Dominios numéricos

Una introducción necesaria El conocimiento de los números y su estructuración, sus propiedades y el desarrollo de las habilidades necesarias para trabajar con ellos constituye, además, la base fundamental para una feliz iniciación en el Álgebra y la Geometría como objetos matemáticos interdependientes que son. Sin embargo, es una realidad que la actividad de estudio que realizan los estudiantes en torno a este contenido, principalmente, en los niveles primario, medio básico y medio superior muchas veces se ve limitada, bien por la carencia o escases de bibliografía o por la dispersión del contenido matemático en una variedad de esta. Considerando lo anterior las autoras hemos elaborado esta guía de estudio, dirigida básicamente a estudiantes de la enseñanza politécnica general. Se estructura en 9 secciones que abordan contenidos esenciales del tema “Dominios numéricos”; así como, ejercicios y problemas que permiten desarrollar habilidades. Además de, elementos que le permitirán ampliar su cultura matemática en general. La guía está diseñada con hiperenlaces o hipervínculos de tal manera qu, al hacer clic sobre ellos, se muestra el otro punto del documento con el que están vinculados. Las autoras

2 Sección 1: Orientaciones generales en torno al tema “Dominios numéricos”. Sección 2: Dominio numérico Números Naturales. Características, limitaciones, necesidad de ampliación. Operaciones de cálculo aritmético. Propiedades. Sección 3: Dominio numérico Números Fraccionarios. Características, limitaciones, necesidad de ampliación. Operaciones de cálculo aritmético. Propiedades. Sección 4: Dominio numérico Números Enteros. Características, limitaciones, necesidad de ampliación. Operaciones de cálculo aritmético. Propiedades. Sección 5: Dominio numérico Números Racionales. Características, limitaciones, necesidad de ampliación. Operaciones de cálculo aritmético. Propiedades. Sección 6: Dominio numérico Números Irracionales. Características, limitaciones, necesidad de ampliación. Operaciones de cálculo aritmético. Propiedades. Sección 7: Dominio numérico Números Reales. Características, limitaciones, necesidad de ampliación. Operaciones de cálculo aritmético. Propiedades. Sección 8: Tanto por ciento y tanto por mil. Razón, proporción y proporcionalidad. Sección 9: Actividades a desarrollar en torno al tema. ORIENTACIONES GENERALES EN TORNO AL TEMA “DOMINIOS NUMÉRICOS”. En este tema se sistematizan cada uno de los dominios numéricos (N, Z, Q+, Q, I, R), sus características, limitaciones, necesidad de ampliación; así como, la posibilidad de representar gráficamente los números y de realizar operaciones con ellos, de forma tal que puedan resolverse ejercicios y problemas intra y extramatemáticos. Asimismo, contribuye a apropiarse de otros elementos en torno a estos que forman parte, también, de una cultura matemática. El mismo se estructura en dos temáticas fundamentales de las que se exponen elementos teóricos de partida, así como, ejercicios y problemas para el desarrollo de habilidades. Objetivos: ? Identificar las características, propiedades fundamentales y relaciones entre los diferentes dominios numéricos. ? Fundamentar las limitaciones los diferentes dominios numéricos sobre la base de la teoría de conjuntos ? Resolver ejercicios y problemas intra y extramatemáticos donde se interrelacionen las distintas áreas matemáticas y que precisen para su solución diferentes proposiciones y procedimientos aritméticos. Contenidos: Sistema de conocimientos: Dominios numéricos (N, Z, Q+, Q, I, R). Limitaciones y necesidad de ampliación. Sistema de numeración decimal. Lectura y escritura de números. Orden y operaciones. Tanto por ciento y por mil. Proporcionalidad. Máximo común divisor, Mínimo común múltiplo, divisibilidad. Magnitudes y conversión en unidades. Habilidad general: Resolver ejercicios y problemas de cálculo a partir de datos de la vida práctica que se modelen con los recursos de la aritmética.

