Vibraciones Mecánicas (página 3)

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

(5)

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(6)

Amplitud y fase inicial

Energía del movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (Ec) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:

(11)

Esta última magnitud Em recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(12)

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento.

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = – A y x = A. Se obtiene entonces que,

(13)

4.2.- VIBRACIONES LIBRES.

El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinámicos.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración.

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas.

Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez.

Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras.          

DEFINICIÓN

Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0).

VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

Figura 4.1 Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento [ref. 12]

La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:

Figura 4.2 Vibración libre, representación vectorial [ref. 13]

Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:

(4.9)

Y el ángulo de fase esta dado por:

(4.10)

En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno.  

Tipos de Movimiento

Figura 4.3 Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado

4.4.2        Sistema subamortiguado

Para un sistema subamortiguado (?<<em>1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice I, y su solución es:

(4.15)

Donde wD es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es:

(4.16)

Figura 4.4 Efecto del amortiguamiento en Vibración libre

Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado (?=0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura 4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:

(4.17)

y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma:

(4.18)

La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:

(4.19)

y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

(4.20)

4.3.- APLICACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON. 

Dijimos anteriormente que, cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo,  cambia su velocidad en intensidad o dirección, esto significa que el cuerpo adquiere aceleración. 

La ecuación anterior, contiene la siguiente información:

La fuerza resultante y la aceleración son vectores que tienen la misma dirección y sentido.

Si la suma de las fuerzas aplicadas es cero, entonces la aceleración es cero.(Lo que significa que el cuerpo está en reposo, o que se mueve con velocidad constante. La ley de Newton lleva implícita la primera ley)

Si la fuerza aplicada aumenta, la aceleración aumenta proporcionalmente.

  Si se aplica la misma fuerza a dos cuerpos, uno de gran masa y otro de masa menor, el primero adquirirá una pequeña aceleración y el segundo, una aceleración mayor. (la aceleración es inversamente proporcional a la masa).

Ejemplos de la segunda Ley de Newton

  Ejemplo 1

  Se patea una pelota con una fuerza de 1,2 N y adquiere una aceleración de 3 m/s2, ¿cuál es la masa de lota?

4.4.- APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.

La energía se puede presentar en formas diferentes, es decir, puede estar asociada a cambios materiales de diferente naturaleza. Así, se habla de energía química cuando la transformación afecta a la composición de las sustancias, de energía térmica cuando la transformación está asociada a fenómenos caloríficos, de energía nuclear cuando los cambios afectan a la composición de los núcleos atómicos, de energía luminosa cuando se trata de procesos en los que interviene la luz, etc.

Los cambios que sufren los sistemas materiales llevan asociados, precisamente, transformaciones de una forma de energía en otra. Pero en todas ellas la energía se conserva, es decir, ni se crea ni se destruye en el proceso de transformación. Esta segunda característica de la energía constituye un principio físico muy general fundado en los resultados de la observación y la experimentación científica, que se conoce como principio de conservación de la energía.

Otro modo de interpretarlo es el siguiente: si un sistema físico está aislado de modo que no cede energía ni la toma del exterior, la suma de todas las cantidades correspondientes a sus distintas formas de energía permanece constante. Dentro del sistema pueden darse procesos de transformación, pero siempre la energía ganada por una parte del sistema será cedida por otra. Esto es lo que sucede en el universo, que en su conjunto puede ser considerado como un sistema aislado.

Una descripción matemática de este principio puede efectuarse como sigue: sea S un sistema aislado, el cual tras un proceso de transformación interna pasa a convertirse en S'. Representando por E la energía total del sistema o suma de las cantidades correspondientes a las diferentes formas de energía presentes en él, la conservación de la energía se expresaría en la forma:

E' = E (6.1)

o también:

es decir, la variación DE de la energía total E del sistema por efecto de su transformación interna ha sido nula.

Si se considera que el sistema está formado sólo por dos partes o subsistemas 1 y 2, la aplicación del principio de conservación de la energía supondrá ahora:

lo que expresa que la energía ganada DE por el subsistema 1 es igual a la perdida, – DE2, por el subsistema 2 sin que haya habido en conjunto variación alguna en la energía total del sistema.

Transformación de energía:

Acto de transmitir energía a un cuerpo.

Ejemplos:

· En forma de calor: se puede transferir energía a un cuerpo suministrándole calor. Cuando una sustancia sufre algún cambio de temperatura (calor/frío), experimenta un cambio físico que hace variar su aspecto.

· En forma de trabajo: se puede transferir energía a un cuerpo ejerciendo sobre él algún tipo de trabajo.

Degradación de energía:

La experiencia demuestra que conforme la energía va siendo utilizada para promover cambios en la materia va perdiendo capacidad para ser empleada nuevamente. El principio de la conservación de la energía hace referencia a la cantidad, pero no a la calidad de la energía, la cual está relacionada con la posibilidad de ser utilizada. Así, una cantidad de energía concentrada en un sistema material es de mayor calidad que otra igual en magnitud, pero que se halle dispersa.

