Los significados prácticos de las operaciones aritméticas con números naturales. (página 2)
Enviado por Dr. C. Manuel Capote Castillo
Ahora bien, estos últimos se sub-dividen en:
- matemático si el texto que emplea es del lenguaje propio de esta asignatura y
- no matemático o común si su texto es el empleado en la vida, en la práctica y no en el lenguaje propio de la Matemática.
Ahora bien, ¿en qué consisten estos significados?
Los significados prácticos de las cuatro operaciones básicas con números naturales consisten en cada una de las distintas interpretaciones que se le pueden dar a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con números naturales desde el punto de vista de la práctica, de la realidad. En la mayoría de ellas de ellas se puede emplear la relación parte-todo.
Además el estudio de estos significados permitiría fundamentar matemáticamente las diferentes estructuras semánticas que pueden asumir los problemas aritméticos con texto sobre números naturales.
Se entiende por estructuras semánticas para este tipo de problemas, a cada uno de los diferentes modelos lingüísticos, con énfasis en el significado, que pueden adoptar estos problemas para darles salida a todos los significados prácticos de las cuatro operaciones básicas con números naturales.
En sentido general, se han desarrollado a escala mundial múltiples estudios sobre estas estructuras semánticas, sin embargo el tratamiento de los significados de referencia ha sido pobremente abordado, sobre todo en el extranjero.
En Cuba, han existido algunos autores que han prestado atención a su estudio e importancia. Entre ellos se puede citar al Dr. J. Elpidio Pérez Somossa que en 1930 en su obra escrita hace alusión indirecta a los mismos por primera vez en el país. Posteriormente la Dra. Dulce M. Escalona dedica especial interés a los significados de estas operaciones en los libros de textos elaborados por ella para la enseñanza de la Matemática en la escuela primaria. Al respecto opinó: "…hacer que el niño descubra los significados de las operaciones. Es esta la única manera efectiva de capacitarlo para la resolución de problemas"[1]
Un salto cualitativo se ha logrado en nuestra patria en la recuperación y perfeccionamiento de estos significados, a partir de los elaborados por la Dra. Escalona, con la publicación del libro "Aprende a resolver problemas aritméticos" de los Dres. Luís Campistrous y Celia Rizo editado en 1996. Aquí se introducen los mismos en un lenguaje cómodo y sencillo, en la mayoría de los casos utilizando la relación parte-todo. Al respecto señalan: "Esta relación es muy elemental, obvia y relaciona al conjunto completo o todo con sus subconjuntos o partes; además, establecida entre números o cantidades tiene algunas propiedades como:
ü La descomposición del todo da lugar a dos o más partes.
ü La reunión de todas las partes da como resultado el todo.
ü Cada parte es menor que el todo."[2]
Es bueno destacar que esta última propiedad es válida siempre en el dominio de los números naturales.
Conviene precisar que, el propósito de este artículo es contribuir a difundir estos significados y al mismo tiempo, exponer mi valoración sobre lo planteado por Campistrous – Rizo (1996), a partir del estudio teórico efectuado sobre las estructuras semánticas de los problemas aritméticos con texto.
Fundamento matemático de las operaciones básicas con números naturales en la escuela primaria cubana.
El fundamento matemático que se utiliza en la escuela primaria cubana para construir el dominio de los números naturales, así como sus operaciones algebraicas, se basa en la teoría de conjuntos, utilizando la relación de equivalencia: equipotencia entre conjuntos. Es decir, que se definen genéticamente. ( Ver List, G., et al. 1977; p.219-253).
La adición se introduce como la unión de conjuntos disjuntos, mientras que la sustracción se hace como la diferencia de conjuntos, donde el segundo conjunto es subconjunto del primero. Al establecer las relaciones entre ambas operaciones (una inversa de la otra) se plantea que la sustracción es la operación que permite hallar un sumando (desconocido) cuando se conoce el otro sumando y la suma total. (ver MINED, OM, 1er. Grado, 1988; p. 28).