3 Habilidades básicas: Interpretar el significado de los números y de las operaciones. Calcular con números naturales, fracciones, expresiones decimales y números racionales en operaciones simples y combinadas, aplicando las propiedades de la potenciación. Calcular cuadrados, cubos, raíces cuadradas y raíces cúbicas utilizando las tablas. Representar números en la recta numérica. Comparar y ordenar números en sus diferentes formas de representación. Calcular tanto por ciento y por mil. Modelar situaciones de la vida empleando contenidos aritméticos en la solución de estas. Explicar el desarrollo histórico de un concepto. Valorar las aplicaciones de un concepto, relación o procedimiento en distintos contextos matemáticos y extramatemáticos. Convicciones, valores, actitudes y cualidades: Convicción de que la matemática tiene su origen en la realidad objetiva y que la práctica es fuente, medio y fin para la obtención de nuevos conocimientos; convicción, de manera general, del carácter instrumental de esta ciencia y de su utilidad para conocer y transformar el mundo y de su uso para beneficio de la sociedad; y de manera particular, valoración de los recursos aritméticos para la resolución de problemáticas reales; convicción de la posibilidad de aprender y ser mejores a través del esfuerzo, la perseverancia, la responsabilidad, la tolerancia, la solidaridad y el espíritu crítico y autocrítico. DOMINIO NUMÉRICO NÚMEROS NATURALES. LIMITACIONES Y NECESIDAD DE AMPLIACIÓN. OPERACIONES DE CÁLCULO ARITMÉTICO. PROPIEDADES. EL CONCEPTO DE NÚMERO responde a necesidades del hombre desde época primitiva cuando tuvo la necesidad de contar, siendo preciso definir diferentes conjuntos numéricos para resolver distintas situaciones, entendiéndose por número a la palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comportan como tales. En tal sentido sirven para contar, ordenar, calcular, comparar tamaños y expresar medidas. Sin los números sería muy difícil llamar por teléfono o recordar la fecha de nacimiento, no se podría localizar la página de un libro ni saber la distancia entre dos ciudades. Los conjuntos numéricos con las operaciones y relaciones definidas en ellos es lo que se conoce como dominios numéricos. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: Surgieron en el proceso de aprendizaje que tuvo el hombre cuando descubrió la forma de contar. El conjunto de los números naturales se denota porN siendo N = ,0, 1, 2, 3, 4,…- ? Número natural: es la propiedad común que tienen los conjuntos con la misma cantidad de elementos. (Concepto abstracto que simboliza esa propiedad común). Los números naturales se pueden definir de diversas maneras, una de ellas es a partir de un sistema de axiomas. Prescindiendo de toda consideración sobre el origen del concepto de número y colocándose desde un punto de vista abstracto el matemático italiano establece Peano un sistema de axiomas (axioma: es una proposición aceptada sin necesidad de demostración dada su evidencia) adoptando como ideas primitivas la de número, cero y sucesor de un número con el que se definen los números naturales:

4 P1: 0 es un número natural P2:Todo número natural a tiene un sucesor (siguiente) y sólo uno. P3:Si a y b tienen el mismo sucesor entonces a =b. OBSERVACIÓN: Esto permite, a partir de su contrarrecíproco, plantear que números distintos tienen distintos sucesores. P4:Todo número natural distinto de 0 es el sucesor de un número natural. CONSECUENCIA: Esto permite plantear que el 0 no es sucesor de ningún número natural. P5:Si P es una propiedad tal que: a) 0 tiene la propiedad P, y b) siempre que un número n tiene la propiedad P, entonces el sucesor de n tiene también la propiedad P, entonces todo número tiene la propiedad P. (Principio de inducción) OBSERVACIONES: ? ? El sucesor o consecutivo de todo número natural nes el número natural n ?1. El antecesor de todo número natural n ? 1, es el número natural n ?1 ? Número cardinal: es la cantidad de elementos de un conjunto. Cuando contamos los elementos de un conjunto, el número que corresponde al último elemento se llama número cardinal del conjunto. ? Número ordinal: representa un elemento de un conjunto teniendo en cuenta el orden de los mismos. Cuando se cuentan los elementos de un conjunto, el número natural que corresponde a cada elemento del conjunto se llama ordinal de dicho elemento. ? Número par: Número divisible exactamente por dos. ? Los números pares se expresan de las forma 2 n. ? Siempre que sumamos dos números pares cualquieras el resultado es otro número par. ? Número impar: Número que no es divisible exactamente por dos y se expresan de la forma 2n + 1, ejemplo {1,3,5,7,9,11,13..} ? Siempre que sumamos dos números impares cualquiera el resultado es un número par. ? Número natural compuesto es aquel que tiene más de dos divisores. Ejemplo: a) El número 21 es compuesto, porque sus divisores son: 1; 3; 7 y 21. b) El número 5 no es un número compuesto, pues solamente tiene dos divisores. OBSERVACIÓN: El único número natural par que no es compuesto es el número 2. ? Números primos son aquellos, distintos de 1, que sólo son divisibles por 1 y por el mismo. Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 17; 19… ? Divisor de un número natural: todo número natural distinto de cero, que lo divide exactamente. ? Todo número es divisor de sí mismo y es el mayor de sus divisores. ? 1 es divisor de todos los números. Ejemplo: 2; 3 y 6 son divisores de 6 ? Divisibilidad: ? Un número es divisible por 2 si termina en cero o cifra par. Ejemplo: 20 y 24