Aun cuando la cantidad de energía se conserva en un proceso de transformación, su calidad disminuye. Todas las transformaciones energéticas asociadas a cambios materiales, acaban antes o después en energía térmica; ésta es una forma de energía muy repartida entre los distintos componentes de la materia, por lo que su grado de aprovechamiento es peor. Este proceso de pérdida progresiva de calidad se conoce como degradación de la energía y constituye otra de las características de esta magnitud o atributo que han identificado los físicos para facilitar el estudio de los sistemas materiales y de sus transformaciones.

4.5.- VIBRACIONES FORZADAS.

Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren cuando un sistema está sujeto a una fuerza periódica o cuando está unido elásticamente a un soporte que tiene un movimiento alternativo.

Consideremos el caso de un cuerpo de masa m suspendido de un resorte unido a un soporte. La vibración obtenida en este sistema consiste en dos vibraciones superpuestas. Una es una vibración libre del sistema. La frecuencia de esta vibración es llamada frecuencia natural del sistema. Esta vibración libre es llamada también vibración transitoria ya que en realidad será amortiguada rápidamente por las fuerzas de rozamiento. La otra vibración superpuesta es la vibración del estado estacionario producido y mantenido por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado por el soporte. Esta frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta fuerza o movimiento y, su amplitud xm, depende de la razón de frecuencia ð/p. La razón de amplitud xm de la vibración de estado estacionario a la deformación estática Pm/k causada por una fuerza Pm, o a la amplitud dm del movimiento de soporte se llama factor de amplificación.

La fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte se dice que está en resonancia con el sistema dado. La resonancia se define como un fenómeno que presenta un sistema físico influido por una fuerza de excitación periódica externa, en la que la amplitud resultante de la oscilación del sistema resulta grande cuando la frecuencia de la fuerza de excitación se aproxima a una frecuencia de oscilación libre natural de un sistema. En realidad, la amplitud de vibración permanece finita a causa de las fuerzas de amortiguamiento; sin embargo tal situación debe evitarse si la frecuencia forzada no debe escogerse muy cercana a la frecuencia natural del sistema.

En el caso de ð < p, la vibración forzada está en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte, mientras que para ð > p, la vibración forzada se encuentra 180º fuera de fase. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren situaciones realmente graves. La falla de estructuras mayores como puentes, edificios o alas de aviones, es una horrible posibilidad, bajo resonancia. Así el cálculo de las frecuencias naturales es de importancia capital en el estudio de las vibraciones.

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

UNIDAD 5

Balanceo dinámico

5.1.-DESEQUILIBRIO DINAMICO

El desequilibrio estático es aquel que podemos encontrar colocando el rotor en unas paralelas y dejándolo que gire por sí mismo hasta que se para. La parte más pesada del conjunto del rotor quedará en la parte baja y la menos pesada en la parte alta del rotor.

        Si un rotor solo tiene desequilibrio estático, es decir que el desequilibrio está distribuido en toda su longitud y en un mismo ángulo, el comportamiento en el momento de girar será como se representa en la figura siguiente; el eje de giro y el de inercia se separan, en paralelo, una distancia que depende de la fuerza generada por el desequilibrio.

        Para compensar el desequilibrio estático podemos colocar una masa en cada lado y en sentido contrario al desequilibrio o bien una masa en el centro del rotor de un valor igual a la suma del desequilibrio estático.

        Generalmente, basándonos en la norma VDI 2060, el equilibrado estático o en un plano se realiza en rotores estrechos con separación entre cojinetes muy grande donde el par de fuerzas no tiene demasiada importancia y dependiendo siempre de la perpendicularidad respecto al eje y del tipo de emplazamiento.

        En las equilibradoras computarizadas de Elettrorava podemos ver al unísono el desequilibrio estático y el par de fuerzas; para estar seguros si el equilibrado en un solo plano es suficiente debemos conocer la fuerza que soportan los asientos de los rodamientos o cojinetes y comprobar que dividiendo la cantidad indicada del par de fuerzas entre la distancia entre soportes de cojinetes, el resultado no supera dicha fuerza. La práctica demuestra que si un rotor tiene una anchura inferior a una tercera parte de su diámetro y esta anchura no supera los 100 mm., el equilibrado estático o en un solo plano es suficiente, no obstante debemos recordar que un equilibrado en dos planos o dinámico es más costoso pero es definitivo. También se utiliza el equilibrado estático en piezas sin solidificar como pueden ser las muelas abrasivas antes de pasar por el horno       

Debemos tener presente que un rotor que está equilibrado estáticamente puede tener un desequilibrio dinámico muy grande y por tanto provocar vibraciones, es por ello que los equipos de medición de calidad deben presentar al equilibrador, además del desequilibrio estático, el desequilibrio de cada lado o dinámico para que el usuario pueda determinar el tipo de equilibrado que conviene. El desequilibrio dinámico es aquel que aparece cuando el rotor está en rotación, es decir que no podríamos detectarlo en unas paralelas como el estático y para ello es imprescindible colocar el rotor en una máquina equilibradora o bien realizar la medición funcionando "in situ".

        Fijémonos en la figura 5, donde podremos ver un rotor de dos discos donde cada disco tiene un desequilibrio del mismo tamaño pero desfasados 180° entre sí.