Formalmente la multiplicación se introduce como el cardinal del producto cartesiano entre dos conjuntos (en la enseñanza primaria no se emplea este concepto, sino que se hace a partir de la suma de sumandos iguales); mientras que la división se puede definir mediante conjuntos utilizando también el producto cartesiano: sin embargo, en el aula se introduce mediante la descomposición de un conjunto en subconjuntos equipotentes disjuntos, en sus dos variantes:
" El cociente representa la cantidad de elementos de cada subconjunto;
" El cociente representa la cantidad de subconjuntos. (Ver MINED, OM, 2do. Grado. 1989; p.50-51)
También al establecer las relaciones entre ambas operaciones una inversa de la otra se señala que la división permite conocer un factor (desconocido) cuando conocemos el otro factor y el producto.
A partir del dominio de estos fundamentos, el alumno no está suficientemente capacitado para enfrentar la solución de los problemas aritméticos relacionados con las operaciones fundamentales con los números naturales.
Los significados prácticos de las operaciones aritméticas con números naturales.
Pasemos ahora a detallar los significados recomendados por estos últimos autores:
| A D I C I`O N | S U S T R A C C I O N |
1. Dadas las partes, hallar el todo | 1. Dado el todo y una parte, hallar la otra parte. |
2. Dada una parte y el exceso de otra sobre ella, hallar la otra parte. | 2. Hallar el exceso de una parte sobre otra, o dada una parte y su exceso sobre otra, hallar la otra parte. |
M U L T I P L I C A C I O N | D I V I S I O N |
1. Reunión de partes iguales para hallar el todo (suma de sumandos iguales) | 1. Repartir en partes iguales el todo (hallar el contenido de cada parte) |
2. Dada la cantidad de partes iguales y el contenido de cada parte, hallar el todo. | 2. Dado el todo y el contenido de cada parte, hallar la cantidad de partes (cuántas veces está contenida en el todo) |
3. Hallar múltiplos | 3. Hallar una parte alícuota (una unidad fraccionaria: mitad, décima parte, etc.) |
4. Significado de área. | 4. Restas sucesivas. |
5. Conteo (diferentes maneras de hacer algo) | |
Los significados de la adición y sustracción están correctamente expresados y consideran todos los casos que se pueden presentar. Aunque ellos posteriormente en los ejemplos dejan claro que en el No. 2 aparecen dos significados de la sustracción, sería conveniente separarlos para que desde el principio se aprecie la diferencia entre ambos. De esta manera los significados de la adición y sustracción quedarían así:
A D I C I Ó N | S U S T R A C C I Ó N |
A1: Dadas las partes, hallar el todo Ejemplo: Cuando Rafael salió de su casa no se fijó del dinero que llevaba en su cartera. Se sabe que solamente gastó $5,00 y que regresó a su hogar con $12,00. ¿Podrías decirme con cuánto dinero él salió de su casa? Utilizando la modelación lineal se puede comprender mejor la situación planteada y apreciar la relación parte-todo que se pone de manifiesto en esta oportunidad:
| S1: Dado el todo y una parte; hallar la otra parte. Ejemplo: Rosita compró en el mercado 25 naranjas. Cuando llegó a su casa solamente tenía 18. ¿Cuántas naranjas perdió en el camino? Si también empleamos la modelación lineal resulta más factible la comprensión del texto y se puede determinar la relación parte-todo con mayor claridad:
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A2: Dada una parte y el exceso de otra sobre ella; hallar la otra parte Ejemplo: José tenía 5 canicas. A él le faltan 3 canicas para tener la misma cantidad que Luís. ¿Cuántas canicas tiene Luís? Veamos la modelación que mejor ilustra lo conocido y lo desconocido en este caso:
| S2: Dadas dos partes; hallar el exceso de una sobre la otra. Ejemplo: En un aula de tercer grado hay doce pupitres ocupados por varones, quince ocupados por hembras y tres vacíos. ¿Cuántos varones hay más que hembras? |
S3: Dada una parte y su exceso sobre la otra; hallar la otra parte . Ejemplo: En una pequeña placita existen varias frutas en venta. En una caja hay 73 platanitos de fruta. A esta vasija le sobran 8 platanitos para tener la misma cantidad que los que contiene una cesta. ¿Cuántos plátanos se encuentran en la cesta?
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Obsérvese que aquí se han utilizado algunas palabras tales como: faltan, más, sobran que en estos casos, por el contexto del problema, tienen otros significados de los que convencionalmente se les ha dado. Esto confirma la idea de no tener en cuenta las llamadas "palabras claves".
En la multiplicación y división es donde más ajustes se precisan realizar, para poder fundamentar las distintas estructuras semánticas que en dichas operaciones aritméticas se pueden presentar.