5 ? Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo: 75 y 3462 ? Un número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4. Ejemplo: 7500 y 3 264 ? Un número es divisible por 5 si acaba en cero o en 5. Ejemplo: 7500 y 3 265 ? Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplo: 4 260 y 246 ? Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. Ejemplo: 126 y 2261 126 12 – 12 = 0, por tanto 126 es múltiplo de 7 2261 226 – 2 = 224, por tanto 126 es múltiplo de 7 ? Un número es divisible por 8 si las tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8. Ejemplo: 1512 y 3000 ? Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: 3663 y 342 ? ? Un número es divisible por 10 si termina en cero. Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11. Ejemplo: 4224 (4 + 2) – (2 + 4) = 0 ? Un número es divisible por 25 si las dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 25. Ejemplo: 3200 ? Máximo común divisor, (MCD) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Procedimiento para calcular el máximo común divisor: 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Ejemplo: Hallar Máximo común Divisor de 18 y 24

18 = 2. 3. 3. 1 =2 .3² 24 = 2. 2. 2. 3 .1 =2³. 3 MCD (18 y 24) = 2 . 3. 1 = 6 (6 es el mayor número que divide a 18 y 24). ? Múltiplo, cantidad aritmética o algebraica que es producto de otras dos que son divisores de ellas. ? Múltiplo de un número natural, es el número que se obtiene de multiplicarlo por otro número natural cualquiera. ? Se dice que un número es múltiplo de otro si al dividirlo el resto es cero. ? Todo número natural es múltiplo de sí mismo. ? Mínimo común múltiplo, es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero. Procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo: 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Ejemplo: 72 = 23· 32 108 = 22· 33 60 = 22· 3 · 5 mcm (72, 108, 60) = 23· 33 · 5 = 2160 (2160 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60). OBSERVACIÓN: Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el mcm de ambos. Ejemplo: El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36 OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Entre los naturales están definidas las operaciones de adición y multiplicación; o sea, el resultado de sumar o de multiplicar dos naturales es también un natural, por lo que se dice que son operaciones internas. OBSERVACIONES: ? El signo de suma “+” se piensa que deriva de la palabra latina plus que se utilizaba en la antigüedad. Para abreviar su uso, el plus se cambió por la “p” que con la velocidad de la escritura fue derivando en dos líneas cruzadas que terminaron convirtiéndose en el signo “+” que usamos hoy día. ? La multiplicación era considerada muy difícil y, hasta el siglo XVI, solo se enseñaba en las universidades. ? ? ? El signo “=” (igual a) se debe al matemático Robert Recordé. La suma es la primera operación aritmética que se conoció. El libro más antiguo en que aparecen impresos los signos “+” y “-“ es uno de aritmética publicado en 1489 del maestro calculista alemán Johann Widman. ? En el siglo XVI aún se usaban los signos “p” y “m”, abreviaturas de las palabras plus y minus, que en latín significaban más y menos. ? El signo de multiplicar “x” deriva de la utilización del símbolo de la cruz de San Andrés (el aspa) para los cálculos de proporciones en la antigüedad. Sin embargo, fue Willian Oughtred, allá por 1631,

6

dividendo

divisor 2 3 quien tomó este símbolo y lo propuso, entre muchos otros, para designar las operaciones de multiplicación. ? El punto “.” y los dos puntos “:” como símbolos de multiplicación y división, respectivamente, fueron propuestos por Leibnitz. ? La sustracción no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos naturales puede no ser un número natural. O sea, no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo. Ejemplo: 3 – 4, no es un número natural. OBSERVACIÓN: El signo menos “-“ tiene un camino similar al signo de la suma. Deriva de la palabra latina minus, que luego fue sustituida, con el fin de abreviar, por la palabra mus a la que se incorporó una rayita arriba. Luego la palabra desapareció y quedó solamente la rayita. ? La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos naturales puede no ser un número natural. O sea, no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. Ejemplo: (no es un número natural) OBSERVACIONES: ? La barra horizontal de las fracciones (de origen árabe) ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. ? La barra oblicua “/”, variante de la horizontal para escribir en una sola línea, fue introducida por De Morgan en 1845. ? El símbolo “÷”para la división fue introducido por Johann Heinrich Rahn. Propiedades de la adición: a) Es asociativa, es decir, cualesquiera sean los números naturales a, b, c se cumple que: a + b + c =(a + b) + c = a + (b + c). Ejemplo: 3 + 5 + 7 = (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) = 15 b) Es conmutativa, es decir, si a y b son números naturales cualesquiera se cumple que: a+b=b+a Ejemplo: 3 + 5 = 5 + 3 = 8 c) Además existe el elemento neutro de la adición, el cero, que posee la propiedad de que cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a Ejemplo: 3+ 0 = 3 Propiedades de la multiplicación: a) Es asociativa, es decir, cualesquiera sean los números naturales a, b, c se cumple que: a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c) Ejemplo: 2 . 4 . 6 = (2 . 4) . 6 = 2 . (4 . 6) = 48 b) Es conmutativa, es decir, si a y b son números naturales cualesquiera se cumple que: a.b=b.a Ejemplo: 5 . 3 = 3 . 5 = 15