        Los pesos P1 y P2 ejercen cada uno de ellos una fuerza en el mismo sentido pero una a cada lado del eje de rotación (flechas negras) de forma que el rotor se mantiene equilibrado estáticamente; pero cuando este rotor gire a su velocidad de funcionamiento se presentaran unas fuerzas F1 y F2 provocadas por los pesos P1 y P2 dando lugar a un par de fuerzas, desequilibrio dinámico, que causará el desplazamiento del eje de giro y el eje de inercia y provocara vibraciones cuya intensidad dependerá del tamaño de P1 y P2 y de la velocidad de giro del rotor.

        El comportamiento de las fuerzas centrífugas del rotor, cuando el desequilibrio es dinámico es como se ve en la figura 6.

       Como el rotor estará alojado en soportes de rodamientos, transmitirá la vibración, a través de éstos, al conjunto máquina que lo soporta; podemos deducir, de todo lo tratado en este capítulo, que un equilibrado estático no siempre es suficiente para un rotor y que el mayor número de ocasiones debemos equilibrar dinámicamente, es decir en dos planos, que además incluye el estático; además, en el equilibrado existen otros problemas como la elasticidad, flexión, resonancia, etc., que trataremos más adelante en ejemplos de rotores concretos donde intervienen otros factores causantes de vibraciones en las máquinas.

5.2.- BALANCEO EN UN PLANO

Un análisis de un sistema de autobalanceo es presentado en este artículo, el cual utiliza cuerpos (bolas) balanceadores que se mueven libremente al girar junto con el rotor por balancear. Utilizando las ecuaciones de Lagrange, nosotros derivamos las ecuaciones no lineales de movimiento para un sistema autónomo con respecto a un sistema de coordenadas polar. De las ecuaciones de movimiento para el sistema autónomo, las posiciones de equilibrio y las ecuaciones lineales del variacional son obtenidas por el método de perturbación. A causa de la resistencia para el movimiento, la excentricidad, a una velocidad excesiva hace a que los cuerpos balanceadores sean movidos y la influencia de las vibraciones externas hace imposible lograr un balanceo completo. Basado en las ecuaciones del variacional, la estabilidad dinámica del sistema en la cercanía de las posiciones de equilibrio se investiga. Los resultados del análisis de estabilidad proporcionan los requerimientos de diseño para el sistema de autobalanceo.

El desbalance es la distribución irregular de las masas de un cuerpo respecto al centro geométrico de rotación, dando como resultado la descompensación de masas que al girar con cierta aceleración originan fuerzas excitadoras radiales que causan desgaste, vibración, componentes doblados o rotos y componentes excéntricos. Si se aplica la técnica de balanceo automático a la maquinaria rotatoria, se pueden eliminar problemas de vibración por desbalance, dando como resultado mayor disponibilidad y confiabilidad en la maquinaria rotatoria, así como una mayor durabilidad de esta.

La rotación de cuerpos o rotores en desbalance producen vibración y provocan cargas dinámicas adicionales. Las altas velocidades de los equipos rotatorios actuales hacen de este problema una necesidad rigurosa en materia de balance de las partes en movimiento. Sin embargo en un sistema donde la distribución de las masas varía, durante la operación o cada vez que tiene que ser arrancada nuevamente por algún paro técnico, el método convencional de balance de rotores se vuelve impráctico.

Es aquí donde los métodos de autobalance se pueden practicar y tratar de eliminar los tiempos muertos de estos equipos por paros necesarios debido al desbalance. Estos métodos de autobalance se basan en mecanismos ya sea líquidos o cuerpos (péndulos, bolas, etc.) que se posicionan en sentido opuesto a la fuerza que provoca el desbalance. En el caso de un líquido, el grado de balance que se puede lograr es del 50% del desbalance original e inicial. Mientras que al utilizar péndulos o bolas es teóricamente posible optimizar el balanceo al 100%.

En los mismos sistemas de balanceo, la investigación básica se comenzó por Thearle [2, 3], Alexander [4] y Cade [5]. El análisis dinámico de las ecuaciones diferenciales para los mismos sistemas de balanceo puede encontrarse en las referencias [7-9]. Las ecuaciones obtenidas son para los sistemas no autónomos, estas ecuaciones tienen las limitaciones en el análisis de estabilidad. Chung y Ro [9] estudiaron la estabilidad y la conducta dinámica de un ABB para el rotor Jeffcott. Ellos derivaron las ecuaciones de movimiento para un sistema autónomo usando las coordenadas polares en lugar de las coordenadas rectangulares. Hwang y Chung [10] aplicaron este acercamiento al análisis de un ABB con carreras dobles. En este estudio, los autores consiguieron un análisis similar para un eje flexible con dos sistemas de balanceo. Describiendo el centro geométrico del rotor con las coordenadas polares, se derivan las ecuaciones no lineales de movimiento para un sistema autónomo de la ecuación de Lagrange. Después de una posición de equilibrio balanceado y linealizando las ecuaciones en la cercanía de la posición de equilibrio son obtenidas por el método de perturbación.

Por un largo tiempo el balanceo automático en un plano ha sido un fenómeno bien conocido (según Blekhman 2000, sperling et al 1998).

