Con frecuencia se denominan los problemas en correspondencia a la rama de la Matemática en la cual se aplican los contenidos o los recursos para resolver el problema. Por ejemplo, se llaman aritméticos, algebraicos, geométricos, estadísticos, entre otros. En este caso no es correcto plantear que se ha realizado una clasificación, porque para que esto ocurra las clases en las que se divide el concepto superior deben ser disjuntas y en esta oportunidad no siempre esto ocurre. Por ejemplo, existen problemas que para resolverse se pueden aplicar procedimientos o recursos tantos aritméticos como algebraicos.
No obstante, por la amplia utilización en la enseñanza primaria se precisará en qué consisten los llamados problemas aritméticos que serán considerados como aquellos problemas matemáticos donde la vía fundamental de solución es la aplicación de las propiedades de los números o de las operaciones básicas con los mismos.
Estos problemas se pueden clasificar según diferentes puntos de vista:
De acuerdo a la "cantidad de pasos de solución" pudieran ser:
simples que son aquellos que se resuelven en un solo paso de solución y
compuestos que se resuelven en más de un paso de solución (por lo general, para encontrar lo que se busca hay primero que hallar otros elementos desconocidos que están en el propio problema y que se acostumbra llamarlos subproblemas o problemas auxiliares).
Es bueno precisar que los problemas simples, otros investigadores los han nombrado como problemas de una etapa, mientras que a los compuestos (PAVECO) se les llaman de más de una etapa y otros los llaman combinados.
Además los compuestos se pueden subdividir por el "tipo de relaciones entre las operaciones" en:
independientes: cuando el orden en que se realizan los pasos de solución NO son determinantes para resolverlo y
dependientes: cuando se cumple lo contrario
Esta última clasificación en muy empleada en la enseñanza de la Matemática en la escuela primaria cubana.
Por otra parte los problemas también se pueden clasificar:
Por el "tipo de lenguaje utilizado" pueden ser:
verbales: son los que describen relaciones cuantitativas que existen entre objetos utilizando la palabra como canal o vía fundamental por medio de la cual se desarrolla la comunicación.
no verbales: son aquellos donde la comunicación se establece por medio de un lenguaje donde la palabra no es el canal básico; se caracterizan por la brevedad y en ellos prevalecen el empleo de signos, símbolos, gráficos u otros recursos del lenguaje visual.
Ahora bien, los verbales se sub-dividen en:
matemáticos si el texto que emplea es del lenguaje propio de esta asignatura y
no matemático o común si su texto es el empleado en la vida, en la práctica y no en el lenguaje propio de la Matemática.
En este trabajo se estudiaran los problemas aritméticos verbales compuestos dependientes pero de dos etapas o pasos (PAVECOD2).
Ahora bien, los problemas compuestos dependientes también tienen sus peculiaridades. En algunos casos, la dependencia aparece de manera explícita en el problema, pues se plantean dos incisos, donde para contestar el segundo es preciso haber respondido al primero. En otros, el problema solo contiene una pregunta pero para contestarla el alumno debe resolver, al menos, un sub-problema o problema auxiliar, o sea que la dependencia es implícita.
Los problemas compuestos también se pueden sub-dividir "por el tipo de operaciones que se deben realizar" en:
compuestos puros son aquellos que se resuelven aplicando de manera reiterada una misma operación aritmética.
compuestos mixtos son los que se caracterizan por resolverse utilizando para ellos distintas operaciones aritméticas.
Por otra parte, si se tiene en cuenta "el orden en que aparecen los datos y su utilización en el proceso de solución" se tendrían que pudieran ser:
compuestos directos: son aquellos que la secuencia temporal en que aparecen los datos es la misma en la que deben ser utilizados para resolver el problema.
compuestos indirectos: son los que los datos aparecen en un orden o secuencia y se utilizan de otra manera para resolver el problema.
Investigaciones realizadas en los PAVECO
Las investigaciones realizadas acerca de los PAVECO se van a agrupar aquí en tres enfoques distintos, de acuerdo a las características que han predominado en estos estudios:
a) Enfoque basado en el estudio de los procesos y pasos
c) Enfoque basado en el análisis lingüístico
Seguidamente se analizaran los aspectos básicos del último enfoque por ser el que está relacionado con este trabajo, que pueden agruparse en dos:
a) Análisis sintáctico-gramatical
Uno de los estudios iniciales de este enfoque son los realizados por las investigadoras Nesher & Hershkovitz, (1994) que estudian los problemas compuestos desde una perspectiva textual, es decir, a partir del análisis de las proposiciones u oraciones que lo estructuran. Estas autoras introducen en sus estudios algunos términos que conviene puntualizar: "componentes", "estructuras subyacentes" y "esquemas".