7

c) Es distributiva con respecto a la adición, es decir, cualesquiera sean los números naturales a, b y c se cumple que: a . (b +c)= a .b +a .c Ejemplo: 2 . (4 +3)= 2 .4 +2 .3 =14 d) Existe el elemento neutro de la multiplicación: el número natural 1, es decir, para todo número natural a se cumple que: a. 1 = 1.a = a OBSERVACIONES: ? Dados dos números naturales a y b se dice que a es menor que b y se escribe a < b si existe un número natural k?0, tal que, a +k = b CONSECUENCIA: A partir de esta relación se puede plantear la llamada propiedad de tricotomía: ? Propiedad de tricotomía: Dados dos números naturales a y b se cumple una y sola una de las posibilidades siguientes: a < b, a = b, b < a ? A partir de estas definiciones pueden demostrarse para los números naturales otras propiedades, tales como: I. Si a < b y b < c entonces a < c Partiendo de la premisa de la implicación dada y de las relaciones anteriores se tiene que: Si a < b existe n ? 0 tal que a + n = b (1) Si b < c existe m ? 0 tal que b + m = c (2) Sustituyendo (1) en (2) y aplicando la asociatividad de la adición se tiene que: (a + n) + m = c de donde a + (n + m)=c. Como n + m es un natural distinto de cero la definición permite concluir que a < b entonces para todo c? N, a + c < b entonces para todo c? N, a + c < b entonces existe un k ?0 natural tal que a + k = b y como el resultado de la adición es único, cualquiera que sea c?N se cumple que (a +k)+ c =b +c. Pero la asociatividad y la conmutatividad de la adición garantizan que (a + c)+ k = b + c y como k ? 0 esto significa que a + c < b + c OBSERVACIÓN: • Los signos “<c II. Si a < b entonces para todo c? N, a + c < b entonces existe un k ?0 natural tal que a + k = b y como el resultado de la adición es único, cualquiera que sea c?N se cumple que (a +k)+ c =b +c. Pero la asociatividad y la conmutatividad de la adición garantizan que (a + c)+ k = b + c y como k ? 0 esto significa que a + c < b + c OBSERVACIÓN: • Los signos “< b entonces existe un k ?0 natural tal que a + k = b y como el resultado de la adición es único, cualquiera que sea c?N se cumple que (a +k)+ c =b +c. Pero la asociatividad y la conmutatividad de la adición garantizan que (a + c)+ k = b + c y como k ? 0 esto significa que a + c < b + c OBSERVACIÓN: • Los signos “<b 0 + c si a ” fueron introducidos posterior al signo “=” por el inglés Thomas Harriot. Representación gráfica de los números naturales. La representación de los números naturales en el rayo numérico, coincide con las unidades enteras trazadas en él. Ejemplo: Ubicación en un rayo numérico de los números 1; 3; 5. DOMINIO NUMÉRICO NÚMEROS FRACCIONARIOS. LIMITACIONES Y NECESIDAD DE AMPLIACIÓN. OPERACIONES DE CÁLCULO ARITMÉTICO. PROPIEDADES.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS: Surgen a partir de la limitación del conjunto de los números naturales para resolver la división, pues el cociente de dos naturales puede

8 3 1 5 0 2 4

no ser un número natural; o sea, no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. Se denota porQ+ ? Conjunto de los números fraccionarios: el conjunto de fracciones equivalentes a una fracción dada forma una clase: cada clase se denomina número fraccionario. Ejemplo: 1 2 3 4 ; ; ; 2 4 6 8 pertenecen a la misma clase y representan al mismo número fraccionario. El número fraccionario se representa por la fracción irreducible de la clase. a b OBSERVACIÓN: ? En el caso de los números naturales basta tomar b = 1 para representarlos como una fracción, por tanto el conjunto de los números fraccionarios contiene a los naturales. N ? Q+ ? Toda fracción puede considerarse como el cociente de una división en la cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor. ? Fracción propia: Si el numerador es menor que el denominador, representa una parte del todo. Ejemplo: 1 2 , 2 3 , 3 4 ? Fracción impropia: Si el numerador es mayor que el denominador, en este caso su valor es mayor que el todo Ejemplo: 5 3 , 7 5 , 11 8 ? Fracción mixta o número mixto: Representa la cantidad de unidades completa que contiene la fracción y la cantidad de partes de la unidad. 3 4 Ejemplo: 2 ? Fracciones equivalentes, cuando tienen exactamente el mismo cociente y se derivan unas de otras por ampliación o por simplificación.

9 es decir el cociente indicado de dos números naturales

El numerador a indica cuantas de las partes iguales en que se ha dividido la unidad o el conjunto se toman.

El denominador b indica en cuantas partes se ha dividido la unidad o el conjunto. Forma de representar: como una fracción,

con a, b ? N y b ? 0.

a En la fracción b

c d c d c d a b a b a b ?

?

