La cirugía mínimamente invasiva (ROBOT PUMA) (página 3)

Figura 3-13: MGI modificado para q1 y q2.

Figura 3-14: MGI modificado para q3.

De la Figura 3-14, se deduce:

En la Figura 3-15:

3.3.8 Resultados del PUMA con MGI modificado.

Se procede a introducir los valores de la consigna deseada y de las posiciones para codo y muñeca obtenidas en optimización, al modelo geométrico inverso modificado el cual tiene como salida los valores para las articulaciones, valores que al pasar por el modelo geométrico directo permitirán evaluar el comportamiento del robot en cada una de sus partes (Figura 3-16).

Figura 3-16. Esquema MGI modificado – MGD

El comportamiento del robot en el codo es aceptable, como lo muestra la figura 3-17.

Figura 3-17: Codo con MGI modificado obtenido versus codo optimizado (vista 3D).

Al momento de realizar la trayectoria con la muñeca se presentan algunos inconvenientes, si bien el robot parece seguir la trayectoria de la muñeca optimizada (Figura 3.18), el movimiento de la muñeca obtenida no es igual al deseado.

Figura 3-18: Comportamiento de la muñeca con MGI modificado versus muñeca obtenida (vista 3D).

Estos problemas ocasionan que el comportamiento en el trocar no se asemeje al deseado. Definiendo éste como un punto, el antebrazo RL4 no respeta el círculo que rodea la restricción (Figuras 3-19 y 3-20), y la trayectoria obtenida no se asemeja a la deseada(Figuras 3-21 y 3-22).

Figura 3-19: Comportamiento en el trocar con MGI modificado (vista en X-Y).

Figura 3-20: Comportamiento en el trocar con MGI modificado (vista 3D).

Figura 3-21: Comportamiento en el órgano terminal con MGI modificado (vista 3D).

Figura 3-22: Comportamiento en el órgano terminal con MGI modificado (vista superior).

Además el robot no tiene el funcionamiento requerido (Figuras 3.23 y 3.24) puesto que sigue omitiendo la restricción, presentándose un comportamiento libre y omitiéndose el movimiento cruzado por el trocar, el cual fue obtenido en el proceso de optimización

Figura 3-23: Comportamiento del robot PUMA con MGI modificado (vista superior).

Figura 3-24: Comportamiento del robot PUMA con MGI modificado (vista 3D).

3.4 PROPUESTA DE ROBOT QUE CUMPLA CON LAS RESTRICCIONES IMPUESTAS

Al observar los resultados previos, se concluye que bajo las condiciones de cruce por el trocar impuestas, el robot PUMA no puede ser utilizado en cirugías de laparoscopia, objetivo general del trabajo, puesto que se demuestra con resultados que el robot no es capaz de realizar trayectorias en su órgano terminal sin que su antebrazo RL4 respete un punto que representa el trocar.

Se planteó en otro objetivo la posibilidad de realizar algunas modificaciones al robot para que éste sea capaz de realizar trayectorias con las condiciones impuestas. Al analizar los resultados se concluye que el inconveniente que impide al PUMA tener el comportamiento deseado es la falta de otro grado de libertad en el codo, sin embargo al realizar esta modificación se altera la estructura del robot y ya no se estaría hablando de un robot tipo PUMA. Se propone entonces el uso de otro robot de estructura similar pero que posea las características cinemáticas requeridas, como es el caso del robot PA10.

3.4.1 Robot PA10.

El robot PA10 es un robot de siete grados de libertad, con siete articulaciones rotoides, cuyos accionamientos son motores AC. Es un manipulador con muñeca de ejes concurrentes fabricado por Mitsubishi [36] y muy popular en la automatización de procesos (Figura 3-25).

Figura 3-25: Robot PA10.

3.4.2 Tabla de parámetros del robot PA10.

Al analizar las relaciones entre ejes y articulaciones (Figura 3.26) se obtiene la tabla de parámetros (Tabla 3-2).

Figura 3.26 Robot PA10, articulaciones y ejes.

Tabla 3-2: Tabla de parámetros del robot PA10

3.4.3 Modelo geométrico directo del robot PA10.

El modelo geométrico directo del PA10 lo describe la ecuación:

Cuyo vector de posiciones es:

El modelo geométrico directo completo del robot PA10 se encuentra en los anexos.

