Programación lineal

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Historia de la programación lineal

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas.

Variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.

Restricciones

Las restricciones pueden ser de la forma:

Donde:

• A = valor conocido a ser respetado estrictamente;

• B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;

• C = valor conocido que no debe ser superado;

• j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);

• a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;

• X = Incógnitas, de 1 a N;

• i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

Función Objetivo

La función objetivo puede ser:

Programación entera

En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales. Muchas veces la solución del programa lineal truncado esta lejos de ser el óptimo entero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta solución de forma exacta. El más famoso es el método de 'Ramificar y Acotar' o Branch and Bound por su nombre en inglés. El método de Ramificar y Acotar parte de la adición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al ser evaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero.

Aplicaciones

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.

Otros son:

• Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua.

• Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.

• Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;

• Solución de problemas de transporte.

• Ejemplo

Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo.

Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:

• La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día;

• La mina "b" otras 40 t/día; y,

• La Mina "c" produce 20 t/día.

En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:

• La central "d" consume 40 t/día de carbón; y,

• La central "e" consume 60 t/día

Los costos de mercado, de transporte por tonelada son:

• De "a" a "d" = 2 monedas

• De "a" a "e" = 11 monedas

• De "b" a "d" = 12 monedas

• De "b" a "e" = 24 monedas

• De "c" a "d" = 13 monedas

• De "c" a "e" = 18 monedas

Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vez la mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros, debido a que es el de más bajo precio.

En este caso, el costo total del transporte es:

• Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas

• Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas

• Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas

• Total 1.400 monedas.

Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal se tienen las siguientes ecuaciones:

Un ejemplo de producción en una planta de generación de energía

La gerencia de una planta termoeléctrica de generación de energía, que emplea carbón como combustible, está estudiando la configuración operativa de la planta a fin de cumplir las nuevas leyes de control de la contaminación medio ambiental. Para la planta en cuestión, las tasas máximas de emisión son:

• Máxima emisión de óxido de azufre: 3000 partes por millón (PPM)

• Máxima emisión de partículas (humo): 12 kilogramos/hora (kg/h)

El carbón se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depósitos cercanos a la misma. De aquí se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, en donde se pulveriza y alimenta directamente a la cámara de combustión, a la velocidad conveniente. El calor producido en la cámara de combustión se emplea para crear vapor que impulse las turbinas.

Se emplean dos tipos de carbón: tipo A, que es un carbón duro y de quema limpia con un-bajo contenido en azufre (bastante caro); y tipo 8, que es un carbón barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido en azufre, tal y como se puede observar en fa tabla 2. 1. El valor térmico en términos de vapor producido es mayor para el carbón A que para el carbón 3, siendo de 24000 y 20000 Ib por ton respectivamente.

Como el carbón A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 16 ton de carbón A por hora; sin embargo puede pulverizar hasta 24 Ion de carbón B por hora. El sistema de carga de La cinta transportadora tiene una capacidad de 20 ton por hora y es independiente del tipo de carbón.

Uno de los muchos interrogantes que la gerencia puede plantearse es el siguiente: dados los límites de emisión de los agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbón, ¿Cuál es la máxima producción posible de electricidad de la planta? La respuesta permitirá a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible para cubrir las demandas punta de energía.

Tabla 2.1. Emisión de agentes contaminantes

Elementos básicos

El modelo de Programación Lineal está formado por tes elementos básicos: a) Variables de decisión que tratamos de determinar, b) Objetivo (meta) que tratamos de optimizar y c) Restricciones que necesitamos satisfacer.

a) Variables

A corto plazo, las instalaciones de la planta son fijas. El único aspecto del problema que es controlable y que puede utilizarse para modificar la producción de la planta es la cantidad de cada tipo de carbón que se queme. Entonces, las variables de decisión del problema son:

X1 = La cantidad de carbón A utilizada por hora (ton/h)

X2 = La cantidad de carbón B utilizada por hora (ton/h)

En programación lineal a menudo se hace referencia a los aspectos controlables de un problema de decisión como actividades. Por lo tanto, las variables X1 y X2 representan los niveles de actividad de la quema de carbón A y carbón B, respectivamente.

HIPTESIS 1 DE PROGRAMACIÓN LINEAL:

DIVISISILIDAD: Todas las variables pueden asumir cualquier valor real.

