Enfoque sistémico del cálculo integral para la enseñanza en carreras de ingeniería

1. Introducción 2. Desarrollo 3. Aplicación del invariante a la variante de las integrales de línea y de superficie. 4. Consideraciones dialécticas sobre la aplicación del enfoque estructural – funcional de la Teoría de integración. 5. Conclusiones 6. Bibliografía

1. Introducción

Se aplica la concepción sistémico dialéctica a la teoría de integración completando el enfoque estructural – funcional de dicha Teoría, comenzado por la Dra. H. Hernández Fernández con el tratamiento del concepto de integral, el cual deviene en una de las componentes del sistema por nosotros propuesto para el desarrollo de toda la teoría del Cálculo Integral, siendo las restantes componentes la Fórmula de Newton Leibnitz y el Teorema del Cambio de Variable, los que deben ser presentados por el docente en el caso unidimensional, siendo inducido y generalizado con posterioridad por los estudiantes en actividades grupales con la ayuda del profesor en rol de facilitador. Por último, y para rebasar las posiciones filosóficas del positivismo lógico, se busca la contradicción dialéctica de dicha teoría (fuente motriz del desarrollo de la misma) que es la que se establece entre los conceptos de derivación y de integración indefinida, aplicándola a la estructuración del contenido y a la formalización de éste y del enfoque estructural – funcional anteriormente referido; y por último se aplica dicha contradicción para desentrañar la esencia del objeto de estudio (Teoría de Integración), o lo que es lo mismo, la célula de éste, que no es más que la integral definida. Se muestra también como la aplicación simultánea y dialéctica de los tres enfoques referidos (estructural – funcional, contradicción dialéctica y genético), logra un efecto superior a la aplicación aislada de cada uno de ellos.

Abstract:

The systematical view of the theory of integration as well as its components: The concept of integral, the Newton – Leibnitz theorem, and the theorem of the variable change in the integral, are shown in the present work. This system is presented by the teacher while studying the definite integral and is also generalized by the students together with their teacher when analyzing the multiple integrals and the linear and surface integrals. The dialectical contradiction in the theory of integration (between the process of derivation and indefinite integral) is shown in this work. Finally the cellule of this theory (definite integral), wischt is the essence of the theory, is found.

El enfoque estructural – funcional fue introducido por primera vez en el ámbito pedagógico por Z. A. Reshetova (ver [8]). En el mismo se describe al objeto de estudio en su totalidad y de forma parcialmente acabada como un sistema, destacándose su composición y estructura (sus componentes y la interrelación tanto estática como dinámica que entre ellas se establece). Las características estructurales funcionales en cada nivel de sistematicidad se denominan INVARIANTES DEL SISTEMA. En este tipo de enfoque por lo general el profesor presenta a los estudiantes el invariante del sistema en conferencias, y el resto del tiempo transcurre, no sólo mediante el desarrollo de la necesaria sistematización de los conocimientos y habilidades tratados, sino también mediante la aplicación de dicho invariante por parte de los estudiantes con la mínima ayuda indispensable del profesor, en la derivación de la teoría que de éste se desprende, así como en el desarrollo de las aplicaciones y en la resolución de problemas productivos y creativos apoyados en los mismos.

Los enfoques sistémicos constituyen una necesidad de la ciencia y la pedagogía actual, pues permiten integrar en una concepción compacta y monolítica, diferentes teorías, bajo un mismo núcleo teórico, con lo cual puede ser resuelto el problema que entraña el crecimiento exponencial de las teorías científicas. Por otra parte, el presentar el conocimiento con una estructura concreta contribuye al logro de una mayor solidez de los conocimientos a asimilar (ver [4]), además, como se localiza y restringe la esencial información que el docente debe transmitir al estudiantado, se abren espacios al desarrollo de la creatividad y el pensamiento de éste, fundamentalmente cuando tienen que realizar la derivación de la teoría y sus aplicaciones y se les pone ante la tarea de resolver problemas productivos y creativos.

La Dra. H. Hernández desarrolló el enfoque estructural – funcional del concepto de integral para el tratamiento de la integral definida, múltiple, de línea y de superficie (ver [4]), en el que este concepto se presenta como un sistema cuyas componentes son: 1.- Partición del dominio de integración; 2.- Selección de un punto arbitrario en cada elemento de la partición; 3.- Formación de las sumas integrales; 4.- Paso al límite cuando la norma de la partición tiende a cero. En los trabajos referidos de esta autora se revela como aplicar dicho invariante a las distintas variantes (integral definida, doble, triple, de línea y de superficie).