El texto de un problema de un solo paso contiene tres "componentes"; dos de ellas contienen la información numérica, es decir, son los datos o las situaciones iniciales que ellas denominan componentes completos y otro que es la pregunta o situación final, donde está ausente la información numérica y que llaman componente incompleto. Ahora bien, a las relaciones coherentes que se establecen entre estos tres componentes la designan por "estructura subyacente". Finalmente, emplean el término de "esquema" que significa la composición de dos o más estructuras.
Al estudiar los problemas de dos pasos introducen un nuevo vocablo: "componente latente", que no siempre aparece de manera explícita en el problema y es el que establece la relación entre una operación y la otra. Para ilustrar sus planteamientos se tomará uno de los ejemplos que ellas utilizaron en sus estudios:
1. Un total de 35 flores son distribuidas a partes iguales en 7 jarrones. En cada jarrón hay 3 tulipanes y el resto son rosas. ¿Cuántas rosas hay en cada jarrón?
Los componentes explícitos de este problema son:
1) Un total de 35 flores son distribuidas a partes iguales en jarrones (componente completo)
2) Hay 7 jarrones (componente completo)
3) Tres tulipanes en cada jarrón (componente completo)
4) ¿Cuántas rosas hay en cada jarrón? (componente incompleto)
Sin embargo, hay un componente implícito que sirve de nexo entre dos datos y el tercero y la pregunta que en este caso sería la interrogante: ¿Cuántas flores hay en cada jarrón? ("componente latente") que se infiere del texto del problema. Es el resultado de la operación: 35 : 7 = ? de la estructura multiplicativa y la entrada a la segunda operación: ? – 3 = 2, que forma parte de la estructura aditiva. Así, la componente latente es compartida y sirve de enlace entre las dos estructuras subyacentes en este problema de dos pasos.
En resumen, en un problema de dos pasos hay dos estructuras subyacentes y seis componentes, cuatro de ellas están mencionadas explícitamente en el texto, y una es latente y sirve dos veces, en diferentes roles en su estructura: por ejemplo, en el problema anterior se tiene que:
1. ¿Cuántas flores hay en cada jarrón? ("componente latente")
2. Hay (?) flores en cada jarrón ("componente latente")
Se debe observar que la primera componente es la interrogante que se hace y la segunda en la respuesta obtenida al contestarla y que servirá de datos para darle solución al problema formulado.
Categorización por esquemas
Estas autoras consideran que el éxito del resolutor de un problema de dos pasos esta directamente relacionado con el esquema del problema, que le ayudará a interpretar el texto dado, y a imaginar la situación a modelar, si fuera necesario, para realizar los cálculos que permiten obtener la solución buscada.
Es por ello que señalan que la definición de los problemas compuestos no se basa de las cuatro operaciones aritméticas como afirma Gray, sino en los esquemas simples constituidos por una relación entre tres cantidades. En el esquema aditivo sus tres componentes son el todo y sus dos partes, mientras que en el multiplicativo son el producto (se equipara al todo) y los dos factores (se equipara a las partes). Ellas parten del trabajo previo de Shallin & Bee (1985) para afirmar que solo hay tres esquemas básicos para los problemas de dos pasos o etapas:
ESQUEMA (A) (Jerárquico): El todo de un esquema es parte del otro.
ESQUEMA (B) (Compartir el todo): Los dos esquemas comparte en todo.
ESQUEMA (C) (Compartir una parte): Los dos esquemas comparte una parte
A continuación se ilustran los esquemas anteriores:
El funcionamiento de los esquemas hace ver con claridad cuál es la primera operación que debe ser ejecutada. Se debe siempre comenzar por la estructura que tiene las dos componentes completas y que su salida formará parte de la estructura que inicialmente tiene solo una componente completa.