3.4.4 El MGI modificado del robot PA10.

De la misma forma que se hizo para el robot PUMA deben encontrarse las ecuaciones que determinen el posicionamiento de cada una de las articulaciones [32].

• Calculo de q1 y q2

Figura 3-27: Articulaciones q1 y q2 para el PA10.

Como se ve en la Figura 3-27, q1 y q2 son las articulaciones encargadas de posicionar el codo, por tanto:

Figura 3-28: Articulaciones q3 y q4 para el PA10.

En la Figura 3-28 se ve que q3 y q4 posicionan la muñeca, desde el marco de referencia R0, así:

• Cálculo de q5

Al igual que antes el marco de referencia vuelve a cambiar, ahora es R4, realizando un proceso similar al anterior:

Figura 3-29: Articulaciones q5 y q6 para el PA10.

De la figura 3-29:

Para el cálculo de q6 se igualó el vector de posiciones del modelo geométrico directo del PA10, con las posiciones en x, y, z de la trayectoria deseada respectivamente. Despejando se obtuvo:

3.4.5 Robot PA10 configurado igual que el robot PUMA.

Se realiza la comparación entre el robot PA10 y el robot PUMA. Como lo muestra la Figura 3-30 la estructura de los dos robots es muy similar, la diferencia principal y más notoria está en las articulaciones que posicionan el codo: mientras que el robot PA10 tiene dos articulaciones q3 y q4 que permiten posicionar la muñeca en los tres ejes, el robot PUMA tan solo tiene una que posiciona a la muñeca solo en un plano.

Figura 3-30: Robot PA10 versus robot PUMA.

3.4.6 Resultados del PA10 configurado igual que el PUMA con instrumento adicional.

Con estas características se procede a introducir los datos de las posiciones del codo (Pc) y de la muñeca (Pm) obtenidas en el proceso de optimización, al modelo geométrico inverso del robot PA10 de igual forma que en el esquema mostrado en la Figura 3-16. Los resultados son los siguientes:

Al igual que en el PUMA el comportamiento en el codo es idéntico al obtenido en optimización (Figura 3-31).

Figura 3-31: Comportamiento en el codo del PA10 (vista 3D).

Al analizar la muñeca los resultados son muy buenos (Figura 3-32), puesto que realiza la misma trayectoria que la obtenida en el proceso de optimización. El robot tiene pues un comportamiento muy similar al que se presenta al visualizar la totalidad de los resultados de la optimización (Figuras 3-33 y 3-34), con excelente comportamiento en el trocar (Figuras 3-35 y 3-36) puesto que se aproxima a la situación planteada de cruce por un punto.

Figura 3-36: Comportamiento del robot PA10 en el trocar (vista superior).

Cuando se comparan los resultados en el órgano terminal, el círculo obtenido es muy similar al círculo deseado (Figuras 3-37 y 3-38).

3.5 ARGUMENTACION DEL PROBLEMA CINEMATICO DEL ROBOT PUMA.

Con el fin de ratificar los resultados obtenidos en las diferentes pruebas realizadas con el robot PUMA, los cuales evidencian un problema cinemático en el antebrazo RL4, al momento de realizar un movimiento respetando un punto inmóvil, se plantean dos alternativas de validación, una geométrica y otra matemática.

Validación geométrica del problema cinemático

En esta validación se realiza una comprobación geométrica a partir de la generación de trayectorias en el espacio para el codo y la muñeca del robot, que obliguen a su antebrazo a cruzar por un punto fijo entre ellas.

Para esto se construyen dos trayectorias circulares de igual tamaño, con sus centros alineados al origen, de tal forma que la distancia de la tierra R0 a cualquier punto perimetral del primer movimiento (circulo negro en Figura 3-38) sea igual a la distancia D3, y que al unir cualquier punto de este primer círculo con su posición diametralmente opuesta en el segundo (círculo azul en Figura 3-38), la distancia sea igual a RL4.

Figura 3-38. Trayectorias circulares y distancias entre ellas.

De esta forma se garantiza que las líneas que unen a los dos círculos en cada instante de muestreo realicen el cruce por un punto entre ellos. Este movimiento es de características similares a la restricción de paso por el trocar que se impone en cualquier cirugía de laparoscopia (Figura 3-39).