En primer lugar vamos a agrupar los significados donde aparecen operaciones sucesivas de adición y sustracción:
M U L T I P L I C A C I Ó N | D I V I S I Ó N |
M1: Reunión de partes iguales para hallar el todo (suma de sumandos iguales) Ejemplo: Un camión debe dejar 40 cajas de naranjas en cada escuela primaria. Después de haber visitado 8 escuelas, quedó totalmente vacío. ¿Cuántas naranjas llevaba al inicio dicho camión? 40 es un sumando que se repite ocho veces: Rta. 40+40+40+40 +40 +40 + 40 + 40 = 8..40 = 320 | D1: Dado un minuendo y un sustraendo que se resta sucesivamente del anterior; hallar la cantidad de restas sucesivas necesarias para obtener como diferencia cero. Ejemplo: Un camión cargado con 320 cajas de naranjas debe dejar 40 cajas en cada escuela primaria, hasta que quede vacío. ¿Cuántas escuelas reciben naranjas de ese camión? Minuendo……320 Sustraendo que se debe restar sucesivamente hasta que la diferencia sea cero……40 Claro resulta más fácil efectuar la división 320 : 40 = 8 |
D2: Dado un minuendo y la cantidad de restas sucesivas que deben realizarse hasta que la diferencia sea cero; hallar el sustraendo que se repite. Ejemplo: Un camión cargado con 320 cajas de naranjas debe dejar la misma cantidad de cajas en cada escuela primaria hasta que quede vacío. ¿Cuántas cajas dejó en cada escuela, si alcanzó para 8 de ellas? En este caso habría que buscar un sustraendo que restado ocho veces del minuendo 320 nos daría como resultado cero. Por supuesto que resulta más cómodo efectuar la división: 320 : 8 = 40 |
Los siguientes significados son los mismos que los utilizados por los autores de referencia:
M U L T IP L I C A C I Ó N | D I V I S I Ó N |
M2: Dada la cantidad de partes iguales y el contenido de cada parte; hallar el todo Ejemplo: ¿Cuántas mesas hay en una biblioteca que tiene 5 salas de lectura con 6 mesas en cada una? Se conoce la cantidad de partes iguales: 5 salas de lectura Y el contenido de cada parte: 6 mesas, debe hallarse el todo, luego debe efectuarse la multiplicación 5.6 = 30 | D3: Dado el todo y la cantidad de partes iguales; hallar el contenido de cada parte (equipartición) Ejemplo: Chicho techó cuatro chozas Empleó veintiocho planchas ¿Cuántas planchas utilizó para techar cada choza si cada choza tenía la misma cantidad de planchas? En esta oportunidad se tiene que 28 es el todo y 4 es la cantidad de partes iguales. Se desea conocer el contenido de cada una de las partes. Para ello se efectúa la división: 28 : 4 = 7 |
D4: Dado el todo y el contenido de cada parte; hallar la cantidad de partes iguales (Cuántas veces un número está contenido en otro). Ejemplo: A Inés se le encargaron entradas para el teatro. Ella recibe $18. Una entrada cuesta $2. ¿Cuántas entradas pudo comprar Inés? Ahora conocemos el todo que son $18 y el contenido de cada parte $2 y se debe hallar la cantidad de partes iguales. También en esta oportunidad debemos efectuar la división: 18 : 2 = 9 |
Ahora bien los significados de múltiplos y divisor que los autores proponen se pueden considerar como un caso particular de los significados M2 y D3 respectivamente como se puede comprobar a continuación:
· Dulce y Blas son hermanos. Ella tiene 8 años y él tiene el triplo. ¿Qué edad tiene Blas?
Aquí se conoce la cantidad de partes iguales (que es 3 pues me lo indica el vocablo triplo) y el contenido de cada parte (que es ocho años) y se debe hallar el todo (que es la edad de Blas); es decir que se debe calcular el producto 3.8 = 24.
· Gloria está leyendo un libro de cuentos que tiene 80 páginas. Ella ya leyó la décima parte. ¿Cuántas páginas ha leído?
Ahora se conoce el todo (80 páginas que tiene el libro), la cantidad de partes iguales (lo indica el término décima parte o sea diez) y debo hallar el contenido de cada parte (las páginas que ya ha leído o sea: 80 : 10 = 8).
