Fundametos matemáticos para administración, por Luis Enrique Alvarado Vargas

EL curso de Fundamentos Matemáticos permite indicar un proceso de formación de administradores turísticos y hoteleros que apropien competencias interpretativas, argumentativas y propositivas y competencias ciudadanas como líderes integrales en sus desempeños el curso pretende fortalecer procesos.

Fundamentos del Pensamiento Humano: Que le permiten apropiarse del lenguaje matemático en lo referente al pensamiento variacional y las estructuras algebraicas para la contextualización de su entorno.

pensamiento variacional y sistemas algebraicos: Solución de problemas y generalización, investiguen en la selección de herramientas matemáticas que le permitan ver las situaciones del mundo como una regla bien general.

Autoformación: A partir del estudio auto programado del dialogo de saberes como resultado del trabajo en equipo para la construcción y socialización del conocimiento de la investigación y acción de las prácticas.

Trabajo Cooperativo: El curso propende por el trabajo en equipo con toda la comunidad para el desarrollo del proyecto de investigación.

El propósito de formación de este curso es facilitar al estudiante de administración Agropecuaria es vivenciar por contexto y las demás áreas del programa el desarrollo de las competencias que le permitan utilizar el lenguaje y herramientas necesarias en las acciones propias del trabajo en equipo.

El curso esta propuesto acorde a los principios expuestos por la universidad del Tolima, el IDEAD y el programa de Administración Agropecuaria, los cuáles dan preeminencia a los procesos de auto formación del ser humano y el administrador ya que la implementación de herramientas didácticas y métodos mentales de la modalidad a distancia, que deben esforzarse a muchas horas de estudio individual y grupal sin la presencia física del tutor.

Introducción

El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos han contribuido al desarrollo de las diferentes áreas de desempeño de los ciudadanos. en el actual siglo nadie pone en duda la aplicabilidad de la matemática y en especifico los sistemas algebraicos para resolver situaciones que se le presentan al individuo en el proceso de formación como administrador turístico y hotelero, las expresiones algebraicas se aplican por ejemplo para resolver situaciones problema en las que deseamos plantear por ejemplo la proporción entre ella afluencia de turismo a una determinada región y la capacidad hotelera instalada. estas situaciones planteadas de manera matemática han permitido desarrollar la industria turística y hotelera en diferentes zonas del país como por ejemplo el eje cafetero que paso de ser una región eminentemente de vocación agrícola a ofrecer turismo.

Un estudio debe contener análisis cuantitativo y cualitativo, en el se utilizan ecuaciones matemáticas que aportan soluciones de situaciones problema. Tanto los sistemas lineales de ecuaciones como las ecuaciones de segundo grado aportan resultados que nos dan indicadores para mejorar la oferta de un determinado producto ofrecido en el mercado en este caso por ejemplo un portafolio de servicios de hotelería y turismo.

Queda para los estudiantes la construcción conjunta de un conjunto de problemas relacionados con la carrera para que le veamos una real aplicación y le encontremos sentido al estudio del pensamiento variacional y los sistemas algebraicos.

Este componente del currículo tiene en cuenta una de las aplicaciones más importantes de la matemática: la formulación de modelos matemáticos para diversos fenómenos. Por ello, debe permitir que los estudiantes adquieran progresivamente una comprensión de patrones, relaciones y funciones, así como desarrollar su capacidad de representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas mediante símbolos algebraicos y gráficas apropiadas. Así mismo, debe desarrollar en ellos la capacidad de analizar el cambio en varios contextos y de utilizar modelos matemáticos para entender y representar relaciones cuantitativas.

UNIDAD DE TRABAJO No.3

OBJETIVOS

• 1. Continuar  el estudio de los polinomios y fracciones algebraicas.

• 2. Se pretende que el alumno conozca la regla de Ruffini y su aplicación al cálculo de raíces de polinomios y la simplificación de fracciones.

• 3. Se pretende que el alumno aprenda a trabajar  de una manera sistemática y como objetivo complementario potenciar su imaginación, iniciativa y flexibilidad de mente.

