Teoría Electromagnética

2. Divergencia
3. Rotacional de un campo vectorial
4. Teorema de Stokes
5. Gradiente
6. Operador Nabla
7. Laplaciano
8. Espectro electromagnético
9. Ondas electromagnéticas
10. Referencia electrónica
11. Bibliografía

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se desarrolla algunos temas muy importantes de un caso muy importante de la relación entre ciencia y tecnología: el electromagnetismo

El caso del electromagnetismo es notable, entre otras cosas, por el hecho de que una vez llevados a cabo los descubrimientos científicos tuvieron inmediata aplicación práctica y viceversa, las aplicaciones prácticas fomentaron la investigación científica para resolver diferentes problemas, lo cual a su vez abrió nuevos horizontes científicos.

Haciendo una muy breve historia sobre aquellos científicos que aportaron grandiosos descubrimientos sobre el electromagnetismo se puede mencionar a. James Glerk Maxwell que realizó una gran síntesis teórica de los trabajos de Ampère y Faraday sobre la electricidad y el magnetismo, lo que le condujo al sorpresivo descubrimiento de que la luz era de origen eléctrico y magnético. Además, como consecuencia de la teoría que desarrolló predijo la existencia de las ondas electromagnéticas.

Basado en el trabajo de sus antecesores, Maxwell construyó uno de los pilares de la física, comparable con la mecánica desarrollada por Newton. Se ha de mencionar que la teoría electromagnética de Maxwell sirvió para el futuro desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein.

Años después de que Maxwell hiciera la predicción de las ondas electromagnéticas en forma teórica, Hertz llevó a cabo un notable experimento, que es un ejemplo de la forma en que se hace ciencia. Se propuso indagar si en la naturaleza efectivamente existen ondas electromagnéticas. Su trabajo verificó en forma brillante las predicciones de Maxwell.

Después de los experimentos de Hertz no quedó ya ninguna duda, desde el punto de vista conceptual, acerca de la realidad física de los campos, idea que Faraday había propuesto originalmente y que Maxwell elaboró en su forma matemática. Esta idea ha sido de crucial importancia en la física posterior, tanto para la relatividad de Einstein como para las teorías modernas de las partículas elementales

Otra consecuencia de los trabajos de Maxwell y Hertz fue el inicio de las comunicaciones inalámbricas

A partir de la década de 1950 se ha vivido en una revolución continua. Los avances científicos en la comprensión de la estructura de la materia han dado lugar a un sinfin de aplicaciones del electromagnetismo.

DIVERGENCIA

Supongamos (Fig.3) un punto P dentro de un pequeño volumen  v limitado a su vez por una superficie s. En este caso el volumen es un prisma recto de aristas  x,  y y  z, paralelas a los ejes x, y, y z respectivamente. Todo ello en un espacio en el que se supone que existe un campo vectorial F. El flujo del campo F a través de la superficie s es, como hemos visto en (5.9),. (1) Si este flujo lo dividimos

 (1)

 por  v, tendríamos el flujo por unidad de volumen: (1). Se denomina divergencia de F (div F) al límite, cuando v tiende a cero, de esta última expresión.

div F = (1) (5.17)

Vamos a encontrar otra expresión de la divergencia en el sistema de coordenadas más frecuentemente utilizado (coordenadas cartesianas). El fujo de F a través de las 6 caras del cubo será la suma de los flujos a través de cada una de dichas caras. Así, a través de la cara A paralela al plano yz, el flujo valdrá:

 A = Fx (1)

y a través de la cara opuesta a la A:

 A’ = – Fx (1)

Desarrollando en serie de Taylor Fx (x+ x/2, y, z) y Fx (x- x/2, y, z) tendríamos:

 A = (1)

 A’ = (1)

donde con los puntos suspensivos queremos indicar los términos del desarrollo con ( x)2, ( x)3, etc ….. Pero como vamos a hacer tender a cero  v y por lo tanto  x,  y y  z, esos términos serán despreciables frente al primero. Luego

