1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica Modelos Braneworld Combinados Alexander Moreno Sánchez Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica Bogotá. D. C, Colombia. [email protected] Recibido 01-03- 2014; Aceptado 30 – 03- 2014; Publicado en línea 10 – 10 – 2014 Resumen La ciencia física en los últimos años ha desarrollado varios esquemas teóricos que confrontan la asombrosa realidad natural con nuestra limitada capacidad de análisis y comprensión de aquello que llamamos realidad. La teoría del llamado braneworld o mundos membrana, es un espectacu- lar marco teórico que en principio uni…ca varias teorías físicas, y ofrece múltiples alternativas de explicación y comprensión de la intrincada realidad oculta de la naturaleza. En este corto trabajo se muestra el esquema teórico del modelo braneworld que uni…ca el modelo de Randall-Sundrum y el modelo de Lykken, se colocan algunos resultados y se enuncian algunas conclusiones. PACS : 04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv Palabras Claves: Mundobrane, dimensiones adicionales, reducción KK, gravitones, compacti…c- ación. Abstract Physical science in recent years has developed several theoretical schemes facing the amazing natural reality with our limited capacity for analysis and understanding of what we call reality. Theory called braneworld or membrane worlds is a great theoretical framework that in principle uni…es various physical theories, and o¤ers multiple alternatives of explanation and understanding of the intricate hidden reality of the nature. In this short paper shown the theoretical framework of the braneworld model that uni…es the Randall-Sundrum model and the model Lykken, some results are placed and some conclusions are drawn. PACS : 04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv Keywords: Braneworld, extra dimensions, reduction KK, gravitons. compacti…cation. c 2014. Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica. Todos los derechos reservados. Introducción En estos momentos, donde todo transcurre tan rápido, parecen un poco lejanos los modelos propuestos por Randall y Sundrum, quienes exhibieron un par de modelos cuyo objetivo principal era mostrar por qué la gravedad es tan débil en comparación con las otras interacciones, en otros palabras decidieron proponer una solución al llamado problema de jerarquías. Una de las características principales de dichos modelos es la de
2 2 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELOS CON DIMENSIONES EXTRAS considerar una dimensión espacial no compacta, en claro contraste con los modelos de dimensiones adicionales compactas. En tales modelos, cuyo origén primordíal hay que buscarlo en la teoría de cuerdas y en teoría-M, el universo tal cual lo conocemos se encuentra contenido en las llamadas branas, algo así como un tapíz donde los grabados y …guras representan el universo; considero que está es una idea sumamente atractiva, evocativa, y altamente signi…cativa, considerar que nuestro universo es como una membrana que gracilmente se agita en un volumen extenso es sin duda una idea bastante elegante y consecuente con nuestro paulatino alejamiento del geocentrismo; nuestro planeta dejo de ser el centro del universo, después nuestro sol dejo de ser el centro del universo, posteriormente, se encontro que estamos inmersos en un enorme sistema llamado galaxia, la cual tampoco es el centro del universo, en las últimas décadas se han encontrado una serie de estructuras materiales y energéticas de creciente tamaño y complejidad dando origen a lo que llamamos estructura a gran escala del universo, y por lo que se puede inferir es posible que se encuentren estrucutras más asombrosas y enormes en el tejido espaciotemporal, ello ha venido poco a poco con…gurando la imagén del universo, que hasta donde se conoce tuvo un origen especí…co, tiene unas estructuras impresionantes, acompañadas de una dinámica extraordinaria, y es posible que el universo como lo conocemos se transforme en algo totalmente nuevo o termine diluyéndose o desapareciendo totalmente, ¡¡he ahí el misterio de la cosmología!!. Ahora, bién, el modelo de braneworld considero (opinión personal), continua este proceso de categorización, y ahora parece ser que todo nuestro universo resulta ser como una membrana en un volumen de dimensiones adicionales o extras, análogo a lo que se conjetura en modelos de multiverso donde el universo conocido es un burbuja en in‡ación o que sufrió un proceso in‡acionario, en una pletora de universos que se crean continuamente. Bueno, como se dijo anteriormente, la idea del braneworld es bastante sugestiva, entonces imaginemos algunas cosas, o tratemos de contestar o planetar algunas preguntas, ¿Que apreciaría un observador fuera de la brane?, bueno si pensamos en un observador fuera de la brane, lo primero que notaríamos es que no observa nada porque no existe radiación electromagnética, pero percibe la gravitación, es decir podría realizar experimentos gravitacionales y encontrar que por lo