• 4. Para ello, se dan estrategias para la resolución de problemas de diversos contextos y se utilizan  los métodos  estudiados de resolución de ecuaciones y sistemas

INDICADORES

• 1. Reconoce las expresiones algebraicas, las clasifica y las ordena.

• 2. realiza las cuatro operaciones básicas con expresiones algebraicas (polinomios).

• 3. Aplica la regla de Ruffini para encontrar las raíces de un polinomio.

• 4. resuelve problemas en los que aplica la factorización y los productos notables

• 5. resuelve sistemas lineales, aplicando distintos métodos.

• 6. formula y resuelve problemas en los que involucra ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

CONTENIDOS

• 1. Expresiones algebraicas.

• monomios

• polinomios

• 2. Operaciones con polinomios.

• Suma

• Resta

• Multiplicación

• División

• 3. Regla de Ruffini.

• 4. Teorema del residuo (resto )

• 5. Factorización de polinomios

• 6. Fracciones algebraicas.

• 7. Ecuaciones de primer y segundo grado.

• 8. Bicuadras e irracionales

• 9. Sistemas de ecuaciones.

• 10. Aplicaciones a la resolución de problemas

• 11. Inecuaciones.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

A) Traduce a lenguaje algebraico:

1. El triple de un número.

2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.

3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.

4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades

Solución:           5(2x-5)

5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x.

B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:

D) Identidades notables.

1) Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x +2)2

b) (x -1)2

c) (2x +3)2

d) (x +2)(x -2)

e) (2x -1)(2x +1)

f) (3x – y)2

g) (2x -3y)(2x +3y) = 4×2 -9y2

h) (x -1)3

i) (x +5)2-(x-3)2

2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

a) 3×4 -2×2

b) x2 -1

c) x2 +6x +9    

Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)2= x2 +6x +9

d) x2 + 4 +4x

e) 4×2-y2

f) 9 -6x +x2

g) 2x -4x2y

h) x2 +x y +x z +y z

Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)

i) a x -ay -b x +by

3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos

a) x2+ 2x+…..

b) 4×2 + 8x+……

Solución:           4×2 + 8x +4 = (2x +2)2

c) 9×2 -….+ 16

E) Calcula el grado de los siguientes polinomios:

1. –2x2y3                                                         2. . x2+ y2+ 2xy

3.

Solución:           2+4+2 =8

4.  (x +5)2-(x-3)2

5. 7×5-3×2-6×4+2+x

F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.

G) Operaciones con expresiones algebraicas:

 1) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:

H) Divide los siguientes polinomios:

Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes

Ejemplo. Divide  x3-3×2+ 5x-7 entre (x-3)

Se hace la siguiente disposición de la figura.

El cociente es x2+5 y el resto 8

1) (x3 -x2 -16x -3): (x -3)

Solución: Utilizando Ruffini quedaría

Nos queda que el cociente es x2 +2x – 10        y el resto -33

2) (2×3 +6×2 +11x+4):(x +1) 3) (3×4 +6×2 +11x+4) : (x-2) 4) (x3 + 1) : (x +1) 5) (-x4 +2×3 +5x -3):(x+3) Ampliación Teorema del resto.

El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor numérico del polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x por a,

 R =P(a).

Ejemplo: El resto de la división ( x3 -2×2 +3x -4):(x-1) es:

13-2.12+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo)

1. Calcula el resto de la división (x3 -x2 -16x -3): (x -3) sin efectuarla

2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:

a) P(x) = x3 -x2 +k.x -4, Q(x) = (x-2)

b) P(x) = x4 -2×3 +3×2 -k x -5; Q(x) = (x +1)

2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio  x4 -k x3 +3×2 – x +4 entre el binomio  x +2 nos dé15.

Factorización

Factorizar un polinomio es ponerle como  producto de sus factores (se llama también descomposición en factores del polinomio).

Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común,  la regla de Ruffini,  y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces.