? siempre que a. d < b. c

siempre que a. d = b. c

siempre que a. d > b.c Ejemplo: 3 4 y 12 16 , son equivalentes. ? Ampliar una fracción: es multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero. ? Fracción decimal: Fracción que tiene por denominador una potencia positiva de 10. Ejemplo: 3 10 ?Fracciones complejas: las fracciones que tienen fracción en su numerador, en su denominador o en ambos a la vez. Criterios de comparación entre números fraccionarios: Ejemplo: a) 4 5 < 2 3 (2.5 < 3.4) b) 2 5 > 5 7 (5 . 5 > 7 . 2) ? Expresión decimal finita: el cociente que se obtiene cuando el resto de la división es cero. ? Expresión decimal infinita: el cociente que se obtiene en las divisiones en las que no se obtiene resto cero. ? Expresión decimal periódica: la expresión decimal infinita en cuyos lugares decimales aparecen períodos. ? Período: Cifra o cifras que se repite(n) en una expresión decimal periódica. Período: cifra básica o grupo de cifras básicas que se repiten. ? Expresión decimal no periódica: es la que tiene un número ilimitado de cifras decimales, pero que no se repiten siempre en el mismo orden, o sea que no hay período. Ejemplo: ?= 3. 141592… Procedimiento para comparar dos expresiones decimales: ? ?

? Se compara su parte entera y será mayor la que mayor parte entera tenga. Si tienen igual parte entera, incluido el caso en que ambas sean cero se comparan sus partes decimales y será mayor la que tenga mayor la primera cifra comenzando por la izquierda. Si las primeras cifras son iguales, se analizan las siguientes y así sucesivamente. Si al comparar la parte entera y la decimal, todas las cifras comparadas son iguales, entonces las expresiones decimales son iguales. OBSERVACIÓN: El primero en usar la coma para separar la parte decimal de la fraccionaria fue el astrónomo italiano Giovanni Magini.

10

b d b q OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS. ? Adición de números fraccionarios: Sean a b y c d dos números fraccionarios, se define la adición a b + c d = ad?bc bd Para adicionar o sustraer números fraccionarios se representan en forma de fracciones de igual denominador y se adicionan o sustraen sus numeradores. El denominador común se mantiene. La sustracción se puede realizar solamente si el sustraendo no es mayor que el minuendo. OBSERVACIÓN: Los números fraccionarios representados como expresiones decimales se adicionan o sustraen como números naturales, teniendo en cuenta los valores de posición. ? Multiplicación de números fraccionarios: El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: a c • = a•c b•d OBSERVACIÓN: Las expresiones decimales se multiplican como los números naturales y el producto tiene tantos lugares decimales como lugares decimales tienen los dos factores juntos. ? Cociente de dos fracciones, es el producto de la primera por la inversa (recíproco) de la segunda: a p : = a b ? p q = a•q b•p OBSERVACIÓN: Los números fraccionarios en notación decimal se dividen de la forma usual. Propiedades de las operaciones con números fraccionarios. Cumplen las mismas propiedades que en los naturales siendo necesario incorporar la existencia del recíproco. ? Recíproco: Corresponde al valor inverso de un número, de manera tal que al efectuar el producto entre ambos, resulta 1. O sea: Para todo número natural a ? 0 existe un número 1 a tal que 1 a* =1 a OBSERVACIÓN: En el desarrollo histórico de la Matemática, el orden de aparición o aplicación de los conjuntos numéricos nunca fue el mismo para todas las civilizaciones, los números fraccionarios fueron utilizados por el hombre primero que los números negativos. 11 0 4 3 1 1,6 2 2 1 Representación gráfica de números fraccionarios. Se procede igual que para los naturales considerando las partes fraccionarias del segmento unidad tantas veces como sea necesario.

3

DOMINIO NUMÉRICO NÚMEROS ENTEROS. LIMITACIONES Y NECESIDAD DE AMPLIACIÓN. OPERACIONES DE CÁLCULO ARITMÉTICO. PROPIEDADES. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Surgen por la imposibilidad de efectuar la sustracción sin restricciones en el conjunto de los números naturales. CONSECUENCIA: Se introduce el concepto de opuesto de un número como una nueva propiedad: Para todo número a existe un único número que se denota por –a tal que a + (-a) = 0 ? Conjunto de los números enteros, es el conjunto de los números naturales y sus opuestos y se denota porZ . Z = ,…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…- ? Valor absoluto (módulo) de un número entero a, número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero y a -a si es negativo. O sea:

Propiedades |a| = |-a| |a · b| = |a| ·|b| |a + b| = |a| + |b| OBSERVACIÓN: ? El módulo o valor absoluto de cualquier número entero nunca es negativo. Dos números enteros opuestos tienen el mismo módulo. Ejemplo: -20? = 20 y ?20? =20; luego,? -20? = ?20?. ? Aún cuando los matemáticos de la India, en el siglo VII, usaban los números negativos para indicar deudas; no fue hasta fines del siglo XVIII que los números negativos no fueron aceptados universalmente. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. • Las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor. • Para sumar a con el opuesto se utiliza la notación a + (-b)= a – b, y a este número se le llama diferencia de a menos b. • Las operaciones aritméticas pueden realizarse como con los naturales considerando la necesidad de aplicar adecuadamente la llamada regla de los signos.

