historia. ¿QUé SE OBTIENE CUANDO A LA SUMA DE DOS NúMEROS SE LE AGREGA SU DIFEREN- CIA? ¿Y SI A ESA SUMA SE LE RESTA SU dice, ?nalmente, nuestra recién vivida experiencia de resolver los ejercicios anteriores? problematizador y creativo. Y también su valor cultural, como disciplina clave en la aventura del desarrollo del conoci- DIFERENCIA? ¿QUé CONCLUSIONES PODE- MOS SACAR DE ESTOS DOS RESULTADOS? Probablemente, la respuesta será casi unánime: Necesito profundizar en miento de la humanidad a lo largo de su 12 ¿SOY CAPAZ DE ESTIMAR (DAR EL VALOR APROXIMADO DE) EL COCIENTE DE LA DIVISIóN 0,00125 : 391?
6. ¡A estudiar matemática…! Bien. Esperamos que la ejercitación anterior haya sido productiva, que nos haya hecho re?exionar acerca de nues- tras fortalezas y debilidades en el terreno de nuestros conocimientos matemáticos y acerca de cómo presen- tamos estos temas a nuestros alumnos. Y que nos hayamos tomado un descan- sito antes de proseguir… Ahora, vamos a intentar responder a la pregunta que nos quedó pendiente antes de la ejerci- tación matemática.
¿Cuál puede ser el punto de partida para el avance hacia la meta de una construcción del pensamiento matemá- tico que nos deje realmente satisfechos, a la luz de los planteamientos de una educación matemática crítica? Para llegar a su respuesta, tratemos de contestar a estas otras preguntas: ¿Qué nos dice nuestra doble experiencia como “estudiantes” de matemática y como docentes de la misma? ¿Qué nos mis conocimientos matemáticos, nece- sito tener seguridad en mi desempeño matemático: no puedo dar lo que no tengo…
Tenemos que “estudiar” matemá- tica, mantener permanentemente abierta la puerta de la formación en esta área del conocimiento, en esta forma de pensamiento. Este es el punto de partida. Insuficiente, como todo punto de partida. Pero absolutamente necesario.
Las razones que avalan este plan– teamiento son diversas y alcanzan tanto el ámbito de lo estrictamente individual como de lo colectivo. Es decir, tienen que ver con la esfera de la formación personal y con la que nos atañe como educadores, como responsables de la formación de nuestros alumnos y de la transformación de nuestro entorno comunitario.
En este orden de ideas, tenemos que recalcar el valor formativo que posee la matemática, y su estudio, como forja- dora de un pensamiento racional, sis- temático, lógico y, a la vez, indagador, Pero una de las razones fundamen- tales que debe impulsarnos a su apren- dizaje es la percepción de su carácter esencial para constituirnos –nosotros y nuestros alumnos– en ciudadanos críticos y participativos en la transfor- mación de nuestro entorno, por las razones esgrimidas anteriormente.
En este sentido, la construcción del pensamiento matemático resulta insustituible para nosotros y para nuestros alumnos. La ausencia de este pensamiento no puede ser llenada por ninguna otra presencia. Al igual que entendemos que la alfabetización –referida al campo del manejo básico de la lectura y de la escritura– es fundamento imprescindible para la formación integral de una persona y para posibilitar su participación y su aporte en la vida social y cultural, debemos comprender que la alfabeti- zación matemática es igualmente imprescindible. Y que ambas alfabeti- zaciones –en el lenguaje y en lo mate- mático– llaman a progresivas capaci- taciones a lo largo de la vida.
negativa. 7. Pero, ¿cómo es la matemática, el pensamiento matemático, que hay que construir?
7.1. La concepción de la matemática Pregunta muy pertinente, porque la matemática es una vieja amiga –o “enemiga”… – en el devenir de nuestra experiencia como estudiantes y como docentes. Por eso es muy importante saber qué pensamos de la matemática como disciplina, porque este pensa- miento va a ser clave para determinar lo que sentiremos acerca de su aprendi- zaje y de su enseñanza. Y sobre esto va a versar nuestra primera re?exión.