Sin embargo, donde se pone de manifiesto lo inadecuado de estos significados es en los siguientes ejemplos:
· Una granja porcina tiene ahora 1 744 cerdos. Esta cantidad es el cuádruplo de lo que tenía hace cinco años- ¿Cuántos cerdos tenía 5 años antes de la fecha actual esta granja?
Obsérvese que aquí se habla de cuádruplo y por el contexto del problema debe dividirse por 4, luego no se ajusta al significado de múltiplo. Cómo quedaría con el significado D3: Se conoce el todo (1 744 cerdos) y la cantidad de partes iguales (4 que me lo indica el cuádruplo y debemos hallar el contenido de cada parte (es decir calcular 1 744 : 4 = 436).
Por otra parte el siguiente problema donde en apariencia debe aplicarse el significado de divisor o partes alícuotas en su contexto se determina que lo que debe hacerse es multiplicar. Veamos:
· Maritza participa en una Olimpiada de Matemática. Hasta el momento ha resuelto 4 ejercicios. Esto es la tercera parte de todos los ejercicios que debe resolver. ¿Cuántos ejercicios debe resolver?
Aquí se conoce el contenido de cada parte (4 ejercicios) y la cantidad de partes iguales(es 3 me lo indica la tercera parte) y debemos hallar el todo (es decir efectuar el producto 3.4 = 12).
El significado de área que ellos incluyen como de la multiplicación solamente, también es de la división como se verá seguidamente:
| M U L T I P L I C A C I O N | D I V I S I O N | ||||
M3: Dados la cantidad de elementos que tiene un rectángulo a lo largo y a lo ancho. Hallar la cantidad total de elementos que tiene el rectángulo
Ejemplo: En una escuela primaria se quiere sembrar cafetos, de manera que formen un rectángulo. Por el espacio disponible solamente se pueden sembrar 5 cafetos a lo largo y 3 cafetos a lo ancho, a un metro de separación entre ellos. ¿Cuántos cafetos se podrán sembrar en este terreno? Se conoce la cantidad de elementos que tiene el rectángulo a lo largo (5) y a lo ancho (3) y se quiere hallar la cantidad total de elementos del rectángulo (3.5 = 15) | D5: Dados la cantidad de elementos que tiene un rectángulo y los que tiene en uno de sus lados. Hallar la cantidad de elementos que tiene en el otro lado. Ejemplo: En un desfile participaron 2 500 niños de una escuela primaria, formando un bloque rectangular de 100 niños a lo largo. ¿Cuántos niños desfilaron a lo ancho? Se conoce la cantidad de elementos que tiene el rectángulo (2 500 niños) y la cantidad de elementos que tiene uno de sus lados (100) y se quiere hallar la cantidad de elementos que tiene el otro lado (2 500:100 = 25). |
NOTA:- Obsérvese que aquí se está considerando al rectángulo como un conjunto"discreto" de puntos (un subconjunto de N) para que se ajuste a los significados con números naturales. Cuando se amplíe el dominio numérico a un subconjunto de R (contínuo) se tiene el habitual significado de área.
Del mismo modo el significado de conteo que ellos solamente proponen para la multiplicación, también se puede "abrir" para la división como veremos a continuación:
| M U L T I P L I C A C I O N | D I V I S I O N |
M4: Dados la cantidad de elementos que tienen dos conjuntos. Hallar la cantidad de parejas que se pueden formar con ellos. Ejemplo: Para ir de una ciudad A a otra B existen dos carreteras distintas mientras que para ir de la ciudad B a otra C hay tres carreteras diferentes. ¿De cuántas formas distintas pudieras tú viajar de la ciudad A a la C, pasando por B? Los dos conjuntos en este caso son: V = { c1, c2 } carreteras para ir de la ciudad A a la B X = { c3, c4, c5 } carreteras para ir de la ciudad B a la C. Se quiere conocer las distintas parejas que se pueden formar con los elementos de V y X (es decir la cantidad de elementos del producto cartesiano V x X). Hay seis formas distintas para viajar de A a C como se puede apreciar en el diagrama que aparece a continuación:
| D6: Dada la cantidad de parejas que se pueden formar con los elementos de dos conjuntos y la cantidad de elementos de uno de ellos. Hallar la cantidad de elementos del otro. Ejemplo: Javier para practicar deportes usa camiseta y "short". Se sabe que con ambas prendas se puede poner 6 combinaciones distintas y que tienen solo 3 camisetas. ¿Cuántos "shorts" dispone para practicar deportes Javier? Aquí se da la cantidad de parejas que se pueden formar entre dos conjuntos C: el de las camisetas y S: el de los "shorts" que en total tiene 6 parejas y que el conjunto C tiene 3 elementos. Se desea conocer la cantidad de elementos de S. Para ello se debe dividir 6::3 = 2 |