 A +  A’ = (1)

Con un razonamiento idéntico para las caras paralelas a xz y a xy tendremos que

 B +  B’ = (1)

 C +  C’ = (1)

Como (1) =  A +  A’ + B +  B’ + C +  C’, nos queda finalmente:

div F =(1); div F = (1) (5.18)

Si utilizamos coordenadas cilíndricas,

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Y en coordenadas esféricas:

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ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Hemos definido anteriormente (5.8) el concepto de circulación de un campo vectorial F a lo largo de una trayectoria (abierta o cerrada). También hemos visto que si c es una curva cerrada:

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Cuando un depósito lleno (una bañera, por ejemplo) está vaciándose a través de un desagüe, alrededor de éste se forman remolinos que son una imagen muy intuitiva de la circulación del vector velocidad. El desagüe sería la ‘fuente’ de la circulación, la causa de la ‘rotación’ a su alrededor, una imagen intuitiva de lo que vamos a definir en seguida como rotacional.

Supongamos un punto P0 en el espacio en el que está definido un campo vectorial F. Alrededor de este punto imaginamos una curva cerrada y plana C, que limita una superficie pequeña S que incluye al punto P0. La circulación de F alrededor de la curva C dependerá de la orientación de esta. Supongamos que hemos escogido la orientación en la que el valor de dicha circulación es máximo. "Se llama rotacional de F en el punto P0 al valor cuando  s tiende a cero de un vector perpendicular a la superficie S; sentido determinado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha, y cuyo módulo es: ".

Lo escribimos así:

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Siendo an un vector unitario en la dirección perpendicular a la superficie  s. Naturalmente si F fuera un campo conservativo, el rot F será el vector nulo.

ROTACIONAL EN COORDENADAS CARTESIANAS.

Vamos a determinar la componente x del rot F usando coordenadas cartesianas. En Fig. 4 – a:

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Puede escribirse un determinante de tercer orden cuyo desarrollo sea el rotacional cartesiano de A.

Los elementos de la segunda fila son los componentes del operador nabla. Esto sugiere que el rotacional A se puede escribir como . Como con otras expresiones del análisis vectorial, esta conveniente notación se usa para rotacional A en otros sistemas coordenados aunque solo está definido en el cartesiano.

Las expresiones para el rotacional A en coordenadas cilíndricas y esféricas pueden derivarse en la misma forma antes mencionada, aunque con más dificultad.

(Cilíndrico)

(Esférica)

Dos propiedades del operador rotacional frecuentemente útiles son:

1. 

   Para cualquier campo vectorial A.

2. la divergencia de un rotacional es cero. Esto es:
3. el rotacional de un ardiente es cero. Esto es :

Para cualquier función escalar de posición ƒ

TEOREMA DE STOKES.

Recordemos la definición de rotacional de un campo escalar F. Si multiplicamos los dos miembros de esta por  s.an, nos quedará:

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Donde  c es la línea que limita a la superficie  s. Como hemos de hacer tender a cero  s, el primer miembro de (5.40) es el elemento diferencial rot F.ds  ( xF). ds, y el segundo es la circulación de un signo (en sentido CW por ejemplo), a lo largo de la línea  c.  s es un pequeño cuadrado y  c el perímetro de sus cuatro lados (Fig. 6).

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Esta relación que transforma una integral de superficie en una integral de línea se denomina "teorema de Stokes" y es de gran interés en Electromagnetismo.

GRADIENTE

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OPERADOR NABLA

Si nuevamente se recuerda que la divergencia es una operación sobre un vector, que da como resultado un escalar al igual que el producto punto de dos vectores que también da un escalar, parece posible encontrar algo que pudiera "puntearse" formalmente con D para producir el escalar

Obviamente, esto no puede hacerse usando un producto punto; el proceso debe ser una operación punto

Con esto en mente, se define el operado "nabla" como un operador vectorial.