Se aclara que en este análisis solo se verifica la situación del codo y de la muñeca que permiten evidenciar el comportamiento de RL4, que es quien realiza el cruce por el trocar.

Figura 3-39. Unión de los dos círculos.

La obtención de las trayectorias circulares se muestra en detalle en el Anexo L.

3.5.1 Resultados con el robot PUMA

De la misma forma que se realizaron las pruebas con los resultados obtenidos en el proceso de optimización, se procede a introducir en el esquema MGI modificado – MGD (Figura 3-16), las posiciones para el codo (circulo negro) y para la muñeca (círculo azul), con el fin de evaluar el comportamiento del robot PUMA ante la nueva situación. Los resultados son los siguientes:

Al igual que antes se demuestra que el robot es capaz de realizar la trayectoria en el codo (Figura 3-40). Sin embargo nuevamente los problemas aparecen al hacer la muñeca pues el movimiento deseado en esta zona difiere totalmente del obtenido (Figura 3-41), y por ende el robot PUMA no realiza el movimiento cruzado que se le impone al antebrazo RL4 (Figuras 3-41 y 3-42).

Figura 3-42. Comportamiento del robot PUMA, para la validación geométrica (vista 3D).

3.5.2 Resultados con el robot PA10.

Para demostrar que el robot PUMA no puede realizar el movimiento cruzado debido a la falta de un grado de libertad adicional en el codo, se realizan las mismas pruebas con el esquema de la figura 3-16 pero ahora utilizando los modelos geométricos del robot PA10. Se obtienen los siguientes resultados:

El robot PA10 demuestra un comportamiento excelente ante el requerimiento de movimiento cruzado, el codo deseado es igual al obtenido (Figura 3-43) y el movimiento en la muñeca también es idéntico al impuesto (Figura 3-44 ). Pero lo más importante es que el antebrazo del robot PA10 realiza el cruce por la restricción y con mayor claridad se ve cuando se hace un acercamiento al punto de cruce (Figura 3-45).

Figura 3-45. Acercamiento en el punto inmóvil de RL5 para la validación geométrica.

3.6 VALIDACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA CINEMÁTICO.

Con el fin de brindar un soporte matemático a los resultados obtenidos en los diferentes procesos de simulación, se relaciona el problema cinemático del robot con algunas aplicaciones de su matriz Jacobiana, como se explica a continuación.

El modelado cinemático de un robot busca las relaciones entre las variables articulares y la posición (expresada normalmente en forma de coordenadas cartesianas) y orientación del extremo del robot. En esta relación no se tienen en cuenta las fuerzas o pares que actúan sobre el robot (actuadores, cargas, funciones, etc.) y que pueden generar el movimiento mismo. Sin embargo debe permitir conocer, además de la relación entre las coordenadas articulares y del extremo del robot, la relación de sus respectivas derivadas. Así, el sistema de control debe establecer qué velocidades debe imprimir a cada articulación (a través de sus respectivos actuadores) para conseguir que el extremo desarrolle una trayectoria temporal concreta por ejemplo, una línea recta, o circunferencia a una velocidad constante.

Para este y otros fines, es de gran utilidad disponer de la relación entre las velocidades de las coordenadas articulares y las de la posición y orientación del extremo u órgano terminal del robot. La relación entre ambos vectores de velocidad se obtiene a través de la denominada matriz Jacobiana [37].

Es importante resaltar que puesto que el valor numérico de cada uno de los elementos de la matriz Jacobiana dependerá de los valores instantáneos de las coordenadas articulares, el valor de la Jacobiana será diferente en cada uno de los puntos del espacio articular.

Para esta validación se plantea la evaluación numérica de la Jacobiana en cada instante de tiempo para una configuración articular concreta del robot. Si se tiene en cuenta que los valores numéricos de la Jacobiana van cambiando a medida que el robot se mueve, se podrán encontrar valores articulares para los cuales la matriz Jacobiana no sea invertible por su determinante, es decir Jacobiano nulo. Estas configuraciones del robot en las que el Jacobiano se anula se denominan configuraciones singulares [31] [38].

3.6.1 Configuraciones singulares.

Se denominan configuraciones singulares de un robot aquellas en las que el determinante de la matriz Jacobiana se anula. Por esta circunstancia en las configuraciones singulares no existe Jacobiana inversa.

