14.1. Productos activos
1) El préstamo pagaré.- Es una operación a corto plazo (máximo un año), cuyas amortizaciones mensuales o trimestrales también pueden ser pagadas al vencimiento. Por lo general, son operaciones a 90 días prorrogables a un año con intereses mensuales cobrados por anticipado. Generalmente utilizado para financiar la compra de mercancías dentro del ciclo económico de la empresa (comprar-vender-cobrar).
2) El préstamo a interés.- Es una operación de corto a largo plazo, que puede ir desde uno hasta cinco años. Las cuotas son por lo general mensuales, pero también pueden ser negociadas y los intereses son cobrados al vencimiento. Este tipo de crédito es utilizado generalmente para adquirir bienes inmuebles, o activos que por el volumen de efectivo que representan, no es posible amortizarlo con el flujo de caja de la empresa en el corto plazo.
3) El leasing.- Operación mediante la cual, la institución financiera, adquiere bienes muebles o inmuebles de acuerdo a las especificaciones del arrendatario, quien lo recibe para su uso y preservación por períodos determinados, a cambio de la contraprestación dineraria (canon) que incluye amortización de capital, intereses, comisiones y recargos emergentes de la operación financiera. El contrato permite al arrendatario la adquisición del bien al final del período de arriendo, mediante el pago de un valor de rescate que corresponde al valor residual del bien.
4) El descuento.- Generalmente, el comercio de bienes y servicios no es de contado. Cuando la empresa vende a crédito a sus clientes, recibe letras de cambio por los productos entregadas. Cuando las empresas carecen de liquidez para adquirir nuevos inventarios o pagar a sus proveedores acuden a las instituciones financieras (generalmente bancos) y ofrecen en cesión sus letras de cambio antes del vencimiento, recibiendo efectivo equivalente al valor nominal de los documentos menos la comisión que la institución financiera recibe por adelantarle el pago. Esta comisión es conocida como descuento. Según van ocurriendo los vencimientos de los documentos de crédito, la institución financiera envía el cobro para que los deudores paguen la deuda que originalmente le pertenecía a la empresa.
5) La carta de crédito.- Instrumento mediante el cual, el banco emisor se compromete a pagar por cuenta del cliente (ordenante) una determinada suma de dinero a un tercero (beneficiario), cumplidos los requisitos solicitados en dicho instrumento. Producto de uso generalizado en las operaciones de importación y exportación.
14.2. Los productos pasivos
Estos productos pueden ser clasificados en tres grandes grupos:
1) Los depósitos.- Son el mayor volumen pues provienen de la gran masa de pequeños y medianos ahorristas. Estos fondos son por lo general los más económicos, dependiendo de la mezcla de fondos.
2) Los fondos interbancarios.- Fondos que las instituciones financieras no colocan a sus clientes en forma de créditos. Estos no pueden quedar ociosos y son destinados a inversiones o a préstamos a otros bancos cuyos depósitos no son suficientes para satisfacer la demanda de crédito de sus clientes.
3) Captación por entrega de valores.- En algunos casos, los bancos emiten valores comerciales para captar fondos del público. Pueden estar garantizados por la cartera de créditos hipotecarios o por la de tarjetas de crédito. En cualquier caso, la tasa de interés será casi directamente proporcional al riesgo promedio total de la cartera que garantiza la emisión.
14.3. Documentos y operaciones financieras de uso frecuente
1) Letra devuelta.- Es la letra que el banco devuelve al cliente por no haberse efectivizado la cobranza en su vencimiento. Si la letra fue descontada previamente, el banco cargará en cuenta del cedente, el monto nominal del documento más los gastos originados por el impago, como son: gastos de devolución (comisión de devolución y correo) y gastos de protesto (comisión de protesto y costo del protesto). Intereses: Aplicable cuando el banco cobra con posterioridad a la fecha de vencimiento de la letra devuelta por impagada. Calculada sobre la suma del nominal de la letra no pagada más todos los gastos originados por el impago, por el período transcurrido entre vencimiento y cargo.
EJERCICIO 28 (Letra devuelta)
Una letra por UM 8,000, es devuelta por falta de pago, cargándose en la cuenta del cedente los siguientes gastos: comisión de devolución 1.5%, comisión de protesto 2.5% y correo UM 4.00. Calcule el monto adeudado en la cuenta corriente del cliente.
2) Letra de renovación.- Es aquella letra emitida para recuperar una anterior devuelta por falta de pago incluido los gastos originados por su devolución. Debemos establecer el valor nominal de esta nueva letra de tal forma que los gastos ocasionados por su falta de pago los abone quien los originó (el librador).
Giramos la letra como aquella emitida y descontada en condiciones normales, con la diferencia de que ahora el efectivo que deseamos recuperar es conocido: el valor nominal no pagado, los gastos de devolución, los gastos del giro y descuento de la nueva letra; siendo desconocido el valor nominal que debemos determinar.
EJERCICIO 29 (Letra de renovación)
Para recuperar la letra devuelta por falta de pago del ejemplo 28, acordamos con el deudor, emitir una nueva con vencimiento a 30 días, en las siguientes condiciones tipo de descuento 18%, comisión 3% y otros gastos UM 20.00. Calcular el valor que deberá tener la nueva letra.
Solución:
VA = 8,324; n = 30/360; i = 0.18; Coms. = 0.03; Otros GG = 20; VN = ?
1º Calculamos los adeudos en cta. cte.:
Adeudos en Cta. Cte. = 8,324[1+0.18*(30/360)] = UM 8,449
2º Finalmente determinamos el valor nominal de la nueva letra:
14.4. ¿Cómo obtiene el banco la tasa activa y de qué depende la tasa pasiva?
Respondemos la interrogante definiendo qué es Spread o margen financiero (tiene su base en el riesgo crediticio):
Un Spread de tasas de interés es la diferencia entre la tasa pasiva (tasa que pagan los bancos por depósitos a los ahorristas) y la tasa activa (que cobran los bancos por créditos o préstamos otorgados). Para comprender con mayor facilidad explicamos cómo el banco obtiene la tasa activa, lo único que haremos es restar la tasa pasiva y obtendremos el Spread.