Propiedades de las operaciones con números enteros.

Se cumplen para los números enteros las propiedades ya analizadas para los naturales, la conmutatividad y asociatividad de la adición y la multiplicación, así como, la distributividad de la multiplicación respecto a la adición y la existencia del neutro de la adición y la multiplicación.

12

13 OBSERVACIÓN: ? Todos los números enteros mayores que cero se consideran positivos, y sus opuestos, se consideran negativos. ? El cero no es positivo, ni negativo, luego el opuesto del cero es el propio cero. ? El conjunto formado por el cero y todos los números enteros positivos, se denomina conjunto de los números enteros no negativos. ? El conjunto formado por el cero y todos los números enteros negativos, se denomina conjunto de los números enteros no positivos. ? Números opuestos, son los números enteros que solo se diferencian en el signo. Ejemplo: 20 y –20 son números opuestos. OBSERVACIÓN: ? Los números opuestos están situados en la recta numérica simétricamente respecto al cero. Representación gráfica. Se fija sobre una recta un punto cero llamado origen, a partir de este, hacia la derecha, se señalan puntos que representan una determinada unidad y del mismo modo hacia la izquierda y convenio que los puntos de la semirrecta indicados a la derecha del cero representan números positivos y los de la izquierda representarán números negativos.

OBSERVACIÓN: Entre los enteros se cumple que: ? Dados dos números positivos es mayor el de mayor valor absoluto. ? Cualquier número positivo es mayor que cero. ? El cero es mayor que cualquier número negativo. ? Dados dos números negativos, es mayor aquel que tiene menor valor absoluto.

DOMINIO NUMÉRICO NÚMEROS RACIONALES. LIMITACIONES Y NECESIDAD DE AMPLIACIÓN. OPERACIONES DE CÁLCULO ARITMÉTICO. PROPIEDADES

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Surgen por la necesidad de resolver las limitaciones de los dominios mencionados anteriormente (N, Q+ Y Z). Está formado por el conjunto de los números fraccionarios y sus opuestos. Los números racionales se denotan por Q y se escriben como expresiones decimales, cuyo desarrollo es finito o infinito periódico y se pueden representar en la forma p q Ejemplo: 3 5 2 3 ; ?

b OBSERVACIONES: ? Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero. ? Si el numerador no es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número fraccionario, es decir, a un número no entero. ? Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico. ? Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica. Ejemplo: 7 5 =1,2 Decimal exacto 15 7 =2,14857 Decimal periódico ? El valor absoluto o módulo de un número racional se determina de la forma siguiente: ? ? ? Si el número racional es positivo, su módulo es el propio número. Si el número racional es negativo, su módulo es el opuesto del propio número. El módulo de cero es cero. ? El módulo de cualquier número racional nunca es negativo. ? Dos números racionales opuestos tienen el mismo módulo. ? El conjunto de los números racionales es denso porque entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales. Para comparar dos números racionales debe tener en cuenta que: ? Los números racionales no negativos se comparan como los números fraccionarios. ? Los números racionales negativos son menores que los números racionales no negativos. ? ? De dos números negativos es menor el que tenga mayor módulo. Para comparar a y b Si a bb; si a – b = 0, entonces a = b ? a b 0 tal que b n =a (si existe) se le llama raíz n-ésima del 1 a o por a n .

a n b amt = a 17 Ejemplo:

Propiedades de los radicales: n n a b ? n ; a . n b = n ab ; (n a ) m=n am y nt n m ? Radicales equivalentes: Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Ejemplo:

? Simplificación de radicales: Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. Ejemplo: ? Reducción de radicales a índice común (procedimiento) 1. 2. Se halla el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice Se divide el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. Ejemplo: 2 3 22.32 4 22.32 mcm (2, 3, 4) = 12 12 26 12 (22)4.(32)4 12 (22)3.(32)3 ? Extracción de factores fuera del signo radical (procedimiento) Se descompone el radicando en factores. Si: ? Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. ? Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. ? Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Ejemplo: 4 2.32.55 ? 3.52 2.5 27.314.54 ? 2.33.54 23.32

3 5 2 5 5 =(3 2 1) 5 =0 36.12(32) .12(33)3 ? 123638.39 ? 12323 ? 312311 18 4 28.312.2.3 = 4 29.313 ? Introducción de factores dentro del signo radical (procedimiento) Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical. Ejemplo: 2 3 = 22.3 = 12 22.334 6 = 4 (22)4.(33)4.2.3 = ? Operaciones con radicales ? Adición de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando. 2 Ejemplo:2 2 4 2+ 2 =(2 4+1) 2 = 4 4 4 4 2 12 26 = 2+ 2 64 = 4 22 + 6 23 12 4 + 6 8 4 ? Multiplicación de radicales a) Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice. a. b = a.b 2. 6 = 12 = 22.3 =2 3 Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible. b) Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se multiplican. 3.3 94 27 = mcm (2,3, 4) =12 12 4 ? División de radicales a) Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice. b) Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se dividen. Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

b cm ? Potencia de radicales Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice. ? Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices. ? Racionalizar, consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Se pueden distinguir tres casos. 1. Caso: Del tipo a b c Se multiplica el numerador y el denominador por c . a 2 Caso: Del tipo n