menos localmente hay efectos gravitacionales, y quizá también perciba otros campos similares a la gravedad, si vamos un poco más allá este observador consciente, posiblemente pueda desarrollar un equipo que le permita detectar la presencia de las branas, las cuales percibiría como unas láminas o paquetes energéticos, con movimientos intrínsecos muy complejos, a decir verdad este es un escenario realmente nuevo. Quizá, podríamos preguntar también, ¿Por qué no detectamos la presencia del bulk o de las dimensiones extras, pudiera ser que debido a que nos encontramos "como encerrados o atrapados" en la brane, las interacciones electromagnéticas no pueden propagrarse más allá del horizonte de…nido por la brane, es la gravitación o en otros términos la geometría de la brane quien de…ne el grado de interacción con ese llamado bulk. También se puede preguntar cómo se observa la expansión cosmológica desde el bulk o desde la brane, puede inferirse que desde la brane observaríamos la expansión como la hemos observado de tiempo atrás, pero desde el bulk quizá se observe como un auténtico globo que se expande siguiendo alguna dinámica especial. Como se puede observar el tema es bastante especulativo, pero también bastante lógico y coherente con muchos resultados físicos conocidos hoy día Los modelos de braneworld tienen como base los modelos desarrollados por Randall y Sundrum hacía 1999, posteriormente se han desarrollado otros muchos modelos, se han incorporado campos escalares, vectoriales, otras dimensiones, simetrías, dimensiones compactas y no campactas, entre otros muchos elementos; pero pienso que los modelos inicialmente propuestos rompen los esquemas convencionales y determinan un punto de partida diferente y especial para comprender muchos fenómenos que continuan sin clara explicación ni fundamentación teórica. Aquí, en este corto artículo, sólo quiero considerar, un modelo que es el modelo combinado de Randall y Sun- drum, es decir combinar los modelos RSI y RSII, el cual se conoce como modelo Lykken-Randall.[1][2][3][4][5][6][7]. Modelos con dimensiones extras Aquí se muestra de forma genérica el telón de fondo sobre el que se desarrolla la idea de dimensiones adicionales y de braneworld. El estudio de los modelos teóricos de campos en el espaciotiempo con dimensiones espaciales extras fueron iniciados por Kaluza-Klein, éstos daban origen a una aproximación teórica de campos, para la 2
2 (2) Z m (n) X Z G Z h i 1 p (0) 1 1=2 d+2 (8) 1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELOS CON DIMENSIONES EXTRAS descripción de interacciones de partículas en un espaciotiempo multidimensional. Una fuerte motivación para la aproximación KK proviene de la teoría de cuerdas en donde la multidimensionalidad del espaciotiempo se requiere para una formulación consistente. Recientemente modelos con dimensiones extras de un nuevo tipo, llamados modelos ADD y RS, se han propuesto como esquemas de altas dimensiones. Fueron diseñados para suministrar una novedosa solución al problema de jerarquías en altas energías. Muchos hechos esenciales de estos modelos eran inherentes en la aproximación KK. También muchas ideas y conceptos recientemente descubiertos en teoría de cuerdas y teoría M, han sido incorporados en tales modelos[8][9][10]. La aproximación KK se basa en la hipótesis de que el espaciotiempo es un espacio pseudo-euclideano con (4+d)-dimensiones, es decir que se puede obtener como un producto topológico E4+d = M4 Kd (1) donde M4 es el espaciotiempo cuadridimensional y Kd es un espacio compacto d-dimensional de tamaño carac- terístico R. Ahora bién, si se introducen coordenadas locales sobre dicho espacio, se pueden denotar como xM = fx ; ym g , con M = 0; 1; 2; ::::; 3 + d , = 0; 1; 2; :: , m = 1; 2; ::; d , en consecuencia con el producto directo o con la estructura del producto directo del espaciotiempo, la medida de distancias o métrica que usualmente se escoge se puede obtener como ds2 = GM N (x)dxM dxN = g (x)dx dx + mn (y)dy m dyn . (3) Ahora bien, consideremos el espaciotiempo de Minkowski, con un campo escalar (4+d)-dimensional, donde la integral de acción estará dada por S = d4+d xp G 1 2 (@M )2 1 2 2 2 1 4! g(4+d) 4 , (4) de este modo para interpretar la teoría como un campo escalar cuadridimensional efectivo expansión en series de Fourier se recurre a una (x; y) = (x)Yn (y) , n donde las funciones Yn (y) son funciones propias normalizadas ortogonales del operador de Laplace espacio Kd , de tal forma que Kd (5) en el Kd Y(n) (y) = n R2 Y(n) (y) , (6) aquí n es un multi-índice que marca los valores propios (n) de las funciones propias Y(n) (y): En el caso de una compacti…cación toroidal se identi…ca el espacio de dimensiones adicionales como Kd = T d , con T d un toro d-dimensional con radio igual a R, así de este modo se hace más simple el análisis, y si consideramos el caso de la gravedad (4+d)-dimensional, la cual se puede obtener de la acción dada por SE = d4+d xp 1 16 G(4+d) R(4+d) [GM N ] , (7) donde el escalar de curvatura que pued calcular con ayuda de la métrica GM N ; así de este modo, desarrollando la expansión en modos propios e integrando sobre Kd se llega a la integral de acción cuadridimensional SE = d4 x gf R(4) gM N + ::::::g , 16 GN (4) y de esta manera se identi…ca GN (4) = Vd GN (4+d) , MP l = (GN (4) ) = 1:2 1019 GeV , M = (GN (4+d) ) con lo cual 3
