Límites a la Elección En la mayoría de los casos, cuando usted va a comprar algún bien, no sólo encuentra el bien que desea, sino que además encuentra otros productos que le hacen reflexionar sobre los bienes que llevará. Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente notorias para cualquier consumidor, y cualquier variación en las oportunidades deberá influir claramente sobre la elección
Se puede describir cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual gastan durante un período en m bienes, o en algunos. Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son positivos, a precios positivos, la restricción puede escribirse como: El Conjunto de Oportunidades
Restricciones Típicas Las restricciones pueden tomar diferentes formas que son: Muy pocos abrigos y más alimentos pueden ser más necesarios que una gran cantidad de abrigos. Y1+Y2 ³ p1x1+ p2x2 con Y1+Y2=Y El consumidor comienza el período 1 sin dinero, al mismo tiempo ahorra o pide prestado a una tasa de interés de cero, el ingreso se distribuye en los períodos Y1 y Y2 y todo se gasta, la restricción presupuestaria será:
No siempre es posible derivar directamente el conjunto de oportunidades; supongamos los siguientes casos: El primer bien es perfectamente divisible El segundo es disponible en cantidades discretas. El pan puede ser consumido al medio día por un individuo, ya sea en Santafé de Bogotá o en Santiago de Cali, pero no al mismo tiempo en ambas ciudades.
Restricciones no Lineales Imaginemos una economía de trueque y sea A la dotación inicial de alimentos y vestidos. Evitan al grupo que desea intercambiar ropa por alimentos a través de AC Eliminará las divergencias entre dichas tasas de intercambio, la línea discontinua BC. Aquellos que desean cambiar alimentos por ropa a través de AB
Otra forma de no linealidades : Si el consumidor desea gastar más ingreso en el período 1, deberá prestar a una tasa de interés y pagar en el período 2. el consumidor paga una mayor tasa por pedir prestado, la restricción será menos severa y será descrita por la línea ABE.
Múltiples Restricciones Si el individuo desea realizar una serie de elecciones entre una serie de bienes como deportes, ocio, educación, etc., a las que denominaremos xi . De igual forma, el consumir una unidad (i) requiere una cantidad de tiempo i=1,2,…….,n. Por lo cual las restricciones para el consumidor serán:
Preferencias Individuales Existen dos propiedades importantes en su lista: Primera, es posible comparar dos alternativas diciendo cuál de las dos es mayor; asimismo, una es más preferida que la otra, o cuando ella tiene el mismo nivel. Segunda, dada la naturaleza de las preferencias la misma, no es cíclica2, lo que quiere decir, si la primera alternativa es mayor que la segunda, y también mayor que la tercera, entonces la primera alternativa es mayor que la tercera.
El conjunto X puede ser un conjunto finito de alternativas o representar el conjunto de canastas de bienes disponibles. Una relación binaria sobre X, es una relación R de X a X, con el conjunto de pares ordenados (x , q) donde x Î X y q Î X. Los pares en la relación de R se dicen que satisfacen esta relación. Una relación de preferencia es un caso especial y se escribe x q sí (x, q) Î X ´ X satisface esta relación. Sí x entonces se dice que x es preferido a q.
Preferencias sobre Estas relaciones de preferencias se utilizan para caracterizar los deseos de los consumidores, por varias combinaciones de bienes. Los bienes son indexados de 1 hasta m. Una canasta de bienes es una colección de varias cantidades de esos m bienes, y la cantidad de cada bien en una canasta es un número real positivo.
Sea ? un orden de preferencias continuo tal que u(x) es una función de utilidad que represente a éstas. Si f (•) es una función estrictamente creciente de una variable singular, y f(u(x)) es la función compuesta y esta es una transformación monótona positiva de u(x), entonces esta también representa una función de utilidad. De lo anterior se deduce: Invarianza de la función de utilidad Que u(x1,x2) represente ? significa que u(x1,x2) > u(q1,q2) Û (x1,x2) (q1,q2) f(•) es una transformación monótona de u(x1,x2) > u(q1,q2) Û f(u(x1,x2)) >f(u(q1,q2)) De (2) se observa que f(u(x1,x2)) >f(u(q1,q2)) Û (x1,x2) (q1,q2)
Este requisito requiere que las preferencias entre las opciones no dependan de la forma en la cual ellas son presentadas. Invarianza en la descripción Problema: (126 individuos participaron en el experimento): Asuma que usted se enriquece en $300 más que hoy, y debe realizar una elección entre: Una ganancia segura de $100 (72% de los individuos eligieron esta opción). 50% de oportunidad de ganar $200 y 50% de oportunidad de no ganar nada (28% de los individuos eligieron esta opción).