Si las variables solo tienen sentido en el caso de tomar valores discretos pero tomar un valor real elevado (superior a 10) en la solución óptima, es aceptable considerarlas como continuas y redondear su valor

Muchas actividades en el mundo real pueden variar de forma continua, es decir son divisibles infinitamente. Por ejemplo, la cantidad de carbón quemado por hora puede ajustarse a cualquier valor dentro de unos límites razonables. Sin embargo, hay actividades reales que sólo pueden tomar valores enteros, por ejemplo el número de viajes de carbón necesarios para trasladar cierta carga de un lugar a otro o el número de equipos informáticos que debe adquirir una empresa.

Si la actividad real no es divisible de forma infinita; pero el nivel normal de actividad es un número grande, las condiciones de divisibilidad pueden servir como una aproximación conveniente. En general, esto significa que el valor de la solución es de decenas o mayor. Los valores fraccionarios tan sólo se redondean al entero más cercano. Por el contrario, si el nivel normal de actividad es relativamente pequeño, digamos menor que 10, se necesita recurrir a la programación entera.

HIPÓTESIS 2 DE PROGRAMACIÓN LINEAL:

CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD: Todas las variables son no negativas

Esta hipótesis refleja la naturaleza de la mayoría de ¡as actividades del mundo real; donde rara vez tiene sentido, dentro de un contexto económico o de ingeniería, hablar de niveles negativos de actividad. Sin embargo, esta consideración no significa una pérdida de generalidad. Cualquier número (positivo, cero o negativo) puede expresarse como la diferencia algebraica de dos números no negativos. Si una actividad puede ocurrir tanto en niveles negativos como positivos (por ejemplo, comprar o vender bonos), se introducen dos variables para esta actividad, X+ para niveles no negativos, y X- para niveles no positivos. Su diferencia X = X + – X- representa el nivel real de la actividad. Mediante este artificio tanto X+ como X- están restringidas a ser no negativas y son las llamadas variables irrestrictas o libres. De hecho, el software de optimización suele permitir al usuario definir directamente este tipo de variables como libres e interpretando que su rango de variación está entre menos y más infinito.

b) Función objetivo

El objetivo de la gerencia consiste en maximizar la producción de electricidad de la planta. Ya que la electricidad se produce mediante vapor y existe una relación directa entre la producción de vapor y la de electricidad, el maximizar ¡a producción de vapor es equivalente a maximizar la producción de electricidad. Por lo tanto, puede replantearse el objetivo de la gerencia como "encontrar la combinación de combustibles que maximice ¡a producción de vapor".

¿Cuánto vapor se produce para cualquier cantidad arbitraria de carbón utilizada? Una forma simple y sistemática de determinarlo se muestra en la tabla 2.2.

Tabla 2.2 Construcción de la Función objetivo

Vamos a expresar la cantidad de vapor producido en miles de libras. Por lo tanto, el carbón A produce 24 unidades y el carbón B, 20 unidades de vapor por toneladas de combustible. Entonces, la cantidad de vapor producida por hora es:

• (1)  24 X1 + 20 X2 – Z

El primer miembro de (1) se denomina función objetivo y Z es el valor de la función objetivo. Los coeficientes de las variables se denominan coeficientes de la función objetivo. El problema exige determinar los valores de X1 y X2 que maximicen el valor de Z. En la figura 2.1 se observa que (1) es una familia de rectas paralelas y que para cada valor que demos a Z tendremos una recta, cuyos puntos representan las posibles combinaciones de X1 y X2 que proporcionan la misma cantidad de vapor y en definitiva de energía. Por este motivo, se conocen como líneas de isoproduccion (isobeneficio o isocoste, en el caso de que la función objetivo fuera beneficio o costo respectivamente). También podemos observar que la función objetiva es lineal.

HITPOTESIS 3 DE PROGRAMACION LINEAL:

LINEALIDAD: Todas las relaciones entre variables son lineales

En programación lineal esto implica:

• Proporcionalidad de las contribuciones. La contribución individual de cada variable es estrictamente proporcional a su valor; y el factor de proporcionalidad es constante para toda la gama de valores que la variable puede asumir.

• Actividad de las contribuciones. La contribución total de las variables es igual a la suma de las contribuciones individuales, sea cual sea el valor de las variables.

