26 Si 1,25 kg cuestan $7,5 2,25 kg cuestan x $ =13,50 7,5•2,25 1,25 = 7,5 1,25 x 2,25 ?x= En toda proporción, un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio. Si 1,25 kg cuestan $7,5 1 kg cuesta x $ =6 7,5•1 1,25 = 1,25 1 ?x=
27 • El método de reducción a la unidad consiste en hallar la cantidad de la magnitud desconocida que corresponde a una unidad de la otra magnitud. Ejemplo: Seis albañiles tardan cuatro horas en levantar un muro de ladrillos. ¿Cuánto tiempo tardarían en levantar el muro nueve albañiles trabajando al mismo ritmo?. Las magnitudes números de albañiles y número de horas son inversamente proporcionales, ya que cuanto mayor sea el número de albañiles, menor será el número de horas empleado para levantar el muro. Por ser magnitudes inversamente proporcionales, cumplen que: El mismo problema se puede resolver por el método de reducción a la unidad, es decir, averiguando cuánto tardaría en levantar el muro un albañil, o sea: 24 = 1 . x, x = 24 horas. Si un albañil tarda 24 horas en levantar el muro, 9 albañiles tardarían 9 veces menos, es decir: 24/9 = 2, 66 horas.
ACTIVIDADES A DESARROLLAR EN TORNO AL TEMA
ACTIVIDAD 1: Completa la siguiente tabla. ACTIVIDAD 2: En el 2002 el número de habitantes de la China era de 1 284 303 700. a) Escribe el numeral. b) Este número escrito en notación científica es: __12, 84 303 700 * 10 8 __1, 284 303 700 * 10 9 __0, 1284 303 700 * 10 –5 Si 6 albañiles tardan 4 horas 9 albañiles tardan x horas 6 . 4 = 9. x= 24/9 = 2,66 horas
28 ACTIVIDAD 1: Selecciona el número que corresponde a la siguiente lectura: “cuarenta y tres millones ciento ocho” ___43 108 ____ 43 108 000 ____43 000 108 ACTIVIDAD 2: Conociendo que 2 992 . 453 = 1 355 376, calcula las siguientes multiplicaciones sin efectuar el procedimiento escrito. a) 29,92 . 45,3 b) 299,2 . 4,53 c) 2,992 . 4,53 d) 2992 . 45,3 e) 29,92 . 4,53 f) 2992 . 0,453 g) 29920 . 45300 2.1) Explica y deja por escrito el procedimiento utilizado. ACTIVIDAD 3: Sean los números representados por las letras A, B, C y D. A— Veintisiete millones trescientos treinta mil quinientos tres. B— 0,203 C— Doscientos setenta y cinco centésimas D— 2 340 500 001 a) Indica el dígito que corresponde al lugar de las milésimas en el número representado por la letra B? b) ¿Cuántas unidades de millar tiene el número representado por la letra D. c) Escribe los números representados por las letras A y C. d) Escribe el numeral de los números representados por las letras B y D. e) Analiza si el número representado por la letra D es divisible por tres. Justifique su respuesta aplicando el criterio de divisibilidad correspondiente. f) Compara, utilizando los signos de relación “?”; “=” o “< 1 b)|x| = 1 c) |x| > 1 d) |x| = 1 ACTIVIDAD 15: El índice de masa corporal de una persona se calcula mediante la fórmula ) IMC= Peso (Talla 2 , donde el peso se indica en kilogramos y la talla en metros. a) Calcula la talla de una persona que pesa 64 kg cuyo índice de masa corporal es de 25kg/m2. b) Calcula el peso de una persona cuya talla es 1,2 m y cuyo índice de masa corporal es 40,3kg/m2 ACTIVIDAD 16: En un tonel que contiene agua, se extrae primero la tercera parte del total y luego el 20% de lo que le quedaba y aún quedan 16 L. ¿Cuántos litros de agua había al principio? ACTIVIDAD 17: Un joven recorre 1/4 de la distancia entre dos ciudades a pié; luego 1/5 en bicicleta; el 12,5 % del resto en camión y los 55 km restantes en tren. a) ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades? b) ¿Cuántos kilómetros recorrió en camión?
ACTIVIDAD 18: Una caja contiene 312 kg de caramelos; 1 3 son de fresa; el 25% del resto son de limón y los que quedan de chocolate. ¿Qué cantidad de caramelos hay de cada sabor? ACTIVIDAD 19: Durante un experimento un termómetro marcó a las 8:00 am de un día un descenso de 2,5 ºC bajo cero y a las 11:00 am le siguió otro descenso de 3,5 ºC. ¿Qué temperatura marcó el termómetro a las 11:00 am? ACTIVIDAD 20: Un móvil recorre 300 m en 20 segundos con aceleración constante. Si la velocidad al terminar su recorrido es de 20 m/s, la velocidad con la que empezó su movimiento es: a) 15 m/s b) 5 m/s c) 10 m/s V d) 12 m/s ACTIVIDAD 21: ¿Cuánto costará cercar un terreno rectangular de 8hm 6 m y 14 cm de largo por 316 m 28 cm de ancho, si el metro de cerca, incluyendo la mano de obra se cobra a $0.60? ACTIVIDAD 22: El signo de multiplicación “x” fue introducido por William Oughtred. Consulte sobre su vida y obra y elabore un breve resumen de media cuartilla con datos de interés. Puede informarse en la Enciclopedia Encarta 2009.
