Determinación del número de picos y bandas en cromatografía y espectroscopía mediante derivación (página 2)

En el caso de tres picos solapados pueden presentarse una de las tres variantes siguientes: los tres picos solapados se encuentran totalmente contenidos dentro de un pico ancho, que es semejante al caso mostrado en la figura 2a; existencia de un hombro en uno de los laterales como se ilustró en la figura 2b y un tercer caso que es la presencia de hombros en ambos laterales del pico experimental, que a los efectos de procesamiento resulta semejante al caso anterior.

Otro aspecto imprescindible al abordar la separación de picos solapados es el limite teórico de resolución posible, el cual expresa si es posible separarlos (resolverlos), que en el caso de estudio (espectros infrarrojo y ultravioleta y cromatografía) se enuncia como sigue: «dos picos solapados pueden separarse si la diferencia entre la separación de los puntos de simetría de ambos es mayor o igual que la mitad del semiancho del menor». Matemáticamente el criterio anterior se expresa a través de la siguiente ecuación, donde los parámetros tienen el significado que se indica:

xS,1; xS,2: posición del punto de simetría de cada una de los picos solapados en la señal experimental.

b m : menor semiancho de dos picos solapados en la señal experimental.

Nótese que este criterio no considera la relación entre las amplitudes de los picos solapados, lo cual como se verá posteriormente constituye una fuente de error en la predicción del límite teórico.

II.1.2 Funciones para modelar

Los registros experimentales pueden ser modeladas a través de funciones de Gauss (cromatografía, espectros ultravioleta) o de Lorentz (espectros infrarrojo), cuyas expresiones matemáticas se muestran a continuación y cuyos parámetros tienen el siguiente significado analítico:

a0: amplitud de la banda espectral o pico de cromatografía.

x0: posición del punto de máxima amplitud de la banda espectral o pico de cromatografía.

b 0: semiancho de la banda espectral o pico de cromatografía.

En relación con las expresiones anteriores es conveniente señalar que las mismas pueden considerarse en términos matemáticos como funciones de distribución, atendiendo a lo cual resulta de interés la determinación de sus momentos, en particular hasta los de cuarto orden, atendiendo a su significado estadístico y asociación, que puede establecerse con características del registro experimental y que se relacionan en la tabla siguiente.

Tabla 1. Relación entre los momentos de la distribución y los registros experimentales analizados.

Aplicando el Principio de Superposición, que establece que un registro experimental puede ser descompuesto a través de la suma del aporte individual de cada componente, lo que supone la no interacción entre los componentes, o lo que es equivalente, el coeficiente de correlación entre éstos es nulo, los registros experimentales objeto de estudio en este trabajo pueden ser modelados (simulados) de manera general mediante las ecuaciones 4 y 5, donde n indica la cantidad de componentes (picos o bandas) presentes en el registro experimental.

II.1.2.1 Propiedades generales

Utilizando las definiciones y propiedades de las funciones relacionadas en el Anexo A, es posible determinar los momentos de las funciones bajo estudio de la forma que se detalla en el Anexo B, donde se evidencia que el comportamiento de las mismas es diferente: en el caso de la función de Gauss es posible determinar sus momentos, en tanto en la función de Lorentz sólo permite calcular el momento de primer orden, que coincide con el de Gauss.

De igual forma, la norma de la función de Lorentz es mayor, lo cual es una consecuencia de que su disminución es muy rápida en la cercanía del punto de máxima amplitud, pero después decrece más lentamente a cero que la de Gauss.

Para ilustrar lo antes señalado, en la figura 3 se muestra la simulación de dos registros experimentales a través de la función de Gauss y Lorentz con iguales parámetros característicos (amplitud, posición de máxima amplitud y semiancho), donde se aprecia que ambas funciones sólo se diferencian en la curtosis (esbeltez) del pico. En términos matemáticos esto indica que dos picos consecutivos con iguales parámetros están más resueltos (separados) en el caso de la función de Lorentz, que en la de Gauss.

En términos de la Química Analítica, este resultado permite afirmar que los registros experimentales cuyo comportamiento puede ser modelado a través de las funciones de Lorentz (espectros infrarrojo) exhiben intrínsecamente una mayor resolución que aquellos que se describen a través de la función de Gauss (cromatografía y espectro ultravioleta).

