Aplicaciones del Álgebra Lineal

El Álgebra Lineal es una de las disciplinas básicas de la matemática. Sus métodos han sido utilizados en gran parte de la Geometría y del Análisis con resultados muy fructíferos.

Hay muchas aplicaciones en el amplio campo del Álgebra Lineal que evidencian la relación de conceptos abstractos con problemas vinculados a la vida real. El propósito de los capítulos es mostrar a profesores y estudiantes para cada temática un espectro de dichas aplicaciones con el objetivo de incidir en la motivación por la matemática mediante el desarrollo de habilidades útiles en el quehacer profesional.

En cada epígrafe se señalan áreas de utilización de la aplicación que se presenta y se aportan esenciales teóricos mínimos para la comprensión del contenido.

Para cada una de las aplicaciones se detalla al menos un ejemplo teórico destinado a manejar el método requerido y seguidamente se proponen ejercicios de tres categorías: de familiarización, reproductivos y productivos. Se indican con un asterisco (*) los ejercicios que contienen al menos algunos rasgos productivos.

El presente material está dirigido a complementar los cursos usuales de Álgebra Lineal, para los cuales tanto estudiantes como profesores disponen de libros de texto y bibliografía de consulta.

Capítulo I:

Aplicaciones de las matrices

• Rotación de ejes

Esta aplicación está en el campo de la Geometría.

Supongamos que los ejes se rotan como se indica en la figura 1.1.1

Figura1.1.1

Figura 1.1.2

Ejemplo:

Ejercicios propuestos

1.2 Matriz de cambio de variables

Esta aplicación se encuentra en el Análisis Matemático.

El propósito es el cambio de una variable a otra de la cual depende a través de variables intermedias.

Ejemplo:

Sean

Sustituyendo la segunda igualdad en la primera y utilizando la propiedad asociativa del producto de matrices se llega a la matriz de cambio de variables

Ejercicios propuestos

1.3 Matriz de dominancia

La aplicación de este tipo de matriz pertenece al campo de la Sociología. En particular, son matrices constituidas por elementos 0 y 1 que los sociólogos han empleado para expresar relaciones de "dominancia" en grupos de seres vivos (animales o seres humanos).

Un método conveniente de descripción de las relaciones de dominancia es el que hace uso de gráficas dirigidas, donde los individuos aparecen como puntos (provistos de letras), en tanto que la relación de dominancia existente entre dos individuos aparece como el segmento dirigido de la línea que los une (segmento de línea con una flecha).

Una ilustración está dada en la figura 1.3.1.

Figura 1.3.1 Relación de dominación

En virtud de que una matriz de dominancia se deriva de una relación de dominancia, podremos investigar el efecto de las condiciones (i) e (ii) sobre las ubicaciones de la matriz. La condición (i) simplemente indica que todas las ubicaciones de la diagonal principal de la matriz, deben ser cero. La condición (ii) significa que siempre que una ubicación por encima de la diagonal principal de la matriz sea 1, la ubicación correspondiente de la matriz situada simétricamente respecto de la anterior, con respecto a la diagonal principal es cero, y viceversa.

Ejemplo:

Sea D la matriz

Ejercicios propuestos

• Matriz de comunicación

El único requisito que debe satisfacer el símbolo será el siguiente:

Ejemplo:

Construir la matriz de comunicación asociada a la red de comunicación mostrada en la figura 1.4.1

Figura 1.4.1

Solución:

Problemas propuestos

• 1) Determine las matrices de comunicación asociadas a las siguientes redes:

• a. Trace el grafo de comunición asociado a esta matriz.

• b. Use la matriz para determinar el número de formas en que Julia se comunica con Ana por medio de un camino de dos pasos.

• c. ¿De cuántas formas se comunica Adriana con Hotensia por medio de un camino de dos pasos?

1.5Matriz de adyacencia

Las principales aplicaciones de esta noción están en Comunicaciones e Informática, en problemas de rutas o caminos utilizados para llegar de un punto a otro.

Para expresar el concepto se requiere la noción dematriz deadyacencia se requiere el concepto de grafo dirigido.Un grafo dirigido consiste en un conjunto finito no vacío de puntos y un conjunto de lados (o ramas) dirigidos entre parejas específicas de puntos distintos.Un ejemplo de grafo dirigido se presenta en la figura 1.5.1

Figura 1.5.1

Un grafo dirigido que va de un punto a otro (sin pasar por un punto intermedio) se llama trayecto o camino de longitud 1.