Aparecen operadores escalares semejantes en varios métodos de soluciones de ecuaciones diferenciales donde con frecuencia D reemplaza a d/dx, D2 a d2/dx2 y así sucesivamente. Se conviene al definir (dígase nabla) que se le trate como un vector ordinario con la importante excepción de que resultan derivadas parciales en vez de productos de escalares

LAPLACIANO

Constituye la ecuación de Laplace. La operación se llama el laplaciano de V.

En coordenadas cartesianas la ecuación de Laplace es:

(Cartesianas)

Y la forma de en coordenadas cilíndricas y esféricas puede obtenerse usando las expresiones para la divergencia y el gradiente, obtenidas para dichos sistemas de coordenadas. Como referencia, el laplaciano en coordenadas cilíndricas es:

(Cilíndricas)

Y en coordenadas esféricas es:

(Esféricas)

Estas ecuaciones pueden desarrollarse más efectuando las derivadas parciales indicadas; sin embargo, con frecuencia es más útil tenerlas en las formas dadas anteriormente; es más, resulta mucho más fácil desarrollarlas después, en caso necesario, que recomponer nuevamente los términos diferenciados

ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

Es el conjunto de ondas electromagnéticas. Van desde las de menor longitud de onda y por lo tanto mayor frecuencia y energía, como son los rayos cósmicos, rayos gamma, y rayos X, pasando por la luz ultravioleta, luz visible (que en realidad ocupa una estrecha franja del espectro electromagnético), infrarroja, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda y menor energía como son las ondas de radio. En cualquier caso, cada una de las categorías es de ondas de variación de campo electromagnético.

La tabla a continuación muestra el espectro electromagnético, con sus longitudes de onda, frecuencias y energías.

El espectro electromagnético es el conjunto de ondas electromagnéticas que existen en el universo ordenadas en función de sus frecuencias o longitudes de onda, o lo que es lo mismo, de la energía que transportan.

Los objetos celestes, aparte de los cuerpos del Sistema Solar, están tan lejos que la luz que emiten es en la práctica el único medio que tenemos para estudiarlos y entender su naturaleza. Uno de los descubrimientos fundamentales de la física del siglo XX fué que la luz tiene una naturaleza dual: a veces se comporta como ondas y a veces como partículas, llamadas fotones. Algunos fenómenos pueden interpretarse en base al modelo ondulatorio de la luz, y en otras situaciones debe enfocarse el problema desde pensando en la luz como un conjunto de fotones.

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La luz visible representa apenas una pequeña porción del espectro electromagnético, que se extiende desde los rayos gamma hasta longitudes de onda de radio. Aunque en realidad ambos extremos del espectro electromagnético se extienden desde cero hasta el infinito.

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La luz blanca es en realidad una mezcla de longitudes de onda. Cuando hacemos que la luz blanca pase a través de un prisma, se descompone en longitudes de onda o colores que la integran, formando un espectro.

La ciencia encargada del análisis de los espectros se llama espectroscopía.

Una onda electromagnética consiste de campos eléctricos y magnéticos oscilantes. Estos campos se propagan en el vacío con una velocidad constante c = 300 000 km/s. Este valor es una constante fundamental de la naturaleza y uno de los pilares en que se sustenta la Física moderna, en especial la Teoría de la Relatividad.

Para la luz visible la unidad de medida usada es el Angstrom:

1 Ångstrom=10-8 cm

Y abarca el rango de 4000 Å a 7000 Å. Otras propiedades ondulatorias de la luz son su frecuencia y su energía:

f=c/l E=hc/l

Donde c es la velocidad de la luz en el vacío, h es la constante de Planck, y l es la longitud de onda.

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Son aquellas ondas que no necesitan un medio material para propagarse. Incluyen, entre otras, la luz visible y las ondas de radio, televisión y telefonía.