Para obtener la tasa activa el banco toma en cuenta la tasa pasiva, los gastos operativos propios del banco, su ganancia, el encaje promedio del sistema que tienen que depositar en el BCR por cada dólar ahorrado en los bancos, más el componente inflacionario y riesgo. Es así cómo los bancos obtienen su tasa activa, si le quitamos la tasa pasiva el Spread lo componen, los gastos de los bancos, el encaje, las ganancias por realizar esta intermediación, más los componentes inflacionario y riesgo.
En términos generales, amortización es cualquier modalidad de pago o extinción de una deuda. Aquí haremos referencia a la más común de estas modalidades. La extinción de una deuda mediante un conjunto de pagos de igual valor en intervalos regulares de tiempo. En otras palabras, este método de extinguir una deuda tiene la misma naturaleza financiera que las anualidades. Los problemas de amortización de deudas representan la aplicación práctica del concepto de anualidad.
15.1. Tabla de amortización
La tabla de amortización es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extinción de la deuda. Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortización (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de interés y número de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda, desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este último del saldo de la deuda en el período anterior, repitiéndose esta mecánica hasta el último período de pago. Si los cálculos son correctos, veremos que al principio el pago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al final el grueso del pago regular es aplicable a la disminución del principal. En el último período, el principal de la deuda deber ser cero.
Estructura general de una tabla de amortización:
EJERCICIO 30 (Calculando la cuota uniforme)
La mejora de un proceso productivo requiere una inversión de UM 56,000 dentro de dos años. ¿Qué ahorros anuales debe hacerse para recuperar este gasto en siete años, con el primer abono al final del año en curso, si contempla una tasa de interés del 12% anual?
Solución:
VF2 = 56,000; n = 2; i = 0.12; VA = ?;
1º Calculamos el VA de la inversión dentro de 2 años, aplicando indistintamente la fórmula (12) o la función VA:
2º Luego determinamos la cuota periódica ahorrada a partir de hoy, aplicando la fórmula (19) o la función pago:
VA = 44,642.86; n = 7; i = 0.12; C = ?
Respuesta:
Los ahorros anuales que deben hacerse son UM 9,782.07
EJERCICIO 31 (Préstamo de Fondo de Asociación de Trabajadores)
Un sector de trabajadores que cotiza para su Asociación tiene un fondo de préstamos de emergencia para los asociados cuyo reglamento establece que los créditos serán al 9% anual y hasta 36 cuotas. La cantidad de los préstamos depende de la cuota.
a) Si el préstamo es de UM 3,000 ¿cuáles serán las cuotas?
b) Si sus cuotas son UM 120 ¿cuál sería el valor del préstamo?
Solución (a)
VA = 3,000; n = 36; i = (0.09/12) = 0.0075; C = ?
Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula (19) o la función PAGO:
Solución (b)
C = 120; n = 36; i = 0.0075 (0.09/12); VA =?
Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula (18) o la función VA:
Respuesta:
(a) Las cuotas serán UM 95.40 y (b) Valor del préstamo UM 3,773.62
15.2. Sistema de Amortización Francés
Caracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del préstamo. También asume que el tipo de interés es único durante toda la operación.
El objetivo es analizar no sólo el valor de las cuotas, sino su composición, que varía de un período a otro. Cada cuota está compuesta por una parte de capital y otra de interés. En este sistema, el valor total de la cuota permanece constante y el interés disminuye a medida que decrece el principal. Son útiles las funciones financieras de Excel para el cálculo. El interés aplicado es al rebatir, vale decir sobre los saldos existentes de la deuda en un período. Muy utilizado por los bancos y tiendas que venden al crédito.
EJERCICIO 32 (Calculando la cuota mensual de un préstamo)
Lilian toma un préstamo bancario por UM 3,000 para su liquidación en 6 cuotas mensuales con una tasa de interés del 4.5% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabora la tabla de amortización.
Solución:
VA = 3,000; n = 6; i = 0.045; C = ?
1º Calculamos la cuota a pagar mensualmente:
2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION FRANCES del préstamo:
SALDO INICIAL = SALDO FINAL
INTERES = SALDO INICIAL POR TASA DE INTERES
PAGO = FORMULA [19] O BUSCAR OBJETIVO
AMORTIZ. = PAGO – INTERES
SALDO FINAL = SALDO INICIAL – AMORTIZACION
Respuesta:
La cuota mensual a pagar por el préstamo es UM 581.64, contiene la amortización del principal y el interés mensual.
15.3. Sistema de Amortización Alemán
Cada cuota está compuesta por una parte de capital y otra de interés. En este sistema, el valor total de la cuota disminuye con el tiempo, el componente de capital es constante, el interés decrece.
No es posible utilizar las funciones financieras de Excel para su cálculo. Con este método son de mucha utilidad las tablas de amortización.
EJERCICIO 33 (Préstamo con amortización constante)
Una persona toma un préstamo de UM 4,000 para su liquidación en 24 amortizaciones mensuales iguales, con una tasa de interés del 3.85% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabore el cronograma de pagos.
Solución:
VA = 4,000; i = 0.0385; n = 24; C = ?
Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION ALEMAN DE LA DEUDA:
INTERES = SALDO FINAL POR TASA DE INTERES
AMORTIZ. = PRESTAMO / Nº DE CUOTAS
PAGO = INTERES + AMORTIZACION
SALDO FINAL = SALDO INICIAL – AMORTIZACION
Ejercicios Desarrollados
Interés Compuesto, Anualidades,
Tasas de interés, Tasas Equivalentes
EJERCICIO 34 (Fondo de ahorro)
Durante los 5 años de mayores ingresos de su actividad empresarial el dueño de una MYPE, ahorra mensualmente UM 500, colocando el dinero al 8.4% anual en un Banco que capitaliza los intereses mensualmente. El último abono lo efectúa el 1º de enero de 1999. A partir de este momento decide no tocar los ahorros hasta el 1º de enero del 2003. Determinar cuánto es lo ahorrado del 1º de enero de 1994 al 1º de enero de 1999 y cuánto es lo que tiene del 1º de enero de 1999 al 1º de enero del 2003.