II.1.2.2 Derivadas analíticas

Una vez caracterizadas las funciones de interés (Gauss y Lorentz), es necesario determinar las expresiones analíticas de las derivadas de las mismas, las cuales se obtienen aplicando las reglas de derivación a las expresiones (4) y (5), que conducen a los resultados siguientes:

• Funciones de Gauss:

Nótese que la derivada n-ésima de orden superior o igual a dos (n ³ 2) de la función de Gauss puede obtenerse de la expresión general siguiente, asumiendo que la derivada de orden cero de una función, es la propia función.

• Funciones de Lorent:

II.1.3 Simulación de registros experimentales

Como se indicó anteriormente en el caso de los Métodos Espectroscópicos y de la Cromatografía, es conocido que los picos o bandas obtenidas en la señal experimental pueden modelarse a través de funciones matemáticas conocidas (Gauss y Lorentz), por lo cual la simulación de un registro experimental puede realizarse aplicando el Principio de Superposición.

Bajo esta aproximación, los registros cromatográficos y espectroscòpicos (ultravioleta e infrarrojo), la expresión matemática para la determinación de la amplitud de la señal simulada en el punto i-ésimo viene dada por las siguientes ecuaciones, donde n es el número de componentes considerados en la simulación y las magnitudes con subíndice j representan los parámetros de amplitud, posición de máxima amplitud y semiancho de cada componente.

n0: cantidad de puntos en el registro experimental simulado.

II.2 Métodos para la separación de picos y bandas solapados

II.2.1 Generalidades

Justamente, la existencia de picos solapados en los registros experimentales de este tipo, ha dado lugar a diversos trabajos orientados a proporcionar métodos para su separación, así como para la determinación del limite teórico de resolución que puede obtenerse, el cual está dado por el principio físico-químico utilizado en la obtención de la señal.

En la práctica existe un obstáculo para alcanzar este objetivo, la gran cantidad de parámetros que constituyen variables en este problema (3n), donde n es el número de picos o bandas existentes en la región de interés, por lo cual el análisis del poder resolutivo de este método debe dividirse en casos representativos de la práctica. Los casos más frecuentes a los que se enfrenta el analista es la presencia de dos o tres picos o bandas solapadas, aunque es posible encontrar en determinada situación el solapamiento de una cantidad superior.

II.2.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales (SENL)

En relación con los métodos para separar picos no resueltos pueden utilizarse diversos métodos, entre los que se encuentra la solución de un Sistema de Ecuaciones no Lineales, el cual requiere de evidencia experimental complementaria acerca de la cantidad de picos y un estimado del valor de sus parámetros característicos (posición, amplitud y semiancho) que deben proporcionarse al sistema para la primera iteración, que en muchos casos decide si el resultado obtenido por el algoritmo se corresponde con un extremo local o al extremo, en este caso, un mínimo absoluto.

II.2.3 Método de la Cuarta Derivada

Otro procedimiento para este propósito, que requiere de menos tiempo para el procesamiento del registro experimental es el Derivativo, que consiste en calcular las derivadas de la señal y, aplicando los criterios de máximo del Análisis Matemático, determinar la cantidad de picos existentes en la región de interés analítico.

En relación con este método, debe señalarse que requiere de la determinación analítica previa de las expresiones para el cálculo de las derivadas de funciones de variable discreta y una evaluación del error cometido al utilizar cada una de éstas, así como que, el empleo de la tercera y cuarta derivada en lugar de la primera y la segunda, proporciona mayor poder separador pero deteriora la relación señal/ruido, lo que obliga a realizar una evaluación de si los beneficios obtenidos con el incremento en el poder resolutivo sobrepasan el riesgo de la predicción de picos inexistentes a causa del nivel de ruido del registro procesado.

No obstante, es necesario realizar las siguientes consideraciones en relación con las limitaciones antes señaladas:

• En múltiples ocasiones el analista está interesado, en principio, en determinar la presencia o no de un compuesto o grupo químico y por tanto, si al aplicar el método puede identificar, aunque sea de manera borrosa, la existencia de un pico o banda característico que pueda asociarsele resultará conveniente su utilización.
• Los resultados provenientes de cualquier sistema automatizado requieren de la validación de un especialista, pues la racionalidad que garantiza en el resultado, evita tener que desechar en etapas más avanzadas de la investigación resultados que pueden incluso ser pilares de ésta debido a una mala interpretación o extrapolación.