En el presente trabajo extenderemos el enfoque estructural funcional, no sólo al concepto de integral, sino a toda la teoría del Cálculo Integral (en una y varias variables), siendo el referido concepto de integral, una componente del sistema por nosotros propuesto (un subsistema).

Emplearemos la concepción sistémico dialéctica de la estructuración del contenido, que de forma general puede ser vista en [5], lo cual nos conduce no sólo a la aplicación del enfoque estructural funcional, sino también a la determinación de la célula y de la contradicción dialéctica del objeto de estudio.

Por último, queremos criticar una nociva tendencia del empleo del enfoque estructural funcional, en el cual se da por parte del docente el invariante del sistema en su forma generalizada, transcurriendo el resto del proceso de modo deductivo a través de la aplicación de dicho invariante al tratamiento de las restantes variantes, las cuales serían casos particulares del general, modelo presentado a título de invariante. Aquí se está absolutizando la deducción en detrimento de la inducción, por lo cual se está deformando el natural proceso de enseñanza – aprendizaje en el que ambos procedimientos contrarios dialécticos (inducción – deducción) juegan un papel esencial, no sólo en el desarrollo de la teoría, sino también en el desarrollo del pensamiento de los estudiantes; y ello originaría la insuficiente formación del método inductivo en el alumnado en el caso del empleo sistemático de este tipo de enfoques. Por otra parte, el enfoque estructural – funcional de la citada tendencia, lleva al docente a adoptar una postura en su ciencia, bastante cercana a la del positivismo, lo cual puede atentar contra la formación de la adecuada concepción científica del mundo por parte del estudiante, que constituye uno de los fundamentales objetivos educativos a los que debe contribuir cualquier ciencia.

2. Desarrollo

Enfoque estructural- funcional de la Teoría de Integración.

En nuestra propuesta de enfoque estructural funcional del tratamiento del Cálculo Integral, éste será tratado en primera instancia en el desarrollo de la teoría de la Integral Definida, y con posterioridad se irá generalizando dicho enfoque de invariante por el propio estudiantado y se aplicará al desarrollo de las restantes variantes (integral

doble. triple, de línea, y de superficie). A continuación describiremos nuestro invariante y la lógica de su aplicación a las distintas variantes descritas.

Componentes relativas al enfoque estructural-funcional de la teoria de integracion:

1.- Definición de integral. 2.- Teorema de Newton – Leibnitz. 3.- Teorema sobre el cambio de variable en la integral.

Después de tratada la teoría de la integral definida, se va generalizando y aplicando el anterior sistema aquí obtenido, a las restantes variantes.

Este proceso no lo mostraremos en la primera componente del sistema (definición de integral), pues las ideas que permiten dicho proceso de generalización descansan en el enfoque estructural – funcional del concepto general de integral desarrollado por la Dra. H. Hernández (ver [4]), al que ya hicimos referencia en la introducción, presentando sus respectivas componentes.

Aplicación del invariante a la variante de las Integrales Múltiples.

Se debe llevar a los estudiantes a generalizar el TEOREMA DE NEWTON-LEIBNITZ que en esencia refiere que:

Siendo F(x) una primitiva de f(x) (la derivada de F(x) es f(x) )

Para ello se referirá que al pasar a la teoría bidimensional se produce un cambio cuantitativo que origina un cambio cualitativo, se produce una negación dialéctica, se vuelve sobre el mismo punto, pero sobre un nivel cualitativamente superior. Se aprovechará entonces la analogía con la derivación, en la cual la expresión se determina calculando la derivada parcial respecto a y considerando a x constante, y derivando con posterioridad respecto a x la expresión así obtenida. Lo anterior conduce de forma natural al concepto de integral iterada de segundo orden (se integra primero respecto a una variable considerando la otra constante y después respecto a la restante), quedando sólo por precisar los límites de integración en que se debe evaluar dicha integral iterada. Tomando una región de integración regular respecto a y:

y teniendo en cuenta que los puntos a y b en que se evalúa la primitiva en el Teorema de Newton – Leibnitz, son los extremos de la región de integración o lo que es lo mismo, estos puntos constituyen la frontera de dicha región, resultaría natural evaluar la integral iterada en la frontera de la región de integración. Basado en la heurística anterior, que debe ser desarrollada a través del trabajo grupal estudiantil, en la que el docente jugaría el rol de facilitador, se obtiene el Metodo de calculo de la integral doble para regiones regulares respecto a la variable y:

