivada de f(x) a Ambos Lados de x
La derivada, si existe, de f en un punto dado de su dominio, que no sean los extremos, se calcula tanto con el real posterior como con el anterior a x.
6.2 Algunas Fórmulas para Derivadas
Se mostrará ahora cómo calcular las derivadas de las funciones que son el resultado de las operaciones entre funciones elementales, tales como las funciones: suma, producto, recíproca, cociente y compuesta. Esto se hará apoyado en las propiedades de rc ya vistas, sin necesidad de hacer un estudio detallado de la teoría de límites; como sucede en el cálculo tradicional de una variable. Esto alivia al cálculo diferencial de la carga excesiva de rigor.
6.2.1 La Derivada de una Suma
Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo (a, b). Entonces, la derivada de la suma (f + g)(x) en (a, b) viene dada por
6.2.2 La Derivada de un Producto
Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo (a, b). Entonces, la derivada de la función producto (f(g)(x) en (a, b) viene dada por
6.2.3 La Derivada de un Recíproco
6.2.4 La Derivada de un Cociente
6.2.5 La Derivada de una Función Compuesta
6.3 Derivadas de Algunas Funciones Elementales
Ahora se está listo para calcular la derivada de algunas funciones elementales. Esto se hará apoyado en las propiedades de rc y en la sección anterior.
6.3.1 Derivada de una Constante
Para la derivada de la potencia de exponente racional se necesita la derivada de un logaritmo junto con la derivada de una compuesta.
6.3.4 Derivada del Logaritmo de Base A
6.3.6 Derivada de sin(x) y cos(x)
6.3.7 Uso Correcto de rc en la Derivación
Si en (1) anulamos antes de simplificar, entonces, f"(x) = 2x. Lo que es incorrecto. En consecuencia, se deben usar correctamente las fórmulas para derivar (recordar 5.1.12).
6.4 Máximos y Mínimos
6.4.2 Máximos y Mínimos si f"(x) no Existe
Cuando f"(x) no existe, es por dos razones:
6.4.3 Funciones no Constantes que se Anulan en Infinitos Puntos
6.5 El Teorema de L"hopital
En el capítulo anterior se vio cómo calcular algunas indeterminaciones aplicando el teorema 5.1. Sin embargo, en algunas de estas indeterminaciones puede suceder que dicho teorema, lejos de simplificar, complique y, en ese caso, se debe utilizar el teorema de L"hopital. Ahora bien, para la demostración de dicho teorema, en la forma tradicional del cálculo diferencial, se necesita conocer el teorema de Rolle y el del valor medio de Cauchy. No obstante, acá se demostrará dicho teorema apoyados en el teorema 5.1 y en la propiedad de la imagen de f(x + rc) de las funciones derivables.
6.5.1 Teorema de L"hopital para la Indeterminación
6.5.2 Teorema de L"hopital para la Indeterminación 
Sean f y g dos funciones derivables en un punto c de su dominio común y tales que
Al aplicar límite en (3) se obtiene, por ser F y G derivables en c
6.6 Sobre Derivadas de Orden Superior
Ya sabemos cómo obtener la derivada f" de f. A esta derivada se le llama derivada de f de primer orden. Ahora bien, puede suceder que f" sea también función de x y derivable en algún intervalo (a, b). En consecuencia, [f"(x)]" existe y se le llama segunda derivada o derivada de orden 2. Siendo esto así, veamos algunas consecuencias.
6.6.1 Cociente de Cocientes con rc
6.6.2 f""(x) Cuando f"(x) es Cero
Este hecho nos permite utilizar la segunda derivada de f, si existe, para estudiar sus puntos críticos.
Nota: Para saber cuál es la notación apropiada para f"(x0) en la determinación de la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x0, se procede de la siguiente manera, sabiendo que rc es incremento positivo. La ecuación de la recta tangente en x0 es:
6.6.3 Los Puntos Críticos de f y la Derivada f""
De igual forma se prueba la condición de mínimo.
Al igual que en el caso unidimensional, la existencia de las parciales (A) y (B) implica la continuidad en cada variable separadamente.
6.7.2 Igualdad de las Derivadas Mixtas
Se mostrará ahora lo sencillo que es demostrar el teorema sobre "la igualdad de las parciales mixtas".
