Evaluación de la teoría clásica de la administración científica

Objetivos generales de la asignatura

• Interpretar y aplicar esquemas numéricos en la solución de problemas matemáticos de ingeniería y de ciencias en una computadora.

• Desarrollar esquemas numéricos básicos.

• Desarrollar programas de computación en la solución de métodos numéricos.

• Aplicar e interpretar los resultados de software existente para métodos numéricos.

Actividades propuestas para las brigadas UDABOL

Las Brigadas están destinadas a incidir de manera significativa en la formación profesional integral de nuestros estudiantes y revelan las enormes potencialidades que presenta esta modalidad de la educación superior no solamente para que conozcan a fondo la realidad del país y se formen de manera integral, sino, además, para que incorporen a su preparación académica los problemas de la vida real a los que resulta imperativo encontrar soluciones desde el campo profesional en el que cada uno se desempeñará.

El trabajo de las Brigadas permite que nuestros estudiantes se conviertan a mediano plazo en verdaderos investigadores, capaces de elaborar y acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez que se acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o multidisciplinarios como corresponde al desarrollo alcanzado por la ciencia y la tecnología en los tiempos actuales.

La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de proyectos de desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

• Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes con procesos académicos de enseñanza y aprendizaje de verdadera "aula abierta".

• Trabajar en equipos, habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos comunes para dar soluciones en común a los problemas.

• Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciación y en que los avances tecnológicos conllevan la aparición de nuevas y más delimitadas especialidades.

• Desarrollar una mentalidad, crítica y solidaria, con plena conciencia de nuestra realidad nacional.

Se tiene previsto el desarrollo de trabajos de investigación en los siguientes temas:

• Determinar si un proyecto es o no rentable, calculando la TIR mediante un modelo matemático, en una institución educativa, PYME u otro en la zona de acción de la brigada.

• Desarrollar criterios de elaboración y selección de software de aplicación y paquetes de rutina en la solución de modelos matemáticos para una institución educativa, PYME u otro en la zona de acción de la brigada.

ACTIVIDADES A REALIZAR VINCULADAS CON LOS CONTENIDOS DE LA MATERIA

ACTIVIDADES DE INCURSIÓN MASIVA EN LA COMUNIDAD

A lo largo del semestre se realizarán dos incursiones masivas en la comunidad, comprendida la primera entre el 2 y el 8 de octubre y la segunda entre el 13 y el 19 de noviembre. Con la finalidad de realizar trabajos ya sean de recojo de información, extensión o relacionada con los proyectos a desarrollar en la asignatura o la carrera.

Evaluación de la asignatura

• PROCESUAL O FORMATIVA

Durante el semestre se realizarán exámenes prácticos, talleres, Work Papers, DIF"s, y otras actividades de aula; además de los trabajos de brigadas realizados con la universidad Cada uno tendrá una calificación entre 0 y 50 puntos.

• PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA

Se realizarán dos exámenes parciales con contenido teórico – práctico y un examen final que se calificará entre 0 y 50 puntos cada una.

Bibliografía

BASICA

• Luthe, Olivera, Schutz, "Métodos numéricos". Ed.Limusa México 1988.

COMPLEMENTARIA

• R. H., Mole, J. C, Mason "Calculo numérico". Ed. Anaya Madrid 1989.

• CHAPRA Steven, CANALE Raymond, "Métodos Numéricos para Ingenieros", Ed. McGraw-Hill, México, 1987.

• HERRERA Germán, "Métodos numéricos". Ed. Latinas Editores, Bolivia, 2005.

• SHOICHIRU Nakamura, "Métodos numéricos aplicados con software", Ed. Prentice-Hall, México, 1992.

Control de evaluaciones y apuntes

1° evaluación parcial

Fecha

Nota

2° evaluación parcial

Fecha

Nota

Examen final

Fecha

Nota

APUNTES

Plan calendario

Introducción

Los Métodos Numéricos son técnicas que nos permiten formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Todos los problemas de Métodos Numéricos comparten una característica común la cual es llevar a cabo un buen número tedioso de cálculos aritméticos los cuales con la aparición de las computadoras digitales han aumentado considerablemente en la solución de problemas de Ingeniería mediante programas o en forma directa usando formulas en hojas de calculo como el Excel.

En hoja de calculo como el Excel la solución es de modo inmediato, ya que se colocan los datos iniciales y luego la formula en forma correcta y se la copia hasta llegar al resultado deseado.

En un programa los datos constituyen la información de entrada y los resultados requeridos la información de salida y el proceso constituye el método a usar en el programa.

Estudio de los métodos numéricos

Para estudiar los métodos numéricos tenemos los siguientes puntos:

• Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas bastante complicados, los cuales son comunes en la Ingeniería, siendo imposible de resolver analíticamente (Ecuaciones que no se pueden despejar, sistema de ecuaciones no lineales, etc.).