Probablemente tenemos catalogada a la matemática como una de las áreas de estudio más desagradables y difíciles. Claro que éste es un juicio derivado de la experiencia de haber sido (o de ser todavía) estudiantes de matemática y de ser (con mayor o menor éxito) docentes de la misma; pero quizá no nos damos cuenta de que una de las barreras que nos separan de esta disciplina, de su aprendizaje y de su enseñanza, es, precisamente, este tipo de opinión
Quizá estamos viendo la matemática como una ciencia abstracta y estática, basada en fundamentos absolutos, cuya única forma posible de presentación es mediante expresiones formalizadas, fruto de un razonamiento deductivo impecable, y en la que sólo a los grandes matemáticos (cuyo trabajo casi nadie conoce ni entiende) les es permitido inventar, ensayar y construir.
Una matemática de esta natura- leza, ya hecha, intocable, lógicamente debería transmitirse de la misma forma en que se recibe, so pena de traicionarla y des?gurarla. La didác- tica de la matemática que se deriva de aquí es simple: el docente debe ser un expositor del contenido matemá- tico; y el alumno, un sujeto repetidor de lo recibido.
Pues bien, este enfoque debe ser cuestionado. La matemática es fruto de un proceso de construcción humana como respuesta a la tarea de resolver problemas y, como tal, fruto de un proceso cultural, imposible de ser separada del contexto histórico y social en que se elabora. Y, como construcción humana, también es falible.
Verla de esta forma, como un proceso y no como un producto elaborado y formal que hay que transmitir, es determinante para entender la matemática y para trabajarla en el aula. Es considerarla como una forma de pensamiento abierto, con margen para la creatividad y el pensa- miento divergente, que tiene su modo peculiar de integrar valores, hábitos, formas de razonamiento y expresión, y procesos tales como disciplina mental, racionalidad, habilidad para resolver problemas, desarrollo de la intuición, de la memoria, de la transferencia, de la solidaridad… Es ver la matemática como o?cio y no como lección. Es entender que lo que hacemos con nuestros alumnos puede parecerse a ese proceso de construcción histórica de los conoci- mientos matemáticos.
Quizás esta re?exión de entrada nos pueda resultar, en primer lugar, dolorosa, al percibir la distancia a la que nos encontramos, no sólo de la matemática, sino también de esta forma de percibirla como o?cio. Distancia hecha, probable- mente, de muchas experiencias perso- nales negativas, de muchos desencuen- tros. No podemos eludir esta impresión: que éste sea nuestro punto de partida. Pero tenemos que estar claros en que 13
nuestra andadura como docentes arranca con la disposición para ver la matemática, para encontrarnos con ella, para construirla, de otra manera. Porque así será la “manera” en que afrontaremos su aprendizaje en lo personal y su en que me la están presentando ahora, necesito tener con ella un encuentro distinto. Necesito verla y que me la presenten de otra forma, porque si no, todo será de nuevo lo mismo y la frus- tración será mayor. Diversidad en los sistemas de representación de un concepto Sea el caso de las fracciones. Su concepto se re?ere a que tomamos un todo o unidad, lo dividimos en n partes iguales, y de ellas consideramos m enseñanza en el aula. Para allá vamos (no hacia la frus- partes. Así, tenemos la fracción m/n. Algunas veces, esta conceptualización Pero, por otro lado y a pesar de todo, probablemente seguimos pensando en que las re?exiones anteriores no resuel- ven el problema de: tración, sino a intentar mostrar la matemática de otra forma…).
7.2. Matemática, unidad en la diversidad Generalmente, pensamos que en matemática hay caminos únicos para hacer las cosas. Así nos lo han ense- ñado… y así lo enseñamos… y así lo aprenden nuestros alumnos: “La maes- tra nos dijo que esto se hace de esta forma” es argumento concluyente para cerrar el paso a otra vía alternativa.
Pero esto no es así. No lo ha sido nunca en la historia de la matemática. Hay unidad en la disciplina, pero mu- chas maneras de llegar. ¿Qué signi?ca esto en concreto? Signi?ca que pueden existir diversos sistemas para repre- sentar un concepto, diversos procedi- suele hacerse con representaciones distintas, tales como “tenemos un pastel, o una fruta, o una lámina de papel, que dividimos en…”, proposición que suele plasmarse gráficamente en algo que llamamos sistema “parte-todo continuo”: un rectángulo (u otra ?gura geométrica) dividido en n partes interiores congruen- tes, de las cuales rayamos m partes.