Con cada gráfico dirigido se puede asociar una matriz, llamada matriz de adyacencia o de vértices, para determinar cuántos caminos de longitud 1 existe de un punto a otro. La matriz A mostrada a continuación es la matriz de adyacencia asociada al grafo dirigido del ejemplo. El elemento ij-ésimo de A es el número de caminos de longitud 1 del vértice i-ésimo al vértice j-ésimo.

Ejercicios propuestos

4.Encuéntre la matriz de adyacencia para cada uno de los siguientes grafos.

1.6Matriz de probabilidad

Esta es una aplicación relacionada con la Estadística.

Una matriz de probabilidad está caracterizada por la propiedad de que sus elementos representan probabilidades, de tal manera que los elementos de cada columna suman 1. Nótese que consecuentemente todos los elementos de la matriz son números mayoreso iguales que cero y menores o iguales que 1. En el caso particular de que la matriz sea un vector, se denomina vector de probabilidades.

Ejemplo:

La resolución de este problema es útil para determinar la eficacia del Código Postal.

La matriz de probabilidad que describe la probabilidad de que una carta seleccionada en la ciudad A sea entregada en la ciudad B, se da a continuación.

Ejercicios propuestos

1.7Matriz de ajuste de datos

En Matemática Numérica se estudia el proceso de buscar una curva que sea la que en cierto sentido se acerque en mayor medida a un conjunto de puntos experimentales. Generalmente, los coeficientes de la curva que hay que determinar se calculan resolviendo un sistema de ecuaciones, pero es posible un tratamiento matricial más compacto como se describe a continuación.

Supóngase que se ha realizado un experimento con n observaciones y se han obtenido como resultado los pares ordenados:

La situación gráfica de las observaciones de la experimentación se presenta en la figura 1.7.1

Figura 1.7.1

Se desea encontrar la recta

que mejor se ajuste a esos puntos.

¿Qué significa la recta que mejor se ajuste a un conjunto de puntos dados?

La respuesta está dada en el concepto que se define seguidamente.

Definición.

La técnica para determinar la recta de mejor ajuste se denomina método de mínimos cuadrados.

Se pueden escribir, utilizando la notación vectorial

Figura 1.7.3

El teorema que determina la forma del vector minimizante se demuestra de forma simple utilizando expresiones matriciales.

Teorema:

Demostración:

Ejemplo:

Solución:

La pendiente vale aproximadamente 2.189, como se muestra en la figura 1.7.4

Figura 1.7.4

Ejercicios propuestos

• Encuentre la recta de mejor ajuste por el método de mínimos cuadrados para los conjuntos de puntos de datos en las siguientes líneas:

• a. (1, 2.9), (3, -0.8), (5, -5.1)

• b. (0, 13.8), (1, 9.9), (6, -10.1)

• c. (-2, 17.8), (-1, 14.9), (0, 13.1), (2, 6.2)

• d. (-1, 0.9), (0, 4.1), (3, 12.8).

• Un resorte es estirado y el experimento da lugar al siguiente conjunto de datos, donde es el alargamiento del resorte y es la fuerza aplicada:

(0, 0), (2, 10.1), (6, 30.7), (8, 40.9). Determine la constante elástica del elemento.

*3.Halle la ecuación cuadrática de mejor ajuste para los conjuntos de puntos de datos que se dan en seguida:

• a. (0, 0.1), (1, 2.9), (2, 12), (3, 27.5)

• b. (0, 0), (1, -3), (2, -14.3), (3, -34), (4, -61.5).

1.8Matriz de mensaje cifrado

Esta aplicación de las matrices pertenece al campo de la Criptografía.

La criptografía es la ciencia que se encarga de diseñar métodos para mantener confidencial la información que es enviada por un medio inseguro. Tiene una amplia historia, ha existido desde los inicios de la civilización.

Casi todos los medios de comunicación son inseguros, es decir, un espía siempre puede intervenir una comunicación, y en tal caso conocer su contenido, alterar el contenido, borrar el contenido, etc.