Ejemplos:

• Creación de software de modo inmediato, diseñándolo en hojas de calculo como el Excel el cual es una herramienta poderosa para la solución de este tipo de problemas, ya que con formulas se lo resuelve en forma directa, se debe tener conocimiento de las formulas del Excel.

• Creación de programas, la cual no depende del conocimiento de la teoría básica en la cual se basan estos métodos, si no también en la lógica que se tenga para diseñar programas.

• Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión en las matemáticas superiores, reduciendo las operaciones en formulas aritméticas fácilmente aplicables a hojas de calculo.

3. HOJA ELECTRÓNICA MICROSOFT EXCEL

El Excel es un libro que contiene hojas de calculo y gráficos comerciales.

La hoja de calculo es una matriz compuesta de columnas y filas. Las columnas de denotan con las letras A,B,C,…,Z, AA,AB, …,AZ,…,IV; en total son 256 columnas.

Las filas o líneas van desde el número 1 hasta el 65 536.

La intersección de una columna y una fila se llama celda o casillero en total se tiene 16 777 216 celdas. En las celdas se introducen datos o formulas. Los datos en forma directa y las formulas primero el signo "=". La primera celda de denota A1 la cual indica la columna "A" y la fila "1".

En las formulas se usan los operadores y las funciones que tiene el excel.

4. DISEÑO DE ALGORITMOS

Los algoritmos siguen una secuencia lógica de pasos necesarios para ejecutar una tarea especifica, tal como la solución de un problema. Los resultados finales nunca dependen de quien lo este usando siendo lo más general posible tratando todo caso particular.

Un algoritmo se puede representar mediante un diagrama de flujo (representación gráfica) o en un programa (conjunto de instrucciones con cierta sintaxis).

5. COMPOSICIÓN DEL PROGRAMA

Cuando el algoritmo ya ha sido diseñado este se lo puede expresar como una secuencia lógica de instrucciones de un programa llamado código (el código se escribe en un lenguaje de programación).

Los lenguajes que se pueden utilizar son: Turbo Pascal, Delphi, Visual Basic o Bases de datos.

6. VERIFICACIÓN

Cuando el programa ya esta escrito se debe buscar los errores para ello se usa el rastreo y prueba.

El rastreo es el proceso de localizar y corregir los errores.

Los errores de sintaxis violan las reglas del lenguaje (como la ortografía).

Los errores lógicos son los más difíciles de detectar; para encontrar estos errores se debe hacer una prueba, la cual puede ser manual o en el computador.

7. DOCUMENTACIÓN

Una vez corregido todos los errores el programa se lo debe documentar colocándole comentarios a todos los pasos que se realizan especialmente lo mas complicado.

8. ALMACENAMIENTO Y MANTENIMINTO

Son los pasos finales en el desarrollo de un programa, el mantenimiento involucra acondicionar el programa e incluso hacerle cambios que lo hagan accesible a problemas reales después de varias pruebas, de este modo se lo hace fácil y entendible aplicando a la mayor cantidad de problemas.

El mantenimiento se facilita con una buena documentación.

El almacenamiento se refiere a la manera en que los programas se guardan para uso posterior.

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 1

1.- Escribir los pasos de solución de un problema cundo se recurre a una computadora.

2.- Cuando se aplican paquetes a problemas de métodos numéricos, porque?.

3.- Calcular en Microsoft Excel por el determinante, la matriz transpuesta, suma y resta de matrices usando formulas y funciones matriciales.

4.- Trazar un algoritmo para calcular la edad de una persona en años, meses y días. También realizarlo en el Microsoft Excel.

5.- Hacer un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números, aplicando el método de euclídes. También obtener el mínimo común múltiplo.

6.- Hacer un algoritmo para calcular el factorial de un número.

7.- Hacer un algoritmo para calcular la función exponencial con "n" iteraciones, la cual se la puede expresar:

Comparar el resultado con la función EXP(x).

8.- Hacer un algoritmo para calcular toda las raíces posibles de la ecuaciones cuadrática ax2+bx+c=0.

Nota. Los prácticos también deberá resolverlos usando el Microsoft Excel.

Teoría de errores

1. INTRODUCCIÓN

Las características de las técnicas desarrolladas en la mayor parte, es la de poseer errores.

Los errores se tratan de reducir mejorando los cálculos. En la parte profesional los errores pueden ser bastante caros y en ocasiones catastróficos. Los cálculos numéricos son solo una aproximación donde el punto de partida es el análisis del error.

2. ERROR EN LOS DATOS ORIGINALES

Los errores originales son causas principales de errores en los cálculos numéricos.

Los errores originales o comunes son los errores de redondeo y de truncamiento.