Solución:
Del 1/1/1994 al 1/1/1999 el caso es de anualidades y del 1/1/1999 al 1/1/2003 es un caso de interés compuesto.
1) Anualidad: Del 1/1/1994 al 1/1/1999, hay 5 años:
C = 500; i = (0.084/12) = 0.007; n = (5*12) = 60; VF = ?
2) Interés compuesto:
Del 1/1/1999 al 1/1/2003 hay 4 años. El valor futuro de la cuota periódica es el valor actual para el cálculo del valor futuro al 1/1/2003:
VA = 37,124.02; n = (4*12) = 48; i = 0.007; VF = ?
[11] VF = 37,124.02 (1 + 0.007)48 = UM 51,888.32
Respuesta: Lo ahorrado del 1/1/1994 al 1/1/1999 es UM 37,124.02. Lo acumulado del 1/1/1999 al 1/1/2003 es UM 51,888.32
EJERCICIO 35 (Evaluando el valor actual de un aditamento)
Un fabricante compra un aditamento para un equipo que reduce la producción defectuosa en un 8.5% lo que representa un ahorro de UM 6,000 anuales. Se celebra un contrato para vender toda la producción por seis años consecutivos. Luego de este tiempo el aditamento mejorará la producción defectuosa sólo en un 4.5% durante otros cinco años. Al cabo de éste tiempo el aditamento será totalmente inservible. De requerirse un retorno sobre la inversión del 25% anual, cuánto estaría dispuesto a pagar ahora por el aditamento?
Solución
C = 6,000; n = 6; i = 0.25; VA = ?
1º Actualizamos los beneficios de los seis primeros años:
2º Calculamos el VA de los beneficios para los próximos 5 años:
Determinamos el monto de la anualidad, aplicando una regla de tres simple:
Con este valor actualizamos la anualidad:
C = 3,176.47; i = 0.25; n = 5; VA = ?
3º Finalmente, sumamos los valores actuales obtenidos:
VAT = 17,708.54 + 8,542.42 = UM 26,250.96
Respuesta:
El precio a pagarse hoy por el aditamento con una esperanza de rentabilidad de 25% anual es UM 26,250.96
EJERCICIO 36 (Calculando la tasa vencida)
Determinar la tasa vencida de una tasa de interés anticipada de 12% semestral a:
Solución:
ia = 0.12; iv = ?
Respuesta:
La tasa vencida es 13.64% semestral.
EJERCICIO 37 (Calculando la tasa vencida)
Tenemos una tasa de interés anual de 24% liquidada trimestralmente por anticipado. ¿Cuál es el interés trimestral vencido?.
Para utilizar éstas conversiones, trabajar con la tasa correspondiente a un período de aplicación. Por ejemplo, una tasa de interés de 12% anticipada y/o vencida para un semestre.
Respuesta:
La tasa vencida es 6.38% trimestral.
EJERCICIO 38 (Calculando el VF)
Calcular el valor final de un capital de UM 50,000 invertido al 11 % anual, con capitalización compuesta durante 8 años.
Solución:
VA = 50,000; i = 0.11; n = 8; VF = ?
Calculamos el VF aplicando la fórmula (11) o la función financiera VF:
- VF = 50,000(1 + 0.11)8 = UM 115,226.89
Respuesta:
El valor final o futuro es UM 115,226.89.
EJERCICIO 39 (Calculando n, VF e I)
Un pequeño empresario deposita UM 1,500 con una tasa del 5% trimestral y capitalización trimestral el 30 de Marzo de 1999. Calcular cuánto tendrá acumulado al 30 de Marzo del 2006. Considerar el interés exacto y comercial.
Solución: Con interés exacto
VA = 1,500; i = 0.05; n = ?; VF = ?; I = ?
1º Calculamos el plazo (n) con la función DIAS.LAB (Un año = 365 días y 4 trimestres):
DIAS.LAB/4 = 20.03 n = 20.03
2º Calculamos el VF utilizando la fórmula y la función respectiva de Excel:
Respuesta:
El monto acumulado después de 20 trimestres es UM 3,985.78
Solución: Con interés comercial
VA = 1,500; i = 0.05; n = ?; VF = ?; I = = ?
1º Calculamos n aplicando la función DIAS.LAB:(Un año = 360 días y 4 trimestres)
DIAS.LAB / *4 = 20.31 n = 20.31
Respuesta:
El monto acumulado después de 20.31 trimestres es UM 4,040.60
Nuevamente, constatamos que el interés comercial es mayor que el interés exacto.
EJERCICIO 40 (Calculando el VF)
Cuál será el monto después de 12 años si ahorramos:
UM 800 hoy, UM 1,700 en tres años y UM 500 en 5 años, con el 11% anual.
Solución
VA1,3 y 5 = 800, 1,700 y 500; n = 12; i = 0.11; VF12 = ?
Aplicando sucesivamente la fórmula [11] y la función VF:
Respuesta:
El monto ahorrado después de 12 años es UM 8,185.50
EJERCICIO 41 (Calculando el VF)
Un líder sindical que negocia un pliego de reclamos, está interesado en saber cuánto valdrá dentro de 3 años el pasaje, considerando que el aumento en el transporte es 1.4% mensual y el pasaje cuesta hoy UM 1.
Solución:
VA = 1; i = 0.014; n = (12*3) = 36; VF = ?
- VF = 1(1 + 0.014)36 = UM 1.65
Respuesta:
Dentro de tres años el pasaje costará UM 1.65
EJERCICIO 42 (Calculando el monto acumulado)
Jorge ahorra mensualmente UM 160 al 1.8% mensual durante 180 meses. Calcular el monto acumulado al final de este período.
Solución
C = 160; i = 0.018; n = 180; VF = ?