6.7.3 Diferenciabilidad Total Implica Continuidad
6.8 La Derivación Compleja con rc
Con la razón de continuidad también es sencillo derivar funciones de variable compleja. La aplicación es idéntica al caso unidimensional, sólo que acá se usa también una razón compleja para la variable y en la obtención de las ecuaciones de Cauchy-Rieman.
6.8.1 La Derivada de f(z)
6.8.2 Ecuaciones de Cauchy-Rieman
6.9 Analogías Entre dx y rc
Se concluye este capítulo haciendo una comparación entre el rc deducido en este trabajo y el dx utilizado tradicionalmente en nuestro cálculo diferencial.
Observe el lector la secuencia seguida en el cálculo tradicional:
Por todo lo anterior, ¿cuál es la diferencia entre el cálculo diferencial tradicional y el cálculo diferencial presentado en este trabajo, si se tiene que dx = rc? Ninguna; pero en esta nueva forma de presentar el cálculo diferencial de una sola variable existen muchas ventajas con respecto a la tradicional.
CAPÍTULO 7
Marcando errores
7.1 Demostraciones Erróneas
En esta sección se presentarán algunas demostraciones erróneas. Estos errores han pasado desapercibidos durante todo este tiempo. La causa de ello es que los matemáticos no son (casi nunca) dados a analizar aquellos detalles que aparentemente son demasiado sencillos, prefiriendo analizar los detalles que les parecen más complejos. En el presente estudio a estas demostraciones se darán a conocer los simples detalles donde hubo el error de cada una.
7.1.1 La Demostración de Irracionalidad de ( es Errónea
De tal manera que la expresión (2 an fn(x) sen((x) no permanece entre 0 y 1 en todo el intervalo [0,1] si a ( 4n. Por consiguiente, no es aplicable la propiedad de las integrales referidas anteriormente y, por ende, la demostración es errónea.
El error en la demostración anterior ya se había perpetrado al demostrarse que
7.1.2 La Demostración de Irracionalidad de e es Errónea
Otra demostración acá cuestionada es la de la irracionalidad del número e. Veamos por qué dicha demostración es errónea.
La demostración es como sigue:
De todo lo anterior se desprende que la demostración en cuestión es errónea.
7.2 Correcciones a la Teoría de Funciones
Una teoría como la de funciones reales con tan variadas aplicaciones en la vida diaria no debe contener absurdos. Por tanto, se presenta en esta sección una forma de corregir algunos inconvenientes que se presentan en dicha teoría a consecuencia de la razón del continuo.
Por todo lo anterior, el criterio de inyectividad que acá se alude es aplicable sólo cuando el dominio no es un conjunto de números reales. Cuando dicho dominio sea R o un subconjunto de éste se debe aplicar el criterio de la derivada el cual veremos enseguida.
7.2.2 El Criterio de Inyectividad de la Derivada
7.2.3 Un Criterio de Inyectividad y Sobreyectividad a la Vez
Ya vimos que para toda función f, si (f"(c)(< 1, entonces f no es inyectiva en los alrededores de c. Sin embargo, en este criterio se necesita calcular la derivada de f y resolver una inecuación (o un sistema de inecuaciones) que en algunos casos resultará muy laborioso. Veremos ahora un criterio que nos permite inferir la inyectividad y la sobreyectividad a la vez sin necesidad de efectuar cálculos complicados; tan sólo se necesita darle dos valores distintos a la variable x y obtener dos valores de f(x). Este criterio, que acá se denominará "IN-SO", se fundamenta en los teoremas del capítulo 1.
Criterio de Inyectividad y Sobreyectividad "IN-SO"
7.2.4 La Sobreyectividad Implica Continuidad en el Rango
Cuando se estudia la continuidad de una función f en un intervalo [a, b], se dice que si ésta es continua en [a, b] todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b) son imágenes de algún x((a, b) . Veamos acá que esto es erróneo cuando f es inyectiva y no sobreyectiva, revisando el ejemplo dado en el apartado anterior.