ERRORES DE REDONDEO

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras o calculadoras, solo representan cantidades con un número finito de dígitos. Para interpretar el origen de estos errores, es necesario aprender el modo en que se almacenan los números y cómo se llevan a cabo las operaciones aritméticas dentro de una computadora

Ejemplo.

El redondeo de 35,456 a dos dígitos es 35,46.

43,5749 43,57.

En Microsoft Excel existe la función Redondear:

REDONDEAR.- Redondea un número al número de decimales especificado. Su formato es: REDONDEAR(número;núm_decimales)

Númeroࠠes cualquier número real que desee redondear.

Núm_decimalesࠠes el número de decimales al cual desea redondear el número.

REDONDEAR(35,456; 2) es igual a 35,46.

REDONDEAR(43,5749; 2) es igual a 43,57.

REDONDEAR(-15,475; 2) es igual a -15,48

REDONDEAR(31,5; -1) es igual a 30

Además existe una variedad que complementan, las cuales son:

REDONDEAR.MAS.- Redondea un número hacia arriba, en dirección contraria a cero. Su formato es:

REDONDEAR.MAS(número;núm_dec.)

REDONDEAR.MENOS.- Redondea un número hacia abajo, en dirección hacia cero. Su formato es: REDONDEAR.MENOS(número;núm_decimales)

REDOND.MULT.- Redondea un número al múltiplo deseado. Su formato es: REDOND.MULT(número;múltiplo)

REDONDEA.IMPAR.- Redondea un número hasta el próximo entero impar. Su formato es: REDONDEA.IMPAR(número)

REDONDEA.PAR.- Devuelve un número redondeado hasta el número entero par más próximo. Su formato es: REDONDEA.PAR(número)

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento representan la diferencia entre el resultado de una formulación matemática exacta para un cierto modelo ó problema y la aproximación dada por el método numérico.

ERROR PROPAGADO

El error propagado se cuando no toma un resultado con todos sus dígitos y este a su vez se reemplaza en otro modelo matemático, de esta manera el error se propaga en el resultado final.

DIGITOS SIGNIFICATIVOS

Los dígitos o cifras significativas nos permitieron designar la confiabilidad de un valor numérico.

El valor del dígito que tenga cierto número se refiere a la cantidad de cifras o longitud del número.

Los dígitos o cifras se usan para ubicar el punto decimal (unidad, decena, centena, etc.).

Ejemplo:

0,0000485 tiene tres dígitos significativos

0,0067 tiene dos dígitos significativos

ARITMÉTICA DEL PUNTO FLOTANTE

Es una forma de incorporar un ajuste automático en la aritmética de punto fijo, ya que todos los números se multiplican por las correspondientes potencias de 10 para que se mantengan siempre entre 0 y 1.

Ejemplo:

El número en punto fijo 9876,1234 (con 8 dígitos significativos) equivale en punto flotante 9,876×103 ó 9,876E+3 (con 4 dígitos significativos), eliminándose 4 dígitos significativos

PRECISIÓN Y EXACTITUD

La precisión se refiere a lo siguiente:

• 1) El número de dígitos que pueda representar una cantidad.

• 2) La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento el cual mide alguna propiedad física.

La exactitud se refiere a la aproximación de un número al valor verdadero que representa.

ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO

El error absoluto (Ea) de un número es la magnitud de la diferencia entre el Valor exacto (Ve) y el valor aproximado (Va).

Ea = |Ve – Va |

El error relativo (Er) es la relación entre el error absoluto y el valor exacto es decir:

DEFINICIÓN DEL ERROR

Un error se genera con el uso de un aproximación en la cual representamos las operaciones y las cantidades matemáticas esto incluye errores de truncamiento y redondeo.

Para cualquier tipo de error el error es la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado es decir:

Ve = Va + Error

Ejemplo:

Las medidas de una torre tienen una longitud de 100000 cm. Y su campana 10 cm. Si se miden la torre y la campana obteniéndose 99999 cm. Y 9 cm respectivamente. Calcular para cada caso:

• a) El error

• b) El error relativo porcentual

Solución:

a) Error = Ve – Va

Para la torre: Error = 100000 – 99999 = 1 mt.

La campana: Error = 100 – 99 = 1 mt.

Ambos tienen el mismo error, pero el Er% de la campaña es mucho más grande. Concluimos diciendo que se ha hecho un buen trabajo para la torre mientras que la campana deja mucho que desear.

ERROR APLICADO A LOS METODOS NUMERICOS

En métodos numéricos el valor exacto se conoce únicamente cundo se habla de funciones o expresiones matemáticas que se pueden resolver analíticamente.

En las aplicaciones reales por lo general no se conoce la respuesta exacta, en estos casos normalizar el error es una alternativa, para ello se usa una estimación de la mejor forma posible para el valor exacto (la mejor aproximación).