Se ilustrará lo anterior con el problema 1 y con el que sigue:
2. En cada jarrón hay 3 tulipanes y 2 rosas. ¿Cuántas flores hay en total en 7 jarrones?
Como se puede apreciar el componente latente en ambos problemas es el mismo y comparten las estructuras subyacentes. Sus diferencias vienen dadas en lo dado y lo buscado (componentes completos e incompletos). Además, en el problema 1 intervienen la división y la sustracción y comienza con la estructura multiplicativa, mientras que en el 2 se utilizan la adición y la multiplicación y se inicia con la estructura aditiva.
¿Cómo se emplea el esquema B?
En el mismo la suma (el producto) de una estructura es el producto (la suma) de la otra, es decir, que las dos estructuras comparten el todo. Veamos un ejemplo donde se utiliza:
3. Se tienen 14 rosas y 21 tulipanes que son distribuidos a partes iguales en siete jarrones. ¿Cuántas flores se colocaran en cada jarrón?
En este caso ambas estructuras comparten el componente latente: ¿Cuántas flores hay en total?: la suma de la estructura aditiva con el producto de la multiplicativa.
Finalmente, veamos como se puede utilizar el esquema C: un sumando (factor) de una estructura es al mismo tiempo el factor (sumando) de la otra o sea, las dos estructuras comparten una parte. Veamos un ejemplo:
4. En una fiesta hay 20 chicos, 12 de ellos son niños. Se trajeron 40 flores para ser distribuidas por igual entre las niñas. ¿Cuántas flores se le entregó a cada niña?
En este caso se puede observar que ambas estructuras comparten una misma parte: componente latente: ¿Cuántas niñas hay en la fiesta? En este caso es un sumando de la primera estructura (aditiva) y un factor de la segunda (multiplicativa).
Los ejemplos presentados fueron tomados de la composición de una estructura aditiva y una multiplicativa. Sin embargo, se puede también construir problemas que sean combinaciones de dos estructuras aditivas o dos multiplicativas.
b) Análisis semántico
Más recientemente, se efectuó otra investigación en España por (Frías y Castro, 2007) que estuvo encaminada a determinar si una variable lingüística denominada por ellos "nodo", tiene o no influencia significativa en la elección de las operaciones necesarias para solucionar problemas aritméticos verbales de dos pasos.
¿A qué denominan "nodo"?
"La condición de nodo (nexo) la tienen aquellas cantidades que son compartidas por varias estructuras simples dentro de un problema compuesto, con independencia de que tales cantidades sean datos del problema o incógnitas intermedias (cantidades latentes) del mismo" (Frías y Castro, 2007, p.33).
Por tanto, en los problemas de dos pasos puede ocurrir que tengan un solo nodo, que son las estudiadas por Nesher & Hershkovitz (N&H), (1994) o que tengan dos.
A partir de las ideas de las autoras anteriores, ellos determinan tres tipos posibles de esquemas a utilizar para los problemas con dos nodos, que se presentan a continuación:
1. Cuando una parte y el todo de un esquema simple coinciden con las partes del otro esquema simple. Este esquema lo denotan por JP, pues es una adaptación del esquema A (jerárquico) de N&H. A continuación se ilustran las dos posibles situaciones diferentes que se pueden presentar:
Si en el esquema la componente latente es el todo de una de las estructuras simples y una parte de la otra, entonces se tiene el esquema denotado por JP1, y la si componente latente es la parte compartida por ambos esquemas simples, se tiene el esquema denotado por JP2. En ambos casos comparten un dato (D) que es una parte común en el primer caso y un todo y una parte común de la primera y segunda estructura simple respectivamente.
Ejemplifiquemos estas situaciones:
5. Carlos tenía 5 bolas y su abuelo le regaló el triplo. ¿Cuántas bolas tiene ahora?
7. Carlos tenía algunas bolas y su abuelo le regaló 15, que representa el triplo de las que tenía. ¿Cuántas bolas tiene ahora?
2. Cuando las dos partes de un esquema simple coinciden con las del otro, se tiene el esquema denotado por CPP (compartir parte y parte). También puede generarse a partir del esquema compuesto (C): CP de N&H, haciendo coincidir la otra parte de ambos esquemas simples. A continuación se ilustra el esquema que lo representa:
Veamos un ejemplo donde se utilice:
9. Un terreno de forma rectangular tiene un área de 150 m2. Si uno de sus lados mide 10 m. ¿Cuál es el valor del semiperímetro?