Dicha propiedad requiere que los métodos de "extraer" las preferencias mantengan el mismo orden en ellas, entonces dos procedimientos diferentes deberán mantener el mismo orden en las preferencias. Invarianza en el procedimiento Tenemos: La lotería A da un pago de $4 con una gran certeza y un pago de $0 con una pequeña probabilidad. La lotería B da un pago de $16 con una probabilidad de un 30% y un pago de $0 con una probabilidad de 70%.
Conjunto de opciones bajo consideración. De acuerdo con Tversky (1996) uno de los supuestos básicos en una elección racional consiste en que cada alternativa tiene una utilidad que depende solamente de esa alternativa. Invarianza en el contexto Lo que quiere decir, que una opción no preferida, no puede preferirse si se adicionan nuevas alternativas al conjunto de elección. Lo contrario mostraría que no existe invarianza en el contexto. Esta hipótesis implica que si no existe invarianza, la “'parte del mercado' de x podría incrementarse al adicionar a {x, y} una tercera alternativa z que es claramente inferior a x pero no a y”.
El problema básico del consumidor Cualquier consumidor ha experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados cuando decide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Esta frustración no es más que la confirmación de que aun cuando se tienen preferencias por los bienes, éstas por sí solas no bastan, lo que quiere decir que, existen restricciones como la cantidad de dinero que poseemos en nuestros bolsillos para comprar dichos bienes.
Un consumidor selecciona una canasta que contiene dichos bienes descritos por el m vector en X = (x1, x2,…, xm) donde xi, i=1,.., m, representa la cantidad del bien i. Las preferencias del consumidor, sobre varias posibles canastas, se representan por la relación de preferencias ? sobre . = En la gráfica donde la restricción de presupuesto se define como el área sombreada debajo de la recta pi. Xi = y. La diagonal de esta región será perpendicular al vector de precios p. Si el presupuesto aumenta, dicha región también aumentará desplazándose a la derecha y, de lo contrario, a la izquierda. Para cualquier consumidor la restricción le indica que tanto U0 como U1 son asequibles mientras U2 no
Restricciones Múltiples Dualidad Primordialmente la dualidad expresa la relación entre los bienes por un lado y los precios por el otro. Es así como, el consumidor podrá elegir entre maximizar la función de utilidad sujeto a la restricción de presupuesto o, minimizar su gasto en una serie de bienes siempre y cuando, la función de utilidad permanezca constante. Si se tiene una función de utilidad continua y cuasi-cóncava. Cada gi(x) es convexa y X es un conjunto convexo.
Trayectorias de expansión Presuma que los precios están fijos pero el ingreso del consumidor lentamente se incrementa, entonces a partir de la colección de puntos resultantes se podría trazar una trayectoria en el ortante no negativo que se denomina trayectoria de expansión del ingreso. Esta trayectoria puede ser proyectada en un plano definido por dos bienes, mostrando dicha trayectoria la expansión del ingreso relativo a estos dos bienes de la siguiente forma:
La gráfica (2.7.a) muestra un conjunto de bienes normales: el consumo de los bienes x1 y x2 se incrementa cuando el ingreso se incrementa. Mientras que en la gráfica (2.7.b) el bien x2 es un bien inferior, lo que quiere decir que, el consumo cae en tanto el ingreso aumenta. Cuando la demanda de un bien se grafica como una función del ingreso, el resultado se conoce como La curva de Engel para dicho bien. Adicionalmente, en el caso de que las preferencias sean homotéticas, se cumple que u (tx)= tu(x) "t > 0, entonces, la trayectoria de expansión y la curva de Engel será una línea de trazo continuo como en la gráfica (2.7.c).