El rango para dicho intervalo es [0; 2,4] y, por el criterio IN-SO, f es inyectiva y no sobreyectiva en [1; 1,5]. Esto nos indica que en [0; 2,4] existen reales que no son imagen de ningún real del intervalo [1; 1,5]. En consecuencia, en el gráfico de f perteneciente a este intervalo deberían existir vacíos (discontinuidades) ocasionadas por la discontinuidad en el rango. Por todo lo anterior, la sobreyectividad es la que implica la continuidad, y por tanto, un trazado continuo en la gráfica; no así la inyectividad sin sobreyectividad. Sin embargo, el humano nunca apreciará los vacíos o discontinuidades que deberían existir en el gráfico de una función, cuando ésta es inyectiva y no sobreyectiva (in-no-so) en algún intervalo. Esto, por la propiedad de dilatación de los puntos a la cual nos referimos en el capítulo 1.
7.2.5 La Sobreyectividad y la Continuidad Uniforme
Si llamamos función continua en [a, b] a cualquier función que esté definida en dicho intervalo sin importarnos si es in-no-so o so-no-in, entonces, podemos demostrar que cuando f es inyectiva y no sobreyectiva (in-no-so) se da lo que se ha llamado continuidad no uniforme. Es decir, si (f"(x)(>1 para todo x en algún intervalo (a, b), entonces f no es uniformemente continua en dicho intervalo. Esto lo veremos en el siguiente teorema.
Teorema sobre la continuidad uniforme:
Nótese que, por el teorema anterior, la función sen(x) es uniformemente continua en todo R, ya que [sen(x)]" = cos(x) y (cos(x)(( 1 para todo x de R. Igual sucede con la función cos(x).
7.2.6 ¿Porqué es Correcto el Cálculo Integral?
Según la definición de integrabilidad, una función f es integrable en [a, b] si es continua en todo el intervalo. Esto exige que la gráfica de f no tenga huecos o interrupciones. Siendo esto así, ¿por qué la integrabilidad funciona bien si en [a, b] f puede estar bien definida y, sin embargo, tener huecos o vacíos en el trazado de su gráfica, según lo visto en el apartado 7.2.4? La respuesta a esta interrogante es:
1) La cantidad finita o infinita de huecos o vacíos que ocasionan la discontinuidad en el rango no son notados por el ojo humano porque cada real es un punto, y éstos no tienen dimensión.
2) En todo el trazado de la gráfica están representados todos los puntos del dominio, y si la longitud del trazado es mayor que la longitud del intervalo en cuestión, es porque cada punto tiene la propiedad de dilatación a la cual ya nos referimos en el capítulo 1.
3) Lo que exige la integrabilidad es que f esté definida en todo el intervalo a integrar; en consecuencia, no se necesita que f sea uniformemente continua para su integración en un intervalo donde esté bien definida. Por consiguiente, f será siempre integrable siendo inyectiva y no sobreyectiva o viceversa.
Las tres razones anteriores permiten que el hombre pueda aplicar el cálculo integral a cualquier curva real sin ningún inconveniente, aplicando las reglas ya establecidas de continuidad, y obteniendo sus resultados correctos.
7.3 Dilatación y Contracción de los Puntos en Funciones Reales
En la sección anterior se vio que la dilatación y contracción de los puntos originan algunos inconvenientes en el cálculo con funciones reales. Acá se explicará con más detalles estos inconvenientes y cómo ellos mismos se superan sin que nos demos cuenta de nada.
7.3.1 Ubicación de los f(x) en el Eje Y
La propiedad de contracción o dilatación de los puntos nos ocasiona algunas dificultades cuando operamos con dos o más reales infinitamente próximos. Veamos esto con un ejemplo.
Lo anterior tiene su lógica, pues, cada vez que los puntos de un intervalo menor se corresponden con los puntos de un intervalo mayor (o viceversa), éstos se ven obligados a dilatarse (contraerse) y, por tanto, esto también le sucede a los números que dichos puntos representan.
Todo esto nos muestra las series de dificultades que aparecen al operar con las imágenes de dos reales que estén infinitamente próximos. Dificultades que los mismos números superan sin que nos percatemos de nada, gracias a la propiedad ya mencionada.
7.3.2 ¿Porqué la Biyectividad en Funciones Reales?