Finalmente conviene introducir dos nuevos significados para estas dos operaciones:
| M U L T I P L I C A C I O N | D I V I S I O N |
M5: Dado el múltiplo de un número indeterminado y un múltiplo del múltiplo anterior. Hallar qué múltiplo es este último resultado del primer número. Ejemplo: En su segundo año de trabajo una fábrica duplicó la producción respecto a su primer año; mientras que en el tercer año la producción se cuadriplicó respecto al primer año. ¿Cuántas veces es la producción del tercer año respecto al primero? Se conoce: 2: duplo de la producción en el segundo año respecto al primero (múltiplo de un número indeterminado). 4: cuádruplo de la producción en el tercer año respecto al primero. (múltiplo del múltiplo anterior) Se quiere hallar qué múltiplo es último resultado respecto al primero; para ello debe efectuar el producto; para ello debe efectuarse el producto: 2 x 4 = ? Es decir que la producción de esta fábrica al finalizar el tercer año de trabajo es ocho veces lo que produjo durante su primer año. | D7: Dado un múltiplo de un múltiplo de un número indeterminado y un múltiplo de este último resultado del primer número. Hallar qué múltiplo es el primer número respecto al segundo. Ejemplo: Una fábrica en su tercer año de trabajo cuadriplicó su producción respecto al primer año y la producción de esta fábrica es ocho veces lo que produjo durante el primer año. ¿Cuántas veces es la producción en su segundo año de trabajo respecto a su primer año? Se conoce: 4: cuádruplo de la producción del primer año (múltiplo de un múltiplo de un número indeterminado); 8: producción de esta fábrica al finalizar el tercer año respecto al primero (múltiplo de este último resultado respecto al primer número). Se quiere hallar qué múltiplo es el primer número respecto al segundo; para ello debe efectuarse la división: 8 : 4 = ? O sea, que la producción en su segundo año de trabajo es el duplo respecto s su primer año. |
D8: Dado el múltiplo de un número indeterminado y un múltiplo de este último resultado del primer número. Hallar qué múltiplo es el primer número respecto al tercero. Ejemplo: En su segundo año de trabajo una fábrica duplicó la producción respecto a su primer año; mientras que en su tercer año la producción de esta fábrica es ocho veces lo que produjo durante el primer año. ¿Cuántas veces es la producción de esta fábrica el tercer año respecto al segundo? Se conoce: 2: duplo de la producción del primer año (múltiplo de un número indeterminado); 8: producción de esta fábrica al finalizar el tercer año respecto al primero (múltiplo de este último resultado del primer número). Se necesita hallar qué múltiplo es el primer número respecto al tercero; en este caso se debe efectuar la divisón: 8 : 2 = ? Luego, la producción en su tercer año de trabajo es el cuádruplo respecto a su segundo año. |
| M U L T I P L I C A C I O N | D I V I S I O N |
M6: Dado el divisor de un número indeterminado y un divisor del divisor anterior. Hallar qué divisor es este último resultado del primer número. Ejemplo: Una fábrica en su segundo año de trabajo redujo los gastos a la mitad respecto al primer año; mientras que en el tercero disminuyó la tercera parte respecto al segundo año. ¿Qué parte representa los gastos en el tercer año respecto al primero? 2.3 = ? Dados: 2: mitad de los gastos en el segundo año respecto al primero (divisor de un número indeterminado); 3: tercera parte de los gastos en el tercer año respecto al segundo (divisor del divisor anterior). Se quiere hallar qué divisor es este último resultado respecto al primer número; para obtenerlo se debe efectuar el producto: 2 x 3 = ? Es decir que los gastos de esta fábrica al finalizar el tercer año de trabajo es la sexta parte de lo que gastó durante su primer año. | D9: Dado un divisor de un divisor de un número indeterminado y un divisor de este último resultado del primer número. Hallar qué divisor es el primer número respecto al segundo. Ejemplo: Una fábrica durante su tercer año de trabajo redujo los gastos a la tercera respecto al segundo año. Al finalizar el tercer año disminuyó los gastos la sexta parte con relación al primer año. ¿Qué parte representa los gastos en el segundo año respecto al primero? 