De forma análoga se obtiene la expresión equivalente para regiones regulares con respecto a x. El cálculo de integrales sobre regiones que no sean regulares respecto a ninguna de las variables se lleva a cabo tomando una partición de dicho región en subregiones regulares respecto a x o respecto a y, aplicándose con posterioridad la propiedad de aditividad de la integral con respecto a la región de integración. Los métodos de cálculo de la integral triple son análogos a los descritos para la integral doble.

El teorema del cambio de variable (tercera componente del enfoque estructural funcional de la teoría de integración) debe ser generalizado aquí también, de la integral definida a la integración múltiple. El señalado teorema en el caso de la integral definida en esencia refiere que:

Si pretendemos en la integral doble introducir el cambio de variable e inducir en este caso su expresión, debemos hallar la forma del elemento matemático que generalice a , siendo natural en este caso considerar como tal al módulo del siguiente jacobiano (determinante de la matriz jacobiana):

(Este tipo de generalización fue vista ya por el estudiante cuando se estudió el proceso de extensión de la derivada de una función definida de forma implícita por una ecuación, a la derivada parcial de una función definida de forma implícita por un sistema de ecuaciones, en la cual, las derivadas ordinarias son sustituidas por los respectivos jacobianos). En consecuencia, el teorema sobre la transformacion de coordenadas en la integral doble, en esencia nos aportaría la siguiente expresión:

con la cual, con posterioridad el estudiantado podrá deducir la expresión de la integral al realizar cambio de coordenadas a polares, las que deben ser introducidas apoyados en preceptos geométricos. El tratamiento del cambio de variables en la integral triple es análogo al de la integral doble, y aquí, de forma similar, los alumnos podrán inferir, con la ayuda mínima indispensable del profesor, la expresión de la integral triple al realizar los respectivos cambios de coordenadas a cilíndricas y esféricas, también introducidas por vías geométricas.

3. Aplicación del invariante a la variante de las integrales de línea y de superficie.

Tradicionalmente la teoría de las integrales de línea y de superficie es tratada en los cursos de matemática para ingenieros en un mismo tema, lo cual está avalado por el hecho de que en esencia la diferencia entre ambos tipos de integrales es sólo cuantitativa, sin embargo, por lo general dentro del desarrollo del tema, la referida teoría es tratada sin explotar su identidad, como si fuesen objetos totalmente diferentes que responden a lógicas distintas. Por otra parte, el concepto de integral de línea (de integral de superficie) es único, aunque la misma pueda presentar varias formas de expresión, como consecuencia de la dialéctica que se da entre lo escalar y lo vectorial, pero en la literatura tradicional y en los cursos de matemática se presentan las distintas formas de la integral de línea (de superficie) como si fuesen tipos diferentes de integrales; y así se estudian por separado, como objetos diferentes, la integral de línea (de superficie) de primera y de segunda especie, empleando además en la misma, formas notacionales diferentes para la integral de línea y para la integral de superficie. No se muestra por otro lado, como pasar de las integrales de primera especie a las de segunda (su interrelación). Así por ejemplo, en las integrales de superficie de II especie en forma vectorial, se emplea por lo general la notación y no tanto su equivalente ; pero queda implícito, aunque no se especifica explícitamente, que el paso a la integral de superficie de I especie se lleva a cabo a través de la sustitución . Contrariamente, en la integral de línea de II especie se usa sólo la notación y no su equivalente , donde es el vector unitario en la dirección de , por lo cual no queda implícito, ni tampoco se muestra por lo general en la literatura comúnmente empleada, ni en el desarrollo de las clases, el como realizar la transformación de la integral de segunda especie a la de primera especie, lo que evidentemente se lleva a cabo mediante la sustitución .

Sin tener clara la descrita analogía entre la integral de línea y de superficie, es imposible poder aplicar el enfoque de invariante que tratamos en el presente trabajo, ni tampoco lograr la adecuada sistematización de la teoría de las integrales de línea y de superficies.

