En esta misma línea, Skovsmose (1994a) suscribe también la tesis de que la matemática tiene la capacidad de moldear –“formatear”– a la sociedad, por ser el principio básico para el diseño de la tecnología, particularmente de aquella que sustenta los sistemas de informa- ción y comunicación.
Que esta ingerencia fundamental de la matemática continuará en el futuro queda claro, por ejemplo, en el testimonio de P. Grif?ths, Secretario de la Unión Matemática Internacional, quien con- cluye así su reporte acerca de las matemáticas ante el nuevo milenio: “Los mate- máticos nos planteamos dos objetivos ahora que entramos en un nuevo milenio. El primero es el de ser capaces de mantener la tradicional fortaleza de nuestra investigación bá- sica, que es semillero de nuevas ideas y nuevas aplicaciones. El segundo es ampliar nuestro con- tacto con el mundo que está más allá de la ciencia” (Grif?ths, 2000, p. 41).
3. La educación matemática De todo lo anterior, puede inferirse, pues, que la matemática está en el centro de la paradoja de la inclusión. Ahora bien, ¿qué significa esto para nosotros como docentes de matemática?
En primer lugar, debemos plantear- nos el papel que debe tener la educación en un escenario como el descrito. Por- que, de entrada, se presenta una nueva paradoja, la paradoja de la ciudadanía, que alude a que “por un lado, la educa- ción parece dispuesta a preparar para el ejercicio de una ciudadanía activa, pero por el otro, parece garantizar la adap- tación de los individuos al orden social establecido” (Skovsmose y Valero, 2002, p.386). Para afrontar esta segunda paradoja, y so pena de convertirse en cómplice de los desequilibrios que fomenta la actual globalización, la educación debe adoptar una postura crítica. Esto signi?ca que debe investigar las condiciones en las que se adquiere el conocimiento, que debe estar atenta para identificar y evaluar los problemas que se presentan en la sociedad, y que debe convertirse en una fuerza de reacción frente a tales situaciones problemáticas (Skovsmose, 1994a).
Este planteamiento coincide con el que ya ha sido sustentado por diversos autores desde hace algún tiempo y ante otros fenómenos de exclusión. Así, y en nuestro medio latinoamericano, Paulo Freire considera a la educación como práctica de la libertad (Freire, 1969, 1970), es decir, como una acción de conocer, una aproximación crítica a la 7
realidad, pues sólo en su relación dialéctica con la realidad puede la educación concebirse como un proceso transformador, de constante liberación del hombre. Para ello, debe promover la concientización, proceso que permite problematizar la realidad y percibir las restricciones que impone, con el ?n de dar paso a una acción transformadora.
La educación matemática debe en las instituciones y en las acciones de la sociedad, así como en las decisiones de alcance público que nos afectan como ciudadanos.
La educación matemática que planteamos se inscribe, pues, en un proyecto educativo que tiende a formar a las personas para que aprendan no sólo a analizar críticamente su entorno, sino también a participar en su transfor- situarse en este ámbito crítico. Skovsmose (1994b) –en una línea general ya iniciada por Freire– le asigna como objetivo propiciar la alfabetización matemática de los individuos. Esto signi?ca atribuirle el propósito de formar ciudadanos críticos, mediante un empo- deramiento que permita a docentes y alumnos reorganizar y reconstruir sus interpretaciones relativas a las institu- ciones sociales. Es decir, capacitarlos para discutir críticamente la utilización de la matemática en el diseño tecnoló- gico y, por esta vía, las condiciones a que se ve sometida su vida por la aplicación mación. Para que la declaración anterior no quede reducida a un mero discurso de relleno, debemos destacar las dimen- siones del conocer que se intenta cons- truir en el ámbito de una educación matemática crítica.
La primera dimensión de este conocer podría calificarse como un conocer matemático. Nos estamos re?riendo al dominio de los conceptos y procedimientos propios de la matemática, así como a la adquisición de los procesos, habilidades, destrezas y competencias propios de la disciplina. basadas en la aplicación de conceptos y de procedimientos matemáticos.
Lograr un conocimiento tecnológico signi?ca, pues, descubrir la matemática presente en los sistemas que rigen nuestra vida como personas y como grupos de ciudadanos. Sistemas que se re?eren a situaciones que van desde lo más cercano (la organización del trans- porte público, el contenido de los recibos de servicios tales como luz, teléfono, agua…, la formación de los precios de las cosas, las transacciones comerciales, de esta tecnología. Alcanzar este conocimiento es algo 8 En otras palabras, ubicarnos en el contexto de una educación matemática crítica es recalcar su intencionalidad transformadora, su estar al servicio de un proyecto alfabetizador de la población, que le permita a ésta comprender y analizar críticamente la realidad circun- dante, el trasfondo ideológico que impera fundamental y absolutamente necesario, imprescindible. Pero –contra lo que pudiera creerse– no es un fin en sí mismo, sino un requisito indispensable para una segunda dimensión: el conocer tecnológico. Este tipo de conocimiento se re?ere al de las aplicaciones basadas en modelos matemáticos, es decir,
la organización de los espacios públicos, la toma de decisiones en situaciones probabilísticas, etc.) hasta lo más so?sticado.
