Tema:
Matrices y sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Objetivo General
Dada una ecuación matricial, emplear operaciones y sus propiedades para despejar de ser posible, la matriz incógnita.
Objetivo Especifico
Dada una matriz, identificar su dimensión y los elementos que la conforman, aplicando la notación correcta.
Demostrar propiedades de las operaciones entre matrices.
Dado un conjunto de matrices, realizar de ser posible, operaciones de suma, multiplicación por un escalar y producto entre ellas.
Antecedentes
La definición de matriz aparece por primera vez en el año 1850, introducida por J.J. Sylvester. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, por lo tanto, empleaban tablas con números.
El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W. R. Hamilton, en 1853. En 1858, Arthur Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, la misma que fue descrita en su publicación "Memorias sobre la teoría de matrices".
Cayley daba la definición de matriz y las operaciones de suma entre matrices, de la multiplicación de un número real por una matriz, de la multiplicación entre matrices y de la inversa de una matriz. Cayley afirmaba que obtuvo la idea de matriz a través de la idea del determinante, considerándola como una forma conveniente para expresar transformaciones geométricas.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de forma natural en informática, geometría, estadística, economía, física, logística, etc. Como ejemplo tenemos en la informática como son tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, entre otros.
Justificación
Las matemáticas son una creación de la mente humana y constituyen una herramienta para entender el mundo y convivir en él.
La utilización de matrices permite el desarrollo de habilidades de pensamiento lógico matemático en los estudiantes y de procesos como el razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas, la comunicación y la modelación, entre otros, dentro de un contexto apropiado que dé respuesta a una multiplicidad de opciones e intereses que permanentemente surgen y se entrecruzan en el mundo actual.
Las matrices, mucho más de ser una herramienta de trabajo, también es un modelo a seguir, el cual podrá ser una guía en el conjunto de operaciones de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que no solo la utilizan los estudiantes sino también profesionales que lo aplican en su vida cotidiana para poder tomar correctas decisiones.
Por esta razón, se decidió estudiar este tema, y conocer las posibilidades de descubrir incógnitas, las mismas que en la vida diaria seria dar solución a los problemas laborales y personales.
Matrices
MATRIZ
Historia
El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.2
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.3 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Definición:
Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.
EJEMPLO:
Igualdad entre matrices
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:
Clases de matrices
Matriz Fila
Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila, de dimensión 1 x n.
Matriz Columna
Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna, de dimensión mx1.
Ejemplo: 
Matriz Rectangular
Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.
Matriz cuadrada
Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:
Matriz Triangular superior
Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz Triangular inferior
Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo:
Matriz Nula o Matriz Cero
Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.
Matriz Diagonal
Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aii.
Matriz diagonal, matriz cuadrada donde sus elementos
La matriz identidad es una matriz diagonal. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si todos sus elementos son nulos salvo algunos de la diagonal principal.
Ejemplos de matrices Diagonales:
Matriz Escalonada
Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente.Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.
Matriz Identidad
Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada.
Operaciones con matrices
Suma entre Matrices
(Guamanzara, 1994)Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:
A+B=(aij+bij)
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma (Matematicas Particulares)posición.
EJEMPLO:
Propiedades de la Suma de Matrices
EJEMPLO:
Encuentre (A + B) + C – Asociativa
Encuentre A + (B + C):
Multiplicación de una Matriz por un escalar
(Ditutor, 2007)Dada una matriz A=(aij) y un número real k 
R, se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k · A=(k aij)
EJEMPLO:
(Wikibooks) Propiedades del producto de una matriz por un escalar
Multiplicación entre Matrices
(Thales de Milato, 2008)Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
EJEMPLO:
Propiedades de la Multiplicación Matricial
Asociativa
A · (B · C) = (A · B) · C
Distributiva
A · (B + C) = A · B + A · C
(A + B) C = A · C + B · C
Transposición de una matriz
Propiedades de la Transposición de Matrices
Una matriz que posee inversa se dice que es regular, caso contrario, se dice que es singular.
La matriz inversa, en caso de existir, es única.
Propiedades de la inversa de una matriz
Determinantes
Teorema 5.1
(Universidad de Americas, 2006)Tal como se dijo anteriormente y luego de estudiar el concepto de determinante, nos proponemos ahora encontrar la inversa de una matriz por el método de los cofactores.
Teorema 5.2
Cálculo de los determinantes por el método de cofactores
(Baldor, 2003)
Propiedades
EJERCICIO:
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Definición: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades que se pueden escribir en la forma
• Coeficientes: aij para i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n
• Términos independientes: bi para i = 1, 2, · · · , m,
• Incógnitas del sistema: x1, x2, · · · , xn
(Morales, págs. 7-9)En el caso particular de que b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema se denomina homogéneo. Un sistema de ecuaciones se dice compatible si tiene alguna solución, es decir, si existen escalares x1, . . . , xn ? IK verificando las m ecuaciones que lo componen. En otro caso se dice incompatible. Cuando el sistema es compatible, se dice además que es determinado si la solución es única e indeterminado si existe más de una solución.
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Un sistema arbitrario de m ecuaciones con n incógnitas se puede escribir como:
Representación de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada
Matrices aumentadas. Si mentalmente se ubica a los signos +, las letras x y los signos =, entonces un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede abreviarse al escribir sólo el arreglo rectangular de números.
Este arreglo se denomina matriz aumentada del sistema.
Como se mencionó en apartados anteriores, el método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales es sustituir el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto de solución, pero que sea más fácil de resolver. Ello se puede obtener escalonando la matriz, usando operaciones elementales de renglón. Ejemplo
Resolver el sistema:
Solución.
En la columna de la izquierda, que se muestra a continuación, se va a resolver el sistema mediante operaciones elementales. En la columna de la derecha, el mismo sistema se resuelve operando sobre los renglones de la matriz aumentada.