Ya vimos que cuando una función es in-no-so, existen números reales en el rango que no son imágenes de ningún real del dominio. Por lo tanto, no debería existir la función inversa para una tal función. Sin embargo, cuando para cada real f(x)(f(A), f(x) tiene una sola contraimagen, existe la función inversa f –1 en todo f([a, b]), ya que cualquiera que sea el número real k que esté entre f(a) y f(b), y para el cual no existe x([a, b] tal que f(x) = k, no es tomado en cuenta al aplicar la función inversa a cada uno de los reales de f([a,b]). Ahora bien, cuando el intervalo [f(a),f(b)] es trasladado al eje X, también en este eje existe k ([f(a), f(b)]. En consecuencia, f -1 tendrá que darle una imagen a k. Por lo tanto, f -1(k) será igual a f -1(c), siendo c y k dos reales que están infinitamente cerca. Así, si f es in-no-so en [a, b], entonces, f -1 será so-no-in en el rango [f(a), f(b)].
Lo anterior nos indica que la biyectividad en el continuo no es una biyectividad tal como en el caso de conjuntos discretos. Pues, ha quedado claro que no puede existir una función, diferente a la función afín, para la cual exista una biyección algebraica, es decir, una biyección donde cada elemento del codominio se corresponda con uno, y sólo uno, del dominio. Sin embargo, existen dichas biyecciones, o por lo menos así lo notan nuestros sentidos, gracias a la dilatación o contracción de los puntos.
7.4 El Teorema del Valor Intermedio y su Demostración
El teorema del valor intermedio nos asegura que si f es continua en [a, b] y d es un número que está entre f(a) y f(b), entonces, existe x([a, b] tal que f(x) = d. Esto es verdad, gracias a la dilatación o contracción de los puntos, pero las demostraciones de dicho teorema son erróneas. Veamos por qué.
7.4.1 Primera Demostración Errónea
Una de las demostraciones que dan algunos autores es la siguiente:
Esta es la belleza intrínseca que poseen los reales; belleza que es debida a la propiedad de contracción y dilatación de los puntos unido a la razón del continuo.
7.4.2 Segunda Demostración Errónea
Otros autores demuestran al teorema en cuestión de la siguiente manera:
De lo anterior se tiene que al tratar de demostrar el teorema del valor intermedio utilizando a Bolzano, el cual es una consecuencia del valor intermedio, le tendemos una trampa a la matemática igual que al demostrar la irracionalidad de e.
7.4.3 ¿Por qué es Verdadero el Teorema del Valor Intermedio?
Ya hemos visto que las demostraciones del teorema del valor intermedio son erróneas. Sin embargo, dicho teorema es verdadero. Y esta verdad es gracias a la dilatación o contracción de los puntos y a la propiedad de la razón del continuo de actuar como el cero absoluto en los casos en que existe dilatación o contracción. Expliquemos esto bien, razonadamente.
7.4.4 Cómo Demostrar el Teorema
Veamos cómo demostrar el teorema del valor intermedio.
De esta manera, la dilatación o contracción de los puntos, así como la propiedad de rc de comportarse como el cero absoluto cuando es necesario, permite la existencia de la biyectividad en aquellas funciones reales diferentes a la función afín f(x) = ±x + c.
Todo lo anterior nos indica que la teoría de funciones se comporta de una forma bastante distinta en los conjuntos continuos que en los conjuntos discretos. Puesto que en estos conjuntos discretos, la condición suficiente y necesaria para que exista biyectividad es que ellos tengan igual cardinalidad, mientras que en los continuos no ocurre así; como se ha puesto de manifiesto en este capítulo.
7.4.5 Funciones Discretas y Continuas
Para internalizar mejor lo que sucede con las funciones entre conjuntos discretos y entre el continuo, las cuales acá llamaremos funciones discretas y continuas respectivamente,
De todo lo anterior se tiene que cuando nos quitamos el velo de nuestros ojos y perdemos el pánico que le tenemos al infinito, dándole símbolos a nuestro último natural, así como a nuestro último real, descubrimos el gran misterio que se oculta en los números reales. Tal vez esta fue la gran dificultad con la cual tropezó Cantor al tratar de demostrar la inexistente verdad de su hipótesis del continuo.
Así, queda claro que el trazado de gráficas de funciones reales es ininterrumpido gracias a la propiedad ya aludida de los puntos. También queda suficientemente claro que todo proceso continuo no es más que la refinación extrema de un proceso discreto.
7.4.6 A manera de Conclusión
Todo lo visto hasta ahora nos obliga a concluir lo siguiente:
1) El conjunto R a pesar de ser ordenado, contiene dentro de él al caos (operaciones con reales infinitamente próximos. Números distintos que se ubican en la misma posición).