6:3 = ? Dados: 3: tercera parte de los gastos en el tercer año respecto al segundo (divisor de un divisor de un número indeterminado). 6: significa qué parte representa los gastos en el tercer año respecto al primero (divisor de este último resultado respecto al primer número). Se quiere hallar qué divisor es el primer número respecto al segundo; Para hallarlo se debe calcular el cociente: 6 : 3 = ? O sea, que los gastos de esta fábrica en el segundo año se redujeron a la mitad al compararlos con lo que se gastó en el primero. |
D10: Dado el divisor de un número indeterminado y un divisor de este último resultado del primer número. Hallar qué divisor es el primer número respecto al tercero. Ejemplo: Una fábrica durante su segundo año de trabajo redujo los gastos a la mitad respecto al primer año. Al finalizar el tercer año disminuyó los gastos la sexta parte con relación al primer año. ¿Qué parte representa los gastos en el tercer año respecto al segundo? 6:2 = ? Dados: 2: mitad de los gastos en el segundo año respecto al primero (divisor de un número indeterminado); 6: sexta parte de los gastos en el tercer año respecto al primero (divisor de este4 último resultado del primer número). Se debe hallar: qué divisor es el primer número respecto al tercero; para ello se debe efectuar el cociente. 6 : 2 = ?: es decir que durante el tercer año se redujeron los gastos de esta fábrica la tercera parte al compararlos con el segundo año. |
Finalmente, es conveniente precisar que aunque se ha planteado que son significados "prácticos" los mismos están expresados en un lenguaje matemático. Precisamente, los mismos se obtienen en un proceso de generalización que les permite a los escolares primarios, cuando han sido debidamente entrenados, poder identificar cada uno de ellos en las diversas estructuras lingüísticas que puede asumir los problemas matemáticos con texto. Este es su valor didáctico como una importante herramienta en manos de maestros y alumnos para que se pueda determinar qué operación fundamental con números naturales se debe aplicar en cada caso.
Una vez que los estudiantes hayan estudiado los anteriores significados están en condiciones de fundamentar a partir de ellos, cualquier estructura semántica que para este tipo de problema se les pudiera presentar.
BIBLIOGRAFíA:
1. CAMPISTROUS L. Y C. RIZO (1996): "Aprende a resolver problemas aritméticos", Editorial Pueblo y Educación, C. Habana,
2. ESCALONA, DULCE M. (1957): "Aprende Aritmética", Quinto grado, Publicaciones Cultural, S.A., La Habana.
3. LIST, G. ET AL, (1977): "Lógica matemática, teoría de conjuntos y dominio numéricos", Editorial de libros para la Educación, La Habana.
4. MINED, (1988): Orientaciones Metodológicas, 1er. grado, Editorial Pueblo y Educación, C. Habana.
5. MINED, (1989): Orientaciones Metodológicas, 2do. grado, Editorial Pueblo y Educación, C. Habana.
6. PéREZ SOMOSSA, J. E. (1030): "Metodología de la Aritmética Elemental", Cultural S.A., La Habana.
Autor: Dr. C. Manuel Capote Castillo
Breve biografía del autor:
Es Doctor en Ciencias Pedagógicas, Profesor Titular y Consultante de la Universidad Pedagógica "Rafael M. de Mendive" de la provincia de Pinar del Río, Cuba. Es Licenciado en Educación en la especialidad de Matemática. Tiene 40 años de experiencia en la docencia; de ellos 28 en la educación superior. Ha dirigido varios proyectos investigativos relacionados con la enseñanza primaria. Su tesis de doctorado está relacionada con la etapa de orientación en la solución de problemas aritméticos en la enseñanza primaria. Los aspectos básicos de la misma fueron publicados en forma de libro en el año 2005.
País, ciudad y fecha correspondientes al trabajo realizado:
Cuba, Pinar del Río, abril 2002.
[1] ESCALONA, DULCE M. (1957): "Aprende Aritmética", Quinto grado, Publicaciones Cultural, S.A., La Habana, p. VI
[2] CAMPISTROUS L. Y C. RIZO (1996): "Aprende a resolver problemas aritméticos", Editorial Pueblo y Educación, C. Habana, p. 2
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