Nótese que los dos métodos descritos a grandes rasgos anteriormente, no eliminan el criterio experto de evaluación de la racionalidad de la solución propuesta, pero simplifican el trabajo de éste al proponerle una solución de coherente en términos matemáticos.

II.2.3.1 Criterios matemáticos de extremo

La determinación de los puntos extremos (máximos y mínimos) de funciones matemáticas empleando las derivadas de éstas se obtiene determinando los valores de la variable independiente (x) en el cual se cumplen las condiciones siguientes:

II.2.3.2 Métodos para el cálculo de derivadas de funciones de variable discreta

Una vez caracterizadas las funciones objeto de estudio y obtenidas las expresiones de las derivadas analíticas de hasta cuarto orden de las mismas, así como el procedimiento para la simulación de la señal experimental, es necesario establecer las expresiones a utilizar para el cálculo de las derivadas de funciones de variable independiente discreta (expresiones discretas en lo sucesivo), que puede realizarse utilizando cualesquiera de los cuatro métodos que se describen a continuación:

• Cálculo de diferencias. Este es un método recursivo para el cálculo de derivadas, que se basa en determinar la diferencia de orden n en función de la diferencia de orden n-1. Una variante de este método es el cálculo de las diferencias centrales, que en lugar de utilizar para su determinación el valor de la diferencia anterior emplea el valor central (punto medio) de la misma.
• Derivación sucesiva. Este método se basa en la aplicación reiterativa de la definición de derivada a la expresión obtenida para el orden anterior, utilizando la siguiente expresión para la primera derivada .
• Ajuste de polinomios. El método de ajustes de polinomios para el cálculo de las derivadas, se fundamenta en obtener las expresiones de los coeficientes de los términos del ajuste de m puntos experimentales mediante un polinomio de grado m-1, cuya determinación conduce a la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
• Ajuste de polinomios mediante mínimos cuadrados. Para obtener las expresiones de las derivadas se ajustan mediante la formulación matemática de los Mínimos Cuadrados m puntos a un polinomio de grado h<m y se resuelve el sistema de ecuaciones lineales a que conduce el planteamiento de este problema

En el Anexo D se relacionan las expresiones discretas para las derivadas de hasta cuarto orden, utilizando cada uno de los métodos antes descritos recopiladas de la literatura.

III. Correspondencia de las expresiones discretas de las derivadas con las analíticas

Una vez presentados los aspectos teóricos necesarios para la aplicación del Método de las Derivadas en la determinación de picos y bandas en la Química Analítica: funciones de interés, Gauss y Lorentz; expresiones para el cálculo de las derivadas de las funciones bajo estudio (expresiones analíticas) y funciones de variables independiente discretas (expresiones discretas) así como el procedimiento para simular un registro experimental, el paso siguiente corresponde a la determinación de las expresiones discretas que exhiben el mejor ajuste con la equivalente analítica, con vistas a seleccionar las más ventajosas en el proceso de análisis.

Lo antes señalado evidencia la necesidad de caracterizar el error relativo entre estas expresiones el cual se detalla a continuación.

III.1 Fuentes de error

El primer paso en la caracterización del error cometido al evaluar un proceso es determinar las fuentes del mismo y como expresarla.

En cuanto a las fuentes de error, en este trabajo pueden provenir de las dos vertientes fundamentales siguientes:

• Registro experimental. Tiene una incertidumbre asociada a la calidad de la señal (incertidumbre y ruido) que está determinada por el proceso de obtención y es posible mejorarla utilizando equipos de mayor precisión y exactitud, así como a través del procesamiento con herramientas matemáticas, tales como filtros digitales, etc, que a los efectos de trabajo representan un fuente de error constante y por ello no serán abordados.
• Expresiones de cálculo. La existencia de diversos métodos (se consideran cuatro en este trabajo) para la determinación de las derivadas discretas, permite disponer en la práctica de cuatro conjuntos de expresiones, que requiere de una evaluación previa para establecer cual resulta más ventajosa en cada caso.

De todo lo expuesto, se evidencia que es indispensable realizar una cuantificación del error que se comete al utilizar cada una de las expresiones potencialmente utilizables, para emplear aquella que exhiba mejor correspondencia con el registro experimental, ya que la calidad de este último como se expresó anteriormente, está predeterminada por las condiciones experimentales disponibles y constituyen una aporte constante al error en la determinación y en la medida que las características del registro experimental sean mejores el alcance y fiabilidad de los resultados será mucho mayor.