La criptografía entonces usa un algoritmo de cifrado con una clave para que el emisor de un mensaje pueda estar seguro que éste sea confidencial, y solo el receptor autorizado pueda saber el contenido aplicando un método de descifrado con su respectiva clave.

Ejemplo:

El cifrado requiere una etapa de preparación. Para cifrar un mensaje se hace lo siguiente: si el mensaje original es "HOY ES EL PRIMER DIA", el primer paso es codificar el mensaje con números que corresponden a las letras, de acuerdo a la siguiente tabla:

El segundo paso es construir la matriz M del mensaje, colocando en columnas cada grupo de 3 letras.

El tercer paso es obtener el mensaje cifrado, para lo cual se realiza el producto AM.

Ejercicios propuestos

• Codificar el mensaje "vuelvo mañana", con las siguientes matrices de código.

*2. El mensaje M fue cifrado con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

1.9 Matriz de etapas.

El modelo de descripción de un proceso por etapas es una ecuación en diferencias de la forma

donde A se denomina matriz de etapas. Una ecuación de este tipo se llama sistema dinámico (o sistema dinámico lineal discreto), porque describe los cambios experimentados en un sistema al paso del tiempo.

Uno de los problemas que está ligado con las matrices por etapas es el problema de la supervivencia del búho manchado del norte de los Estados Unidos, en 1990.

Un primer paso para estudiar la dinámica poblacional es configurar un modelo de la población a intervalos anuales, en tiempos denotados mediante

Por lo general, se supone que existe una relación 1:1 de machos y hembras en cada etapa de vida, y se cuentan exclusivamente las hembras.

La tasa de supervivencia juvenil del 18% en la matriz por etapas de Lamberson es la entrada más afectada por la cantidad de bosque viejo disponible. De hecho, el 60% de los búhos juveniles normalmente sobrevive para dejar el nido, pero en la región de Willow Creek, California, estudiada por Lamberson y sus colegas, sólo el 30% de los jóvenes que dejaron el nido pudo encontrar nuevos territorios base; el resto pereció durante el proceso de búsqueda.

Una razón importante del fracaso de los búhos al tratar de encontrar nuevos territorios es el aumento en la fragmentación de las áreas con árboles viejos debido a la tala total de áreas diseminadas en los terrenos de crecimiento. Cuando un búho deja la protección del bosque y cruza un área devastada, el riesgo de que sea atacado por un depredador aumenta de modo impresionante.

Ejercicios propuestos

• Suponga que la tasa de supervivencia de los búhos juveniles después de la búsqueda de nuevos territorios viene dada por la matriz de etapas

• ¿Qué predice el modelo de matriz por etapas para esta población de búhos manchados?

*2. Establecer analogías y diferencias entre un proceso por etapas y una cadena probabilística.

1.10 Juegos con matrices.

La Teoría de Juegos debe su nombre a que es una rama de la matemática que tiene sus orígenes en el análisis de conocidos pasatiempos y es aplicable a cualquier situación en la que aparezca un conflicto de intereses en los campos de la sociología, la economía y la ciencia militar,con la finalidad de encontrar opciones óptimas.

Una forma conveniente de representar un juego, es en términos de la matriz que aparece en la figura 2.( en la teoría de los juegos se acostumbra escribir las matrices en la forma de tablas). Las filas representan las elecciones posibles para el jugador F, en tanto que las columnas representan las elecciones que puede hacer el jugador C.

Una entrega positiva es un pago de C a F, en tanto que una "ganancia negativa" es un pago de F a C. Por ejemplo, en caso que F elija la fila 1 (juega 5 negro) y si C elige la columna 1 (juega 5 negro). F ganará la diferencia de estos dos números, que es 0. Si F elige la fila 1 y C elige la columna 2 (juega 3 rojo), C ganaría la diferencia de 2 y 0, indicada por la ubicación -2 en la matriz. Las características estratégicas del juego están íntegramente contenidasen la matriz.

Figura 1.10.1

Un juego tal como el que aparece en la figura 1.10.1 recibe el nombre de juego con matriz. Toda matriz de 2×2 puede considerarse como un juego con matriz para dos personas; al efecto, basta que un jugador opere las filas y el otro las columnas, y los pagos del juego se definan de acuerdo con las ubicaciones de la matriz.