Respuesta:
El monto acumulado es UM 211,630.87
EJERCICIO 43 (Calculando el plazo)
Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de UM 4,800 para que al 12% anual de interés produjera un monto de UM 8,700.
Solución:
VA = 4,800; i = 0.12; VF = 8,700; n = ?
0.2476*12 = 2.9712 meses 0.9712*30 = 29.1360 días
Comprobando tenemos: (11) VF = 4,800*1.125.2476 = UM 8,700
Respuesta:
El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años y 2 meses con 29 días.
EJERCICIO 44 (Calculando el monto final de un capital)
Qué monto podríamos acumular en 12 años invirtiendo ahora UM 600 en un fondo de capitalización que paga el 11% los 6 primeros años y el 13% los últimos 6 años.
Solución:
VA = 600; i6 = 0.11 e i6 = 0.13; n = 12; VF = ?
[11] VF = 600*(1 + 0.11)6*[1 + 0.13)6 = UM 2,336.47
Como apreciamos en la aplicación de la fórmula los factores de capitalización de cada tramo no los sumamos sino los multiplicamos. Esto es así cuando la tasa es variable durante el período de la inversión y/o obligación.
Respuesta:
El monto acumulado en 12 años es UM 2,236.47
EJERCICIO 45 (Calcular el monto a pagar por una deuda con atraso)
Un empresario toma un préstamo de UM 18,000 a 12 meses, con una tasa mensual de 3.8% pagadero al vencimiento. El contrato estipula que en caso de mora, el deudor debe pagar el 4% mensual sobre el saldo vencido. ¿Calcular el monto a pagar si cancela la deuda a los doce meses y 25 días?
Solución:
VA = 18,000; n1 = 12; n2 = (25/12) = 0.83; i = 0.038; imora = 0.04; VF = ?
1º Con la fórmula (11) o la función VF calculamos el monto a pagar a los doce meses más la mora por 25 días de atraso:
(11) VF = 18,000(1 + 0.038)12 = UM 28,160.53
(11) VF = 28,160.53(1 + 0.038)0.83 = UM 29,049.46 o también en un sólo paso:
(11) VF = 18,000*1.03812*1.0380.83 = UM 29,045.88
Respuesta:
La mora es aplicada al saldo no pagado a su vencimiento, en nuestro caso es UM 28,160.53. El monto que paga al final incluido la mora es UM 29,096.09.
EJERCICIO 46 (Calculando el tiempo)
Si depositamos hoy UM 6,000, UM 15,000 dentro de cuatro años y UM 23,000 dentro de seis años a partir del 4to. Año. En qué tiempo tendremos una suma de UM 98,000 si la tasa de interés anual es de 14.5%.
Solución:
1º Capitalizamos los montos abonados hoy (6,000) y a 4 años (15,000) para sumarlos al abono de UM 23,000 dentro de 10 años, aplicando la fórmula (11) VF = VA(1 + i)n o la función VF:
2º Calculamos el tiempo necesario para que los abonos sean UM 98,000:
0.4952*12 = 5.9424 meses 0.9424*30 = 28.2720 días
Tiempo total: 11 años, 6 meses y 28 días
Respuesta:
El tiempo en el que los tres abonos efectuados en diferentes momentos, se convertirán en UM 98,000 es 11 años, 6 meses y 28 días.
EJERCICIO 47 (Ahorro o inversión)
Hace un año y medio una PYME invirtió UM 20,000 en un nuevo proceso de producción y ha obtenido hasta la fecha beneficios por UM 3,200. Determinar a que tasa de interés mensual debería haber colocado este dinero en una entidad financiera para obtener los mismos beneficios.
Solución:
VA = 20,000; n = (12*6) = 18; I = 3,200; VF = ?; i = ?
[16] 3,200 = VF – 20,000
VF = 20,000 + 3,200 = UM 23,200
Respuesta:
La tasa necesaria es 0.83% mensual.
EJERCICIO 48 (Sumas equivalentes)
Si UM 5,000 son equivalentes a UM 8,800 con una tasa de interés simple anual en tres años; haciendo la misma inversión con una tasa de interés compuesto del 32% anual ¿en cuánto tiempo dará la equivalencia económica?
Solución:
VA = 5,000; VF = 8,800; n = 5; i = ?
Respuesta:
La equivalencia económica se dará en 2 años con 13 días.
EJERCICIO 49 (Calculando el valor de venta de una máquina)
Una máquina que cuesta hoy UM 60,000 puede producir ingresos por UM 3,500 anuales. Determinar su valor de venta dentro de 5 años al 21% anual de interés, que justifique la inversión.
Solución:
VA = 60,000; C = 3,500; n = 5; i = 0.21; VF1 y 2 = ?
Calculamos el VF del VA de la máquina y de los ingresos uniformes:
[11] VF = 60,000(1+0.21)5 = UM 155,624.5476
Al VF (155,624.5476) del VA de la máquina le restamos el VF (26,562.3743) de los ingresos y obtenemos el valor al que debe venderse la máquina dentro de cinco años: 155,624.5476 – 26,562.3743 = 129,062.17
También solucionamos este caso en forma rápida aplicando en un solo paso la función VF, conforme ilustramos a continuación:
Respuesta:
El valor de venta dentro de cinco años es UM 129,062.17.
EJERCICIO 50 (Evaluación de alternativas)
Los directivos de una empresa distribuidora de productos de primera necesidad desean comprar una camioneta que cuesta UM 22,000, están en condiciones de pagar UM 5,000 al contado y el saldo en 18 cuotas mensuales. Una financiera acepta 18 cuotas de UM 1,321 y otra ofrece financiar al 4.5% mensual.
a) ¿Qué interés mensual cobra la primera financiera?
b) ¿Cuáles serían las cuotas en la segunda financiera?
c) ¿Cuál financiación debemos aceptar?
Solución: (a) Primera financiera
VA = (22,000-5,000) = 17,000; n = 18; C = 1,321; i = ?
Solución: (b) Segunda Financiera
VA = 17,000; n = 18; i = 0.045; C = ?