La función de Utilidad Indirecta Addilog Las funciones de demandas obtenidas de una "addilog" usando la identidad de Roy serán: La teoría de la dualidad sugiere que una alternativa es especificar una función indirecta de utilidad, una función que es no decreciente en el ingreso, no decreciente y cuasi convexa en precios, continua y homogénea de grado cero en precios e ingreso. De esta forma, a partir de la función de utilidad indirecta que corresponda a algún tipo de preferencias del consumidor puede recuperarse la demanda con la identidad de Roy. Una forma funcional es la función "addilog" de utilidad indirecta introducida por Houthakker
Si se divide x1 Y por x2Y y tomamos logaritmos, el resultado es una logarítmica lineal en el ingreso y en los precios relativos de x1, x2:
Las especificaciones Translogarítmicas La función de utilidad translogarítmica proviene de Christensen, Jorgenson y Lau (1971,1975). Esta ha sido la forma funcional más usada en análisis empíricos de demanda. Una de las ventajas de la translogarítmica es su forma funcional flexible, ya que puede ser aproximada de una función de segundo orden por Taylor a una función de utilidad indirecta arbitraria. La especificación translogarítmica básica viene dada por:
El sistema Casi – Ideal de Gasto AIDS El sistema AIDS (Almost Ideal Demand Sistem) cumple las restricciones de adición, homogeneidad y simetría. Para satisfacer las condiciones de negatividad se requiere que la matriz de Slutzky sea semidefinida negativa: cij= gij +bi bj Log (Y/ p) – xipi dij + xjpj xipi El sistema de ecuaciones de demanda puede ser derivado a partir de la función de gasto. Suponiendo que éste es continuo y no-decreciente precios y utilidad, y además cóncavo y homogéneo de grado cero, entonces:
El modelo de Rotterdam Este modelo es parecido al Stone-Geary, sólo que en lugar de trabajar con los niveles de los logaritmos se usan las diferencias de los mismos, esto es, diferenciando (2.51) se obtiene:
Si hablamos de la Demanda del Consumidor, se puede decir que es la cantidad que un consumidor desea comprar de una serie de bienes, ya sea expresada como una función de los precios y el ingreso o como una función de la utilidad y de los precios. Si las decisiones que toma el consumidor contradicen los supuestos, entonces el consumidor es considerado irracional. Efectivamente, un estudio en sicóticos crónicos realizado en una institución mental en New York (USA) demostró que aquellas personas a quien la sociedad considera como "irracionales" siguen la famosa ley de la demanda: "compran menos cuando aumentan los precios". La Demanda del Consumidor
Unicidad y continuidad En la grafica (3.1) se puede observar que la demanda que corresponde a un vector de precios e ingreso podría no ser única); allí existen dos soluciones xa y xb correspondientes a la restricción de presupuesto.
La disponibilidad a pagar Un consumidor tiene la oportunidad de comprar una cantidad x de un bien. Se desea determinar cuánto de esta oportunidad corresponde al "esfuerzo", medido en unidades de gasto sobre otros ítems. El consumidor estará dispuesto a pagar más por cada unidad y la utilidad permanecerá constante durante este proceso. Es así como, la cantidad total que se estaría dispuesto a pagar será:
Separabilidad. Estructura de las preferencias Independencia. Débil y fuerte independencia. Separabilidad débil y fuerte. Separabilidad de las preferencias. Separabilidad y sustitución intergrupal. Pruebas de separabilidad.
La función de producción de hogares. Entre 1965 y 1966 los artículos de Gary Becker y Kevin Lancaster, introducen el concepto de Función de Producción de Hogares (household production function). De esta forma, los consumidores en lugar de obtener la utilidad directamente de los bienes comprados en el mercado, derivan ésta de los atributos que poseen los bienes; por ejemplo, aunque el consumidor compre alimentos sin cocinar en el mercado, la utilidad se deriva de consumir una comida que ha sido producida a través de combinar alimentos crudos con trabajo, tiempo, electricidad y otros insumos.