Todas se propagan en el vacío a una velocidad constante, muy alta (300 0000 km/s) pero no infinita. Gracias a ello podemos observar la luz emitida por una estrella lejana hace tanto tiempo que quizás esa estrella haya desaparecido ya. O enterarnos de un suceso que ocurre a miles de kilómetros prácticamente en el instante de producirse.

Las ondas electromagnéticas se propagan mediante una oscilación de campos eléctricos y magnéticos. Los campos electromagnéticos al "excitar" los electrones de nuestra retina, nos comunican con el exterior y permiten que nuestro cerebro "construya" el escenario del mundo en que estamos.

Las O.E.M. son también soporte de las telecomunicaciones y el funcionamiento complejo del mundo actual.

ORIGEN Y FORMACIÓN

El campo E originado por la carga acelerada depende de la distancia a la carga, la aceleración de la carga y del seno del ángulo que forma la dirección de aceleración de la carga y al dirección al punto en que medimos el campo (sen ).

Un campo eléctrico variable engendra un campo magnético variable y este a su vez uno eléctrico, de esta forma las O.E.M. se propagan en el vacío sin soporte material

CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

• Absorción y Emisión.

Cuando las ondas de radiación pasan a través de un gas los átomos o moléculas que lo componen pueden absorber parte de esta energía. Cada átomo o molécula absorbe una longitud de onda específica. Cuando la radiación es captada después de su paso por el gas es captada  en su espectro le "faltara" la porción absorbida por el creando en el espectro una línea oscura de absorción. Este gas a su vez reemitirá la energía absorbida, esta observada contra un fondo oscuro producirá líneas brillantes de emisión que tendrán la misma longitud de onda del las radiaciones absorbidas. A este fenómeno se le le conoce como ley de Kirchhoff.

• Reflexión.

Así como las ondas del espectro visible son reflejadas por superficies como el agua o los espejos, las ondas de radio también los son. El principio de reflexión es el que a permitido el diseño y construcción de antenas parabólicas que reflejan y concentran la luz en un solo punto para que pueda ser captado por un receptor.

• Refracción.

Es la desviación de las ondas cuando ellas pasan a través de un medio transparente. Las diferentes sustancias tienen diferentes índices de refracción 

Ej. el vacío es 1 y el agua 1.3

• Fase.

Se dice que dos ondas están en fase cuando sus picos y valles coinciden.

• Interferencia.

Cuando dos ondas de la misma frecuencia y dirección se encuentran la onda resultante será la suma de ambas, a esto se le denomina Interferencia Constructiva. Cuando dos ondas tienen la misma amplitud y están fuera de fase 180 grados -es decir el pico de una coincide con el valle de otra – las dos ondas se cancelan a esto se le denomina Interferencia Destructiva.

• Difracción.

Cuando una onda electromagnética pasa por un obstáculo en el espacio la onda es desviada alrededor del objeto.

• Cintilación.

Cuando una onda electromagnética viaja a través del medio se ve sometida a pasar por áreas que varían en presión, temperatura, densidad entre otras su consecuencia es que desde el punto de observación parecerá que las ondas varíen en intensidad, el efecto visual de esto es que las estrellas titilen o se vean espejismos en las tierras muy secas. Este mismo fenómeno ocurre con todas las ondas del espectro.

REFERENCIA ELECTRONICA

http://tamarugo.cec.uchile.cl/FI33A-01/

http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/112/htm/electr.htm

www.etc.upm.es

www.gea-es.org/sitio_electromag_cont.html

www.es. geocities.com/fisicaultramoderna/ FUM/Pre1930/ElectroMagnetismo.htm

www. omega. ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/112/htm/electr.htm

www.library.thinkquest.org/C003776/ espanol/book/reflexion_refraccion.htm

BIBLIOGRAFÍA

Electromagnetismo

Jhon Kraus

Mc. Graw Hill

Teoría electromagnetica

William Hayt

Mc. Graw Hill

REALIZADO POR:

ALBERTO G. B.

Facultad de Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones

Universidad Veracruzana