Como se puede apreciar en este esquema se comparten: 10 es un factor y un sumando (conocido), mientras ? es el otro factor (sumando) y el otro sumando (factor), ambos desconocidos.
3. Cuando una parte y el todo de un esquema simple coinciden con parte y todo del otro esquema simple. Lo denominan CTP (compartir todo y parte), que se puede obtener a partir del esquema (B): CT (Compartir el todo de N&H) si se hace coinciden una parte de cada esquema simple, o también del esquema (C); CP (compartir una parte de N&H), si se hace coincidir el todo de cada esquema simple. A continuación se ilustra dos de las situaciones diferentes que se pueden presentar:
Se puede observar que si la componente latente es el todo compartido por las dos estructuras, entonces se tiene el esquema CTP1, mientras que si componente latente es una parte compartida por ambas estructuras, se tiene el esquema CTP2.
Ejemplifiquemos estas dos situaciones:
11. Carlos tenía 5 bolas y su abuelo le regaló el triplo. ¿Cuántas bolas tiene ahora más que antes?
13. Carlos tenía cierta cantidad de bolas y su abuelo le regaló el triplo de las que tenía. Ahora tiene 15. ¿Cuántas bolas tiene ahora más que antes?
Es bueno aclarar que aunque aquí se han señalado ejemplos donde se combinan la estructuras aditivas con las multiplicativas, también se pueden utilizar dos aditivas o dos multiplicativas, o sea, los pares: (A , A) o (M , M).
Como se puede apreciar, el empleo de estos esquemas por parte de los alumnos de la enseñanza primaria, debe resultar complicado por todos los elementos de cada estructura que deben tener en cuenta. Es por ello que aquí se propone el empleo de UN SOLO TIPO de modelo, que se denominará MODELO JERARQUICO RAMIFICADO (MJR). Este tendrá las siguientes características:
a) El esquema que se empleará, serán una adaptación del jerárquico de Nesher & Hershkovitz, (1994) y el JP de Frías y Castro, (2007).
b) El modelo que se recomienda, se puede utilizar indistintamente para todos los casos que se pudieran presentar en este tipo de problemas; por tanto es GENERALIZADOR.
c) Se sustituirán los rectángulos por círculos y por cuadrados. Los primeros se utilizaran para los términos de las operaciones y los segundos para el resultado de las mismas. Se introducen saetas para indicar el camino de los términos al resultado. Siempre aparecerá un valor numérico que tiene una doble función: resultado y término y por tanto se representará doblemente con las dos figuras.
d) Se recomienda comenzar su trazado a partir de los términos. Además entre las dos saetas y próximo al resultado se escribirá el símbolo de la operación que relaciona a los dos términos.
Se ilustrará el empleo de este esquema con los siguientes problemas:
Problemas compuestos dependientes explícitos:
Este tipo de problemas se pudiera proponer a los alumnos al finalizar el segundo grado o al inicio de tercer grado.
15. La directora de una escuela primaria entregó 20 cajas de lápices de colores a cada uno de los 8 grupos de tercer grado. Ella tenía 176 cajas y las que quedaron se las dio a los grupos de primer grado.
a) ¿Cuántas cajas de lápices de colores entregó a tercer grado?
b) ¿Cuántas cajas de lápices entregó a primer grado?
Veamos otro problema con un nivel de dificultad mayor:
16. El papá de Carlitos necesita viajar en su automóvil de la ciudad A hasta la B. El lunes recorrió 100 km y en los restantes tres días recorrió la misma cantidad de km y pudo llegar a su meta. La distancia entre ambas ciudades es de 340 km.
a) ¿Cuántos km le faltó recorrer al finalizar el lunes?
b) ¿Cuántos km recorrió en cada uno de los otros tres días?
Con el siguiente problema se ilustrará dos posibles esquemas a emplear, en dependencia de si trabajamos con las operaciones directas o inversas:
17. En un estanque hay 30 patos, algunos cisnes y 23 carpas. En total hay 68 animales.
a) ¿Cuántas aves hay en el estanque?
b) ¿Cuántos cisnes hay en el estanque?
Aquí es importante que los alumnos reconozcan que los patos y los cisnes son aves (este último es un concepto superior respecto a los dos anteriores que serían sus subordinados). Además que las aves y las carpas son animales.