Ejemplo: Factoriza  x3-5×2+ 4x

Solución

En primer lugar se saca factor común x, x3-5×2+ 4x =x(x2-5x+4)

El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado.

El polinomio factorizado es: x(x-4)(x-1).

Nota: También podría haberse usado Ruffini para el cálculo de las raíces, ya que son enteras

d) x3 -11×2 +34x -24

e) x4 -11×3 +33×2 -9x -54

Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces

Polinomios            o       Ejercicios de profundización

Fracciones Algebraicas

A) Hallar el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas en los puntos que se indican:

B) Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:

Son equivalentes.

C) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas, en los casos posibles:

D) Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado en los casos que se pueda.

Solución. Primero reducimos a común denominador y después sumamos los numeradores:

m .c. m (x, x +1) = x(x +1) =x2+ x

Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces

Polinomios y fracciones algebraicas

Parte: Ecuaciones y sistemas

Igualdades, identidades, ecuaciones

Una igualdad, (=), es una relación de equivalencia[1] entre dos expresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro.

? Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica.

Ejemplo 1: 2 +4  +5 = 1 +10

? Una identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores.

Ejemplo 2: Las Identidades Notables

? Cuando la igualdad se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores se la llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas.

Ejemplo 3:  a) 3x+2 =0  es una ecuación con una incógnita.;  b)3x +2y =1 es una ecuación con dos incógnitas.

Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o raíz) de la misma.

Ejemplo 4. Una solución de la ecuación del ejemplo 3 es x =-2/3 .

Ejercicio 1. Encuentra 2 soluciones de la ecuación 3x-2y-1=0

Resolver una ecuación en encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna.

Ejemplo 5. a) x2-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1

b) x2 + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.

 c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)….

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:

?     Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

?     Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Trasposición de términos.

Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas:

?      Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando.

?      De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.

Esto se llama trasponer términos.

Ejemplo 6:  La ecuación   5x – 1 = 2x -3    se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.

Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.

Ecuaciones de primer grado

y se verifica:

Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas

Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)

Si D 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

Propiedades de las soluciones de la ecuaciones cuadráticas

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación cuadrática a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y -2.

S= 3 – 2 = 1

P = 3 · 2 = 6

x2 – x + 6 = 0

Factorización de la ecuaciones cuadráticas

a x2 + bx +c = 0

a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0

Para resolver ecuaciones fraccionarias o racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.

Las ecuaciones bicuadradas son del tipo:

ax4 + bx2 + c = 0

Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:

at2 + bt + c = 0

Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:

El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:

ax6 + bx3 + c = 0

ax8 + bx4 + c = 0

ax10 + bx5 + c = 0

Ejercicios de ecuaciones bicuadradas

2×4 – 25×2 + 144 = 0

3×4 – 16×2 – 225 = 0

Evaluación

• Socializar los contenidos de la presente guía, sustente y discuta en pequeños grupos los ejercicios y problemas planteados.

• Resuelva y sustente por CIPAS, los ejercicios de estos capítulos, de acuerdo a la orientación del tutor del texto: Matemáticas Universitarias de Allendoerfer y los ejercicios integrales del material de apoyo aportado por el tutor.

• dentro de la guía se encontraran ejercicios y problemas resueltos que el estudiante resolverá y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor, se hará una socialización y corrección de algunos problemas propuestos al azar, se tendrá en cuenta una autoevaluación que cada estudiante hará, una cooevaluación que le harán los estudiantes del grupo y una hetero-evaluación que será realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos, actitudinales y comporta-mentales del estudiante, al igual que las competencias interpretativa, argumentativa y proposicional.

Acreditación del Núcleo Problemico

La acreditación de la unidad amerita un trabajo secuencial, individual y por CIPAS que le permitan al estudiante un desarrollo adecuado de los procesos de factorización y la solución de ejercicios de aplicación a las ecuaciones lineales y cuadráticas mediante la interpretación analítica y gráfica de sus soluciones.