Este método fue propuesto por Thearle para el balanceo en un plano, desarrollando la metodología y verificando la eficiencia del mismo. Más adelante R. Sokolowska investigó la posibilidad de compensar las fuerzas dinámicas por el objeto rotante y comprobó que sólo una parte del desbalance podría ser compensado por elementos libres.

Si el rotor tiene desbalance estático y desbalance dinámico entonces existen fuerzas centrífugas y momentos que giran con el rotor, donde estas fuerzas actúan a lo largo de todo el sistema del rotor, en un plano transversal; para esto es necesario introducir o crear dos fuerzas, en planos previamente analizados, similares a las fuerzas originadas por el desbalance pero en sentido opuesto, tratando de llevar la vibración originada inicialmente a cero. Esto se puede lograr con elementos rodantes en discos con una arquitectura de tal manera que las bolas o esferas busquen una posición a 180º de las fuerzas inerciales de origen.

Finalmente la aportación de la investigación será la de realizar el análisis dinámico para un rotor tipo Stodola-Green aplicando una metodología similar a la que utilizaron los investigadores mencionados anteriormente, en la cual también se tendrá la tarea de realizar una simulación computarizada para el sistema de ecuaciones, en la cual se podrá observar el comportamiento del sistema de balanceo.

Cabe destacar que esta teoría será aplicable en casos como el de una lavadora; en donde en la etapa de secado, la ropa no se distribuye uniformemente al estar girando la tina. Lo cual esta mala distribución de la ropa ocasiona que los soportes y los rodamientos tengan un desgaste excesivo provocando que tengan una duración más corta. Este sistema automáticamente compensará esta vibración y optimizará el comportamiento de los elementos en cuestión.

Así como este ejemplo existen muchos otros, de mayor o igual importancia, ya que el desbalanceo en maquinaria rotatoria provoca una menor durabilidad de esta, además de que de igual manera se pone en riesgo a las personas que operan estos equipos. Algunos otros equipos que podríamos mencionar en los cuales se pudiese implementar un sistema de balanceo automático son: unidades de CD-ROM, maquinaria rotodinámica como son (turbinas, motores, etc.). Así pues, el propósito fundamental de esta investigación es la de eliminar el desbalance en la maquinaria rotatoria por medio del balanceo automático.

2.- Ecuaciones de movimiento.

Figura 1.- Sistema de autobalanceo en un rotor tipo Stodola-Green.

El rotor tipo Stodola-Green con un sistema de autobalanceo es mostrado en la figura 1, en la cual la flecha del rotor está apoyado en uno de sus extremos por el mismo sistema de autobalanceo. En este análisis es supuesto que la masa de la flecha es despreciable comparado con la masa del rotor. El sistema de coordenadas XYZ es un marco de referencia inercial con un espacio-fijo y los puntos C y G son el centro de masa y centroide del rotor respectivamente. El punto O puede ser considerado como la proyección de centroide C hacía el eje O`Z. El balanceador de bolas consiste de un rotor circular con una ranura que contiene las bolas y un fluido humedecedor. Las bolas se mueven libremente en la ranura y el rotor con una velocidad angular ?. Es supuesto que la deflexión de la flecha es pequeña pero puede asumirse que el centroide C se mueve en el plano XY.

Figura 2.- Representación esquemática del sistema de autobalanceo.

En la cual todos los componentes son vectores unitarios a lo largo de las direcciones asociadas respectivamente.

En el primer paso es considerado la energía cinética del rotor con el sistema de autobalanceo. El vector de posición del centro de masa G puede ser expresada usando la matriz de rotación:

En el cual J es el momento de inercia de la masa sobre el eje x,y,z. Despreciando la gravedad, el par torsional y la deflexión longitudinal de la flecha, la energía potencial o la emergía de tensión, forman los resultados de la curva de deflexión de la flecha. Como se muestra en la Figura 1.

En donde ct y cr es respectivamente el coeficiente de humedecimiento equivalente para la traslación y rotación y D es el coeficiente de viscosidad de rozamiento de las bolas en el fluido humedecedor.

Y las ecuaciones linealizadas de moviendo son:

Es supuesto en las 4 ecuaciones anteriores que:

24)

Simulación.

El criterio de Routh-Hurwitz mantiene una condición suficiente para las partes reales de todas las raíces para ser negativas. Los parámetros de la

geometría siguiente son considerados como:

Figura 3.- Posible posición de equilibrio par a las variaciones de velocidad de rotación.

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Figura 4.- Representación esquemática de 2 posiciones del rotor a) Posición de equilibrio,

b) posición de desequilibrio.

Conclusiones.

Los cuerpos balanceadores (bolas) del sistema de autobalanceo no asumen las posiciones que aseguren el balanceamiento completo del rotor. Las posiciones eficaces de un cuerpo balanceador difieren por la posición de equilibrio ((.( Otras razones que también pueden aparecer son la fricción de los cuerpos balanceadores contra las caras que están dispuestas dentro de ellos, irregularidades de forma o la distribución del peso asimétrico axial de los cuerpos balanceadores. Los errores de posición son relativamente grandes y el más grande de ellos es el alto coeficiente de resistencia al movimiento rotativo (/(y es la razón más alta de o (cuando es mayor que 1) Para reducir estos errores sería necesario cambiar el método de guiado de los cuerpos balanceadores. Por ejemplo aire amortiguado, cuerpos suspendidos por fuerzas magnéticas o electrostáticas.

debe ser mayor que la primera frecuencia natural,(Para obtener el balanceo, el fluido humedecedor D y la disipación por translación ct son necesarios para obtener el balanceo, pero la disipación por rotación cr no lo es. La estabilidad del sistema se ha analizado con las ecuaciones lineales del variacional y el criterio de Routh-Hurwitz.