Pero todavía más allá de esta dimen- sión existe una tercera, la del conocer re?exivo. Este conocer se re?ere a los
aspectos sociológicos y éticos inhe- rentes a los objetivos y a la forma en que se maneja esa tecnología basada en modelos matemáticos. Desarrollar el conocer re?exivo signi?ca fomentar la capacidad para descubrir y analizar críticamente las estructuras tecnológi- cas y formales que actúan dentro de la sociedad, utilizando, justamente para ese descubrimiento y ese análisis, los conocimientos matemáticos construi- dos previamente.
Skovsmose (1994b) insiste en este tercer tipo de conocer como una especie de metaconocimiento acerca de la tecno- logía, que nos permite verla en un con- texto más amplio, es decir, en el contexto de las implicaciones sociales, ecológicas, económicas y políticas. No puede haber alfabetización matemática si no se alcanza este tercer nivel del conocer, ya que las competencias matemática y tecnológica no poseen de suyo la capacidad de predecir y de analizar los resultados de su propia producción.
De?nitivamente, la consecución de esta dimensión del conocer re?exivo es la que de verdad nos posibilita, plena y acertadamente, la participación en la transformación de nuestro entorno, ya que es la que nos permite alcanzar un nivel de concientización acerca de la realidad –por la vía de su problematiza- ción, como lo sugería Freire–, paso previo y necesario para intentar su transformación. Pero, a su vez, el cono- cer re?exivo no tiene ningún sentido si no puede referirse a los dos anteriores. Simplemente, porque no puede cons- truirse cabalmente sin los cimientos de los conoceres matemático y tecnológico.
En resumen, la propuesta funda- mental de construir un verdadero pen- samiento matemático es la de lograr desarrollar en nosotros, docentes, y en nuestros alumnos –constituidos todos en comunidad–, ese conocer re?exivo asociado a la construcción del conoci- miento matemático.
4. Nuestra educación matemática Una reacción lógica ante los plantea- mientos anteriores debe ser, sin duda, la de preguntarnos por dónde andamos nosotros. Es decir, si la concepción que tenemos de la matemática, y la praxis de su enseñanza, se ajustan a la perspec- tiva de una educación matemática crítica concebida en los términos propuestos. Porque, ante el reto de exigirnos un desarrollo del pensamiento matemático dentro de los lineamientos presentados, necesitamos tomar en cuenta la situación en que se halla la construcción del pensamiento matemático en nosotros, los docentes, y en nuestros alumnos.
Aunque sea difícil generalizar, se puede a?rmar que todos tenemos una idea bastante aproximada de la situa- ción, recogida de diversas evaluaciones hechas al respecto. He aquí algunos de sus trazos más destacados:
• Una concepción negativa acerca de la matemática, considerada como un área excluyente y discriminadora, accesible a unos pocos privilegiados. 9
• Un aprendizaje de la matemática caracterizado como mecánico, repe- titivo, memorístico, alejado del desarrollo de procesos y de la reso- lución de problemas, carente de significado y, en buena medida, desconectado de la vida.
• Ausencia, en la plani?cación de la enseñanza de la matemática, de las dimensiones relativas a las aplica- ciones de la matemática y a la re?e- xión acerca de su uso en la resolu- ción de los problemas humanos. • Una planificación por proyectos e duc at ivo s – c u a ndo e x i s t e – insuficientemente desarrollada, y enfrentada a la profundización de los • Falta de comprensión de la eva- luación como un acompañamiento en el proceso de formación mate- mática de los estudiantes. lezas que debilidades. Las situaciones concretas deben ser muy diversas. Pero lo que sí es cierto es que tales síntomas se hallan presentes en muchas de conocimientos matemáticos. • Desconocimiento de suficientes nuestras escuelas. De todos modos, queda abierta la re?exión y la discusión 10 • Una falta de desarrollo, en docentes y alumnos, de factores afectivos y actitudinales positivos hacia la matemática y hacia su aprendizaje.
• En el saber y hacer de los docentes, una mecanización y falta de re?e- xión en relación con su trabajo en el área, así como poco dominio de los contenidos y de la didáctica de la matemática.
• Ausencia de la resolución de proble- mas como vía primordial para desa- rrollar el conocimiento matemático. experiencias exitosas en el campo de la enseñanza de la matemática que puedan servir como referentes para el trabajo propio.
• Dotación insu?ciente de recursos bibliográ?cos y didácticos.
Es muy probable que no todos nuestros centros presenten la totalidad de estos síntomas y que, incluso, en algunas de las áreas indicadas –apren- dizaje en el aula, motivación, praxis docente, plani?cación, recursos docen- tes, evaluación…– existan más forta- acerca de la situación que se presenta aquí, en mi escuela, y en las redes de escuelas a?nes a la mía…
Pero la idea no es pintar un pano- rama tan sombrío que sólo pueda llevarnos al desaliento y a la inacción. Todo lo contrario. Se trata de tocar piso, de saber de dónde arrancamos… y de avanzar hacia la meta de una construc- ción del pensamiento matemático que nos deje realmente satisfechos, a la luz de los planteamientos de una educación matemática crítica.