¿Cómo debe jugarse el juego de la matriz de la figura 1.10.1? Al jugador C le gustaría obtener la ubicación -2de la matriz; sin embargo, el único modo de alcanzarla sería jugando la segunda columna de la matriz, en cuyo caso el jugador F seguramente elegiría la segunda fila y C perdería 2 en vez de ganar 2. Por otro lado, si C elige la primera columna ( es decir, juga 5 negro), se asegura el empate sin que importe lo que haga F. F no pierde nada, y, posiblemente, puede ganar eligiendo la segunda fila; por tanto, debe hacerlo. El conocimiento de que así procederá, afirma en C la convicción de su elección de la primera columna. En consecuencia, el procedimiento óptimo de ambos jugadores será el siguiente: F debe jugar el 5 rojo y C debe jugar el 5 negro. De ser este último el caso, los jugadores no perderán ni ganarán, el juego es un juego justo.

Una instrucción de la forma: "Juéguese 5 rojo", o " Juéguese 3 negro", recibe el nombre de una estrategia. En caso de que el jugador F aplique la estrategia "Juéguese 5 rojo" en el juego que aparece en la fig.2, se asegurará de que, por lo menos, se le pagará cero, y esto independientemente de la forma como proceda C. En forma semejante, de aplicar a C la estrategia "Juéguese 5 rojo" se asegurará un desembolso de cero como máximo ( es decir, una pérdida no mayor que cero), y esto independientemente del proceder de F. Como F no puede asegurarse de ganar más de cero, y C tampoco puede asegurarse de perder menos de cero, y siendo iguales estos dos números, los denominaremos estrategias óptimas del juego. Así, que a su vez llamaremos cero el valor del juego, ya que éste será el resultado del mismo cuando ambos jugadores apliquen su estrategia óptima.

Definición.

Las estrategias óptimas establecidas por la definición anterior concuerdan con las explicadas anteriomente. En virtud de la definición, el valor del juego es cero; en consecuencia, se trata de un juego justo.

La solución de un juego estrictamente determinado es particularmente simple, ya que cada jugador puede calcular la estrategia óptima del otro y, consecuentemente, tiene conocimiento de cómo va a proceder.

Ejemplo 2: Analicemos cuáles de los juegos descritos por las siguientes matrices corresponden a la noción de estrictamente determinados y justos.

Solución:

La figura a) es estrictamente determinado y justo, la estrategia óptima de F consiste en elegir la primera fila, en tanto que la de C consiste en elegir la primera columna. El juego en la fig b) es estrictamente determinado y no es justo, ya que su valor es 2. En la fig.c) el juego no es estrictamente determinado.

Ejercicios propuestos

• Determínese cuáles de los juegos abajo expuestos son estrictamente determinados y cuáles son justos. De ser estrictamente determinado el juego en cuestión, encuéntrense las estrategias óptimas de cada jugador.

*2. Supóngase que en el juego correspondiente a la figura que se muestra seguidamente ,

*3.Considere un juego G de matriz 2×2 estrictamente determinado.

Capítulo II:

Aplicaciones de los Sistemas de ecuaciones lineales

• Problemas cotidianos

En múltiples áreas de la vida cotidiana, la relación aritmética que se conoce entre varias variables por alguna ley o por diferencias comparativas permite establecer un sistema de ecuaciones lineales cuya solución conduce a determinar las incógnitas planteadas.

Ejemplo (problema de las edades)

Hallar las edades actuales.

Solución

La respuesta es : Alberto tiene 32años y Bernardo tiene 16años.

Ejercicios propuestos

1. SiAlbertole da aBernardo $2 ambos tendrán igual suma, y siBernardo le da aAlberto$2, Albertotendrá el triplo de lo que le queda a Bernardo. ¿Cuánto tiene cada uno?

Respuesta: Alberto tiene $10 y Bernardo tiene $6.

*2. La suma de las tres cifras de un número es 16. La suma de las cifras de las centenas y la cifra de las decenas es el triplo de la cifra de las unidades, y si al número se le resta 99, las cifras se invierten. Hallar el número.

Respuesta: el número buscado es574.

Hallar la fracción.

4. Dos números están en relación de 3 a 4. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 9, la relación es de 4 a 3. Hallar los números.

Respuesta: 18 y 24

¿Cuantos animales de cada clase tiene?

