- Expresiones algebraicas
- Suma y producto de expresiones algebraicas
- Clasificación de las expresiones algebraicas
- Polinomios
- Historia
- Funciones polinómicas
- Factorización
- Potenciación
- Productos notables
- Factorización
- Referencias electrónicas
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de números, variables, y operaciones de sumas división etc.
Raíz cuadrada de 2x – 6 / x 4x – 7x + 2
Términos: Son las partes de las cuales consta una expresión algebraica y están separados por signos + y – ejemplo:
4 términos 2x – 6 x + 7x – 1 =
Términos semejantes: Son los que tiene el mismo coeficiente numérico ejemplo:
Nota: el signo > significa elevado a la potencia
6 x>5 75 x>5
Suma y producto de expresiones algebraicas
Debemos saber que la suma solo se puede dar entre términos semejantes, es decir, las x solo se suman con las x y las x al cuadrado con las x al cuadrado ejemplo:
4x + 2x >2 + 5x – x>2 = 0
x>2 + 9x = 0
En el producto de las expresiones algebraicas no tenemos que hacer todo entre términos semejantes, aquí se puede mezclar todo, pero tenemos que seguir las leyes de los exponentes:
Leyes de los exponentes:
a>0 = 1
a>1 = a
(a>n)m=a>n*m
a>n * a>m = a>n+m
a>n/a>m = a>n-m = 1/a>am-n
a>-n = 1/a>n
Con estas leyes podemos efectuar fácilmente el producto ejemplo:
(2 a>2 b) (-3ab>2)= -6 a >3 b>3
Clasificación de las expresiones algebraicas
Para su estudio las expresiones se clasifican en:
Monomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que posee un solo término algebraico.
– 5 x y z | – 5 |
4 x² y² z | w x y z |
x y | 4 x y² z² |
Binomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas de don y solo dos términos algebraicos, separado por el signo más o menos.
– 5 x y + 6 z | x – 5 |
4 x² – 5 y² | 2 w – y |
x – y | – 4 y² – 2 z² |
Trinomios.
Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas de tres y solo tres términos algebraicos separados por el signo más o menos.
– 5 x + 6 z – 3 | x + y – 5 |
4 x² – 5 y² – 1 | 2 w + 3 x – y |
x – y + z | x² – 2 x – 7 |
Polinomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos o más términos algebraicos separados por el signo mas o menos:
– 5 y – z | x5 + x4 – x3 + x2 – x – 5 |
x² + x – 5 | w7 – y7 |
x4 – 3×3 + x2 – x + 3 | 4 y16 – 2 z16 |
Grado de una expresión algebraica:
El grado de una expresión algebraica se define por el término que posee el mayor grado dentro de la expresión algebraica o polinomio y el número de incógnitas de un polinomio es el número de literales que intervienen en el mismo.
4 x5 – 5 x4 + 6 x3 – 7 x2 – 6 x + 5 | 5o. grado | ||
3 x3 y2 – 4 x5 y3 – x4 y3 – 3 x2 y5 – 3 x2 y6 | 8o. grado | ||
2 x3 y2 z4 – 3 x3 y2 z5 – 5 x5 y3 z6 – 4 x4 y3 z3 | 14o. grado | ||
x4 y5 – 5 x5 y5 – 4 x5 y4 | 10o. grado | ||
Polinomios
Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:
Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.
Historia
Volumen de una pirámide truncada.
La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.
Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.
Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.
La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
A las funciones polinómicas de
grado 0 se les llama funciones constantes
grado 1 se les llama funciones lineales,
grado 2 se les llama funciones cuadráticas,
grado 3 se les llama funciones cúbicas.
Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómicas o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.
Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un monomio por el término del otro monomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente.
Factorización
Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = divisor ? cociente + resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
Ejemplos
Las funciones polinómicas de una variable (x), se corresponden con diversas curvas planas, que se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas XY.
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE POLINOMIOS
1. Considere los siguientes polinomios:
Determine el polinomio que representan:
a) p(x) + q(x).
b) p(x) – h(x).
c) r(x)× h(x).
SOLUCION
Potenciación
Potencia de un número es el resultado tras la sucesiva multiplicación de un número por sí mismo.
Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:– La base es el número que se multiplica por sí mismo– El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño. Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta… potencia".
El área de cualquier cuadrado es igual al lado multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de la medida de su lado.
Debe observarse con cuidado que:
Propiedad 2
La segunda propiedad se refiere a la potencia de una potencia, es decir, la operación de elevar un número a una potencia, y el resultado se eleva a otra potencia, por ejemplo:
Propiedad 3
Al realizar el siguiente producto, elevado a una potencia:
Propiedad 4 La propiedad que sigue ahora es muy sencilla, pero muy importante:
Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se multiplican potencias con distintas bases y distintos exponentes.
En este caso, no hay ninguna propiedad especial de la potenciación que permita escribir este producto de potencias de otra manera que facilite el cálculo.
Sin embargo, hay casos de multiplicación de potencias de distinta base, en los cuales sí se puede aplicar alguna propiedad de la potenciación, como el siguiente:
Se han visto hasta ahora propiedades de la potenciación que se refieren a productos de potencias. Se mostró cómo una expresión se puede escribir de una manera más sencilla usando estas propiedades. Es muy natural que se puedan hacer esos cambios, porque la potenciación no es más que una forma abreviada de expresar una multiplicación, y al multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar productos, es decir se está siempre multiplicando.