Pero, habitualmente, para todas las tareas posteriores propuestas en el campo de las fracciones –comparación u ordenamiento, equivalencia, operaciones aritméticas, pequeños problemas de aplicación–, acudimos al sistema de representación m/n. De hecho, ¿alguna vez aprendimos –o enseñamos– a sumar fracciones en el sistema de representa- ción parte-todo continuo? 14 Y es verdad. Para que yo pueda ver la matemática y su estudio de la forma mientos o algoritmos para hacer ope- raciones, diversas formas de resolver un mismo problema, diversas vías para demostrar una proposición matemática. Veamos esto con algunos ejemplos. Manejar un solo sistema de repre- sentación de las fracciones no es sólo un error didáctico; es, sobre todo, una carencia de conocimiento matemático. Porque resulta que el concepto de fracción puede ser representado en diversos sistemas:
0,4 ? ? ? ? ? 40% • como número de la forma m/n; por ejemplo: 2/5 ran que una persona llega a dominar un concepto matemático sólo cuando es Habitualmente, suele procederse a descomponer ambos números en sus • como número decimal; por ejemplo: capaz de:
• identi?carlo en cualquiera de sus posibles sistemas de representación; factores primos; luego se toman los factores comunes con su menor exponente. Esta es la “regla”, cuya justi?cación rara vez se da, lo que genera • como expresión verbal; por ejemplo: “las dos quintas partes de” • representarlo en todos ellos; • saber pasarlo –“traducirlo”– de cada que su soporte fundamental sea la memoria, sometida al riesgo de no • como un grá?co parte-todo continuo; sistema a todos los demás. confundirse con el caso de la regla para el mínimo común múltiplo, “lamentable- por ejemplo: En el caso que nos ocupa, si una persona no posee la capacidad de mente” tan parecida… XXX XXX afrontar estas tareas con solvencia, no puede decirse que domine el concepto Pero, aun cuando se justifique el procedimiento anterior –y a ello • como un grá?co parte-todo discreto; por ejemplo, la parte del total de ?guras que representa el número de ? en el conjunto
• como un punto en la recta numérica; por ejemplo: de fracción. ¿Podemos asegurar que dominamos el concepto de fracción? ¿Esto es lo que aprendí de ese con- cepto? ¿Esto es lo que he enseñado posteriormente a mis alumnos?
Cerremos de momento este punto rati?cando la importancia de conocer y manejar con solvencia los distintos sistemas de representación de un concepto matemático. Y reconociendo que esta diversidad está inserta en la misma matemática que intentamos aprender y enseñar. volveremos posteriormente–, no debemos obviar otras formas de proceder igualmente válidas. He aquí algunas.
Si recurrimos al concepto de “máxi- mo común divisor” como el mayor de los divisores comunes de ambos números, encontramos en este breve enunciado un procedimiento sencillo y directo para su búsqueda:
• hallamos los divisores de ambos números. • detectamos los que son comunes. 0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 • seleccionamos el mayor de estos Diversidad en los procedimientos divisores comunes. • como un porcentaje; por ejemplo: operacionales Pasemos ahora al punto de la di- versidad en los procedimientos o al- Por ejemplo, para hallar m.c.d. (36, 54): Esta diversidad en los sistemas de representación de un concepto es algo tan importante, que los autores conside- goritmos operacionales. Vamos, por ejemplo, al caso del cálculo del máximo común divisor de dos números enteros. • D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} 15
18 • Divisores comunes: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• El mayor de los divisores comunes:
Este procedimiento puede ser muy útil y no requiere sino recordar el propio concepto de máximo común divisor de dos números enteros. Y puede tener una variante más sencilla para quienes están habituados a operar mentalmente (que deberíamos ser todos…). Veamos. alcance –y al de nuestros alumnos…– para hallar el máximo común divisor de dos números enteros. Dominar este tema supone, pues, conocer los diversos pro- cedimientos operativos y saber utili- zarlos, así como tener la capacidad de discernir cuál es el que mejor puede servirme en un caso concreto.
Diversidad en las formas de resolución de un problema oportunidad de resolverlos de todas las formas posibles a nuestro alcance.