Hay que notar que la anterior matriz está en forma escalonada. Si se sigue con el proceso se tiene:
La anterior matriz se encuentra en forma escalonada reducida.
Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneos
Ecuaciones lineales homogéneas: Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden
Consideramos la ecuación
Llamamos a esta sucesión progresión geométrica de valor inicial C y razón A.
Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales
(Unizar, 1999)Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales hay que hacer transformaciones en las ecuaciones hasta que todas las incógnitas queden despejadas. Estas transformaciones convierten nuestro sistema inicial en otros sistemas con aspecto distinto y más fácil de resolver teniendo las mismas soluciones (Sistemas equivalentes)
La ecuación 2x-3=0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente solo tiene una solución
La ecuación -3x+2y=7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra
La ecuación x-2y+5z=1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus solucioens son ternas ordenadas de números, tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cuales quiera a las otras dos.
Método de Gauss
(Carrasco, 2012)El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
1El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 – 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
E'3 = E3 – 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 – 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
z = 1
– y + 4 · 1 = -2 y = 6
x + 6 -1 = 1 x = -4
Método de Gauss-Jordan
(Ditutor, 2003)Como trabajo final para el régimen de promoción de la asignatura Matemática I, desarrollaré a continuación esta monografía referida a la resolución de sistemas por el método de Gauss- Jordan.
Luego de buscar y seleccionar la información referida al tema, y de realizar un repaso general acerca del tema matrices y ecuaciones lineales, me encuentro en condiciones de realizar este trabajo acorde a los requisitos que la cátedra propuso durante todo el cursado de la materia.
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
Sea el sistema de ecuaciones:
Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:
Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:
Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.
Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del número que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13
Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.
Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el número que le corresponde en columna de la 3ª fila.
A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la matriz identidad.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del número que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.
Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán – 11/13 y -½, respectivamente.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a – 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila.
El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será – 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el número que le corresponde en columna de la 1ª fila.
(Ditutor, 2007)Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:
x= 1
y= -1
z= 2
Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.
2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2 =1 3 +2 – 8= -3 5 +1 – 2 = 4
1 = 1 -3 = -3 4= 4
Sistema de Ecuaciones Lineales consistentes e inconsistentes
Por lo general, hay tres posibilidades para un sistema de ecuaciones lineales: ninguna solución, una sola solución, o un número infinito de soluciones. Un sistema que tiene una o más soluciones se llama consistente. Si no hay soluciones, el sistema se llama inconsistente. Un sistema con menos ecuaciones que incógnitas se llama indeterminado. Aquellos son los sistemas que frecuentemente tienen un número infinito de soluciones. Un sistema en que el número de ecuaciones excede el número de incógnitas se llama super determinado. En un sistema super determinado, cualquier cosa puede pasar, pero tal sistema es frecuentemente inconsistente.
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Ejemplo:
El sistema
2x – y + 3z = 0
x + y – 3z = 1
es indeterminado y consistente con solución
x = 1/3; y = 2/3 + 3z, z arbitraria.
El sistema
x + y – z = 4
3x + y – z = 6
x + y – 2z = 4
3x + 2y – z = 9
Es súper determinado y consistente con una única solución
x = 1, y = 3, z = 0
Regla de Cramer
(Guerrero, 2013)Se dice que un sistema AX= B de m ecuaciones con n incógnitas es de Cramer si:
Observar que la matriz cuyo determinante aparece en el numerado se obtiene cambiando en la matriz A la columna i-enesima por la columna de los términos independientes
Teorema Resumen
Sea A una matriz de orden nxn. Entonces las cuatro afirmaciones siguientes son equivalentes. Es decir, cada una de ellas implica las otras tres (de manera que si se cumple una, todas se cumples, y si una es falsa, todas son falsas)
A es invertible
La única solución al sistema homogéneo Ax=0 es la solución trivial (x=0)
A es equivalente por renglones a la matriz identidad Inxn; es decir, la forma escalonada reducida por renglones de A es Inxn
Det (A) diferente de 0
Sistema de ecuaciones no lineales en el plano
Un sistema en el que alguna de las ecuaciones que lo forman no es lineal ya adquiere la condición de no lineal. Para resolverlo, suele emplearse el método de sustitución; aunque el de igualación también puede ser muy efectivo.
Sistema de inecuaciones lineales en el plano
En el caso de que las inecuaciones que componen el sistema tengan dos incógnitas, la solución es la región del plano obtenida como intersección de las regiones solución de cada una de las inecuaciones.
Programación lineal
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
¿Cómo resolver un problema mediante programación lineal?
El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son:
Función Objetivo
Variables
Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:
La función objetivo
La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Sí en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.
Las variables de decisión
Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.
Las restricciones
Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión. La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría sí en un problema que precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de calzado decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes, como por ejemplo:
¿Con cuánta materia prima cuento para producirlos?
¿Con cuánta mano de obra cuento para fabricarlos?
¿Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?
¿Puedo financiar tal empresa?
Pues bueno, entonces habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de contexto, de tal manera que los valores que en un momento dado podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por una serie de restricciones.
Sistema de inecuaciones no lineales
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. Además, estas inecuaciones contienen expresiones con radicales, que incluyen valor absoluto, polinómicas racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. Se destaca también, que en estos problemas las fronteras pueden ser curvas o rectas.
Bibliografía
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Wikibooks. (s.f.). Obtenido de http://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/Matrices/Multiplicar_una_matriz_por_un_escalar
Autor:
Zara Chimbo
Elizabeth Montalvo
Dora Arroyo
MATERIA:
Álgebra
CATEDRÁTICO:
Arq. Levi Bravo
FECHA DE ENTREGA
27 de Noviembre de 2014