Figura 2.1. Función objetivo

Una relación tal corno Z= 5X1 + 3 X1 + 2 X2 o Z = 24 X1 + 20 X2 para X1 < = 5 y 10 + 22 X1 + 20 X2 para X1 > 5 violaría la condición de proporcionalidad; mientras que Z = 24 X1 para X2 = 0, 20 X2 para X1 =0 y 22 X1 ÷ 18 X2 para X1 > O y X2> O violarla la actividad.

La hipótesis 3 implica beneficios constantes a escala e impide economías y deseconomías de escala. En la práctica esta condición posiblemente no se cumpla con exactitud; en particular para valores muy pequeños o muy grandes de actividad. Sin embargo, si se cumple en forma aproximada dentro del intervalo normal de los valores de solución, es posible emplear el modelo de programación lineal como una buena aproximación. Esta consideración también excluye el problema de los costes fijos cuando se presentan para valores positivos de la actividad, pero no para niveles cero.

Además de las condiciones de no negatividad, los niveles de actividad deben de cumplir ciertas restricciones que pueden ser de naturaleza física, económica o legal.

c) Restricciones

C1. Restricción de la emisión de partículas

La cantidad máxima de emisión de humo por hora en una planta está limitada a 12 kg. De acuerdo con la tabla 2.I, cada tonelada de carbón A produce 0.5 kg de humo y cada tonelada de carbón B produce 1 kg de humo. Si la planta quema X1 ton de carbón A y X2 de B2 la cantidad de humo total emitida a partir de ambos tipos de carbón es igual a su suma, que no puede exceder de 12 kg/h.

• (2) 0.5X1 + X2 <=12

Los coeficientes de las variables en las restricciones se denominan coeficientes técnicos y al segundo miembro de la desigualdad o término independiente se conoce como coeficiente del segundo miembro o parámetro del lado derecho de la restricción (en el software RHS -Right-Hand Side).

C2 Restricción de las instalaciones de carga.

El sistema de cinta transportadora que traslada el carbón de los depósitos al pulverizador tiene una capacidad de 20 ton/h. Por lo tanto, la restricción de carga seria:

• (3) X1+X2<=2º

C3 Restricción de la capacidad del pulverizador

La capacidad del pulverizador es de 16 ton/h para el carbón A o de 24 ton/h para el carbón B. En otras palabras, tarda 1116 h en pulverizar una tonelada de carbón A y 1124 h en pulverizar una tonelada de carbón B. Si la solución exige una combinación de ambos tipos de carbón, el tiempo que se tardará en pulverizar una mezcla de X1 ton de A y X2 de B es (1/16) X1 + (1/24)X2. Son admisibles sólo aquellas combinaciones de X1 y X2 que requieran cuando más 1h. Por lo tanto la restricción del pulverizador es:

Obsérvese la forma en que se ha superado la dificultad presentada por las diferentes tasas máximas. Estas tasas se han traducido a tiempos necesarios por tonelada y expresan la restricción en términos de tiempo en vez de capacidad.

C4 Restricción de la emisión de óxido de azufre

La emisión máxima de óxido de azufre no debe exceder de 3000 PPM en ningún momento. Dado que los dos tipos de carbón se queman en forma simultánea, se considera que la combinación de X1 tan de carbón A, y X2 ton de carbón B por hora, alimenta a la cámara de combustión corno una mezcla homogénea.

El X1/(X1 + X2) de la mezcla es carbón A con una tasa de emisión de óxido de azufre de 1800 PPM y X2(X1 + X2) de dicha mezcla es carbón B, con una tasa de emisión de 3800 PPM. La tasa de emisión de la mezcla es igual al promedio ponderado de las tasas individuales de emisión; en el que sirven como ponderaciones las fracciones utilizadas de cada carbón. Este promedio ponderado no puede exceder de 3000 PPM:

Multiplicando a ambos lados de la desigualdad por (X1 + X2) y reordenando términos, se obtiene la restricción:

(5) 1200X1 -300 X2 >=0

En la figura 2.2 se han representado las cuatro restricciones.

Formación general de un programa lineal

En resumen, el modelo matemático que hemos formulado para representar el problema anterior es el siguiente:

• Determinar los valores de las variables: X1 >= O y X2 >= O

• Que optimicen, maximicen en este caso (en otros puede ser minimizar) la función objetiva:

Max 24X1 + 20X2

• Y verifiquen las restricciones

0.5 X1 + X2 <= 12 (humo)

X1 +X2 <=20 (carga)

1.5 X1 + X2 <= 24 (pulverizador)

1200 X1 – 800 X2 >= O (azufre)

El planteamiento general de un programa lineal es el siguiente:

Determinar los valares de as variables decisión .XJ >= O; para, j = 1,2,..n que optimicen (maximicen o minimicen a función objetivo:

Donde: n es el número de variables,

m es el número de restricciones y éstas pueden ser igualdades o desigualdades del tipo <= o >=.

