Sean r y s dos rectas paralelas cualesquiera. La figura 8.6 ilustra la situación general.
CAPÍTULO 9
Los tres problemas clásicos de la geometría
9.1 El Caos Geométrico-Algebraico
Ya se vio (capitulo 7) cómo aparece el caos en la teoría de funciones reales por causa de la razón del continuo; el cual no notamos por la dilatación o contracción de los puntos. Ahora se verá cómo dicha razón es la causa del caos en la geometría, al realizar construcciones con regla y compás. En lo adelante, regla y compás se abreviará por re-com.
Antes de enunciar el teorema que demuestra cómo aparece el caos en los cálculos algebraicos de las longitudes de segmentos obtenidos con re-com, es necesario inferir que si un número x es constructible con re-com, entonces, cualquier potencia de x es también constructible con dichos instrumentos, utilizando un procedimiento debido a Rodolfo Nieves, matemático auto didacta de Cojedes (Venezuela); que veremos más adelante.
Ahora bien, como todo real x es el siguiente de otro real y, se tiene que x = y + rc. Como la regla y el compás no determinan la posición de y ni de rc, entonces con re-com se obtiene el cuadrado geométrico de x en la forma xx = x2. Como el cuadrado algebraico de x en función de y es x2 = y2 + 2yrc, entonces, no tenemos más que aceptar que tanto el cuadrado geométrico de x como el algebraico coinciden, ya que en (y + rc)2, el término rc2 es nulo. De igual manera se puede probar que cualquier potencia par geométrica de x coincide con la potencia par algebraica, como veremos enseguida.
9.1.1 Potencias Pares Geométricas y Algebraicas
Para demostrar que las potencias pares geométricas y algebraicas coinciden, partimos del hecho que en la potencia dos ambas son iguales y que, para elevar a la potencia n, primero se eleva a la potencia dos, luego a la tres, etc.
Observación: Cuando se dice que coinciden (iguales geométrica y algebraicamente) se está queriendo decir que los cálculos algebraicos con valores de ángulos notables y sus derivados (valores deducidos utilizando la circunferencia trigonométrica), y los cálculos con valores de ángulos productos de una n sección (n ( 3) son iguales.
9.1.2 Teorema 9.1 (potencias impares geométricas y algebraicas)
La n-ésima potencia geométrica de algunos reales x es un poco mayor que la n-ésima potencia algebraica de dichos números cuando n es impar mayor o igual que tres.
Así, la raíz n-ésima geométrica de x (si no es exacta) será un poco mayor que la raíz n-ésima algebraica (en términos numéricos) de dicho número si n es impar. Esto, que acá se denominará el caos geométrico-algebraico, fue lo que hizo imposible a los matemáticos del pasado que lograran la solución de los tres problemas clásicos de la geometría.
9.2 El Método para la Potenciación Geométrica
A continuación, veremos el método para elevar a la potencia n a cualquier segmento que determinemos sobre los ejes coordenados (X, Y) con una unidad fijada de antemano. Dicho método, como se dijo anteriormente, pertenece a Rodolfo Nieves (Tinaco-Cojedes).
En la figura 9.1 se tienen los dos ejes coordenados (X, Y). En ellos se ha determinado la unidad y se ha tomado al azar un punto x sobre el eje X.
En el triángulo ABC rectángulo en B se tiene que 0B = x y 0A = 1. Entonces, por Euclides se tiene
Pero, ¿qué es lo novedoso de este cuadrilátero? (o mejor deberíamos llamarlo ene-látero). Lo novedoso de dicho método es que refuerza lo estudiado en el capítulo 2 sobre la racionalidad de todos los números reales. Puesto que los teoremas sobre extensiones algebraicas de campos nos dicen que un número tomado al azar del eje X no puede ser elevado a una potencia impar mayor que tres.
En efecto, si dicho número tomado al azar fuese 
por ejemplo, al elevarlo a la 3 se tendría construido con re-com el número 
el cual, según la teoría de extensiones algebraica de campos, no es constructible. De tal manera que todos los teoremas de la referida teoría, que se fundamentan en la existencia de irracionales, deben ser revisados minuciosamente para ver qué se aprovecha de ellos y qué se desecha.
9.3 Trisección de un Ángulo Cualquiera
La trisección de un ángulo cualquiera (división de un ángulo en tres ángulos iguales), la duplicación de un cubo (obtención de un cubo de volumen doble a uno dado) y la cuadratura de un círculo (obtención de un círculo de área igual a la de un cuadrado dado) es lo que se conoce como los tres problemas clásicos de la geometría, los cuales deben ser resueltos con sólo la regla (sin marcas) y el compás. En esta sección veremos la trisección de un ángulo arbitrario.
9.3.1 Deducción del Método para la Trisección de un Ángulo
En las figuras 9.2.a y 9.2.b se tiene
Lo deducido para ( y (" sucede para cualesquiera que sean dichos ángulos. Para terminar de deducir el método utilicemos las figuras 9.3.a y 9.3.b.