Esta oportunidad puede presentarse en planteamientos muy sencillos. Por ejemplo, sea la siguiente situación: La maestra da, a cada uno de los seis niños de la primera ?la del salón, un paquete que contiene tres libros de lectura. Los libros son diferentes, pero en cada paquete hay uno de 50 páginas, otro de 35 y otro de 30. ¿Cuántas páginas van a leer entre los seis niños de la primera ?la? Basta con referirse a los divisores del menor de los dos números dados, 36 en el ejemplo anterior. Estos divisores se ordenan de mayor a menor: 36, 18, 12, 9,… Y se inicia una indagatoria pro- gresiva con ellos, preguntando si cada divisor considerado divide al otro número, a 54 en este caso. Así, ¿36 divide a 54? La respuesta es no, y se pasa al siguiente divisor: ¿18 divide a 54? La respuesta es sí, con lo que ya Una forma de llegar a la respuesta puede ser la de calcular el número de páginas que va a leer cada niño, es decir, que contiene cada paquete de libros (50 + 35 + 30 = 115), y luego multiplicar por 6 el resultado anterior (115 x 6 = 690). Pero también puede optarse por calcular cuántas páginas van a leer los 6 niños en cada tipo de libro (6 x 50 = 300; 6 x 35 = 210; 6 x 30 16 llegamos a obtener m.c.d. (36, 54). En efecto, hemos hallado el mayor de los divisores comunes.
Hay otro procedimiento, reconocido como el algoritmo de Euclides, que también puede utilizarse con el mismo propósito, sobre todo en el caso de números enteros relativamente grandes. No vamos a insistir en él ahora. Pero sí, dejar constancia de la existencia de al menos cuatro procedimientos a nuestro Nos referimos aquí a problemas matemáticos similares a los que pueden tener cabida en el aula. Muchos de ellos suelen ser muy sencillos y más bien representan situaciones apropiadas para aplicar modelos matemáticos –opera- ciones aritméticas, reglas, construc- ciones y fórmulas geométricas, algorit- mos estadísticos…–, una vez discernido el sentido del problema y justi?cada y planificada la forma de buscar su solución. Pero no debemos dejar pasar la = 180), y luego sumar estos totales parciales (300 + 210 + 180 = 690).
Lo que importa, como actitud, es no dar por concluida la actividad de resolver un problema sólo porque ya se llegó a la respuesta. Obtenida ésta y veri?cado su carácter de correcta, la actividad de resolución del problema continúa con la búsqueda de otras posibles formas de resolverlo. Y si conseguimos alguna(s), resulta interesante –e imprescindible–
R + 1 averiguar la razón de la convergencia de temporales planteadas en el enunciado, De donde se llega a la ecuación: esas diversas formas en la misma respuesta. se identi?can las dos incógnitas:
Sea J la edad actual de Juan 4 (R – 5) = 2 (R + 1) Por ejemplo, en el caso anterior, las dos formas de resolución del problema convergen en la misma respuesta por- que se ajustan a la siguiente identidad Sea R la edad actual de Roberto
Se escriben las ecuaciones corres- pondientes: Pero existe otro planteamiento (mo- delo) de carácter aritmético, inducido por las características atribuidas en el enunciado a los números que represen- matemática: J – 5 = 5 (R – 5) tan a ambas edades: La edad actual de Juan es un múltiplo de 5 (¿por qué?) y la 6 x (50 + 35+ 30) = 6 x 50 + 6 x 35 + 6 J + 1 = 3 (R + 1) edad que tendrá dentro de 1 año será x 30 La resolución de este sistema nos múltiplo de 3 (¿por qué?). De la conside- ración conjunta de ambas condiciones Identidad que corresponde a la propiedad distributiva de la multipli- cación con respecto a la suma. La pri- mera vía de resolución llegaba a la respuesta por la operación del miembro izquierdo de la identidad, mientras que la segunda vía lo hacía por la operación de su miembro derecho.
A veces, esta diversidad de formas de afrontar y de resolver un problema tiene que ver, incluso, con modelos tomados de distintos campos de la matemática: aritmética, álgebra, geometría… Véase el siguiente ejemplo, un poco más compli- cado: Hace cinco años la edad de Juan era cinco veces mayor que la de su hijo Roberto. El año que viene será el triple. lleva al resultado solicitado.
Pero existe otra instancia de modeli- zación, también de carácter algebraico. Si observamos que la diferencia entre las edades de Juan y Roberto es constante en el tiempo, podemos igualar las expresiones que nos reflejan dicha diferencia en los dos instantes de tiempo a los que se alude en el enunciado:
• Edad de Roberto hace 5 años: R – 5 • Edad de Juan hace 5 años (5 veces la de Roberto): 5 (R – 5) • Diferencia hace 5 años: 5 (R – 5) – (R – 5) = 4 (R – 5)
• Edad de Roberto dentro de 1 año: (J múltiplo de 5, y J + 1 múltiplo de 3) se obtiene un conjunto de posibles valores de J: {5, 20, 35, 50, 65,…}. El ensayo de estos valores, uno por uno, conducirá a la respuesta deseada.
