Solución:
Por lo tanto se satisface la propiedad (c).
Ejercicios propuestos
5.3 Ortogonalidad
Figura5.3.1
Ejemplo:
Ejercicios propuestos
5.4 Demostración de desigualdades
Por lo tanto, su discriminante no puede ser mayor que cero.
Esto es,
Ejercicios propuestos
5.5Consecuencias de la igualdad del paralelogramo
Ejercicios propuestos
1.Comprobar la ley del paralelogramo para los elementos (3,4,5) y (1,0,6) del espacio tridimensional con el producto interiorusual.
*2.Demostrar la ley del paralelogramo directamente para rectángulos.
5.6 Producto Interno y Estadística
Muchos conceptos de la Estadística Descriptiva pueden ser asociados a la presencia de un producto interno en el espacio de las variables aleatorias asociadas a un espacio muestral. La perspectiva requiere la siguiente formalización inicial:
Se llama "variable aleatoria", asociada al espacio muestral del suceso F.
Un producto interno "estadístico" puede ser definido así:
Ejemplo: Si F representa "el lanzamiento de un peso", entonces
Ejercicios propuestos.
5.7 Producto Interno y Series de Fourier
En el Análisis Matemático, los criterios de convergencia permiten determinar si una serie es convergente o no, pero no es siempre inmediato calcular la suma de una serie convergente a no ser en casos especiales (geométrica, telescópica, reducible a telescópica, etc.)
Deducimos que
a) De las identidades que involucran a la función coseno, tenemos:
Se denomina entonces
Se puede probar que la serie de Fourier converge hacia la función en este espacio.
Ejemplo:
(2). Razonando de la misma forma que encima, es función par y entonces,
Por tanto el proceso ha permitido calcular la suma de la serie mostrada
Ejercicios propuestos.
5.8 Modelos económicos
El análisis de los modelos económicos se puede llevar a cabo mediante la concepción de que las variables involucradas convenientemente asociadas constituyen elementos del espacio euclidiano n-dimensional y del espacio vectorial de las matrices, de manera que las operaciones requeridas puedan realizarse en el marco de las posibilidades de estos espacios vectoriales.
La duración del ciclo puede ser cualquier intervalo de tiempo que resulte adecuado en el estudio de una economía específica. Pueden ser un mes, un año, o un número de años.
Ejemplo:
Tenemos una granja avícola. Nuetros bienes son huevos y gallinas, siendo las unidades naturales un huevo y una gallina. Los dos procesos son: poner huevos y empollarlos. Supongamos que en un cierto mes una gallina pone un promedio de 12 huevos si la utilizamos como ponedora. Si la empleamos como empolladora, empollará un promedio de 4 huevos por mes. Con base en esta información podemos construir A y B.
De acuerdo con la información, el ciclo tiene un mes de duración. El bien 1 es una "gallina", el bien 2 es un "huevo", el proceso 1 es "poner" y el proceso 2 es "empollar". La unidad de intensidad del proceso será lo que en promedio una gallina pueda hacer por mes. La materia prima del proceso 1 es una gallina, es decir, una unidad del bien 1. El producto constará de una docena de huevos más la gallina original. Por tanto, el producto es una unidad del bien 1 y 12 unidades del bien 2. En el proceso 2 son materias primas una gallina y cuatro huevos, en tanto que el producto consta de cinco gallinas ( la original y las cuatro empolladas). En consecuencia, nuestras matrices son:
Ahora tiene 96 huevos y solo 23 gallinas, así que muchos huevos se quedarán sin empollar.
Por otro lado, supóngase que comienza con sólo dos gallinas y cuatro huevos. Entonces hará uso de la intensidad (1,1). Su gallina ponedora pone 12 huevos, y con cuatro gallinasrecién empolladas tendrá un total de seis gallinas. Igual resultado se obtiene con (1,1)B=(6,12). Ahora han triplicado sus gallinas y sus huevos. Puede emplear la intensidad (3,3) en el ciclo siguiente, lo que le dá (3,3)B=(18,36), y de nuevo triplica gallinas y huevos. Así que puede proseguir empleando la misma proporción de los procesos, y continuará triplicando su producto en cada ciclo. La economía en cuestión opera en equilibrio.
Como puede verse en el ejemplo, la forma natural de presentar las intensidades de nuestros procesos es por medio de un vector fila.
Por último,
En este caso cada proceso triplica nuestra inversión, y no existirá indebida presión monetaria. Por tanto, el granjero puede estruturar sus procesos de manera que estén en equilibrio y así mantener estables los precios.
Ejercicios propuestos.
Se evidencian las múltiples aplicaciones del Álgebra Lineal convenientemente agrupadas por temáticas de estudio.
La información teórica es precisa para lograr el objetivo propuesto.
Los ejemplos vinculan los conceptos y métodos algebraicos con las especificidades de la aplicación de forma natural y rigurosa.
Los ejercicios desarrollan habilidades graduales para realizar aplicaciones reales del Álgebra Lineal.
Quedó establecida la base metodológica para realizar extensiones de este tipo a otros temas del Álgebra Superior.
El estudio realizado se materializa en el fortalecimiento de la vinculación interdisciplinaria.
1) Argüelles Cortés, Lucía; Hernández Cuéllar, Gerardo; López Palacio, Juan V. Experiencias en la aplicación de modernos métodos de enseñanza en el aprendizaje de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional. Unidad Regional UPN 303, México, 2002.
2) Argüelles Cortés, Lucía; Hernández Cuéllar, Gerardo; López Palacio, Juan V. Experiencias en la aplicación de métodos de enseñanza vinculados al uso de la computación. Universidad Pedagógica Nacional. Unidad Regional UPN 303, México, 2003.
3) Escalona, E. ¿Aprender Descubriendo? Una nueva tendencia de la Matemática Educativa, Capitulo 2 de Tendencias Iberoamericanas en la Educación Matemática, Edición de la Universidad Autónoma de Sinaloa, 2001.
4) Gerber, H.ÁlgebraLineal. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1992.
5) Kemeny, J. G.Matemáticas finitas. Edición Revolucionaria, La Habana, Cuba, 1967.
6) Kochendörffer, R. Determinantes y matrices. Ediciones de Ciencia y Técnica, Instituto del Libro, 1969.
7) Lang, S. Álgebra Lineal.Editorial Pueblo y Educación, 1970.
8) Lay, D. C. Algebra Lineal y sus aplicaciones. 3ªEdición, Pearson educación, México, 2007.
9) Lipschutz, S. Teoría y Problemas de Álgebra Lineal. Edición Revolucionaria, Instituto Cubano del Libro, 1973.
10) Navarro, Juan M.; Argüelles, L. Montaje de un sistema de ejercicios de carácter profesional para integrar problemas de la especialidad de Ingeniería Civil, la Matemática Numérica y la Computación. Artículo en memoria del evento FIMATXXI – 2011, Holguín, Cuba. ISBN 978-959-18-0702-1.
11) Nieva, J. G. Apuntes de Matemática IV. Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado, México,2010.
12) Socas, Martín. La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria. Aportaciones de la investigación. Revista Números, volumen 77, julio de2011, páginas 5-34. http://sinewton.org/numeros. ISSN: 1887-1984.
Autor:
Lic. Isalino Bonifacio Da Cruz Manuel
Dra. Lucía Argüelles Cortés
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