3Astrofísica 2 m ) , m : 1 3 y = R son puntos …jos de la identi…cación-Z2 : Una 3-brane, o hiperplano tridimensional, puede jugar el rol de ny (n) X ny (n) X Centro Colombiano de Cosmología y MOTIVACIÓN PARA UNA TEORÍA DE CUERDAS Y TEORÍA-M MP l = Vd M d+2 : (9) La cota o valor límite sobre el tamaño de R; puede ser derivado de la ausencia de señales de exitación de modos KK en las partículas del Modelo Estándar, con los datos disponibles hoy día se in…ere un valor para la masa de los posibles modos KK-masivos dada por m1 1 R > 1T eV , (10) Un elemento fundamental en el análisis de teorías con dimensiones extras tiene que ver con la llamada localización de campos, o en otros términos la restricción que deben tener los campos conocidos sobre la brane, esto constituye un ingrediente esencial, los mecanismos de localización de campos sobre las branes aseguran coherencia y consistencia con la observación. Inicialmente, se considerá la teoría del campo escalar (x; y); con un potencial de…nido como V ( )= 1 4 ( 2 1 2 2 (11) es sencillo chequear que existe un tipo de solución que depende de la quinta coordenada o de la dimensión extra, lo cual conduce a una solución dada por cl (y) 1 1 = p mT anh p2 m(y y0 ) , (12) de tal forma que la densidad de energía de esta con…guración está localizada en la vecindad del hiperplano y = y0 en una región de espesor El espectro de ‡uctuaciones cuánticas o modos KK alrededor del tipo de solución incluye a los modos cero (correspondiente a la simetría translacional de la teoría), un modo masivo y un continuo de estados. A muy bajas energías solo los modos discretos son excitados, y efectivamente la teoría describe campos moviéndose dentro del pozo de potencial a lo largo del plano y0 : El modelo suministra un ejemplo de localización dinámica de campos sobre el hiperplano el cual juega el rol de espacio tridimensional inmerso en el espacio cuadridimensional. Este hiperplano es referido como una tre-brane o "pared". Si la energía de los modos es lo su…cientemente alta el espectro continuo es excitado, y una manifestación posible de esto puede hacerse efectiva con partículas escapando hacia la quinta dimensión. De manera similar los fermiones acoplados a los campos escalares pueden estar localizados sobre la brane[23][24][25]. Motivación para una teoría de cuerdas y teoría-M Un caso importante es cuando el espacio de dimensiones extras es un orbifold, que se de…ne como si se considerará un círculo S1 de radio R y se denotaran sus puntos por y; entonces el orbifold es construído por identi…cación de puntos los cuales se relacionan por la transformación Z2 (simetría de espejo), tal que, y ! ( y) : En consecuencia tenemos la identi…cación usual de puntos S1 debido a la periodicidad y ' (y + 2 R) , donde y = R; nuestro mundo tridimensional, el cual se puede localizar en estos puntos …jos. En el caso de la compacti…cación del orbifold todos los campos multidimensionales se pueden describir por funciones pares o impares, es decir (x; y) = (x; y); o también (x; y) = (x; y); así que sus modos de descomposición son de la forma 1 (x; y) = (x)Cos , si (x; y) es par , (13) R n=0 1 (x; y) = (x)Sen , si (x; y) es impar , (14) R n=0 un hecho importante de teoría de cuerdas es que existen las con…guraciones de p-branes las cuales constituyen gauges y otros grados de libertad. 4
3Astrofísica Centro Colombiano de Cosmología y MOTIVACIÓN PARA UNA TEORÍA DE CUERDAS Y TEORÍA-M Figure 1: Este esquema muestra un gran espacio el bulk y dos D4-branes, en teoría de cuerdas Tipo I. Otro hecho importante es que existe una compacti…cación consistente de los límites 11D de la teoría-M, considerada como una teoría de todas las cosas, bajo (3+1)-dimensiones. El camino de la compacti…cación no es único, por ejemplo, en el regimén no perturbativo de la teoría de cuerdas heteróticas E8 E8 puede ser identi…cado como el límite 11D de la teoría-M con una dimensión compacti…cada en el orbifold S1 =Z2 y con un conjunto de campos gauge E8 en cada uno de los 10D puntos …jos del orbifold. Compacti…cando esta teoría sobre una variedad Calabi-Yau se llega a una teoría la cual, para ciertos rangos de energía, se comporta como un modelo supersimétrico (SUSY) cinco-dimensional N=1 con una dimensión compacti…cada sobre S1 =Z2 : Adicional a las motivaciones anteriores dadas para construir teoría de cuerdas o teoría-M, se tienen otras motivaciones para elaborar dichos escenarios, por ejemplo. El …nal de una cuerda abierta está restringida a D4-branes en el espaciotiempo 11-dimensional. Las excitaciones de cuerdas abiertas incluyen bosones gauge, campos escalares y fermiones. La teoría efectiva a bajas energías de estas excitaciones se supone que