Como puede apreciarse, el intento de resolución de este problema nos ha llevado a encontrar modelos y vías signi?cativamente diferentes, dos en el terreno de lo algebraico y uno en el de lo aritmético. Cada uno de ellos tiene sentido, y los tres nos llevan a la misma respuesta.
En otras oportunidades, un ejercicio o problema bien de?nido y referido a un contenido matemático preciso puede, ¿Cuántos años tienen actualmente? • Edad de Juan dentro de 1 año sin embargo, ser susceptible de más de una forma de resolución según sea el La resolución habitual de este pro- blema se plantea en el terreno alge- braico: Considerando las dos situaciones (3 veces la de Roberto): 3 (R + 1) • Diferencia dentro de 1 año: 3 (R + 1) – (R + 1) = 2 (R + 1) sistema de representación que se adopte para el concepto a que hace referencia el contenido en cuestión. Veamos, por 17
ejemplo, esta cuestión, planteada en la ejercitación anterior: ¿Qué fracción de una cantidad total es la mitad de los dos ter- cios de los tres cuartos de dicha cantidad?
Evidentemente, estamos en el terreno de las fracciones. El enunciado relata un proceso temporal. Primero, tengo la cantidad total. De ella, consi- deramos sus tres cuartos. De esta nueva totalidad, sus dos tercios. Y ?nalmente, la mitad de lo obtenido hasta aquí. ¿Qué fracción de la cantidad inicial representa esa porción ?nal? Para obtenerla, vamos Y con respecto a esta nueva tota- lidad, sus dos tercios vienen repre- sentados así:
Finalmente, la mitad de esta tota- lidad viene a ser la siguiente región:
De donde se puede inferir que la porción ?nal equivale a un cuarto de la totalidad inicial. Seguramente nos estaremos pregun- tando: ¿y cómo se hace en el sistema de siempre, en el de las fracciones de la forma m/n? Obsérvese que aquí las fracciones actúan como operadores, como indicativos de lo que hay que hacer. Por ejemplo, tomar los 3/4 de la cantidad inicial signi?ca que a la unidad inicial hay que dividirla entre 4 y luego multiplicar ese resultado por 3. Esto equivale a multiplicar 1 por 3/4. Al resultado de esta operación, 3/4, hay que multiplicarlo ahora por 2/3 (3/4 x 2/3 = 6/12 = 1/2). Finalmente, este último a trabajar en el terreno de las fracciones. Ahora bien, si nos situamos en el resultado debe multiplicarse por 1/2, con lo que se llega (1/2 x 1/2 = 1/4) a la 18 Pero, como ya dijimos, el concepto de fracción admite diversos sistemas de representación. Es muy probable, pues, que haya más de una vía de resolución, en función del sistema considerado.
Si nos ubicamos, por ejemplo, en el sistema parte-todo continuo, la totalidad se nos presenta como una región que, en atención a lo que sigue, mostramos dividida en 4 partes congruentes:
Si tomamos las tres cuartas partes de la totalidad inicial, llegamos a la siguiente región: sistema parte-todo discreto, podemos considerar un conjunto de determinado número de elementos. Este número total de elementos puede ser cualquiera; pero, en razón de que en el enunciado se habla de mitades, cuartas y terceras partes, parece adecuado y preferible considerar ese total como un múltiplo común de 2, 3 y 4; por ejemplo, 24.
Sigamos ahora el proceso del pro- blema. Las tres cuartas partes de 24 son 18; los dos tercios de 18 son 12; y la mitad de 12 es 6. Este valor ?nal equivale a la cuarta parte de la cantidad inicial, 24. Puede tomarse cualquier otro valor inicial y, lógica- mente, cambiarán los valores interme- dios, pero la relación ?nal será siempre la de 1/4. relación ?nal, 1/4 de la cantidad inicial.
La revisión de estos ejemplos nos está llevando seguramente a la conclusión planteada anteriormente: puede haber más de una manera de resolver un pro- blema matemático, bien sea porque podemos referirlo a modelos de distintos campos de la matemática, bien porque podemos situarnos en diferentes siste- mas de representación de un concepto, o bien porque podemos basarnos en propiedades y relaciones que nos per- miten una mayor libertad de acción. Lo importante es recordar que con la llegada a la respuesta del problema y su corres- pondiente veri?cación no se termina la resolución del mismo: siempre tendre- mos que hacer el esfuerzo de intentar otras vías de solución.