El cálculo de integrales de línea y de superficies se realiza a través de la interrelación de las segunda y tercera componente del enfoque estructural – funcional propuesto de la teoría de integración, puesto que en primera instancia se realiza el correspondiente cambio de variable en la integral, con el propósito de transformar la curva o superficie alabeada que constituye la región inicial de integración, en un segmento de recta en uno de los ejes coordenados o en una superficie plana de uno de los planos coordenados, y con ello, transformar la inicial integral de línea o de superficie en una integral definida o en una doble respectivamente. Una vez realizado la referida transformación, se aplica la segunda componente del sistema, esto es, el teorema de Newton – Leibnitz o su correspondiente generalización a las integrales dobles, para realizar el cálculo de la integral obtenida después de realizado el cambio de variable.

Cuando abordamos el cálculo de integrales múltiples (dobles y triples) lo realizamos a través de un proceso que reducía tal tipo de integral a su valor (mediante la evaluación de la integral iterada en la frontera de la región de integración), pero usualmente en la matemática se emplean métodos recursivos, que en la integración pudiera traducirse a reducir la integral n – dimensional a una integral (n-1) – dimensional. Ello conllevaría a una nueva generalización del Teorema de Newton – Leibnitz, que en el caso de la integral definida reduce la integral unidimensional a una integral cero – dimensional (lo mismo que la derivada cero – dimensional de la función f es la propia función, la integral cero – dimensional de la función f es la propia f), pues .

Para llevar a cabo dicha generalización proponemos realizar los siguientes desarrollos como ejercicio en el contenido propio de las integrales de líneas y de superficies:

donde y C es la frontera de R. Y también:

donde S es la frontera de A, siendo A la región:

donde es la proyección de A sobre el plano XY. Apoyándonos en los resultados anteriores los estudiantes pueden generalizar el Teorema de Newton – Leibnitz enunciándolo como sigue: " La integral de << la derivada de una función >> sobre una región n – dimensional es igual a la integral (n-1) – dimensional de la función sobre la frontera de la región inicial ". Sólo debe tenerse en cuenta que el término de <<la derivada de una función>> hay que entenderlo en un sentido amplio, en la integral definida es la derivada ordinaria, en los dos ejemplos vistos constituían derivadas parciales con respecto a una variable, pero esta generalización será aplicada a la inferencia de los Teoremas de Stokes y de Gauss – Ostrogradski, y como veremos, aquí dicha expresión tendrá otro significado.

Ahora los estudiantes pueden aplicar la anterior generalización del Teorema de Newton – Leibnitz al cálculo de una integral triple ( de cierta <<derivada de una función dada>> ) sobre una región R, a través de la lógica que a continuación se da. Dicha integral será reducida al cálculo de una integral de superficie sobre la frontera S de la región de integración de la integral triple, esto es, a una integral del tipo: , o lo que es lo mismo: . Por tal razón, la referida derivada debe ser la correspondiente al campo vectorial , y debe dar como resultado un campo escalar, pues ella es la función de integración de la integral triple. Por tal razón es natural considerar que la buscada <<derivada>> que cumpla con las condiciones precisadas sea la divergencia del campo vectorial , obteniéndose así el teorema de gauss-ostrogradski: que en esencia refiere que:

Los estudiantes podrán también aplicar la generalización señalada del Teorema de Newton – Leibnitz al cálculo de una integral de superficie ( de cierta <<derivada de una función dada>> sobre una superficie alabeada S, siendo ésta reducida al cálculo de una integral de línea sobre el contorno C de la superficie S, esto es, una integral del tipo:

. Por tal razón, la referida derivada debe ser la correspondiente a la del campo vectorial , y debe dar como resultado un campo vectorial, pues ella es la función de integración de la integral de superficie. Es natural considerar que la buscada <<derivada>> que cumpla con las condiciones precisadas sea el rotacional del campo vectorial , obteniéndose así el teorema de stokes: que en esencia refiere que:

En nuestro sistema proponemos tratar el Teorema de Green como un corolario del Teorema de Stokes, el cual puede ser deducido por los estudiantes, en el caso de que la superficie S sea plana y perteneciente al plano coordenado XY, la tercera componente del campo vectorial sea cero y las dos primeras componentes de éste sólo dependan de la variable x y de la variable y.