contienen el Modelo Estándar (MS), de este modo los campos del MS están localizados sobre las D4-branes. Ahora bién, las cuerdas cerradas se propagan en el bulk, es decir en todo el espaciotiempo. Las excitaciones de cuerdas cerradas incluyen el gravitón, por lo tanto la gravedad se propaga en el bulk. Una imagén esquemática del espaciotiempo en la teoría de cuerdas tipo-IA, se puede esquemátizar en la …gura anexa. Las D4-branes contienen tres-dimensiones como de espacio no compactos, correspondiente a nuestro espacio usual, y una dimensión compacti…cada en el círculo S1 de radioR. En la medida que se aleja del resto de las dimensiones que son concernientes, la quinta dimensión espacial o una parte de ella puede formar un espacio compacto de tamaño característico R. La asunción R >> r no parece ser imposible, esto es motivado por el hecho de que en teoría de cuerdas se tiene la siguiente relación 5
4 4 coordenada adicional o dimensión extra de la función B2 (y), así obtenemos[1][2] 5 i j 2 ij ij 2 compacti…cación, es decir como un manera diferente de estudiar y de introducir dimensiones adicionales de tipo 2 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELO DE RANDALL-SUNDRUM Mstring = MP l p k GU T 2 , (15) por lo tanto la relación Mstr << MP l y R 1 1 Mstr >> MP L r lo cual no es inconsistente con la teoría de cuerdas. Con esta posibilidad en mente existe la propuesta de escenarios donde parte de la dimensión compacta tiene un tamaño relativamente grande, por ejemplo R 1 10M eV , r 1 1T eV , con lo cual se asume que para alcanzar el radio de curvatura de la brane debemos explorar energías del orden de los TeV. Otro aspecto importante es la posibilidad de uni…car la interacción débil y fuerte a un escala menor de masa o energía, digamos MGU T 10T eV , o quizá también permita, la existencia de un mecánismo de rompimiento SUSY sobre la brane, entonces el rompimineto SUSY es comunicado a la brane MS vía campos en el bulk. Pueden, existir otras razones para explorar modelos físicos en altas dimensiones pero no es el tema de este corto artículo[11][12][13][14][15]. Modelo de Randall-Sundrum Considerando una métrica general, que de cuenta de soluciones de tipo cosmológico, tal como ds2 = N 2 (t; y)dt2 + A2 (t; y) ij dxi dxj + B2 (t; y)dy2 , en la cual podemos hacer B2 (y) ! 1 , con lo cual se deja independiente la ds4+1 = N 2 (y)dT 2 + A2 (y) ij dx dx + dy2 , (16) entonces podemos simpli…car ds4+1 = N 2 (y) + A2 (y) dx dx + dy2 , (17) 2jyj de tal forma que se puede hacer la siguiente identi…cación1 N 2 (y) ij + A2 (y) ij = e l : Esta identi…cación general permitirá desarrollar el modelo de braneworld y solucionar en principio el problema de jerarquías, el cual es un problema fundamental en la física de altas energías. En el marco de los modelos de braneworld, como por ejemplo en los modelos de Randall y Sundrum, se considera que las branes estan sumergidas en un espaciotiempo AdS5 ; en donde se puede introducir un sistema de coordenado gaussiano normal, así que las cooordenadas en tal espaciotiempo se pueden denotar como x = (xa ; y) con lo cual puede considerarse que la métrica adopta la siguiente expresión[3][4] ds2 = e 2Kjyj dx dx + dy2 , (18) el factor de curvatura exponencial, introducido anteriormente, signi…ca que el volumen en el espacio 5D se puede hacer pequeño cuando y se hace grande. En su primer artículo Randall y Sundrum mostraron que la jerarquía entre la escala electrodébil de T eV y la aparente escala de Plank de 1019 GeV , se puede explicar por el factor de curvatura, aún si el tamaño de la dimensión extra es relativamente pequeña (distancia entre branes). Ya en su segundo artículo mostraron que si no existía una segunda brane, y la dimensión extra se extendía al in…nito, la gravedad puede permanece efectivamente localizada sobre la única brane existente, ya que el volumen integrado permanece …nito cuando y ! 1, esta es la razón por la cual se propuso este modelo como una alternativa a la espacial in…nitas. El éxito experimental de la ley Inversa del Cuadrado y de la Teoría General de la Relatividad, es que parece que en todas las situaciones se implican cuatro dimensiones espaciotemporales no compactas (universo 3+1). De otra parte, la concepción clásica o tradicional es que las dimensiones adicionales pueden ser aceptadas tan sólo si ellas son compactas y su…cientemente pequeñas para ser consistentes con las pruebas gravitacionales corrientes, como también si existen n-dimensiones extras compactas, la escala de Planck, debe relacionarse con la escala gravitacional en altas dimensiones, mediante MP l = M 2+n Vn ; donde Vn , es el volumen del espacio n-dimensional. 1 En realidad la métrica Randall-Sundrum tiene su origén en la teoría de cuerdas, propiamente dicha, y es allí donde se encuentra plenamente justi…cado el factor de curvatura exponencial. 6