Respuestas:
a) El costo efectivo anual es 56.45%
b) El costo efectivo anual es 69.59%
c) Luego conviene la primera financiera por menor cuota y menor costo del dinero.
EJERCICIO 51 (Cuota de ahorro mensual para compra de un carro)
Un empresario desea comprar un automóvil para su uso personal que cuesta hoy UM 20,000. Para tal fin abre una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de interés del 1.25% mensual y empieza a hacer depósitos desde hoy. El carro se incrementa en 15% anual ¿cuánto deberá depositar mensualmente para adquirirlo en 5 años?.
Solución:
1º Calculamos el valor del automóvil dentro de 5 años:
VA = 20,000; i = (0.0125*12) = 0.15; n = 5; VF = ?
[11] VF = 20,000(1 + 0.15]5 = UM 40,227.1437
2º Finalmente, calculamos la cuota mensual:
VF = 40,227.14; i = 0.0125; n = (5*12) = 60; C = ?
Respuesta:
Para comprar el automóvil dentro de 5 años al precio de UM 40,227.14; el empresario debe ahorrar mensualmente UM 461.65.
EJERCICIO 52 (Compra de un computador)
Jorge desea comprar un nuevo computador, para lo cual cuenta con UM 500, los cuales entregará como cuota inicial, tomando un préstamo para el resto. El modelo que ha elegido tiene un valor de UM 2,900, pero el esquema de financiación exige que tome un seguro que es 1.70% del valor inicial del equipo, el cual puede pagarse en cuotas mensuales y debe tomarse en el momento de comprarlo. ¿A cuanto ascendería el valor de las cuotas mensuales para pagar el préstamo en 24 meses con una tasa de interés del 3.8% mensual?
Costo del equipo UM 2,900.00
(-) Cuota inicial 500.00
Saldo por financiar UM 2,400.00
(+) Seguro por financiar (2,900*1.70%) 49.30
Total por financiar UM 2,449.30
VA = 2,449.30; n = 24; i = 0.038; C= ?
Con estos datos calculamos el valor de cada una de las cuotas del total por financiar, aplicando indistintamente la fórmula o la función PAGO de Excel:
Respuesta:
El valor de cada una de las cuotas mensuales es UM 157.37
EJERCICIO 53 (Calculando la cuota mensual por la compra de un auto)
César compra a plazos un automóvil por UM 15,000 para su pago en 18 cuotas iguales, a una tasa de interés de 3.5% mensual. Calcular el valor de la mensualidad.
Solución:
VA = 15,000; n = 24; i = 0.035; C = ?
Respuesta:
El valor a pagar cada mes es UM 1,137.25. Aplique usted la función PAGO.
EJERCICIO 54 (Ganaron la Tinka)
Un diario local informa que: «50 personas comparten el premio mayor de la tinka». Cuenta la historia de 50 trabajadores que compraron corporativamente un boleto de lotería y ganaron el premio mayor de UM 5’000,000, al cual era necesario descontar el 12% de impuesto a las ganancias ocasionales. Uno de los afortunados trabajadores coloca sus ganancias a plazo fijo por seis meses al 25% anual con capitalización semestral. Al cabo de este tiempo tiene planeado iniciar su propia empresa y requiere adicionalmente UM 30,000, que los debe cubrir vía un crédito al 3.5% mensual y a 36 meses. Determinar el monto para cada uno, el valor del ahorro a plazo fijo y el monto de las cuotas mensuales.
Solución: (1)
Premio global UM 5’000,000
(-) 12% Impuesto a las apuestas 600,000
Saldo para distribución entre 50 ganadores UM 4,400,000
Premio para cada uno (4’400,000/50) UM 88,000.00
Solución: (2)
VA = 88,000; n = 1; i = (0.25/2) = 0.125; VF = ?
[11] VF = 88,000[1 + (1*0.125)] = UM 99,000
Solución: (3)
VA = 30,000; n = 36; i = 0.035; C = ?
Respuesta:
1) Monto para cada uno de los ganadores UM 88,000.00
2) Valor del ahorro a plazo fijo UM 99,000.00
3) Cuotas mensuales del crédito UM 1,479.52
EJERCICIO 55 (Compra a crédito de un minicomponente)
Sonia compra un minicomponente al precio de UM 800, a pagar en 5 cuotas al 5% mensual. Calcular la composición de cada cuota y elaborar la tabla de amortización.
Solución:
VA = 800; n = 5; i = 0.05; C = ?
1º Calculamos la cuota mensual:
2º Finalmente elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION SISTEMA FRANCES:
Respuesta:
La cuota mensual es UM 184.78.
EJERCICIO 56 (Compra de máquinas textiles)
Un pequeño empresario textil adquiere dos máquinas remalladoras y una cortadora por UM 15,000 para su pago en 12 cuotas mensuales uniformes. El primer pago se hará un mes después de efectuada la compra. El empresario considera que a los 5 meses puede pagar, además de la mensualidad, una cantidad de UM 3,290 y para saldar su deuda, le gustaría seguir pagando la misma mensualidad hasta el final. Este pago adicional, hará que disminuya el número de mensualidades. Calcular en qué fecha calendario terminará de liquidarse la deuda, la compra se llevó a cabo el pasado 1 de Enero del 2003 y la tasa de interés es 4.5% mensual.
Solución:
VA = 15,000; n = 12; i = 0.045; C = ?
1º Calculamos el valor de cada una de las doce cuotas:
2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DE SISTEMA FRANCES:
Al pagar los UM 3,290 adicionales a la cuota del quinto mes, nos queda un saldo de UM 6,403, como las cuotas mensuales deben ser de UM 1,644.99, calculamos los meses que faltan hasta que la deuda quede saldada:
VA = 6,403; i = 0.045; C = 1,645; n = ?
0.37*30 = 11 días
Respuesta:
El pago de la deuda disminuye en casi tres meses, por el abono adicional en el quinto mes, la obligación es liquidada el 12/10/2003, siendo la última cuota de UM 609. La última cuota contiene el saldo final (599) y los intereses de 11 días.