5.3.-BALANCEO EN DOS PLANOS " I N S I T U "

Se puede equilibrar una máquina "in situ", equilibrando un solo plano cada vez. En tal caso, sin embargo, los efectos cruzados y la interferencia de los planos de corrección a menudo requieren que se equilibre cada extremo del rotor dos o tres veces para alcanzar resultados satisfactorios. Además, algunas máquinas pueden llegar a necesitar hasta una hora para alcanzar su velocidad de régimen, y esto introduce más demoras en el procedimiento de balanceado.

El equilibrado "in situ" es necesario para rotores muy grandes para los que las máquinas de equilibrado no resulten prácticas. Incluso, aun cuando los rotores de alta velocidad se equilibren en el taller durante su fabricación con frecuencia resulta necesario volverlos a equilibrar "in situ" debido a ligeras deformaciones producidas por el transporte, por fluencia o por altas temperaturas de operación.

Se han desarrollado métodos de equilibrado en dos planos "in situ" que se pueden expresar haciendo uso del álgebra compleja y se resuelven con una calculadora programable. En el análisis que sigue se usarán letras en negrita para representar números complejos:

En la figura anterior, se supone que existen los desequilibrios desconocidos ML y MR en los planos de corrección izquierdo y derecho, respectivamente. Las magnitudes de estos desequilibrios son ML y MR y se localizan en los ángulos FR y FL a partir de la referencia de la rotación. Una vez que se hayan determinado estos desequilibrios, bastará con localizar sus negativos en los planos izquierdo y derecho para lograr el equilibrado.

Los desequilibrios giratorios ML y MR producen perturbaciones en los cojinetes A y B. Los equipos comerciales para equilibrado "in situ" permiten medir las amplitudes y los desfasajes angulares de estas perturbaciones. Se usará la notación X = X/F, con los subíndices apropiados, para designar estas amplitudes.

En el equilibrado "in situ", se llevan a cabo tres ensayos (Método de las tres carreras):

(En las pruebas anteriores, el término "masa de ensayo" significa lo mismo que desequilibrio de ensayo, si se utiliza una distancia unitaria desde el eje de rotación)

Para desarrollar las ecuaciones para el desequilibrio se define primero el concepto de rigidez compleja. Se entiende como tal, a la amplitud que resultaría en cualquiera de los cojinetes debida a un desequilibrio unitario ubicado en la intersección de la marca de referencia giratoria (desfase nulo) y

Uno de los planos de corrección. Por tanto, es necesario encontrar las rigideces complejas (AL, BL) y (AR, BR) debidas a un desequilibrio unitario ubicado en la intersección de la marca de referencia giratoria los planos L y R, respectivamente. Conocidas las rigideces, y de acuerdo con los tres ensayos descritos anteriormente, se podrían escribir las siguientes de ecuaciones complejas:

Realizados los tres ensayos, las rigideces serán las únicas incógnitas en estas ecuaciones:

Una vez determinadas las rigideces, y de acuerdo con la definición de rigidez compleja, del primer ensayo se tiene:

Y resolviendo simultáneamente este par de ecuaciones, pueden determinarse los desequilibrios incógnitas

en ambos planos de equilibrado:

5.4.-METODOS DE BALANCEO

BALANCEO DINÁMICO

En una pieza en rotación (rotor), cada punto de su masa está sometido a la acción de una fuerza radial que tiende a separar ese punto del eje de rotación.Si la masa del rotor está uniformemente distribuida alrededor del eje, ese rotor estará "balanceado" y su rotación no generará vibraciones. Por el contrario si en algún lugar sobra algo de peso, este generará una fuerza centrífuga no equilibrada que debe ser soportada por los apoyos.La siguiente fórmula se utiliza para calcular la fuerza no equilibrada:

Utilizando unidades prácticas podemos calcular la fuerza F en kilogramos que genera masa de p gramos que gira a r metros del eje de rotación y a n rpm. Debemos agregar la constante 893653 para el ajuste de unidades.

F = r . p . n2  / 893653

Ejemplo: Un peso de 20 g girando a 30 cm del eje de rotación generará una fuerza giratoria de 6.7 Kg a 1000 rpm, 26.9 Kg a 2000 rpm, 107.4 Kg a 4000 rpm etc.

-Desbalanceo estático:Existe desbalanceo estático cuando la masa que sobra está en el mismo plano (perpendicular al eje de rotación) que el centro de gravedad del rotor. Esto provoca que el eje principal de inercia del conjunto se desplace paralelamente al eje de rotación. Este desbalanceo se corrige con un contrapeso opuesto al peso sobrante. El desbalanceo estático se aprecia en piezas de diámetro mucho mayor que el largo (discos), como por ejemplo hélices, volantes etc. pero ocasionalmente en cilindros de diámetro comparable con el largo.Si montamos una pieza muy desbalanceada sobre apoyos que ofrezcan muy poca resistencia a la rotación, el rotor se moverá por acción de la gravedad y quedará con el peso sobrante hacia abajo.