6. Compré un carro, un caballo y sus arreos por $200. El carro y los arreos costaron $20 más que el caballo, y el caballo y los arreos costaron $40 más que el carro. ¿Cuánto costó el carro, el caballo y cuánto los arreos?

2.2 Problemas de Física

En particular, para determinar la velocidad de un móvil, la relación

es la base para conjugar las hipótesis y conformar un sistema de ecuaciones.

Ejemplo:

Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.

Solución:

Ejercicios propuestos

1. Un hombre rema río abajo 10km en una hora y río arriba 4km en una hora. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.

*2. Una tripulación emplea 6 horas en recorrer 40km río abajo y en regresar. En remar 1km río arriba emplea el mismo tiempo que en remar 2km río abajo. Hallar el tiempo empleado en ir y en volver.

2.3Balanceo de ecuaciones químicas

Para balancear una ecuación química se deben encontrar enteros no negativostales que cumplan la condición de que el número de átomos de cada uno de los elementos químicos involucrados en el primer miembro de la ecuación sea igual al número de átomos correspondientes del segundo miembro.

Ejemplo:

Se pide balancear esta ecuación

Solución:

Plantear las cuatro incógnitas como coeficientes de cada uno de los compuestos

Las ecuaciones establecidas dan lugar al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Ejercicios propuestos

1.Efectúe el balanceo de las siguientes ecuaciones químicas:

2.4 Redes eléctricas

La determinación de las intensidades de corriente en una red eléctrica es un problema usual en la Ingeniería Eléctrica

Las fuentes normales de energía eléctrica, llamadas a veces fuentes de voltaje, son las baterías o los generadores. Estas fuentes producen una tension eléctrica que se mide en volts (V).

Los hornos y los tostadores son ejemplos de resistores eléctricos cuya función consiste en convertir energía eléctrica en calor.

Leyes de Kirchhoff.

• 1) La suma algebraica de las corrientes entrantes a un punto unión o nodo de una red eléctrica es igual a la suma algebraica de las corrientes salientes de dicho nodo.

• 2) La suma de las tensiones o voltajes alrededor de un circuito cerrado o malla de una red eléctrica es cero.

Ejemplo:

Obsérvese que en esta red hay tres mallas, cada una de las cuales puede recorrerse en dos sentidos. Para formar las dos relaciones que faltan para conformar el sistema de ecuaciones, consideremos dos mallas. La primera,la que empieza en el punto A y se recorre luego para la izquierda a través de la fuente de 8V y sucesivamente por el resistor de 4 ohms, el punto B, el resistor de 3 ohms, la fuente de 6V y se regresa al punto A.

La segunda malla a considerar empieza en el punto A, y se recorre hacia B a través de la fuente de 12V, continúa hasta A pasando por la fuente 6V. La tercera malla empieza en A, se va hacia B, a través de la fuente de 8V, y luego se continúa de B a A, pasando por la fuente de 12V. El recorrido a lo largo de esta segunda malla da lugar a la ecuación

Ejercicios propuestos.

1.Calcule las corrientes, en amperes, en las redes mostradas en las figuras:

2.5 Modelos económicos

En la producción industrial, las relaciones económicas entre oferta y demanda pueden ser canalizadas mediante la formación y solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Desde la perspectiva de A, las demandas interindustriales sobre A serán su producción total, en unidades monetarias, que es empleada por A misma y por B y C.

Supóngase también que A produce madera por un valor de $10,000 (dólares, por ejemplo) para vender fuera de las industrias A, B y C. Esta suma representa la demanda de consumo local final sobre A.

Si A no tiene sobreproducción, entonces su producción es igual a la suma de las demandas interindustriales totales sobre A más la demanda de consumo local final sobre A, luego desde el punto de vista de A,

Supóngase además que ni B ni C tienen sobreproducción, que las demandas de consumo local final sobre B y C son 8000 y 12000, respectivamente, y que las demandas interindustriales totales sobre B y C están dadas por:

Se desea determinar la producción (en unidades monetarias) de las industrias A, B y C de manera que la oferta sea igual a la demanda. Se debe resolver el sistema de ecuaciones:

Ejercicios propuestos

• 1. 