2) Del caos que producen los reales infinitamente cerca se deriva un ordenamiento maravilloso
3) Un proceso continuo no es más que la refinación al extremo de un proceso discreto. He allí la teoría de los fractales, donde algunos procesos que comienzan siendo discretos se convierten en continuos al hacerlos indefinidamente.
4) Ahora sabemos que si dos objetos están en contacto, entonces están separados por la mínima distancia (rc), y no por una distancia igual a cero; como se pensaba antes.
5) Tal vez conocer la razón del continuo sirva de soporte en el estudio de algunas otras teorías matemáticas.
6) Estudiar el cálculo usando la razón de continuidad no perjudica dicha teoría sino, todo lo contrario, la embellece y la agiliza.
7) Si alguien se preguntara ¿cómo es posible que exista la razón de continuidad siendo R compacto? La respuesta sería: la razón de continuidad, rc, es para R como la unidad imaginaria, i, es para C. Es decir, dicha razón de continuidad existe sólo en la imaginación del matemático; así como la unidad imaginaria. Y la razón lógica de la existencia de rc e i es que el punto geométrico, génesis del universo, existe sólo en la imaginación del hombre, pues, dicho punto no tiene existencia real.
CAPÍTULO 8
Fin de las geometrías no euclidianas
8.1 Unicidad de la Recta que Pasa por Dos Puntos
Se presentará en esta primera sección de este capítulo la demostración del postulado de unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos.
Se supone conocido por el lector todo lo relacionado con rectas, puntos, planos y espacio, así como puntos colineales y coplanarios.
8.1.1 Postulados de Incidencia
Los primeros cuatro postulados que dan nacimiento a toda geometría que trate de rectas y planos en el espacio son los siguientes:
Postulado 1 (de los dos puntos distintos)
Por dos puntos distintos cualesquiera pasa una recta.
Obsérvese que acá no se está postulando la unicidad de dicha recta. Esto es porque la unicidad es demostrable a partir de los demás postulados de incidencia.
Postulado 2 (de la cantidad mínima de puntos)
a) Toda recta contiene al menos dos puntos distintos.
b) El plano contiene al menos tres puntos distintos no colineales.
c) El espacio contiene al menos cuatro puntos distintos no coplanarios.
Postulado 3 (de los tres puntos distintos)
Para cada tres puntos distintos existe al menos un plano que los contiene.
Postulado 4 (de la recta en el plano)
Toda recta que tiene dos de sus puntos en un plano, está contenida totalmente en dicho plano.
Para la demostración de unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos sólo se necesitan los siguientes dos teoremas.
8.1.2 Teorema 8.1 (el plano que contiene a r y no a s)
Si dos rectas se intersecan en algún punto (por postulado 1 y postulado 2 parte b, lo hacen), entonces existe al menos un plano que contiene a una pero no a la otra.
Demostración:
Ahora se está en condiciones de demostrar que si dos rectas se intersecan en algún punto, éste es único.
8.1.3 Teorema 8.2 (intersección de dos rectas)
Si dos rectas se intersecan en algún punto, éste es único.
Demostración:
Sean r y s dos rectas distintas y supongamos que se intersecan en algún punto A. Entonces
Ahora, como corolario de este teorema 8.2, se tiene
Corolario 8.2.1
La recta que pasa por dos puntos distintos es única.
En efecto, si por dos puntos distintos pasaran dos rectas distintas, éstas se estarían intersecando en dos puntos distintos, lo que contradiría al teorema anterior. Así, la recta que pasa por dos puntos distintos es única. (
8.1.4 Consecuencias del Teorema 8.2
La consecuencia directa del teorema 8.2 es la desaparición de la geometría elíptica como tal; pasando a ser sólo el estudio de las geodésicas de una esfera. Veamos el porqué.
El plano para la geometría elíptica es la esfera y en ésta los grandes círculos son las rectas. Según los postulados de esta geometría, por dos puntos distintos pasa al menos una recta. Además, existen pares de puntos en el plano de dicha geometría por los cuales pasa más de una recta. Estos son los puntos conocidos como antípodas. Sin embargo, en los cinco postulados que dan nacimiento a dicha geometría, están implícitos los cuatro postulados de incidencia; pues sin éstos, es imposible el nacimiento de geometría alguna.
Ahora bien, al demostrarse que por dos puntos distintos no puede pasar más de una recta, entonces esta geometría no es una geometría de líneas rectas, sino la aplicación de la geometría euclidiana, con algunas restricciones, al estudio de las geodésicas de la esfera; que es como se le debe tener.
De esta manera, queda esclarecido el porqué Beltrami y Klein dedujeron que las geometrías no euclidianas eran consistentes si la euclidiana lo era, puesto que dichas geometrías (las no euclidianas) no son más que aplicaciones de aquella.
8.2 El Teorema de las Paralelas
El teorema de las paralelas o quinto postulado de Euclides en su forma de Playfair (físico y matemático escocés) se enuncia así:
"Por un punto exterior a una recta r pasa una única paralela a r".
En la enunciación (sin demostración) de los teoremas a continuación, se supone que el lector conoce todo lo concerniente a paralelismo y perpendicularidad, así como la congruencia de triángulos.
Para el teorema de las paralelas se necesitan los siguientes teoremas preliminares.
8.2.1 Teorema 8.3 (perpendicular no común a dos rectas)
Las demostraciones de todos los teoremas que se enunciarán acá están detalladas en el libro "Los fundamentos de la geometría" (Liberación de la geometría del postulado de las paralelas, registro SAPI # 4923) del autor.
8.2.2 Teorema 8.4 (rectas sin perpendicular común)
"Sean r, s y t rectas en un plano tales que s es secante a r y a t con s perpendicular a t en B0 pero no perpendicular a r en el punto de corte A0; además, toda perpendicular a r corta a t y toda perpendicular a t corta a r. Entonces, no existe ninguna recta que sea perpendicular tanto a t como a r".
La figura 8.2 ilustra la situación general.
Ahora, se definen paralelas cap a dos rectas en un plano paralelas y cortadas ambas perpendicularmente por una secante s. Es fácil determinar que, en dos de tales rectas, cada perpendicular a una corta a la otra. En consecuencia, es fácil probar el siguiente teorema.
8.2.3 Teorema 8.5 (la perpendicular común)
"En un plano, si r y t son paralelas cap y una recta u es perpendicular a una de ellas, también es perpendicular a la otra".
Este teorema fue el que muchos matemáticos del pasado trataron de probar inútilmente. De haber podido demostrar este teorema, hubiesen demostrado el postulado de las paralelas. La figura 8.3 ilustra la situación general.
En la figura 8.3 se tiene que s corta perpendicularmente a r y t. Por lo tanto, r y t son paralelas cap. La recta u es perpendicular a t en B. Es fácil probar, con base en los teoremas anteriores, que u también es perpendicular a r en A (si no lo fuera, aplique el teorema 8.4).
Demostrados los tres teoremas anteriores también lo está el postulado de las paralelas. Ahora, veamos lo sencillo que es demostrar el teorema de la suma de los tres ángulos internos de un triángulo; con base en el siguiente teorema.
8.2.4 Teorema 8.6 (secante a dos paralelas)
"En un plano, la secante a dos paralelas cap forma con éstas ángulos alternos internos congruentes".
La figura 8.4 ilustra la situación general.
8.2.5 Teorema 8.7 (los ángulos internos de un triángulo)
"La suma de la medida de los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es igual a 180º".
La figura 8.5 ilustra la situación general.
El teorema anterior también es equivalente al postulado de las paralelas. Así, queda demostrado que el postulado de las paralelas era dependiente de los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana.
8.2.6 Consecuencias del Teorema de las Paralelas
Al igual que el teorema de unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos, el teorema de las paralelas arroja fuera del ámbito matemático a la geometría hiperbólica como geometría de líneas rectas, quedando, al igual que la elíptica, como una aplicación de la geometría euclidiana al estudio de las geodésicas de la seudoesfera. Así, las geometrías no euclidianas llegan a su fin como geometrías de líneas rectas y quedan sólo como aplicaciones de la euclidiana.
8.3 El Verdadero Plano de la Geometría Euclidiana
Se probará en esta sección que el verdadero plano euclidiano es la superficie de una esfera cuyo radio es r = (, siendo ( el último número real. Para ello vasta demostrar que dos paralelas cualesquiera se intersecan en el infinito por ambos lados.
8.3.1 Teorema 8.8 (paralelas secantes en el infinito)
Dos paralelas cualesquiera se cortan en el infinito en sus extremos.
Demostración:
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