De todo lo anterior se tiene que el eneágono (o nonágono) regular sí es constructible con re-com. Ahora bien, ¿significa esto que el príncipe de las matemáticas, F. Gauss, se equivocó en su teorema de constructibilidad? De ninguna manera, Gauss nunca demostró que su teorema fuese condición necesaria, sólo que era condición suficiente.
9.3.2 Método para la Trisección de un Ángulo
9.3.3 Comprobación del Teorema 9.1 en la Trisección General
De lo anterior se tiene
En el triángulo OMF se tiene, por la ley del seno, que
Para saber con qué signo tomar el radical en (14), se hace la suposición que
Es decir, el teorema 9.1 nos asegura que el segmento EF será un poco menor (algebraicamente) que MB. Sin embargo, geométricamente EF = MB.
Para concluir la prueba de que nuestro método es correcto y que EF = MB, usemos la razón de continuidad para dar una demostración algebraica de que las diferencias entre EF y MB valen siempre cero. Veamos.
Por (10), las diferencias son constantes. Para saber el valor de esta constante, sustituimos ( por 90º (con lo cual ( = 30º, por la fig.9.3.b) y se tiene: Sen( – 2Sen( = 0. Así, las diferencias entre los segmentos EF y MB son nulas para todo ángulo entre 0º y 180º y, por tanto, las diferencias que se obtienen al hacer cálculos son debidas al caos geométrico-algebraico que ya nos profetizó el teorema 9.1.
9.4 Sobre la Duplicación y la Cuadratura
Se mostrará acá la verdadera causa por la cual es imposible la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo con sólo la regla y el compás, sin apelar a los teoremas de la teoría de Galois; los cuales ya vimos que deben ser revisados.
9.4.1 Imposibilidad de la Duplicación
9.4.2 Imposibilidad de la Cuadratura
Por otra parte, el valor obtenido, geométrico, no coincidiría con el valor algebraico (teorema 9.1), porque cada término elevado a una potencia impar en la serie anterior es, algebraicamente, menor que su valor geométrico; se tendría así una contradicción. En consecuencia, no es posible realizar con re-com la cuadratura de un círculo.
9.5 La Exacta Construcción del Nonágono Regular
Con el método de la trisección de un ángulo arbitrario aplicada al ángulo de 120º podemos construir, de una manera muy sencilla, el nonágono regular. Pero, cómo es que los matemáticos del pasado no descubrieron este hecho. La respuesta es: Dios sabe lo que hace y cuándo debe hacerlo. Si alguien en el siglo XIX hubiese descubierto esto, sin conocer la naturaleza del número real (razón de continuidad de R) y con los teoremas de extensiones algebraicas de cuerpos en todo su apogeo, el griterío de los beocios (como diría Gauss) hubiese sido ensordecedor; y las matemáticas habrían sufrido una grave crisis. Además, Todo el que descubría algún método para trisecar, se desengañaba al aplicar trigonometría y efectuar sus cálculos. Sabe Dios cuál de los tan numerosos métodos para trisecar aparecidos durante todo este tiempo será también, geométricamente, exacto.
9.5.1 Método para Construir el Nonágono Regular
Sea dada la circunferencia de centro O (figura 9.6).
– Trace el diámetro AB y prolónguese por A.
– Con centro en B y abertura de compás OB, determine los puntos 3 y 6, sobre la circunferencia.
– Trace el segmento 63 y determine el punto M sobre AB.
– Lleve, a partir de M, el radio OB y determine C.
– Centre en C con la misma abertura de compás y trace un arco que corte al rayo BA en D.
– Con centro en D y abertura M6, determine E sobre el arco anterior (DE = M6).
– Al trazar BE se determina el punto 8, sobre la circunferencia. La distancia A8 es el lado del nonágono regular. Con abertura A8, centre en A = 9 y determine 1. Luego centre en 3 y determine 2 y 4. Por último, centre en 6 y determine 5 y 7. Una los puntos numerados y obtenga el nonágono.
9.6 El Porqué de la Trisección
El lector se podría preguntar ¿por qué la trisección de un ángulo sí es posible realizarla con re-com? Si ya se vio que la duplicación y la cuadratura no son posibles, ésta tampoco debería ser posible. La respuesta es que en la trisección de un ángulo no se determinan, directamente, longitudes de segmentos sino tres ángulos de igual medida sin especificar cuáles medidas. Es decir, sólo se determinan tres porciones de plano iguales sin puntualizar cuánto mide cada porción. Por todo esto, la trisección sí es posible obtenerla con re-com, puesto que al hacerlo no se viola el teorema 9.1. No obstante, al aplicar el método anterior de la trisección con cualquier programa computacional, éste nos dirá que el método en cuestión es falso, porque dicho programa estará basado en geometría y álgebra y detectará las diferencias profetizadas por el teorema 9.1.
DEDICATORIA
A la memoria de mis padres:
Justa María y Silvino (que están al lado del Señor)
A mi esposa:
Ana Luisa
A mis Hijos:
Carolina, Ibrahim, Jhoana y Dianel.
A la memoria de:
* Georg Cantor (Padre de la Teoría de Conjuntos)
Georg Cantor (Rusia, 1845-Alemania, 1918)
"Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros"
(D. Hilbert. Zurich. 1897)
Autor:
Dimas Herrera
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