En cambio, cuando se combina la potenciación con la suma o la resta, se están realizando operaciones diferentes y NO siempre se puede aplicar alguna de las propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:
Aquí están expresadas dos operaciones: la suma y el producto. La manera más sencilla y directa de realizar estas operaciones es simplemente calcular primero las potencias y luego sumarlas.
Se tiene un cuadrado de lado 3 y un cuadrado de lado 7.
La potenciación y sus propiedades tienen gran importancia en las Matemáticas. Hay una leyenda muy interesante acerca del inventor del ajedrez que muestra lo inmensa que puede ser una cantidad obtenida a través de la potenciación.
Productos notables
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son:
Ejemplos:
Simplificar :
Simplificar :
Solución
Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos:
Hallar el valor de P :
Hallar el valor de E :
Factorización
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a – b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.
Factorizar significa descomponer en dos o más componentes. Por ejemplo: Factorizar los siguientes números 15= 3x 5 27=3 x 9 99 = 9 x 11 6 = 3 x 2 y así
En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones.
Como por ejemplo: Diferencia de Cuadrados: Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo
X² – Y² = (X -Y )(X + Y) Y esa es la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos. 4X² – 9Y² = (2x + 3y) (2x – 3y) 25X² – 49Y² = (5x – 7y) (5x + 7y) c² – 9Y² = (c + 3y) (c – 3y)
De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo: 9 – 4 = (3 + 2) (3 – 2) 121 – 81 = (11 + 9) (11 – 9) 64 – 16 = (8 – 4) (8 + 4)
Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por ejemplo: 5 – 2 = (R5 + R2) (R5 – R2) 9 – 5 = (R9 + R5) (R9 – R5) 11 – 8 = (R11 – R8) (R11 + R8) 125 – 94=( R125 + R94) (R125 – R 94) (a+2x+1)² – ( x+2a+a²)² = (a+1 )² – (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} – {( a+1 )-(x+2a + a²)}
FACTORIZAR UN POLINOMIO.
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de Cuadrados
Suma o Diferencia de Cubos
Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales
Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor Común
Caso I – Factor común
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente)
Veamos el siguiente ejemplo: 5×2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5×2 + 3x +7)
Finalmente la respuesta será: (x -y)(5×2 + 3x +7)
En algunos casos debemos utilizar el número 1, por ejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b Que se puede utilizar como: 5a2(3a +b) +1(3a +b)
Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)
Caso II – Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
Caso III – Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:
Caso IV – Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b)), uno negativo y otro positivo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:
Caso V – Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. Para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios x que multiplicado salga igual a la raíz de 2,
Caso VI – Trinomio de la forma X2 + bX + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo:
Ejemplo 2: x2+5x+6=0la factorización queda como:(x+3)(x+2)=0ya que 3×2=6 y 3+2=5
Caso VII Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera: xn + yn =(x+y)(xn-1-xn-2y+xn-3y2-…+xyn-2+yn-1)
Ejemplo: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera:
xn – yn =(x-y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+…+xyn-2+yn-1)
Ejemplo:
x3 – 1=(x-1)(x2+x+1)
a2 – b2 = (a-b)(a+b)
Como podrán notar las famosas diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII Trinomio de la forma ax²+bx+c
En este caso se tienen 3 términos: El primer termino es un cuadrado perfecto, ósea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo termino tiene la mitad del exponente del termino anterior y el tercer termino es un termino independiente, ósea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma; primero se extraen los factores de los dos términos de los extremos, después de extraídos se multiplican cruzándolos entre si, ósea el primer factor del término de la derecha y el segundo factor del término de la izquierda y lo mismo con los otros dos, así:
Los factores de 4x² son: 4x y x, y los de 9 son:3 y 3. Por lo tanto se multiplica 4x entre 3 y x entre 3, luego se suman los productos y el total debe ser el término de en medio, en este caso 15x, veamos:
Referencias electrónicas
INFORMACION SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS PUBLICADA EN LA PAGINA WEB (http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/5759/index.htm)
VISTA EL DIA 22/02/2009
IGN CARLOS RAUL COBAR. PUBLICADO EN LA PAGINA WEB (http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/5759/index.htm) VISTO EL DIA 22/O2/2009.
ENCICLOPEDIAS WIKIPEDIA. (http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio) ESTA INFORMACION FUE MODIFICADA POR ULTIMA VEZ EL, 19/ 02/ 2009. VISTO EL DIA 22/02/2009. POLINOMIOS.
POTENCIACION. TEMA PUBLICADO EN LA PAGINA WEB DE LA RENA (http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA2/potenciacionN.html)
REVISADO EL DIA 22/02/2009.
JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO, MONOGRAFIAS PAGINA WEB (http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables) PUBLICADO EL DIA 11 de Julio de 2008, REVISADO EL DIA 22/02/2009.
ENCICLOPEDIAS WIKIPEDIA TEMA FACTORIZACION, (http://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_factorial) ESTA PAGINA FUE MODIFICADA POR ULTIMA VEZ EL 25/02/2009 REVIZADA EL DIA 27/02/2009.
Enviado por:
Carla Santaella
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO POLITECNICO DEL ESTADO BOLIVAR
MECÁNICA
MATEMÁTICA 1
CIUDAD BOLÍVAR, FEBRERO DE 2009