punto. En conclusión: diversidad Ya hemos hablado de la diversidad que ofrece la matemática, tanto en la re- presentación de los conceptos y en los procedimientos operativos, como en la re- solución de problemas. Igualmente po- dríamos hacerlo en lo relativo a la demos- tración de proposiciones matemáticas, aunque de momento obviaremos este
Una cosa debe quedarnos clara: la matemática es fuente de diversidad en sí misma, y así debemos entenderla… y abordarla. Y, posteriormente, trabajarla con nuestros alumnos. El desarrollo de nuestro pensamiento matemático pasa necesariamente por la adquisición de esa perspectiva de diversidad. De esta forma, podemos generar efectos transversales en nuestro aprendizaje: desarrollo del lengua– je, puesto que partimos de diversas repre- sentaciones conceptuales; desarrollo de procesos de pensamiento, tanto cogniti- vos como metacognitivos, pues –entre otras cosas– la diversidad nos obliga a establecer conjeturas, a tomar decisiones y a controlar los efectos de estas últimas; desarrollo de múltiples valores, incluido el del ejercicio de la libertad, al presentár- senos opciones concretas para elegir…
7.3. Matemática, ciencia de relaciones Se ha dicho que la matemática es fundamentalmente una ciencia de rela- ciones. Todo en ella está relacionado de algún modo. No hay cosas que queden aisladas, guindando solas. Así ocurre, por ejemplo, con las operaciones aritméticas de?nidas para los números enteros. Adición y sustracción son dos operaciones opuestas. Lo mismo ocurre con la multiplicación y la división. Por otro lado, la multiplicación de enteros puede considerarse como una suma repetida. Y análogamente, la división como una sustracción repetida, en la que el cociente indica el máximo núme- ro de veces que se puede restar el divisor del dividendo, hasta que quede un resto menor que el divisor.
Esta es la forma de ir construyendo el pensamiento matemático: relacionan- do lo nuevo con lo anterior y no constru- yendo compartimentos estancos, en los que los conocimientos matemáticos queden aislados unos de otros. Sólo mediante el establecimiento de estas relaciones puede dotarse de pleno senti- do a los conceptos y a los procedi- mientos operativos.
Un caso particular que nos interesa destacar es, justamente, el de la relación necesaria entre conceptos y procedi- mientos. Es muy probable que estemos manejando algunos algoritmos de una forma mecánica, memorística, cuya explicación y justi?cación no domine- mos –y que quizá no entendimos nun- ca…–. Y es también muy probable que hayamos trasladado este estereotipo de aprendizaje a nuestra enseñanza de la matemática en el aula.
Ejemplos de esta situación son, entre otros, las consignas de “ordena y suma” para proceder a la adición de cantidades; el “multiplicar en cruz” para sumar dos fracciones, o para compararlas, o para dividirlas; el “descomponer en factores primos y tomar los comunes con el menor exponente” para calcular el máximo común divisor de dos números; la norma inefable de que “lo que está sumando pasa restando…” a la hora de resolver ecuaciones. Y otros muchos ejemplos que todos podríamos agregar, en los que no se dice –o no se sabe– el porqué de tales reglas.
Retomando el ejemplo del cálculo del máximo común divisor de dos números enteros, sin duda nos debe llamar la atención la sencillez de los procedimien- tos segundo y tercero –propuestos más arriba– en comparación con el habitual de descomponer en factores primos y tomar los comunes con el menor expo- nente. Esta disparidad se debe a que este último procedimiento está más “alejado” del concepto de máximo co- mún divisor como el mayor de los di- visores comunes, y a que habitualmente no suele explicarse el nexo existente entre ambos, concepto y procedimiento. 19
alumnos. De esta forma, ambos pierden su sig- ni?cado y quedan aislados, refugiados en la sola memoria.
Para culminar este punto, no está de sobra añadir el efecto multiplicador –en cuanto a la comprensión de las ideas matemáticas y a su profundización– que tiene el establecimiento de una sólida relación entre conceptos y procedimientos cuando esta relación se formula en un contexto de diversidad, tanto en la representación conceptual como en la operatividad procedimental. En estas circunstancias, no es difícil imaginarse la potencia que adquiere la construcción del pensamiento matemá- tico, tanto en nosotros como en nuestros
Tenemos ya, pues, dos caracterís- porqué de los procedimientos matemá- ticos que utilizamos personalmente y en el aula.