Lancaster (1966) postula que el vector de bienes X, comprado en el mercado al vector de precios P se transforma por alguna función Z=g(X), en la cual los atributos Z producen alguna utilidad. En forma general, el problema se puede plantear como: Maximizar z u = u (z) Sujeto a Z = g(X) P X = Y Siendo Y el Ingreso total del consumidor. Combinando la función de transformación y la función de utilidad, se puede plantear el problema de la siguiente forma: Maximizar u = u(g(X)) = n (X) ; Sujeto a P X – Y = 0
Estática comparativa. Como cualquier modelo de maximización de la utilidad, todos los parámetros del modelo de Becker entran en la restricción, y las implicaciones usuales pueden ser derivadas de la maximización solamente. Considerando los efectos de sustitución puros las demandas Hicksianas se obtienen de la siguiente forma: Min ?(pibi+ w ti) Zi- w T Sujeto a u (Z1,…., Zn) = u
Las teorías económicas de la familia, de las tasas de nacimiento, del número de hijos óptimos, de la participación en el mercado de trabajo, de la diferenciación entre grupos de hombres y mujeres e incluso el reciente auge en los modelos medioambientales del coste de viaje, se derivan de aquí. Mayores salarios en el mercado para las mujeres, por ejemplo, aumentan el coste de oportunidad de los niños y de otras tareas que deberán realizar las mujeres en el hogar.
Análisis de la riqueza en el mercado de bienes. Los trabajos de Willig (1976) y Hausman (1981) emplean el teorema de la dualidad para demostrar que dada la unión entre el gasto y las funciones de utilidad, la demanda compensada no observada (debido a los atributos Zi) puede ser encontrada a partir de la función de demanda Marshalliana que sí es observada.
Bienes Públicos. Supongamos que a sea un bien medioambiental, tal como la calidad del aire, un lago o un paisaje. Entonces a entra en la función de utilidad directamente y es complementario con algún bien denotado como Z1 , por ejemplo: Recreación.
Variables dependientes discretas y limitadas. Especificación del modelo. Suponga que usted desea considerar la ocurrencia de un evento como "comprar un carro"; para describir este evento, definiremos la variable aleatoria dicotómica Y, la cual tomará el valor de 1 si el evento ocurre y 0 si no ocurre. Pi = p( Yi =1) = G( x*i, ? ) ; i = 1,2,…., n. Formas comunes de las funciones de probabilidad. Dadas las desventajas del modelo de Probabilidad Lineal, su interés ha ido decayendo, lo cual ha originado que modelos como el Logit o Probit se usen más frecuentemente.
Estimación. La elección de una F( • ) en particular lleva a un modelo empírico. Entre las formas disponibles para calcular , se encuentra el método de algoritmos de Newton, Newton-Rampson, Máxima verosimilitud. Hoy día, calcular un Logit o un Probit es bastante sencillo, pues estos métodos se encuentran en paquetes estadísticos como el RATS, SAS, SPSS, GAUSS, LIMDEP, E-Views, Easy Reg (de Libre Uso) y el STATA debiendo solamente especificarse qué algoritmo se desea.
Modelo de efectos fijos y aleatorios en datos de panel. Si las eit son variables estándar independientes, la naturaleza de los datos de panel es irrelevante. Como el modelo Probit en sí mismo no tiene efectos fijos, esto es, eit = a, remover la heterogeneidad presente en los datos, sobre todo en corte transversal, es bastante complicado, por esto idealmente nosotros debemos especificar que eit y es sean libremente correlacionados (en el grupo y no entre grupos), lo cual involucrará calcular la probabilidad conjunta de una distribución normal bivariada de dimensión T, lo cual también es problemático.
El modelo Logit condicionado. En el conjunto de variables independientes se incluyeron la constante, la educación, la experiencia, la raza y el sexo. El modelo, incluyendo los estratos sociales. Debe observarse que las probabilidades estimadas dependen de los estratos 1, 2, 3, 4 y 5. De esta forma, el modelo condicional Logit computa las probabilidades relativas a cada estrato, el estrato podrá contener pocos casos o muchos casos.
Modelos multinomiales. Un modelo multinomial de respuesta cualitativa se define de la siguiente forma. Asuma que la variable dependiente yi toma mi + 1 valores {0, 1, 2, …, mi}, entonces el modelo multinomial vendrá dado: P(yi= j ) = Fij ( x* , ? ) ; i = 1, 2, . . ., n y j = 1, 2, . . .,mi
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