III.2 Criterios para cuantificar el error

De todo lo expuesto puede apreciarse que a los efectos de este trabajo la cuantificación del error debe estar dirigida a escoger la función para la derivada de cada orden que menor diferencia represente con su homologa analítica, para lo cual pueden utilizarse diversos criterios.

Atendiendo al objetivo de éste trabajo y la práctica usual en este tipo de problema se proponen como criterios para determinar la mejor correspondencia entre las derivadas analíticas y las discretas en este trabajo los tres indicadores definidos a continuación:

• Error cuadrático: Este indicador, definido a través de la expresión 21, puede interpretarse como la distancia (diferencia) existente entre la amplitud de la derivada de señal obtenida a través las expresiones discretas y las correspondientes analíticas.

.

• Error absoluto promedio: Este índice, definido mediante la expresión 22, representa la separación promedio que existe entre la amplitud de la derivada de señal obtenida a través las expresiones discretas y las correspondientes analíticas.

.

• Error absoluto máximo: Este índice, que se determina mediante la expresión 22, representa la máxima separación que existe entre la amplitud de la derivada de señal obtenida a través las expresiones discretas y las correspondientes analíticas.

.

donde:

yd: amplitud de la derivada de señal obtenida con las expresiones discretas.

ya: amplitud de la derivada de señal obtenida con las expresiones analíticas.

n: cantidad de puntos en la señal experimental.

k: orden de la derivada.

III.3 Procedimiento para la cuantificación del error

Una vez establecidos los índices de error seleccionados para evaluar la correspondencia de las expresiones discretas con las continuas, el procedimiento para su determinación es el siguiente:

2. Paso 1: Establecer los conjuntos de juegos de parámetros (amplitud, semiancho y posición) característicos, en este caso cuatro (n=4).
3. Paso 2: Simular la señal experimental mediante la superposición de cuatro bandas utiizando las expresiones 4 y 5.

1. Paso 3: Calcular las derivadas analíticas hasta cuarto orden de la señal simulada, mediante las superposición de la derivada analítica de las cuatro componentes, cuyas expresiones se relacionan en el apartado II.1.2.2 de este trabajo.

2. Paso 4: Calcular la derivada de todos los órdenes de la señal experimental simulada, a partir de las expresiones discretas relacionadas en el Anexo C.
3. Paso 5: Determinar los tres tipos de errores posibles considerados en este trabajo entre las derivada analítica y la obtenida en el paso anterior de este procedimiento.

A continuación se discuten los resultados obtenidos para cada una de las funciones analizadas empleando este procedimiento.

III.4 Comportamiento del error

III.4.1 Funciones de Gauss

Utilizando el procedimiento descrito en el apartado anterior se determinaron los tres índices de errores definidos en este trabajo, cuyos resultados se relacionan en el tabla 2.

Tabla 2. Funciones discretas de mejor correspondencia con las analíticas.&uml;

¨ : Las celdas coloreadas indican que la expresión es aplicable a ese orden de derivación.

§ : La X indica que es la ecuación de mejor ajuste de las utilizadas.

© : El número entre paréntesis indica la cantidad de puntos ajustados.

El análisis de los resultados obtenidos en la cuantificación del error cometido al utilizar las expresiones discretas para obtener las derivadas de hasta cuarto orden evidencia que la mejor correspondencia se obtiene en el caso de las derivadas de orden par (segunda y cuarta) el Método de las Diferencias en tanto para las derivadas de orden impar (primera y tercera) el Método de las Derivadas Sucesivas es el más adecuado, por lo cual las expresiones de las derivadas discretas a utilizar en el caso de los registros experimentales modelados a través de funciones de Gauss son las relacionadas en la tabla 3.

Tabla 3. Expresiones para la derivada discreta de mejor correspondencia para la función de Gauss.

III.4.2 Funciones de Lorentz

Una vez determinadas las expresiones de mejor correspondencia para las señales modeladas por la función de Gauss, repitiendo el proceso para las modeladas por la función de Lorentz se obtuvieron los resultados que se muestran en la tabla 4 a continuación.

Tabla 4. Funciones discretas de mejor correspondencia con las analíticas.¨

¨ : Las celdas coloreadas indican que la expresión es aplicable a ese orden de derivación.

§ : La X indica que es la ecuación de mejor ajuste de las utilizadas.