Quien acredite un nivel mínimo en el manejo conceptual, operativo y gráfico de estos componentes, avanzará positivamente en el proceso evaluativo tutorial.

Calendario del módulo

(Se debe definir en semanas, de forma que ajuste con el modelo pedagógico uniminuto – en l modalidad de distancia)

Metodología

En la educación a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos, condición que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje. Debido a que ese proceso es básicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor, el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina), teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios.

La palabra método significa camino (odos), para llegar a un fin (meta), en este sentido el concepto de metodología integra los métodos y las técnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia.

Usted cuenta con Varios recursos a su disposición los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo. Ellos son:

Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones, los siguientes:

• Se recomienda leer los capítulos 6 y 8 sobre ecuaciones e inecuaciones lineales del texto, Matemáticas Universitarias de Allendoerfer.

• Lectura analítica de los capítulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemáticas Aplicadas a la Economía y a la Administración, de Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner. Editorial Prentice Hall. 1996.

• Se recomienda leer los capítulos 5 y 6 del texto, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner. Editorial Prentice – Hall. Tercera edición. México 1989.

Se recomienda visitar y consultar las direcciones abajo citadas

http://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadescuarto.htm

http://www.vitutor.net/1/38.html Los contenidos y titularidad del dominio corresponden a Juan Carlos Fernández Gordillo, para más información sobre vitutor.net puedes consultar la página: http://www.whois.net/whois_new.cgi?d=vitutor.net&tld=com.

http://www.eduteka.org/SoftMath5.php Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN), Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003

POLITICAS

El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas, sintetizar los conceptos en un portafolio, resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guía, asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero, participar activamente de las actividades de socialización y trabajo colaborativo.

Rol del Tutor:

El propósito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes, facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias. La supervisión que hagan los tutores se enfocará tanto a los procesos, como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia, para ello el tutor asume entre otros los compromisos de:

• Atender directamente a los estudiantes a él asignados utilizando diversos medios: encuentro tutorial, teléfono, celular, fax, e-mail, sistemas de mensajería y/o cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante , de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didácticas.

• Asistir al lugar de tutoría asignado, en la hora y el dia indicados previamente para tal fin:

• Respetar el calendario académico y cada una de las actividades propuestas en el

• Guiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizaje

• Suscitar la reflexión e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizaje

• Evaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluación socializados al estudiante al plantearse la actividad.

• Retroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutor.

• Las dudas académicas serán atendidas por teléfono, fax, e-mail y medios como foros en aulas virtuales.

Rol del estudiante

Asumamos que los estudiantes son participantes, honestos y comprometidos que. Como tales, son los principales responsables de iniciar, dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje. Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que estén a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades. De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurrirán en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interacción, actividades terminales e intermedias. Se espera que los estudiantes participen activamente en cada una de las actividades descritas en la guía de estudio, para ello es necesario tener en cuenta que:

• El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje, que lo lleva a ser mas activo y propositivo, por consiguiente a desarrollar el auto – estudio

• Debe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje, habiendo leído los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guía de estudio.

• Debe realizar las actividades planteadas en la guía de estudio, entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluación, dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividad.

• En las evidencias escritas, deberá saber citar las fuentes, es decir usar debidamente la bibliografía a fin de evitar el plagio.

Bibliografía

http://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadescuarto.htm

http://www.vitutor.net/1/38.html Los contenidos y titularidad del dominio corresponden a Juan Carlos Fernández Gordillo, para más información sobre vitutor.net puedes consultar la página: http://www.whois.net/whois_new.cgi?d=vitutor.net&tld=com.

http://www.eduteka.org/SoftMath5.php Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN), Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003

Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición revisada. Editorial Mc Graww- Hill. Santafé de Bogotá D.C. 1994 Cáp. 4, 5, 6, 7, 8, 10 y 11.

Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Tercera edición. Editorial Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.

Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuaciones y sus aplicaciones.

Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisis económico; Prentice – Hall, 1996.

Autor:

Enrique Alvarado Vargas

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"?

www.edu.red/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"?