-Desbalanceo dinámico:Este es el caso más frecuente y general de desbalanceo y provoca que el eje principal de inercia de una pieza desbalanceada no sea paralelo al eje de rotación y no pase por el centro de gravedad de la pieza. En este caso solo se puede balancear colocando dos contrapesos en dos planos perpendiculares al eje de rotación y con posiciones angulares distintas.Si una montamos una pieza muy desbalanceada sobre apoyos que ofrezcan muy poca resistencia a la rotación, en el caso de que los pesos que provocan el desbalanceo estén en planos distintos y a 180º entre sí, el rotor no se moverá por acción de la gravedad y quedará detenido en cualquier posición.El desbalanceo estático y dinámico son definidos por la norma ISO 1925. Una máquina equilibradora nos indica la cantidad y la posición de los contrapesos que debemos agregar en cada plano de equilibrado, para evitar las vibraciones ocasionadas por desbalanceo.

UNIDAD 6

Control de vibración

6.1.- INSTRUMENTOS DE VIBRACIÓN

INSTRUMENTOS PARA MEDIR LA VIBRACION:

Las vibraciones que se van a medir pueden clasificarse como:

Vibraciones periódicas.

Vibraciones de choque o transitorias.

Vibraciones aleatorias o estadísticas.

De éstas, el movimiento periódico es el más conocido, y los instrumentos para medir la frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración o pendiente de onda, están bien evolucionados.

En la medición de choques las mismas cantidades mencionadas anteriormente pueden ser interesantes; sin embargo, en general, las aceleraciones pico son muy importantes. En el caso de los movimientos aleatorios, es deseable un espectro de frecuencias de los valores cuadráticos medios, y la instrumentación para esas mediciones son muy complejos y de evolución algo reciente.

El sistema sísmico resorte – masa representa el elemento básico transductor de muchos instrumentos para medir la vibración. Según sean los límites de frecuencias utilizados, el desplazamiento, la velocidad o la aceleración, se indica por el movimiento relativo de la masa suspendida con respecto a su punto de fijación. Como las vibraciones son muchas veces demasiado pequeñas para la indicación mecánica, el movimiento relativo se convierte, en general, a tensión eléctrica ( voltaje ) por el movimiento de una bobina en campo magnético.

Dichas señales se pueden procesar en una Estación de Trabajo Asistida por Computador o Workstation:

El acelerómetro piezoeléctrico se utiliza para medir vibraciones cuya frecuencia sea inferior a unos 2 Khz, porque su frecuencia natural es del orden de los 5 Khz. Para su utilización, todo el conjunto se fija al equipo al que se le van a medir las vibraciones. Cuando la masa sísmica aumenta o disminuye la presión sobre el cristal piezoeléctrico, éste genera un voltaje alterno cuya amplitud es proporcional a las aceleraciones de las vibraciones; y cuya frecuencia es igual a la de dichas vibraciones.

      Instrumentos de Vibración: Este tipo de instrumentos son ampliamente utilizados. El principio consiste en introducir una muestra del material a analizar y someterlo a vibración. La frecuencia registrada es proporcional a la masa del material. Existen varios instrumentos basados en este principio con variaciones dependiendo del fabricante y son muy precisos y adecuados para la medición de polímeros en todos sus grados.

Instrumentos de Vibración: Este tipo de instrumentos son ampliamente utilizados. El principio consiste en introducir una muestra del material a analizar y someterlo a vibración. La frecuencia registrada es proporcional a la masa del material. Existen varios instrumentos basados en este principio con variaciones dependiendo del fabricante y son muy precisos y adecuados para la medición de polímeros en todos sus grados.

 Otros métodos: Sólo por mencionarlos, existe la técnica de "Capacitor" empleado principalmente para líquidos, el de Desplazamiento y los Hidrómetros.

 En este número se anuncian dos proveedores de densímetros que seguramente podrán asesorarle y sugerir el mejor equipo de acuerdo a sus necesidades. Ellos son Antón Paar y Mettler Toledo. Busque sus datos en el índice de anunciantes.

 6.2.-ESPECTRO DE RESPUESTA PARA DE FLUENCIA Y ESFUERZO DE FLUENCIA

Para propósitos de diseño se desea determinar el esfuerzo de fluencia fy (o deformación de fluencia uy) del sistema, necesario para limitarla demanda de ductilidad, impuesta por el movimiento del suelo, a un valor especifico.

El espectro de respuesta es trazado par las cantidades:

Donde wes el peso del sistema.

Esfuerzo de fluencia para una ductilidad especifica

Construcción del espectro de respuesta con ductilidad constante

A continuación se presenta en una serie de pasos el procedimiento para construir el espectro de respuesta para un sistema elastoplástico correspondiente a niveles de ductilidad específicos:

Figura 9.12         Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro:(=1, 1.5, 2, 4 y 8;(=5%

Figura 9.13         Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro:(=1, 1.5, 2, 4 y 8;(=5%

ESFUERZO DE DISEÑO Y DEFORMACIÓN A PARTIR DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

Considerar un sistema SDF a ser diseñado para una ductilidad,(, admisible, basado en una deformación admisible y en una capacidad de ductilidad que se pueden alcanzar para los materiales y materiales de diseño seleccionados.