4 2 integra la segunda ecuación desde " a +" y tomando el límite " ! 0; y en consideración de la simetría 6 ; que es la expresión análoga a lo que se conoce con K(y) = k j y j conduce a una relación para 5 = Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELO DE RANDALL-SUNDRUM El modelo Randall-Sundrum, muestra que nada de lo establecido anteriormente, es necesariamente cierto, ya que lo establecido esta basado en las propiedades de una geometría factorizable, la historia puede cambiar signi…cativamente cuando tal consideración sea omitida, talvéz la consecuencia más dramática es que quizá vivamos en un espaciotiempo de (4 + n)-dimensiones con n dimensiones de tipo no compactas, en perfecta compatibilidad con la gravedad experimental u observacional. Se muestra que la masa de Planck esta determinada por la curvatura de las altas dimensiones más que por el tamaño de las dimensiones extras. Esta curvatura no entra en con‡icto con la invarianza cuadridimensional de Poincaré (De acuerdo con el principio de covariancia toda ecuación de la teoría de la relatividad especial debe ser invariante bajo transformaciones que pertenezcan al grupo de Poincaré, así, el grupo de Poincaré se puede concebir como el grupo maximal tal que deja invariante todas las ecuaciones de la relatividad especial, sin embargo, en general el grupo de Poincaré no desempeña ningún papel importante en la teoría de la relatividad general, ya que el grupo de transformaciones que dejan invariante esa teoría en general no incluye un subgrupo homeomorfo al grupo de Poincaré. El grupo de Poincaré sin embargo sí es importante en la teoría cuántica de campos ordinaria la cual no incluye los efectos de la gravitación, ya que esa teoría se formula sobre el espaciotiempo plano de Minkowski). La razón de lo establecido anteriormente, es que la curvatura del espacio 5-dimensional soporta un “estado acotado”de gravitón en altas dimensiones sin masa permaneciendo con…nado a una pequeña región del espacio2 [1] [2] [3]. En el escenario braneworld no se realiza una compacti…cación para localizar o garantizar que la gravedad cumpla la ley inversa del cuadrado sobre la brane, por el contrario se considera que la curvatura del volumen (bulk) permite pensar la gravedad de tal forma que cumple con las observaciones normales, esto hace que sea posible evitar el ‘escape’ de la gravedad en las dimensiones extras, ahora bien a bajas energías interviene una constante cosmológica de tipo volumétrica (bulk), la cual "presiona" la gravedad, esto se relaciona como 5 = 6 2 l2 = 6 2 , (19) donde l es el radio de curvatura del espacio AdS5 y donde es la correspondiente escala de energía. Esto es como si la constante cosmológica volumétrica actuara para presionar el campo gravitacional cercano a la brane. Por lo cual, la métrica de los modelos RS, se puede escribir de forma general como ds2 = e 2K(y) dx dx + dy2 , (20) donde se ha introducido la función K(y); la cual contiene información de la dimensión extra. En consecuencia, llevando la métrica a la ecuación de campo gravitacional[17] [18] [20], obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones 6K 2 = 2 2 ; 3K = 2 (y) , (21) y asi solucionando la primera ecuación se obtiene la siguiente solución K(y) = r 2 6 5 y k j y j , (22) que corresponde a la función introducida anteriormente, esto nos dice que 5 debe ser negativa, ahora, si se Z2 (simetría de orbifold o periódica sobre una circunferencia); encontramos 6K = 2 ; de este modo junto 2 2 como ajuste-…no entre la tensión de la brane y la constante cosmológica volumétrica, así que mediante un ajuste adecuado permite obtener la solución RS estática. En el modelo RSI (modelos de dos branes), localizadas en y = 0; y = L; con simetría Z2 , además de considerar que en cada brane existe una tensión o energía del vacío, las cuales son iguales y opuestas, es decir ; con 2 Es decir, que las ‡uctuaciones o interacciones gravitacionales descritas mediante los gravitones permanezcan acotadas o con- streñidas a las vecindades de la brane, para evitar que la energía de dichas interacciones termine escapando. 7
5 2 , h i 2 3 luego existe un valor bien de…nido para la masa de Planck, incluso si la dimensión adicional es in…nita[4]. 5 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELO DE LYKKEN-RANDALL = 3Mp 4 l2 (23) de este modo en la brane de tensión positiva existe la escala fundamental de energía M5 (llamada brane oculta), y en la brane de tensión negativa encontramos localizados los campos del Modelo Estándar que están con…nados sobre esta brane (llamada brane visible). Debido al factor de curvatura exponencial, la escala efectiva sobre la brane visible en y = L es la escala de Planck Mp , en donde[3] Mp = M5 l 1 e 2L=l , (24) 2 3 expresión que muestra una aproximación a la solución del problema de jerarquías, cuando L ! 