Al anularse el Jacobiano, un incremento infinitesimal de las coordenadas cartesianas supondrían un incremento infinito de las coordenadas articulares, lo que en la práctica se traduce en que en las inmediaciones de las configuraciones singulares, el pretender que el órgano terminal se mueva a velocidad constante, obligará a movimientos de las articulaciones a velocidades inabordables por sus actuadores. Por ello en las inmediaciones de las configuraciones singulares se pierde alguno de los grados de libertad del robot, siendo imposible que su extremo se mueva en una dirección cartesiana. Las diferentes configuraciones singulares del robot pueden ser clasificadas como [37]:

• Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot.

Se presentan cuando el extremo del robot está en algún punto del limite de trabajo interior o exterior. En esta situación resulta obvio que el robot no podrá desplazarse en las direcciones que lo alejan de este espacio de trabajo.

• Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot.

Ocurren dentro de la zona de trabajo y se producen generalmente por el alineamiento de dos o más ejes de las articulaciones del robot.

Es así como las configuraciones singulares:

• 1. Representan configuraciones desde las cuales no se pueden alcanzar algunas direcciones.

• 2. Corresponden a puntos en el espacio de trabajo del manipulador inalcanzables al hacer modificaciones en los parámetros de la articulación (longitud, desplazamientos).

• 3. No presentan solución al problema cinemático inverso.

• 4. Pequeñas velocidades en el espacio operacional pueden producir grandes velocidades en el espacio articular.

Se debe prestar especial atención a la localización de las configuraciones singulares del robot para que sean tenidas en cuenta en su control, evitándose solicitar a los actuadores movimientos a velocidades inabordables o cambios bruscos en las mismas [37].

3.6.2 Singularidades en el robot PUMA ante la restricción de movimiento cruzado por un punto.

Para encontrar el determinante de la matriz Jacobiana del robot PUMA, la cual permite identificar la presencia o no de singularidades ante un determinado movimiento, es necesario obtener los valores articulares en cada instante de tiempo. Estos valores articulares son obtenidos a través del modelo geométrico inverso del robot. El proceso se muestra en el esquema de la Figura 3-46. La matriz Jacobiana del robot PUMA se muestra en el Anexo H.

Figura 3-46. Esquema MGI – Jacobiano.

Las posiciones para el codo y para la muñeca, que ingresan al modelo geométrico inverso del robot, son las encontradas en la validación geométrica del problema cinematico, sección 3.5.1.

En la validación geométrica se demostró que el robot PUMA no realiza el movimiento cruzado que se le impone al antebrazo RL4. Los valores articulares de este movimiento permitirán analizar matemáticamente el problema cinematico e identificar si existen singularidades que impiden que el robot PUMA realice con éxito la trayectoria impuesta, bajo la restricción de movimiento cruzado por un punto.

Luego de ingresar los valores articulares a la matriz Jacobiana y encontrar su determinante (Jacobiano), los resultados son los siguientes:

Figura 3.47 Jacobiano robot PUMA, ante la restricción de movimiento cruzado.

Como se observa en los resultados en la Figura 3-47, cuando el robot PUMA realiza los movimientos cruzados por un punto, el Jacobiano del robot es nulo, es decir que el problema cinemático se presenta por las singularidades existentes en este tipo de movimiento específico.

Se analiza el comportamiento en el robot PA10 ante el mismo movimiento. Para esto se realiza el mismo proceso que se muestra en el esquema 3-46, pero esta vez el análisis se realiza con el modelo geométrico inverso del robot PA10. La matriz Jacobiana del robot PA10 se observa en el anexo F.

Después de ingresar los valores articulares a la matriz Jacobiana y encontrar su determinante (Jacobiano), los resultados para el robot PA10 son los siguientes.

Figura 3-49 Jacobiano robot PA10, ante la restricción de movimiento cruzado.

Como se observa en los resultados de la Figura 3-49, cuando el robot PA10 realiza los movimientos cruzados por un punto, el Jacobiano del robot es diferente de cero, es decir que no existe ningún tipo de problema cinemático, y por ende en este tipo de movimiento no se presentan singularidades que impidan que el robot cumpla con la trayectoria impuesta.