Se desea determinar el esfuerzo de fluencia de diseño y la deformación de diseño para el sistema sujeto a una excitación dada.

ESFUERZO DE FLUENCIA DEDISEÑO

El esfuerzo de fluencia de diseño fy que permite a un sistema SDF tener una deformación en el rango inelástico es menor que el esfuerzo requerido por la estructura para permanecer en el rango elástico. El esfuerzo de fluencia de diseño se reduce con el incremento del factor de ductilidad, esta aseveración es mostrada con mayor claridad en la Figura 9.13, que no es otra cosa que las Figuras 9.11 y9.12graficadas en forma diferente.

La implicación practica de estas observaciones es que la estructura puede ser diseñada para ser sismorresistente haciéndola fuerte o dúctil; o diseñándola económicamente combinando ambas propiedades.

Considerar de nuevo un sistema SDF con Tn=0.5 [s] y(=5% a ser diseñado para el movimiento de El Centro. Si este sistema es diseñado para una fuerzaf0=0.919·wo mayor, permanecerá dentro el rango linealmente elástico durante esta excitación; de este modo no necesita ser dúctil.

Por otro lado si ésta puede desarrollar un factor de ductilidad de 8, solo necesita ser diseñada para 12% de la fuerzaf0requerida para un comportamiento elástico. Alternativamente puede ser diseñada para una fuerza igual al 37% def0y una capacidad de ductilidad de 2. Para algunos tipos de materiales y miembros estructurales la ductilidad es difícil de alcanzar; para otras el proveerles ductilidad es mucho más fácil que proveerles resistencia lateral y el diseño práctico refleja esto.

6.3.- DETECCIÓN EXPERIMENTAL DE FALLAS

PRINCIPALES CAUSAS DE FALLAS

Pueden existir muchas causas que provoque falla, entre las más comunes tenemos.

Problemas de Operario: Ocurren debido al uso incorrecto por parte de la persona que utiliza el equipo. Uno de los motivos es la falta de conocimiento adecuado del funcionamiento del equipo, que en ocasiones lleva a suponer que opera incorrectamente., cuando en realidad no existen problemas de funcionamiento como tal. Tales situaciones son de ocurrencia frecuente y deben ser una de las primeras instancia que se verifiquen.

Errores en la construcción: Bajo esta categoría se agrupan todos aquellos problemas relacionados con el diseño y la implementación de la primera unidad o prototipo.

Fallas en el suministro de potencia: Es una de las fallas más frecuentes, proviene de la fuente de potencia. En esta parte se manejan corrientes y voltaje apreciables, además de temperaturas elevadas, los componentes de la fuente están sujetos a esfuerzos eléctricos y térmicos que pueden conducir a fallas en sus componentes. Cuando la fuente de potencia esta averiada, el equipo deja de operar por completo.

Estos problemas son de fácil diagnostico y reparación. Por lo general, deben buscarse primero en los reguladores de voltaje defectuoso, diodos rectificadores abiertos o en corto, condensadores de filtrado dañados y por último, el transformador defectuoso.

Falla de componentes del circuito: Una de las causas más frecuentes de fallas en equipos digitales proviene de la fuente de potencia. Debido a que en esta parte del equipo se manejan corrientes y voltajes apreciables, además de temperaturas elevadas, los componentes de la fuente de potencia están sujetos a esfuerzo eléctrico y térmico que pueden conducir a fallas en sus componentes. Cuando la fuente de potencia esta averiada, el equipo deja de operar por completo.

Estos problemas son de fácil diagnostico y reparación. Por lo general, deben buscarse primero reguladores de voltaje defectuoso, diodos rectificadores abiertos o en corto, condensadores del filtrado dañados y por último el transformador defectuoso.

Problemas de temporización: Es uno de los problemas más difícil de diagnosticar se relaciona con la correcta temporización de los circuitos. Parámetros como la frecuencia del reloj, los retrasos de propagación y otras características relacionadas, son de mucha importancia para la adecuada operación de los equipos digitales.

Problemas debidos a Ruidos: El ruido eléctrico es una fuente potencial importante de problemas en los circuitos digitales. Ruido: Es toda señal extraña que dentro del equipo puede ser causa de operación incorrecta. Las señales de ruido pueden provenir de transitorios en las líneas de corriente alterna o de campo magnético o eléctrico originados en equipos aledaños, así como de interferencias debidas a transmisiones de radio o de televisión.

También es factible que exista ruido generado internamente, el cual puede provenir de suministro de potencia mal filtrados o de componentes mecánicos defectuosos que ocasionen contactos deficientes o intermitentes.