Los Cj, aj y bj son los parámetros del modelo.

HIPÓTESIS 4 DE PROGRAMACIÓN LÍNEAL: CERTIDUMBRE

Se asume que todos los parámetros del modelo cj aj y bj son constantes conocidas.

Región factible, solución gráfica y variables holgura

Para que una solución sea admisible la combinación de niveles de actividad debe satisfacer en forma simultánea todas las restricciones, incluyendo las condiciones de no negatividad. A tal solución se le denomina solución factible para el problema. El conjunto de todas las soluciones factibles forma la región factible o conjunto de soluciones posibles. Obsérvese en la figura 2.2 que el conjunto de soluciones posibles no depende de la función objetivo. Ésta es una interesante propiedad de la mayoría de los modelos de Investigación Operativa y tiene importantes consecuencias sobre el método de resolución y las propiedades de la solución óptima.

Si la frontera de una restricción no tiene puntos en común con la región factible, entonces esta restricción es redundante y puede eliminarse en consideraciones posteriores, ya que nunca limitará los valores de las variables. ¿Existe alguna restricción redundante en nuestro problema?.

En la práctica, cuando un problema tiene cientos de restricciones y cientos de variables rara vez es posible identificar si una restricción es redundante o no. Por fortuna, el algoritmo de resolución conocido como método simplex funciona eficientemente, aunque el planteamiento contenga restricciones redundantes.

Como el objetivo es maximizar fa producción de vapor de la planta, tendremos que determinar la recta más alta que contenga al menos una solución posible. Dicha recta es la que corresponde a Z = 408 y los niveles de actividad de las variables en la solución óptima son de X1 = 12 y X2 = 6 como puede observarse en la figura 2.3. Una combinación de 12 toneladas de carbón A y 6 toneladas de carbón B por hora maximiza la producción de vapor de la planta dentro de las restricciones físicas y legales impuestas a las variables.

Desde el punto de vista intuitivo, parece obvio que la solución óptima siempre ocurrirá en fa frontera de la región factible, ya sea en un punto extremo o en un lado del polígono. Como se verá en el análisis de sensibilidad, es la pendiente de la función objetivo la que determina en qué parte de la frontera estará situada la solución óptima.

Si el problema exigiera la minimización de la función objetivo ¿en que forma cambiaría el procedimiento gráfico para encontrar la solución óptima? Por ejemplo, se desea determinar la solución de coste mínimo para obtener una producción de vapor de, al menos, 216 unidades por hora y que el coste por tonelada es de 24 $ para el carbón A y de 15 para el B. Plantea y resuelve este, problema de forma gráfica.

En síntesis, podemos afirmar que una solución óptima es una solución factible con el mejor valor de la función objetivo. El mejor valor o el valor más favorable de la función objetivo será el más grande en los problemas de maximización o el más pequeño en los problemas de minimización.

No todos los problemas de programación lineal tienen finales felices. Por una parte, puede ocurrir que las restricciones sean inconsistentes en el sentido de que no exista ninguna solución factible. Y por otra, la región factible puede estar abierta en alguna dirección de manera que la función objetivo pueda incrementarse de forma indefinida y no exista solución finita (la solución es no acotada). Estos casos son poco frecuentes en la práctica. A menudo, tales soluciones son el resultado de errores o de representaciones incorrectas en la formulación matemática. Por tanto, al resolver un programa lineal podemos encontrarnos con cuatro casos:

• Solución única.

• soluciones alternativas (infinitas soluciones). En un modelo con dos variables ocurre siempre que la función objetivo corta al conjunto factible en un lado del polígono, para el mejor valor de la misma. En la práctica veremos temas posteriores cómo es un caso mucho más frecuente de lo que a priori pudiéramos pensar.

• No hay solución, porque ninguna combinación de variables cumple todas las restricciones.

• Solución no acotada.