1, Mp = M5 l; En resumén, el modelo RSI, propone un mecanismo para solucionar el problema de jerarquías introduciendo una dimensión extra pequeña, con un espacio intermembrana tipo AdS5 ; no obstante en el segundo modelo RSII se introduce una brane con tensión positiva en la cual la segunda membrana se remueve o lleva al in- …nito, de tal forma que aún si no existe la otra brane y la dimensión extra se extiende hasta el in…nito, la gravedad permanece efectivamente localizada sobre la brane existente, ya que el volumen completo permanece …nito cuando la dimensión extra tiende a in…nito, esto es lo que se ha propuesto como una alternativa a la compacti…cación[16][17][18]. Modelo de Lykken-Randall En este modelo se combinan los esquemas teóricos de RSI y RSII, es decir un modelo de dos branes en un bulk cinco-dimensional junto con un modelo de una brane con una dimensión extra no compacta, así que reuniéndolos se puede obtener una solución adecuada al problema de dimensiones extras in…nitas y además mantener la solución al problema de jerarquías[26]. Hemos dicho anteriormente que las dimensiones extras suministran una ruta alternativa para tratar algunas cuestiones físicas, entre ellas una muy importante conocida como el problema de jeraquías de la física de altas energías, que se resume en la pregunta ¿Por qué la intensidad del campo gravitacional es tan débil, en comparación con la intensidad de las otras interacciones?[14][15][16]. Se conoce que de la escala de Planck se puede derivar la escala energética que describe el acople gravitacional a bajas energías, mediante el uso de una geometría factorizable simple. Es así como se ha propuesto que la escala de Planck del universo cudridimensional está relacionada, con un mundo o universo existente en altas dimensiones, mediante un factor de volumen adecuado. La enorme escala de Planck puede conducir a un acople gravitacional débil como una consecuencia del enorme volumen en el cual el gravitón se propaga. En este escenario se puede obtenr de forma natural una disminución de la interacción gravitacional, debido a la presencia del enorme volumen generado por las dimensiones extras. La idea es que el acople gravitacional débil surge debido a una forma partícular o especial de la función de onda que describe el gravitón en las dimensiones extras. Se propone por lo tanto que el gravitón esté localizado lejos del mundo (3+1)–dimensional, es decir "lejos" del mundo brane, fuera de la brane sobre la cual residen todos los campos del modelo estándar. Por lo tanto se considera que existe un enorme valor de la escala de Planck en las dimensiones extras, que disminuye o se hace efectivo en cuatro dimensiones, ahora bién, si se piensa que la función de onda del gravitón se origina con pequeñas amplitudes, de tal modo que ellas inducen una "pequeña escala de Planck" sobre la brane que habitamos, es decir la función de onda con pequeñas amplitudes interactua con la brane, sintiéndose o re‡ejandose dicha interacción como una manifestación de la escala de Planck inducida en la brane. La geometría de una única brane con una densidad de energía cosmológica se puede ajustar para garantizar la invarianza de Poincaré que toma la forma matemática de ds2 = e 2kjyj dx dx + dy2 , (25) el aspecto notable que describe ésta geometría es que da origen a un campo de gravitones localizado, es decir da origen a un único estado acotado gravitacional. El nuevo hecho aquí es que el fondo geométrico creado da origén a un estado acotado único. Puede entonces considerarse que este modo de oscilación juega el rol del gravitón de 8
5 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELO DE LYKKEN-RANDALL un mundo cuadridimensional, y es responsable de reproducir todos los efectos de la gravedad cudridimensional. Con la perspectiva de generar la jerarquía de masas entre las escalas de Planck y la escala electrodébil, se cuenta con la correspondencia de esta geometría en la quinta dimensión y la escala de masa total. Lo anterior, puede ser entendido debido a que el factor de curvatura es un factor conformal. Sin embargo, desde la perspectiva de la generación de jerarquía de masas es importante recalcar la correspondencia existente entre la escala de Planck y la escala electrodébil para todas las escalas de masa posibles. El factor de masa es re-escalado mediante este factor, así que una escala natural para el paramétro de masa debe ser de MP l = 1019 GeV sobre una brane en el origen. Está observación fue explotada introduciendo una geometría de orbifold. Si el modelo estándar está localizado sobre una segunda brane, la amplitud del gravitón es exponencialmente suprimida o reducida generando una jerarquía de masas. La desventaja potencial de este sistema es la necesidad de involucrar objetos de energía negativa y la geometría de orbifold. Aunque nada los relaciona, es deseable contar con un sistema alternativo involucrando sólo objetos de energía positiva. Las ventajas de este sistema son, la existecia de objetos de energía positiva, llamados D-branes y NS-branes, que están bien entendidos y sobre los cuales los campos gauge y los campos de materia estarían localizados así que los campos del modelo estándar pueden ser situados allí. Algunos aspectos potencialmente problemáticos de ésta cosmología aún no se han logra comprender claramente. Existe una ventaja de tipo estática la cual permite un espacio