ENTRE 5? 16 X 25? ¿Cuál puede ser el punto de partida para el avance hacia esta meta? Antes de intentar contestar esta pregunta clave –y para que no todo sean caras serias en plan de reflexión– vamos a proponer algunas cuestiones y preguntas acerca de temas matemáticos, junto con la invitación para intentar resolverlas. A lo mejor, además de saber formular sus respuestas, podemos llegar a percibir qué relación tiene el hecho de saber resolver Así que nos tomamos nuestro tiem- po, y adelante.
¿QUé NúMERO ES MAYOR: 14 DECENAS O 1.395 DéCIMAS?
¿UN TRIáNGULO PUEDE SER, SIMULTáNEA- MENTE, ISóSCELES Y OBTUSáNGULO?
¿POR QUé NúMERO SE HA MULTIPLICADO 43,7 PARA OBTENER COMO RESULTADO 0,437? ¿CUáL DE ESTOS NúMEROS ES MAYOR: 266, 344, 533?
¿CUáNTAS CENTENAS TIENE EL NúMERO 4.384,109?
CUANDO ALGUNA(S) CIFRA(S) DEL MINUEN- DO ES(SON) MENOR(ES) QUE SU(S) CORRES- PONDIENTE(S) DEL SUSTRAENDO,¿HAY ALGUNA OTRA FORMA DE REALIZAR LA RESTA QUE NO SEA LA DE “QUITAR PRESTADA” UNA UNIDAD A cuestiones matemáticas con la pregunta relativa a cuál es el punto de partida para ¿CóMO SE CLASI?CAN LOS PARALELOGRA- LA CIFRA DE LA IZQUIERDA EN EL MINUENDO? mejorar nuestra situación en cuanto a la MOS, TOMANDO COMO CRITERIO SUS ¿EXISTE ALGUNA FRACCIóN ENTRE 7/9 Y 8/9? construcción del pensamiento matemá- tico en nuestros centros… DIAGONALES? ¿POR QUé SE LLAMA NUMERADOR AL NúMERO 5. Un poco de ejercitación previa ¿PODEMOS SUMAR, RESTAR Y MULTIPLICAR DE IZQUIERDA A DERECHA? ¿POR QUé? QUE SE ENCUENTRA EN LA PARTE SUPERIOR Y DENOMINADOR AL QUE SE ENCUENTRA EN LA PARTE INFERIOR DE UNA FRACCIóN? Y una sugerencia que consideramos muy pertinente. No nos limitemos al intento de resolver estas cuestiones ¿CUáL ES EL RESTO DE DIVIDIR 2.003156 ¿PUEDO CONSTRUIR UN CONJUNTO DE 20 DATOS ENTEROS CUYA MEDIA ARITMéTICA SEA 13, aplicando nuestros conocimientos matemáticos… y ya. Es muy importante que vayamos tomando conciencia del proceso que seguimos para su resolución, paso a paso, así como de los elementos ¿POR QUé, PARA OBTENER EL M.C.D. O EL M.C.M. DE DOS NúMEROS, DEBEMOS DESCOMPONER PREVIAMENTE CADA UNO DE ELLOS EN SUS FACTORES PRIMOS? ¿SERá QUE NO HAY OTRO PROCEDIMIENTO PARA OBTENERLOS? SU MEDIANA 15 Y SU MODA 9?
¿CUáL ES LA PROBABILIDAD DE QUE, AL LANZAR DOS DADOS SEGUIDOS, LA DIFERENCIA ENTRE LOS PUNTOS DEL PRIMERO MENOS –cognitivos, actitudinales, emociona- les…– que se presenten en dicho proceso. ¿DE CUáNTAS MANERAS SOY CAPAZ DE LOS DEL SEGUNDO SEA AL MENOS 2? Como recalcaremos posteriormente, ésa es la forma de “estudiar matemática” propia de un docente, que siempre piensa en cómo se desenvolverían sus alumnos a la hora de afrontar estas mismas tareas…, para poder entenderlos a partir de la propia REALIZAR MENTALMENTE LA MULTIPLICACIóN
¿QUé FRACCIóN DE UNA CANTIDAD TOTAL ES LA MITAD DE LOS DOS TERCIOS DE LOS TRES CUARTOS DE DICHA CANTIDAD? ¿POR QUé, AL SUMAR DOS FRACCIONES, SE MULTIPLICAN EN CRUZ NUMERADORES Y DENOMINADORES, Y LUEGO SE SUMAN ESOS PRODUCTOS PARA OBTENER EL NUMERADOR DE LA FRACCIóN SUMA? ¿Y CóMO SE HACE SI SE TRATA DE SUMAR TRES O MáS FRACCIONES? experiencia como “estudiante”. 11
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