7.4. Una matemática inserta en la cultura de cada sociedad Es cierto que la matemática cons- tituye un campo disciplinar universal, compartido por personas de todos los países y culturas. Este es un hecho innegable. Matemáticos de muy diver- sas partes del mundo conocen sus tra- bajos respectivos, a veces estudian los mismos temas e, incluso en ocasiones, llegan simultáneamente a los mismos resultados. Aún más, es la comunidad matemática mundial la que sirve de juez para validar los trabajos y las conclusio- nes a las que llegan los colegas indivi- dualmente o en grupo. propias de establecer relaciones y de resolver problemas en nuestra vida.
Plantearse, así, una matemática en la vida, signi?ca además reconocer y legitimar aquellos conocimientos, par- ticularmente los procedimentales, que a veces utilizamos aun cuando desco- nozcamos su fundamento matemático o no sepamos cómo explicarlo. Ejemplo de esta última situación puede ser el efectuar las sustracciones, no por la vía del “quitar prestado”, cuando se trata de restas “con di?cultad”, sino por la vía del “dar un vuelto”, tal como lo hacen los buhoneros, procedimiento que resulta más sencillo y práctico. Otro caso puede ser el del cálculo mental, o el de la es- timación, con su diversidad de modos de hacer. En todos estos casos debemos valorar y develar la carga matemática ticas de este pensamiento matemático que pretendemos construir en nosotros Pero este no es todo el campo de subyacente. 20 mismos: un pensamiento abierto a la diversidad, y en el que los procedimien- tos están íntimamente ligados a los conceptos y hallan en ellos su signi?- cado pleno. De esta forma podemos lograr una construcción e?ciente del conocer matemático, requisito básico –recordémoslo una vez más– e indis- pensable para alcanzar las dimensiones tecnológica y re?exiva que constituyen, escalonadamente, el objetivo de nuestra propuesta. Entre otras cosas, porque nos habituaríamos a preguntarnos el existencia de la matemática. Porque ella posee una vertiente de aplicación hacia otras ciencias y, en particular, hacia la vida. Esto signi?ca que, al abordarla individualmente o con nuestros alum- nos, debemos tomar en cuenta los con- textos que nos son próximos, tanto para buscar en ellos las situaciones a mode- lizar matemáticamente, como para en- contrar aquellas que sirvan de aplica- ción a los conocimientos adquiridos. Del mismo modo, significa aceptar en nuestro aprendizaje nuestras formas Otro punto a destacar, en referencia a una matemática en la vida, es el del lenguaje. La universalidad de la mate- mática como forma de pensamiento exige la utilización de un lenguaje pre- ciso, con una sintaxis rigurosa, que hay que conocer y asimilar. De hecho, muchos autores consideran la matemá- tica como un lenguaje.
Adquirir ese lenguaje formal es una meta del aprendizaje de la matemática, a todos los niveles. Pero eso no signi?ca
dencia. que la rigurosidad de su uso deba ser la misma en todos los niveles, ni que el lenguaje formal deba ser necesaria- mente el lenguaje de partida. La impo- sición desencarnada del lenguaje mate- mático formal, sin ir acompañada por la respectiva formación de significado, acentuaría nuestros niveles de depen-
En consecuencia, es muy impor- tante poder utilizar nuestro lenguaje corriente, poder “dialogar” –entre nosotros o entre los propios alumnos– a la hora de estudiar la matemática, hacerlo en pequeños grupos y permi- tirnos expresar nuestras ideas matemá- ticas con nuestras propias palabras. Y hacia esta meta debe tender también la exposición que hagamos de cualquier contenido matemático.
8. Estudiar la matemática… como docentes Muy bien. Hemos hablado de la ne- cesidad de construir el conocer mate- mático como punto de partida indispen- sable para desarrollar nuestro pensa- miento matemático y el de nuestros alumnos, en el marco de una educación matemática crítica. Hemos planteado una matemática abierta a la diversidad, que establece una red de relaciones entre conceptos y procedimientos, y que también se mani?esta en cada cultura según formas propias…
Vamos a estudiar esta matemática. Pero no lo vamos a hacer como si fué- ramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser evaluados, y ya. No. Nosotros somos docentes –do- centes de matemática en su momento– y este rasgo debe caracterizar la forma de construir nuestro pensamiento mate- mático. ¿Qué signi?ca esto?
• La presencia constante de la meta de nuestro estudio: alcanzar unos ni- veles de conocimiento tecnológico y re?exivo, lo cual debe abrir ese estu- dio hacia la búsqueda de aplicacio- nes de lo aprendido, hacia el análisis enseñamos en el aula, además de re?exionar acerca de cómo nuestro conocer limita y condiciona nuestro trabajo docente. De esta forma, integrar nuestra práctica docente en nuestro estudio.