Se multiplica numerador y denominador por n cn?m . a b ? c , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un

19 3 Caso: Del tipo

radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. OBSERVACIÓN: • El signo de “raíz” lo introdujo el matemático alemán Christoph Rudolff. ? Notación científica o exponencial, todo número racional positivo a se puede representar siempre en la forma a =a 0.10 p (a 0 ? Q : 1= a 0< 10; p ? Z ) Ejemplo: a) 574,72=5,7472 102 3 b) 0,0053=5,3 10 c) La notación científica puede emplearse para escribir: ? La masa de la Tierra 5, 98 . 10 24Kg. ? El diámetro de un átomo de hidrógeno 1, 07 . 10 ?8cm.

DOMINIO NUMÉRICO NÚMEROS IRRACIONALES. LIMITACIONES Y NECESIDAD DE AMPLIACIÓN. OPERACIONES DE CÁLCULO ARITMÉTICO. PROPIEDADES NÚMEROS IRRACIONALES: Surgen por la necesidad de encontrar la medida exacta de la hipotenusa de un triángulo rectángulo; así mismo de la necesidad de expresar las raíces inexactas reales y la existencia de magnitudes inconmensurables. Se denotan por I y son todas las raíces inexactas reales y los decimales infinitos no periódicos. O sea, los números racionales pueden representarse sobre una recta, pero sin embargo no todo punto de una recta representa un número racional. Por ejemplo si se toma sobre una recta a partir de cero un segmento que represente la diagonal de un cuadrado, cuyo lado tiene por longitud el segmento unidad, el punto extremo M no representa a un número racional. Esta aseveración puede realizarse a partir del siguiente hecho: Por el teorema de Pitágoras la longitud de la diagonal satisface la igualdad x 2 = 2. Suponiendo que x?Q se podrá escribir como x = m n y si se considera la fracción simplificada, lo cual es siempre posible, m y n son enteros primos entre sí. Se tiene entonces que m 2 = 2 n 2 siendo por tanto m par y se puede escribir de la forma 2m´. Sustituyendo se tendrá que n 2 = 2 (m´) 2 por lo que n es par también. Pero este resultado contradice la suposición de que m y n son primos entre sí, por tanto x?Q. es decir M no corresponde a ningún número racional y no puede escribirse como el cociente de dos enteros.

Ejemplo: a) La relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia, se expresa con la letra ? cuyo valor es aproximadamente 3.141592… o sea, posee infinitas cifras no periódicas 20

b) 2 ˜1,41422135…

DOMINIO NUMÉRICO NÚMEROS REALES. LIMITACIONES Y NECESIDAD DE AMPLIACIÓN. OPERACIONES DE CÁLCULO ARITMÉTICO. PROPIEDADES

NÚMEROS REALES, que se denotan por R, surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. De ahí que están formados por los números racionales y los irracionales. Q? ? = ?

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. Entre dos números reales están definidas todas las operaciones, es decir, la adición, la sustracción, la multiplicación y la división (salvo por 0), así como, la potenciación y la radicación. OBSERVACIONES: 1)

2) La relación entre estas operaciones podría resumirse en el siguiente cuadro:

Las operaciones indicadas deben efectuarse en sentido contrario a como se estudian, es decir: ? ? ? 3) 4) Potencias y raíces. Multiplicaciones y divisiones. Sumas y restas. Las operaciones encerradas en paréntesis deben efectuarse antes que ninguna otra. El matemático francés Albert Girard fue quien introduce por primera vez el uso de los paréntesis. Propiedades de las operaciones con números reales. ? Existencia del orden: Si se tienen dos números reales a y b sólo puede haber una relación, y sólo una, entre ambos, que a > b; a = b o a < b. ? Transitividad: Si a = b y b = c, se tiene que a = c. ? Si a>b y b>c entonces a>c ? Existencia de la adición: La suma de dos números es única, se representa por a + b , así, si a = b y c = d, se tiene que a + c = b + d. ? Conmutatividad de la adición: a + b = b + a. ? Asociatividad de la adición: (a + b) + c = a + (b + c). ? Existencia y unicidad del neutro de la adición: Hay un número y sólo un número, el cero (elemento neutro), de modo que a + 0 = 0 + a = a, para cualquier valor de a. ? Existencia y unicidad del opuesto: Para todo número a existe un único número que se denota por –a tal que a + (-a) = 0