EJERCICIO 57 (Doble préstamo)
Un préstamo de UM 3,000 a ser pagado en 36 cuotas mensuales iguales con una tasa de interés de 3.8% mensual, transcurrido 8 meses existe otro préstamo de UM 2,000 con la misma tasa de interés, el banco acreedor unifica y refinancia el primer y segundo préstamo para ser liquidado en 26 pagos mensuales iguales, realizando el primero 3 meses después de recibir el segundo préstamo. ¿A cuánto ascenderán estas cuotas?
Solución:
VA0 = 3,000; VA8 = 2,000; n = 36; n = 26; i = 0.038; C = ?
1º Calculamos cada una de las 36 cuotas con la fórmula (19) o la función PAGO:
2º En el octavo mes recibimos un préstamo adicional de UM 2,000 que unificado con el saldo pendiente es amortizado mensualmente tres meses después de recibido. Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DE LA DEUDA.
Al momento 8, después de amortizar el principal, el saldo del préstamo es 2,683.70 – 52.31 = UM 2,631.39 sin embargo, con el nuevo préstamo más los intereses de los períodos de carencia o gracia el saldo es de 2,631.39 + 2,000 + 175.99 + 182.68 = 4,990.07 con el que calculamos el valor de la nueva cuota, aplicando indistintamente la fórmula [19], la función PAGO o la herramienta buscar objetivo de Excel:
VA = 4,990.07; i = 0.038; n = 26
Respuesta:
El valor de cada una de las 26 cuotas es UM 305.45
EJERCICIO 58 (Calculando las cuotas variables de un préstamo)
Tenemos un préstamo de UM 2,500 con una Caja Rural que cobra el 4.5% de interés mensual, para ser pagado en 8 abonos iguales. Luego de amortizarse 3 cuotas negocian con la Caja el pago del saldo restante en dos cuotas, la primera un mes después y la segunda al final del plazo pactado inicialmente. Calcular el valor de estas dos cuotas.
Solución:
VA = 2,500; i = 0.045; n = 8; C = ?
1º Calculamos el valor de cada una de las 8 cuotas, con la función PAGO:
2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO, abonado la tercera cuota el saldo del préstamo es UM 1,663.92. Para el cálculo de la cuota aplicamos Buscar Objetivo de Excel:
Obtenemos el valor de la amortización 4 dividiendo el saldo pendiente entre 2:
A este valor adicionar los intereses correspondientes, incluido los intereses de los períodos de carencia cuando corresponda.
Respuesta:
El valor de la cuota 4, es UM 906.84
El valor de la cuota 8, es UM 992.13
EJERCICIO 59 (Préstamo sistema de amortización francés y alemán)
Una persona toma un préstamo por UM 15,000 a reintegrar en 12 cuotas con un interés del 3.5% mensual. Aplicar los sistemas de amortización francés y alemán.
Solución: Sistema Francés
VA = 15,000; n = 12; i = 0.035; C = ?
1º Calculamos el valor de cada una de las cuotas:
2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO, Sistema Francés:
Solución: Sistema Alemán
VA = 15,000; n = 12; i = 0.035; AMORT. = ?
2º Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION DE LA DEUDA, Sistema de Amortización Alemán:
Por falta de espacio hemos ocultado varias filas en cada cuadro.
Comentario:
En el sistema de amortización francés los pagos son constantes y la amortización creciente; en el sistema de amortización alemán los pagos son decrecientes y la amortización es constante.
EJERCICIO 60 (Préstamo con tasa de interés flotante)
Un empresario adquiere un préstamo de la Banca Fondista por UM 5’000,000 a reintegrar en 5 cuotas anuales, con una tasa de interés flotante que al momento del otorgamiento es de 5.50% anual. Pagadas las 3 primeras cuotas, la tasa de interés crece a 7.5% anual, que se mantiene constante hasta el final.
Solución:
VA = 5’000,000; n = 5; i1…3 = 0.055 y i4…5 = 0.075; i = 0.075; AMORT. = ?
1º Calculamos la amortización mensual:
2º Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION DE LA DEUDA, Sistema de Amortización Alemán:
Comentario:
Como observamos, el incremento de la tasa de interés produce un quiebre de la tendencia descendente de las cuotas. El quiebre tiene su origen en la cuantía de los intereses.
EJERCICIO 61 (Calculando la tasa efectiva)
Las EDPYMES y Cajas Rurales y Municipales de ahorro y crédito cobran un promedio anual de 52% por préstamos en moneda nacional. Calcular la tasa efectiva.
Solución:
j = 0.52; m = 12; i = ?
Respuesta:
La tasa efectiva anual que cobran estas instituciones es 66.37%.
EJERCICIO 62 (Calculando la tasa nominal)
Una ONG (como muchas), canaliza recursos financieros de fuentes cooperantes extranjeras para ayuda social. Coloca los recursos que le envían únicamente a mujeres con casa y negocio propios al 3.8% mensual en promedio y hasta un máximo de UM 5,000; además, obligatoriamente los prestamistas deben ahorrar mensualmente el 15% del valor de la cuota que no es devuelto a la liquidación del préstamo, por cuanto los directivos de la ONG dicen que estos ahorros son para cubrir solidariamente el no pago de los morosos. Determinar el costo real de estos créditos, asumiendo un monto de UM 2,000 a ser pagado en 12 cuotas iguales al 3.8% mensual.
Solución:
VA = 2,000; i = 0.038; n = 12; j = ?; TEA = ?; VF = ?
1º Calculamos la tasa nominal y la TEA del préstamo:
2º Calculamos el valor de cada una de las cuotas y el «ahorro»:
AHORRO MENSUAL OBLIGATORIO= 210.64 * 15% = UM 31.59 mensual
2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO:
3º Para determinar el costo efectivo del crédito elaboramos el flujo de efectivo y aplicamos la función TIR:
4º Calculamos la tasa nominal y la TEA, a partir de la tasa de interés mensual de 6.28%:
Respuesta:
Considerando el «ahorro» y el valor del dinero en el tiempo, el costo efectivo del crédito que da la ONG es de 108.40% anual, que es lo que pagan sus clientes por su «ayuda social».