Este calculo se repite varias veces o de forma iterativa para calcular sucesivamente, mejorando las aproximaciones hasta tener un error mínimo.

El valor del error debe ser menor al de la tolerancia fijada: |En| = Es

Esta tolerancia de error es fijada mediante el número de dígitos significativos en la aproximación.

Para ello usaremos el siguiente criterio teniendo la seguridad de que el resultado es correcto al menos en N dígitos significativos.

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 2

APROXIMACIONES Y ECUACIONES NO LINEALES

1.- Cuántas cifras significativas tienen los siguientes números:

• a) 0,00056

• b) 7,0 x 103

• c) 5

• d) 70,0

• e) 70

• f) 0,54 x 102

2.- Dada la serie infinita:

Donde F(x)襘. Calcular los errores absolutos y relativos porcentuales. Iniciando con el primer término hasta el 5º término. Luego aplicarlo a un programa hasta n términos.

3.- Determine las raíces de:

• a) Usando la fórmula analítica

• b) Usando el método de bisección para determinar la raíz mas alta teniendo valores iniciales X1=2,5 y X2=3,5. Calcular los errores después de cada iteración.

• c) Gráficamente,

• d) Con los datos del inciso "b" usar el Método de la Regla Falsa.

4.- Hacer un programa para resolver la ecuación: AX2+BX+C=0.

5.- Dado un polinomio: F(X) = -0,874X2+1,75X+2,627, hallar una de las raíces aplicando uno de los métodos conocidos.

6.- Dada la función de la pregunta 3. Determinar la mayor raíz y la cantidad de Iteraciones teniendo como valor inicial X0=0.

• a) Use el método de aproximaciones sucesivas.

• b) Use el método de Newton-Raphson

• c) Use el método de la Secante (X1=-2,2)

7.- Hacer un programa para resolver la ecuación: XN-a=0, con X0=a/n. Aplicar el método mas eficiente.

8.- Hallar raíz positiva real de: F(X)= 4 X4-24,8 X3+57,76 X2+20,57 Teniendo valores iniciales: X1=0,5 y X2=1,5. Use el método más eficiente y realice los cálculos hasta un error de 10%.

9.- Hallar todas las raíces reales de F(X)=X3-7X+6, aplicando los métodos de newton raphson y Ruffini.

10.- Resolver el siguiente sistema no lineal.

(igualar para tener una incógnita).

Nota. Los practico deberá resolverlos usando el Microsoft Excel.

INTRODUCCIÓN.- Una ecuación se usa para determinar raíces y soluciones, las cuales poseen términos algebraicos y trascendentales.

Una función dada por Y=F(x) es algebraica si se puede expresar de la siguiente manera:

Ejemplo: F(x) = 5X3 – 3X2 + 2X + 3

Las funciones trascendentales incluyen funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.

Ejemplo: F(x) = sen X + eX +2

F(x) = 1n X + X

Las raíces de las funciones cuando estas se igualan a cero pueden ser reales o complejas.

F(x) = 0 ; F(x) = Ax2 + Bx + C

Las raíces en la parte practica, algunos no tienen solución aplicando métodos conocidos (no tienen solución cerrada). Como en el caso de: F(x) = 1n X + X.

En estos casos recurriremos a los métodos de aproximación de las raíces las cuales poseen dos pasos fundamentales:

1) Determinación de una raíz aproximada.

2) Optimización de la aproximación hasta cierto grado de precisión, la cual esta preestablecida con la estimación de cierto error.

1.- METODOS PARA CALCULAR RAICES

1.1.- MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS.- (Métodos convergentes), se los llama así por que necesitamos de dos valores para las raíces a calcular; el intervalo debe encerrar a la raíz Xe[a,b].

a) Método grafico.- Este método es una forma simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación F(x)=0

Consiste en graficar la función observando donde corta el eje "X" el cual es una aproximación inicial a la raíz.

Ejemplo:

b) METODO DE LA BISECCIÓN.- En el método grafico se observa F(x) cambia de signos hacia ambos lados de la raíz.

En general si F(x) es real y continuo en el intervalo X1 Y X2 donde F(X1) y F(X2) tienen signos opuestos lo que implica que:

• a) Se deberá escoger los valores iniciales de X1 y X2 de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo.

Si F(X1) > 0 y F(X2) < 0 ir al inciso (b)

Si F(X1) < 0 Y F(X2) > 0 ir al inciso (b),

En caso contrario no cumple con la condición y escoger nuevos valores.

• b) La primera aproximación a la raíz se la determina calculando el punto medio.

• c) Se determina en que subintervalo cae la raíz.

Ejemplo: Hallar la solución de F(X)=5X+X teniendo valores iniciales:

X1 = -0,4 y X2 = 0,6

Solución:

• d) Se vuelve al paso (b) y se calculan las nuevas aproximaciones, las cuales se dan en la siguiente tabla