ACTIVIDAD 23: Un grupo tenía una matrícula de 33 estudiantes, si la cantidad de varones excede en 12 al 40% de las hembras .Halle la cantidad de alumnos de cada sexo que hay en el grupo. 30 b) d) -3 2, 75 ACTIVIDAD 13: Dados los conjuntos: M = {x ? R: x ? 12} N = {x ? R: x ? 4} 1 5 P = {x ? R: -4 ? x ? 5,6} 4, 3
31 ACTIVIDAD 24: La longitud del neumático delantero de una bicicleta mide 60cm y el trasero 175. Se señalan con tiza los puntos de los dos neumáticos que tocan al suelo y se hace andar la bicicleta ¿cuánto debe avanzar como mínimo la bicicleta para que coincidan las dos señales a la vez en el suelo? ACTIVIDAD 25: En media hora se ha recorrido una distancia de 2,5 km. ¿Qué distancia recorrerá a la misma velocidad en tres cuartos de hora?
ACTIVIDAD 26: Un ciclista recorre el primer día 1/3 de la distancia entre dos ciudades, el segundo día el 10 % del resto y el tercer día lo recorrido entre los dos primeros días. Si aún está a 6 km. de su destino. ¿Cuántos metros recorrió el tercer día?. ACTIVIDAD 27: En una cooperativa agrícola sus obreros planificaron recoger en un trimestre cierta cantidad de quintales de plátano. En el primer mes recogieron la cuarta parte del plan, en el segundo el 25% del resto y en el último la suma de lo recogido en los dos primeros meses. Si aún faltando 24q para cumplir lo establecido. ¿Cuántos Kilogramos de plátano se recogieron en el tercer mes?. ACTIVIDAD 28: Circulando a 90 km/h un automóvil se ha tardado 3 horas en recorrer una distancia. ¿Cuánto tardará si fuera a 120 km/h? ACTIVIDAD 29: Una plancha de madera quiere aserrarse en cuadrados lo más grandes posibles ¿cuánto podrá medir el lado de cada cuadrado si la longitud de la plancha es de 96 cm y el ancho 72 cm? ACTIVIDAD 30: A las 4:00 PM del 11 de Junio de 1992 en la Cumbre de la Tierra de Río de Janeiro, un reloj digital con dos pantallas reflejaba la grave situación de la población mundial. La primera pantalla marcaba 5467176700, el número de habitantes de la tierra, y cada segundo esta cifra aumentaba en 7 unidades, cantidad de niños que nacen en ese tiempo. La segunda pantalla indicaba 8722722429, las hectáreas de tierra cultivable en el planeta Tierra, cada 8 segundos esta cifra disminuía en una unidad, ritmo al que se destruyen las tierras cultivables. a) Si quieres recordar cuál es aproximadamente la población mundial ¿qué cifra memorizarías?, haz lo mismo con el número de hectáreas de tierras cultivables. b) A las 5:00 PM qué número indicaba cada pantalla. c) Redacta un párrafo donde relaciones coherentemente los términos superpoblación, desarrollo industrial y contaminación del suelo.
32 Giuseppe Peano (1858 – 1932), fue un matemático, lógico y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números. Publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría en matemáticas. Muestra de su labor en el campo de la Matemática, es la axiomatización de la aritmética, conocida como «postulados de Peano»”, una exposición axiomática y deductiva de la aritmética, cuya finalidad es eliminar del concepto de número todo recurso a la intuición. La mayor parte de su vida la dedicó a enseñar en la Universidad de Turín; donde trabajó hasta un día antes de su muerte, el 20 de abril de 1932, cuando sufrió un ataque cardíaco. Robert Recordé (1510 – 1558) fue un médico y matemático galés que utilizó por primera vez el signo igual “=” en el año 1557, justificándolo así: “Nada hay más igual que dos rayas iguales y paralelas”, antes se utilizó la abreviatura “ae”, de la palabra latina “aequalis”, que aún parecía, deformada en libros de los siglos XVI y XVII. En 1558 después de que un rival político le demandase por difamación, fue arrestado por deudas y murió en la prisión de Southwark. Johann Widman (1460 – 1498); matemático alemán que floreció a fines del siglo XV, pues en el año 1486 recibió el diploma de Magister artium en la Universidad de Leipzig. Su nombre figura en la historia de la Matemática por su obra de Aritmética comercial: Behend und hünsch rechung auf alten kauffmannschaften, Leipzig, 1489, en la que aparecerán por primera vez los signos “+” y “-“ de la adición y sustracción, utilizados al principio para indicar excesos y deficiencias. Albert Girard (1595 – 1632) matemático nacido en Francia. Fue el introductor de numerosos símbolos matemáticos, dígase el primero en usar las abreviaciones "sen", "cos", "tan" para las funciones trigonométricas en un tratado, así como en introducir por primera vez el uso de los paréntesis. Leonardo Fibonacci (1170 – 1240), también llamado Leonardo de Pisa, fue un matemático italiano que recopiló y divulgó el conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios y realizó aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números; difundió en Europa el sistema de numeración indo- arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero. Augustus De Morgan (1806 1871) fue un matemático y lógico inglés nacido en la India. Profesor de matemáticas en el Colegio Universitario de Londres entre 1828 y 1866; primer presidente de la Sociedad de Matemáticas de Londres. La barra oblicua “/”,