• 2. Una compañía siderúrgica A emplea 40% de su propia producción para comprar carbón, el cual adquiere de una compañía B, y para pagar cuotas de ferrocarril a la compañía C. Se tiene que B necesita una cantidad de acero de A equivalente a 20% de la propia producción de B, y C requiere acero de A equivalente a 18% de la propia producción de C. Supóngase además que A vende 1020 miles de dólares fuera de las industrias A, B y C. las demandas interindustriales totales sobre B y C son como sigue:

Determine la producción (en miles de dólares) si las demandas finales de consumo local sobre B y C son 8930 y 2250 miles de dólares, respectivamente. Suponga que la oferta es igual a la demanda.

*3.La agricultura (x), la manufactura (y) y la mano de obra y capital (z) en un pequeño país están relacionados de la siguiente manera: 10% de la producción agrícola se emplea para pagar a las industrias manufactureras y para la mano de obra y capital; la manufactura y la mano de obra requieren productos agrícolas equivalentes a 30% y 22% de su propia producción, respectivamente; la agricultura vende dentro del país 359 miles de dólares ajenos a la de obra y capital y a la manufactura. Las demandas interindustriales totales sobre y junto con sus demandas finales de consumo local (en millones de dólares), son así:

2.6 Problemas asociados a la interpolación

Hay problemasquese resuelven mediante la Matemática Numérica que consisten en proponer la búsqueda de una función de aproximación g(x) a otra desconocida f(x).

En otros casos la función g se propone directamente, como sucede en muchas situaciones de Geometría.

Ejemplo:

Este ejemplo proviene del campo de la Ingeniería Civil.

Para el elemento viga que se flexiona según un plano vertical, se propone una función polinómica para describir el desplazamiento en cualquier punto de la viga de longitud L.

Ejercicios propuestos

Sustituyendo las expresiones para las derivadas, queda

1.1 Comprobar que al sustituir las condiciones de interpolación dadas por la tabla en

*2. Obtener las funciones de interpolación para el elemento barra de longitud que puede tener un desplazamiento y una rotación en cada uno de sus extremos. Por tanto se considera un total de 4 incógnitas y se propone para la función de interpolación:

Determine la ecuación cúbica cuya gráfica pasa por los puntos (0,4), (1,6),(2,18) y (-1,6).

*4. La ecuación general de una esferaen el espacio tridimensional es:

Determine la ecuación de la esfera cuya gráfica pasa por los puntos (2, 0, 5),(5, -3, 5),(6, 0, 1) y (2, 1, 4).

• Cálculo de la matriz inversa

Una forma muy eficiente de resolver este tipo de sistemas es factorizando la matriz y resolviéndolo en dos etapas, de la manera siguiente:

A x =b

Sustituyendo la factorización

(LU) x= b

Utilizando la asociatividad del producto de matrices

L (U x)= b

Haciendo U x= z, la primera etapa está dada por la resolución de

L (z)= b, por sustitución hacia delante de las variables del vector z que se van obteniendo, ya que L es triangular inferior.

La segunda etapa requiere la solución de U x= z por sustitución hacia atrás, debido a que L es triangular superior.

Ejemplo:

Calcular la inversa de la matriz

Solución:

La matriz Ase descompone en LU de la forma siguiente:

este sistema tiene 9 ecuaciones con 9 variables.

El mismo se descompone en tres sistemas. El primero de ellos permite calcular la primera columna de la inversa:

Conduce al sistema de la segunda etapa que se resuelve por sustitución hacia atrás de las variables que se van obteniendo:

El tercer sistematiene la forma :

I

En este caso se tiene que :

Lz=b

Ejercicios propuestos

1.Hallar la matriz inversa de

• Mediante la reducción a sistemas lineales

• Mediante la fórmula en términos de cofactores

*2.A partir de plantear la relación:

Obtener y resolver el sistema de ecuaciones que permite calcular los coeficientes de L y de U.

*3. Justificar por qué se requiere imponer los valores en la diagonal principal de la matriz U.

Capítulo III:

Aplicación de las Transformaciones lineales

En diversas aplicaciones de la computación y de la ingeniería se requiere describir la traslación de figuras geométricas y la variación de sus dimensiones. Esta posibilidad está asociada a ciertas transformaciones lineales.

3.1Traslación

La traslación permite desplazar un objeto a lo largo de sus dimensiones, como resultado se obtiene un cambio de posición.