Para cualquier solución factible, la diferencia entre el valor que toma la restricción y el coeficiente del segundo miembro se denomina holgura (para desigualdades<=) o exceso (para desigualdades >=). A menudo, resulta conveniente mostrar de manera explícita esta diferencia, introduciendo una variable adicional en cada restricción. A estas variables se les denomina variables de holgura o de exceso. Por conveniencia, se suele utilizar el término de variables de holgura para ambas. Tales variables están sujetas a las mismas consideraciones de divisibilidad y no negatividad que las variables decisión. Entonces cada restricción se convierte en una igualdad. Introduciendo las variables de holgura en nuestro ejemplo:

Las variables de holgura pueden interpretaba a menudo como recursos no utilizados o capacidad no utilizada para una solución dada. Por ejemplo, x3 es la cantidad de capacidad no utilizada de emisión de humo, y x4 la cantidad no utilizada de capacidad de carga. ¿Cuál es la interpretación correspondiente a x5? Debido a la forma en que se obtuvo la restricción del azufre no existe una interpretación simple para x6. Comprueba que x3 y x5 son cero en nuestro ejemplo, mientras que x4 = 2 y x6 = 9600.

Análisis de sensibilidad de los segundos miembros de las restricciones

Ahora vemos qué ocurre con la solución óptima cuando varia al segundo miembro de una restricción. Vamos a suponer que la gerencia está considerando la instalación de un equipo que puede reducir el humo en un 20%. Esto permitiría cumplir con las normas legales con una emisión no controlada de humo a partir de la cámara de combustión de hasta 15 Kg/h.

Figura 2.4. Función objetivo alternativa

Consideraremos en primer lugar que la emisión máxima permitida de humo se incrementó de 12 a 13 kg/h, permaneciendo iguales todos los otros coeficientes. Esto provoca un cambio paralelo hacia arriba en la restricción de humo. En la figura 2-5, puede verse como se agranda la región factible. En la nueva región factible Z = 408 ya no es el valor óptimo de la función objetivo, sino que su mejor valor se encuentra en el punto D. Por tanto, la solución óptima cambia de A a D. Esté cambio ocurre debido a que la restricción de humo se cumple estrictamente en la solución óptima del problema original. Ahora los nuevos niveles de actividad de las variables son X1 = 11 y X2 = 7.5. Esta disminución en X1 provoca una reducción en menos de 24 unidades en la producción de vapor, mientras que el incremento de X2 aumenta la producción en 30 unidades. El incremento es de 6. Entonces el nuevo valor máximo de la función objetivo será de z = 408 + 6 = 414.

La mejora en el valor óptimo de la función objetivo debido a un incremento unitario en el segundo miembro de una restricción se denomina coste de oportunidad o precio sombra de la restricción. En este caso, el coste de oportunidad de la restricción de humo es 6.

¿Qué sucedería si la emisión máxima de humo fuera de 14,15, 16 y 17 kg/h? En la figura 2.5 se puede observar cómo el área de la región factible se agranda por cada cambio hasta un máximo de 16. Comprueba que por cada cambio la función objetivo aumenta en 6.

Para un incremento superior a 16 la restricción de humo se vuelve redundante. Ahora la solución óptima estará restringida por las restricciones del pulverizador y del azufre, así como por la de carga. Por lo tanto, el coste de oportunidad de esta restricción es cero para valores mayores de 16.

La pregunta original requería determinar el incremento en la producción de vapor para un cambio en el nivel permitido de humo de 12 a 15 kg/h. Este será de 3 x 6 = 18 unidades de vapor/h.

¿Cuál es el costo de oportunidad de una restricción que no se verifique estrictamente en la solución óptima? Resulta claro que si una parte del recurso no se utiliza, esto es si la variable de holgura es positiva, las cantidades adicionales de ese recurso no tienen valor. Sólo aumentarían la cantidad de holgura. Por lo tanto, el precio sombra de tal restricción es cero.

Determina los precios sombra de las restricciones restantes. Observar la interesante relación entre el coste de oportunidad de una restricción y la variable de holgura asociada a la misma. Cuando un recurso se utiliza completamente su coste .de oportunidad es, por lo general, positivo (no negativo para ser más exactos) y su variable de holgura cero, mientras que cuando la variable de holgura es positiva el precio sombra es cero.

Los precios sombra proporcionan a la gerencia una valiosa información acerca de los beneficios que se pueden obtener al suavizar las restricciones. Si estos beneficios superan al coste que provoca suavizar una restricción dada, entonces tales cambios son atractivos.

Figura 2.5. Análisis de sensibilidad de los segundos miembros de las restricciones

Autor:

Universidad Peruana Unión