EJERCICIO 63 (Evaluando el costo efectivo de un préstamo)
Un pequeño empresario obtiene un crédito de una EDPYME por UM 25,000, a una tasa de interés de 52% anual con capitalización mensual, con una retención mensual del 1.5% para un fondo de riesgo. ¿Cuál será la tasa efectiva anual y el monto a pagar transcurrido un año?
Solución:
1º Como la retención es mensual, convertimos esta tasa periódica a tasa nominal: 0.015*12 = 0.18, luego sumamos este resultado a la tasa nominal:
j = 52% + 18% = 70% capitalizable mensualmente:
VA = 25,000; j = 0.70; m = 12; i = ?
2º Calculamos la tasa periódica y efectiva anual:
3º Finalmente encontramos el monto, transcurrido un año:
i = (0.9746/12) = 0.0812
[11] VF = 25,000 (1 + 0.0812)12= UM 63,798.79
Respuesta:
La tasa efectiva anual (TEA) es 97.46% y el monto que paga efectivamente transcurrido un año es UM 63,798.79 por un préstamo de UM 25,000.
EJERCICIO 64 (Compra con TARJETA de Crédito)
Una persona con una TARJETA DE CREDITO de una cadena de SUPER MERCADOS, adquiere una refrigeradora el 30/12/03 cuyo precio contado es UM 861.54, para ser pagada en 12 cuotas uniformes de UM 96 mensuales cada una, debiendo agregar a esta cuota portes y seguros por UM 5.99 mensual. El abono de las cuotas es a partir del 5/03/04 (dos meses libres). Gastos adicionales UM 17.43 que hacen un total de UM 878.77. Determinar el costo efectivo y elabore la tabla de amortización de la deuda.
Solución:
VA = 878.77; n = 14; C = 96; i = ?; TEA = ?
1º Con la función TASA calculamos la tasa del período ( i ):
2º Con la fórmula [25] calculamos la tasa nominal:
3º Con la fórmula [28] o la función INT.EFECTIVO calculamos la tasa efectiva anual (TEA) de la deuda:
4º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DE LA DEUDA:
5º Para la determinación del costo efectivo de la deuda elaboramos el respectivo flujo de caja:
La cuota mensual que efectivamente paga el cliente es UM 101.99
Respuesta:
El costo efectivo de la deuda incluido los UM 5.99 de portes y seguro es de 90.22% al año y 5.50% mensual.
EJERCICIO 65 (Valor actual de los ingresos anuales)
Una compañía frutera plantó naranjas cuya primera producción estima en 5 años. Los ingresos anuales por la venta de la producción están calculados en UM 500,000 durante 20 años. Determinar el valor actual considerando una tasa de descuento de 10% anual.
Solución:
C = 500,000; i = 0.10; n = 20; VA = ?
1º Calculamos el valor actual de los 20 ingresos:
2º Finalmente calculamos el valor actual del total 5 años antes de iniciarse la cosecha:
VF = 4’256,781.86; i = 0.10; n = 5; VA = ?
Respuesta:
El valor actual de los 20 ingresos al día de hoy es UM 2’643,126.62
EJERCICIO 66 (Cuando una inversión se duplica)
Determinar la conveniencia o no de un negocio de compra y venta de relojes, que garantiza duplicar el capital invertido cada 12 meses, o depositar en una libreta de ahorros que paga el 5% anual.
Solución:
VA = 1; VF = 2; n = 12; i = ?
1º Calculamos la tasa de interés de la operación financiera, cuando el capital se duplica:
2º Calculamos el valor futuro de los ahorros a la tasa del 5% anual:
VA = 1; i = 0.05; n = 12; VF = ?
Respuesta:
Es más conveniente la inversión en el negocio de los relojes.
EJERCICIO 67 (Calculando el valor de contado de un terreno)
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: UM 20,000 de contado; UM 1,000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de UM 2,500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.
Solución: (i =0.09/12), (n = 2*12+6)
VA1 = 20,000; C1…30 = 1,000; VF31 = 2,500; i = 0.0075; n = 30; VA = ?
1º Calculamos el VA de la serie de pagos de UM 1,000 durante 30 meses:
2º Calculamos el VA de los UM 2,500 pagados un mes después de la última cuota:
Respuesta:
Luego el valor de contado del terreno es: 26,775 + 1,983 + 20.000 = 48,758
EJERCICIO 68 (La mejor oferta)
Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad:
(a) UM 400,000 de contado;
(b) UM 190,000 de contado y UM 50,000 semestrales, durante 2 ½ años
(c) UM 20,000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de UM 250,000, al finalizar el cuarto año.
¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?
Oferta : UM 400,000
Solución:(b)
i = (0.08/2 semestres) = 0.04; n = (2.5*2) = 5 semestres; VA = ?
Oferta b : 222,591 + 190,000 = UM 412,591
Solución (c):
n = (3*4 trimestres) = 12; i = (0.08/4 trimestres) = 0.02
1º Actualizamos los pagos trimestrales de UM 20,000:
2º Calculamos el VA del último pago anual de UM 250,000:
Oferta c: 215,737 + 183,757 = UM 399,494
Respuesta:
La oferta (b) es la más conveniente, arroja un mayor valor actual.
EJERCICIO 69 (Generando fondos para sustitución de equipos)
¿Qué suma debe depositarse anualmente, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de UM 200,000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?
Solución:
Valor de salvamento : 200,000 x 10% = 20,000
Fondo para sustitución de equipo: 200,000 – 20,000 = 180,000
Finalmente, calculamos el valor de cada depósito anual:
VF = 180,000; i = 0.06; n = 5; c = ?
Respuesta:
El monto necesario a depositar anualmente durante 5 años es UM 31,931.35. Aplique la función PAGO para obtener el mismo resultado.