Se considera oportuno mostrarles a los alumnos los dos esquemas, así como el funcionamiento y características de cada uno de ellos: en el de la izquierda se trabaja con dos estructuras aditivas, se colocan los datos en el mismo orden en que aparecen; se parte de los conceptos subordinados a los superiores y se utiliza la sustracción como operación inversa de la adición; en el de la derecha se utiliza la operación sustracción de manera directa, no como la operación inversa de la adición; los datos no se colocan en el mismo orden en que aparecen en el problema y se parte del concepto superior a los subordinados. Cada alumno escogerá el esquema que mejor comprenda.
Problemas compuestos dependientes implícitos:
Este nuevo escalón de dificultades al cual deben enfrentarse los escolares al resolver este tipo de problemas se recomienda también introducirlo en el tercer grado. En esta oportunidad cada alumno debe descubrir cuál es el sub-problema o problema auxiliar que él debe plantearse y que le sirve de puente para poder darle solución a la pregunta explícita en el problema. El primer problema a presentar pudiera ser uno similar al que sigue:
18. En un campamento hay 95 excursionistas. De ellos 43 están practicando natación y 22 jugando béisbol. ¿Cuántos excursionistas no están practicando ningún deporte?
Una pregunta clave que el docente debe hacer aquí es la siguiente:
¿Qué otra interrogante debes plantearte, que al contestarla la utilizarás para poder contestar la pregunta que se te ha formulado?
En este caso sería: ¿Cuántos excursionistas están practicando algún deporte? Se puede observar que es la pregunta opuesta a la formulada inicialmente en el problema. El esquema que pudieran emplear sería:
De un rollo de alambre que tiene 185 m de largo se cortan 3 pedazos iguales de 60 m cada uno. ¿Cuántos metros de alambre quedan en el rollo? (tomado del libro de texto de Matemática 3er. grado, p. 102)
El siguiente problema a pesar que para resolverlo es preciso aplicar de manera iterada la misma operación: la adición, las investigaciones han demostrado que los escolares presentan dificultades al resolverlo ya que en aquí un mismo dato se utiliza dos veces:
David tiene 45 sellos de correo y Fernando tiene 12 más que David. ¿Cuántos sellos tienen entre los dos?
En el siguiente problema se presenta una nueva dificultad: la utilización no directa del significado de un vocablo: doble
Tres alumnos coleccionan postales. Marcos tiene 125 y Raúl 109. Entre los dos tienen el doble de las postales que tiene Jorge. ¿Cuántas postales tiene Jorge? (tomado del libro de texto de Matemática 3er. grado, p. 130)
El problema que sigue se caracteriza por también utilizar un dato dos veces en la solución, pero en este caso se aplican dos operaciones distintas:
Gustavo tenía $ 50 y su mamá le regala por su cumpleaños el triplo de lo que tenía. ¿Cuánto dinero tiene ahora más que antes?
El próximo problema tiene la principal dificultad de que se combinan las dos operaciones inversas: sustracción y división, que tradicionalmente provocan limitaciones en los escolares para trabajar con ellas:
En una fiesta hay 50 personas. De ellas 42 son adultos y el resto son niños. Se quiere repartir 40 globos a partes iguales entre los niños. ¿Cuántos globos le corresponden a cada uno?
Este último ejemplo tiene la peculiaridad de que la información que se brinda en el problema se utiliza en orden inverso a como se ofrece y esto obliga al resolutor a proceder de "atrás hacia delante":
Héctor ha resuelto tres problemas más que Julia. Julia ha resuelto el doble que Enrique. Enrique ha resuelto nueve problemas. ¿Cuántos problemas ha resuelto Héctor?
En cada uno de esos problemas debe orientarse a los escolares que controlen los resultados, para ello deben emplear las técnicas de comprobación explicadas en el capítulo 3. En esta oportunidad es muy instructivo su utilización: Como Héctor ha resuelto 21 problemas luego Julia ha resuelto: 21 – 3 = 18, por lo que Enrique habrá resuelto 18 : 2 = 9. Es decir que el problema auxiliar a plantearse aquí es: ¿Cuántos problemas ha resuelto Julia?
La pregunta científica fundamental que se ha formulado en esta investigación es:
¿Tiene influencia el empleo de la modelación jerárquica ramificada (MJR) en la solución de los problemas aritméticos verbales compuestos dependientes de dos pasos (PAVECOD2)?