de dimensión in…nita en la cual la escala de masas está asociada con una localización de…nida en el espacio. Si se permite que todas las escalas de masa, distribuidas en la quinta dimensión, presumiblemente tendrían mejores posibilidades para tratar las di…cultades cosmológicas. También se tiene una mejor oportunidad para explotar las ideas holográ…cas. Se demuestra que se puede tratar el problema de jerarquías con unicamente objetos de energía positiva, combinando la consistencia de vivir en una quinta dimensión in…nita, se puede generar una jerarquía viviendo lejos de la brane sobre la cual la gravedad está localizada. La cuestión crucial es si un observador sobre esta brane de T eV observa una teoría consistente de la gravedad, se ha mostrado que si se mira una teoría de la gravedad que está muy cercana a la teoría gravitacional cuad- ridimensional y si se vive sobre la brane en la cual está localizada el gravitón. Pero, aún para un observador bastante lejos de la brane, se obtiene una teoría gravitacional aceptable, esencialmente indistinguible, desde el mundo cudridimensinal. La imágen que emerge es notablemente hermosa. El gravitón está localizado sobre una brane que la llamamos brane de Planck. Vivimos sobre una brane separada de la brane de Planck alrededor de 30 longitudes de Planck en la quinta dimensión. Sobre esta brane la escala de masas es suprimida exponencialmente, conduciendo de esta forma a la generación, de forma natural, de la escala electrodébil. De otra parte, la máxima escala que podemos probar sobre nuestra brane es del orden de la escala de T eV , ya que todos los modos de oscilación de las posibles "cuerdas" se hacen fuertemente interactuantes en esta escala. El aspecto potencialmente peligroso de este sistema es la enorme multiplicidad de modos Kaluza-Klein arbitrariamente livianos. Se ha mostrado que una señal de la dimensión extra in…nita es un continuo sin brechas de modos KK, asi, claramente si estos modos estuvieran fuertemente acoplados, la teoría sería desastroza, ya que las pruebas gravitacionales y de física de partículas debería ser violada fuertemente. La teoría se incorpora entre un mundo cuadridimensional y uno cinco dimensional, los observadores sobre la brane T eV observan los modos por debajo de T eV como un acople débil. Los modos mayores de T eV están más fuertemente acoplados, y pueden en principio reproducir los resultados cinco dimensionales esperados. General- izando a una localización arbitraría, nunca se reconoce la geometría de altas dimensiones, independientemente de la localización, el mundo aparece o surge a bajas dimensiones y bajas energías. Entonces, tenemos el siguiente sistema, una brane de Planck, o conjuntos de branes, sobre la cual los modos cero del gravitón estan localizados o con…nados exponencialmente decayendo en una dirección fuera de la brane o en la dirección y de la dimensión extra. El nuevo hecho es que se cuenta con una única brane, o multiples branes localizadas a una distancia y0 desde esta brane, donde e ky0 = T eV =MP l , donde k se relaciona con la constante cosmológica sobre la brane y determina la atenuación exponencial del gravitón. La nueva brane puede ser considerada como una prueba de la geometría determinada por la brane de Planck, lo uno o lo otro se asume, que la brane tiene una gran tensión, o que consiste de un gran conjunto de branes. Parece que realmente la inclusión de una pequeña tensión (energía del vacío) en la brane no afecta sustancialmente el resultado. También notése, que no tratamos la cuestión de determinar la localización y0 aquí, aunque el mecanismo que estabiliza la geometría del orbifold debe también debe ser aplicado. 9
5 1 2 Z 1 , 1 , , , m z , . Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELO DE LYKKEN-RANDALL Es claro que los modos cero generan consistentemente la gravedad. Si tomamos la coordenad y = 0 como la localización de la brane de Planck, se puede facilmente derivar MP l = 2 e 2ky M 3 dy = M 3 , (26) 0 k así que con M y k y tomando del orden de MP l = 1019 GeV , los modos cero están correctamente acoplados a la gravedad generada cuadridimensional. Por lo tanto de los modos adicionales KK tenemos que, los modos propios del gravitón se pueden expresar como 0 (z) = 1 1 k(j z j + k )3=2 (27) donde la coordenada z se relaciona con y por la expresión z = 1 k sgn(y)(ekjyj 1) , (28) para la brane de T eV con z = z0 1T eV : Igualmente para los modos continuos tenemos m 1 1 Nm (j z j + k )1=2 Y2 (m(j z j + k )) + 4k2 m2 1 J2 (m(j z j + k )) (29) donde m es la masa de los modos, Y2 ; J2 son funciones de Bessel para mz grande, los modos se comportan asintóticamente como ondas planas cuyas formas asintóticas de las funciones de Bessel son p zJ2 (mz) r 2 m Cos(mz 5 4 ) , (30) p zY2 (mz) r 2 m Sen(mz 5 4 ) , (31) donde la constante de normalización está determinada por el comportamiento de ondas planas con Nm = m5=4 4k2 (32) es importante considerar que esto corresponde a un acople en situaciones límites. Se puede encontrar un potencial entre dos masas m1 , m2 dado por el cual conduce a V = GN m1 m2 r + Z0 1 dm k m GN e mr k m1 m2 r (33) V GN m1 m2 r (1 + e3ky0 kr ) . (34) Así, la forma arbitraria de la función de Bessel para mz pequeño es p zJ2 (mz) 1 2 5=2 8 (35) p zY2 (mz) 4 m2 z3=2 z1=2 (36) De este modo emerge una imágen convincente, en la cual el mundo es cincodimensional, y la coordenada y se extiende hasta el in…nito. Sin embargo para algun observador localizado en y0 , los modos de masa mayor a MP l e kjy0 j están fuertemente acoplados. La amplitud de los modos "livianos" sobre la brane en y0 son 10