33 variante de la horizontal como símbolo de la división, fue introducida por De Morgan en 1845. Willian Oughtred (1574 – 1660) fue un ministro anglicano nacido en Inglaterra que se dedicó en vida a las Matemáticas, la Astronomía, la Gnomónica y que es famoso por haber inventado la Regla de cálculo. Introdujo los actuales signos de multiplicación y división en el año 1657 y perfeccionó el método de Viéte para la resolución aproximada de ecuaciones. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). La Matemática fue uno de los muchos campos en que Leibniz demostró su extraordinario genio. Los dos puntos “:” (símbolo de la división) se deben a Leibniz (1684), que los aconsejaba para aquellos casos en los que se quisiese escribir la división en una sola línea y la notación con raya de fracción no fuese por tanto adecuada. Asimismo en 1698, este matemático propuso usar el punto “.” como símbolo de multiplicación, en lugar del signo “x”, que se confunde con x, la incógnita de las ecuaciones. La utilización del símbolo “÷” para la división así como “*” para la multiplicación, se debe al matemático suizo Johann Heinrich Rahn (1622 – 1676), quien los publica en su tratado de aritmética y álgebra Teutsche Álgebra… Thomas Harriot (1560 – 1621), matemático inglés, fue un astrónomo, matemático, etnógrafo y traductor inglés. Se le considera el creador de varios símbolos y notaciones empleados en álgebra y usados hasta ahora, como los símbolos > (mayor que) y < (menor que) en 1631. Nicolás Chuquet, matemático francés, nacido en París alrededor de 1450 (algunas fuentes dicen que en 1445, y otras retrasan su venida al mundo hasta 1455), y fallecido en Lyon en 1488 (o en 1500, según otros documentos de la época). Considerado como el principal matemático francés del siglo XV, fue el autor del primer tratado de álgebra escrito en dicha nación e introdujo en la historia de las Matemáticas universales algunas nociones de uso tan frecuente como las de numerador y denominador de una fracción. Introdujo en Europa occidental los números negativos; se le reconoce, además, por ser el primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base en el siglo XV. Christoph Rudolff (1500-1545), matemático alemán autor del primer libro de texto alemán de álgebra. Introduce en 1525 el símbolo “?” de “raíz” que se utiliza hoy en día. La raíz cuadrada de un número se escribía antes del siglo XVI “raíz de …”, poniendo un punto delante del número. Luego, para abreviar, se empezó a poner “r”. Pero si el
34 número era largo, el trazo horizontal de la “r” se alargaba hasta abarcar todas las cifras. Así nació el símbolo de la raíz, como una “r” mal hecha.
John Venn, (1834-1923): Lógico inglés, nacido en Drypool, Hull. Estudió en la universidad de Cambridge y enseñó l ógica en esta misma universidad. Es recordado principalmente por los diagramas de Venn, sistema gráfico, que permite.
Giovanni Antonio Magini (1555 -1617), Matemático italiano. Profesor en la Universidad de Bolonia, llevó a cabo diversas investigaciones en matemática y astronomía y se hace famoso, especialmente, por ser el primer matemático en utilizar los números decimales; o sea, fue el primero en usar la coma “,” para separar la parte decimal de la fraccionaria.
Pierre Bouguer (1698-1758), fue un astrónomo y matemático francés. Introduce los signos de "mayor o igual que" (=) y "menor o igual que" (=). También se le conoce como "el padre de la arquitectura naval".
Eudoxo de Cnidos (408-355 a.C.), fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Fue el primero en plantear un modelo planetario basado en un modelo matemático, por lo que se le considera el padre de la astronomía matemática. Su trabajo sobre la teoría de la proporción denota una amplia comprensión de los números. Demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura.
35 Autoras: Graciela Abad Peña Katia Lisset Fernández Rodríguez Graciela Abad Peña. Licenciada en Educación, especialidad Matemática y Física/ Doctorada en Ciencias Pedagógicas/ Prof. Auxiliar e Investigador Agregado. Academia de Ciencias de Cuba/Grupo de Análisis y Prospectiva. Katia Lisset Fernández Rodríguez. Licenciada en Educación, especialidad Matemática / Doctorada en Ciencias Pedagógicas / Prof. Auxiliar e Investigador Auxiliar. Instituto Central de Ciencias Pedagógicas. Miramar. Municipio Playa. La Habana. Cuba.
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