• Como complemento a lo anterior, construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo podemos llevar al aula. Para ello, tomar conciencia del proceso que seguimos para su construcción, paso a paso, así como de los elemen- tos –cognitivos, actitudinales, emo- cionales…– que se presenten en dicho proceso. Porque, a partir de esta experiencia reflexiva como estudiantes, podremos entender y evaluar mejor el desempeño de nuestros alumnos –a su nivel– ante los mismos temas.
En definitiva, entender que la matemática es la base de su didáctica: la forma en que se construye el conoci- miento matemático es una fuente im- prescindible a la hora de plani?car y desarrollar su enseñanza. de los sistemas que dan forma a nues- tra vida y utilizan ese conocimiento matemático, y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos.
• Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo 21
• Adición 22 NUESTRO PROYECTO Hasta aquí hemos presentado las lí- neas maestras de lo que entendemos co- mo conocimiento matemático, paso pre- vio indispensable para lo que sigue. Lo que nos planteamos como objetivo en nuestro proyecto es el desarrollo de nuestro pensamiento matemático como docentes. Para contribuir a su logro, pro- ponemos un proceso de autoformación –individual y en el colectivo de cada es- cuela–, soportado por los Cuadernos que constituirán la serie siguiente, referida a tópicos que se tratan en los primeros grados de nuestros sistemas educativos:
• El sistema numérico decimal
• Sustracción • Multiplicación • Potenciación • División • Divisibilidad • Fracciones I: Concepto y representación • Fracciones II: Orden y operaciones • Razones y proporciones • Geometría: conceptos y construcciones elementales • Polígonos • Circunferencia y círculo • Cuerpos geométricos • Estadística y probabilidad I • Estadística y probabilidad II • Introducción al Álgebra. Ecuaciones • Funciones matemáticas La presentación y el tratamiento de estos temas intentarán ajustarse a los criterios formulados en este Cuaderno nº 1: se insistirá en la diversidad mate- mática (conceptos, procedimientos, resolución de problemas), en el esta- blecimiento de relaciones entre con- ceptos y procedimientos y en la incor- poración de elementos matemáticos presentes en nuestra cultura.
En cuanto al modo de uso de estos Cuadernos, sugerimos su estudio y asi- milación individual y colectiva “como do- centes”. De todas formas, como los textos no son cerrados, esperamos nuevos apor- tes, propuestas de tratamientos adiciona- les o alternativos, otros ejemplos, ejerci- cios y problemas, etc. La idea es ir eva- luando los Cuadernos para enriquecerlos permanentemente. Estamos empezando una tarea, una tarea que es de todos.
Referencias bibliográ?cas
– Castells, M. (1994). Flujos, redes e identidades: Una teoría crítica de la sociedad informacional. En: M. Castells et al., Nuevas perspectivas críticas en educación, pp. 13-53. Barcelona: Paidós. – Davis, P., Hersh, R. (1988). Descar- tes’ dream: The world according to mathematics. London: Penguin Books. – Fe y Alegría (2002). La Escuela Necesaria. Proyecto para la acción en Fe y Alegría. Maracaibo: Centro de Forma- ción Padre Joaquín. – Federación Internacional de Fe y Alegría (2002). Proyecto Latinoame- ricano de Formación de Educadores Populares. La propuesta formativa de Fe y Alegría. Documento de?nitivo. Cara- cas: Federación Internacional de Fe y Alegría. – Freire, P. (1969). La educación como práctica de la libertad. Madrid: Siglo XXI. – Freire, P. (1970). Pedagogía del oprimido. Madrid: Siglo XXI. – Grif?ths, P. (2000). Las Matemá- ticas ante el cambio de milenio. En La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Vol. 3, nº 1, 23-41. – Skovsmose, O. (1994a). Towards a critical mathematics education. En Educational Studies in Mathematics, 27, 35-57. – Skovsmose, O. (1994b). Towards a philosophy of critical mathematics education. Dordrecht: Kluwer Acade- mic. [Trad. por Paola Valero, Hacia una ?losofía de la educación matemática crítica. Bogotá: una empresa docente, 1999]. – Skovsmose, O., Valero, P. (2002). Democratic access to powerful mathe- matical ideas. En: L. D. English (Ed.), Handbook of international research in mathematics education, pp. 383-407. Mahwah: LEA.
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