6 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica REFERENCES suprimidos. Los modos "pesados" son también suprimidos por la ley exponencial ya que la métrica debe ser plana. Así que el observador con…nado a la brane observará la gravedad como esencialmente cuadridimensional, nada notable donde está localizada la brane. Podemos vivir con una dimensión extra in…nita y simplimente no la conoceremos. Este nuevo lugar de encuentro ofrece nuevos caminos para tratar importantes problemas en cosmología y gravedad. No hay efecto medible directo de una dimensión in…nita, pero tampoco se descarta su existencia[19][20][21][22]. Conclusiones El escenario descrito anteriormente es bastante tentativo. Una vez más con dimensiones in…nitas, se espera que en la teoría gravitacional exista una correspondencia con la teoría gauge y con el límite ultravioleta de teoría de campos. Se ha dicho que en este modelo existe una correspondencia entre la localización y de la brane y la escala de masa determinada por la forma del modo cero del graviton. Además se muestra que la exitación KK no inter…ere con la imagen suministrada aquí, por el contrario contribuyen con pequeñas correcciones a la teoría de la gravedad, como también a energía su…encietemente baja. En este nuevo punto de convergencia de diferentes teorías se proporciona una nuevo camino para considerar importantes problemas en cosmología y gravedad. Este es un marco teórico bastante sugestivo, pero al tiempo plagado de suposiciones, claro esta que son coherentes y lógicas desde el punto de vista de teorías fundamentales, es de esperar que en el futuro se decante todo este esquema teórico conduciendo a dos cosas, o bién la naturaleza es absolutamente simple y no requiere estas suposiciones, o bién puede ser mucho más compleja de lo que muestran estos escuetos análisis teóricos. Como elemento general podemos destacar que este tipo de modelos, aunque hipotéticos, permiten reproducir sin mayores modi…caciones lo conocido de la física estándar, esto sólo es coherencia en el sistema y consistencia, pero no quiere decir que la naturaleza sea asi, en el futuro con resultados concretos, experimentos especiales y observaciones detalladas y metículosas, se descartarán estos modelos o deberán tomarse verdaderamente en serio. Finalmente se comenta, que no existe en el presente una prueba observacional directa o experimental que permita considerar los modelos brane como reales o ciertos, pero no pueden descartarse tampoco, ya que son consecuencia de un análisis lógico y coherente de las teorías y marcos conceptuales de la física actual. References [1] M. Szydlowski, M. P. Dabrowski, W. Godlowski, Astro-ph/0212100v2. [2] M. Szydlowski, M. P. Dabrowski, W. Godlowski, Astro-ph/0212100v3. [3] L Randall, R. Sundrum, Phys. Rev. Lett., 83 (1999), 3370. [4] L Randall, R. Sundrum, Phys. Rev. Lett., 83 (1999), 4690. [5] J. Garriga, T. Tanaka, hep-th/9911055v4 [6] D. Langlois, qr-qc/0207047v1 [7] T. Shiromizu, K. Maeda, M. Sasaki, Phys. Rev. D 62, 024012 (2000). [8] Poisson. E, An advanced course in general relativity, Unv. Guelph, 2002. [9] Maartens. R, Geometry and dynamics of the Brane World, gr-qc/0101059v2. [10] S. Mukohyama, T. Shiromizu, K. Maeda, Phys. Rev. D 62, 024028 (2000). [11] C. Barceló, M. Visser, hep-th/0004056v2. [12] Collins. P. D. B, Martin.A. D, Squires. E. J, Particles Physics and Cosmology, John Wiley and Sons, 1989. 11
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica REFERENCES [13] T. Shiromizu, K. Maeda, M. Sasaki, Phys. Rev. D 62, 024012 (2000). [14] Poisson. E, An advanced course in general relativity, Unv. Guelph, 2002. [15] Maartens. R, Geometry and dynamics of the Brane World, gr-qc/0101059v2. [16] Maartens. R, Brane-World Gravity, Inst. Cosmoloy and Gravitation, Unv. Portmouth. U.K, 2004. [17] E. Flanagan, S. H. Henry, I. Wasserman, Phys. Rev. D 62, 044039 (2000). [18] P. Binetruy, C. Defayet, U. Ellwanger, D. Langlois, hep-th/9910219 [19] M. Szydlowski, M. P. Dabrowski, W. Godlowski, Astro-ph/0212100v2. [20] M. Szydlowski, M. P. Dabrowski, W. Godlowski, Astro-ph/0212100v3. [21] P. Horava, E. Witten, Nucl. Phys. B460 (1996), 506, ibid B475, 94. [22] J. Garriga, T. Tanaka, hep-th/9911055v4 [23] R. Caldwell, D. Langlois, qr-qc/0103070v1 [24] S. Mukohyama, T. Shiromizu, K. Maeda, Phys. Rev. D 62, 024028 (2000). [25] C. Barceló, M. Visser, hep-th/0004056v2. [26] J. Lykken, L. Randall, The Shape of Gravity, hep-th/9908076V1. 12