Para contestar a esta pregunta, se ha realizado una experiencia pedagógica en la que se han entrenado a los escolares primarios durante un curso escolar completo, en el empleo de los esquemas descritos en el marco teórico de este trabajo; después se analizan las producciones escritas de estos alumnos en el empleo de estos esquemas o modelos al resolver problemas aritméticos compuestos de dos etapas. La forma en que esto se realizó y los resultados que se obtuvieron se presentan a continuación:
Método
Sujetos
En este estudio han participado sesenta estudiantes de tercer grado de tres escuelas primarias del municipio Consolación del Sur. La edad de los alumnos oscila entre ocho y nueve años.
Tipo de problemas a estudiar
Por las características de esta investigación se ha trabajado con los problemas aritméticos verbales compuestos de dos pasos, en particular con los dependientes, por ser estos últimos los que mejor se prestan para el empleo de los diferentes modelos o esquemas que se valoran aquí.
Variables:
Se concibieron tres variables para ser monitoreadas y controladas en el proceso investigativo:
Independientes:
M: empleo de los distintos tipos de modelos entrenados: En este caso se hace referencia a los siete tipos de modelos entrenados en los escolares en el proceso de intervención en la práctica. Esta puede asumir los siguientes valores:
Mo: Ninguno (no se empleó ningún modelo o esquema)
M1: Jerárquico de Nesher & Hershkovitz, (1994)): El todo de un esquema es parte del otro.
M2: Compartir el todo de Nesher & Hershkovitz, (1994): Los dos esquemas comparte en todo
M3: Compartir una parte de Nesher & Hershkovitz, (1994) : Los dos esquemas comparte una parte
M4: Esquema compuesto JP de Frías y Castro, (2007).
M5: Esquema compuesto CPP de Frías y Castro, (2007).
M6: Esquema compuesto CTP de Frías y Castro, (2007).
M7: Esquema MJR de Capote M. (2008)
T: empleo del modelo MJR en los distintos tipos de problemas propuestos: Se han considerado los seis tipos fundamentales de problemas aritméticos verbales compuestos dependientes de dos pasos que fueron introducidos en el proceso de enseñanza aprendizaje de la solución de este tipo de problemas:
T1: problema compuesto dependiente explícito
T2: problema compuesto dependiente implícito
T3: problema compuesto dependiente directo
T4: problema compuesto dependiente indirecto
(Cada una de estas categorías fueron evaluadas en las siguientes escalas: correcto, incompleto, incorrecto y ninguno)
Dependiente:
S: realización del proceso de solución de los problemas del tipo: PAVECOD2: En esta oportunidad se analizó la forma en que se procedió en este proceso, que viene dado por.
S0: ninguna solución del problema
S1: solución correcta del problema
S2: solución incompleta del problema
S3: solución incorrecta del problema
Procedimientos e instrumentos:
Durante las dos primeras semanas del curso escolar 2007-2008 se prepararon a las tres maestras en los distintos tipos de problemas compuestos dependientes analizados aquí, así como los diferentes modelos o esquemas que pudieran ayudar a su solución.
En las 28 semanas posteriores estas docentes tuvieron la responsabilidad de introducir estos conocimientos (las variables M y T) en el proceso de enseñanza aprendizaje de la solución de problemas del tipo: PAVECOD2.
En la última sesión de trabajo de la semana 30 se aplicó una prueba pedagógica que contenía seis problemas del tipo que se estudia aquí, y que fueran susceptibles de aplicar los modelos declarados en la variable M: uno de cada prototipo. La orden del cuestionario señalaba que para resolver cada uno de los problemas debían aplicar algunos de los modelos estudiados en clase.
En las restantes 10 semanas del referido curso escolar, las maestras se dedicaron a entrenar solo el modelo MJR, haciendo una adecuada selección de las clasificaciones de problemas abordadas en el marco teórico de este trabajo.
Al finalizar las 40 semanas lectivas, se procedió a aplicar otra prueba pedagógica, que en esta oportunidad contendría cuatro problemas que respondiera a las distintas categorías de la variable T. La orden en esta oportunidad planteaba que resolvieran los problemas y que utilizaran los modelos en los casos que les fueran de utilidad.
Los problemas de ambos cuestionarios fueron resueltos por los niños de manera individual y en silencio en el salón de clase en una prueba de lápiz y papel. A cada niño se le dio el mismo cuestionario.