4. Consideraciones dialécticas sobre la aplicación del enfoque estructural – funcional de la Teoría de integración.

Nuestro invariante propuesto presenta un enlace estructural – funcional, una vez obtenido el mismo y mostrado en la integral definida, el proceso transcurre a través de la aplicación de este tipo de enlace a las restantes variantes del sistema (integrales múltiples e integrales de linea y de superficie). Pero es necesario formalizar dicho invariante, ello sólo podrá ser hecho a través de un enlace de desarrollo, y por tanto, a través de una célula (ver [4], [7] y [9]) o de una contradicción dialéctica (ver ([3] y [6]). Al aplicar el último enfoque señalado, se debe revelar cual es la contradicción dialéctica del objeto del Cálculo Integral, que será precisamente la que se establece entre la integración (integral indefinida) y la derivación (derivada ordinaria), la lógica entre estos procesos matemáticos contrarios es la que desencadena el desarrollo de toda la señalada teoría, ya que en todos los teoremas de la teoría de integración está presente la interacción de ambos conceptos, ellos son la fuente motriz del desarrollo de dicha teoría, y puede demostrarse también en que sentido ellos se excluyen y se presuponen, todo lo cual son las condiciones que debe cumplir la contradicción dialéctica.

Sin embargo, queremos destacar que la lógica dialéctica que dimana del enfoque descrito, en muchas ocasiones no queda del todo revelada en el desarrollo del proceso docente – educativo del contenido relativo al Cálculo Integral, lo cual atenta contra el cumplimiento de uno de los principales objetivos educativos, que es el referente a la formación de la concepción científica del mundo, que es la que aporta la filosofía materialista dialéctica. Además, introducir la dialéctica en la estructuración del proceso docente – educativo a través del desarrollo de la contradicción, permite, por un lado, realizar todo el análisis causal en mi objeto de estudio, y por el otro, rebasar el enfoque positivista que por lo general entraña la aplicación esquemática de enfoques estructurales funcionales en el ámbito de la pedagogía, puesto que apoyados en la contradicción dialéctica de mi objeto de estudio puedo profundizar en el mismo en toda su dinámica y movimiento complejo.

Finalmente, la célula de la Teoría de Integración lo constituye la integral definida, ella me da la esencia de toda la teoría de integración, pues en última instancia el cálculo de cualquier tipo de integral (doble, triple, de línea y de superficie) se reduce al cálculo de una o varias integrales definidas, por lo que podemos imaginarnos la teoría de integración como un tejido formado por integrales definidas (sus células). Por otra parte, la integral definida posee todas las componentes del sistema discutidas más arriba (definición, Teorema de Newton Leibnitz, Cambio de variable), condición la cual debe cumplir la célula.

Este enfoque genético es de gran importancia pues revela la esencia de la teoría de integración.

5. Conclusiones

1.- El enfoque estructural- funcional propuesto para el desarrollo de la teoría de integración, permite una mayor sistematicidad del proceso, contribuyendo con ello a una mayor formación de las habilidades declaradas en los programas; por otra parte, al localizar los aspectos esenciales que el docente debe darle al estudiantado, conjugado con el hecho de que éstos apliquen los mismos en el proceso de derivación de la teoría y la conformación de las aplicaciones, abre espacios a la formación de la creatividad en los mismos.

2.- El enfoque propuesto, al presentar la estructura del conocimiento a asimilar, contribuye a la formación de una mayor solidez de los conocimientos y habilidades a formar.(ver al respecto [5]).

3.- La interrelación del enfoque estructural – funcional con la concepción dialéctica y genética del tratamiento de la misma, permite un desarrollo más armónico, integral y dialéctico del contenido, así como rebasar las posiciones del positivismo lógico en el ámbito de la matemática, y por tanto, bien estructurado, puede contribuir a una mayor formación de la concepción científica del mundo por parte de los estudiantes.

4.- El enfoque sistémico dialéctico propuesto establece una interrelación adecuada entre los procesos inductivos y deductivos, presentándose el invariante en el caso unidimensional, extendiéndose dicho modelo a las restantes variantes, por vía inductiva en una primera instancia en cuanto a su generalización, y con posterioridad por vía deductiva en cuanto a su aplicación a las variantes concretas.

6. Bibliografía

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Autor:

Reinaldo García Blanco. Prof. Oris R. Silva Diéguez Dr. Lierlí O’connor Montero