Conclusiones y sugerencias

4.1 CONCLUSIONES

• Ante la restricción de paso por el trocar, impuesta al antebrazo del robot PUMA, éste presenta un problema cinemático que le impide cumplir con suficiencia las trayectorias asignadas. Por tal razón, se concluye que bajo las condiciones planteadas en el trabajo, sección 3.3.3, el robot PUMA no puede ser utilizado para los procedimientos quirúrgicos seleccionados.

• El problema cinemático se evidencia al obtener trayectorias para el codo y la muñeca del robot que obliguen a su antebrazo a pasar por un punto que representa el trocar (trayectorias obtenidas con la ayuda del algoritmo de optimización); se encuentra que el robot PUMA solo sigue con eficiencia el recorrido del codo, puesto que en la muñeca el robot no cumple con la trayectoria impuesta, sino que reproduce un recorrido similar al del codo. Por tal motivo el antebrazo no realiza el cruce por el trocar y en el órgano terminal la trayectoria difiere de la consigna deseada.

• El problema cinemático se debe a la falta de un grado de libertad adicional en el codo, que le permita al robot PUMA posicionar su antebrazo RL4 en el espacio, cruzando por un punto. Esto se demuestra al analizar el robot PA10, el cual posee una estructura similar pero con dos grados de libertad en el codo que le permiten a su antebrazo cumplir con dicho movimiento.

• La investigación permite comprobar mediante validación matemática que las limitaciones cinemáticas que presentan, son causadas por singularidades existentes en el robot al seguir un movimiento bajo las condiciones impuestas en este proyecto para realizar un procedimiento laparoscópico.

• En el desarrollo del proyecto se plantea una forma alternativa de estudiar el robot PUMA, no solo se considera la posición del órgano terminal, como se hace comúnmente, sino que también se tienen en cuenta el movimiento del codo y de la muñeca al modificar el modelo geométrico inverso. Este análisis podría ser de gran utilidad en entornos donde el robot encuentre limitaciones o restricciones adicionales a las del órgano terminal. También se estudia una forma de visualización del robot, en la cual se observa el comportamiento de cada eslabón y los movimientos que ellos realizan, utilizando los valores de las matrices de transformación que se usan para obtener el modelo geométrico directo y herramientas de dibujo de Matlab.

• Al realizar los procesos de optimización con un algoritmo numérico iterativo, las distancias impuestas como constantes en el sistema de ecuaciones presentan variación debido a que éste tipo de algoritmos están sujetos a una serie de parámetros (tolerancia de la función y de la variable, puntos de inicio y limites superior e inferior de la variable), los cuales modifican los resultados ante una mínima alteración, sin embargo se considera que los resultados permiten evaluar el comportamiento del robot, y analizar la situación del antebrazo en el trocar.

• Para disminuir la dificultad que genera el construir una consigna tridimensional a partir de un elemento bidimensional, como un video, se utiliza una herramienta grafica que permita crear un espacio de trabajo en tres dimensiones. Este espacio de trabajo permite aproximar los movimientos planos del video, a movimientos reales.

Para la construcción de las consignas del bypass gástrico y de la colecistectomía laparoscópica, se debe crear dicho espacio, considerando una serie de supuestos aportados por el criterio y la experiencia un medico cirujano.

4.2 SUGERENCIAS

• Como se demuestra en el trabajo, el robot PUMA no puede ser utilizado en los procedimientos laparoscópicos seleccionados. Se comprueba también que un robot con las características del PA10 brinda la posibilidad de cumplir con las restricciones de un procedimiento quirúrgico mínimamente invasivo, por tanto se recomienda realizar un estudio a fondo en un trabajo futuro, en el cual se diseñe un controlador para el robot PA10 que permita ejecutar las consignas diseñadas para las etapas quirúrgicas seleccionadas.

• Se recomienda profundizar el estudio en los procesos de optimización, buscando algoritmos que presenten mayor eficiencia en cuanto a la resolución del problema, respetando la totalidad de las longitudes impuestas.

• Al presentar a Blender como una solución software para la construcción de las consignas a partir de un video, se sugiere también que este programa de uso libre sirva para diseñar diferentes trayectorias no solo a partir de un video, sino también de una imagen o una figura geométrica, que puedan servir para la simulación de comportamientos de cualquier robot.

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Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

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