© : El número entre paréntesis indica la cantidad de puntos ajustados.

El análisis de los resultados mostrados en la tabla 4 ponen de manifiesto que la mejor correspondencia se obtiene en el caso de las derivadas de orden inferior (primera y segunda) por el Método de las Derivadas Sucesivas, en tanto para las derivadas de orden superior (tercera y cuarta) se requiere del Método de los Mínimos Cuadrados, para los registros experimentales modelados a través de funciones de Lorente, siendo las expresiones a utilizar en este caso las relacionadas en la tabla 5.

Tabla 5. Expresiones discretas de mejor correspondencia para la función de Lorentz.

III.4.3 Comparación del comportamiento del error

El comportamiento de error para los registros experimentales modelados por las funciones bajo estudio puede resumirse en los siguientes aspectos:

Los tres índices de error propuestos en este trabajo, establecen en todos los casos la misma tendencia en el comportamiento del error, lo cual indica que el error cometido en la determinación de la derivada es inherente al método de cálculo de la derivada y no de la función a la cual es aplicada.

Para ambos tipos de funciones (Gauss y Lorentz), la mejor opción en la determinación de la primera y la segunda derivada lo constituyen las expresiones obtenidas a través del Método de Derivación Sucesiva, lo que evidencia que el poder separador para éstos órdenes de derivación es independiente del modelo que se ajusta al registro experimental.

El mejor ajuste de las expresiones para la derivada de tercer y cuarto orden, se corresponde con las obtenidas por el Método de Derivación Sucesiva para registros experimentales modelados a través de las funciones de Gauss y del ajuste de un polinomio con siete puntos mediante Mínimos Cuadrados para aquellos cuyo comportamiento se describe mediante la función de Lorentz, lo cual constituye un resultado esperado, atendiendo a que la función de Lorentz requiere de una mayor cantidad de puntos y de un método más preciso para el cálculo de la derivada, ya que la misma exhibe una mayor pendiente que la función de Gauss, debido a su mayor curtosis.

IV. Conclusiones

Como conclusiones del presente trabajo pueden señalarse que se analizaron las características de un método sencillo que permite determinar la mejor correspondencia entre la derivada de la función obtenida analíticamente con las expresiones ajustadas por métodos discretos, el cual se aplica con métodos satisfactorios a los registros experimentales modelados a través de de las funciones de Gauss (cromatografía y espectro ultravioleta) y de Lorentz (espectro infrarrojo) y puede ser utilizado para la determinación de picos y bandas.

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VI. Anexos

Anexo A. Elementos prácticos utilizados

A1. Definiciones

Función par. Es una función y = f(x) que cumple con la condición f(x) = f(-x).

Función impar. Es aquella función y = f(x) tal que f(x) = -f(-x).

Momentos de una función de densidad de probabilidad

A2. Propiedades

Propiedad #1. Si la función y = f(x) es impar, entonces se cumple que:

Propiedad #2. Si la función y = f(x) es par, entonces se cumple que:

Propiedad #3.

Propiedad #4.

Propiedad #5.

Propiedad #6.

Propiedad #7.

Propiedad #8.

Anexo B. Características de las funciones de Gauss y Lorentz.

B.1 Momentos de la Función de Gauss

B.1.1 Norma

Sea . Entonces: . Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación (x) se tiene que:

La integral puede calcularse a través de la propiedad #8 del apartado A.2 de este trabajo, haciendo , de donde . Sustituyendo este resultado en la expresión anterior se obtiene:

B.1.2 Momento de primer orden a 1

Sea . Entonces:

Sustituyendo las dos últimas expresiones en la definición de momento de primer orden se obtiene:

Ahora, de acuerdo a la propiedad #1 del apartado A.2 de este trabajo, la integral I1 es cero, pues el integrando es una función impar integrada entre límites simétricos.

Por otra parte la integral, I2 se transforma en , en virtud de la propiedad #2 del propio apartado, ya que el integrando es una función par integrada entre límites simétricos. Por tanto a 1 = I2 y el cálculo de I2, puede realizar aplicando las propiedades de la función relacionadas en el apartado anterior, para los valores siguientes: n = 0 y .

Bajo estas condiciones:

B.1.3 Momento de segundo orden a 2

Sea . Entonces: . Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en el integrando se obtiene la expresión, que puede transformarse en debido a la paridad de la función del integrando.