EJERCICIO 70 (Sobregiros bancarios)
Por lo general casi todos los empresarios recurren al banco para cubrir urgencias de caja vía los sobregiros (ver glosario); los plazos de éstos dependen de las políticas de cada institución financiera, pero es común encontrar en nuestro medio plazos de 48 horas, 3 días como máximo. Estos plazos casi nunca los cumple el empresario, normalmente los sobregiros son pagados a los 15 ó 30 días. La tasa promedio para este producto financiero es 49% anual más una comisión flat de 4% y gastos de portes de UM 5 por cada sobregiro. Determinar el descuento, el valor líquido, el costo efectivo de un sobregiro de 2 días por UM 10,000, los costos cuando este es pagado con retraso a los 15 y 30 días y la tasa efectiva anual.
Solución:
VN = 10,000; i = 0.49/360 = 0.0014; n = 2; D2 = ?; VA = ?
1º Aplicando la fórmula (10) calculamos el descuento del sobregiro para 2 días:
2º Aplicando la fórmula [8] VA = VN – D, calculamos el VA del sobregiro:
VN = 10,000; D2 = 27.30; iFlat = 0.04; PORTES = 5; VA = ?
(8) VA2 = 10,000 – (27.30 + 5) = 9,967.70 – (10,000*0.04) = UM 9,567.70
3º Con la fórmula (4A) calculamos la tasa real de esta operación:
Hasta esta parte estamos operando con el descuento bancario a interés simple. El VA obtenido es el valor líquido o el monto que realmente recibe el empresario. Pero debe abonar los UM 10,000 a los 2 días, en caso contrario pagará el interés convencional de 49% anual, 18% anual de interés moratorio sobre el saldo deudor (UM 10,000) y UM 5.00 de portes. A partir de este momento operamos con el interés compuesto.
Sumamos a la tasa de interés los intereses moratorios:
VA = 10,000; n = 15 y 30; i = (0.49/360 + 0.18/360) = 0.0019; VF =?
4º Calculamos el monto a pagar a los 15 y 30 días incluyendo los portes:
(11) VF = 10,000*(1 + 0.0019)15 + 5 = 10,293.82
(11) VF = 10,000*(1 + 0.0019)30 + 5 = 10,590.99
Luego aplicando la fórmula (13) y la función TASA, calculamos el costo mensual del sobregiro:
VA = 9,567.70; n = 15 y 30; VF = 10,293.82 y 10,590.99; i = ?
5º Finalmente, calculamos la tasa nominal y la TEA del sobregiro:
(25) j = 0.00339*30* = 1.2204
(28) TEA = (1 + 0.00339)360 – 1 = 2.3816
Respuesta:
1) El descuento para los 2 días es: UM 27.30
2) Los costos cuando el sobregiro es pagado con retraso son:
Para 15 días = 7.34%
Para 30 días = 10.17%
3) La tasa nominal es : j = 122.04%
La tasa efectiva anual es : TEA = 238.16%
EJERCICIO 71 (Evaluando la compra a crédito en un supermercado)
Un ama de casa compra a crédito el 8/10/2004 en un SUPERMERCADO, los siguientes productos:
Una lustradora marcada al contado a UM 310.00
Una aspiradora marcada al contado a UM 276.00
Una aspiradora marcada al contado a UM 115.00 UM 701.00
La señora con la proforma en la mano pide a la cajera que le fraccione el pago en 12 cuotas iguales con pago diferido, la cajera ingresa los datos a la máquina y esta arroja 12 cuotas mensuales de UM 82.90 cada una con vencimiento la primera el día 5/2/2005. Determine la tasa de interés periódica y la TEA que cobra el SUPERMERCADO.
Solución:
VA = 701; C = 82.90; n = 12; i = ?; TEA = ?
1º Aplicando la función TASA calculamos la tasa periódica de la anualidad:
Tasa mensual = 5.84%
Respuesta:
El SUPERMERCADO cobra mensualmente por sus ventas al crédito 5.84%, que arroja una tasa nominal de 70.13% y una Tasa Efectiva Anual de 97.69%. Esta tasa no considera portes, seguros e Impuesto a las Transacciones Financieras (ITF).
1. Ayres Franh, Jr. (1971). Serie de Compendio Schaum, Teoría y Problemas de Matemáticas Financieras. Libros McGraw-Hill – México
2. Aching Guzmán César. (2004). Matemáticas Financieras para Toma de Decisiones Empresariales. Prociencia y Cultura S.A. – Perú
3. Biblioteca de Consulta Microsoft, Encarta 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation.
4. Blank T. Leland y Tarquin J. Anthony. (1999). Ingeniería Económica – IV Edición. Editora Emma Ariza H. – Colombia
5. Dodge Mark, Stinson Craig. (1999). Running Microsoft Excel 2000, Guía Completa. McGraw Hill – México
6. Glosario. (2005). Disponible en http://www.worldbank.org – Glosario
7. Lyman C. Peck. (1970). Matemáticas para Directivos de Empresa y Economistas. Ediciones Pirámide S.A. – Madrid
8. Mizrahi Sullivan. (1985). Cálculo con Aplicaciones a la Administración, Economía y Biología. UTEHA – México
9. Moore J.H. (1972). Manual de Matemáticas Financieras. UTEHA – México
10. Pareja Velez, Ignacio. (2005). Decisiones de Inversión. Disponible en http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/libro_on_line/contenido.html
11. Parkin Michael. (1995). Macroeconomía. Addison – Wesley Iberoamericana S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.
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13. Sabino Carlos, (2005). Diccionario de Economía y Finanzas. Disponible en http://www.eumed.net/cursecon/dic/
14. Springer, Herlihy y Beggs. (1972). Matemáticas Básicas, Serie de Matemáticas para la Dirección de Negocios. UTEHA – México
15. Van Horne, James C. (1995). Administración Financiera. Décima Edición. Editorial Prentice Hall, México
Por:
CESAR ACHING GUZMAN
Página personal: http://es.geocities.com/cesaraching/
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