Efectos ambientales: A esta clase pertenecen todos aquellos problemas derivados del efecto ambiente en el que opera el equipo. Por ejemplo, es posible que la temperatura del recinto o sitio donde se ubica el equipo exceda los límites permisibles fijados por el fabricante. Por otra parte, la acumulación de grasas, polvo, químicos o abrasivos en el aire puede ocasionar fallas de funcionamiento. Las vibraciones excesivas también puede ser causa frecuente de problemas. Todo lo anterior puede introducir defectos mecánicos tales como corrosión de conectores, alambres quebrados o contactos de interruptores con exceso de acumuladores que impiden su accionamiento normal.

Problemas mecánicos: Son todos aquellos que surgen debido a desperfectos en componentes de tipo mecánico tales como: Interruptores, conectores, relevos y otros. Esto por lo general, son mucho más susceptibles de aparecer que la falla misma de componentes electrónicos, tales como los circuitos integrados.

PROCEDIMIENTOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La reparación de equipos electrónicos puede resumirse cuatro (4) sencillos pasos:

• Recolección de Datos

• Localizar el problema

• Efectuar la reparación

• Probar para la verificación la operación correcta.

Recolección de Datos: Es aquella en la cual se hace acopio de toda la información pertinente al equipo bajo observación. Por ejemplo, lo primero que debe hacerse es obtener la documentación, en la cual se incluye tanto los diagramas esquemáticos circuitales así como los manuales de servicio, información de calibración y similares.

Localizar el problema: Es por lo general es lo más difícil, el grado de dificultad y la cantidad de tiempo que esta fase del problema consuma, dependen de la complejidad del equipo y la naturaleza del daño. Los siguientes pasos pueden ayudar a desarrollar un método sistemático para localizar la avería:

• Verifique lo obvio y sencillo primero que todo, como fusible, tomas, interruptores, etc.

• Corra los programas de diagnostico si los hay.

• Utilice sus sentidos, mirando, oliendo y tocando en busca de temperaturas anormales, elementos quemados, etc.

• Verifique que los niveles de AC y DC sean correctos.

• Cerciorase de la existencia del reloj.

• Utilice métodos de rastreo de señal.

• Ensaye sustituciones sencillas de componentes o de tarjetas en cuanto sea posible.

• Lleve a cabo pruebas y verificaciones, estáticas o dinámicas. La prueba estática requiere de la deshabilitación del reloj del sistema, con lo cual todos los niveles lógicos estabilizan a un valor constante. A partir de esto, entonces es posible, utilizando puntas lógicas o un voltímetro, observar los niveles lógicos presentes en el circuito. Algunos sistemas permiten, no solamente deshabilitar el reloj, sino también la sustitución de este por un pulsador manual para obligar al sistema operar paso a paso. Las pruebas dinámicas, por su parte se llevan a cabo con el reloj en operación normal y requiere del uso de un osciloscopio, de una punta lógica o de un analizador lógico.

INSTRUMENTO DE PRUEBA Y DIAGNÓSTICO

Dependiendo de la complejidad del equipo defectuoso y de la clase de pruebas que sea necesario llevar a cabo, es importante escoger adecuadamente el equipo o instrumento de prueba que permita las verificaciones pertinentes. Los más utilizados son:

El multímetro (VOM), Tester, polímetro

El multímetro es también conocido como VOM (Voltios, Ohmios, Miliamperímetro), aunque en la actualidad hay multímetros con capacidad de medir muchas otras magnitudes. (capacitancia, frecuencia, temperatura, etc.). Hay dos tipos de multímetros: los analógicos y los digitales. Los multímetros analógicos son fáciles de identificar por una aguja que al moverse sobre una escala indica del valor de la magnitud medida

Los multímetros digitales se identifican principalmente por un panel numérico para leer los valores medidos, la ausencia de la escala que es común en los analógicos. Lo que si tienen es un selector de función y un selector de escala (algunos no tienen selector de escala pues el VOM la determina automáticamente). Algunos tienen en un solo selector central. El selector de funciones sirve para escoger el tipo de medida que se realizará.

La función de este instrumento permite la verificación de las fuentes de voltaje tanto alternas como directas. La opción de medición de resistencias, por su parte, permite la verificación de fusible, pines de conexión, alambres abiertos, valores de resistencia, condensadores en corto, etc. Su desventaja que solo permite prueba estática.

Punta Lógica: La punta lógica o sonda digital, es un indicador de presencia de pulso alto, bajo, tren de pulsos o alta impedancia (salidas desconectadas). En conjunto con un inyector de señales y un detector de corriente, la punta lógica integra el equipo de medición básico para los circuitos digitales.

Osciloscopio: El osciloscopio es un instrumento que permite visualizar fenómenos transitorios así como formas de ondas en circuitos eléctricos y electrónicos. Por ejemplo en el caso de los televisores, las formas de las ondas encontradas de los distintos puntos de los circuitos están bien definidas, y mediante su análisis podemos diagnosticar con facilidad cuáles son los problemas del funcionamiento.

Bibliografía

MECANICA VECTORIAL PARA INGENIERIOS DINAMICA

BEER, JOHNSTONE

MC GRAW HILL

WIKIPEDIA LA ENCICLOPEDIA LIBRE

INTERNET

Autor:

IsaacSolis Rebollar

Trabajo Final

16/12/2009

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

VIBRACIONES MECÁNICAS 5-AM

Vibraciones Mecánicas

Trabajo Final

Facilitador Ing. Jorge Alberto Morales Muñoz.