Por tanto el valor de a 2 se obtiene aplicando las propiedades de la función como se indica a continuación para los valores n = 0 y :

B.1.4 Momento de tercer orden a 3

En este caso resulta evidente que el integrando es el producto de una función par por otra impar, integrada entre limites simétricos, por lo cual de acuerdo con la propiedad #1 del apartado A.2, a 3 es cero.

B.1.5 Momento de cuarto orden a 4

Sea . Entonces: . Sustituyendo las dos expresiones en la definición de momento de cuarto orden se obtiene: , que puede transformarse en

Por tanto el valor de a 2 se obtiene aplicando las propiedades de la función como se indica a continuación n = 4 y :

B.2 Momentos de la Función de Lorentz

B.2.1 Norma

Sea . Entonces: . Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación para la norma se tiene que:

Para el cálculo de la nueva integral I1, se puede utilizar el cambio de variable x=tan(y), donde se cumple:

Sustituyendo los resultados anteriores en la integral I1 se obtiene que la norma de la función de Lorentz viene dada por:

B.2.2 Momento de primer orden a 1

Sea . Entonces: . Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación para la determinación de α1 se tiene que:

Ahora, de acuerdo a las propiedad #1 del apartado A2, la integral I1 es cero, pues el integrando es una función impar integrada entre límites simétricos, en tanto el valor de I2 es p /2 de acuerdo a los cálculos del apartado anterior. Bajo estas condiciones se tiene que:

B.2.3 Momento de segundo orden a 2

Sea . Entonces: . Sustituyendo las expresiones anteriores en la expresión para el momento de segundo orden se tiene que:

Ahora, la integral I1 es divergente, pues el limite de la función que aparece en el integrando cuando es uno y no cumple con la condición de convergencia que exige que ese límite sea cero.

Anexo C. Derivación de funciones

C.1 Propiedades de de las derivadas

Propiedad #1: Sea la función . Entonces

Propiedad #2: Sea la función . Entonces

Propiedad #3: Si , entonces .

De la propiedad anterior se conoce que , con u(x)=e.

Ahora y . Sustituyendo éstos resultados en la expresión para la derivada bajo estas condiciones la expresión .

Propiedad #4: Entonces

De la propiedad anterior se conoce que , con v(x)=n.

Por tanto . Sustituyendo éstos resultados en la expresión para la derivada de la propiedad x, se obtiene que .

Propiedad #5: Sean las funciones y . Entonces .

Propiedad #6: Sea la función . Entonces

C.2 Derivada de la función de Gauss

Función de Gauss:

C.2.1 Primera derivada

Ahora de acuerdo a la propiedad x del apartado A2 si entonces .

Sustituyendo los resultados anteriores en la expresión x, se obtiene que

C.2.2 Segunda derivada

En la expresión anterior, sea: y . Entonces y

.

Sustituyendo los resultados anteriores la propiedad x del apartado A2, , se obtiene que la segunda derivada de la función de Gauss viene dada por:

C.2.3 Tercera derivada

Sea y . Entonces se tiene que: y . Sustituyendo los resultados anteriores en la propiedad x del Apartado A2 se tiene que a tercera derivada viene dada por:

C.2.4 Cuarta derivada

C.3 Derivadas de la función de Lorentz

Función de Lorentz:

C.3.1 Primera derivada

De donde:

C.3.2 Segunda derivada

Ahora:

C.3.3 Tercera derivada

Ahora:

Sumando las dos expresiones anteriores se tiene que:

C.3.4 Cuarta derivada

Anexo D. Expresiones para el cálculo de las derivadas discretas de hasta cuarto orden.

En el presente anexo se relacionan las expresiones para el cálculo de las derivadas discretas, reportadas en el trabajo «Derivadas de funciones de variable discretas», Monografías.com, ago/2003

D.1. Método de las diferencias

D.2. Método de derivaciones sucesivas

D.3. Método de Ajuste de Polinomios a puntos experimentales

– Dos puntos:

– Tres puntos

– Cuatro puntos:

– Cinco puntos:

D.4. Ajuste de polinomios mediante mínimos cuadrados

– Cinco puntos:

siete puntos

Autor:

M.Sc. Lic. Jesús Mesa Oramas *;

Lic. Addiss Bermello Crespo*;

Marisol Cabrera *

* Instituto Cubano de Investigaciones de los Derivados de la Caña de Azúcar (ICIDCA)