Resultados
En la siguiente tabla se reflejan los resultados en cantidades y por cientos de la variable M que se obtuvieron después de tabular el primer cuestionario:
Cabe destacar que los modelos M1 y M4 que usaron los niños eran un híbrido con el modelo M7. Aquí se confirma la hipótesis de que a los niños le cuesta trabajo discriminar el uso de los modelos en los casos que debían ser aplicados de acuerdo a los autores que lo elaboraron.
Por otra parte, al tabular los resultados del segundo cuestionario se obtuvieron los siguientes resultados:
De esta tabla se infiere que en la medida que aumenta el nivel de complejidad semántica del problema compuesto, es más útil el empleo del modelo MJR para la solución de éste.
Por último, en la tabla que sigue, se establecen relaciones entre la variable S y el empleo del modelo MJR. En cada celda aparecen las cantidades y entre paréntesis los por cientos correspondientes:
A partir de estas cifras se pueden establecer las siguientes inferencias:
De los 202 problemas resueltos correctamente 139 emplearon de forma correcta el modelo MJR para un 68,9 % de efectividad, mientras que 53 no lo emplearon, pero lo resolvieron correctamente, pues no lo necesitaron. Llama la atención que solo seis aplicaron incorrectamente el modelo y pudieron resolver de manera adecuada el problema (5,7%).
Por otra parte, de los 142 que emplearon correctamente el modelo MJR solo cuatro resolvieron de manera incompleta el problema, para un 2,8 %. Es significativo que solo 11 emplearon incorrectamente el modelo de los 142 utilizados (7,7%).
Ahora bien, en el siguiente gráfico se establecen las relaciones de ambas variables mediante un diagrama de dispersión:
Como se puede observar tres pares ordenados de ambas variables se encuentran sobre la recta de regresión ajustada, lo cual nos indica que existe una estrecha correspondencia (correlación lineal) entre el empleo del modelo MJR y la solución del problema correspondencia. Solo se aprecia una posible discrepancia entre la cantidad de problemas que no tuvieron ninguna solución (7) y los problemas donde no emplearon ninguna modelación (64); no obstante, de estos últimos, 53 no utilizaron modelos pero lo resolvieron adecuadamente; o sea, que no lo necesitaron para resolverlo de manera efectiva.
Conclusiones
Algunas clasificaciones de los problemas aritméticos verbales compuestos dependientes de dos pasos (PAVECOD2) tienen un particular interés para el tratamiento didáctico de estos: permiten graduar los niveles de dificultades y abordar las distintas situaciones que se pueden presentar. Los principales modelos o esquemas que se han elaborados, a nivel internacional: los de Nesher & Hershkovitz, (1994), y los de Frías y Castro, (2007) tienen una enorme importancia teórica para el estudio de estos problemas por los investigadores de educación matemática. El modelo MJR logra sistematizar y generalizar los anteriores para las diversas situaciones que se pueden presentar.
Mediante una experiencia pedagógica, fueron introducidos en grupos de alumnos de tercer grado de la enseñanza primaria, estos modelos para determinar la aceptación de los mismos, su uso en comprender el problema y darle solución. Se pudo determinar que el modelo MJR es el escogido porque permite manipularlo en todas las situaciones, lo que lo hace más asequible. También, su utilización depende del nivel de complejidad de la estructura lingüística de este tipo de problemas. Finalmente, se puede afirmar que el empleo de MJR influye positivamente en la solución de los PAVECOD2
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Breve biografía del autor:
Manuel Capote Castillo
Es Doctor en Ciencias Pedagógicas, Profesor Titular y Consultante de la Universidad Pedagógica "Rafael M. de Mendive" de la provincia de Pinar del Río, Cuba. Es Licenciado en Educación en la especialidad de Matemática. Tiene 42 años de experiencia en la docencia; de ellos 30 en la educación superior. Ha dirigido varios proyectos investigativos relacionados con la enseñanza primaria. Su tesis de doctorado está relacionada con la etapa de orientación en la solución de problemas aritméticos en la enseñanza primaria. Los aspectos básicos de la misma fueron publicados en forma de libro en el año 2005.
País, ciudad y fecha correspondientes al trabajo realizado:
Cuba, Pinar del Río, marzo 2010
Autor:
Manuel Capote Castillo
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