21

22 ? Existencia de la multiplicación: El producto de dos números es único, se representa por a. b, así si a = b y c = d, se tiene que a .c = b. d. ? Conmutatividad de la multiplicación: a. b = b. a. ? Asociatividad de la multiplicación: (a. b).c = a (b. c). ? Existencia y unicidad del neutro de la multiplicación: Hay un número y sólo un número, el uno (1), de modo que a. 1 = 1. a = a, para cualquier valor de a. ? Existencia y unicidad del recíproco: Para todo número real a ? O corresponde un número real, y sólo uno, x, de modo que a. x = 1. Este número x se llama recíproco de a y se representa por 1 a . ? Distributividad de la multiplicación respecto a la adición: a (b + c) = a. b + a. c ? Monotonía de la adición: Si a > b se tiene a + c > b + c para todo número c . ? Monotonía de la multiplicación: Si a > b y c > 0 se tiene que a. c > b. c y si a >b y c a (a, +8) = ,x

x = a *a, +8) = ,x

x < a (-8, a) = ,x

x = a (-8, a+ = ,x

OBSERVACIÓN: ? ? Los signos de "mayor o igual que" (=) y "menor o igual que" (=) los introduce Pierre Bouguer. La nomenclatura utilizada para la designación de intervalos es, en resumen, la siguiente: ? Para excluir los extremos, los paréntesis: ), ( y para incluir los extremos se utilizan los corchetes ], [

23

24 ? Para alejarse indefinidamente a la derecha, el signo 8 cerrado con un paréntesis: (3;8) números mayores que 3. ? Para alejarse indefinidamente a la izquierda, el signo -8 abierto con un paréntesis: (-8; 3) números menores que 3. TANTO POR CIENTO Y TANTO POR MIL. RAZÓN, PROPORCIÓN Y PROPORCIONALIDAD

? Significado del tanto por ciento: Tantos de cada 100” es decir los elementos que se toman de cada 100. Ejemplo: a) 5% significa que tomamos 5 de cada 100. b) 15% significa que tomamos 15 de cada 100. c) El 61% de los alumnos de una escuela son hembras. Esta información se interpreta como la fracción 61 100 , lo cual nos indica que 61 de cada 100 alumnos son hembras. ? Significado del tanto por mil: un tanto de cada mil. Ejemplo: 1. Cuando se plantea que la Tasa de Mortalidad de un país es de 4; debe interpretarse que fallecieron 4 por cada mil nacidos vivos. OBSERVACIÓN: Para calcular el tanto por mil se procede de forma análoga al cálculo del tanto por ciento. REPRESENTACIÓN EN UN DIAGRAMA DE VENN ? Q + Q N ? ?

? El dominio de los números naturales (N), es un subconjunto del dominio de los números enteros (?), de los racionales (Q) y de los reales ( ? ). Simbólicamente: N? ? ? Q ? ?.

25 Ejemplo: En una provincia hubo en un mes 118 nacimientos y producto de una enfermedad congénita falleció un niño. ¿Cuál fue el índice de mortalidad infantil en esa provincia en ese mes? Se divide la cantidad de fallecidos entre la cantidad de nacimientos y se multiplica el resultado por mil. Se explica 1 118 1000˜8,5 Por tanto la mortalidad infantil en esa provincia fue aproximadamente de 8,5 por cada mil nacidos vivos. ? Razón, es el cociente de dos números distintos de ceros. La razón entre a y b es ó es a : b (b ? 0) y se lee “a es a b”.

Ejemplo: a) La pareja de números 11 y 54 están en la misma razón de 22 108 24 =6 es la razón entre 24 y 4 4 ? Proporción es la igualdad entre dos razones. FORMALMENTE: = ó a : b = c : d (a, b, c, d ? Q+ y b ? 0 ; d ? 0)

Se lee “a es a b como c es a d”

? Propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

a.d=c.b Ejemplo: 9 15 = 3 5 forman una proporción porque 3 . 5 = 9 . 5 45 = 45 OBSERVACIÓN: ? ? La teoría de las proporciones fue desarrollada por el gran matemático Eudoxo. Una de las aplicaciones más importante de la proporciones se encuentra en la resolución de problemas de regla de tres. a b x= ? c x ? ? x b c d a.x=b.c

x.d=b.c b.c a x= b.c d En toda proporción, un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.

a c x d a x b d 7,5 x ?

? =

= a.d=x.c

a.d=b.x x=

x= a.d c a.d b ? Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los valores correspondientes de la otra. OBSERVACIÓN: • •

• A esta constante k se le llama constante de proporcionalidad directa. El método de reducción a la unidad consiste en hallar la cantidad de la magnitud desconocida que corresponde a una unidad de la otra magnitud. En una proporcionalidad directa dos cantidades cualesquiera de una magnitud y sus correspondientes en la otra, forman una proporción. Ejemplo: Por un pedazo de queso que pesa 1, 25 kg se ha pagado $ 7, 50. ¿Cuánto habría c