Traslación 2D

Ejemplo:

Traslación 3D

Ejemplo:

La figura 3.1.3 muestra el efecto de traslación de una figura con

Ejercicios propuestos

1. Considere la traslación que lleva al triángulo rectángulo con vértices

al triángulo rectángulo cuyo ángulo recto se encuentra en el punto (6, 8). Exprese esta traslación por medio de la transformación lineal A y determínense los otros vértices del triángulo trasladado.

*2.Supóngase que se desea trasladar un triángulo en el espacio bidimensional, como se muestra en la figura A siguiente. Este movimiento puede realizarse trasladando el rectángulo h unidades en direccion paralela al eje x, y luego k unidades en dirección paralela al eje y, como se ilustra en la figura B.

Para cierta h, describe la primera traslación indicada en la fig.3. La segunda traslación, paralela al eje y, está dada por

3.2 Cambio de escala

Ejemplo:

Es importante señalar que si los factores de escalización no son iguales, se producirá alguna distorsión o deformación.

Ejercicios propuestos

3.3Transformaciones conformes

Las transformaciones denominadas conformes poseen propiedades interesantes, entre ellas inciden en la modificación de la longitud de un vector.

Ejemplo:

3.4Propiedades de los operadores básicos del Análisis Matemático

En particular, operadores básicos del Análisis Matemático como son la derivación y la integración son operadores lineales.

Ejemplo

Ejercicios propuestos.

Capítulo IV:

Aplicaciones de los valores y vectores propios

4.1 Simplificación de la representación de las cónicas

Esta aplicación es sustancial en la Geometría, ya que simplifica las ecuaciones de las cónicas

Ejemplo:

Solución:

Ejercicios propuestos

• Método de Potencias

En ocasiones, el cálculo de los valores propios a partir de la definición se dificulta y precisamos otras vías. El método depotencias posibilita en determinados casos determinar el valor propio dominante ( el de mayor módulo).

Luego:

Este procedimiento esllamado método de potencias.

Ejemplo

Aplicar el método de potencias para encontrar el valorpropio dominante de la matriz

Solución:

De acuerdo con la definición se comprueba que el valor propio de mayor módulo es resultado de resolver la ecuación:

Ejercicio propuestos

1.Encontrar una aproximación al valor propio dominante, si es que existe, de las matrices:

*2. Obtener por definición el valor propio dominante y un vector propio asociado para las matrices del ejercicio anterior.

4.3 Resolución de ecuaciones diferenciales en forma matricial

De acuerdo a lo anterior, una matriz simétrica A se puede diagonalizar mediante la transformación:

Ejemplo:

Resolver el sistema siguiente:

Los sistemas de ecuaciones diferenciales también pueden resolverse mediante el método de la ecuación característica, donde también interviene la noción de valor propio.

Ejemplo:

Resolver el sistema de ecuaciones homogéneo

Paso 3: Determinar relaciones entre las variables para eliminar dos de ellas. Para esto se sustituyen las funciones propuestas en una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera. Se obtiene:

Ejercicios propuestos.

4.4 Sistemas Dinámicos Discretos

Muchos procesos de la naturaleza pueden ser modelados mediante un proceso dependiente del tiempo (por lo que resulta dinámico) , el cual es recurrente de un paso, es decir, el estado siguiente depende del anterior.

Determine la evolución de este sistema cuando el parámetro de depredación pes .104.

Solución:

Ejercicios propuestos

Capítulo V:

Aplicaciones de los espacios vectoriales

5.1 Determinación de subespacios

Tanto en el Análisis Matemático, las Ecuaciones Diferenciales como en el Álgebra, es importante la consideración de subconjuntos que resultan cerrados para las operaciones de espacio vectorial, por lo que resulta relevante la noción de subespacio.

Ejemplo:

Ejercicios propuestos

5. Pruebe que el conjunto F de todas las funciones acotadas cuyo dominio es el conjunto de los números reales y sus valores son también números reales, es un espacio vectorial.

• Espacios con producto interno

En el espacio euclideano bidimensional, la noción de que dos vectores sean ortogonales viene dada por el hecho de el ángulo que forman es de 90 grados. Los espacios vectoriales con producto interno permiten describir la noción de ortogonalidad de vectores, mediante una generalización abstracta del concepto geométrico.

Definición

Una ilustración clásica de este concepto es el siguiente:

Ejemplo: