Hacia una Matemática sin Contradicciones

Prefacio

En el capítulo primero de su libro "Grandes Matemáticos", nos dice E. T. Bell que "cuando algo nuevo se estudia por primera vez, los detalles parecen numerosos y confusos, y no queda fijada en la mente una impresión lógica del conjunto. Después de un tiempo insistamos en el estudio y encontraremos que todo ha ido ocupando un lugar según su importancia, igual que cuando se revela una placa fotográfica". Esto es, tal vez, lo que le podría ocurrir al lector que por primera vez lea este pequeño trabajo. Sin embargo, sé que al repasar nuevamente cada capítulo entenderá la gran verdad que subyace en él.

Según la mayoría de los matemáticos, ha sido la razón (o la sin razón) de ser del infinito lo que ha creado la maraña en la cual ha estado inmersa la matemática. Pero, aunque es el infinito el que le da razón de ser a este trabajo, no se entrará en detalles sobre la naturaleza de este concepto. Si bien la mayor parte de las contradicciones que se tratará de corregir en esta obra son debidas al aludido concepto, sólo se tomará dicha noción como alguna operación que se efectúa indefinidamente. Esbocemos, pues, muy someramente, algunas de esas contradicciones que acá se analizarán.

En el capítulo 1 se presenta una serie de teoremas que nos demuestran que la hipótesis del continuo de G. Cantor es una falsedad muy bien disfrazada; sin ninguna intención por parte de su autor, se supone. Tal vez el no poder demostrar la falsedad de esta hipótesis fue el hecho de trabajar cada función con dos conjuntos distintos. Esto hace sumamente difícil dicha demostración. Sin embargo, para toda función f: A(B, existe en B un subconjunto el cual permite demostrar, con suma facilidad, que la referida hipótesis es falsa; ese subconjunto es el conjunto f(A).

Una contradicción en la cual parece que nadie se fija nunca es la generada por la propiedad de ser cerradas las leyes de composición internas de un grupo. Decimos que si a dos elementos de un grupo con infinitos elementos, le aplicamos la ley de composición, para la cual es un grupo, el resultado siempre es un elemento de dicho grupo.

Esto se puede apreciar en la igualdad

Esta contradicción se corrige en el capítulo 2, donde se demuestra que los números irracionales no existen, es decir, todos los reales son racionales.

Por todos es conocido que el conjunto Z de números enteros tiene infinitos elementos. Sin embargo, cuando un natural tiene un número infinito de cifras, entonces lo tomamos como algo que no pertenece a Z. Es decir, a los elementos de Z no los aceptamos cuando tienen infinitas cifras por el sólo hecho de que no los podemos manipular. En el capítulo 2 se da una prueba de que existen enteros con infinitas cifras. También en este capítulo se demuestra que los irracionales son racionales de fracción generatriz infinita.

En el capítulo 3, se estudian los ceros residuales, los cuales son generados por la división de un entero finito entre uno infinito. Estos ceros residuales son los que siempre hemos llamado infinitésimos. También acá se prueba la existencia de la menor distancia que separa a dos reales distintos, r y r", la cual no es cero sino un cero residual.

A la expresión

En el capítulo 5 se muestra una aplicación de la razón del continuo en el cálculo de límites en algunas indeterminaciones; haciendo uso de algunas propiedades de dicha razón.

En el capítulo 6 se da una forma diferente de presentar la diferenciación y se muestra cómo utilizar la razón del continuo correctamente en este tópico. Asimismo, se exponen algunas de las ventajas que se obtienen al utilizar dicha razón de continuidad en la derivación, tanto en funciones de una variable como en funciones de dos o más variables.

En el capítulo 7 se prueba que algunas demostraciones que se han aceptado como buenas e ingeniosas son erróneas. Tal es el caso de la demostración de irracionalidad del número ( e igualmente la del número e. También se demuestra en este capítulo, el cual se ha llamado marcando (señalando) errores, que el criterio de inyectividad comúnmente conocido y la definición de continuidad, así como otros tópicos, son erróneos cuando se trata de funciones reales.

En el capítulo 8 se presenta lo que se ha definido como el fin de las geometrías no euclidianas. Ya que en este capítulo se demuestra la unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos con base en los cuatro postulados de incidencia. Postulados éstos que son el génesis de toda geometría que trate de puntos y rectas. Además, se presenta en este capítulo el postulado de las paralelas como un sencillo teorema de la geometría euclidiana, y se demuestra que el plano euclidiano es la superficie de una esfera infinita.